Куб разности чисел – Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов и разность четвертых степеней. Квадрат суммы и квадрат разности и куб суммы и куб разности.
Урок 18. Куб суммы и куб разности двух чисел
Куб двучлена a + b представим в виде многочлена:(a + b)3 = (a + b)(a + b)2 =
(a + b) (a2 + 2ab + b2) =
a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Получили тождество:
Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго числа.
(5
+ 2x)3 =
53 + 3 × 53 × 2x + 3 × 5 × (2x)2 + (2x)3
= 123 + 150x + 60
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго числа.
ПРИМЕР:
(5 – 2x)3 =
53– 3 × 53 × 2x + 3 × 5 × (2x)2 – (2x)3
= 123 – 150x + 60x2 – 8x3.
= –3х4 – 3х2 – 2. Однако удобней преобразования выполнять цепочкой.
(х – 1)(х + 1)(х4 + х2 + 1) – (х2 + 1)3
= (х2 – 1)(х4 + х2 + 1) – (х2 + 1)3
= (х6 – 1) – (х2 + 1)3 =
х6 – 1 – (х6 + 3х4 + 3х2 + 1)
= –3х4 – 3х2 – 2.
krasavtsev.blogspot.com
Куб разности
Формула куба разности является одной из формул сокращенного умножения. В основном, такие формулы основаны на таком понятии как Бином Ньютона. Поэтому сначала познакомимся с ним.
Бином Ньютона
Интересующая нас формула, как и многие другие, находятся с помощью формулы Бинома Ньютона.
Она будет иметь следующий вид:
$(α+β)^z=C_z^0 α^z+C_z^1 α^{z-1} β+C_z^2 α^{z-2} β^2+⋯+C_z^{z-1} αβ^{z-1}+C_z^z β^z$
Здесь числа $C_z^0,C_z^1,…,C_z^{z-1},C_z^z$ называются коэффициентами Бинома Ньютона. Чаще всего эти коэффициенты находятся с помощью треугольника Паскаля (Таблица 1).
Вычисленные коэффициентов треугольника паскаля вы можете увидеть в таблице 2.
Формула куба разности через Бином Ньютона
Теперь, используя формулу Бинома Ньютона рассмотренную выше, мы можем вывести формулу куба разности $(α-β)^3$, учитывая, что
$(α-β)^3=(α+(-β))^3$ Из этой формулы получаем:
$(α-β)^3=C_3^0 α^3+C_3^1 α^2 (-β)+C_3^2 a(-β)^2+C_3^3 (-β)^3$
Из таблицы 2, получаем:
$C_3^0 α^3+C_3^1 α^2 (-β)+C_3^2 a(-β)^2+C_3^3 (-β)^3=α^3-3α^2 β+3aβ^2-β^3$
Следовательно, получаем что, куб разности двух выражений равняется разности кубов этих выражений, сложенным с произведением квадрата второго с первым, умноженного на три и с вычетом произведения квадрата первого со вторым, также умноженного на три, то есть:
$(α-β)^3=α^3-3α^2 β+3aβ^2-β^3$
Формула куба суммы через другие формулы
Помимо нахождения описанным выше способ, формулу куба разности можно также найти с помощью другой формулы сокращенного умножения, а именно квадрата разности:
$(α-β)^2=α^2-2aβ+β^2$
Итак, получаем:
$(α-β)^3=(α-β)^2 (α-β)=(α^2-2aβ+β^2 )(α-β)$
Далее, перемножая последние скобки, будем иметь:
$(α^2-2aβ+β^2 )(α-β)=α^3-α^2 β-2α^2 β+2aβ^2+aβ^2-β^3=α^3-3α^2 β+3aβ^2-β^3$
Следовательно, получаем что, куб разности двух выражений равняется разности кубов этих выражений, сложенным с произведением квадрата второго с первым, умноженного на три и с вычетом произведения квадрата первого со вторым, также умноженного на три, то есть:
$(α-β)^3=α^3-3α^2 β+3aβ^2-β^3$
Примеры задач
Пример 1
Найти куб выражения $(2x-3y)$
Решения
Из формулы куба разности, получаем:
$(2x-3y)^3=(2x)^3-3\cdot (2x)^2\cdot 3y+3\cdot 2x\cdot (3y)^2-(3y)^3=8x^3-36x^2 y+54xy^2-27y^3$
Замечание 1
Замечание: Особое внимание нужно обращать на то, что формулу необходимо применять к одночленам, входящим в сумму, целиком. Частой ошибкой в таком случае бывает, что в куб возводится только часть одночлена (к примеру, возводят не $3y$ целиком, а только $y$, что приводит к ошибке!!!)
Пример 2
Возвести в куб:
а) $(-8α+5β)^3$
б) $(q^2+7)^3$
Решение.
а) $(-8α+5β)^3$
Так как у нас нечетная степень, то мы можем вынести знак «минус» за скобки, получим:
$(-8α+5β)^2=-(8α-5β)^3$
Используем формулу куба суммы:
$(8α-5β)^3=(8α)^3-3\cdot (8α)^2\cdot 5β+3\cdot 8α\cdot (5β)^2-(5β)^3=512α^3-960α^2 β+600αβ^2-125β^3$
Окончательно
$(-8α+5β)^3=125β^3-512α^3+960α^2 β-600αβ^2$
б) $(q^2-7)^2$
Используем формулу куба суммы:
$(q^2-7)^2=(q^2)^3-3\cdot (q^2)^2\cdot 7+3\cdot q^2\cdot 7^2-7^3=q^6-21q^4+147q^2-343$
Пример 3
Представить в виде куба $8x^3-12x^2+6x-1$
Решение.
Это выражение можно записать следующим образом:
$8x^3-12x^2+6x-1=(2x)^3-3\cdot (2x)^2\cdot 1+3\cdot 2x\cdot 1-1^3$
Следовательно, по формуле куба суммы
$8x^3-12x^2+6x-1=(2x-1)^3$
Пример 4
Вывести формулу куба разности трех выражений.
Решение.
По условию задачи нам нужно раскрыть скобки в следующем выражении
$(α-β-γ)^3$
Считая $(α-β)$ за первый член суммы, а γ за второй, по формуле куба имеем
$(α-β-γ)^3=(α-β)^3-3(α-β)^2 γ+3(α-β) γ^2-γ^3$
По формулам куба и квадрата разности, подставляя и раскрывая скобки, будем получать
$(α+β+γ)^3=α^3-3α^2 β+3aβ^2-β^3-3α^2 γ+6αβγ-3β^2 γ+3αγ^2-3βγ^2-γ^3$
Окончательно
$(α-β-γ)^3=α^3-β^3-γ^3-3α^2 β-3α^2 γ-3β^2 γ-3βγ^2+3aβ^2+3αγ^2+6αβγ$
Таким образом, используя различные такие формулы можно вывести еще множество формул для сокращенного умножения и рационального преобразования выражений. В частности они помогают и при решений конкретных математический уравнений и задач.
spravochnick.ru
правила применения формул сокращенного умножения
Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее — в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами же формулы получены из существующих в алгебре правил для умножения нескольких многочленов.
Использование данных формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает осуществлять упрощение выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить в левой части равенства выражение, стоящее в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение, стоящее в левой части после знака равенства).
Удобно знать формулы, применяемые для сокращенного умножения, на память, так как они нередко используются при решении задач и уравнений. Ниже перечислены основные формулы, входящие в данный список, и их наименование.
Квадрат суммы
Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения данное правило записывается следующим образом: (а + с)² = a² + 2ас + с².
Квадрат разности
Чтобы вычислить квадрат разности, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с противоположным знаком) и квадрата второго числа. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а — с)² = а² — 2ас + с².
Разность квадратов
Формула разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: a² — с² = (a + с)·(a – с).
Куб суммы
Чтобы вычислить куб суммы двух слагаемых, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого слагаемого и второго, утроенного произведения первого слагаемого и второго в квадрате, а также куба второго слагаемого. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а + с)³ = а³ + 3а²с + 3ас² + с³.
Сумма кубов
Согласно формуле, сумма кубов приравнивается к произведению суммы данных слагаемых на их неполный квадрат разности. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: а³ + с³ = (а + с)·( а² — ас + с²).
Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая образована сложением двух кубов. Известны лишь величины их сторон.
Если значения сторон небольшие, то выполнить вычисления просто.
Если же длины сторон выражаются в громоздких числах, то в этом случае проще применить формулу «Сумма кубов», которая значительно упростит вычисления.
Куб разности
Выражение для кубической разности звучит так: как сумма третьей степени первого члена, утроенного отрицательного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и отрицательного куба второго члена. В виде математического выражения куб разности выглядит следующим образом: (а — с)³ = а³ — 3а²с + 3ас² — с³.
Разность кубов
Формула разности кубов отличается от суммы кубов лишь одним знаком. Таким образом, разность кубов — формула, равная произведению разности данных чисел на их неполный квадрат суммы. В виде математического выражения разность кубов выглядит следующим образом: а3 – с3 = (а – с)(а2 + ас + с2).
Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая останется после вычитания из объема синего куба объемной фигуры желтого цвета, которая также является кубом. Известна лишь величина стороны маленького и большого куба.
Если значения сторон небольшие, то вычисления довольно просты. А если длины сторон выражаются в значительных числах, то стоит применить формулу, озаглавленную «Разность кубов» (или «Куб разности»), которае значительно упростит вычисления.
fb.ru
Куб суммы и куб разности. Правила | Учеба-Легко.РФ
При любых значениях a и b верно равенство
(a+b) 3 = a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 . (1)
Доказательство.
(a+b) 3 = (a+b)(a 2+2ab+b 2) = a 3+2a 2b+ab 2 + a 2b+2ab 2+b 3 = a 3+3a 2b+3ab 2+b 3
Так как равенство (1) верно при любых значениях a и b, то оно является тождеством. Это тождество называется
формулой куба суммы. Если в эту формулу вместо a и b подставить какие-нибудь выражения, например 5y 3 и 2z ,
то опять получится тождество.
(5y 3+2z) 3 = 125y 9+150y 6z +60y 3z 2+8z 3 . (2)
Поэтому формула куба суммы читается так:
куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, плюс куб второго выражения.
При любых значениях a и b верно равенство
(a−b) 3 = a 3−3a 2b+3ab 2−b 3 . (3)
Доказательство.
(a−b) 3 = (a−b)(a 2−2ab+b 2) = a 3−2a 2b+ab 2 − a 2b+2ab 2−b 3 = a 3−3a 2b+3ab 2−b 3
Так как равенство (3) верно при любых значениях a и b, то оно является тождеством. Это тождество называется
формулой куба разности. Если в эту формулу вместо a и b подставить какие-нибудь выражения, например 5y 3 и 2z ,
то опять получится тождество.
(5y 3−2z) 3 = 125y 9−150y 6z +60y 3z 2−8z 3 . (4)
Поэтому формула куба разности читается так:
куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго, плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго, минус куб второго выражения.
uclg.ru
Куб суммы и куб разности. Правила
Записывается это тождество так:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Данная формула верна и справа налево, то есть верно равенство
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Доказательство.
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2+b3
Так как равенство верно при любых значениях a и b,то оно является тождеством. Это тождество называется
формулой куба суммы. Если в эту формулу вместо a и b подставить какие-нибудь выражения, например 30 и 2 ,
то опять получится тождество.
(30 + 2)3 = 303 + 3·302·2 + 3·30·22 + 23 = 27000 + 3·900·2 + 3·30·4 + 8 = 2700 + 2700·2 + 360 + 8 =
= 27000 + 5400 + 360 + 8 = 32768
(a + 3b)3 = a3 + 3a23b + 3a (3b)2 + (3b)3 = a3 + 9a2b + 27ab2 + 27b3
Запомните (a + b)3 не равно a3 + b3
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго, плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго,минус куб второго выражения.
Записывается это тождество так:
(a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3
Доказательство.
(a — b)3 =(a − b)(a − b)(a − b) = (a − b)(a − b)2 = (a − b)(a2−2ab+b2) = a3 − 2a2b + ab2 − a2b+2ab2 − b3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3
Так как равенство верно при любых значениях a и b,то оно является тождеством. Это тождество называется формулой куба разности. Если в эту формулу вместо a и b подставить какие-нибудь выражения, например 5y и 2z ,то опять получится тождество.
(5y − 2z)3 = 125y3 − 150y2z + 60y z2 − 8z3
(11 — 7)3 = 113 — 3 • 113 • 7 + 3 • 11 • 72 — 73 = 64
Или Возвести в куб двучлен 2x-y.
(2x — y)3 = (2x)3 — 3(2x)2y +3(2x)y2 — y3 = 8х3 — 3*4x2y + 6xy2 — y3 = 8х3 — 12x2y + 6xy2 — y3
spishy-u-antoshki.ru
Сумма и разность кубов | umath.ru
Сумма кубов
Выражение отличается от правой части формулы квадрата разности только коэффициентом при Поэтому это выражение называют неполным квадратом разности.
Читают: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.
Формулу суммы кубов можно получить из формулы куба суммы:
Выразим отсюда :
Разность кубов
Заменив в формуле суммы кубов на получим формулу разности кубов:
Выражение называют неполным квадратом суммы.
Читают: разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполных квадрат их суммы.
Пример 1. Разложить на множители многочленРешение. Заметим, что а Поэтому по формуле разности кубов получаем
umath.ru
Куб — разность — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1
Куб — разность
Cтраница 1
Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй. [1]
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, минус куб второго числа. [2]
Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй. [3]
Куб разности двух величин равен кубу первой MUHVC утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение, первой на квадрат второй минус куб второй. [4]
Это равенство называется формулой куба разности. [5]
Вероятность спонтанного излучения пропорциональна кубу разности собственных частот двух состояний. [6]
Тождество ( 7) называют кубом разности. [7]
Легко проверить правильность результата. Раскрывая куб разности, имеем: y 8jc6 — 12дг — — 6л: а-1; дифференцируя этот многочлен, получим тот же ответ. [9]
Легко проверить правильность результата. Раскрывая
В принципе это может быть вызвано разными причинами. Для критических систем в случае отклонений состава дисперсной фазы от равновесного, при малых размерах капелек, состоящих из конечного числа молекул ( 6 — — Ь), зависимость о ( 6) может явиться следствием — изменения о с составом. Можно показать, что пропорциональность о кубу разности концентрации одного из компонентов в существующих фазах обеспечивает при наличии флуктуации состава в области малых 6 тот резкий рост о, о котором идет речь. [11]
Страницы: 1
www.ngpedia.ru