Квадратное уравнение примеры с решением – Решение квадратных уравнений, примеры, тесты. Особые случаи. Разложение квадратного трехчлена на множители. Теорема Виета прямая, обратная

Содержание

Квадратные уравнения. Примеры решения

Задачи на квадратное уравнение изучаются и в школьной программе и в ВУЗах. Под ними понимают уравнения вида a*x^2 + b*x + c = 0,где x- переменная, a,b,c – константы; a<>0. Задача состоит в отыскании корней уравнения.

Геометрический смысл квадратного уравнения

Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения — это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х). Из этого следует, что есть три возможных случая:
1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох. Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

3) Последний случай на практике интересный больше — существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. Это означает, что существует два действительных корня уравнения.

На основе анализа коэффициентов при степенях переменных можно сделать интересные выводы о размещении параболы.

1) Если коэффициент а больше нуля то парабола направлена ветками вверх, если отрицательный — ветки параболы направлены вниз.

2) Если коэффициент b больше нуля то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если принимает отрицательное значение — то в правой.

Вывод формулы для решения квадратного уравнения

Перенесем константу с квадратного уравнения

за знак равенства, получим выражение

Умножим обе части на 4а

Чтобы получить слева полный квадрат добавим в обеих частях b^2 и осуществим преобразование

Отсюда находим

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

Теорема Виета

Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q. Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета.

Расписание квадратного уравнения на множители

Пусть поставлена задача: разложить квадратное уравнение на множители. Для его выполнения сначала решаем уравнение (находим корни). Далее, найденные корни подставляем в формулу разложения квадратного уравненияНа этом задача будет разрешен.

Задачи на квадратное уравнение

Задача 1. Найти корни квадратного уравнения

x^2-26x+120=0.

Решение: Запишем коэффициенты и подставим в формулу дискриминанта

Корень из данного значения равен 14, его легко найти с калькулятором, или запомнить при частом использовании, однако для удобства, в конце статьи я Вам дам список квадратов чисел, которые часто могут встречаться при подобных задачах.
Найденное значение подставляем в формулу корней

и получаем

 

Задача 2. Решить уравнение

2x2+x-3=0.

Решение: Имеем полное квадратное уравнение, выписываем коэффициенты и находим дискриминант

По известным формулам находим корни квадратного уравнения

 

Задача 3. Решить уравнение

9x2-12x+4=0.

Решение: Имеем полное квадратное уравнение. Определяем дискриминант

Получили случай когда корни совпадают. Находим значения корней по формуле

 

Задача 4. Решить уравнение

x^2+x-6=0.

Решение: В случаях когда есть малые коэффициенты при х целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения

С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6. Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2}. С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
Корни уравнения равны

 

Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см2.

Решение: Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х – большую сторону, тогда 18-x меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х(18-х)=77;
или
х2-18х+77=0.
Найдем дискриминант уравнения

Вычисляем корни уравнения

Если х=11, то 18-х=7, наоборот тоже справедливо (если х=7 , то 21-х=9).

 

Задача 6. Разложить квадратное 10x2-11x+3=0 уравнения на множители.

Решение: Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант

Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем

Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями

Раскрыв скобки получим тождество.

Квадратное уравнение с параметром

Пример 1. При каких значениях параметра а, уравнение (а-3)х2+(3-а)х-1/4=0 имеет один корень?

Решение: Прямой подстановкой значения а=3 видим, что оно не имеет решения. Далее воспользуемся тем, что при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень кратности 2. Выпишем дискриминант

упростим его и приравняем к нулю

Получили квадратное уравнение относительно параметра а, решение которого легко получить по теореме Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение 12. Простым перебором устанавливаем, что числа 3,4 будут корнями уравнения. Поскольку решение а=3 мы уже отвергли в начале вычислений, то единственным правильным будет — а=4. Таким образом, при а=4 уравнение имеет один корень.

 

Пример 2. При каких значениях параметра а, уравнение а(а+3)х^2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?

Решение:Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0 и а=-3. При а=0 уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2 и будет один корень. При а= -3 получим тождество 0=0.
Вычислим дискриминант

и найдем значения а при котором оно положительно

С первого условия получим а>3. Для второго находим дискриминант и корни уравнения

Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0 получим 3>0. Итак, за пределами промежутка (-3;1/3) функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0, которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи

Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.

yukhym.com

Решение квадратных уравнений, примеры, тесты. Особые случаи. Разложение квадратного трехчлена на множители. Теорема Виета прямая, обратная

Тестирование онлайн

Решение квадратных уравнений

Квадратным уравнением называется уравнение вида

a, b и c — числа, х — переменная

Для нахождения корней квадратного уравнения необходимо найти дискриминант по формуле

1) Если D>0, то уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам

2) Если D=0, то уравнение имеет один корень, который находится по формуле

3) Если D, то уравнение не имеет корней.

Особые случаи

Неполное квадратное уравнение:

Решать неполное квадратное уравнение можно способом, описанным выше, но можно использовать простые методы решения

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен с дискриминантом можно разложить на множители по формуле

Теорема Виета

Приведенное квадратное уравнение имеет вид

т.е. коэффициент a=1.

Если x1 и x2 — корни приведенного квадратного уравнения, то

Теорема, обратная теореме Виета

Если p, q, x1, x2 таковы, что

то x1, x2 — корни уравнения

fizmat.by

Формула решения квадратных уравнений и примеры ее использования

После изучения уравнений первого порядка в школах проходят тему квадратных равенств. Существует несколько методов их решения, однако применение формулы с дискриминантом является самым распространенным и универсальным. Рассмотрим в статье эту формулу решения уравнений квадратных.

Какие уравнения называются квадратными?

Ниже приведен рисунок, на котором изображено равенство, состоящее из трех слагаемых. Переменная x является неизвестной. Поскольку первый член содержит ее во второй степени, то данное выражение получило название квадратного. Латинскими буквами a, b и c в нем обозначены числовые коэффициенты.

Это уравнение называют полным, поскольку в нем присутствуют все слагаемые, содержащие переменную во 2-й, 1-й и 0-й степенях (член c, называемый свободным, можно представить в виде c * x0).

Если один из коэффициентов b или c будет нулевым, тогда уравнение станет неполным. Заметим, что равенство нуля числа a автоматически преобразует рассматриваемое выражение в линейное уравнение.

Как для полных, так и для неполных равенств второго порядка можно использовать формулу решения уравнения квадратного через дискриминант.

Универсальная формула

Как было упомянуто выше, через дискриминант формула решения уравнения квадратного может использоваться для нахождения корней равенства второго порядка совершенно любого типа. Эта формула изображена на рисунке ниже.

Из нее видно, что уравнение максимум может иметь два решения (знак ±), однако если подкоренное выражение в знаменателе будет равно нулю, тогда неизвестный x, удовлетворяющий равенству, будет представлен единственным действительным числом. Формула решения уравнения квадратного демонстрирует также, что ее использование возможно в случае знания всех трех (или меньше для неполного уравнения) его коэффициентов.

Рассматриваемую формулу можно получить самостоятельно, для этого достаточно решить уравнение в общем виде с помощью метода дополнения до полного квадрата.

Отметим, что эту формулу для определения корней неполных уравнений нет необходимости использовать, поскольку существуют более простые методы решения (факторизация с помощью вынесения за скобки икса или простой перенос свободного члена в правую часть равенства и взятие корня из него).

Понятие дискриминанта и его значение

Если посмотреть еще раз на формулу решения уравнения квадратного через дискриминант, то последним будет называться разность, заключенная под знак корня в знаменателе, то есть b2 — 4 * a *c.

Какую роль он играет? Не зная об уравнении совершенно ничего, а имея только его дискриминант, можно с уверенностью сказать, сколько решений оно имеет, и какого они типа. Так, положительному значению дискриминанта соответствует 2 действительных решения, отрицательное его значение говорит также о 2-х решениях, но они уже будут комплексными числами. Наконец, если дискриминант равен нулю, что выполняется, когда b * b = 4 * a * c, то уравнение будет обладать лишь одним действительным корнем x.

Примеры решения равенств второго порядка

Используя формулу корней квадратного уравнения, решение уравнений квадратных приведем в задачах разного характера.

Задача № 1. Произведение некоторых 2-х чисел равно -84, а их сумма составляет 5. Нужно определить эти числа.

Составляем систему уравнений согласно заданному условию, получаем:

x1 * x2 = -84

x1 + x2 = 5

Выражаем из второго уравнения x1, подставляем его в первое:

(5 — x2) *x2 = -84 = -(x2)2 + 5 * x2

Теперь следует перенести члены с иксом и иксом в квадрате в левую часть и вычислить дискриминант:

(x2)2 — 5 * x2 — 84 = 0; D = 25 — 4 *1 * (-84) = 361

Воспользовавшись универсальной формулой, получаем значение корней уравнения:

x2 = (5 ± 19) / 2 = > x2 = (12; -7)

Чтобы получить x1, можно воспользоваться любым из уравнений системы. Подставляя известные значения x2, мы получим аналогичные числа для x1. Этот факт означает, что условию задачи удовлетворяет всего одна пара чисел, то есть -7 и 12.

Задача № 2. Теперь решим несколько необычную задачу. Ниже дано уравнение:

x2 − k * x + 36 = 0

Необходимо найти все значения k, которые приводили бы к единственному решению равенства.

Чтобы понять, как ответить на поставленный вопрос, следует вспомнить, что уравнения рассматриваемого типа имеет 1 корень только в том случае, если его дискриминант нулевой. То есть нам нужно найти этот дискриминант, откуда можно получить число k. Имеем:

D = k2 — 4 * 1 * 36 = 0

Полученное равенство называется чистым уравнением второго порядка (в нем нет коэффициента b). Решаем его:

k = ±√144 = ±12

Таким образом, если число k примет значение +12 или -12, то корень уравнения будет один.

fb.ru

Способы решения квадратных уравнений



Наш проект посвящен способам решения квадратных уравнений. Цель проекта: научиться решать квадратные уравнения способами, не входящими в школьную программу. Задача: найти все возможные способы решения квадратных уравнений и научиться их использовать самим и познакомить одноклассников с этими способами.

Что же такое «квадратные уравнения»?

Квадратное уравнение — уравнение вида ax2+ bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа (a ≠ 0), x — неизвестное.

Числа a, b,c называются коэффициентами квадратного уравнения.

  • a называется первым коэффициентом;
  • b называется вторым коэффициентом;
  • c — свободным членом.

А кто же первый «изобрёл» квадратные уравнения?

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Вавилонские математики примерно с IV века до н.э. использовали метод дополнения квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. Эвклид придумал более общий геометрический метод решения. Первым математиком, который нашел решения уравнения с отрицательными корнями в виде алгебраической формулы, был индийский ученый Брахмагупта (Индия, VII столетие нашей эры).

Брахмагупта изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ax2 + bх = с, а>0

В этом уравнении коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх.

2) «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.

3) «Корни равны числу», т. е. ах2 = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах2.

Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья,Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Рассмотрим несколько способов решения квадратных уравнений.

Стандартные способы решения квадратных уравнений из школьной программы:

  1. Разложение левой части уравнения на множители.
  2. Метод выделения полного квадрата.
  3. Решение квадратных уравнений по формуле.
  4. Графическое решение квадратного уравнения.
  5. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Остановимся подробнее на решение приведенных и не приведенных квадратных уравнений по теореме Виета.

Напомним, что для решения приведенных квадратных уравнений достаточно найти два числа такие, произведение которых равно свободному члену, а сумма — второму коэффициенту с противоположным знаком.

Пример.x2-5x+6=0

Нужно найти числа, произведение которых равно 6, а сумма 5. Такими числами будут 3 и 2.

Ответ: x1=2, x2=3.

Но можно использовать этот способ и для уравнений с первым коэффициентом не равным единице.

Пример.3x2+2x-5=0

Берём первый коэффициент и умножаем его на свободный член: x2+2x-15=0

Корнями этого уравнения будут числа, произведение которых равно — 15, а сумма равна — 2. Эти числа — 5 и 3. Чтобы найти корни исходного уравнения, полученные корни делим на первый коэффициент.

Ответ: x1=-5/3, x2=1

6. Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а≠0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2х2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0, равносильному данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем х1 = у1/а и х2 = у2/а.

При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример.2 — 11х + 15 = 0.

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену и сделав замену получим уравнение у2 — 11у + 30 = 0.

Согласно обратной теореме Виета

у1 = 5, х1 = 5/2, х1=2,5 ;у2 = 6, x2 = 6/2, x2 = 3.

Ответ: х1=2,5; х2= 3.

7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.

1. Если a+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1.

2. Если а — b + с = 0, или b = а + с, то х1 = — 1.

Пример.345х2 — 137х — 208 = 0.

Так как а + b + с = 0 (345 — 137 — 208 = 0), то х1 = 1, х2 = -208/345.

Ответ: х1=1; х2 = -208/345 .

Пример.132х2 + 247х + 115 = 0

Т.к. a-b+с = 0 (132 — 247 +115=0), то х1= — 1, х2= — 115/132

Ответ: х1= — 1; х2=- 115/132

Существуют и другие свойства коэффициентов квадратного уравнения. но ихиспользование более сложное.

8. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Рис 1. Номограмма

Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 сборника: Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990.

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис. 1):

ОВ =AB =

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см), из рис.1 подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Рис. 2 Решение квадратных уравнения с помощью номограммы

Примеры.

1) Для уравнения z2 — 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0 и z2 = 1,0

Ответ:8,0; 1,0.

2) Решим с помощью номограммы уравнение

2z2 — 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z2 — 4,5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.

Ответ: 4; 0,5.

9. Геометрический способ решения квадратных уравнений.

Пример.х2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5x. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них 2,5, а площадь 6,25

Рис. 3 Графический способ решения уравнения х2 + 10х = 39

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4∙2,5x = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25∙ 4 = 25) , т.е. S = х2 + 10х = 25. Заменяя х2 + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

10. Решение уравнений с использованием теоремы Безу.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x — α равен P(α) (т.е. значению P(x) при x = α).

Если число α является корнем многочлена P(x), то этот многочлен делится на x -α без остатка.

Пример.х²-4х+3=0

Р(x)= х²-4х+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Разделим Р(x) на (х-1):(х²-4х+3)/(х-1)=х-3

х²-4х+3=(х-1)(х-3), (х-1)(х-3)=0

х-1=0; х=1, или х-3=0, х=3; Ответ: х1=2, х2=3.

Вывод: Умение быстро и рационально решать квадратные уравнения просто необходимо для решения более сложных уравнений, например, дробно-рациональных уравнений, уравнений высших степеней, биквадратных уравнений, а в старшей школе тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений. Изучив все найденные способы решения квадратных уравнений, мы можем посоветовать одноклассникам, кроме стандартных способов, решение способом переброски (6) и решение уравнений по свойству коэффициентов (7), так как они являются более доступными для понимания.

Литература:

  1. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990.
  2. Алгебра 8 класс: учебник для 8 кл. общеобразоват. учреждений Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. под ред. С. А. Теляковского 15-е изд., дораб. — М.: Просвещение, 2015
  3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
  4. Глейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. / Под ред. В.Н. Молодшего. — М.: Просвещение, 1964.

yun.moluch.ru

Квадратные уравнения. Решение квадратных уравнений :: SYL.ru

Эта тема поначалу может показаться сложной из-за множества не самых простых формул. Мало того что сами квадратные уравнения имеют длинные записи, еще и корни находятся через дискриминант. Всего получается три новые формулы. Не очень просто запомнить. Это удается только после частого решения таких уравнений. Тогда все формулы будут вспоминаться сами собой.

Общий вид квадратного уравнения

Здесь предложена их явная запись, когда самая большая степень записана первой, и дальше — по убыванию. Часто бывают ситуации, когда слагаемые стоят вразнобой. Тогда лучше переписать уравнение в порядке убывания степени у переменной.

Введем обозначения. Они представлены в таблице ниже.

Обозначение величиныЕе название
а, в, скоэффициенты, которые являются произвольными числами
хпеременная
Ддискриминант
х1, х2корни уравнения

Если принять эти обозначения, все квадратные уравнения сводятся к следующей записи.

Причем коэффициент а ≠ 0. Пусть эта формула будет обозначена номером один.

Когда уравнение задано, то непонятно, сколько корней будет в ответе. Потому что всегда возможен один из трех вариантов:

  • в решении будет два корня;
  • ответом будет одно число;
  • корней у уравнения не будет совсем.

И пока решение не доведено до конца, сложно понять, какой из вариантов выпадет в конкретном случае.

Виды записей квадратных уравнений

В задачах могут встречаться их разные записи. Не всегда они будут выглядеть как общая формула квадратного уравнения. Иногда в ней будет не хватать некоторых слагаемых. То что было записано выше — это полное уравнение. Если в нем убрать второе или третье слагаемое, то получится нечто другое. Эти записи тоже называются квадратными уравнениями, только неполными.

Причем исчезнуть могут только слагаемые у которых коэффициенты «в» и «с». Число «а» не может быть равно нулю ни при каких условиях. Потому что в этом случае формула превращается в линейное уравнение. Формулы для неполного вида уравнений будут такими:

и

Итак, видов всего два, кроме полных, есть еще и неполные квадратные уравнения. Пусть первая формула будет иметь номер два, а вторая — три.

Дискриминант и зависимость количества корней от его значения

Это число нужно знать для того, чтобы вычислить корни уравнения. Оно может быть посчитано всегда, какой бы ни была формула квадратного уравнения. Для того чтобы вычислить дискриминант, нужно воспользоваться равенством, записанным ниже, которое будет иметь номер четыре.

После подстановки в эту формулу значений коэффициентов, можно получить числа с разными знаками. Если ответ положительный, то ответом уравнения будут два различных корня. При отрицательном числе корни квадратного уравнения будут отсутствовать. В случае его равенства нулю ответ будет один.

Как решается квадратное уравнение полного вида?

По сути, рассмотрение этого вопроса уже началось. Потому что сначала нужно найти дискриминант. После того как выяснено, что имеются корни квадратного уравнения, и известно их число, нужно воспользоваться формулами для переменных. Если корней два, то нужно применить такую формулу.

Поскольку в ней стоит знак «±», то значений будет два. Выражение под знаком квадратного корня — это дискриминант. Поэтому формулу можно переписать по-другому.

Формула номер пять. Из этой же записи видно, что если дискриминант равен нулю, то оба корня примут одинаковые значения.

Если решение квадратных уравнений еще не отработано, то лучше до того, как применять формулы дискриминанта и переменной, записать значения всех коэффициентов. Позже этот момент не будет вызывать трудностей. Но в самом начале бывает путаница.

Как решается квадратное уравнение неполного вида?

Здесь все гораздо проще. Даже нет необходимости в дополнительных формулах. И не понадобятся те, что уже были записаны для дискриминанта и неизвестной.

Сначала рассмотрим неполное уравнение под номером два. В этом равенстве полагается вынести неизвестную величину за скобку и решить линейное уравнение, которое останется в скобках. В ответе будет два корня. Первый — обязательно равен нулю, потому что имеется множитель, состоящий из самой переменной. Второй получится при решении линейного уравнения.

Неполное уравнение под номером три решается переносом числа из левой части равенства в правую. Потом нужно разделить на коэффициент, стоящий перед неизвестной. Останется только извлечь квадратный корень и не забыть записать его два раза с противоположными знаками.

Полезные советы

Далее записаны некоторые действия, помогащие научиться решать всевозможные виды равенств, которые превращаются в квадратные уравнения. Они будут способствовать тому, что ученик сможет избежать ошибок по невнимательности. Эти недочеты бывают причиной плохих оценок при изучении обширной темы «Квадратные уравнения (8 класс)». Впоследствии эти действия не нужно будет постоянно выполнять. Потому что появится устойчивый навык.

  • Сначала нужно записать уравнение в стандартном виде. То есть сначала слагаемое с самой большой степенью переменной, а потом — без степени и последним — просто число.
  • Если перед коэффициентом «а» появляется минус, то он может усложнить работу для начинающего изучать квадратные уравнения. От него лучше избавиться. Для этой цели все равенство нужно умножить на «-1». Это значит, что у всех слагаемых изменится знак на противоположный.
  • Таким же образом рекомендуется избавляться от дробей. Просто умножить уравнение на соответствующий множитель, чтобы знаменатели сократились.

Примеры

Требуется решить следующие квадратные уравнения:

х2 − 7х = 0;

2 — 30 = 0;

15 − 2х − х2 = 0;

х2 + 8 + 3х = 0;

12х + х2 + 36 = 0;

(х+1)2 + х + 1 = (х+1)(х+2).

Первое уравнение: х2 − 7х = 0. Оно неполное, поэтому решается так, как было описано для формулы под номером два.

После вынесения за скобки получается: х (х — 7) = 0.

Первый корень принимает значение: х1 = 0. Второй будет найден из линейного уравнения: х — 7 = 0. Легко заметить, что х2 = 7.

Второе уравнение: 5х2 + 30 = 0. Снова неполное. Только решается оно так, как описано для третьей формулы.

После перенесения 30 в правую часть равенства: 5х2 = 30. Теперь нужно выполнить деление на 5. Получается: х2 = 6. Ответами будут числа: х1 = √6, х2 = — √6.

Третье уравнение: 15 − 2х − х2 = 0. Здесь и далее решение квадратных уравнений будет начинаться с их переписывания в стандартный вид: − х2 − 2х + 15 = 0. Теперь пришло время воспользоваться вторым полезным советом и умножить все на минус единицу. Получается х2 + 2х — 15 = 0. По четвертой формуле нужно вычислить дискриминант: Д = 22 — 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Он представляет собой положительное число. Из того, что сказано выше, получается, что уравнение имеет два корня. Их нужно вычислить по пятой формуле. По ней получается, что х = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тогда х1 = 3, х2 = — 5.

Четвертое уравнение х2 + 8 + 3х = 0 преобразуется в такое: х2 + 3х + 8 = 0. Его дискриминант равен такому значению: -23. Поскольку это число отрицательное, то ответом к этому заданию будет следующая запись: «Корней нет».

Пятое уравнение 12х + х2 + 36 = 0 следует переписать так: х2 + 12х + 36 = 0. После применения формулы для дискриминанта получается число ноль. Это означает, что у него будет один корень, а именно: х = -12/ (2 * 1) = -6.

Шестое уравнение (х+1)2 + х + 1 = (х+1)(х+2) требует провести преобразования, которые заключаются в том, что нужно привести подобные слагаемые, до того раскрыв скобки. На месте первой окажется такое выражение: х2 + 2х + 1. После равенства появится эта запись: х2 + 3х + 2. После того как подобные слагаемые будут сосчитаны, уравнение примет вид: х2 — х = 0. Оно превратилось в неполное. Подобное ему уже рассматривалось чуть выше. Корнями этого будут числа 0 и 1.

www.syl.ru

РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ — алгоритмы и примеры

Квадратным уравнением называется уравнение вида

где a, b, c — коэффициенты, причем a ≠ 0, а x – неизвестное, которое нужно найти.

Квадратное уравнение можно свести к приведенному виду – это вид, при котором коэффициент a = 1.

Решение квадратного уравнения через дискриминант

Решение квадратного уравнения через дискриминант выполняется по строго определенному алгоритму:

1. Вычислить дискриминант по формуле

2. Если D < 0 — уравнение не имеет корней

3. Если D > 0 — уравнение имеет 2 корня, которые вычисляются по формулам:

4. Если D = 0 — уравнение имеет ровно 1 корень, который вычисляется по формуле:

Теорема Виета для решения квадратного уравнения

Квадратное уравнение можно решить и с помощью теоремы Виета.

Теорема: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а их произведение – свободному члену этого уравнения.

То есть, чтобы решить квадратное уравнение с помощью теоремы Виета, достаточно подобрать такие x1 и x2, чтобы выполнялось:

Пример решения квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение 2x² — 16x + 30 = 0 двумя способами.

Решение через дискриминант:

a = 2, b = -16, c = 30

D = (-16)² — 4 ⋅ 2 ⋅ 30 = 256 — 240 = 16

D > 0 => имеется 2 различных корня

x1 = (-(-16) + √16) / (2 ⋅ 2) = (16 + 4) / 4 = 5

x2 = (-(-16) — √16) / (2 ⋅ 2) = (16 — 4) / 4 = 3

Ответ: 3 и 5

Решение через теорему Виета:

a = 2, b = -16, c = 30

x1 + x2 = -(-16) / 2 = 8

x1 ⋅ x2 = 30 / 2 = 15

Разложим 15 на возможные пары множителей:

15 = 1 ⋅ 15 = (-1) ⋅ (-15) = 3 ⋅ 5 = (-3) ⋅ (-5)

И проверим, какие из них подойдут в качестве решения:

1 + 15 = 16 ≠ 8

-1 — 15 = -16 ≠ 8

3 + 5 = 8

-3 — 5 = -8 ≠ 8

Таким образом, в качестве корней подойдут только 3 и 5.

Ответ: 3 и 5

После решения любого уравнения рекомендуется подставить полученные корни в начальное уравнение, чтобы проверить правильность решения.

Для проверки результатов можно воспользоваться онлайн-калькулятором для решения квадратных уравнений.

worksbase.ru

Квадратные уравнения, формулы и примеры

Определение и формула квадратного уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Уравнение вида называется квадратным уравнением.

Изучению квадратных уравнений были посвящены труды ученых древности, тому свидетельством являются найденные древние вавилонские глиняные таблички (1800-1600 г.г. до н.э.). На них представлены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.

Древнеиндийский математик Баудхаяма в 8 веке до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме и , а также привел их решения.

Вавилонские математики примерно с 4 века до н.э. и китайские математики примерно со 2 века до н.э. использовали метод дополнения (выделения полного) квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. древнегреческий математик Евклид ( г. до н.э.- г. до н.э.) придумал более общий геометрический метод решения таких уравнений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Число называется дискриминантом квадратного уравнения.

В зависимости от знака дискриминанта квадратное уравнение может иметь различное количество корней как действительных, так и комплексных.

Примеры решения квадратных уравнений

Случай 1. Если дискриминант , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня, которые находятся по формулам:

   

Случай 2. Если дискриминант , то квадратное уравнение (1) имеет два совпадающих действительных корня (или корень кратности два), который вычисляется по формуле:

   

ПРИМЕР 2




ЗаданиеНайти корни квадратного уравнения .
РешениеВычислим дискриминант:

   


Так как дискриминант равен нулю, то, следовательно, квадратное уравнение имеет двукратный корень


   

Ответ.

Случай 3. Если дискриминант , то уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня:

   

где называется мнимой единицей, удовлетворяющей соотношению .

ПРИМЕР 3




ЗаданиеРешить уравнение .
РешениеДискриминант уравнения

   


Так как дискриминант отрицателен, то квадратное уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней:


   

Ответ.



Понравился сайт? Расскажи друзьям!



ru.solverbook.com