Логарифмы простые – Глава 4 Логарифмы и простые числа. Простые числа [Долгая дорога к бесконечности]

Содержание

Логарифмы

Логарифмы изучаются в старших классах и считаются достаточно сложными для понимания. На самом же деле, ничего сложного здесь нет — надо только начать изучение.

По существу, нахождение логарифма — это операция, обратная возведению в степень. Отсюда возникают все свойства и ограничения логарифма.

Логарифмические функции часто попадаются на экзаменах в виде уравнений и неравенств. Поэтому умение работать с логарифмами и твердое знание их свойств совершенно необходимы.

Глава 1.: Понятие логарифма
§ 1.: Что такое логарифм
§ 2.: Тест к параграфу «Что такое логарифм» (легкий)
§ 3.: Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
§ 4.: Тест к уроку «Что такое логарифм» (тяжелый)
§ 5.: Основные свойства логарифмов
Глава 2.: Логарифмические уравнения
§ 1.: Простейшие логарифмические уравнения — первые шаги
§ 2.: Логарифмические уравнения: комплект видеоуроков для изучения
§ 3.: Уравнения, квадратные относительно логарифма, и другие нестандартные ситуации
§ 4.: Решение логарифмических уравнений — заключительный комплект видеоуроков
Глава 3.: Логарифмические неравенства
§ 1.: Преобразование логарифмических неравенств с одинаковым основанием
§ 2.: Логарифмические неравенства с переменным основанием
§ 3.: Логарифмические неравенства, сводящиеся к квадратным
§ 4.: Неравенства, квадратные относительно логарифма
§ 5.: Дробно-рациональные неравенства с логарифмами
§ 6.: Сложные логарифмические неравенства
Глава 4.: Что такое логарифм
Глава 5.: Свойства логарифмов
Глава 6.: Логарифмические выражения
Глава 7.: Логарифмическая функция
§ 10.: Логарифм с переменным основанием и метод рационализации
§ 18.: Решение сложных логарифмических неравенств разными способами
§ 19.: Совмещение метода рационализации и метода интервалов
§ 20.: Подробное решение логарифмического неравенства методом рационализации
§ 21.: Метод рационализации логарифмических неравенств

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219

220

221

222

223

224

225

226

227

228

229

230

231

232

233

234

235

236

237

238

239

240

241

242

243

244

245

246

247

248

249

250

251

252

253

254

255

256

257

258

259

260

261

262

263

264

265

266

267

www.berdov.com

Примеры решения простейших логарифмических уравнений

Рассмотрим примеры решения простейших логарифмических уравнений.

ОДЗ: 3x-2>0.

Пока её не ищем.

Далее,

Возведём 0,5 в степень -2:

Так как 3x-2=4>0, то условие 3x-2>0 выполняется автоматически, то есть посторонние корни в ходе решения данного уравнения не появятся, и неравенство из ОДЗ можно не решать.

Ответ:2.

Запишем ОДЗ, но искать её пока не будем:

ОДЗ: x²+15x>0.

Так как x²+15x=16>0, то условие x²+15x>0 выполняется автоматически и ОДЗ можно не искать.

Корни уравнения можно найти по теореме, обратной теореме Виета:

Ответ: -16;1.

ОДЗ записываем, но пока не решаем:

Так как x+1>0, то и (x+1)²>0, поэтому условие 2x²+5x-3>0 выполняется автоматически и первое неравенство можно не решать. Таким образом, для нахождения ОДЗ решаем систему из двух неравенств:

Возвращаемся к уравнению. Правая часть — квадрат суммы:

Первый корень не входит в ОДЗ.

Ответ:1.

ОДЗ:

По определению логарифма,

Ответ: 2.

ОДЗ:

ОДЗ удовлетворяет только x=1.

Ответ: 1.

www.logarifmy.ru

Простейшие логарифмы | Логарифмы

Простейшие логарифмы находят на основании определения логарифма.

Примеры.

По определению, логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число, стоящее под знаком логарифма.

Здесь основание — 3, под знаком логарифма — 9. Чтобы получить 9, основание 3 надо возвести в степень 2. Поэтому логарифм девяти по основанию три равен двум.

(Упростить работу поможет таблица степеней чисел).

Так как 4=2², логарифм четырёх по основанию два равен двум.

Логарифм ста двадцати восьми по основанию два равен семи, так как 128=2⁷.

Логарифм ста двадцати пяти по основанию пять равен трём, так как 125=5³.

Логарифм одной пятой по основанию пять равен минус единице, так как, чтобы получить 1/5, пять надо возвести в степень -1.

Логарифм а по основанию а равен 1.

Логарифм единицы по любому основанию (положительному, отличному от единицы) равен нулю.

www.logarifmy.ru

Простейшие логарифмические уравнения | Логарифмы

Простейшими логарифмическими уравнениями называют уравнения вида

где

Простейшие логарифмические уравнения можно решить на основании определения логарифма.

По определению логарифма, с — это показатель степени, в который надо возвести основание a, чтобы получить выражение f(x), стоящее под знаком логарифма, то есть

(Легко запомнить расположение a и c с помощью такой ассоциации: то, что внизу, идёт вниз, то, что вверху — идёт вверх).

Некоторые предпочитают оформлять решение на один шаг длиннее:

При решении логарифмических уравнений нужно установить область допустимых значений уравнения либо выполнить проверку найденных корней. Однако для простейших логарифмических уравнений в некоторых случаях это можно не делать.

Под знаком логарифма должно стоять положительное число: f(x)>0. Однако, поскольку

а любая степень положительного числа a является положительным числом:

Поэтому посторонние корни при решении таких уравнений не появятся, и область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма можно не искать.

Если же в основании выражения присутствует переменная, без ОДЗ обойтись не получится.

ОДЗ:

Но и в этом случае, так как

то и

и первое из условий выполняется автоматически. Следовательно, для нахождения ОДЗ достаточно решить систему из двух неравенств:

В следующий раз рассмотрим примеры решения простейших логарифмических уравнений.

www.logarifmy.ru

Для чего нужны логарифмы?

Слово «логарифм» многие бывшие ученики общеобразовательных учреждений помнят со школьных уроков математики. Эта тема некоторым из них казалась сложной и непонятной. Не все из них действительно поняли, что такое логарифмы и для чего они нужны. Попробуем разобраться в этом вместе с вами.

Конечно, в математике есть определение этого слова, но оно не всем может показаться понятным. Логарифмирование – это действие, которое обратно возведению в степень. Неподготовленному человеку трудно понять, что означают эти слова, и какая от всего этого польза.

Что же это такое и как с этим можно работать?

Допустим, нужно найти х в уравнении 5^х = 12. В этом случае х будет равен числу, в которое надо возвести 5, чтобы получилось 12. Используя логарифм, этот пример будет звучать так: х равен логарифму 12 по основанию 5. А выгладит уравнение так: х = log₅12. Если произвести вычисление на калькуляторе или компьютере, то получается иррациональное число. Чтобы было легче работать с такими числами, и создали такую математическую конструкцию, как логарифм.

Говоря простым языком, они нужны для упрощения трудных вычислений. Логарифмы обладают важными свойствами, благодаря которым умножение можно заменить простым сложением, а извлечение корня и его возведение в степень можно преобразовать в умножение и в деление.

Применение свойств логарифмов в жизнедеятельности человека

Если логарифмы имеют одинаковое основание, то их сумма равна логарифму произведения, а разность – частного. И получается, что при математических действиях со сложными иррациональными числами, результатом становятся привычные всем натуральные числа. Если основания логарифма разные, то их можно преобразовать по формулам перехода к новому основанию.

Для упрощения подобных вычислений были созданы логарифмические таблицы. С их помощью можно было легко умножать числа, складывая их логарифмы. Более 300 лет такие таблицы расширялись и уточнялись многими математиками. С появлением возможности электронных вычислений, пользоваться логарифмами стало ещё проще. Таблицы теперь используют только в узкоспециализированных сферах.

Свойства логарифмов на практике пригодятся многим людям, занятым на производстве и в научных сферах, в которых необходимы трудоёмкие вычисления. С их помощью можно сравнивать величины, значительно отличающиеся друг от друга. Если вы нарисуете обычный график, на котором отмечены значения 10, 100 и 100 000, то маленькие значения будут практически около ноля. Но логарифмическая линейка позволяет сделать изображение таких чисел более наглядным. С помощью подобных схем часто проводится анализ сравнения шумов, что бывает полезным во многих сферах.

Где можно получить больше информации о свойствах логарифмов?

Пропустили занятие в школе, готовитесь к ЕГЭ или просто интересуетесь математикой? Тогда вам может пригодиться видеоурок на тему «Свойства логарифмов. Логарифм степени», который можно найти, перейдя по ссылке http://interneturok.ru/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/svoystva-logarifmov-logarifm-stepeni.

В рамках занятия преподаватель не только расскажет о формуле логарифма степени, но и докажет её и напомнит некоторые важные свойства логарифмов. Также можно узнать, как использовать свойства логарифма при решении распространенных примеров. Видеоурок дополнен иллюстрированным текстовым конспектом, в котором также можно найти необходимую информацию.

Стоит отметить, что на образовательном портале http://interneturok.ru можно найти видеоуроки и конспекты не только по алгебре и геометрии, но и по остальным предметам школьной программы, включая обществознание, географию, биологию, и многим другим.

statistic.su

Логарифмические уравнения

Факт 1.
\(\bullet\) Логарифм по основанию \(a\) от \(b\) – это число \(t\), которое показывает, в какую степень нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\).
Ограничения: числа \(a\) и \(b\) такие, что \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\):\[{\color{blue}{a^t=b \quad\Leftrightarrow\quad \log_a{b}=t}}\]
Т.к. мы имеем право возводить в любую степень, то \(t\in \mathbb{R}\).
Примеры:

1) \(\log_24\) – степень, в которую нужно возвести \(2\), чтобы получить \(4\). Следовательно, \(\log_24=2\).

2) \(\log_3\frac13\) – степень, в которую нужно возвести \(3\), чтобы получить \(\dfrac13\). Следовательно, \(\log_3\frac13=-1\). \(\bullet\) Некоторые важные формулы:

(0) при \(a>0, \ a\ne 1, \ b>0\) выполняется основное логарифмическое тождество \[a^{\log_ab}=b\]

(1) при \(a>0,\ a\ne 1\) \[\log_a1=0, \qquad \log_aa=1\]

(2) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\) \[\log_{a}{b^m}= m\log_ab\]
\[\log_{a^n}{b}=\frac 1n\log_ab\]
\[\log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab\]

при четных \(m\) и \(n\) и \(a\ne 0,\ a\ne 1,\ b\ne 0\) \[\log_{a^n}{b^m}=\dfrac mn\log_{|a|}{|b|}\]

(3) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ c>0\) \[b^{\log_ac}=c^{\log_ab}\]

(4) при \(a>0,\ a\ne 1,\ bc>0\) \[\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \qquad \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}\]

(5) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ b\ne 1,\ c>0\) \[\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac \quad\Leftrightarrow\quad \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}\]
\[\log_ab\cdot \log_ba=1 \quad\Leftrightarrow\quad \log_ba=\dfrac{1}{\log_ab}\]
\(\bullet\) Частный случай формул (2): \[m=\log_a{a^m}\]
С помощью нее нагляднее видно, как заменить число на логарифм по нужному основанию:
\(4=\log_2{2^4}=\log_2{16}\). \(\bullet\) Формулу (0) удобно использовать, чтобы заменить число на степень с нужным основанием:
\(4=3^{\log_34}\). \(\bullet\) С помощью формулы \(\log_ba=\dfrac1{\log_ab}\) из (5) можно “менять” основание и аргумент логарифма местами:
\(\log_52=\dfrac1{\log_25}\).

\(\bullet\) Логарифмическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в основании и/или аргументе логарифма.
Простейшее логарифмическое уравнение:

\[\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}\] где \(a>0, a\ne 1\).
Неравенства \(f(x)>0\) и \(g(x)>0\) составляют ОДЗ данного уравнения.

Примеры решения уравнений:
1) Решить уравнение \(\log_{\frac13}(4x+1)=-3\).
Решение.
ОДЗ уравнения: \(4x+1>0\).
Пользуясь определением логарифма, уравнение можно переписать в виде \(\left(\frac13\right)^{-3}=4x+1\). Так как \(\left(\frac13\right)^{-1}=3\), то \(\left(\frac13\right)^{-3}=3^3=27\). Следовательно, получаем уравнение \(27=4x+1\), откуда \(x=6,5\). Данный корень подходит по ОДЗ. 2) Решить уравнение \(\log_{\sqrt5}(2x+15)=4\log_{\sqrt5}2\).
Решение.
ОДЗ уравнения: \(2x+15>0\).
Так как \(m\log_ab=\log_ab^m\), то \(4\log_{\sqrt5}2=\log_{\sqrt5}2^4=\log_{\sqrt5}16\). Следовательно, получаем уравнение \(\log_{\sqrt5}(2x+15)=\log_{\sqrt5}16\). Получили простейшее логарифмические уравнение, которое преобразуется в \(2x+15=16\), откуда \(x=0,5\). Данный корень подходит по ОДЗ. 3) Решить уравнение \(\log_3(2x+1)=\log_3(3-x)+1\).
Решение.
ОДЗ уравнения: \(2x+1>0\) и \(3-x>0\).
Так как \(1=\log_33\), то правая часть равна \(\log_3(3-x)+\log_33=\log_3(3(3-x))\), следовательно, уравнение примет вид \(\log_3(2x+1)=\log_3(9-3x)\). Данное уравнение преобразуется в \(2x+1=9-3x\), откуда \(x=1,6\). Данный корень подходит по ОДЗ.

Факт 2.
\(\bullet\) Объясним, зачем нужны модули в формулах (2) и (4).

1) Рассмотрим частный случай формулы (2) при четном \(m\): \(\log_a{b^m}=m\log_a{|b|}\) на примере.
Рассмотрим: \(\log_3{b^2}=2\log_3{|b|}\).
Зачем модуль? Заметим, что в левую часть равенства можно подставлять вместо \(b\) все числа \(b\ne 0\). Если в правой части не поставить модуль (т.е. \(\log_3b\)), то вместо \(b\) можно подставлять только \(b>0\). Таким образом, теряется часть возможных значений числа \(b\).

2) В формулах (4): \[\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \ \ \ \ \ \ \text{и} \ \ \ \ \ \ \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}\] аналогичная причина: в левую часть равенств можно подставлять как одновременно положительные \(b\) и \(c\), так и одновременно отрицательные (так как произведение двух отрицательных чисел является положительным числом). А вот в правые части, если в них убрать модули, отрицательные \(b\) и \(c\) уже подставлять будет нельзя (так как аргумент логарифма – всегда положительное выражение). Таким образом, не поставив модули, мы значительно сузим возможные значения для \(b\) и \(c\).
Пример:
Если не поставить модули, а записать, например, \(\log_2{bc}=\log_2b+\log_2c\), то значения \(b=-1\) и \(c=-1\) не удовлетворяют равенству. Тогда как с модулями числа \(b\) и \(c\) могут одновременно быть отрицательными.

shkolkovo.net

Логарифмические уравнения. Способы решения и примеры

С уравнениями мы все знакомы с начальных классов. Еще там мы учились решать самые простые примеры, и надо признать, что они находят свое применение даже в высшей математике. С уравнениями все просто, в том числи и с квадратными. Если у вас проблемы с этой темой, настоятельно рекомендуем вам повторить ее.

Логарифмы вы, вероятно, тоже уже прошли. Тем не менее, считаем важным рассказать, что это для тех, кто еще не знает. Логарифм приравнивается к степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получилось число, стоящее справа от знака логарифма. Приведем пример, исходя из которого, вам все станет ясно.

Если вы возведете 3 в четвертую степень получится 81. Теперь подставьте по аналогии числа, и поймете окончательно, как решаются логарифмы. Теперь осталось лишь совместить два рассмотренных понятия. Изначально ситуация кажется чрезвычайно сложной, но при ближайшем рассмотрении весе становится на свои места. Мы уверены, что после этой короткой статьи у вас не будет проблем в этой части ЕГЭ.

Как правильно решать?

Сегодня выделяют множество способов решения подобных конструкций. Мы расскажем о самых простых, эффективных и наиболее применимых в случае заданий ЕГЭ. Решение логарифмических уравнений должно начинаться с самого простого примера. Простейшие логарифмические уравнения состоят из функции и одной переменной в ней.

Важно учесть, что x находится внутри аргумента. A и b должны быть числами. В таком случае вы можете попросту выразить функцию через число в степени. Выглядит это следующим образом.

Разумеется, решение логарифмического уравнения таким методом приведет вас к верному ответу. Ног проблема подавляющего большинства учеников в этом случае заключается в том, что они не понимают, что и откуда берется. В результате приходится мириться с ошибками и не получать желаемых баллов. Самой обидной ошибкой будет, если вы перепутаете буквы местами. Чтобы решить уравнение этим способом, нужно зазубрить эту стандартную школьную формулу, потому что понять ее сложно.

Чтобы было проще, можно прибегнуть к другому способу – канонической форме. Идея крайне проста. Снова обратите внимание на задачу. Помните, что буква a – число, а не функция или переменная. A не равно одному и больше нуля. На b никаких ограничений не действует. Теперь из всех формул вспоминаем одну. B можно выразить следующим образом.

Из этого следует, что все исходные уравнения с логарифмами можно представить в виде:

Теперь мы можем отбросить логарифмы. Получится простая конструкция, которую мы уже видели ранее.

Удобство данной формулы заключается в том, что ее можно применять в самых разных случаях, а не только для самых простых конструкций.

Не переживайте насчет ООФ!

Многие опытные математики заметят, что мы не уделили внимание области определения. Сводится правило к тому, что F(x) обязательно больше 0. Нет, мы не упустили этот момент. Сейчас мы говорим об еще одном серьезном преимуществе канонической формы.

Лишних корней здесь не возникнет. Если переменная будет встречаться лишь в одном месте, то область определения не является необходимостью. Она выполняется автоматически. Чтобы убедиться в данном суждении, займитесь решением нескольких простых примеров.

Как решать логарифмические уравнения с разными основаниями

Это уже сложные логарифмические уравнения, и подход к их решению должен быть особым. Здесь редко получается ограничиться пресловутой канонической формой. Начнем наш подробный рассказ. Мы имеем следующую конструкцию.

Обратите внимание на дробь. В ней находится логарифм. Если вы увидите такое в задании, стоит вспомнить один интересный прием.

Что это значит? Каждый логарифм можно представить в виде частного двух логарифмов с удобным основанием. И у данной формулы есть частный случай, который применим с этим примером (имеем ввиду, если c=b).

Именно такую дробь мы и видим в нашем примере. Таким образом.

По сути, перевернули дробь и получили более удобное выражение. Запомните этот алгоритм!

Теперь нужно, что логарифмическое уравнение не содержало разных оснований. Представим основание дробью.

В математике есть правило, исходя из которого, можно вынести степень из основания. Получается следующая конструкция.

Казалось бы, что мешает теперь превратить наше выражение в каноническую форму и элементарно решить ее? Не все так просто. Дробей перед логарифмом быть не должно. Исправляем эту ситуацию! Дробь разрешается выносить в качестве степени.

Соответственно.

Если основания одинаковые, мы можем убрать логарифмы и приравнять сами выражения. Так ситуация станет в разы проще, чем была. Останется элементарное уравнение, которое каждый из нас умел решать еще в 8 или даже в 7 классе. Расчеты вы сможете произвести сами.

Мы получили единственно верный корень этого логарифмического уравнения. Примеры решения логарифмического уравнения достаточно просты, не так ли? Теперь и у вас получится самостоятельно разобраться даже с самыми сложными задачами для подготовки и сдачи ЕГЭ.

Что в итоге?

В случае с любыми логарифмическими уравнениями мы исходим из одного очень важного правила. Необходимо действовать так, чтобы привести выражение к максимально простому виду. В таком случае у вас будет больше шансов не просто решить задание правильно, но еще и сделать это максимально простым и логичным путем. Именно так всегда действуют математики.

Настоятельно не рекомендуем вам искать сложных путей, особенно в этом случае. Запомните несколько простых правил, которые позволят преобразовать любое выражение. К примеру, привести два или три логарифма к одному основанию или вывести степень из основания и выиграть на этом.

Также стоит помнить о том, что в решении логарифмических уравнений необходимо постоянно тренироваться. Постепенно вы будете переходить ко все более сложным конструкциям, а это приведет вас к уверенному решению всех вариантов задач на ЕГЭ. Готовьтесь к экзаменам заблаговременно, и удачи вам!

Логарифмы простые – Глава 4 Логарифмы и простые числа. Простые числа [Долгая дорога к бесконечности]