Матрица примеры умножение – Основные операции над матрицами (сложение, умножение, транспонирование) и их свойства.

Упражнения. Умножение матриц.

Правила. Умножение матриц.

Упражнения. Умножение двух матриц (произведение матриц).

Дано две матрицы A и B:

A =		1	-3	-10
		0	-7	7
		7	3	-8

B =		-3	10	6
		-8	4	0
		-5	-3	5

Найдите значение матрицы: C = A · B

Выберите рамер матрицы С:
Количество строк: 012345
Количество столбцов: 012345

Запишите ответ и нажмите кнопку «проверить».

C =

…

Для перехода к следующему заданию нажмите кнопку «Следующий пример».
Внимание!!! При переходе к новому заданию этот пример станет недоступным.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Ваши результаты

Пройдено задач	0
Решено	0
Решено с первого раза	0
Пропущено	0
Не решено	0

0oq.ru

Умножение матрицы на число: примеры, свойства, смысл

Для того, чтобы произвести умножение матрицы A на произвольное число α, нужно элементы матрицы A умножить на число α, т.е. произведение матрицы на число будет следующим:

Пример 1. Найти матрицу 3A для матрицы

Решение. В соответствии с определением умножим элементы матрицы A на 3 и получим

Это был совсем простой пример умножения матрицы на число с целыми числами. Впереди также простые примеры, но уже такие, где среди множителей и элементов матриц — дроби, переменные (буквенные обозначения), ведь законы умножения действуют не только для целых чисел, так что никогда не вредно их повторить.

Пример 2. Выполнить операцию умножения матрицы A на число α, если

, .

Решение. Умножим элементы матрицы A на α, не забывая, что при умножении дробей числитель первой дроби умножается на числитель первой дроби и произведение записывается в числитель, а знаменатель первой дроби умножается на знаменатель второй дроби и произведение записывается в знаменатель. При получении второго элемента первой строки новой матрицы полученную дробь сократили на 2, это надо делать обязательно. Получаем

Пример 3. Выполнить операцию умножения матрицы A на число α, если
, .

Решение. Умножим элементы матрицы

A на α, не путаясь в буквенных обозначениях, не забыв оставить минус перед вторым элементом второй строки новой матрицы, и помня, что результат умножения числа на обратное ему число есть единица (первый элемент третьей строки). Получаем

.

Пример 4. Выполнить операцию умножения матрицы A на число α, если
, .

Решение. Вспоминаем, что при умножении числа в степени на число в степени показатели степеней складываются. Получаем

.

Этот пример, кроме всего прочего, наглядно демонстрирует, что действия умножения матрицы на число могут быть прочитаны (и записаны) в обратном порядке и называется это вынесением постоянного множителя перед матрицей.

В сочетании со сложением и вычитанием матриц операция умножения матрицы на число может образовывать различные матричные выражения, например, 5A − 3B, 4A + 2B.

(здесь A, B — матрицы, — числа, 1 — число единица)

1.

2.

3.

4.

Свойства (1) и (2) связывают умножение матрицы на число со сложением матриц. Существует также очень важная связь между умножением матрицы на число и перемножением самих матриц:

5. ,

т. е. если в произведении матриц один из множителей умножается на число, то и всё произведение будет умножаться на число.

Пусть три магазина продают пять различных видов продукции. Тогда отчёт о продажах за год может быть дан в виде матрицы

,

где — количество продукции j-го вида, продаваемое i-м магазином в течение некоторого года. Если же в течение следующего года продажа каждого вида продукции увеличилась на 20%, то для любых i, j верно равенство . В этом случае отчёт за следующий год получается как

Y = 1,2X, т. е. умножением исходной матрицы A на число 1,2.

---

Начало темы «Матрицы»

Продолжение темы «Матрицы»

Другие темы линейной алгебры

function-x.ru

(37)86.Что такое произведение двух матриц? При каких условиях оно определено? Примеры.

Умноже́ниема́триц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения, называется произведе́ниемма́триц.

Произведением матрицы размеровна матрицуразмеровназывается матрицаразмеров, элементы которой вычисляются по формуле

(14.5)

где ,.

Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матрицсогласована. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка.

 Найти произведения матриц AB и BA, если

   и   

   Р е ш е н и е: Имеем

↑ назад в содержание ↑

(38)87.Какие операции называют коммутативными? Покажите на примерах, что умножение матриц не коммутативно.

Коммутативность = Перестановочность.

Обычные числа переставлять можно: , а матрицы в общем случае не перестановочны: .

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу   можно было умножить на матрицу  нужно, чтобы число столбцов матрицы  равнялось числу строк матрицы .

Пример:  Можно ли умножить матрицу  на матрицу ?

, значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

, следовательно, выполнить умножение невозможно:

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.  Например, для матриц,  и  возможно как умножение , так и умножение 

↑ назад в содержание ↑

(39)88.Что такое единичная и обратная матрицы? Как строится (по Гауссу) обратная матрица?

Пусть a – квадратная матрица порядка n. Обратной к ней матрице называется такая матрица A^-1, что A^-1*A=E (здесь A^-1 и E – квадратные матрицы того же порядка, причём E – единичная матрица).

Это определение вовсе не подразумевает, что обратная матрица существует для любой матрицы A.

Примеры

2. не существует

3. не существует

(0 0) – эта строка приводит к тому, что первая строка произведения этой матрицы на любую другую состоит из одних нулей (в единичной матрице это не так)

Определения с википедии:
Обратная матрица — такая матрица A −1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E: Единичная матрица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Нахождение обратной матрицы методом Гаусса.

Исходная матрица А.

A =

Найдем матрицу А-1 обратную к матрице А.

Для этого напишем расширенную матрицу , в левой части которой находится наша исходная матрица А, а в правой единичная.

Применяя метод Гаусса, последовательно будем приводить нашу исходную матрицу (левую часть расширенной матрицы) к единичной матрице. Причем совершенные преобразование мы будем применять ко всей расширенной матрице.

Приведя левую часть расширенной матрицы к единичной, правая часть будет являться обратной матрицей к нашей исходной.

Последовательность приведения левой части расширенной матрицы к единичной, Вы можете проследить по выделенным серыми прямоугольниками элементам.

 Рассмотрим столбец 1.

К элементам стороки 2 прибавим соответствующие элементы строки 1 умноженные на -3.

 Рассмотрим столбец 2.

К элементам строки 1 прибавим соответствующие элементы строки 2.

Элементы строки 2 разделим на    -2 .

A-1 =

↑ назад в содержание ↑

studfiles.net

5

5

5. Умножение матриц.

Рассмотрим правило умножения двух квадратных матриц второго и третьего порядков. Пусть даны две матрицы

Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С= А В, элементы которой составляются следующим образом:

Как видим, элемент матрицы-произведения, находящийся на пересечении i-й строки и k-го столбца, представляет собой сумму парных произведений элементов i-й строки первой матрицы на элементы k-го столбца второй матрицы.

Например, элемент, стоящий во второй строке и первом столбце матрицы произведения АВ, равен сумме парных произведений элементов второй строки матрицы А на элементы первого столбца матрицы В.

Это правило сохраняется для умножения квадратных матриц третьего и более высокого порядка, а также для умножения прямоугольных матриц, в которых число столбцов матрицы-множимого равно числу строк матрицы-множителя.

Пример1

Пример2

Пример3.

Видим , что в результате перемножения двух матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько имеет их матрица-множимое, и столько столбцов, сколько имеет матрица-множитель. Рассмотрим еще пример:

С другой стороны, как установлено выше,

Следовательно, произведение двух матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному закону:

АВ ВА.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется сочетательному закону:

А(ВС) = (АВ)С.

Отметим любопытный факт. Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, т.е. произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нуль-матрице.

Пример 4. Если

то

При умножении матриц второго порядка особое значение имеет квадратная матрица

При умножении любой квадратной матрицы

второго порядка на матрицу Е снова получается матрица А.

Действительно,

Аналогично EA =A.

Матрица Е называется единичной матрицей. Единичная матрица n-го порядка имеет вид

Если в матрице (1), обозначаемой буквой А, сделать все строки столбцами с тем же номером, то получим матрицу

называемую транспонированной к матрице А.

---

Понятие о матрице | Сложение матриц | Вычитание матриц и умножение матриц на число |

Умножение матриц |   Контакты первого и второго порядков в эпидемиологии | Матрицы и сети |

Главная

diana-davletova2011.narod.ru

Математическая матрица. Умножение матриц

Ещё математики древнего Китая использовали в своих вычислениях запись в виде таблиц с определённым количеством строк и столбцов. Тогда подобные математические объекты именовались как «волшебные квадраты». Хотя известны и случаи использования таблиц в виде треугольников, которые так и не получили широкого распространения.

На сегодняшний день под математической матрицей принято понимать объёкт прямоугольной формы с заданным количеством столбцов и символов, которые и определяют размеры матрицы. В математике такая форма записи нашла широкое применение для записи в компактном виде систем дифференциальных, а также линейных алгебраических уравнений. Принято, что количество строк в матрице равно числу присутствующих в системе уравнений, количеству столбцов соответствует, сколько неизвестных необходимо определить в ходе решения системы.

Кроме того, что сама по себе матрица в ходе её решения приводит к нахождению неизвестных, заложенных в условие системы уравнений, существует ряд алгебраических операций, которые допускается осуществлять над данным математическим объектом. Этот перечень включает в себя сложение матриц, имеющих одинаковые размеры. Умножение матриц с подходящими размерами (можно перемножить лишь матрицу, с одной стороны имеющую количество столбцов, равное количеству строк у матрицы с другой стороны). Также допускается умножать матрицу на вектор, или на элемент поля или основного кольца (иначе скаляр).

Рассматривая умножение матриц, следует внимательно следить, чтобы количество столбцов первой строго соответствовало числу строк второй. Иначе данное действе над матрицами будет не определено. Согласно правилу, по которому осуществляется умножение матрицы на матрицу, каждый элемент в новой матрице приравнивается к сумме произведений соответствующих элементов из строк первой матрицы на элементы, взятые из столбцов другой.

Для наглядности рассмотрим пример, как происходит умножение матриц. Берём матрицу A

2 3 -2

3 4 0

-1 2 -2,

умножаем её на матрицу B

3 -2

1 0

4 -3.

Элемент первой строки первого столбца результирующей матрицы равен 2*3+3*1+(-2)*4. Соответственно, в первой строчке во втором столбце будет элемент равный 2*(-2)+3*0+(-2)*(-3), и так далее до заполнения каждого элемента новой матрицы. Правило умножения матриц предполагает, что результатом произведения матрицы с параметрами m x n на матрицу, имеющую соотношение n x k, станет таблица, которая обладает размерами m x k. Следуя этому правилу, можно сделать вывод, что произведение так называемых квадратных матриц соответственно одного порядка всегда определено.

Из свойств, которыми обладает умножение матриц, следует выделить в качестве одного из основных то, что эта операция не является коммутативной. То есть произведение матрицы M на N не равно произведению N на M. Если в квадратных матрицах одного порядка наблюдается, что их прямое и обратное произведения всегда определены, отличаясь лишь результатом, то для прямоугольных матриц подобное условие определенности не всегда выполняется.

У умножения матриц существует ряд свойств, которые имеют чёткие математические доказательства. Ассоциативность умножения подразумевает верность следующего математического выражения: (MN)K=M(NK), где M,N, и K – матрицы, имеющие параметры, при которых умножение определено. Дистрибутивность умножения предполагает, что M(N+K)= MN+MK, (M+N)K= MK+NK, L(MN)= (LM)N+ M(LN), где L – число.

Следствием из свойства умножения матриц, именуемого «ассоциативность», следует, что в произведении, содержащем от трёх и больше сомножителей, допускается запись без использования скобок.

Использование свойства дистрибутивности даёт возможность раскрывать скобки при рассмотрении матричных выражений. Обращаем внимание, если мы раскрываем скобки, то нужно сохранять порядок сомножителей.

Использование матричных выражений позволяет не только компактно производить запись громоздких систем уравнений, но и облегчает процесс их обработки и решения.

fb.ru

Умножение матрицы на число: формула, свойства, примеры

Формула

Умножение матрицы на число — это операция над матрицей, в результате которой каждый её элемент умножается на дейсвительное или комплексное число. Выглядит математическим языком это так: 

Стоит заметить, что получаемая матрица в результате должна получаться той же размерности, которой обладала начальная матрица . Так же можно обратить внимание на такой факт: , то есть можно менять местами множители и от этого произведение не изменится.

Будет полезным использовать операцию умножение матрицы на число при вынесении общего множителя за пределы матрицы. В этом случае каждый элемент матрицы делится на число , а сам он выносится перед матрицей.

Свойства

1. Дистрибутивный закон относительно матриц: Умножение суммы матриц на число можно заменить на сумму произведений каждой отдельной матрицы на данное число
2. Дистрибутивный закон относительно действительных (комплексных) чисел: Умножение матрицы на сумму чисел можно заменить на сумму произведений каждого числа на матрицу
3. Ассоциативный закон: Удобно использовать если нужно вынести общий множитель из матрицы перед ней, при этом домножая уже стоящий перед ней коэффициент
4. Есть особое число , благодаря которому матрица остаётся неизменной
5. Умножение матрицы на ноль приводит к тому, что каждый элемент матриц обнуляется и матрица становится нулевой той же размерности, которой была изначально:

Примеры решений

Пример

Дано и действительное число . Умножить число на матрицу.

Решение

Записываем математическую операцию умножения и заодно вспоминаем правило, которое гласит: матрица умножается на число поэлементно. В результате видим, что каждое число стоящее в матрицы удвоилось по отношению к начальному значению.

Ответ

xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

Правила вычисления произведения матриц

Произведением двух матриц будет матрица , элементы которой равны сумме попарных произведений элементов строки первой матрицы на соответствующие элементы столбца второй матрицы :

Из этого следует что перемножить между собой можно матрицы в которых количество столбцов первой равно количеству строк второй . Новая матрица которая является произведением двух имеет размерность , где – количество строк первой матрицы, а – столбцов второй. Правила достаточно просты и для нахождения произведения матриц нужно уметь лиш умножать и прибавлять. Рассмотрим несколько примеров из сборника задач Дубовика В.П., Юрика И.И. «Высшая математика».

———————————————

Примеры.

Найти произведение матриц.

1) (1.110)

Для нахождения произведения умножаем строки первой матрицы на столбцы второй

2) (1.112)

Найдем элементы новой матрицы.

Записываем полученные значения в матрицу.

3) (1.114)

Согласно правилам — произведением будет матрица-вектор размерности . Вычислим ее элементы

Окончательно матрица примет вид

4) (1.115)

При вычислении произведения матриц-векторов получим квадратную матрицу размера. .

Простыми операциями умножения получили новую квадратную матрицу пятого порядка.

5) (1.116)

Результатом умножения в данном примере будет матрица которая содержит лиш один элемент.

На этом практическая часть урока закончена. Упражняйтесь в решении подобных примеров, ведь умножения — это одна из основных операций (не только в матрицах). В следующих статьях материал будет сложнее, поэтому начинайте знакомиться с матрицами с простого.

yukhym.com