ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ – «ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ². ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ количСствСнного Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² сСбя построСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ.». Π‘ΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ бСсплатно ΠΈ Π±Π΅Π· рСгистрации.

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Онлайн ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€: Аппроксимация Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ

Π”Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠΎ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ строит нСсколько ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ рСгрСссии: Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ, ΠΊΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ, ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ, Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ, Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ, ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой ΠΏΠΎ коррСляции, срСднСй ошибкС аппроксимации ΠΈ наглядно Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅. ВСория ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ рСгрСссий ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ.

83 71 64 69 69 64 68 59 81 91 57 65 58 62ЗначСния x, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅Π»183 168 171 178 176 172 165 158 183 182 163 175 164 175ЗначСния y, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅Π» ЛинСйная аппроксимация ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ аппроксимация ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ аппроксимация Аппроксимация стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ аппроксимация ЛогарифмичСская аппроксимация ГипСрболичСская аппроксимация Π­ΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π°ΠΏΠΏΡ€ΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡΠ’ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вычислСния

Π—Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой: 4

ЛинСйная рСгрСссия

Β 

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π½ΠΎΠΉ коррСляции

Β 

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ

Β 

БрСдняя ошибка аппроксимации, %

Β 

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ рСгрСссия

Β 

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции

Β 

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ

Β 

БрСдняя ошибка аппроксимации, %

Β 

ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ рСгрСссия

Β 

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции

Β 

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ

Β 

БрСдняя ошибка аппроксимации, %

Β 

БтСпСнная рСгрСссия

Β 

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции

Β 

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ

Β 

БрСдняя ошибка аппроксимации, %

Β 

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ рСгрСссия

Β 

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции

Β 

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ

Β 

БрСдняя ошибка аппроксимации, %

Β 

ЛогарифмичСская рСгрСссия

Β 

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции

Β 

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ

Β 

БрСдняя ошибка аппроксимации, %

Β 

ГипСрболичСская рСгрСссия

Β 

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции

Β 

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ

Β 

БрСдняя ошибка аппроксимации, %

Β 

Π­ΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ рСгрСссия

Β 

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции

Β 

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ

Β 

БрСдняя ошибка аппроксимации, %

Β 

Π‘ΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ share extension

ЛинСйная рСгрСссия

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ рСгрСссии:

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ a:

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ b:

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π½ΠΎΠΉ коррСляции:

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ:

БрСдняя ошибка аппроксимации:

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ рСгрСссия

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ рСгрСссии:

БистСма ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ для нахоТдСния коэффициСнтов a, b ΠΈ c:

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции:
,
Π³Π΄Π΅

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ:

БрСдняя ошибка аппроксимации:

ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ рСгрСссия

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ рСгрСссии:

БистСма ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ для нахоТдСния коэффициСнтов a, b, c ΠΈ d:

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции, коэффициСнт Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, срСдняя ошибка аппроксимации — ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ рСгрСссии.

БтСпСнная рСгрСссия

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ рСгрСссии:

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ b:

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ a:

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции, коэффициСнт Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, срСдняя ошибка аппроксимации β€” ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ рСгрСссии.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ рСгрСссия

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ рСгрСссии:

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ b:

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ a:

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции, коэффициСнт Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, срСдняя ошибка аппроксимации β€” ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ рСгрСссии.

ГипСрболичСская рСгрСссия

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ рСгрСссии:

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ b:

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ a:

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции, коэффициСнт Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, срСдняя ошибка аппроксимации — ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ рСгрСссии.

ЛогарифмичСская рСгрСссия

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ рСгрСссии:

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ b:

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ a:

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции, коэффициСнт Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, срСдняя ошибка аппроксимации — ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ рСгрСссии.

Π­ΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ рСгрСссия

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ рСгрСссии:

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ b:

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ a:

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции, коэффициСнт Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, срСдняя ошибка аппроксимации — ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ рСгрСссии.

Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° сформулируСм Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ:
ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ нСизвСстная функция y=f(x), заданная Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ значСниями (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ).
Нам Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° (Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΈΒ Ρ‚.Β ΠΏ.) y=F(x), которая Π² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ значСния, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ.
На ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π²ΠΈΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ всСго ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ сравнСния располоТСния Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ с Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ извСстных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° y=F(x), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ эмпиричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ, ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ рСгрСссии y Π½Π° x, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ (Π°ΠΏΠΏΡ€ΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, позволяСт Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ значСния f(x) для Π½Π΅Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ x, сглаТивая Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ y.

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ F, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ². Π’ этом ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π΅ Π² качСствС критСрия близости ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊ совокупности Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ суммы ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² разностСй Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ y ΠΈ тСорСтичСских, рассчитанных ΠΏΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ рСгрСссии.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π½Π°ΠΌ трСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ F, Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² S Π±Ρ‹Π»Π° наимСньшСй:

Рассмотрим Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ этой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ получСния Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ рСгрСссии F=ax+b.

S являСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, a ΠΈ b. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ условиС экстрСмума, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, равСнства Π½ΡƒΠ»ΡŽ частных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ систСму ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:

Для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹:
,

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

Π”Π°Π»Π΅Π΅:

ΠžΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π°, Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΠ² a ΠΈ b, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для коэффициСнтов Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ рСгрСссии, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.
Аналогичным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ выводятся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² рСгрСссий.

planetcalc.ru

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ расчСта ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρƒ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² β€” матСматичСский ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄, примСняСмый для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, основанный Π½Π° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ суммы ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚ искомых ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ….

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ расчСта элСмСнтов прямой ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρƒ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

Онлайн ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ нахоТдСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ коэффициСнта, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСниС Β ΠΈ уравнСния прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρƒ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²:

Π³Π΄Π΅,

  • b = Наклон Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ рСгрСссии
  • a = Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния оси Y ΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ рСгрСссии.
  • XΜ„ = Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ…
  • YΜ„ = Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ y
  • SDx = Π‘Ρ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ x
  • SDy = Π‘Ρ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ y
  • r = (NΞ£xy β€” Ξ£xΞ£y) / ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ((NΞ£x2 β€” (Ξ£x)2) x (NΞ£y)2 β€” (Ξ£y)2)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Найти Ρ€Π΅Π³Ρ€Π΅ΡΡΠΈΡŽ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ XΠ—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Y
56
23
16
79
ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ,
Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ XΠ—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Y
56
23
16
79
НайдСм,

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ рСгрСссии ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

РСшСниС:

Π¨Π°Π³ 1 :

ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ x.

N = 4

Π¨Π°Π³ 2 :

НайдСм XY, X2 для ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π½ΠΈΠΆΠ΅

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ XΠ—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ YX*YX*X
603.160 * 3.1 = 18660 * 60 = 3600
613.661 * 3.6 = 219.661 * 61 = 3721
623.862 * 3.8 = 235.662 * 62 = 3844
63463 * 4 = 25263 * 63 = 3969
654.165 * 4.1 = 266.565 * 65 = 4225
Π¨Π°Π³ 3 :

НайдСм Ξ£X, Ξ£Y, Ξ£XY;, Ξ£X2 для Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ

  • Ξ£X = 311
  • Ξ£Y = 18.6
  • Ξ£XY = 1159.7
  • Ξ£X2 = 19359
Π¨Π°Π³ 4 :

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ значСния Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ.

Наклон(b) = (NΞ£XY β€” (Ξ£X)(Ξ£Y)) / (NΞ£X2 β€” (Ξ£X)2)

  • = ((5)*(1159.7)-(311)*(18.6))/((5)*(19359)-(311)2)
  • = (5798.5 β€” 5784.6)/(96795 β€” 96721)
  • = 13.9/74
  • = 0.19
Π¨Π°Π³ 5 :

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ² значСния Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ (a) = (Ξ£Y β€” b(Ξ£X)) / N

  • = (18.6 β€” 0.19(311))/5
  • = (18.6 β€” 59.09)/5
  • = -40.49/5
  • = -8.098
Π¨Π°Π³ 6 :

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ значСния Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой(y) = a + bx

= -8.098 + 0.19x

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ссли ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ, ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x = 64, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой(y) = a + bx

  • = -8.098 + 0.19(64)
  • = -8.098 + 12.16
  • = 4.06

Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠ½ΠΈΠΌΡ‹:Β Least-Squares method, МНК

wpcalc.com

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ². ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

Π’ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… практичСских исслСдованиях приходится ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° основании ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°, наблюдСния. Один ΠΈΠ· Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΡ… способов получСния Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» – ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ². ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π½Π° основании экспСримСнта Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€ΠΎΠΉ Ρ… ΠΈ ΡƒΠ΄Π»ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρƒ Ρ€Π΅Π»ΡŒΡΠ°. По Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ составляСм Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ:


ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости находятся ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС СстСствСнно ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ… ΠΈ Ρƒ сущСствуСт линСйная Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π°ΡΡΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ . Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ,  лишь ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой, Ρ‚ΠΎ равСнства Β Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Β Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ ΠΎΡ‚ нуля.
Боставим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ сумму .
ΠŸΠΎΠ΄Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ Β ΠΈ Β Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ функция Β ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»Π° наимСньшиС значСния, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉ Β Π±Ρ‹Π»Π° наимСньшСй.
Из Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… условий экстрСмума слСдуСт

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

ΠΈΠ»ΠΈ

РСшая эту систСму, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Β ΠΈ Β ΠΈ, подставив ΠΈΡ… Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ исслСдуСмой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1
Β Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΡΡ‚ΡŒ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ искомой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ . ΠΠΏΠΏΡ€ΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ эту Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Β ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ². ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π°ΠΏΠΏΡ€ΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

x

1

2

3

4

5

y

1,8

1,3

3,3

4,8

3,8

РСшСниС
ΠŸΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ Π° ΠΈ b, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… осущСствляСтся Π½Π°ΠΈΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρƒ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ· систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
Β 
Для получСния систСмы, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ значСниям, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»ΡΡ‚ΡŒ вычислСния Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹:

Β 

xi

yi

xi^2

xiyi

1

1

1,8

1

1,8

2

2

1,3

4

2,6

3

3

3,3

9

9,9

4

4

4,8

16

19,2

5

5

3,8

25

19

15

15

55

52,5

БоставляСм систСму ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
РСшая систСму, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ , .
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ,
Π”Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Ρ‘ΠΆ

Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€2.
Π­ΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ искомой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Β ΠΏΡ€ΠΈ пяти значСниях Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ записаны Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Β Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅

РСшСниС.
Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния для коэффициСнтов Β ΠΈ :

Боставим Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ:

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ числовыС значСния Π² Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния:

РСшив систСму, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ; .
Искомая функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

Π’ послСднСм столбцС Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ запишСм значСния , вычислСнныС ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

www.matem96.ru

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ расчСта элСмСнтов прямой ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρƒ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² β€” инструмСнт рСгрСссионного Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ практичСски Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ уравнСния. Благодаря аппроксимации ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‰ΠΈΠ΅ значСния.

Наборы Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠΈ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ прогнозирования Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ массивы Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… X = {10, 12, 14, 16, 18, 20} ΠΈ Y = {18, 22, 24, 26, 27, 28}, ΠΏΡ€ΠΈ этом Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Y зависит ΠΎΡ‚ X. ΠŸΡ€ΠΈΠ΄Π°Π΄ΠΈΠΌ этим массивам смысл. К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, массив X ​– это ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄Π°, Π° Y β€” Π΅Π³ΠΎ ходовая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΡƒΠ·Π»Π°Ρ…. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ мощности энСргСтичСской установки Π² 10 тысяч Π»ΠΎΡˆΠ°Π΄ΠΈΠ½Ρ‹Ρ… сил, ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ 18 морских миль Π² час, ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ³Ρ€Π΅ΠΊΠ° соотвСтствуСт своСму иксу.

Π­Ρ‚ΠΈ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ плоскости, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΊΠ°ΠΊ V1(X1, Y1), V2(X2, Y2) ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅. Если ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΡƒΡŽ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΡƒΡŽ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ y = f(x). Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ достаточно простым, Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ этом максимально Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ² ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΡƒΡŽ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π² Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ сторону ΠΈ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ³Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠ² для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… иксов ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚. НапримСр, аппроксимировав Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ нашСго ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°, ΠΌΡ‹ смоТСм ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, какая ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ установки трСбуСтся для достиТСния скорости Π² 15 ΡƒΠ·Π»ΠΎΠ². Или ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ, установив Π½Π° Π±ΠΎΡ€Ρ‚ установку ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π² 22 тысячи Π»ΠΎΡˆΠ°Π΄ΠΈΠ½Ρ‹Ρ… сил. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ эту Π²ΠΎΠ»ΡˆΠ΅Π±Π½ΡƒΡŽ y = f(x), Π½Π°ΠΌ ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ².

Π‘ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ X = {10, 12, 14, 16, 18, 20} ΠΈ Y = {18, 22, 24, 26, 27, 28}. ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ данная кривая Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго аппроксимируСтся прямой, которая ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

y = ax + b.

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ лишь ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΈ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… случаях ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ значСниями ΠΈ Π°ΠΏΠΏΡ€ΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ прямой Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ расхоТдСния ΠΈΠ»ΠΈ ошибки Π²ΠΈΠ΄Π°:

e = y βˆ’Β Vi.

Для ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ аппроксимации ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ всС значСния ошибок e для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ число, Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ приблиТСния. Однако Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ y βˆ’Β Vi ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, поэтому Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… случаях Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ «самоуничтоТСниС» ошибок с ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ.

Π’ΠΎ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ этого ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ e ΠΈ ΡΡƒΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния ошибок Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:

e = |y βˆ’Β Vi|.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΆΠ΅ аппроксимации сводится ΠΊ поиску Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… коэффициСнтов a ΠΈ b прямой y = ax + b, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… сумма всСх ошибок e Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ минимальной. Π”Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ способ приблиТСния ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ» Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ модулями Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π° ΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

Π‘ΡƒΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΡƒΡŽ с Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ коэффициСнтами, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ошибок Π±Ρ‹Π»Π° минимальной. Π’ нашСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ это прямая, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ зависимости ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ аппроксимированы параболичСской, гипСрболичСской, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, тригономСтричСской ΠΈΠ»ΠΈ логарифмичСской функциями. На ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ всСго ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΈΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π°ΠΏΠΏΡ€ΠΎΠΊΡΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ для Π½Π°ΡˆΠΈΡ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…. Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для построСния прямой трСбуСтся ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ 5-6 Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Π°Π½ΠΎΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ошибки ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹ ошибок. Выглядит это ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ:

  • (10; 18)
  • (12; 22)
  • (14; 24)
  • (16; 26)
  • (18; 27)
  • (20; 28)

Ошибки:

  • a Γ— 10 + b β€” 18
  • a Γ— 12 + b β€” 22
  • a Γ— 14 + b β€” 24
  • a Γ— 16 + b β€” 26
  • a Γ— 18 + b β€” 27
  • a Γ— 20 + b β€” 28

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹ ошибок:

  • (a Γ— 10 + b β€” 18)2
  • (a Γ— 12 + b β€” 22)2
  • (a Γ— 14 + b β€” 24)2
  • (a Γ— 16 + b β€” 26)2
  • (a Γ— 18 + b β€” 27)2
  • (a Γ— 20 + b β€” 28)2

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ошибок. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ скобки ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ сумму этих ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°, послС Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ‹ΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ значСния a ΠΈ b, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… эта сумма Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ минимальна. ВСория матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° гласит, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция достигаСт экстрСмума Π² случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΅Π΅ частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ потрСбуСтся Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎ a ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎ b ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. ПослС Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ систСму ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ‹ΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.

ΠœΡ‹ опустим ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ ΠΈ сразу Π²Ρ‹Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ: a = 0,95, b = 9,8. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ рСгрСссии выглядит ΠΊΠ°ΠΊ:

y = 0,95x + 9,8

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ значСния ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² ΠΎΠ±Π΅ стороны. НапримСр, Ссли ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ с ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ силовой установки Π² 15 тысяч Π»ΠΎΡˆΠ°Π΄ΠΈΠ½Ρ‹Ρ… сил, ΠΌΡ‹ просто подставим это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ вмСсто икса ΠΈ вычислим ΠΈΠ³Ρ€Π΅ΠΊ:

y = 0,95 Γ— 17 ​​+ 9,8 β‰ˆ 26

Π‘Ρ‚ΠΎΠΈΡ‚ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π°ΠΏΠΏΡ€ΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π½Π°ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ….

Наша ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° прСдставляСт собой ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ количСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ линию рСгрСссии. Для этого Π²Π°ΠΌ понадобится Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠ»ΠΈΠΊ ΠΌΡ‹ΡˆΠΊΠΎΠΉ, послС Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° построит ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΈ Π°ΠΏΠΏΡ€ΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ.

Π—Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² β€” ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ для прСдставлСния Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Благодаря Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ любоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, опСрируя нСбольшим Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ.

bbf.ru

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡: ΠΌΠ½ΠΊ

ΠŸΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° МНК

Π’Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅
Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ аппроксимация y = a + bΒ·x

i – Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ;
xi – Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ фиксированного ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ i;
yi – Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ измСряСмого ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ i;
Ο‰i – вСс измСрСния Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ i;
yi, расч. – Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈ вычислСнным ΠΏΠΎ рСгрСссии Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ y Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ i;
Sxi(xi) – ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ xi ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΈ y Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ i.

Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ аппроксимация y = kΒ·x
ixiyiΟ‰iyi, расч.Ξ”yiSxi(xi)

ΠšΠ»ΠΈΠΊΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ,
Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ значСния Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ

Π˜Π½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ†ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»Ρ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ МНК.

Π’ ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ строкС значСния `x` ΠΈ `y` Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. ЗначСния Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ символом (ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅Π»ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ табуляции).

Π’Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠΈΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ вСс Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ `w`. Если вСс Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ приравниваСтся Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅. Π’ ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅ случаСв вСса ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ нСизвСстны ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ΡΡ, Ρ‚.Π΅. всС ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. Иногда вСса Π² исслСдуСмом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹ ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ вычислСны тСорСтичСски. НапримСр, Π² спСктрофотомСтрии вСса ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ простым Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ, ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π° Π² основном этим всС ΠΏΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅Π³Π°ΡŽΡ‚ для ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄ΠΎΠ·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚.

Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π±ΡƒΡ„Π΅Ρ€ ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½Π° ΠΈΠ· элСктронной Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ офисных ΠΏΠ°ΠΊΠ΅Ρ‚ΠΎΠ², Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Excel ΠΈΠ· ΠœΠ°ΠΉΠΊΡ€ΠΎΡΠΎΡ„Ρ‚ ΠžΡ„ΠΈΡΠ° ΠΈΠ»ΠΈ Calc ΠΈΠ· ΠžΡƒΠΏΠ΅Π½ ΠžΡ„ΠΈΡΠ°. Для этого Π² элСктронной Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΠΊΠΎΠΏΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…, скопируйтС Π² Π±ΡƒΡ„Π΅Ρ€ ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½Π° ΠΈ Π²ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π° этой страницС.

Для расчСта ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρƒ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ для опрСдСлСния Π΄Π²ΡƒΡ… коэффициСнтов `b` – тангСнса ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° прямой ΠΈ `a` – значСния, отсСкаСмого прямой Π½Π° оси `y`.

Для ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ расчитываСмых коэффициСнтов рСгрСсии Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ количСство ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ большС Π΄Π²ΡƒΡ….

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² (МНК).

Π§Π΅ΠΌ большС количСство ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Ρ‚Π΅ΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Π° статистичСская ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° коэффицинСтов (Π·Π° счСт сниТСния коэффицинСта Π‘Ρ‚ΡŒΡŽΠ΄Π΅Π½Ρ‚Π°) ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠ° ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° ΠΊ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ΅ Π³Π΅Π½Π΅Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΊΠΈ.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ часто сопряТСно со Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄ΠΎΠ·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ, поэтому часто проводят компромиссноС число экспСримСнтов, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΠΌΡƒΡŽ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΡƒ ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Ρ‡Ρ€Π΅Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄ΠΎ Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚Π°ΠΌ. Как ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ число экспСримСнтах Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ для Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ МНК зависимости с двумя коэффицинСтами Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅Ρ‚ Π² Ρ€Π°ΠΉΠΎΠ½Π΅ 5-7 Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.

ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠ°Ρ тСория ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² для Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ зависимости

Допустим Ρƒ нас имССтся Π½Π°Π±ΠΎΡ€ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΠ°Ρ€ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ [`y_i`, `x_i`], Π³Π΄Π΅ `i` – Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ измСрСния ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ `n`; `y_i` – Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ `i`; `x_i` – Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΠΌΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ `i`.

Π’ качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ дСйствиС Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° Ома. ИзмСняя напряТСниС (Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ²) ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ участками элСктричСской Ρ†Π΅ΠΏΠΈ, ΠΌΡ‹ замСряСм Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Ρ‚ΠΎΠΊΠ°, проходящСго ΠΏΠΎ этому участку. Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ° Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ:

`I = U / R`,
Π³Π΄Π΅ `I` – сила Ρ‚ΠΎΠΊΠ°; `R` – сопротивлСниС; `U` – напряТСниС.

Π’ этом случаС `y_i` Ρƒ нас имСряСмая Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Ρ‚ΠΎΠΊΠ°, Π° `x_i` – Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ напряТСния.

Π’ качСствС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° рассмотрим ΠΏΠΎΠ³Π»ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ свСта раствором вСщСства Π² растворС. Π₯имия Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ:

`A = Ξ΅ l C`,
Π³Π΄Π΅ `A` – оптичСская ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ раствора; `Ξ΅` – коэффициСнт пропускания растворСнного вСщСства; `l` – Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ свСта Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΡŽΠ²Π΅Ρ‚Ρƒ с раствором; `C` – концСнтрация растворСнного вСщСства.

Π’ этом случаС `y_i` Ρƒ нас имСряСмая Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° отптичСской плотности `A`, Π° `x_i` – Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ вСщСства, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΡ‹ Π·Π°Π΄Π°Π΅ΠΌ.

ΠœΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΈ `x_i` Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ мСньшС, ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ измСрСния `y_i`. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ `y_i` случайныС ΠΈ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ распрСдСлСнныС, Ρ‚.Π΅. ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ распрСдСлСния.

Π’ случаС Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ зависимости `y` ΠΎΡ‚ `x`, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ:
`y = a + b x`.

Π‘ гСомСтричСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния, коэффициСнт `b` ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΊ оси `x`, Π° коэффициСнт `a` – Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ `y` Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ пСрСсСчСния Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ с осью `y` (ΠΏΡ€ΠΈ `x = 0`).

НахоТдСниС ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ рСгрСсии.

Π’ экспСримСнтС ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния `y_i` Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Π»Π΅Ρ‡ΡŒ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΎΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΠΈΠ·-Π·Π° ошибок измСрСния, всСгда присущих Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ систСмой ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:
`y_i = a + b x_i + Ξ΅_i` Β  (1),
Π³Π΄Π΅ `Ξ΅_i` – нСизвСстная ошибка измСрСния `y` Π² `i`-ΠΎΠΌ экспСримСнтС.

Π—Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ (1) Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ рСгрСссиСй, Ρ‚.Π΅. Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° со статистичСской Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ восстановлСния зависимости являСтся Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ коэффициСнтов `a` ΠΈ `b` ΠΏΠΎ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ [`y_i`, `x_i`].

Для нахоТдСния коэффициСнтов `a` ΠΈ `b` ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² (МНК). Он являСтся частным случаСм ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ° максимального правдоподобия.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ (1) Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ `Ξ΅_i = y_i β€” a β€” b x_i`.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ошибок Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚
`Ξ¦ = sum_(i=1)^(n) Ξ΅_i^2 = sum_(i=1)^(n) (y_i β€” a β€” b x_i)^2`. Β  (2)

ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠΎΠΌ МНК (ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²) являСтся минимизация суммы (2) ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² `a` ΠΈ `b`.

ΠœΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ достигаСтся, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚ суммы (2) ΠΏΠΎ коэффициСнтам `a` ΠΈ `b` Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ:
`frac(partial Ξ¦)(partial a) = frac( partial sum_(i=1)^(n) (y_i β€” a β€” b x_i)^2)(partial a) = 0`
`frac(partial Ξ¦)(partial b) = frac( partial sum_(i=1)^(n) (y_i β€” a β€” b x_i)^2)(partial b) = 0`

Раскрывая ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ систСму ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя нСизвСстными:
`sum_(i=1)^(n) (2a + 2bx_i β€” 2y_i) = sum_(i=1)^(n) (a + bx_i β€” y_i) = 0`
`sum_(i=1)^(n) (2bx_i^2 + 2ax_i β€” 2x_iy_i) = sum_(i=1)^(n) (bx_i^2 + ax_i β€” x_iy_i) = 0`

РаскрываСм скобки ΠΈ пСрСносим нСзависящиС ΠΎΡ‚ искомых коэффициСнтов суммы Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρƒ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ систСму Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:
`sum_(i=1)^(n) y_i = a n + b sum_(i=1)^(n) bx_i`
`sum_(i=1)^(n) x_iy_i = a sum_(i=1)^(n) x_i + b sum_(i=1)^(n) x_i^2`

РСшая, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ систСму, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для коэффициСнтов `a` ΠΈ `b`:

`a = frac(sum_(i=1)^(n) y_i sum_(i=1)^(n) x_i^2 β€” sum_(i=1)^(n) x_i sum_(i=1)^(n) x_iy_i) (n sum_(i=1)^(n) x_i^2 β€” (sum_(i=1)^(n) x_i )^2)` Β  (3.1)

`b = frac(n sum_(i=1)^(n) x_iy_i β€” sum_(i=1)^(n) x_i sum_(i=1)^(n) y_i) (n sum_(i=1)^(n) x_i^2 β€” (sum_(i=1)^(n) x_i )^2)` Β  (3.2)

Π­Ρ‚ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° `n > 1` (линию ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ 2-ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ) ΠΈ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚ `D = n sum_(i=1)^(n) x_i^2 β€” (sum_(i=1)^(n) x_i )^2 != 0`, Ρ‚.Π΅. ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ `x_i` Π² экспСримСнтС Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ (Ρ‚.Π΅. ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° линия Π½Π΅ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°).

ΠžΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉ коэффициСнтов Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ рСгрСсии

Для Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ вычислСния коэффициСнтов `a` ΠΈ `b` ΠΆΠ΅Π»Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ большоС количСство ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. ΠŸΡ€ΠΈ `n = 2`, ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ коэффициСнтов Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‚.ΠΊ. Π°ΠΏΠΏΡ€ΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ линия Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

ΠŸΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ `V` опрСдСляСтся Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌ накоплСния ошибок
`S_V^2 = sum_(i=1)^p (frac(partial f)(partial z_i))^2 S_(z_i)^2`,
Π³Π΄Π΅ `p` – число ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² `z_i` с ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ `S_(z_i)`, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Π»ΠΈΡΡŽΡ‚ Π½Π° ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ `S_V`;
`f` – функция зависимости `V` ΠΎΡ‚ `z_i`.

РаспишСм Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ накоплСния ошибок для ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ коэффициСнтов `a` ΠΈ `b`
`S_a^2 = sum_(i=1)^(n)(frac(partial a)(partial y_i))^2 S_(y_i)^2 + sum_(i=1)^(n)(frac(partial a)(partial x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 sum_(i=1)^(n)(frac(partial a)(partial y_i))^2 `,
`S_b^2 = sum_(i=1)^(n)(frac(partial b)(partial y_i))^2 S_(y_i)^2 + sum_(i=1)^(n)(frac(partial b)(partial x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 sum_(i=1)^(n)(frac(partial b)(partial y_i))^2 `,
Ρ‚.ΠΊ. `S_(x_i)^2 = 0` (ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ сдСлали ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΊΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ `x` ΠΏΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅ΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»Π°).

`S_y^2 = S_(y_i)^2` – ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ (диспСрсия, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ стандартного отклонСния) Π² ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΈ `y` Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Π° для всСх Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ `y`.

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ Π² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ выраТСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для расчСта `a` ΠΈ `b` ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

`S_a^2 = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) ( sum_(i=1)^(n) x_i^2 β€” x_i sum_(i=1)^(n) x_i)^2) (D^2) = S_y^2 frac(( n sum_(i=1)^(n) x_i^2 β€” (sum_(i=1)^(n) x_i)^2) sum_(i=1)^(n) x_i^2 ) (D^2) = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) x_i^2) (D)` Β  (4.1)

`S_b^2 = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) ( n x_i β€” sum_(i=1)^(n) x_i)^2) (D^2) = S_y^2 frac(n ( n sum_(i=1)^(n) x_i^2 β€” (sum_(i=1)^(n) x_i)^2)) (D^2) = S_y^2 frac(n) (D)` Β  (4.2)

Π’ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… экспСримСнтов Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ `Sy` Π½Π΅ измСряСтся. Для этого Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ нСсколько ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ (ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΎΠ²) Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΏΠ»Π°Π½Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ врСмя (ΠΈ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ) экспСримСнта. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ `y` ΠΎΡ‚ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ рСгрСссии ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ случайным. ΠžΡ†Π΅Π½ΠΊΡƒ диспСрсии `y` Π² этом случаС, ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅.

`S_y^2 = S_(y, ост)^2 = frac(sum_(i=1)^n (y_i β€” a β€” b x_i )^2) (n-2)`.

Π”Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ `n-2` появляСтся ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ нас снизилось число стСпСнСй свободы ΠΈΠ·-Π·Π° расчСта Π΄Π²ΡƒΡ… коэффициСнтов ΠΏΠΎ этой ΠΆΠ΅ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΊΠ΅ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ….

Π’Π°ΠΊΡƒΡŽ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΡƒ Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ остаточной диспСрсиСй ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ рСгрСссии `S_(y, ост)^2`.

ΠžΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° значимости коэффициСнтов проводится ΠΏΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΡŽ Π‘Ρ‚ΡŒΡŽΠ΄Π΅Π½Ρ‚Π°

`t_a = frac(|a|) (S_a)`, `t_b = frac(|b|) (S_b)`

Если рассчитанныС ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΈ `t_a`, `t_b` мСньшС Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ΅Π² `t(P, n-2)`, Ρ‚ΠΎ считаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΠ²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ коэффициСнт Π½Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΠΎ отличаСтся ΠΎΡ‚ нуля с Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ `P`.

Если `t_a

Если `t_b

Для ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ качСства описания Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ зависимости, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ `S_(y, ост)^2` ΠΈ `S_(bar y)` ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ срСднСго с использованиСм критСрия Π€ΠΈΡˆΠ΅Ρ€Π°.

`S_(bar y) = frac(sum_(i=1)^n (y_i β€” bar y)^2) (n-1) = frac(sum_(i=1)^n (y_i β€” (sum_(i=1)^n y_i) /n )^2) (n-1)` – выборочная ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° диспСрсии `y` ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ срСднСго.

Для ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ эффСктивности уравнСния рСгрСсии для описания зависимости Ρ€Π°ΡΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ коэффициСнт Π€ΠΈΡˆΠ΅Ρ€Π°
`F = S_(bar y) / S_(y, ост)^2`,
ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ с Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ коэффициСнтом Π€ΠΈΡˆΠ΅Ρ€Π° `F(p, n-1, n-2)`.

Если `F > F(P, n-1, n-2)`, считаСтся статистичСски Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ с Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ `P` Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ описаниСм зависимости `y = f(x)` с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ уравСнСния рСгрСсии ΠΈ описаниСм с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ срСднСго. Π’.Π΅. рСгрСссия Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ описываСт Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Π΅ΠΌ разброс `y` ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ срСднСго.

ΠšΠ»ΠΈΠΊΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ,
Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ значСния Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ

laservirta.ru

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ расчСта ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρƒ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² β€” матСматичСский ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄, примСняСмый для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, основанный Π½Π° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ суммы ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚ искомых ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ….

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ расчСта элСмСнтов прямой ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρƒ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

Онлайн ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ нахоТдСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ коэффициСнта, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСниС ΠΈ уравнСния прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρƒ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Найти Ρ€Π΅Π³Ρ€Π΅ΡΡΠΈΡŽ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ X Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Y
5 6
2 3
1 6
7 9
ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ,
Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ X Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Y
5 6
2 3
1 6
7 9
НайдСм,

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ рСгрСссии ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

РСшСниС:

Π¨Π°Π³ 1 :

ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ x.

N = 4

Π¨Π°Π³ 2 :

НайдСм XY, X2 для ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π½ΠΈΠΆΠ΅

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ X Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Y X*Y X*X
60 3.1 60 * 3.1 = 186 60 * 60 = 3600
61 3.6 61 * 3.6 = 219.6 61 * 61 = 3721
62 3.8 62 * 3.8 = 235.6 62 * 62 = 3844
63 4 63 * 4 = 252 63 * 63 = 3969
65 4.1 65 * 4.1 = 266.5 65 * 65 = 4225
Π¨Π°Π³ 3 :

НайдСм Ξ£X, Ξ£Y, Ξ£XY;, Ξ£X2 для Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ

  • Ξ£X = 311
  • Ξ£Y = 18.6
  • Ξ£XY = 1159.7
  • Ξ£X2 = 19359
Π¨Π°Π³ 4 :

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ значСния Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ.

Наклон(b) = (NΞ£XY β€” (Ξ£X)(Ξ£Y)) / (NΞ£X2 β€” (Ξ£X)2)

  • = ((5)*(1159.7)-(311)*(18.6))/((5)*(19359)-(311)2)
  • = (5798.5 β€” 5784.6)/(96795 β€” 96721)
  • = 13.9/74
  • = 0.19
Π¨Π°Π³ 5 :

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ² значСния Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ (a) = (Ξ£Y β€” b(Ξ£X)) / N

  • = (18.6 β€” 0.19(311))/5
  • = (18.6 β€” 59.09)/5
  • = -40.49/5
  • = -8.098
Π¨Π°Π³ 6 :

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ значСния Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой(y) = a + bx

= -8.098 + 0.19x

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ссли ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ, ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x = 64, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой(y) = a + bx

  • = -8.098 + 0.19(64)
  • = -8.098 + 12.16
  • = 4.06

Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠ½ΠΈΠΌΡ‹: Least-Squares method, МНК

Π’ вашСм Π±Ρ€Π°ΡƒΠ·Π΅Ρ€Π΅ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ Javascript.
Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ произвСсти расчСты, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ элСмСнты ActiveX!

ΠŸΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ:

Если ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» понравился Π’Π°ΠΌ ΠΈ оказался для Вас ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΌ, ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΈΠΌ со своими Π΄Ρ€ΡƒΠ·ΡŒΡΠΌΠΈ!

calcsbox.com

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π² Excel β€” использованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π’Π•ΠΠ”Π•ΠΠ¦Π˜Π―

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² β€” это матСматичСская ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π° составлСния Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния, максимально ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Ρƒ упорядочСнных ΠΏΠ°Ρ€, ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ нахоТдСния Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ для a ΠΈ b, коэффициСнтов Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ прямой. ЦСль ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² состоит Π² ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ошибки ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ значСниями y ΠΈ Ε·. Если для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΡ‹ опрСдСляСм ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ Ε·, ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚:

Π³Π΄Π΅ n = число упорядочСнных ΠΏΠ°Ρ€ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ. максимально ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ.

Π­Ρ‚ΠΎ понятиС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС

Будя ΠΏΠΎ рисунку, линия, максимально ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ, линия рСгрСссии, ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅. Π― ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΡƒ Π²Π°ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ рСгрСссии с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ сСбС ΠΌΠΎΠ»ΠΎΠ΄ΡƒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅, с Π½Π΅Π΄Π°Π²Π½ΠΈΡ… ΠΏΠΎΡ€, ΠΆΠΈΠ²ΡƒΡ‚ вмСстС ΠΈ совмСстно дСлят столик для космСтичСских принадлСТностСй Π² Π²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ. Молодой Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ Π½Π°Ρ‡Π°Π» Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π° Π΅Π³ΠΎ столика Π½Π΅ΡƒΠΌΠΎΠ»ΠΈΠΌΠΎ сокращаСтся, сдавая свои ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ муссам для волос ΠΈ соСвым комплСксам. Π—Π° послСдниС нСсколько мСсяцСв ΠΏΠ°Ρ€Π΅Π½ΡŒ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ слСдил Π·Π° Ρ‚Π΅ΠΌ, с ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ увСличиваСтся число ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π° Π΅Π΅ части стола. Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ прСдставлСно число ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π΅Π²ΡƒΡˆΠΊΠΈ Π½Π° столикС Π² Π²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ, Π½Π°ΠΊΠΎΠΏΠΈΠ²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ Π·Π° послСдниС нСсколько мСсяцСв.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ своСй Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, увСличиваСтся Π»ΠΈ со Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ число ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ², Β«ΠœΠ΅ΡΡΡ†Β» Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π° «Число ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ²Β» β€” зависимой.

Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² опрСдСляСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, максимально ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ, ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ вычислСния Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ a, ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π½Π° оси y, ΠΈ b, Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ:

a = yср β€” bxср

Π³Π΄Π΅ xср β€” срСднСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x, нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, yср β€” срСднСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y, нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.

Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ суммированы Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ для этих ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ вычислСния.

ΠšΡ€ΠΈΠ²Π°Ρ эффСкта для нашСго ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° с Π²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ:

Ε·=5.13+0.976x

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ нашС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ β€” 0.976, ΠΏΠ°Ρ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ число ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π° столикС со Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ увСличиваСтся со срСднСй ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 1 ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ Π² мСсяц. На Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ прСдставлСна кривая эффСкта с упорядочСнными ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠΈ.

ОТиданиС Π² ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ числа ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² Π² Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π° (мСсяца 16) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒΡΡ Ρ‚Π°ΠΊ:

Ε· = 5.13 + 0.976x = 5.13 + 0.976(16) ~ 20.7 = 21 ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚

Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΏΠΎΡ€Π° Π½Π°ΡˆΠ΅ΠΌΡƒ Π³Π΅Ρ€ΠΎΡŽ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ дСйствия.

Ѐункция Π’Π•ΠΠ”Π•ΠΠ¦Π˜Π― Π² Excel

Как Π²Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅, Π½Π°Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅, догадались Π² Excel имССтся функция для расчСта значСния ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρƒ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ². Π­Ρ‚ΠΎ функция называСтся Π’Π•ΠΠ”Π•ΠΠ¦Π˜Π―. Бинтаксис Ρƒ Π½Π΅Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ:

Π’Π•ΠΠ”Π•ΠΠ¦Π˜Π― (извСстныС значСния Y; извСстныС значСния X; Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ значСния X; конст)

Π³Π΄Π΅:

извСстныС значСния Y – массив зависимых ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, Π² нашСм случаС, количСство ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π° столикС

извСстныС значСния X – массив нСзависимых ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, Π² нашСм случаС это мСсяц

Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ значСния X – Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ значСния X (мСсяца) для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ функция Π’Π•ΠΠ”Π•ΠΠ¦Π˜Π― Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ зависимых ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… (количСство ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ²)

конст β€” Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ЛогичСскоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, трСбуСтся Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ константа b Π±Ρ‹Π»Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 0.

НапримСр, Π½Π° рисункС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° функция Π’Π•ΠΠ”Π•ΠΠ¦Π˜Π―, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠ°Ρ для опрСдСлСния ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ количСства ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π° столикС Π² Π²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ для 16-Π³ΠΎ мСсяца.

Π‘ΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΉΠ» с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ расчСта Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρƒ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

Π’Π°ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ интСрСсны ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ

exceltip.ru