Матрицы равные – Лекция №1. Матрицы. Основные понятия. Понятие матрицы.

Содержание

Равенство матриц

Две матрицы А = (aij) и В = (bij) называются равными, если равны элементы, стоящие на одинаковых местах, т.е. если aij = bij при всех i и j. При этом число строк и столбцов матриц А и В должно быть одинаковым. Так, матрицы

A=

a11

a12

и

B=

b11

b12

a21

a22

b21

b22

равны, если

a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21, a22 = b22.

Равные матрицы имеют одну и ту же структуру: обе они либо прямоугольные (m x n

), либо квадратные одного и того же порядка n.

Линейные операции над матрицами

Матрицы можно складывать, умножать на число и друг на друга. Рассмотрим эти операции.

Суммой двух матриц А = (aij) и В = (bij) называется матрица С = (cij), элементы которой определяются равенством:

aij + bij = cij (i = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n).

Аналогично определяется разность двух матриц. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковую структуру: или прямоугольные типа (m x n) или квадратные порядка

n.

Пример 1.

a11

a12

+

b11

b12

=

a11+b11

a12+b12

a21

a22

b21

b22

a21+b21

a22+b22

Так как сложение матриц сводится к сложению их элементов, являющихся числами, то на него распространяются переместительный

А + В = В + А (6)

и сочетательный

(А + В) + С = А + (В + С) (7)

законы сложения.

Произведением матрицы А = (aij) на число k называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы

А на число k:

kА = k(aij) = (kaij) (i = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n)

Пример 2.

k

a11

a12

=

ka11

ka12

a21

a

22

ka21

ka22

Произведение матриц

Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка

A=

a11

a12

и

В=

b11

b12

a21

a22

b21

b22

Произведение обозначается так: A . B = C (или AB = C).

Чтобы найти элемент с11первой строки и первого столбца матрицы С, нужно каждый элемент первой строки матрицы А (a11 и а12) умножить на соответствующий элемент первого столбца (b11 и b21) и полученные произведения сложить:

c11 = а11b11 + a12b21;

чтобы найти элемент с12 первой строки и второго столбца матрицы С, нужно умножить все элементы первой строки (а11 и а12) на соответствующие элементы второго столбца (b12 и b22) и полученные произведения сложить: с12 = а11b12 + a12b22.

Аналогично находятся элементы с21 и с22.

С = AB =

a11b11 + a12b21

a11b12 +a12b22

a21b11 + a22b21

a21b12 + a22b22

Сформулируем правило умножения двух матриц.

Произведением матрицы А = (аij), имеющей m строк и k

столбцов, на матрицу В = (bij), имеющей k строк и n столбцов, называется матрица С = (сij), имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент сij равен сумме произведений элементов i-ой строки (ai1, ai2, … ain) матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца (b1j, b2j, … bnj) матрицы В.

Согласно этому правилу, число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы

В. В противном случае произведение не определено.

Пример 3.

a11

a12

a13

b11

b12

b13

a21

a22

a23 .

b21

b22

b23 =

b31

b32

b33

a11b11 + a12b21 + a13b31

a11b12 + a12b22 + a13b32

a11b13 + a12b23 + a13b23

a21b11 + a22b21 + a23b31

a21b12 + a22b22 + a23b32

a21b13 + a22b23 + a23b33

Пример 4. (Кристина Владимирова, ТШ-062).

Найти произведение матриц

А=

1

-3

2

и В=

2

5

6

3

-4

1

1

2

5

2

-5

3

1

3

2

Найдём каждый элемент матрицы-произведения:

c11 = a11b11 + a12b12 + a13b13 = 1 .2 + (-3) .1 + 2 .1 = 1

c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32 = 1 .5 + (-3) .2 +2 .3 = 5

c13 = a11b13 + a12b23 + a13b33 = 1 .6 + (-3) .5 + 2 .2 = -5

c21 = a21b11 + a22b21 + a23b31 = 3 .2 + (-4) .1 + 1 .1 = 3

c22 = a21b12 + a22b22 + a23b32 = 3 .5 + (-4) .2 + 1 .3 = 10

c23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 = 3 .6 + (-4) .5 + 1 .2 = 0

c31 = a31b11 + a32b21 + a33b31 = 2 .2 + (-5) .1 + 3 .1 = 2

c32 = a31b12 + a32b22 + a33b32 = 2 .5 + (-5) .2 + 3 .3 =9

c33 = a31b13 + a32b23 + a33b33 = 2 .6 + (-5) .5 + 3 .2 = -7

Следовательно,

АВ=

1

5

-5

3

10

0

2

9

-7

Далее Кристина находит произведение ВА:

ВА=

2 . 1 + 5 . 3 + 6 . 2

2(-3) + 5(-4) + 6(-5)

2 . 2+ 5 . 1 + 6 . 3

1 . 1 + 2 . 3 + 5 . 2

1(-3) + 2(-4) + 5(-5)

1 . 2+ 2 . 1 + 5 . 3

=

1 . 1 + 3 . 3 + 2 . 2

1(-3) + 3(-4) + 2(-5)

1 . 2+ 3 . 1 + 2 . 3

=

29

-56

27

17

-36

19

14

-25

11

Видим, что АВ ВА. Этот пример показывает, что произведение двух матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному закону.

Путём непосредственной проверки можно убедиться в справедливости следующих соотношений для матриц:

(А + В) . С = А . С + В . С (8)

С . (А + В) = С . А + С . В (9)

А . . С) = ( А . В) . С (10)

Завершая анализ операций над матрицами, рассмотрим пример вычисления матричного многочлена.

Пример 5. (Маша Куприянова, ТШ-061).

Найти значение матричного многочлена

3(А2 – В2) – 2АВ

4

2

1

2

0

2

при

А=

3

-2

0

и

В=

5

-7

-2

0

-1

2

1

0

-1

Имеем

4

2

1

4

2

1

22

3

6

А2=

3

-2

0

3

-2

0

=

6

10

3

0

-1

2

0

-1

2

-3

0

4

2

0

2

2

0

2

6

0

2

В2=

5

-7

-2 .

5

-7

-2

=

-27

49

26

1

0

-1

1

0

-1

1

0

3

16

3

4

48

9

12

А2 – В2 =

33

-39

-23

, 3( А2 – В2 ) =

99

-117

-69

-4

0

1

-12

0

3

4

2

1

2

0

2

19

-14

3

АВ =

3

-2

0 .

5

-7

-2

=

-4

14

10

,

0

-1

2

1

0

-1

-3

7

0

38

-28

6

2АВ =

-8

28

20

-6

14

0

10

37

6

3(A2 – B2) – 2AB =

107

-145

-89

-6

-14

3

studfiles.net

Матрицы: определение и основные понятия.

Навигация по странице:

Определение матрицы

Определение.

Матрицей размера n×m называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из n строк и m столбцов, заполненная числами.

Количество строк и столбцов задают размеры матрицы.


Обозначение

Матрица — это таблица данных, которая берется в круглые скобки:

A =  4  1  -7 
 -1  0  2 

Матрица обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавитв. Матрица содержащая n строк и m столбцов, называется матрицей размера n×m. При необходимости размер матрицы записывается следующим образом: An×m.


Элементы матрицы

Элементы матрицы A обозначаются aij, где i — номер строки, в которой находится элемент, j — номер столбца.

Пример.

Элементы матрицы A4×4:
A =  4  1  -7  2 
 -1  0  2  44 
 4  6  7  9 
 11  3  1  5 

a11 = 4

Определение.

Строка матрицы называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

Определение.

Если хотя бы один из элементов строки матрицы не равен нулю, то строка называется ненулевой.

Пример.

Демонстрация нулевых и ненулевых строк матрицы:
 4  1  -7 

< не нулевая строка

 0  0  0 

< нулевая строка

 0  1  0 

< не нулевая строка

Определение.

Столбец матрицы называется нулевым, если все его элементы равны нулю.

Определение.

Если хотя бы один из элементов столбца матрицы не равен нулю, то столбец называется ненулевым.

Пример.

Демонстрация нулевых и ненулевых столбцов матрицы:
 0  1  -7 
 0  0  2 

^

^

^

не не нулевой столбец


Диагонали матрицы

Определение.

Главной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний угол.

Определение.

Побочной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний угол.

Пример.

Демонстрация главной и побочной диагонали матрицы:
 0  1  -7  — главнаяпобочная диагональ
 0  0  2 

 0  1  -7  — главнаяпобочная диагональ
 0  0  2 
 8  2  9 

Определение.

Следом матрицы называется сумма диагональных элементов матрицы.

Обозначение.

След матрицы обозначается trA = a11 + a22 + … + ann.

ru.onlinemschool.com

Равенство матриц

Две матрицы А = (aij) и В = (bij) называются равными, если равны элементы, стоящие на одинаковых местах, т.е. если aij = bij при всех i и j. При этом число строк и столбцов матриц А и В должно быть одинаковым. Так, матрицы

A=

a11

a12

и

B=

b11

b12

a21

a22

b21

b22

равны, если

a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21, a22 = b22.

Равные матрицы имеют одну и ту же структуру: обе они либо прямоугольные (m x n), либо квадратные одного и того же порядка n.

Линейные операции над матрицами

Матрицы можно складывать, умножать на число и друг на друга. Рассмотрим эти операции.

Суммой двух матриц А = (aij) и В = (bij) называется матрица С = (cij), элементы которой определяются равенством:

aij + bij = cij (i = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n).

Аналогично определяется разность двух матриц. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковую структуру: или прямоугольные типа (m x n) или квадратные порядка n.

Пример 1.

a11

a12

+

b11

b12

=

a11+b11

a12+b12

a21

a22

b21

b22

a21+b21

a22+b22

Так как сложение матриц сводится к сложению их элементов, являющихся числами, то на него распространяются переместительный

А + В = В + А (6)

и сочетательный

(А + В) + С = А + (В + С) (7)

законы сложения.

Произведением матрицы А = (aij) на число k называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число k:

kА = k(aij) = (kaij) (i = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n)

Пример 2.

k

a11

a12

=

ka11

ka12

a21

a22

ka21

ka22

Произведение матриц

Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка

A=

a11

a12

и

В=

b11

b12

a21

a22

b21

b22

Произведение обозначается так: A . B = C (или AB = C).

Чтобы найти элемент с11первой строки и первого столбца матрицы С, нужно каждый элемент первой строки матрицы А (a11 и а12) умножить на соответствующий элемент первого столбца (b11 и b21) и полученные произведения сложить: c11 = а11b11 + a12b21;

чтобы найти элемент с12 первой строки и второго столбца матрицы С, нужно умножить все элементы первой строки (а11 и а12) на соответствующие элементы второго столбца (b12 и b22) и полученные произведения сложить: с12 = а11b12 + a12b22.

Аналогично находятся элементы с21 и с22.

С = AB =

a11b11 + a12b21

a11b12 +a12b22

a21b11 + a22b21

a21b12 + a22b22

Сформулируем правило умножения двух матриц.

Произведением матрицы А = (аij), имеющей m строк и k столбцов, на матрицу В = (bij), имеющей k строк и n столбцов, называется матрица С = (сij), имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент сij равен сумме произведений элементов i-ой строки (ai1, ai2, … ain) матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца (b1j, b2j, … bnj) матрицы В.

Согласно этому правилу, число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В противном случае произведение не определено.

Пример 3.

a11

a12

a13

b11

b12

b13

a21

a22

a23 .

b21

b22

b23 =

b31

b32

b33

a11b11 + a12b21 + a13b31

a11b12 + a12b22 + a13b32

a11b13 + a12b23 + a13b23

a21b11 + a22b21 + a23b31

a21b12 + a22b22 + a23b32

a21b13 + a22b23 + a23b33

Пример 4. (Кристина Владимирова, ТШ-062).

Найти произведение матриц

А=

1

-3

2

и В=

2

5

6

3

-4

1

1

2

5

2

-5

3

1

3

2

Найдём каждый элемент матрицы-произведения:

c11 = a11b11 + a12b12 + a13b13 = 1 .2 + (-3) .1 + 2 .1 = 1

c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32 = 1 .5 + (-3) .2 +2 .3 = 5

c13 = a11b13 + a12b23 + a13b33 = 1 .6 + (-3) .5 + 2 .2 = -5

c21 = a21b11 + a22b21 + a23b31 = 3 .2 + (-4) .1 + 1 .1 = 3

c22 = a21b12 + a22b22 + a23b32 = 3 .5 + (-4) .2 + 1 .3 = 10

c23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 = 3 .6 + (-4) .5 + 1 .2 = 0

c31 = a31b11 + a32b21 + a33b31 = 2 .2 + (-5) .1 + 3 .1 = 2

c32 = a31b12 + a32b22 + a33b32 = 2 .5 + (-5) .2 + 3 .3 =9

c33 = a31b13 + a32b23 + a33b33 = 2 .6 + (-5) .5 + 3 .2 = -7

Следовательно,

АВ=

1

5

-5

3

10

0

2

9

-7

Далее Кристина находит произведение ВА:

ВА=

2 . 1 + 5 . 3 + 6 . 2

2(-3) + 5(-4) + 6(-5)

2 . 2+ 5 . 1 + 6 . 3

1 . 1 + 2 . 3 + 5 . 2

1(-3) + 2(-4) + 5(-5)

1 . 2+ 2 . 1 + 5 . 3

=

1 . 1 + 3 . 3 + 2 . 2

1(-3) + 3(-4) + 2(-5)

1 . 2+ 3 . 1 + 2 . 3

=

29

-56

27

17

-36

19

14

-25

11

Видим, что АВ ВА. Этот пример показывает, что произведение двух матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному закону.

Путём непосредственной проверки можно убедиться в справедливости следующих соотношений для матриц:

(А + В) . С = А . С + В . С (8)

С . (А + В) = С . А + С . В (9)

А . . С) = ( А . В) . С (10)

Завершая анализ операций над матрицами, рассмотрим пример вычисления матричного многочлена.

Пример 5. (Маша Куприянова, ТШ-061).

Найти значение матричного многочлена

3(А2 – В2) – 2АВ

4

2

1

2

0

2

при

А=

3

-2

0

и

В=

5

-7

-2

0

-1

2

1

0

-1

Имеем

4

2

1

4

2

1

22

3

6

А2=

3

-2

0

3

-2

0

=

6

10

3

0

-1

2

0

-1

2

-3

0

4

2

0

2

2

0

2

6

0

2

В2=

5

-7

-2 .

5

-7

-2

=

-27

49

26

1

0

-1

1

0

-1

1

0

3

16

3

4

48

9

12

А2 – В2 =

33

-39

-23

, 3( А2 – В2 ) =

99

-117

-69

-4

0

1

-12

0

3

4

2

1

2

0

2

19

-14

3

АВ =

3

-2

0 .

5

-7

-2

=

-4

14

10

,

0

-1

2

1

0

-1

-3

7

0

38

-28

6

2АВ =

-8

28

20

-6

14

0

10

37

6

3(A2 – B2) – 2AB =

107

-145

-89

-6

-14

3

studfiles.net

Свойства матриц, с примерами

Элементы матрицы А обозначают буквами с двумя индексами, первый из которых указывает номер строки, в которой стоит элемент, а второй – номер столбца.

Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковый размер и их соответствующие элементы равны, т.е.

   

Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых, т.е. если и , то

   

где

Произведением матрицы на число называется матрица того же размера , каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента матрицы на число , т.е.

   

где

Свойства линейных операций над матрицами

  1. – коммутативность (переместительный закон) сложения;
  2. – ассоциативность (сочетательный закон) сложения;
  3. для любой матрицы А существует единственная нулевая матрица такая, что ;
  4. для любой матрицы А существует единственная матрица , называемая противоположной, такая что , где – нулевая матрица;
  5. ;
  6. ;
  7. ;
  8. .

Произведением матрицы А размера на матрицу В размера называется матрица размера , элемент которой, стоящий в -й строке и в -м столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов -й строки матрицы A и -го столбца матрицы В:

   

Замечание. Для матриц А и В произведение определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Свойства операции умножения матриц

– матрицы,

  1. – ассоциативность умножения;
  2. ;
  3. ;
  4. ;
  5. Если матрица имеет размер , то равенство справедливо, только если – единичные матрицы -го и -го порядка.

Матрица размера называется транспонированной к матрице размера , если в ней на месте стоит элемент матрицы , или, иначе, матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером. Таким образом, если

   

то

   

Свойства операции транспонирования матриц

– матрицы, ):

  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. .
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Тема 2: Матрицы, определители

 

1.Вопрос. Определитель третьего порядка равен… 32; 2)68; – 68.  

 

2.Вопрос. Если — корень уравнения , то равно… 8; 2)– 3; 3.  
  3.Вопрос. Определитель равен… 1)0; – 35; 25.  

 

 

24. Вопрос. Определитель третьего порядка равен

1)6

 

25. Вопрос. Определитель третьего порядка равен

2)6

 

26. Вопрос. Определитель второго порядка равен

1)–5

 

27. Вопрос. Определитель второго порядка равен

2)–10

 

28. Вопрос. Определитель второго порядка равен

1)–2

 

29. Вопрос. Произведением матриц является

1)

 

30. Вопрос. Произведением матриц является

2)

 

31. Вопрос. Сумма матриц

1)

 

32. Вопрос. Сумма матриц

2)

 

33. Вопрос. Разность матриц

2)

 

34. Вопрос. Разность матриц

3)

 

35. Вопрос. Произведение 2×

3)

 

36. Вопрос. Обратной матрицей к матрице является

1)

 

37. Вопрос. Обратной матрицей к матрице является

1)

 

38. Вопрос. Обратной матрицей к матрице является

3)

 

39. Вопрос. Обратной матрицей к матрице является

НЕТ ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА,ОТВЕТ:

 

40. Вопрос. Транспонированной матрицей к матрице является

1)

 

41. Вопрос. Транспонированной матрицей к матрице является

2)

 

42. Вопрос. Единичной матрицей является

3)

 

43. Вопрос. Нулевой матрицей является

1)

 

44. Вопрос. Какие виды матриц существуют

Квадратная

Прямоугольная

Треугольная

замкнутая

 

45.Вопрос. Какие действия над матрицами допустимы

Вычитание

деление

Сложение

Умножение

 

46.Вопрос. Какие матрицы могут перемножаться

Квадратные

Прямоугольные произвольных размеров

Транспонированные

 

47.Вопрос. Дана матрица, состоящая из N строк и N+2 столбцов. Какой ранг может иметь матрица?

N-2

N

N+2

 

48.Вопрос. Значения элементов матрицы, полученной умножением двух квадратных матриц одной размерности, равны

сумме элементов строки одной матрицы и столбца другой матрица

Сумме произведений элементов строки одной матрицы на элементы столбца другой матрицы

произведению суммы элементов строки одной матрицы на сумму элементов столбца другой матрицы

 

Тема 3:Системы линейных уравнений

 

1.Вопрос. Если решение системы уравнений то равно… 4; 1)6; 0.  

 

 

7. Вопрос. Решением системы будет

x=1,y=–1, z=1

x=2,y=1, z=1

3)x=1,y=1, z=1

 

8. Вопрос. Решением системы будет

x=1,y=–1, z=1

2)x=1,y=1, z=1

x=2,y=1, z=1

 

9. Вопрос. Решением системы будет

1)x=1,y=0, z=0

x=1,y=–1, z=1

x=2,y=1, z=1

 

10. Вопрос. При решении системы методом Крамера

1)

 

11. Вопрос. При решении системы методом Крамера

2)

 

12. Вопрос. При решении системы второго порядка методом Крамера 3, 6 , тогда

2)1/2

 

13. Вопрос. При решении системы второго порядка методом Крамера , 1 , тогда

–1/4

3)-4

 

14. Вопрос. Сколько решений имеет система

Бесконечно много

одно

не имеет решений

 

15. Вопрос. Сколько решений имеет система

бесконечно много

Одно

не имеет решений

 

16. Вопрос. Сколько решений имеет система

бесконечно много

одно

Не имеет решений

 

17. Вопрос. Если решением системы будет , то

3)3

 

18. Вопрос. Если решением системы будет , то

2)3

 

19. Вопрос. Если решением системы будет , то

НЕТ ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА,ОТВЕТ:4

20. Вопрос. Если решением системы будет , то

3)5

 

21. Вопрос. Если решением системы будет , то

1)1

 

22. Вопрос. Если решением системы будет , то

2)2

 

23. Вопрос. Если решением системы будет , то

2)4

 

24. Вопрос. Если решением системы будет , то

1)1

 

25. Вопрос. Если решением системы будет , то

1)1

 

26. Вопрос. Если решением системы будет , то

3)2

 

27.Вопрос. Дана система уравнении 2х-у=5

-4х+2у=3, сколько решений имеет система

единственное

Не имеет решения

имеет бесконечное число решений

 

28.Вопрос. Система состоит из n уравнений с m неизвестными. При каком условии система может иметь единственное решение ?

n>m

n=m

n<m

 

29.Вопрос. Назвать признак существования единственного решения неоднородной системы n уравнений с n неизвестными

определитель системы равен нулю


Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

Виды матриц.

Навигация по странице:

Определение.

Квадратной матрицей называется матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов (размера n×n), число n называется порядком матрицы.

Пример.

 4  1  -7  — квадратная матрица размера 3×3
 -1  0  2 
 4  6  7 

Определение.

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю, т.е. aij = 0, ∀i, j.

Пример.

 0  0  0  — нулевая матрица
 0  0  0 

Определение.

Вектор-строкой называется матрица, состоящая из одной строки.

Пример.

 1  4  -5  — вектор-строка

Определение.

Вектор-столбцом называется матрица, состоящая из одного столбца.

Пример.

 8  — вектор-столбец
 -7 
 3 

Определение.

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Пример диагональной матрицы.

 4  0  0  — диагональные элементы произвольныене диагональные элементы равны нулю
 0  5  0 
 0  0  0 

Определение.

Единичной матрицей называется диагональная матрица, диагональные элементы которой равны 1.

Обозначение.

Единичную матрицу обычно обозначают символом E.

Пример единичной матрицы.

E =  1  0  0  — диагональные элементы равны 1не диагональные элементы равны нулю
 0  1  0 
 0  0  1 

Определение.

Верхней треугольной матрицей называется матрица, все элементы которой ниже главной диагонали равны нулю.

Пример верхней треугольной матрицы.

 7  -6  0 
 0  1  6 
 0  0  0 

Определение.

Нижней треугольной матрицей называется матрица, все элементы которой выше главной диагонали равны нулю.

Пример нижней треугольной матрицы.

 7  0  0 
 6  1  0 
 -2  0  5 

N.B. Диагональная матрица — матрица, которая одновременно является верхней треугольной и нижней треугольной.


Определение.

Ступенчатой матрицей называется матрица, удовлетворяющая следующим условиям:
  • если матрица содержит нулевую строку, то все строки, расположенные под нею, также нулевые;
  • если первый ненулевой элемент некоторой строки расположен в столбце с номером i, и следующая строка не нулевая, то первый ненулевой элемент следующей строки должен находиться в столбце с номером большим, чем i.

Примеры ступенчатых матриц.

 7  0  8 
 0  0  4 
 7  0  8  8  8 
 0  0  1  3  5 
 0  0  0  -3  5 
 0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0 

ru.onlinemschool.com

Матрицы. Виды матриц

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.

Матрица порядка m × n записывается в форме:

или (i=1,2,…m; j=1,2,…n).

Числа aij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j— номер столбца.

Матрица строка

Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:

Матрица столбец

Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например

Нулевая матрица

Если все элементы матрицы равны нулю,то матрица называется нулевой матрицей . Например

Квадратная матрица

Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:

Главная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a11, a22 ,…, ann образуют главную диагональ матрицы. Например:

В случае m×n -матриц элементы aii ( i=1,2,…,min(m,n)) также образуют главную диагональ. Например:

Элементы расположенные на главной диагонали называются главными диагональными элементами или просто диагональными элементами .

Побочная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a1n, a2n-1 ,…, an1 образуют побочную диагональ матрицы. Например:

Диагональная матрица

Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:

Единичная матрица

Квадратную матрицу n-го порядка, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается через E или E n, где n — порядок матрицы. Единичная матрица порядка 3 имеет следующий вид:

След матрицы

Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:

Верхняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется верхней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i>j . Например:

Нижняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i<j. Например:

Cтроки матрицы A образуют пространство строк матрицы и обозначаются через R(AT).

Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).

Ядро или нуль пространство матрицы

Множесто всех решений уравнения Ax=0, где A- mxn-матрица, x— вектор длины n — образует нуль пространство или ядро матрицы A и обозначается через Ker(A) или N(A).

 Противоположная матрица

Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.

 Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица

Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:

AT=−A.

В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.

Пример кососимметрической матрицы:

 Разность матриц

Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством

C=A+(-1)B.

Для обозначения разности двух матриц используется запись:

C=A-B.

 Степень матрицы

Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:

A0=E,

где E-единичная матрица.

Из сочетательного свойства умножения следует:

где p,q— произвольные целые неотрицательные числа.

  Симметричная (Симметрическая) матрица

Матрица, удовлетворяющая условию A=AT называется симметричной матрицей.

Для симметричных матриц имеет место равенство:

aij=aji ;   i=1,2,…n,   j=1,2,…n


matworld.ru