Метод наименьших квадратов онлайн графики – «Метод наименьших квадратов. Количественный анализ Проведение количественного анализа, как правило, включает в себя построение графика по данным, найденным.». Скачать бесплатно и без регистрации.

Содержание

Онлайн калькулятор: Аппроксимация функции одной переменной

Данный калькулятор по введенным данным строит несколько моделей регрессии: линейную, квадратичную, кубическую, степенную, логарифмическую, гиперболическую, показательную, экспоненциальную. Результаты можно сравнить между собой по корреляции, средней ошибке аппроксимации и наглядно на графике. Теория и формулы регрессий под калькулятором.

83 71 64 69 69 64 68 59 81 91 57 65 58 62Значения x, через пробел183 168 171 178 176 172 165 158 183 182 163 175 164 175Значения y, через пробел Линейная аппроксимация Квадратичная аппроксимация Кубическая аппроксимация Аппроксимация степенной функцией Показательная аппроксимация Логарифмическая аппроксимация Гиперболическая аппроксимация Экспоненциальная аппроксимацияТочность вычисления

Знаков после запятой: 4

Линейная регрессия

 

Коэффициент линейной парной корреляции

 

Коэффициент детерминации

 

Средняя ошибка аппроксимации, %

 

Квадратичная регрессия

 

Коэффициент корреляции

 

Коэффициент детерминации

 

Средняя ошибка аппроксимации, %

 

Кубическая регрессия

 

Коэффициент корреляции

 

Коэффициент детерминации

 

Средняя ошибка аппроксимации, %

 

Степенная регрессия

 

Коэффициент корреляции

 

Коэффициент детерминации

 

Средняя ошибка аппроксимации, %

 

Показательная регрессия

 

Коэффициент корреляции

 

Коэффициент детерминации

 

Средняя ошибка аппроксимации, %

 

Логарифмическая регрессия

 

Коэффициент корреляции

 

Коэффициент детерминации

 

Средняя ошибка аппроксимации, %

 

Гиперболическая регрессия

 

Коэффициент корреляции

 

Коэффициент детерминации

 

Средняя ошибка аппроксимации, %

 

Экспоненциальная регрессия

 

Коэффициент корреляции

 

Коэффициент детерминации

 

Средняя ошибка аппроксимации, %

 

Сохранить

share extension

Линейная регрессия

Уравнение регрессии:

Коэффициент a:

Коэффициент b:

Коэффициент линейной парной корреляции:

Коэффициент детерминации:

Средняя ошибка аппроксимации:

Квадратичная регрессия

Уравнение регрессии:

Система уравнений для нахождения коэффициентов a, b и c:

Коэффициент корреляции:
,
где

Коэффициент детерминации:

Средняя ошибка аппроксимации:

Кубическая регрессия

Уравнение регрессии:

Система уравнений для нахождения коэффициентов a, b, c и d:

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Степенная регрессия

Уравнение регрессии:

Коэффициент b:

Коэффициент a:

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Показательная регрессия

Уравнение регрессии:

Коэффициент b:

Коэффициент a:

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Гиперболическая регрессия

Уравнение регрессии:

Коэффициент b:

Коэффициент a:

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Логарифмическая регрессия

Уравнение регрессии:

Коэффициент b:

Коэффициент a:

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Экспоненциальная регрессия

Уравнение регрессии:

Коэффициент b:

Коэффициент a:

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Вывод формул

Сначала сформулируем задачу:
Пусть у нас есть неизвестная функция y=f(x), заданная табличными значениями (например, полученными в результате опытных измерений).
Нам необходимо найти функцию заданного вида (линейную, квадратичную и т. п.) y=F(x), которая в соответствующих точках принимает значения, как можно более близкие к табличным.
На практике вид функции чаще всего определяют путем сравнения расположения точек с графиками известных функций.

Полученная формула y=F(x), которую называют эмпирической формулой, или уравнением регрессии y на x, или приближающей (аппроксимирующей) функцией, позволяет находить значения f(x) для нетабличных значений x, сглаживая результаты измерений величины y.

Для того, чтобы получить параметры функции F, используется метод наименьших квадратов. В этом методе в качестве критерия близости приближающей функции к совокупности точек используется суммы квадратов разностей значений табличных значений y и теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии.

Таким образом, нам требуется найти функцию F, такую, чтобы сумма квадратов S была наименьшей:

Рассмотрим решение этой задачи на примере получения линейной регрессии F=ax+b.
S является функцией двух переменных, a и b. Чтобы найти ее минимум, используем условие экстремума, а именно, равенства нулю частных производных.

Используя формулу производной сложной функции, получим следующую систему уравнений:

Для функции вида частные производные равны:
,

Подставив производные, получим:

Далее:

Откуда, выразив a и b, можно получить формулы для коэффициентов линейной регрессии, приведенные выше.
Аналогичным образом выводятся формулы для остальных видов регрессий.

planetcalc.ru

Калькулятор расчета по методу наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов — математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных.

Калькулятор расчета элементов прямой по методу наименьших квадратов

Онлайн калькулятор нахождения углового коэффициента, точки пересечение  и уравнения прямой линии по методу наименьших квадратов

Формула метода наименьших квадратов:

где,

  • b = Наклон линии регрессии
  • a = Точка пересечения оси Y и линии регрессии.
  • X̄ = Среднее значений х
  • Ȳ = Среднее значений y
  • SDx = Стандартное отклонение x
  • SDy = Стандартное отклонение y
  • r = (NΣxy — ΣxΣy) / корень ((NΣx2 — (Σx)2) x (NΣy)2 — (Σy)2)

Пример

Найти регрессию методом наименьших квадратов

Значение X Значение Y
5 6
2 3
1 6
7 9
Получаем,
Значение X Значение Y
5 6
2 3
1 6
7 9
Найдем,

Уравнение линии регрессии методом наименьших квадратов

Решение:

Шаг 1 :

Количество значений x.

N = 4

Шаг 2 :

Найдем XY, X2 для полученных значений. Смотрите таблицу ниже

Значение X Значение Y X*Y X*X
60 3.1 60 * 3.1 = 186 60 * 60 = 3600
61 3.6 61 * 3.6 = 219.6 61 * 61 = 3721
62 3.8
62 * 3.8 = 235.6
62 * 62 = 3844
63 4 63 * 4 = 252 63 * 63 = 3969
65 4.1 65 * 4.1 = 266.5 65 * 65 = 4225
Шаг 3 :

Найдем ΣX, ΣY, ΣXY;, ΣX2 для значений

  • ΣX = 311
  • ΣY = 18.6
  • ΣXY = 1159.7
  • ΣX2 = 19359
Шаг 4 :

Подставим значения в приведенную выше формулу.

Наклон(b) = (NΣXY — (ΣX)(ΣY)) / (NΣX2 — (ΣX)2)

  • = ((5)*(1159.7)-(311)*(18.6))/((5)*(19359)-(311)2)
  • = (5798.5 — 5784.6)/(96795 — 96721)
  • = 13.9/74
  • = 0.19
Шаг 5 :

Подставив значения в формулу

Пересечение (a) = (ΣY — b(ΣX)) / N

  • = (18.6 — 0.19(311))/5
  • = (18.6 — 59.09)/5
  • = -40.49/5
  • = -8.098
Шаг 6 :

Подставим значения в уравнение прямой

Уравнение прямой(y) = a + bx

= -8.098 + 0.19x

Предположим, если мы хотим, узнать приблизительное у значение переменной x = 64, необходимо подставить значение в формулу

Уравнение прямой(y) = a + bx

  • = -8.098 + 0.19(64)
  • = -8.098 + 12.16
  • = 4.06

Синонимы: Least-Squares method, МНК

wpcalc.com

Метод наименьших квадратов. Контрольные онлайн

Метод наименьших квадратов

В различных практических исследованиях приходится использовать формулы, полученные на основании опыта, наблюдения. Один из лучших способов получения таких формул – метод наименьших квадратов. Пусть, например, на основании эксперимента необходимо установить функциональную зависимость между температурой

х и удлинением у рельса. По результатам измерений составляем таблицу:


Предположим, что эти точки координатной плоскости находятся приблизительно на одной прямой

В данном случае естественно предположить, что между х и у существует линейная зависимость, выражающаяся уравнением . Так как точки ,  лишь приблизительно лежат на одной прямой, то равенства  будут выполняться приближенно и величины  будут отличны от нуля.
Составим следующую сумму .
Подберем параметры  и  так, чтобы функция  принимала наименьшие значения, то есть чтобы сумма квадратов погрешностей  была наименьшей.
Из необходимых условий экстремума следует

Тогда

или

Решая эту систему, найдем  и  и, подставив их в уравнение , получим приближенное значение исследуемой функции.

 

Пример 1
 В таблице приведены пять экспериментальных значений искомой функции . Аппроксимировать эту функцию линейной функцией  методом наименьших квадратов. Построить график аппроксимирующей функции и экспериментальные точки.

x

1

2

3

4

5

y

1,8

1,3

3,3

4,8

3,8

Решение
Параметры а и b, для которых осуществляется наилучшее приближение (по методу наименьших квадратов), определяются из системы уравнений
 
Для получения системы, соответствующей заданным значениям, можно рекомендовать оформлять вычисления в виде таблицы:

 

xi

yi

xi^2

xiyi

1

1

1,8

1

1,8

2

2

1,3

4

2,6

3

3

3,3

9

9,9

4

4

4,8

16

19,2

5

5

3,8

25

19

15

15

55

52,5

Составляем систему уравнений
Решая систему, находим , .
Таким образом,
Делаем чертёж

 

Пример2.
Экспериментально получены пять значений искомой функции  при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию  в виде

Решение.
Запишем нормальные уравнения для коэффициентов  и :

Составим вспомогательную таблицу:

Подставим числовые значения в нормальные уравнения:

Решив систему, получим ; .
Искомая функция имеет вид:

В последнем столбце таблицы запишем значения , вычисленные по полученной формуле

www.matem96.ru

Калькулятор расчета элементов прямой по методу наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов — инструмент регрессионного анализа, позволяющий представить практически любую функциональную зависимость в виде уравнения. Благодаря аппроксимации прошлых данных при помощи метода наименьших квадратов мы можем предсказывать приблизительные будущие значения.

Наборы данных

Метод наименьших квадратов используется для обработки набора данных и прогнозирования будущих значений. Пусть у нас есть массивы данных X = {10, 12, 14, 16, 18, 20} и Y = {18, 22, 24, 26, 27, 28}, при этом значение Y зависит от X. Придадим этим массивам смысл. К примеру, массив X ​– это мощность паровой машины парохода, а Y — его ходовая скорость в узлах. Это означает, что при мощности энергетической установки в 10 тысяч лошадиных сил, пароход развивает скорость на уровне 18 морских миль в час, и так далее, так как каждое значение игрека соответствует своему иксу.

Эти данные можно представить в виде точек на декартовой плоскости, например как V1(X1, Y1), V2(X2, Y2) и так далее. Если соединить эти точки, то мы получим некую кривую, которую можем описать соответствующим уравнением y = f(x). Данное уравнение должно быть достаточно простым, но при этом максимально близко описывать полученную зависимость.

Получив кривую, мы можем продлить ее в любую сторону и узнать приблизительное значение игреков для любых иксов или наоборот. Например, аппроксимировав данные нашего примера, мы сможем узнать, какая мощность установки требуется для достижения скорости в 15 узлов. Или какую мы получим скорость, установив на борт установку мощностью в 22 тысячи лошадиных сил. Для того чтобы определить эту волшебную y = f(x), нам и необходим метод наименьших квадратов.

Суть метода

Итак, у нас есть X = {10, 12, 14, 16, 18, 20} и Y = {18, 22, 24, 26, 27, 28}. Очевидно, что данная кривая лучше всего аппроксимируется прямой, которая имеет вид:

y = ax + b.

Очевидно и то, что прямая будет лишь приблизительно проходить через данные точки, и во многих случаях между реальными значениями и аппроксимирующей прямой будут расхождения или ошибки вида:

e = y − Vi.

Для оценки общей погрешности аппроксимации мы можем сложить все значения ошибок e для каждой точки и получить число, характеризующее точность приближения. Однако разность y − Vi может быть и отрицательной, поэтому в некоторых случаях возможно «самоуничтожение» ошибок с противоположными знаками.

Во избежание этого математики решили использовать модули e и суммировать положительные значения ошибок в виде:

e = |y − Vi|.

Задача же аппроксимации сводится к поиску таких коэффициентов a и b прямой y = ax + b, при которых сумма всех ошибок e будет минимальной. Данный способ приближения получил название метода наименьших модулей, однако на практике наиболее удобно оперировать не модулями значений, а их квадратами.

Метод наименьших квадратов

Суть данного метода состоит в том, чтобы найти кривую с такими коэффициентами, чтобы сумма квадратов ошибок была минимальной. В нашем примере это прямая, однако, разные зависимости могут быть аппроксимированы параболической, гиперболической, показательной, тригонометрической или логарифмической функциями. На практике чаще всего используются полиноминальные функции, дающие наилучшее приближение.

Давайте найдем аппроксмирующую прямую для наших данных. Важно учесть, что для построения прямой требуется минимум 5-6 значений, исключая аномальные результаты. Итак, у нас есть точки, ошибки и квадраты ошибок. Выглядит это следующим образом.

Точки:

  • (10; 18)
  • (12; 22)
  • (14; 24)
  • (16; 26)
  • (18; 27)
  • (20; 28)

Ошибки:

  • a × 10 + b — 18
  • a × 12 + b — 22
  • a × 14 + b — 24
  • a × 16 + b — 26
  • a × 18 + b — 27
  • a × 20 + b — 28

Квадраты ошибок:

  • (a × 10 + b — 18)2
  • (a × 12 + b — 22)2
  • (a × 14 + b — 24)2
  • (a × 16 + b — 26)2
  • (a × 18 + b — 27)2
  • (a × 20 + b — 28)2

Итак, у нас есть набор квадратов ошибок. Теперь нам нужно раскрыть скобки и представить сумму этих квадратов в виде масштабного полинома, после чего отыскать такие значения a и b, при которых эта сумма будет минимальна. Теория математического анализа гласит, что функция достигает экстремума в случае, когда ее частные производные равные нулю. Это означает, что нам потребуется взять производную по a и приравнять ее к нулю, а также производную по b и также приравнять ее к нулю. После чего составить систему уравнений и отыскать удовлетворяющие условию корни.

Мы опустим промежуточные выкладки и сразу выложим результат решения полученной системы уравнений: a = 0,95, b = 9,8. Таким образом, уравнение прямой линии регрессии выглядит как:

y = 0,95x + 9,8

Теперь мы можем определить промежуточные значения или продленные в обе стороны. Например, если мы хотим узнать, какую скорость имеет пароход с мощностью силовой установки в 15 тысяч лошадиных сил, мы просто подставим это значение вместо икса и вычислим игрек:

y = 0,95 × 17 ​​+ 9,8 ≈ 26

Стоит помнить, что аппроксимирующие графики дают нам только приблизительные значения переменных.

Наша программа представляет собой калькулятор, в котором вы можете выбрать произвольное количество точек и построить линию регрессии. Для этого вам понадобится только указать координаты и сделать один клик мышкой, после чего программа построит и точки, и аппроксимирующую прямую.

Заключение

Метод наименьших квадратов — удобный метод для представления данных в виде функции. Благодаря такому представлению вы можете определить любое значение функции, оперируя небольшим набором данных или измерений.

bbf.ru

Метод наименьших квадратов примеры решения задач: мнк

Программа МНК

Введите данные
Данные и аппроксимация y = a + b·x

i – номер экспериментальной точки;
xi – значение фиксированного параметра в точке i;
yi – значение измеряемого параметра в точке i;
ωi – вес измерения в точке i;
yi, расч. – разница между измеренным и вычисленным по регрессии значением y в точке i;
Sxi(xi) – оценка погрешности xi при измерении y в точке i.

Данные и аппроксимация y = k·x
i xi yi ωi yi, расч. Δyi Sxi(xi)

Кликните по графику,
чтобы добавить значения в таблицу

Инструкция пользователя онлайн-программы МНК.

В поле данных введите на каждой отдельной строке значения `x` и `y` в одной экспериментальной точке. Значения должны отделяться пробельным символом (пробелом или знаком табуляции).

Третьим значением может быть вес точки `w`. Если вес точки не указан, то он приравнивается единице. В подавляющем большинстве случаев веса экспериментальных точек неизвестны или не вычисляются, т.е. все экспериментальные данные считаются равнозначными. Иногда веса в исследуемом интервале значений совершенно точно не равнозначны и даже могут быть вычислены теоретически. Например, в спектрофотометрии веса можно вычислить по простым формулам, правда в основном этим все пренебрегают для уменьшения трудозатрат.

Данные можно вставить через буфер обмена из электронной таблицы офисных пакетов, например Excel из Майкрософт Офиса или Calc из Оупен Офиса. Для этого в электронной таблице выделите диапазон копируемых данных, скопируйте в буфер обмена и вставьте данные в поле данных на этой странице.

Для расчета по методу наименьших квадратов необходимо не менее двух точек для определения двух коэффициентов `b` – тангенса угла наклона прямой и `a` – значения, отсекаемого прямой на оси `y`.

Для оценки погрешности расчитываемых коэффициентов регресии нужно задать количество экспериментальных точек больше двух.

Метод наименьших квадратов (МНК).

Чем больше количество экспериментальных точек, тем более точна статистическая оценка коэффицинетов (за счет снижения коэффицинета Стьюдента) и тем более близка оценка к оценке генеральной выборки.

Получение значений в каждой экспериментальной точке часто сопряжено со значительными трудозатратами, поэтому часто проводят компромиссное число экспериментов, которые дает удобоваримую оценку и не привеодит к чрезмерным трудо затратам. Как правило число экспериментах точек для линейной МНК зависимости с двумя коэффицинетами выбирает в районе 5-7 точек.

Краткая теория метода наименьших квадратов для линейной зависимости

Допустим у нас имеется набор экспериментальных данных в виде пар значений [`y_i`, `x_i`], где `i` – номер одного эксперементального измерения от 1 до `n`; `y_i` – значение измеренной величины в точке `i`; `x_i` – значение задаваемого нами параметра в точке `i`.

В качестве примера можно рассмотреть действие закона Ома. Изменяя напряжение (разность потенциалов) между участками электрической цепи, мы замеряем величину тока, проходящего по этому участку. Физика нам дает зависимость, найденную экспериментально:

`I = U / R`,
где `I` – сила тока; `R` – сопротивление; `U` – напряжение.

В этом случае `y_i` у нас имеряемая величина тока, а `x_i` – значение напряжения.

В качестве другого примера рассмотрим поглощение света раствором вещества в растворе. Химия дает нам формулу:

`A = ε l C`,
где `A` – оптическая плотность раствора; `ε` – коэффициент пропускания растворенного вещества; `l` – длина пути при прохождении света через кювету с раствором; `C` – концентрация растворенного вещества.

В этом случае `y_i` у нас имеряемая величина отптической плотности `A`, а `x_i` – значение концентрации вещества, которое мы задаем.

Мы будем рассматривать случай, когда относительная погрешность в задании `x_i` значительно меньше, относительной погрешности измерения `y_i`. Так же мы будем предполагать, что все измеренные величины `y_i` случайные и нормально распределенные, т.е. подчиняются нормальному закону распределения.

В случае линейной зависимости `y` от `x`, мы можем написать теоретическую зависимость:
`y = a + b x`.

С геометрической точки зрения, коэффициент `b` обозначает тангенс угла наклона линии к оси `x`, а коэффициент `a` – значение `y` в точке пересечения линии с осью `y` (при `x = 0`).

Нахождение параметров линии регресии.

В эксперименте измеренные значения `y_i` не могут точно лечь на теоеретическую прямую из-за ошибок измерения, всегда присущих реальной жизни. Поэтому линейное уравнение, нужно представить системой уравнений:
`y_i = a + b x_i + ε_i`   (1),
где `ε_i` – неизвестная ошибка измерения `y` в `i`-ом эксперименте.

Зависимость (1) так же называют регрессией, т.е. зависимостью двух величин друг от друга со статистической значимостью.

Задачей восстановления зависимости является нахождение коэффициентов `a` и `b` по экспериментальным точкам [`y_i`, `x_i`].

Для нахождения коэффициентов `a` и `b` обычно используется метод наименьших квадратов (МНК). Он является частным случаем принципа максимального правдоподобия.

Перепишем (1) в виде `ε_i = y_i — a — b x_i`.

Тогда сумма квадратов ошибок будет
`Φ = sum_(i=1)^(n) ε_i^2 = sum_(i=1)^(n) (y_i — a — b x_i)^2`.   (2)

Принципом МНК (метода наименьших квадратов) является минимизация суммы (2) относительно параметров `a` и `b`.

Минимум достигается, когда частные производные от суммы (2) по коэффициентам `a` и `b` равны нулю:
`frac(partial Φ)(partial a) = frac( partial sum_(i=1)^(n) (y_i — a — b x_i)^2)(partial a) = 0`
`frac(partial Φ)(partial b) = frac( partial sum_(i=1)^(n) (y_i — a — b x_i)^2)(partial b) = 0`

Раскрывая производные, получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
`sum_(i=1)^(n) (2a + 2bx_i — 2y_i) = sum_(i=1)^(n) (a + bx_i — y_i) = 0`
`sum_(i=1)^(n) (2bx_i^2 + 2ax_i — 2x_iy_i) = sum_(i=1)^(n) (bx_i^2 + ax_i — x_iy_i) = 0`

Раскрываем скобки и переносим независящие от искомых коэффициентов суммы в другую половину, получим систему линейных уравнений:
`sum_(i=1)^(n) y_i = a n + b sum_(i=1)^(n) bx_i`
`sum_(i=1)^(n) x_iy_i = a sum_(i=1)^(n) x_i + b sum_(i=1)^(n) x_i^2`

Решая, полученную систему, находим формулы для коэффициентов `a` и `b`:

`a = frac(sum_(i=1)^(n) y_i sum_(i=1)^(n) x_i^2 — sum_(i=1)^(n) x_i sum_(i=1)^(n) x_iy_i) (n sum_(i=1)^(n) x_i^2 — (sum_(i=1)^(n) x_i )^2)`   (3.1)

`b = frac(n sum_(i=1)^(n) x_iy_i — sum_(i=1)^(n) x_i sum_(i=1)^(n) y_i) (n sum_(i=1)^(n) x_i^2 — (sum_(i=1)^(n) x_i )^2)`   (3.2)

Эти формулы имеют решения, когда `n > 1` (линию можно построить не менее чем по 2-м точкам) и когда детерминант `D = n sum_(i=1)^(n) x_i^2 — (sum_(i=1)^(n) x_i )^2 != 0`, т.е. когда точки `x_i` в эксперименте различаются (т.е. когда линия не вертикальна).

Оценка погрешностей коэффициентов линии регресии

Для более точной оценки погрешности вычисления коэффициентов `a` и `b` желательно большое количество экспериментальных точек. При `n = 2`, оценить погрешность коэффициентов невозможно, т.к. аппроксимирующая линия будет однозначно проходить через две точки.

Погрешность случайной величины `V` определяется законом накопления ошибок
`S_V^2 = sum_(i=1)^p (frac(partial f)(partial z_i))^2 S_(z_i)^2`,
где `p` – число параметров `z_i` с погрешностью `S_(z_i)`, которые влияют на погрешность `S_V`;
`f` – функция зависимости `V` от `z_i`.

Распишем закон накопления ошибок для погрешности коэффициентов `a` и `b`
`S_a^2 = sum_(i=1)^(n)(frac(partial a)(partial y_i))^2 S_(y_i)^2 + sum_(i=1)^(n)(frac(partial a)(partial x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 sum_(i=1)^(n)(frac(partial a)(partial y_i))^2 `,
`S_b^2 = sum_(i=1)^(n)(frac(partial b)(partial y_i))^2 S_(y_i)^2 + sum_(i=1)^(n)(frac(partial b)(partial x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 sum_(i=1)^(n)(frac(partial b)(partial y_i))^2 `,
т.к. `S_(x_i)^2 = 0` (мы ранее сделали оговорку, что погрешность `x` пренебрежительно мала).

`S_y^2 = S_(y_i)^2` – погрешность (дисперсия, квадрат стандартного отклонения) в измерении `y` в предположении, что погрешность однородна для всех значений `y`.

Подставляя в полученные выражения формулы для расчета `a` и `b` получим

`S_a^2 = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) ( sum_(i=1)^(n) x_i^2 — x_i sum_(i=1)^(n) x_i)^2) (D^2) = S_y^2 frac(( n sum_(i=1)^(n) x_i^2 — (sum_(i=1)^(n) x_i)^2) sum_(i=1)^(n) x_i^2 ) (D^2) = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) x_i^2) (D)`   (4.1)

`S_b^2 = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) ( n x_i — sum_(i=1)^(n) x_i)^2) (D^2) = S_y^2 frac(n ( n sum_(i=1)^(n) x_i^2 — (sum_(i=1)^(n) x_i)^2)) (D^2) = S_y^2 frac(n) (D)`   (4.2)

В большинстве реальных экспериментов значение `Sy` не измеряется. Для этого нужно проводить несколько паралельных измерений (опытов) в одной или нескольких точках плана, что увеличивает время (и возможно стоимость) эксперимента. Поэтому обычно полагают, что отклонение `y` от линии регрессии можно считать случайным. Оценку дисперсии `y` в этом случае, считают по формуле.

`S_y^2 = S_(y, ост)^2 = frac(sum_(i=1)^n (y_i — a — b x_i )^2) (n-2)`.

Делитель `n-2` появляется потому, что у нас снизилось число степеней свободы из-за расчета двух коэффициентов по этой же выборке экспериментальных данных.

Такую оценку еще называют остаточной дисперсией относительно линии регрессии `S_(y, ост)^2`.

Оценка значимости коэффициентов проводится по критерию Стьюдента

`t_a = frac(|a|) (S_a)`, `t_b = frac(|b|) (S_b)`

Если рассчитанные критерии `t_a`, `t_b` меньше табличных критериев `t(P, n-2)`, то считается, что соответсвующий коэффициент не значимо отличается от нуля с заданной вероятностью `P`.

Если `t_a

Если `t_b

Для оценки качества описания линейной зависимости, можно сравнить `S_(y, ост)^2` и `S_(bar y)` относительно среднего с использованием критерия Фишера.

`S_(bar y) = frac(sum_(i=1)^n (y_i — bar y)^2) (n-1) = frac(sum_(i=1)^n (y_i — (sum_(i=1)^n y_i) /n )^2) (n-1)` – выборочная оценка дисперсии `y` относительно среднего.

Для оценки эффективности уравнения регресии для описания зависимости расчитывают коэффициент Фишера
`F = S_(bar y) / S_(y, ост)^2`,
который сравнивают с табличным коэффициентом Фишера `F(p, n-1, n-2)`.

Если `F > F(P, n-1, n-2)`, считается статистически значимым с вероятностью `P` различие между описанием зависимости `y = f(x)` с помощью уравенения регресии и описанием с помощью среднего. Т.е. регрессия лучше описывает зависимость, чем разброс `y` относительно среднего.

Кликните по графику,
чтобы добавить значения в таблицу

laservirta.ru

Калькулятор расчета по методу наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов — математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных.

Калькулятор расчета элементов прямой по методу наименьших квадратов

Онлайн калькулятор нахождения углового коэффициента, точки пересечение и уравнения прямой линии по методу наименьших квадратов

Пример

Найти регрессию методом наименьших квадратов

Значение X Значение Y
5 6
2 3
1 6
7 9
Получаем,
Значение X Значение Y
5 6
2 3
1 6
7 9
Найдем,

Уравнение линии регрессии методом наименьших квадратов

Решение:

Шаг 1 :

Количество значений x.

N = 4

Шаг 2 :

Найдем XY, X2 для полученных значений. Смотрите таблицу ниже

Значение X Значение Y X*Y X*X
60 3.1 60 * 3.1 = 186 60 * 60 = 3600
61 3.6 61 * 3.6 = 219.6 61 * 61 = 3721
62 3.8 62 * 3.8 = 235.6 62 * 62 = 3844
63 4 63 * 4 = 252 63 * 63 = 3969
65 4.1 65 * 4.1 = 266.5 65 * 65 = 4225
Шаг 3 :

Найдем ΣX, ΣY, ΣXY;, ΣX2 для значений

  • ΣX = 311
  • ΣY = 18.6
  • ΣXY = 1159.7
  • ΣX2 = 19359
Шаг 4 :

Подставим значения в приведенную выше формулу.

Наклон(b) = (NΣXY — (ΣX)(ΣY)) / (NΣX2 — (ΣX)2)

  • = ((5)*(1159.7)-(311)*(18.6))/((5)*(19359)-(311)2)
  • = (5798.5 — 5784.6)/(96795 — 96721)
  • = 13.9/74
  • = 0.19
Шаг 5 :

Подставив значения в формулу

Пересечение (a) = (ΣY — b(ΣX)) / N

  • = (18.6 — 0.19(311))/5
  • = (18.6 — 59.09)/5
  • = -40.49/5
  • = -8.098
Шаг 6 :

Подставим значения в уравнение прямой

Уравнение прямой(y) = a + bx

= -8.098 + 0.19x

Предположим, если мы хотим, узнать приблизительное у значение переменной x = 64, необходимо подставить значение в формулу

Уравнение прямой(y) = a + bx

  • = -8.098 + 0.19(64)
  • = -8.098 + 12.16
  • = 4.06

Синонимы: Least-Squares method, МНК

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

calcsbox.com

Метод наименьших квадратов в Excel — использование функции ТЕНДЕНЦИЯ

Метод наименьших квадратов — это математическая процедура составления линейного уравнения, максимально соответствующего набору упорядоченных пар, путем нахождения значений для a и b, коэффициентов в уравнении прямой. Цель метода наименьших квадратов состоит в минимизации общей квадратичной ошибки между значениями y и ŷ. Если для каждой точки мы определяем ошибку ŷ, метод наименьших квадратов минимизирует:

где n = число упорядоченных пар вокруг линии. максимально соответствующей данным.

Это понятие проиллюстрировано на рисунке

Судя по рисунку, линия, максимально соответствующая данным, линия регрессии, минимизирует общую квадратичную ошибку четырех точек на графике. Я покажу вам, как определять это уравнение регрессии с помощью метода наименьших квадратов на следующем примере.

Представьте себе молодую пару, которые, с недавних пор, живут вместе и совместно делят столик для косметических принадлежностей в ванной. Молодой человек начал замечать, что половина его столика неумолимо сокращается, сдавая свои позиции муссам для волос и соевым комплексам. За последние несколько месяцев парень внимательно следил за тем, с какой скоростью увеличивается число предметов на ее части стола. В таблице ниже представлено число предметов девушки на столике в ванной, накопившихся за последние несколько месяцев.

Поскольку своей целью мы определили задачу узнать, увеличивается ли со временем число предметов, «Месяц» будет независимой переменной, а «Число предметов» — зависимой.

С помощью метода наименьших квадратов определяем уравнение, максимально соответствующее данным, путем вычисления значений a, отрезка на оси y, и b, наклона линии:

a = yср — bxср

где xср — среднее значение x, независимой переменной, yср — среднее значение y, независимой переменной.

В таблице ниже суммированы необходимые для этих уравнений вычисления.

Кривая эффекта для нашего примера с ванной будет определяться следующим уравнением:

ŷ=5.13+0.976x

Поскольку наше уравнение имеет положительный наклон — 0.976, парень имеет доказательство того, что число предметов на столике со временем увеличивается со средней скоростью 1 предмет в месяц. На графике представлена кривая эффекта с упорядоченными парами.

Ожидание в отношении числа предметов в течение следующего полугода (месяца 16) будет вычисляться так:

ŷ = 5.13 + 0.976x = 5.13 + 0.976(16) ~ 20.7 = 21 предмет

Так что, пора нашему герою предпринимать какие-нибудь действия.

Функция ТЕНДЕНЦИЯ в Excel

Как вы уже, наверное, догадались в Excel имеется функция для расчета значения по методу наименьших квадратов. Это функция называется ТЕНДЕНЦИЯ. Синтаксис у нее следующий:

ТЕНДЕНЦИЯ (известные значения Y; известные значения X; новые значения X; конст)

где:

известные значения Y – массив зависимых переменных, в нашем случае, количество предметов на столике

известные значения X – массив независимых переменных, в нашем случае это месяц

новые значения X – новые значения X (месяца) для которого функция ТЕНДЕНЦИЯ возвращает ожидаемое значение зависимых переменных (количество предметов)

конст — необязательный. Логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа b была равна 0.

Например, на рисунке показана функция ТЕНДЕНЦИЯ, используемая для определения ожидаемого количества предметов на столике в ванной для 16-го месяца.

Скачать файл с примером расчета значений по методу наименьших квадратов

Вам также могут быть интересны следующие статьи

exceltip.ru