Матрицы и определители математика – Матрицы и определители | Высшая математика | Студенту | Статьи и обсуждение вопросов образования в Казахстане | Образовательный сайт Казахстана

Содержание

Лекция 4. Матрицы и определители

Матрицы и определители. Лекция 4.

Матрицы.

Основные понятия.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

Пример 13. , ,,.

В общем случае матрица может содержать строк истолбцов

Числа называютсяэлементами матрицы, где — указывает номер строки,— указывает номер столбца.

Элементы образуютглавную диагональ матрицы. Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Квадратная матрица размеров называетсяматрицей – го порядка.

Матрицы называются равными, если у них равны элементы, стоящие на соответствующих местах, т. е. тогда и только тогда, когда, для всех,.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали равны 0, называется диагональной.

Пример 14. .

Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой.

Пример 15. .

Диагональная матрица, у которой каждый элемент диагонали равен 1, называется единичной.

Пример 16. , .

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от диагонали, равны нулю.

Пример 17

. ,.

Матрица, содержащая одну строку (столбец), называется вектором (вектор-строкой, вектор-столбцом).

Пример 18. ,.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной .

Пример 19. ;

Очевидно, что .

Действия над матрицами.

Матрицы одинаковых размерностей можно складывать и вычитать. Если

, , то, причем

, для всех .

Пример 20

. ,

Умножение матрицы на число.

Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый ее элемент умножить на это число.

Пример 21. Пусть , тогда. Матрицаназываетсяпротивоположной к матрице.

Умножение матриц.

Умножение матриц можно только в том случае, когда число столбцов матрицыравно числу строк матрицыВ этом случае справедливо соотношение, причем элементы матрицыравны,,. Другими словами строки матрицыумножаются на столбцы матрицы

Пример 22. Пусть ,. Тогда

Видим, что в общем случае . Если же выполняется условие, то матрицыиназываютсяперестановочными друг с другом.

Матрица называется ступенчатой, если для её элементов выполняются условия:

под первым не нулевым элементом каждой строки находится 0;
первый ненулевой элемент любой строки находится правее первого не нулевого элемента любой строки, расположенной выше.

Пример 23. Следующая матрица является ступенчатой.

Элементарные преобразования матриц.

Элементарными преобразованиями матриц являются:

Перестановка местами двух любых её строк (столбцов).
Умножение элементов какой-нибудь строки (столбца) на некоторое не нулевое число.
Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Две матрицы называютсяэквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований

Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.

Определители.

Определителем называется квадратная числовая таблица, вычисляемая по определенным правилам.

Пример 24. Если , то. Так.

Если , то.

Так .

Если , то

. Так

При вычислении определителей 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников. С плюсом берутся произведения элементов стоящих на главной диагонали и элементы, стоящие в вершинах следующих треугольников.

С минусом берутся произведения элементов, стоящих на второй диагонали и в вершинах следующих треугольников.

Второй метод заключается в том, что рядом с определителем справа записываются первый и второй столбцы и тогда с плюсом берутся произведения элементов, стоящих на главной диагонали и двух ей параллельных, с минусом – произведения элементов, стоящих на второй диагонали и двух ей параллельных.

Вычисление определителей более высоких порядков осуществляется путем использования их свойств.

Свойства определителей.

Пусть дана квадратная матрица

Из элементов этой матрицы можно составить определитель, который называется детерминантом матрицы и обозначается

Минором некоторого элемента определителя называют определитель, который получается вычеркиванием из негостроки истолбца. Например

, .

Алгебраическим дополнением элемента определителя называют число. Например

, .

Свойства определителей.

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот, т. е. .

2. Определитель меняет знак при перестановке любых двух его строк (столбцов).

3. Определитель, имеющий две равные строки (столбца), равен 0.

4. Общий множитель строки (столбца) можно выносить за знак определителя, например

5. Если элементы какой-нибудь строки (столбца) представимы в виде суммы двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, например

6. Определитель не изменится, если к какой-нибудь строке (столбцу) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое ненулевое число.

(I=I+II).

7. Определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов.

8. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Например

Для вычисления определителя мы использовали разложение по второй строке, так как она содержит большее число нулевых элементов.

9. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение другой строки (столбца) равна 0.

studfiles.net

Матрицы и определители | Математика, которая мне нравится

1. След матрицы

Определение.

Следом матрицы называется сумма элементов, стоящих по главной диагонали.

Обозначение: .

Свойства следа:

1. .

2. .

3. .

Задача. Доказать, что матричное уравнение , где — квадратная матрица , — единичная матрица, решений не имеет.

Решение. След матрицы, стоящей в левой части уравнения, равен , а в правой части — .

2. Вычисление некоторых определителей

2.1. Циклический определитель (циркулянт)

В строках циклически передвигаются .

Прибавим к последней строке все предшествующие. Получим

Теперь получим нули в последней строке, вычитая из каждого столбца предыдущий:

Вычтем первую строчку из всех последующих, и полученный определитель разложим по последнему столбцу:

2.2. Определитель Вандермонда

Вычтем последовательно из -го, -го, , второго столбца предыдущий, домноженный на :

разложим по первой строке, и вынесем общие множители элементов строк получившегося определителя -го порядка:

Определитель имеет тот же вид, что и исходный, но на единицу меньший порядок. Его можно преобразовать аналогично:

Продолжая процесс далее, приходим к окончательному ответу

2.3. Циклический определитель (циркулянт) еще раз

А теперь рассмотрим циркулянт общего вида

Рассмотрим полином . Домножим циркулянт на определитель Вандермонда, составленный по ( — корень степени из ) и воспользуемся равенством . Получим

откуда

поскольку определитель Вандермонда здесь отличен от нуля.

2.4. Ганкелев определитель

Ганкелевой матрицей называется симметричная матрица следущего вида:

Элементы — образующие ганкелевой матрицы.

Теорема. Если при , то

Доказательство. Матрицу можно представить в виде произведения:

На основании теоремы Бинe — Коши, равен тогда произведению двух определителей Вандермонда:

2.5. Определитель Коши

Вычтем из второго, третьего и т.д., -го столбца первый:

и вынесем общие множители из числителей и знаменателей строк и столбцов:

Вычтем первую строку полученного определителя из второй, третьей и т.д., -й:

разложим по первому столбцу и вынесем общие множители из числителей и знаменателей строк и столбцов:

В результате получили определитель той же структуры, что и исходный, но на единицу меньшего порядка. Продолжая процесс по аналогии, получим окончательно:

2.6. Определитель матрицы Гильберта

Если при , то определитель матрицы Гильберта

равен

Он получается из определителя Коши, если положить , .

2.7. Ленточный определитель

Определитель Якоби:

после разложения по общей формуле разложения определителя будет представлять из себя полином по , линейный по каждой переменной. Если разложить по последней строке, то получим:

Теорема. Значение равно сумме главного члена и всевозможных произведений, получающихся из него заменой одной или нескольких пар соседних множителей на .

Частный случай определителя Якоби — континуант:

Его величина совпадает с континуантой.

Исследуем еще один частный случай определителя Якоби (при
одинаковых элементах на диагоналях):

В этом случае уравнение получим

Таким образом, для нахождения определителя нужно решить линейное рекуррентное соотношение второго порядка. Начальные данные находим, вычислив определители и :

Упражнение. Вычислить определитель

Задачи.

1. Пусть матрица , , и — минор элемента . Пусть — матрица, составленная из элементов , и . Докажите, что .

2. Пусть

Для каких уравнение имеет кратные корни по ?

3. Пусть — матрица с элементами . Найдите .

4. Пусть — единичная матрица ,

Докажите, что наибольший общий делитель элементов матрицы стремится к бесконечности при .

5. Пусть — матрица, диагональные элементы ее все равны и , если четно и , если нечетно. Найдите

6. Вычислите

7. Найдите определитель -го порядка

8. Пусть и — вещественные не равные матрицы , такие, что и . можно ли выбрать матрицы и так, чтобы матрица была обратима?

9. Пусть — конечная группа, состоящая из вещественных матриц с операцией матричного умножения. Сумма следов всех элементов равна нулю. Докажите, что сумма всех элементов — нулевая матрица.

10. Пусть и — матрицы с целыми элементами. Пусть матрицы и имеют обратные с целыми элементами. Докажите, что и матрица тоже имеет обратную с целыми элементами.

11. Доказать, что определитель вещественной кососимметрической матрицы не может быть отрицательным числом.

12. Пусть

Существует ли матрица такая, что ?

13. Даны две матрицы и размерами и соответственно, причем известно, что

Найдите .

14. Пусть — матрица: при и . Докажите, что число ненулевых элементов в разложении равно .

Больше о матрицах и определителях (и не только): http://pmpu.ru/vf4/

hijos.ru

Матрицы и определители

Дисциплина: Высшая математика

Тема: Матрицы и определители

Понятие матрицы

При изучении вопросов, связанных с действием над векторами, а также при изучении систем линейных уравнений приходится иметь дело с таблицами из чисел, которые называются матрицами.

Определение . Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая строк и столбцов .

Числа

и называются порядками матрицы. Если , то матрица называется квадратной. Для обозначения матрицы пользуются либо вертикальными двойными черточками, либо круглыми скобками: или .

Для краткого обозначения матрицы может быть использована и одна буква, например,

. Кроме того, вместо всей таблицы может быть написано: , где ; .

Числа

называются элементами матрицы, – номер строки, – номер столбца.

Для квадратной матрицы вводится понятие главной и побочной диагонали: главная диагональ идет из верхнего левого угла в нижний правый; побочная – из верхнего правого в нижний левый.

Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы

Дана прямоугольная матрица:

Выделим в этой матрице k произвольных строк и k произвольных столбцов (k Ј m, k Ј n ).

Определение. Определитель k -го порядка, составленный из элементов матрицы A , расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k -го порядка матрицы A . Матрица A имеет C ^k_m *C ^k_n миноров k -го порядка.

Определение. Рассмотрим всевозможные миноры матрицы A , отличные от нуля. Рангом матрицы A называется наибольший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг этой матрицы принимают равным нулю.

Определение. Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором матрицы.

Ранг матрицы A будем обозначать через r (A) . Если r (A) = r( B) , то матрицы A и B называются эквивалентными .

Полезно иметь ввиду, что ранг матрицы не изменяется от элементарных преобразований. Под элементарными преобразованиями понимаются:

1) замена строк столбцами, а столбцов соответствующими строками;

2) перестановка строк матрицы;

3) вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю;

4) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;

5) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки.

Действия над матрицами

Определение . Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают .

Определение. Суммой двух матриц () и () одинаковых порядков называется матрица () того же порядка, элементы которой равны

На письме это действие может быть записано так:

. Операция сложения обладает, очевидно, обычными свойствами: перестановочным ; сочетательным .

Определение . Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой равны

Умножение матрицы на число может быть записано:

или .

Эта операция обладает следующими свойствами: сочетательным относительно числового множителя

; распределительным относительно суммы матриц ; распределительным относительно суммы чисел .

После первых двух действий необходимо отметить, что вычитание матриц производится аналогично сложению, а деление матрицы на число может быть определено как умножение на обратное число.

Определение . Произведением матрицы (), имеющей порядок , на матрицу (), имеющую порядок , называется матрица (), имеющая порядок , элементы которой равны , где

Записывается это действие так

. Из сказанного выше следует, что для нахождения элемента , в произведении необходимо попарно перемножить все соответствующие элементы -ой строки матрицы на элементы -го столбца матрицы , а затем все это сложить. Из определения также следует, что для умножения двух матриц необходимо, чтобы число столбцов матрицы было равно числу строк матрицы . Отсюда следует, что одновременно произведение и существует только лишь в том случае, когда число столбцов равно числу строк , а число столбцов равно числу строк . В этом случае и будут квадратными матрицами, но разных порядков. Чтобы оба произведения были одинакового порядка, необходимо, чтобы и были квадратными матрицами одинакового порядка.

Произведение матриц

имеет свойства: сочетательное ; распределительное . Перестановочным свойством в общем случае произведение матриц не обладает. Оно выполняется лишь в некоторых случаях.

mirznanii.com

Матрицы, определители, системы линейных уравнений (Лекция №12)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу размером m×n записывают так

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a_ij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a₂₃ – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a_ij = b_ij. Так если и , то A=B, если a₁₁ = b₁₁, a₁₂ = b₁₂, a₂₁ = b₂₁ и a₂₂ = b₂₂.

Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают A^T.

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например,

или

Примеры. Найти сумму матриц:

.
— нельзя, т.к. размеры матриц различны.
.

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

Примеры.

.
Найти 2A-B, если , .
.
Найти C=–3A+4B.
Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c₁₃, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a_ij) размера m×n на матрицу B = (b_ij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c_ij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

Примеры.

Пусть
Найти элементы c₁₂, c₂₃ и c₂₁ матрицы C.
Найти произведение матриц.
.
.
— нельзя, т.к. ширина первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй – 3-м.
Пусть
Найти АВ и ВА.
Найти АВ и ВА.

, B·A – не имеет смысла.

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B ≠ B∙A. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC.

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например, если , то

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .

Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁.

Определитель обозначается символом .

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

.
Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a₁₁, a₁₂, a₁₃ и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

.
.
Решите уравнение..
.

(x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0.

(x+3)(x-4)+4(-x+4)=0.

(x-4)(x-1)=0.

x₁ = 4, x₂ = 1.

Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки «+» и «–» у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

www.toehelp.ru

Статья — Матрицы и определители

Дисциплина: Высшая математикаТема: Матрицы и определители

Понятие матрицы.

При изучении вопросов, связанных с действием над векторами,а также при изучении систем линейных уравнений приходится иметь дело стаблицами из чисел, которые называются матрицами.

Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица изчисел, содержащая /> строк и /> столбцов.

Числа /> и /> называются порядкамиматрицы. Если />, то матрицаназывается квадратной. Для обозначения матрицы пользуются либо вертикальнымидвойными черточками, либо круглыми скобками:

/> или />.

Для краткого обозначения матрицы может быть использована иодна буква, например, />. Кроме того,вместо всей таблицы может быть написано:

/>, где />; />.

Числа /> называютсяэлементами матрицы, /> — номер строки, /> — номер столбца.

Для квадратной матрицы вводится понятие главной и побочнойдиагонали: главная диагональ идет из верхнего левого угла в нижний правый; побочная- из верхнего правого в нижний левый.

Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы.

Дана прямоугольная матрица:

Выделим в этой матрице k произвольных строк и kпроизвольных столбцов (k Ј m, k Ј n).

Определение. Определитель k-го порядка, составленныйиз элементов матрицы A, расположенных на пересечении выделенных строк истолбцов, называется минором k-го порядка матрицы A. Матрица Aимеет C km*C kn миноров k-гопорядка.

Определение. Рассмотрим всевозможные миноры матрицы A,отличные от нуля. Рангом матрицы A называется наибольший порядокотличных от нуля миноров этой матрицы. Если все элементы матрицы равны нулю, торанг этой матрицы принимают равным нулю.

Определение. Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядоккоторого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором матрицы.

Ранг матрицы A будем обозначать через r (A). Еслиr (A) = r (B), то матрицы A и B называются эквивалентными.

Полезно иметь ввиду, что ранг матрицы не изменяется отэлементарных преобразований. Под элементарными преобразованиями понимаются:

1) замена строк столбцами, а столбцов соответствующимистроками;

2) перестановка строк матрицы;

3) вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю;

4) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;

5) прибавление к элементам одной строки соответствующихэлементов другой строки.

Действия над матрицами.

Определение. Две матрица называются равными, если ониимеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

Определение. Суммой двух матриц /> (/>) и /> (/>) одинаковых порядков /> называется матрица /> (/>) того же порядка, элементыкоторой равны />.

На письме это действие может быть записано так: />. Операция сложенияобладает, очевидно, обычными свойствами: перестановочным />; сочетательным />.

Определение. Произведением матрицы /> на число /> называется матрица />, элементы которой равны />.

Умножение матрицы на число может быть записано: /> или />.

Эта операция обладает следующими свойствами: сочетательнымотносительно числового множителя />; распределительнымотносительно суммы матриц />; распределительнымотносительно суммы чисел />.

После первых двух действий необходимо отметить, чтовычитание матриц производится аналогично сложению, а деление матрицы на числоможет быть определено как умножение на обратное число.

Определение. Произведением матрицы /> (/>), имеющей порядок />, на матрицу /> (/>), имеющую порядок />, называется матрица /> (/>), имеющая порядок />, элементы которой равны />, где />.

Записывается это действие так />.Из сказанного выше следует, что для нахождения элемента />, в произведении /> необходимо попарноперемножить все соответствующие элементы />-ойстроки матрицы /> на элементы />-го столбца матрицы />, а затем все это сложить. Изопределения также следует, что для умножения двух матриц необходимо, чтобычисло столбцов матрицы /> было равно числустрок матрицы />. Отсюда следует,что одновременно произведение /> и /> существует только лишь втом случае, когда число столбцов /> равночислу строк />, а число столбцов /> равно числу строк />. В этом случае /> и /> будут квадратнымиматрицами, но разных порядков. Чтобы оба произведения были одинакового порядка,необходимо, чтобы /> и /> были квадратными матрицамиодинакового порядка.

Произведение матриц /> имеетсвойства: сочетательное />; распределительное/>. Перестановочным свойствомв общем случае произведение матриц не обладает. Оно выполняется лишь внекоторых случаях.

Среди квадратных матриц необходимо выделить важный классдиагональных матриц.

Определение. Диагональной называется квадратная матрица,все элементы которой, расположенные вне главной диагонали, равны 0:

/>.

В том случае, если />,то для любой квадратной матрицы /> порядка/> справедливо />. Действительно, для /> получаем />. Для /> — />. Отсюда, />.

Среди диагональных матриц с равными друг другу элементамиособое место занимают две матрицы: единичная и нулевая. У единичной матрицы />, обозначается она — />, у нулевой />, обозначается она — />.

Как было показано />, />. Перемножив эти матрицы,можно убедиться, что />; />. Таким образом, матрицы /> и /> выполняют ту же роль, чтои 1 и 0 среди чисел. Вообще нулевой называют любую матрицу, элементы которойравны нулю.

Понятие определителя.

Выше было показано, что матрица — это прямоугольная таблица,составленная из чисел. Особое место среди матриц занимают квадратные матрицы. Рассмотримпроизвольную квадратную матрицу порядка /> илипросто />:

/> (3.1.1)

Оказывается, что с такой матрицей всегда можно связатьвполне определенную численную характеристику.

Определение. Численная характеристика квадратной матрицыназывается ее определителем.

Рассмотрим матрицу первого порядка />.

Определение. Численной характеристикой матрицы первогопорядка, то есть определителем первого порядка, называется величина ее элемента/>.

Обозначается определитель одним из символов />.

Рассмотрим матрицу второго порядка

/>.

Определение. Определителем второго порядка,соответствующим матрице второго порядка, называется число, равное />.

Обозначается определитель одним из символов

/> (3.1.2)

Очевидно, что для составления определителя второго порядка,необходимо найти разность произведения элементов, стоящих на главной диагоналиматрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали этой матрицы.

Поскольку одна из форм обозначения определителя иобозначения матрицы имеют много общего (записывается таблица из чисел), то также, как и у матрицы, говорят о столбцах, строках и элементах определителя.

После того как рассмотрены определители 1-го и 2-гопорядков, можно перейти к понятию определителя любого порядка. Но перед этимвведем понятие минора.

Определение. Минором любого элемента /> квадратной матрицы порядка/> называется определительпорядка />, соответствующий тойматрице, которая получается из первоначальной в результате вычеркивания />-ой строки и />-го столбца, на пересечениикоторых стоит элемент />.

Обычно минор элемента /> обозначается/>.

Определение. Определителем порядка />, соответствующим матрицепорядка />, называется число, равное

/>.

Обозначается определитель одним из символов

(3.1 3)

Приведенное выражение представляет собой правило вычисленияопределителя />-го порядка по элементампервой строки соответствующей ему матрицы и по минорам элементов этой строки,которые являются определителями порядка />.Для /> это правило дает:

/>.

В приведенном правиле вычисления определителя фигурируетлишь первая строка. Возникает вопрос, а нельзя ли вычислить определитель,используя элементы других строк?

Теорема. Каков бы ни был номер строки /> (/>), для определителя />-го порядка справедливаформула

/>,

называемая разложением этого определителя по />-ой строке.

Нетрудно заметить, что в этой формулировке степень при (-1) равнасумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент />.

Докажем эту теорему для />.В этом случае /> может быть равно только 2,так как /> входит в основноеопределение величины определителя. Итак:

/>.

Полученное выражение совпадает с тем, которое было дано вопределении, следовательно, для определителя 2-го порядка теорема доказана.

Для произвольного /> даннаятеорема доказывается методом математической индукции.

Итак, показано, что определитель может быть разложен полюбой строке. Возникает вопрос, а нельзя ли сделать то же самое, использовавпроизвольный столбец.

Теорема. Каков бы ни был номер столбца /> (/>), для определителя />-го порядка справедливаформула />, называемая разложениемэтого определителя по />-му столбцу.

Докажем теорему для />:

/>.

Данное выражение равно величине определителя, введенной поопределению.

Итак, на основании теорем можно сказать, что для вычисленияопределителя />-го порядка необходимо егоразложить по произвольной строке или столбцу.

В заключение введем еще одно определение.

Определение. Алгебраическим дополнением данного элемента /> определителя />-го порядка называетсячисло, равное />, котороеобозначается />.

Значит, алгебраическое дополнение отличается отсоответствующего минора только лишь знаком. Теперь величину определителя можновычислить с помощью формул:

/>.

Литература

1. Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики. Минск, «Высшая школа»,1973.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математики.

3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.,«Наука», 1986.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., «Высшаяшкола» изд. 5, 1977.

5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей иматематической статистике. М., «Высшая школа» изд.2.

6. Баврин И.И. Высшая математика — 1980 г.3

7. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999.

8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Мир, 1969.

9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц (2-е издание). — М.: Наука, 1966.

10. Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1973.

11. Соколов Н.П. Пространственные матрицы и их приложения. — М.: ГИФМЛ, 1960.

www.ronl.ru

Свойства определителя матрицы | Мозган калькулятор онлайн

Определитель единичной матрицы равен единице: det(E) = 1. Единичная матрица — это квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице, а все остальные элементы равны 0.
Определитель матрицы с двумя равными строками или столбцами равен нулю.
Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками или столбцами равен нулю.
Определитель матрицы, содержащий нулевую строку или столбец, равен нулю.
Определитель матрицы равен нулю, если две или несколько строк или столбцов матрицы линейно зависимы.
При транспонировании значение определителя матрицы не меняется: det(A) = det(A^T).
Определитель обратной матрицы: det(A^-1) = det(A)^-1.
Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке или столбцу прибавить другую строку или столбец, умноженную на некоторое число.
Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке или столбцу прибавить линейную комбинации других строк или столбцов.
Если поменять местами две строки или два столбца матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.
Общий множитель в строке или столбце можно выносить за знак определителя:
Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени: B = k·A => det(B) = kⁿ·det(A), где A матрица n×n, k — число.
Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:
Определитель верхней или нижней треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.
Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц: det(A·B) = det(A)·det(B).

Другой материал по теме

mozgan.ru

Определитель матрицы и его свойства

Основной числовой характеристикой квадратной матрицы является ее определитель. Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка

Определителем или детерминантом второго порядка называется число, вычисленное по следующему правилу

Например,

Рассмотрим теперь квадратную матрицу третьего порядка

Определителем третьего порядка называется число, вычисленное по следующему правилу

В целях запоминания сочетания слагаемых, входящих в выражения для определения определителя третьего порядка обычно используют правило Саррюса: первое из трех слагаемых , входящих в правую часть со знаком плюс есть произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы , а каждое из двух других – произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и элемента из противоположного угла матрицы.

Последние три слагаемые, входящие со знаком минус определяются аналогичным образом, только относительно побочной диагонали.

Пример:

Основные свойства определителей матрицы

1. Величина определителя не изменяется при транспонировании матрицы.

2. При перестановки местами строк или столбцов матрицы, определитель меняет лишь знак, сохраняя абсолютную величину.

3. Определитель, содержащий пропорциональные строки или столбцы равен нулю.

4. Общий множитель элементов некоторой строки или столбца можно выносить за знак определителя.

5. Если все элементы некоторой строки или столбца равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

6. Если к элементам отдельной строки или столбца определителя прибавить элементы другой строки или столбца, умноженные на произвольный невырожденный множитель , то величина определителя не изменится.

Минором матрицы называется определитель, полученный вычеркиванием из квадратной матрицы одинакового числа столбцов и строк.

Если все миноры порядка выше , которые можно составить из матрицы, равны нулю, а среди миноров порядка хотя бы один отличен от нуля, то число называется рангом этой матрицы.

Алгебраическим дополнением элемента определителя порядка будем называть его минор порядка, получаемый вычеркиванием соответствующей строки и столбца, на пересечении которых, стоит элемент , взятый со знаком плюс, если сумма индексов равна четному числу и со знаком минус в противном случае.

Таким образом

где соответствующий минор порядка.

Вычисление определителя матрицы путем разложения по элементам строки или столбца

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой- либо строки (какого- либо столбца) матрицы на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (этого столбца). При вычислении определителя матрицы таким способом следует руководствоваться следующим правилом: выбирать строку или столбец с наибольшим числом нулевых элементов. Этот прием позволяет значительно сократить объем вычислений.

Пример: .

При вычислении данного определителя, воспользовались приемом разложения его по элементам первого столбца. Как видно из приведенной формулы нет необходимости вычислять последний из определителей второго порядка, т.к. он умножается на ноль.

Вычисление обратной матрицы

При решении матричных уравнений широко используют обратную матрицу. Она в известной степени заменяет операцию деления, которая в явном виде в алгебре матриц отсутствует.

Квадратные матрицы одинакового порядка, произведение которых дает единичную матрицу , называются взаимообратными или обратными. Обозначается обратная матрица и для нее справедливо

Вычислить обратную матрицу можно только для такой матрицы , для которой .

Классический алгоритм вычисления обратной матрицы

1. Записывают матрицу , транспонированную к матрице .

2. Заменяют каждый элемент матрицы определителем, полученным в результате вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.

3. Этот определитель сопровождают знаком плюс, если сумма индексов элемента четная, и знаком минус – в противном случае.

4. Делят полученную матрицу на определитель матрицы .

Пример. Требуется вычислить обратную матрицу

Матрица будет иметь вид

Заменим каждый элемент определителем, полученным при вычеркивании соответствующей строки и столбца:

Поменяем знаки у элементов с нечетной суммой индексов:

Разделим все элементы матрицы на . В результате получаем обратную матрицу

Если теперь умножить полученную обратную матрицу на матрицу , то в результате получим единичную матрицу.

infopedia.su

РубрикаПолезно знать