Логарифмы основные формулы – Формулы и свойства логарифмов.

Содержание

формулы и их свойства / Блог :: Бингоскул

  • Блог
  • Логарифмы: формулы и их свойства

Логарифм положительного числа b по основанию а —  \log_{a}b  — это показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить b.

b>0, a>0, a\not=1

 

Виды логарифмов

  1. loga b — логарифм числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
  2. lg b — десятичный логарифм (логарифм по основанию 10, a = 10).
  3. ln b — натуральный логарифм (логарифм по основанию e, a = e). Основание является число Эйлера (e = 2,7).

 

Правила логарифмов:

  1. основание a всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь «1» и «0» в любой степени всегда равны своим значениям;
  2. если а > 0, то и аb>0, получается, что и «с» должно быть больше нуля.

 

Что нужно знать, чтобы решать логарифмы: 

 

Формулы и свойства логарифмов

  • \log_{a}a = 1
  • \log_{a}1 = 0
  • \log_{a}xy =\log_{a}x + \log_{a}y 
  • \log_{a}\frac{x}{y} =\log_{a}x — \log_{a}y 
  • \log_{a}x^n = n*\log_{a}x 
  • \log_{a^k}x = \frac{1}{k}\log_{a}x
  • a^{\log_{x}a} = x
  • \log_{a^k}x^{n} = \frac{n}{k}\log_{a}x
  • \log_{a^n}x^{n} = \log_{a}x
  • \log_{a}x=\frac{\log_{d}x}{\log_{d}a} — формула перехода к новому основанию
  • \log_{a}x=\frac{1}{\log_{x}a}
  • \log_{a}x \cdot \log_{x}a = 1
  • a^{\log_{x}c} = c ^{\log_{x}a} — основное логарифмическое тождество
  • a^{\log^{2}_{a}x} = x^{ \log_{a}x}
  • \log_{a} \sqrt[n]{x}=\frac{1}{n} \cdot \log_{a}x

 

 

Смотри также: Основные формулы по математике

 

Решай с разбором:

bingoschool.ru

Свойства логарифмов и их формулы

Если основание логарифма то логарифм называется десятичным. Такой логарифм имеет специальное обозначение:

   

Логарифм с основанием называется натуральным и обозначается

   

Основное логарифмическое тождество:

   

   

   

Логарифм произведения

   

Логарифм частного

   

Логарифм степени

   

   

   

Переход к новому основанию

   

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Формулы логарифмов

Логарифм — это число использование которого делает проще решение сложных математических вычислений. Применение логарифмов путем замены ими цифр, делает возможным замену знака умножения на знак плюс, а разделение на минус. Так же возведение в степень можно упростить как, умножение с выведением корня и деление. Логарифм конкретного числа является степень, возведения другого числа, которое приходится основанием log, для получения нужного конкретного числа.

Рассмотрим для наглядности, нужно найти log из 200, основание 20 = 2. Возводим 20 в квадрат и получаем 200. 202=200. При n- конкретном числе, b- основании, l- логарифме, соответственно bl=n. При этом n так же можно использовать с основой b к числу l. В этом случае получится все тоже самое только числа будут идти в обратном порядке. Из чего следует, log bn=l как antilog bl=n.

Логарифмы обладают свойствами:

Формулы логарифмов

1) ?loga b = b — является основным логарифмическим тождеством.

2) Log?? = 1, ??0, ??1.

3) Log?1 =0, ??0, ??1.

log 1 с любым положительным числом = 0. Так как 1 есть в любом действительном числе которое возведенное в нулевую степень.

4) log ? (bc) = log?b + log?c

5) log? b/c = log?b — log?c

6) log? bp = p * log?b

7) log?k b = 1/k * log? b

8) log? b = 1/ logb?

9) log? b = logcb / log

c? — служит переходом на новое основание.

Основанием может быть любое число, только не единица. В случае когда n, b приходятся рациональными числами, очень редко можно найти такое же значение l.

На сайте www.rublank.ru вы сможете приобрести различные технологические бланки и журналы. Там же Вы сможите найти журнал авторского надзора за строительством (http://www.rublank.ru/shop/stroitelstvo/zhurnaly/zhurnal_avtorskogo_nadzora_za_stroitel_stvom/) перейдите по ссылке и узнайте подробнее.

Логарифмы в истории. Все основные логарифмические принципы известны с давних времен. Корнями своими они уходят в 2000 века до нашей эры (использовались в расчетах процентов). Позднее ученый Архимед используя степени, находил максимальный предел количества песчинок для заполнения Вселенной. Многие ученые математики приложили усилия в развитие логарифмов, к примеру Штифель ввел таблицу + и — степени от 2. Благодаря которой он выявил четыре правила для логарифмов. Опираясь на труды Штифеля другой ученый Непер разработал таблицы не только из log но и тригонометрических функций. В дальнейшем развитии стали появляться гиперболические логарифмы, логарифмические функции и многое другое известное на сегодняшний день.

Впрочем изначального назначения логарифмы не поменяли, они как и раньше служат помощниками в решении сложных вычислениях. Их широкое применение обусловлено доступностью и быстротой решения. Так как есть помощники такие как логарифмические таблицы и линейка основанная на свойствах логарифмов.

Для наглядности можете посмотреть вот это видео:


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

reshit.ru

правила, основные свойства и формулы

Логарифмы и правила действий с ними достаточно емкие и простые. Следовательно, разобраться в данной теме вам не составит труда. После того как вы узнаете все правила натуральных логарифмов, любая задача решится самостоятельно. Первое знакомство с этой темой может показаться скучным и бессмысленным, но именно при помощи логарифмов решились многие проблемы математиков XVI века. «О чем это?» — подумали вы. Прочтите статью до конца и узнаете, что этот раздел «царицы наук» может быть интересен не только математикам, ученым точных наук, но и простым ученикам средних школ.

Определение логарифма

Начнем с определения логарифма. Как гласят многие учебники: логарифмом числа b по основанию a (logab) является некое число с, для которого выполняется такое равенство: b=ac. То есть, говоря простыми словами, логарифм — определенная степень, в которую возводим основание, чтобы получить данное число. Но важно помнить, что логарифм вида logab имеет смысл только при: a>0; a — число, отличное от 1; b>0, следовательно, делаем вывод, что логарифм можно найти только у положительных чисел.

Классификация логарифмов по основанию

Логарифмы могут быть с любым положительным числом в основании. Но также существует два вида: натуральный и десятичный логарифмы.

  • Натуральный логарифм — логарифм с основанием е (е — число Эйлера, численно приблизительно равняется 2,7, иррациональное число, которое ввели для показательной функции y = ex), обозначается как ln a = logea;
  • Десятичный логарифм — логарифм с основанием 10, то есть log10a = lg a.

Основные правила логарифмов

Для начала нужно познакомиться с основным логарифмическим тождеством: alogab=b, далее следуют два таких основных правила:

  • loga1 = 0 — так как любое число в нулевой степени равно 1;
  • logaa = 1.

Благодаря открытию логарифма для нас не составит труда решить абсолютно любое показательно уравнение, ответ которого нельзя выразить натуральным числом, а только иррациональным. Например: 5х = 9, х = log59 (так как натурального х для данного уравнения не существует).

Действия с логарифмами

  • loga(x · y) = logax+ logay — чтобы найти логарифм произведения, нужно сложить логарифмы сомножителей. Обратите внимание на то, что основания логарифмов одинаковы. Если записать это в обратном порядке, то получим правило сложения логарифмов.
  • loga xy = logax — logay — чтобы найти логарифм частного, нужно найти разность логарифмов делимого и делителя. Обратите внимание: основания у логарифмов одинаковы. При записи в обратном порядке получаем правило вычитания логарифмов.
  • logakxp = (p/k)*logax — таким образом, если в аргументе и основании логарифма стоят степени, то их можно выносить за знак логарифма.
  • logax = logac xc — частный случай предыдущего правила, когда показатели степеней равны, их можно сократить.
  • logax = (logbx)(logba) — так называемый модуль перехода, процедура приведения логарифма к другому основанию.
  • logax = 1/logxa — частный случай перехода, смена мест основания и данного числа. Все выражение, образно говоря, переворачивается, и логарифм с новым основанием оказывается в знаменателе.

История возникновения логарифмов

В XVI веке возникла необходимость проведения многих приближенных вычислений для решения практических задач, главным образом, в астрономии (например, определение положения судна по Солнцу или звездам).

Эта потребность быстро росла и значительную трудность создавало умножение и деление многозначных чисел. И ученый-математик Непер при тригонометрических расчетах решил заменить трудоемкое умножение на обыкновенное сложение, сопоставив для этого некоторые прогрессии. Тогда деление, аналогично, заменяется на процедуру попроще и надежнее — вычитание, а дабы извлечь корень n-ой степени, нужно разделить логарифм подкоренного выражения на n. Решение такой нелегкой задачи в математике явно отображало цели Непера в науке. Вот как он писал об этом в начале своей книги «Рабдология»:

Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, освободить людей от трудности и скуки вычислений, докучливость которых обыкновенно отпугивает очень многих от изучения математики.

Название логарифма предложил сам Непер, он был получен путем совмещения греческих слов, которые в сочетании означали “число отношений”.

Основание логарифма ввел Спейдел. Его заимствовал Эйлер из теории о степенях и перенес в теорию логарифмов. Понятие логарифмирования стало известным благодаря Коппе в XIX веке. А использование натуральных и десятичных логарифмов, а также их обозначения появились благодаря Коши.

В 1614 году Джон Непер издал на латыни сочинение «Описание удивительной таблица логарифмов». Там было изложено краткое описание логарифмов, правил и их свойств. Так термин «логарифм» утвердился в точных науках.

Операцию логарифмирования и первое упоминание о ней появилось благодаря Валлису и Иоганну Бернулли, а окончательно установлена она была Эйлером в XVIII веке.

Именно заслуга Эйлера в распространении логарифмической функции вида y = logax на комплексную область. В первой половине XVIII века вышла его книга «Введение в анализ бесконечных», где были современные определения показательной и логарифмической функций.

Логарифмическая функция

Функция вида y = logах (имеет смысл, только если: а > 0, а ≠ 1).

  • Логарифмическая функция определяется множеством всех положительных чисел, так как запись logах существует только при условии — х > 0;.
  • Данная функция может принимать абсолютно все значения из множества R (действительных чисел). Так как у всякого действительного числа b есть положительное x, чтобы выполнялось равенство logaх = b, то есть, это уравнение имеет корень — х = аb (следует из того, что logaab= b).
  • Функция возрастает на промежутке a>0, а убывает на промежутке 0
  • Если а>0, то функция принимает положительные значения при х>1.

Следует помнить, что любые графики логарифмической функции у = logах имеют одну стационарную точку (1;0), так как logа 1 = 0. Это хорошо видно на иллюстрации графика ниже.

Как видим на изображениях, функция не имеет четности или нечетности, не имеет наибольших или наименьших значений, не ограничена сверху или снизу.

Логарифмическая функция y = logаx и показательная функция y = aх, где (а>0, а≠1), взаимно обратные. Это можно видеть на изображении их графиков.

Решение задач с логарифмами

Обычно решение задачи, содержащей логарифмы, основано на преобразовании их в стандартный вид или же направлено на упрощение выражений под знаком логарифма. Или же стоит переводить обычные натуральные числа в логарифмы с нужным основанием, проводить дальнейшие операции по упрощению выражения.

Есть некие тонкости, которые не стоит забывать:

  • При решении неравенств, когда обе части стоят под логарифмами по правилу с одним основанием, не спешите «отбрасывать» знак логарифма. Помните о промежутках монотонности логарифмической функции. Так как, если основание больше 1 (случай, когда функция возрастает) — знак неравенства останется без изменений, но когда основание больше 0 и меньше 1 (случай, когда функция убывает) — знак неравенства изменится на противоположный;
  • Не забывайте определения логарифма: logах = b, а>0, а≠1 и х>0, чтобы не потерять корней из-за неучтенной области допустимых значений. ОДЗ (область допустимых значений) существует практически для всех сложных функций.

При решении логарифмических уравнений рекомендуется пользоваться равносильными преобразованиями. Также, необходимо быть внимательным и учитывать возможные преобразования, которые способны привести к потере некоторых корней.

Это банальные, но масштабные ошибки, с которыми столкнулись многие на пути поиска верного ответа для задания. Правил решения логарифмов не так уж и много, поэтому эта тема проще, чем другие и последующие, но в ней стоит хорошо разобраться.

Вывод

Данная тема с первого взгляда может показаться сложной и громоздкой, но, исследуя ее глубже и глубже, начинаешь понимать, что тема просто заканчивается, а сложностей так ничего и не вызвало. Мы рассмотрели все свойства, правила и даже ошибки, касающиеся темы логарифмов. Успехов в обучении!

www.nastroy.net

Формулы логарифмов

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени в которую нужно возвести a, чтобы получить b:

c = log a b ⇔ ac = b, причем b > 0, a > 0, a ≠ 1

Свойства логарифма:

a log a b = b log a 1 = 0
log a a = 1 log a an = 1

Логарифм произведения:

log a (u ∙ v) = log a u + log a v

Логарифм отношения:

Логарифм степени и корня:

log a u n = n ∙ log a u

Формула перехода к новому основанию:

Формулы, следующие из свойств логарифма:

log n a ∙ log m b = log m a ∙ log n b a log n b = b log n a

Сравнение логарифмов:

www.mathforyou.net

правила, основные свойства и формулы :: SYL.ru

Логарифмы и правила действий с ними достаточно емкие и простые. Следовательно, разобраться в данной теме вам не составит труда. После того как вы узнаете все правила натуральных логарифмов, любая задача решится самостоятельно. Первое знакомство с этой темой может показаться скучным и бессмысленным, но именно при помощи логарифмов решились многие проблемы математиков XVI века. «О чем это?» — подумали вы. Прочтите статью до конца и узнаете, что этот раздел «царицы наук» может быть интересен не только математикам, ученым точных наук, но и простым ученикам средних школ.

Определение логарифма

Начнем с определения логарифма. Как гласят многие учебники: логарифмом числа b по основанию a (logab) является некое число с, для которого выполняется такое равенство: b=ac. То есть, говоря простыми словами, логарифм — определенная степень, в которую возводим основание, чтобы получить данное число. Но важно помнить, что логарифм вида logab имеет смысл только при: a>0; a — число, отличное от 1; b>0, следовательно, делаем вывод, что логарифм можно найти только у положительных чисел.

Классификация логарифмов по основанию

Логарифмы могут быть с любым положительным числом в основании. Но также существует два вида: натуральный и десятичный логарифмы.

  • Натуральный логарифм — логарифм с основанием е (е — число Эйлера, численно приблизительно равняется 2,7, иррациональное число, которое ввели для показательной функции y = ex), обозначается как ln a = logea;
  • Десятичный логарифм — логарифм с основанием 10, то есть log10a = lg a.

Основные правила логарифмов

Для начала нужно познакомиться с основным логарифмическим тождеством: alogab=b, далее следуют два таких основных правила:

  • loga1 = 0 — так как любое число в нулевой степени равно 1;
  • logaa = 1.

Благодаря открытию логарифма для нас не составит труда решить абсолютно любое показательно уравнение, ответ которого нельзя выразить натуральным числом, а только иррациональным. Например: 5х = 9, х = log59 (так как натурального х для данного уравнения не существует).

Действия с логарифмами

  • loga(x · y) = logax+ logay — чтобы найти логарифм произведения, нужно сложить логарифмы сомножителей. Обратите внимание на то, что основания логарифмов одинаковы. Если записать это в обратном порядке, то получим правило сложения логарифмов.
  • loga xy = logax — logay — чтобы найти логарифм частного, нужно найти разность логарифмов делимого и делителя. Обратите внимание: основания у логарифмов одинаковы. При записи в обратном порядке получаем правило вычитания логарифмов.
  • logakxp = (p/k)*logax — таким образом, если в аргументе и основании логарифма стоят степени, то их можно выносить за знак логарифма.
  • logax = logac xc — частный случай предыдущего правила, когда показатели степеней равны, их можно сократить.
  • logax = (logbx)\(logba) — так называемый модуль перехода, процедура приведения логарифма к другому основанию.
  • logax = 1/logxa — частный случай перехода, смена мест основания и данного числа. Все выражение, образно говоря, переворачивается, и логарифм с новым основанием оказывается в знаменателе.

История возникновения логарифмов

В XVI веке возникла необходимость проведения многих приближенных вычислений для решения практических задач, главным образом, в астрономии (например, определение положения судна по Солнцу или звездам).

Эта потребность быстро росла и значительную трудность создавало умножение и деление многозначных чисел. И ученый-математик Непер при тригонометрических расчетах решил заменить трудоемкое умножение на обыкновенное сложение, сопоставив для этого некоторые прогрессии. Тогда деление, аналогично, заменяется на процедуру попроще и надежнее — вычитание, а дабы извлечь корень n-ой степени, нужно разделить логарифм подкоренного выражения на n. Решение такой нелегкой задачи в математике явно отображало цели Непера в науке. Вот как он писал об этом в начале своей книги «Рабдология»:

Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, освободить людей от трудности и скуки вычислений, докучливость которых обыкновенно отпугивает очень многих от изучения математики.

Название логарифма предложил сам Непер, он был получен путем совмещения греческих слов, которые в сочетании означали “число отношений”.

Основание логарифма ввел Спейдел. Его заимствовал Эйлер из теории о степенях и перенес в теорию логарифмов. Понятие логарифмирования стало известным благодаря Коппе в XIX веке. А использование натуральных и десятичных логарифмов, а также их обозначения появились благодаря Коши.

В 1614 году Джон Непер издал на латыни сочинение «Описание удивительной таблица логарифмов». Там было изложено краткое описание логарифмов, правил и их свойств. Так термин «логарифм» утвердился в точных науках.

Операцию логарифмирования и первое упоминание о ней появилось благодаря Валлису и Иоганну Бернулли, а окончательно установлена она была Эйлером в XVIII веке.

Именно заслуга Эйлера в распространении логарифмической функции вида y = logax на комплексную область. В первой половине XVIII века вышла его книга «Введение в анализ бесконечных», где были современные определения показательной и логарифмической функций.

Логарифмическая функция

Функция вида y = logах (имеет смысл, только если: а > 0, а ≠ 1).

  • Логарифмическая функция определяется множеством всех положительных чисел, так как запись logах существует только при условии — х > 0;.
  • Данная функция может принимать абсолютно все значения из множества R (действительных чисел). Так как у всякого действительного числа b есть положительное x, чтобы выполнялось равенство logaх = b, то есть, это уравнение имеет корень — х = аb (следует из того, что logaab= b).
  • Функция возрастает на промежутке a>0, а убывает на промежутке 0<а<1.
  • Если а>0, то функция принимает положительные значения при х>1.

Следует помнить, что любые графики логарифмической функции у = logах имеют одну стационарную точку (1;0), так как logа 1 = 0. Это хорошо видно на иллюстрации графика ниже.

Как видим на изображениях, функция не имеет четности или нечетности, не имеет наибольших или наименьших значений, не ограничена сверху или снизу.

Логарифмическая функция y = logаx и показательная функция y = aх, где (а>0, а≠1), взаимно обратные. Это можно видеть на изображении их графиков.

Решение задач с логарифмами

Обычно решение задачи, содержащей логарифмы, основано на преобразовании их в стандартный вид или же направлено на упрощение выражений под знаком логарифма. Или же стоит переводить обычные натуральные числа в логарифмы с нужным основанием, проводить дальнейшие операции по упрощению выражения.

Есть некие тонкости, которые не стоит забывать:

  • При решении неравенств, когда обе части стоят под логарифмами по правилу с одним основанием, не спешите «отбрасывать» знак логарифма. Помните о промежутках монотонности логарифмической функции. Так как, если основание больше 1 (случай, когда функция возрастает) — знак неравенства останется без изменений, но когда основание больше 0 и меньше 1 (случай, когда функция убывает) — знак неравенства изменится на противоположный;
  • Не забывайте определения логарифма: logах = b, а>0, а≠1 и х>0, чтобы не потерять корней из-за неучтенной области допустимых значений. ОДЗ (область допустимых значений) существует практически для всех сложных функций.

При решении логарифмических уравнений рекомендуется пользоваться равносильными преобразованиями. Также, необходимо быть внимательным и учитывать возможные преобразования, которые способны привести к потере некоторых корней.

Это банальные, но масштабные ошибки, с которыми столкнулись многие на пути поиска верного ответа для задания. Правил решения логарифмов не так уж и много, поэтому эта тема проще, чем другие и последующие, но в ней стоит хорошо разобраться.

Вывод

Данная тема с первого взгляда может показаться сложной и громоздкой, но, исследуя ее глубже и глубже, начинаешь понимать, что тема просто заканчивается, а сложностей так ничего и не вызвало. Мы рассмотрели все свойства, правила и даже ошибки, касающиеся темы логарифмов. Успехов в обучении!

www.syl.ru

Пособие для обучающихся «Формулы и свойства логарифмов»

Государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Тульской области

«Алексинский машиностроительный техникум»

Формулы и свойства

логарифмов

Разработан

преподавателем

математики

Христофоровой М.Ю.

Определение

Логарифмом числа b по основанию α (loqαb) называется такое число c, что b = αc, то есть записи loqαb = c и b = αc  равносильны.

Логарифм числа b по основанию α  определяется как показатель степени, в которую надо возвести число α, чтобы получить число b.

Логарифм в переводе с греческого буквально означает «число, изменяющее отношение».

Обозначение логарифма: loqαb

Произносится: «логарифм b по основанию α».

Логарифм имеет смысл, если α >0, α ≠1, b >0.

Правило о знаке логарифма:

— если основание α логарифма и число b расположены на числовой оси по одну сторону от 1, то loqαb положителен.

— если основание α логарифма и число b расположены на числовой оси по разные стороны от 1, то loqαb отрицателен.

Логарифм существует только у положительных чисел.

Вычисление логарифма называется логарифмированием.

Числа α , b чаще всего вещественные, но существует также теория комплексных логарифмов

Специальные обозначения:

  1. Натуральный логарифм ln α — логарифм по основанию e, где e — число Эйлера.

  2. Десятичный логарифм lq α  — логарифм по основанию 10.

Производная логарифмической функции равна:

Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям:      


Свойства логарифмов:

1°     — основное логарифмическое тождество.

2°    

3°    

Логарифм единицы по любому положительному, отличному от 1, основанию равен нулю, т.к. из любого действительного числа можно получить 1 только возведя его в нулевую степень.

4°     — логарифм произведения.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

5°     — логарифм частного.

Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

6°     — логарифм степени.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

7°    

8°    

9°     — переход к новому основанию.

Если выражения для основания логарифма и для логарифмируемого выражения содержат возведение в степень, для упрощения можно применить следующее тождество:

Это тождество сразу получается, если в логарифме слева заменить основание  на  по вышеприведённой формуле замены основания. Следствия:

Ещё одно полезное тождество:

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию .

Она определена при .

Область значений: .

Эта кривая часто называется логарифмикой.

Из формулы замены основания логарифма видно, что графики логарифмических функций с разными основаниями, бо́льшими единицы, отличаются один от другого только масштабом по оси ; графики для оснований, меньших единицы, являются их зеркальным отражением относительно горизонтальной оси.

Функция является строго возрастающей при   и строго убывающей при .

График любой логарифмической функции проходит через точку . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет.

Ось ординат () является левой вертикальной асимптотой

Из определения следует, что логарифмическая зависимость есть обратная функция для показательной функции , поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (см. рисунок).

Как и показательная, логарифмическая функция относится к категории трансцендентных функций.

infourok.ru