Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ простыС – Π“Π»Π°Π²Π° 4 Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΈ простыС числа. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ‹Π΅ числа [Долгая Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠ³Π° ΠΊ бСсконСчности]

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΡ… классах ΠΈ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ достаточно слоТными для понимания. На самом ΠΆΠ΅ Π΄Π΅Π»Π΅, Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ слоТного здСсь Π½Π΅Ρ‚ β€” Π½Π°Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

По сущСству, Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° β€” это опСрация, обратная возвСдСнию Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ всС свойства ΠΈ ограничСния Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.

ЛогарифмичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ часто ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° экзамСнах Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нСравСнств. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ… свойств ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹.

Π“Π»Π°Π²Π°Β 1.
ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°
Β§ 1.
Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ
Β§ 2.
ВСст ΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π³Ρ€Π°Ρ„Ρƒ Β«Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΒ» (Π»Π΅Π³ΠΊΠΈΠΉ)
Β§ 3.
ВСст ΠΊ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΡƒ Β«Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΒ» (срСдний)
Β§ 4.
ВСст ΠΊ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΡƒ Β«Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΒ» (тяТСлый)
Β§ 5.
ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²
Π“Π»Π°Π²Π°Β 2.
ЛогарифмичСскиС уравнСния
Β§ 1.
ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ логарифмичСскиС уравнСния β€” ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ шаги
Β§ 2.
ЛогарифмичСскиС уравнСния: ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡ‚ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ² для изучСния
Β§ 3.
УравнСния, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ нСстандартныС ситуации
Β§ 4.
РСшСниС логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ β€” Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡ‚ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ²
Π“Π»Π°Π²Π°Β 3.
ЛогарифмичСскиС нСравСнства
Β§ 1.
ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ логарифмичСских нСравСнств с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ основаниСм
Β§ 2.
ЛогарифмичСскиС нСравСнства с ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ основаниСм
Β§ 3.
ЛогарифмичСскиС нСравСнства, сводящиСся ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ
Β§ 4.
НСравСнства, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°
Β§ 5.
Π”Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ
Β§ 6.
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ логарифмичСскиС нСравСнства
Π“Π»Π°Π²Π°Β 4.
Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ
Π“Π»Π°Π²Π°Β 5.
Бвойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²
Π“Π»Π°Π²Π°Β 6.
ЛогарифмичСскиС выраТСния
Π“Π»Π°Π²Π°Β 7.
ЛогарифмичСская функция
Β§ 10.
Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ с ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ основаниСм ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ
Β§ 18.
РСшСниС слоТных логарифмичСских нСравСнств Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ способами
Β§ 19.
Π‘ΠΎΠ²ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ²
Β§ 20.
ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ логарифмичСского нСравСнства ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ
Β§ 21.
ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ логарифмичСских нСравСнств
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267

www.berdov.com

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ…Β Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Β  Β 

ΠžΠ”Π—: 3x-2>0.

Пока Π΅Ρ‘ Π½Π΅ ΠΈΡ‰Π΅ΠΌ.

Π”Π°Π»Π΅Π΅,

Β  Β 

Β  Β 

Π’ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ 0,5 Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ -2:

Β  Β 

Β  Β 

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 3x-2=4>0, Ρ‚ΠΎ условиС 3x-2>0 выполняСтся автоматичСски, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ посторонниС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π² Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π½Π΅ появятся, ΠΈ нСравСнство ΠΈΠ· ΠžΠ”Π— ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ.

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:2.

Β  Β 

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ ΠžΠ”Π—, Π½ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‘ ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ:

ΠžΠ”Π—: xΒ²+15x>0.

Β  Β 

Β  Β 

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ xΒ²+15x=16>0, Ρ‚ΠΎ условиС xΒ²+15x>0 выполняСтся автоматичСски ΠΈ ΠžΠ”Π— ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ.

Β  Β 

ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π°:

Β  Β 

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: -16;1.

Β  Β 

ΠžΠ”Π— записываСм, Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ:

Β  Β 

Π”Π°Π»Π΅Π΅

Β  Β 

Β  Β 

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ x+1>0, Ρ‚ΠΎ ΠΈ (x+1)Β²>0, поэтому условиС 2xΒ²+5x-3>0 выполняСтся автоматичСски ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ нСравСнство ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, для нахоТдСния ΠžΠ”Π— Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ систСму ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… нСравСнств:

Β  Β 

ВозвращаСмся ΠΊ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ. ΠŸΡ€Π°Π²Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ β€” ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ суммы:

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π΅ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ΠžΠ”Π—.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:1.

Β  Β 

ΠžΠ”Π—:

Β  Β 

По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°,

Β  Β 

Β  Β 

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 2.

Β  Β 

ΠžΠ”Π—:

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

ΠžΠ”Π— удовлСтворяСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ x=1.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 1.

www.logarifmy.ru

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ | Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ находят Π½Π° основании опрСдСлСния Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ β€” это ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π°Π΄ΠΎ возвСсти основаниС, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ число, стоящСС ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.

Β  Β 

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ основаниС β€” 3, ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° β€” 9. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 9, основаниС 3 Π½Π°Π΄ΠΎ возвСсти Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 2. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ дСвяти ΠΏΠΎ основанию Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΄Π²ΡƒΠΌ.

(Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° стСпСнСй чисСл).

Β  Β 

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 4=2Β², Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ… ΠΏΠΎ основанию Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΄Π²ΡƒΠΌ.

Β  Β 

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ста Π΄Π²Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΠΈ восьми ΠΏΠΎ основанию Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ сСми, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 128=2⁷.

Β  Β 

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ста Π΄Π²Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΠΈ пяти ΠΏΠΎ основанию ΠΏΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρ‚Ρ€Ρ‘ΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 125=5Β³.

Β  Β 

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ пятой ΠΏΠΎ основанию ΠΏΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ минус Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 1/5, ΠΏΡΡ‚ΡŒ Π½Π°Π΄ΠΎ возвСсти Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ -1.

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ Π° ΠΏΠΎ основанию Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1.

Β  Β 

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΠΎ Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΌΡƒ основанию (ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΡ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹) Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

www.logarifmy.ru

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ логарифмичСскиС уравнСния | Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΌΠΈ логарифмичСскими уравнСниями Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ уравнСния Π²ΠΈΠ΄Π°

Β  Β 

Π³Π΄Π΅

Β  Β 

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ логарифмичСскиС уравнСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° основании опрСдСлСния Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.

Β  Β 

По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, с β€” это ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π½Π°Π΄ΠΎ возвСсти основаниС a, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ f(x), стоящСС ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ

Β  Β 

(Π›Π΅Π³ΠΊΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ располоТСниС a ΠΈ c с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ассоциации: Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π½ΠΈΠ·Ρƒ, ΠΈΠ΄Ρ‘Ρ‚ Π²Π½ΠΈΠ·, Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…Ρƒ β€” ΠΈΠ΄Ρ‘Ρ‚ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…).

НСкоторыС ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ шаг Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Π΅Π΅:

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ допустимых Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ уравнСния Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΡƒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Однако для ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… случаях это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ.

Под Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число: f(x)>0. Однако, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ

Β  Β 

Π° любая ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа a являСтся ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом:

Β  Β 

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ посторонниС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ появятся, ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ допустимых Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ (ΠžΠ”Π—) для Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ.

Если ΠΆΠ΅ Π² основании выраТСния присутствуСт пСрСмСнная, Π±Π΅Π· ΠžΠ”Π— ΠΎΠ±ΠΎΠΉΡ‚ΠΈΡΡŒ Π½Π΅ получится.

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

ΠžΠ”Π—:

Β  Β 

Но ΠΈ Π² этом случаС, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊΒ 

Β  Β 

Ρ‚ΠΎ ΠΈ

Β  Β 

ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· условий выполняСтся автоматичСски. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, для нахоТдСния ΠžΠ”Π— достаточно Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ систСму ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… нСравСнств:

Β  Β 

Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π· рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

www.logarifmy.ru

Для Ρ‡Π΅Π³ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹?

Π‘Π»ΠΎΠ²ΠΎ Β«Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΒ» ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π±Ρ‹Π²ΡˆΠΈΠ΅ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ‡Ρ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ помнят со ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. Π­Ρ‚Π° Ρ‚Π΅ΠΌΠ° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… казалась слоТной ΠΈ нСпонятной. НС всС ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ поняли, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΈ для Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹. ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² этом вмСстС с Π²Π°ΠΌΠΈ.

ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ этого слова, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π΅ всСм ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ понятным. Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ – это дСйствиС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ возвСдСнию Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ. НСподготовлСнному Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΡƒ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ эти слова, ΠΈ какая ΠΎΡ‚ всСго этого польза.

Π§Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ с этим ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ?

Допустим, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ… Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ 5Ρ… = 12. Π’ этом случаС Ρ… Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ числу, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π½Π°Π΄ΠΎ возвСсти 5, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ 12. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, этот ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π·Π²ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ: Ρ… Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡƒ 12 ΠΏΠΎ основанию 5. А Π²Ρ‹Π³Π»Π°Π΄ΠΈΡ‚ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊ: Ρ… = log512. Если произвСсти вычислСниС Π½Π° ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π΅, Ρ‚ΠΎ получаСтся ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π»Π΅Π³Ρ‡Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ числами, ΠΈ создали Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ†ΠΈΡŽ, ΠΊΠ°ΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ.

Говоря простым языком, ΠΎΠ½ΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ для упрощСния Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½Ρ‹Ρ… вычислСний. Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ свойствами, благодаря ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ простым слоТСниСм, Π° ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π² Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ свойств Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Π² ΠΆΠΈΠ·Π½Π΅Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°

Если Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ основаниС, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… сумма Ρ€Π°Π²Π½Π° Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡƒ произвСдСния, Π° Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ – частного. И получаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ матСматичСских дСйствиях со слоТными ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ становятся ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ всСм Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. Если основания Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ основанию.

Для упрощСния ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… вычислСний Π±Ρ‹Π»ΠΈ созданы логарифмичСскиС Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘ ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ числа, складывая ΠΈΡ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹. Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ 300 Π»Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΠ»ΠΈΡΡŒ ΠΈ ΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΡΠ»ΠΈΡΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ. Π‘ появлСниСм возмоТности элСктронных вычислСний, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ стало Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² узкоспСциализированных сфСрах.

Бвойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ пригодятся ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌ людям, занятым Π½Π° производствС ΠΈ Π² Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ… сфСрах, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄ΠΎΡ‘ΠΌΠΊΠΈΠ΅ вычислСния. Π‘ ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°. Если Π²Ρ‹ нарисуСтС ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ значСния 10, 100 ΠΈ 100 000, Ρ‚ΠΎ малСнькиС значСния Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ практичСски ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ноля. Но логарифмичСская Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΠ° позволяСт ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… чисСл Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ наглядным. Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… схСм часто проводится Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· сравнСния ΡˆΡƒΠΌΠΎΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΌ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… сфСрах.

Π“Π΄Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ большС ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎ свойствах Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²?

ΠŸΡ€ΠΎΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΠ»ΠΈ занятиС Π² школС, Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΊ Π•Π“Π­ ΠΈΠ»ΠΈ просто ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ΡΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ? Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π°ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ³ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΡƒΡ€ΠΎΠΊ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «Бвойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ². Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ стСпСни», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, пСрСйдя ΠΏΠΎ ссылкС http://interneturok.ru/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/svoystva-logarifmov-logarifm-stepeni.

Π’ Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… занятия ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ расскаТСт ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° стСпСни, Π½ΠΎ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅Ρ‚ Π΅Ρ‘Β  ΠΈ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ². Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ распространСнных ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ². Π’ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΡƒΡ€ΠΎΠΊ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ тСкстовым конспСктом, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡƒΡŽ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ.Β 

Π‘Ρ‚ΠΎΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡ€Ρ‚Π°Π»Π΅ http://interneturok.ruΒ  ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΈ ΠΈ конспСкты Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ ΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΒ  ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π°ΠΌ школьной ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ общСствознаниС, Π³Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΡŽ, биологию, ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ.

statistic.su

ЛогарифмичСскиС уравнСния

Π€Π°ΠΊΡ‚ 1.
\(\bullet\) Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΠΎ основанию \(a\) ΠΎΡ‚ \(b\) – это число \(t\), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Π² ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ возвСсти \(a\), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ \(b\).
ΠžΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ: числа \(a\) ΠΈ \(b\) Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\):\[{\color{blue}{a^t=b \quad\Leftrightarrow\quad \log_a{b}=t}}\]
Π’.ΠΊ. ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, Ρ‚ΠΎ \(t\in \mathbb{R}\).
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹:

Β 

1) \(\log_24\) – ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ возвСсти \(2\), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ \(4\). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, \(\log_24=2\).

Β 

2) \(\log_3\frac13\) – ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ возвСсти \(3\), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ \(\dfrac13\). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, \(\log_3\frac13=-1\). Β  \(\bullet\) НСкоторыС Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹:

Β 

(0) ΠΏΡ€ΠΈ \(a>0, \ a\ne 1, \ b>0\) выполняСтся основноС логарифмичСскоС тоТдСство \[a^{\log_ab}=b\]

(1) ΠΏΡ€ΠΈ \(a>0,\ a\ne 1\) \[\log_a1=0, \qquad \log_aa=1\]

(2) ΠΏΡ€ΠΈ \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\) \[\log_{a}{b^m}= m\log_ab\]
\[\log_{a^n}{b}=\frac 1n\log_ab\]
\[\log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab\]

ΠΏΡ€ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… \(m\) ΠΈ \(n\) ΠΈ \(a\ne 0,\ a\ne 1,\ b\ne 0\) \[\log_{a^n}{b^m}=\dfrac mn\log_{|a|}{|b|}\]

(3) ΠΏΡ€ΠΈ \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ c>0\) \[b^{\log_ac}=c^{\log_ab}\]

(4) ΠΏΡ€ΠΈ \(a>0,\ a\ne 1,\ bc>0\) \[\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \qquad \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}\]

(5) ΠΏΡ€ΠΈ \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ b\ne 1,\ c>0\) \[\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac \quad\Leftrightarrow\quad \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}\]
\[\log_ab\cdot \log_ba=1 \quad\Leftrightarrow\quad \log_ba=\dfrac{1}{\log_ab}\]
\(\bullet\) Частный случай Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» (2): \[m=\log_a{a^m}\]
Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π½Π΅Π΅ нагляднСС Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ число Π½Π° Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎΠΌΡƒ основанию:
\(4=\log_2{2^4}=\log_2{16}\). Β  \(\bullet\) Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (0) ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ число Π½Π° ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ основаниСм:
\(4=3^{\log_34}\). Β  \(\bullet\) Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ \(\log_ba=\dfrac1{\log_ab}\) ΠΈΠ· (5) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ β€œΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒβ€ основаниС ΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° мСстами:
\(\log_52=\dfrac1{\log_25}\).

Β 

\(\bullet\) ЛогарифмичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ – ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, содСрТащСС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ \(x\) Π² основании ΠΈ/ΠΈΠ»ΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.
ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠ΅Π΅ логарифмичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

\[\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{ΠΈΠ»ΠΈ }g(x)>0) \end{cases}\] Π³Π΄Π΅ \(a>0, a\ne 1\).
НСравСнства \(f(x)>0\) ΠΈ \(g(x)>0\) ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ ΠžΠ”Π— Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния. Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:
1) Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(\log_{\frac13}(4x+1)=-3\).
РСшСниС.
ΠžΠ”Π— уравнСния: \(4x+1>0\).
ΠŸΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ \(\left(\frac13\right)^{-3}=4x+1\). Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ \(\left(\frac13\right)^{-1}=3\), Ρ‚ΠΎ \(\left(\frac13\right)^{-3}=3^3=27\). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(27=4x+1\), ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° \(x=6,5\). Π”Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΏΠΎ ΠžΠ”Π—. Β  2) Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(\log_{\sqrt5}(2x+15)=4\log_{\sqrt5}2\).
РСшСниС.
ΠžΠ”Π— уравнСния: \(2x+15>0\).
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ \(m\log_ab=\log_ab^m\), Ρ‚ΠΎ \(4\log_{\sqrt5}2=\log_{\sqrt5}2^4=\log_{\sqrt5}16\). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(\log_{\sqrt5}(2x+15)=\log_{\sqrt5}16\). ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠ΅Π΅ логарифмичСскиС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ прСобразуСтся Π² \(2x+15=16\), ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° \(x=0,5\). Π”Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΏΠΎ ΠžΠ”Π—. Β  3) Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(\log_3(2x+1)=\log_3(3-x)+1\).
РСшСниС.
ΠžΠ”Π— уравнСния: \(2x+1>0\) ΠΈ \(3-x>0\).
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ \(1=\log_33\), Ρ‚ΠΎ правая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° \(\log_3(3-x)+\log_33=\log_3(3(3-x))\), ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ \(\log_3(2x+1)=\log_3(9-3x)\). Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прСобразуСтся Π² \(2x+1=9-3x\), ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° \(x=1,6\). Π”Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΏΠΎ ΠžΠ”Π—. Β 

Π€Π°ΠΊΡ‚ 2.
\(\bullet\) Объясним, Π·Π°Ρ‡Π΅ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ… (2) ΠΈ (4).

Β 

1) Рассмотрим частный случай Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (2) ΠΏΡ€ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΌ \(m\): \(\log_a{b^m}=m\log_a{|b|}\) Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.
Рассмотрим: \(\log_3{b^2}=2\log_3{|b|}\).
Π—Π°Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ? Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ равСнства ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ вмСсто \(b\) всС числа \(b\ne 0\). Если Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части Π½Π΅ ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ (Ρ‚.Π΅. \(\log_3b\)), Ρ‚ΠΎ вмСсто \(b\) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ \(b>0\). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, тСряСтся Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ числа \(b\).

Β 

2) Π’ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ… (4): \[\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \ \ \ \ \ \ \text{ΠΈ} \ \ \ \ \ \ \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}\] аналогичная ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°: Π² Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ равСнств ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ \(b\) ΠΈ \(c\), Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ (Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл являСтся ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом). А Π²ΠΎΡ‚ Π² ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹Π΅ части, Ссли Π² Π½ΠΈΡ… ΡƒΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ, ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ \(b\) ΠΈ \(c\) ΡƒΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ нСльзя (Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° – всСгда ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π½Π΅ поставив ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ, ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ сузим Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ значСния для \(b\) ΠΈ \(c\).
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:
Если Π½Π΅ ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ, Π° Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, \(\log_2{bc}=\log_2b+\log_2c\), Ρ‚ΠΎ значСния \(b=-1\) ΠΈ \(c=-1\) Π½Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ равСнству. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ с модулями числа \(b\) ΠΈ \(c\) ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ.

shkolkovo.net

ЛогарифмичСскиС уравнСния. Бпособы Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

Π‘ уравнСниями ΠΌΡ‹ всС Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹ с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… классов. Π•Ρ‰Π΅ Ρ‚Π°ΠΌ ΠΌΡ‹ ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ самыС простыС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, ΠΈ Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ находят своС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. Π‘ уравнСниями всС просто, Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числи ΠΈ с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. Если Ρƒ вас ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ с этой Ρ‚Π΅ΠΌΠΎΠΉ, Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅.

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹, вСроятно, Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»ΠΈ. Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅, считаСм Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π°ΡΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это для Ρ‚Π΅Ρ…, ΠΊΡ‚ΠΎ Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π΅ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚. Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ приравниваСтся ΠΊ стСпСни, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ возвСсти основаниС, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ число, стоящСС справа ΠΎΡ‚ Π·Π½Π°ΠΊΠ° Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, исходя ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ, Π²Π°ΠΌ всС станСт ясно.

Если Π²Ρ‹ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Ρ‚Π΅ 3 Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ получится 81. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ΠΏΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ числа, ΠΈ ΠΏΠΎΠΉΠΌΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ лишь ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° рассмотрСнных понятия. Π˜Π·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ситуация каТСтся Ρ‡Ρ€Π΅Π·Π²Ρ‹Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΎ слоТной, Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ блиТайшСм рассмотрСнии вСсС становится Π½Π° свои мСста. ΠœΡ‹ ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ послС этой ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΊΠΎΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ Ρƒ вас Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ Π² этой части Π•Π“Π­.

Как ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ?

БСгодня Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ мноТСство способов Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… конструкций. ΠœΡ‹ расскаТСм ΠΎ самых простых, эффСктивных ΠΈ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΡ‹Ρ… Π² случаС Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ Π•Π“Π­. РСшСниС логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒΡΡ с самого простого ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ логарифмичСскиС уравнСния состоят ΠΈΠ· Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² Π½Π΅ΠΉ.

Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ x находится Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°. A ΠΈ b Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ числами. Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ случаС Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ попросту Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· число Π² стСпСни. Выглядит это ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.

РазумССтся, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ логарифмичСского уравнСния Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ вас ΠΊ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρƒ. Ног ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π° ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² этом случаС Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° бСрСтся. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ приходится ΠΌΠΈΡ€ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с ошибками ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ². Π‘Π°ΠΌΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΠΈΠ΄Π½ΠΎΠΉ ошибкой Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚, Ссли Π²Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΡƒΡ‚Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ мСстами. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ этим способом, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°Π·ΡƒΠ±Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ эту ΡΡ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ слоТно.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π΅Π³Π½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ способу – каноничСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅. ИдСя ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ проста. Π‘Π½ΠΎΠ²Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ. ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠΊΠ²Π° a – число, Π° Π½Π΅ функция ΠΈΠ»ΠΈ пСрСмСнная. A Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΈ большС нуля. На b Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ дСйствуСт. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΈΠ· всСх Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» вспоминаСм ΠΎΠ΄Π½Ρƒ. B ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.

Из этого слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС исходныС уравнСния с Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΡ‚Π±Ρ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡΡ простая конструкция, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅.

Удобство Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Π² самых Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… случаях, Π° Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для самых простых конструкций.

НС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠ²Π°ΠΉΡ‚Π΅ насчСт ООЀ!

МногиС ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ замСтят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΡƒΠ΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ области опрСдСлСния. Бводится ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ F(x) ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ большС 0. НСт, ΠΌΡ‹ Π½Π΅ упустили этот ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚. БСйчас ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΎΠ± Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΡΠ΅Ρ€ΡŒΠ΅Π·Π½ΠΎΠΌ прСимущСствС каноничСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹.

Π›ΠΈΡˆΠ½ΠΈΡ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ здСсь Π½Π΅ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½Π΅Ρ‚. Если пСрСмСнная Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ лишь Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ мСстС, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Π½Π΅ являСтся Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. Она выполняСтся автоматичСски. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ суТдСнии, Π·Π°ΠΉΠΌΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… простых ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ².

Как Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ логарифмичСскиС уравнСния с Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ основаниями

Π­Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΆΠ΅ слоТныС логарифмичСскиС уравнСния, ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ особым. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΎ получаСтся ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ прСсловутой каноничСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ. НачнСм наш ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ рассказ. ΠœΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ†ΠΈΡŽ.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ. Π’ Π½Π΅ΠΉ находится Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Если Π²Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π² Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΈ, стоит Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ интСрСсный ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌ.

Π§Ρ‚ΠΎ это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚? ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ частного Π΄Π²ΡƒΡ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² с ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ основаниСм. И Ρƒ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΅ΡΡ‚ΡŒ частный случай, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ с этим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ (ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π²Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, Ссли c=b).

ИмСнно Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΈ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π² нашСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.

По сути, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΠ»ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅ этот Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ!

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ логарифмичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ содСрТало Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… оснований. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ основаниС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒΡŽ.

Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, исходя ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вынСсти ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· основания. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ конструкция.

Казалось Π±Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ нашС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΈ элСмСнтарно Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅? НС всС Ρ‚Π°ΠΊ просто. Π”Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ. Π˜ΡΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ эту ΡΠΈΡ‚ΡƒΠ°Ρ†ΠΈΡŽ! Π”Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π²Ρ‹Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ Π² качСствС стСпСни.

БоотвСтствСнно.

Если основания ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒ сами выраТСния. Π’Π°ΠΊ ситуация станСт Π² Ρ€Π°Π·Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ Π±Ρ‹Π»Π°. ΠžΡΡ‚Π°Π½Π΅Ρ‚ΡΡ элСмСнтарноС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· нас ΡƒΠΌΠ΅Π» Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ Π² 8 ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² 7 классС. РасчСты Π²Ρ‹ смоТСтС произвСсти сами.

ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ СдинствСнно Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ этого логарифмичСского уравнСния. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ логарифмичСского уравнСния достаточно просты, Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ Π»ΠΈ? Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΈ Ρƒ вас получится ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ с самыми слоТными Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°ΠΌΠΈ для ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΈ сдачи Π•Π“Π­.

Π§Ρ‚ΠΎ Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅?

Π’ случаС с Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌΠΈ логарифмичСскими уравнСниями ΠΌΡ‹ исходим ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°. НСобходимо Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ привСсти Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ максимально простому Π²ΠΈΠ΄Ρƒ. Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ случаС Ρƒ вас Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ большС шансов Π½Π΅ просто Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½ΠΎ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΈ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ это максимально простым ΠΈ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ. ИмСнно Ρ‚Π°ΠΊ всСгда Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ.

ΠΠ°ΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π΅ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ Π²Π°ΠΌ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ слоТных ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΉ, особСнно Π² этом случаС. Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅ нСсколько простых ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ позволят ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ любоС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, привСсти Π΄Π²Π° ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ основанию ΠΈΠ»ΠΈ вывСсти ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· основания ΠΈ Π²Ρ‹ΠΈΠ³Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° этом.

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ стоит ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ постоянно Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ. ΠŸΠΎΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎ Π²Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎ всС Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТным конструкциям, Π° это ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ вас ΠΊ ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ всСх Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° Π•Π“Π­. Π“ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΡŒΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΊ экзамСнам Π·Π°Π±Π»Π°Π³ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, ΠΈ ΡƒΠ΄Π°Ρ‡ΠΈ Π²Π°ΠΌ!

ΠŸΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ

Π Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ:

karate-ege.ru