Куб разности чисел – Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов и разность четвертых степеней. Квадрат суммы и квадрат разности и куб суммы и куб разности.

Урок 18. Куб суммы и куб разности двух чисел

Куб двучлена  a + b  представим в виде многочлена:
(a + b)³ = (a + b)(a + b)² = 
(a + b) (a² + 2ab + b²) = 
a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ 
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
Получили тождество:
Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго числа.

(5 + 2x)³ = 
5³ + 3 × 5³ × 2x + 3 × 5 × (2x)² + (2x)³ 
= 123 + 150x + 60

x² + 8x³.

Куб разности.    

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго числа.

ПРИМЕР:

(5 – 2x)³ = 
5³– 3 × 5³ × 2x + 3 × 5 × (2x)² – (2x)³ 
= 123 – 150x + 60x² – 8x³.

Применение формул сокращённого умножения. При помощи формул сокращённого умножения можно сравнительно быстро выполнить тождественные преобразования многих алгебраических выражений.

(х – 1)(х + 1)(х⁴ + х² + 1) – (х² + 1)³. (х – 1)(х + 1) = х² – 1; (х² – 1)(х⁴ + х² + 1) = х⁶ – 1; (х² + 1)³ = х⁶ + 3х⁴ + 3х² + 1; х⁶ – 1 – (х⁶ + 3х⁴ + 3х² + 1) 
= –3х⁴ – 3х² – 2. Однако удобней преобразования выполнять цепочкой.

(х – 1)(х + 1)(х⁴ + х² + 1) – (х² + 1)³ 
=  (х² – 1)(х⁴ + х² + 1) – (х² + 1)³ 
= (х⁶ – 1) – (х² + 1)³ = 
х⁶ – 1 – (х⁶ + 3х⁴ + 3х² + 1) 
= –3х⁴ – 3х² – 2.

Задание к уроку 18

krasavtsev.blogspot.com

Куб разности

Формула куба разности является одной из формул сокращенного умножения. В основном, такие формулы основаны на таком понятии как Бином Ньютона. Поэтому сначала познакомимся с ним.

Бином Ньютона

Интересующая нас формула, как и многие другие, находятся с помощью формулы Бинома Ньютона.

Она будет иметь следующий вид:

$(α+β)^z=C_z^0 α^z+C_z^1 α^{z-1} β+C_z^2 α^{z-2} β^2+⋯+C_z^{z-1} αβ^{z-1}+C_z^z β^z$

Здесь числа $C_z^0,C_z^1,…,C_z^{z-1},C_z^z$ называются коэффициентами Бинома Ньютона. Чаще всего эти коэффициенты находятся с помощью треугольника Паскаля (Таблица 1).

Вычисленные коэффициентов треугольника паскаля вы можете увидеть в таблице 2.

Формула куба разности через Бином Ньютона

Теперь, используя формулу Бинома Ньютона рассмотренную выше, мы можем вывести формулу куба разности $(α-β)^3$, учитывая, что

$(α-β)^3=(α+(-β))^3$ Из этой формулы получаем:

$(α-β)^3=C_3^0 α^3+C_3^1 α^2 (-β)+C_3^2 a(-β)^2+C_3^3 (-β)^3$

Из таблицы 2, получаем:

$C_3^0 α^3+C_3^1 α^2 (-β)+C_3^2 a(-β)^2+C_3^3 (-β)^3=α^3-3α^2 β+3aβ^2-β^3$

Следовательно, получаем что, куб разности двух выражений равняется разности кубов этих выражений, сложенным с произведением квадрата второго с первым, умноженного на три и с вычетом произведения квадрата первого со вторым, также умноженного на три, то есть:

$(α-β)^3=α^3-3α^2 β+3aβ^2-β^3$

Формула куба суммы через другие формулы

Помимо нахождения описанным выше способ, формулу куба разности можно также найти с помощью другой формулы сокращенного умножения, а именно квадрата разности:

$(α-β)^2=α^2-2aβ+β^2$

Итак, получаем:

$(α-β)^3=(α-β)^2 (α-β)=(α^2-2aβ+β^2 )(α-β)$

Далее, перемножая последние скобки, будем иметь:

$(α^2-2aβ+β^2 )(α-β)=α^3-α^2 β-2α^2 β+2aβ^2+aβ^2-β^3=α^3-3α^2 β+3aβ^2-β^3$

Следовательно, получаем что, куб разности двух выражений равняется разности кубов этих выражений, сложенным с произведением квадрата второго с первым, умноженного на три и с вычетом произведения квадрата первого со вторым, также умноженного на три, то есть:

$(α-β)^3=α^3-3α^2 β+3aβ^2-β^3$

Примеры задач

Пример 1

Найти куб выражения $(2x-3y)$

Решения

Из формулы куба разности, получаем:

$(2x-3y)^3=(2x)^3-3\cdot (2x)^2\cdot 3y+3\cdot 2x\cdot (3y)^2-(3y)^3=8x^3-36x^2 y+54xy^2-27y^3$

Замечание 1

Замечание: Особое внимание нужно обращать на то, что формулу необходимо применять к одночленам, входящим в сумму, целиком. Частой ошибкой в таком случае бывает, что в куб возводится только часть одночлена (к примеру, возводят не $3y$ целиком, а только $y$, что приводит к ошибке!!!)

Пример 2

Возвести в куб:

а) $(-8α+5β)^3$

б) $(q^2+7)^3$

Решение.

а) $(-8α+5β)^3$

Так как у нас нечетная степень, то мы можем вынести знак «минус» за скобки, получим:

$(-8α+5β)^2=-(8α-5β)^3$

Используем формулу куба суммы:

$(8α-5β)^3=(8α)^3-3\cdot (8α)^2\cdot 5β+3\cdot 8α\cdot (5β)^2-(5β)^3=512α^3-960α^2 β+600αβ^2-125β^3$

Окончательно

$(-8α+5β)^3=125β^3-512α^3+960α^2 β-600αβ^2$

б) $(q^2-7)^2$

Используем формулу куба суммы:

$(q^2-7)^2=(q^2)^3-3\cdot (q^2)^2\cdot 7+3\cdot q^2\cdot 7^2-7^3=q^6-21q^4+147q^2-343$

Пример 3

Представить в виде куба $8x^3-12x^2+6x-1$

Решение.

Это выражение можно записать следующим образом:

$8x^3-12x^2+6x-1=(2x)^3-3\cdot (2x)^2\cdot 1+3\cdot 2x\cdot 1-1^3$

Следовательно, по формуле куба суммы

$8x^3-12x^2+6x-1=(2x-1)^3$

Пример 4

Вывести формулу куба разности трех выражений.

Решение.

По условию задачи нам нужно раскрыть скобки в следующем выражении

$(α-β-γ)^3$

Считая $(α-β)$ за первый член суммы, а γ за второй, по формуле куба имеем

$(α-β-γ)^3=(α-β)^3-3(α-β)^2 γ+3(α-β) γ^2-γ^3$

По формулам куба и квадрата разности, подставляя и раскрывая скобки, будем получать

$(α+β+γ)^3=α^3-3α^2 β+3aβ^2-β^3-3α^2 γ+6αβγ-3β^2 γ+3αγ^2-3βγ^2-γ^3$

Окончательно

$(α-β-γ)^3=α^3-β^3-γ^3-3α^2 β-3α^2 γ-3β^2 γ-3βγ^2+3aβ^2+3αγ^2+6αβγ$

Таким образом, используя различные такие формулы можно вывести еще множество формул для сокращенного умножения и рационального преобразования выражений. В частности они помогают и при решений конкретных математический уравнений и задач.

spravochnick.ru

правила применения формул сокращенного умножения

Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее — в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами же формулы получены из существующих в алгебре правил для умножения нескольких многочленов.

Использование данных формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает осуществлять упрощение выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить в левой части равенства выражение, стоящее в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение, стоящее в левой части после знака равенства).

Удобно знать формулы, применяемые для сокращенного умножения, на память, так как они нередко используются при решении задач и уравнений. Ниже перечислены основные формулы, входящие в данный список, и их наименование.

Квадрат суммы

Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения данное правило записывается следующим образом: (а + с)² = a² + 2ас + с².

Квадрат разности

Чтобы вычислить квадрат разности, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с противоположным знаком) и квадрата второго числа. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а — с)² = а² — 2ас + с².

Разность квадратов

Формула разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: a² — с² = (a + с)·(a – с).

Куб суммы

Чтобы вычислить куб суммы двух слагаемых, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого слагаемого и второго, утроенного произведения первого слагаемого и второго в квадрате, а также куба второго слагаемого. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а + с)³ = а³ + 3а²с + 3ас² + с³.

Сумма кубов

Согласно формуле, сумма кубов приравнивается к произведению суммы данных слагаемых на их неполный квадрат разности. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: а³ + с³ = (а + с)·( а² — ас + с²).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая образована сложением двух кубов. Известны лишь величины их сторон.

Если значения сторон небольшие, то выполнить вычисления просто.

Если же длины сторон выражаются в громоздких числах, то в этом случае проще применить формулу «Сумма кубов», которая значительно упростит вычисления.

Куб разности

Выражение для кубической разности звучит так: как сумма третьей степени первого члена, утроенного отрицательного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и отрицательного куба второго члена. В виде математического выражения куб разности выглядит следующим образом: (а — с)³ = а³ — 3а²с + 3ас² — с³.

Разность кубов

Формула разности кубов отличается от суммы кубов лишь одним знаком. Таким образом, разность кубов — формула, равная произведению разности данных чисел на их неполный квадрат суммы. В виде математического выражения разность кубов выглядит следующим образом: а³ – с³ = (а – с)(а² + ас + с²).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая останется после вычитания из объема синего куба объемной фигуры желтого цвета, которая также является кубом. Известна лишь величина стороны маленького и большого куба.

Если значения сторон небольшие, то вычисления довольно просты. А если длины сторон выражаются в значительных числах, то стоит применить формулу, озаглавленную «Разность кубов» (или «Куб разности»), которае значительно упростит вычисления.

fb.ru

Куб суммы и куб разности. Правила | Учеба-Легко.РФ

При любых значениях a и b верно равенство    

                          (a+b) 3   =   a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 .               (1)    

          Доказательство.    

                (a+b) 3     =     (a+b)(a 2+2ab+b 2)   =   a 3+2a 2b+ab 2   +   a 2b+2ab 2+b 3   =      a 3+3a 2b+3ab 2+b 3    

        Так как равенство (1) верно при любых значениях a и b,  то оно является тождеством. Это тождество называется  
формулой куба суммы. Если в эту формулу вместо a и b  подставить какие-нибудь выражения, например 5y 3 и 2z ,  
то опять получится тождество.    

                (5y 3+2z) 3   =   125y 9+150y 6z +60y 3z 2+8z 3 .       (2)    

      Поэтому формула куба суммы читается так:    

    куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения   плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго,  плюс куб второго выражения.  

          При любых значениях a и b верно равенство    

                          (a−b) 3   =   a 3−3a 2b+3ab 2−b 3 .               (3)    

          Доказательство.    

                (a−b) 3     =     (a−b)(a 2−2ab+b 2)   =     a 3−2a 2b+ab 2   −   a 2b+2ab 2−b 3   =       a 3−3a 2b+3ab 2−b 3    

        Так как равенство (3) верно при любых значениях a и b,  то оно является тождеством. Это тождество называется  
формулой куба разности. Если в эту формулу вместо a и b  подставить какие-нибудь выражения, например 5y 3 и 2z ,  
то опять получится тождество.    

                (5y 3−2z) 3   =   125y 9−150y 6z +60y 3z 2−8z 3 .       (4)    

        Поэтому формула куба разности читается так:    

      куб разности двух выражений равен кубу первого выражения  минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго,  плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго,   минус куб второго выражения.    

uclg.ru

Куб суммы и куб разности. Правила

Записывается это тождество так:

                                         (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Данная формула верна и справа налево, то есть верно равенство

                                         a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³

Доказательство.

(a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b) =   (a + b)(a + b)² =  (a + b)(a² + 2ab + b²) = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab²+b³

Так как равенство  верно при любых значениях a и b,то оно является тождеством. Это тождество называется

формулой куба суммы. Если в эту формулу вместо a и b подставить какие-нибудь выражения, например 30 и 2 ,

то опять получится тождество.

(30 + 2)³ = 30³ + 3·30²·2 + 3·30·2² + 2³ = 27000 + 3·900·2 + 3·30·4 + 8 = 2700 + 2700·2 + 360 + 8 =

=   27000 + 5400 + 360 + 8  =  32768

(a + 3b)³ = a³ + 3a²3b + 3a (3b)² + (3b)³ = a³ + 9a²b + 27ab² + 27b³

Запомните (a + b)³  не равно  a³ + b³

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго, плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго,минус куб второго выражения.

Записывается это тождество так:

(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² —  b³

Доказательство.

(a — b)³ =(a − b)(a − b)(a − b) = (a − b)(a − b)² =  (a − b)(a²−2ab+b²) = a³ − 2a²b + ab² − a²b+2ab² − b³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³

Так как равенство  верно при любых значениях a и b,то оно является тождеством. Это тождество называется формулой куба разности. Если в эту формулу вместо a и b подставить какие-нибудь выражения, например 5y и 2z ,то опять получится тождество.

(5y − 2z)³ = 125y³ − 150y²z  + 60y z² − 8z³ 

(11 — 7)³ = 11³ — 3 • 11³ • 7 + 3 • 11 • 7² — 7³ = 64

Или Возвести в куб двучлен 2x-y.

(2x — y)³ = (2x)³ — 3(2x)²y +3(2x)y² — y³ = 8х³ — 3*4x²y + 6xy² — y³ = 8х³ — 12x²y + 6xy² — y³ 

  

spishy-u-antoshki.ru

Сумма и разность кубов | umath.ru

Сумма кубов

   

Выражение отличается от правой части формулы квадрата разности только коэффициентом при Поэтому это выражение называют неполным квадратом разности.

Читают: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Формулу суммы кубов можно получить из формулы куба суммы:

   

Выразим отсюда :

   

   

Разность кубов

Заменив в формуле суммы кубов на получим формулу разности кубов:

   

Выражение называют неполным квадратом суммы.

Читают: разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполных квадрат их суммы.

Пример 1. Разложить на множители многочлен

Решение. Заметим, что а Поэтому по формуле разности кубов получаем

   

umath.ru

Куб — разность — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Куб — разность

Cтраница 1

Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.  [1]

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, минус куб второго числа.  [2]

Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.  [3]

Куб разности двух величин равен кубу первой MUHVC утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение, первой на квадрат второй минус куб второй.  [4]

Это равенство называется формулой куба разности.  [5]

Вероятность спонтанного излучения пропорциональна кубу разности собственных частот двух состояний.  [6]

Тождество ( 7) называют кубом разности.  [7]

Формулы сокращенного умножения, разность квадратов, квадрат суммы, квадрат разности, неполный квадрат суммы, неполный квадрат разности, сумма кубов, разность кубов, куб суммы, куб разности, удвоенное произведение, утроенное произведение, разложить многочлен на множители, вынесение общего множителя за скобки, группировка.  [8]

Легко проверить правильность результата. Раскрывая куб разности, имеем: y 8jc6 — 12дг — — 6л: а-1; дифференцируя этот многочлен, получим тот же ответ.  [9]

Легко проверить правильность результата. Раскрывая

куб разности, имеем: у 8х6 — 2x Qxz — 1; дифференцируя этот многочлен, получим тот же ответ.  [10]

В принципе это может быть вызвано разными причинами. Для критических систем в случае отклонений состава дисперсной фазы от равновесного, при малых размерах капелек, состоящих из конечного числа молекул ( 6 — — Ь), зависимость о ( 6) может явиться следствием — изменения о с составом. Можно показать, что пропорциональность о кубу разности концентрации одного из компонентов в существующих фазах обеспечивает при наличии флуктуации состава в области малых 6 тот резкий рост о, о котором идет речь.  [11]

Страницы:      1

www.ngpedia.ru