Косинус равен 1 частный случай – cosx=1

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

Уравнение cos (x) = a

Объяснение и обоснование

 

  1. Корни уравнения cosx = а. При | a | > 1 уравнение не имеет корней, по­скольку | cosx | < 1 для любого x (прямая y = а при а > 1 или при а < -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Пусть | а | < 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

у = cos х. На промежутке [0; п] функция y = cos x убы­вает от 1 до -1. Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение cos x = а имеет на этом промежутке только один корень, который по опреде­лению арккосинуса равен: x1 = arccos а (и для этого корня cos x = а).

Косинус — четная функция, поэтому на промежутке [-п; 0] уравнение cos x = а также имеет только один корень — число, противоположное x1, то есть

x2 = -arccos а.

Таким образом, на промежутке [-п; п] (длиной 2п) уравнение cos x = а при | а | < 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Функция y = cos x периодическая с периодом 2п, поэтому все остальные корни отличаются от найденных на 2пп (n € Z). Получаем следующую фор­мулу корней уравнения cos x = а при

| а | < 1:

x = ±arccos а + 2пп, n £ Z.

  1. Частные случаи решения уравнения cosx = а.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения cos x = а при

а = 0, а = -1, а = 1, которые можно легко получить, используя как ори­ентир единичную окружность.

Поскольку косинус равен абсциссе соответствующей точки единичной окружности, получаем, что cos x = 0 тогда и только тогда, когда соответ­ствующей точкой единичной окружности является точка A или точка B.

Аналогично cos x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C, следовательно,

x = 2πп, k € Z.

Также cos х = —1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка D, таким образом, х = п + 2пn,

k € Z.

Примеры

Уравнение sin (x) = a

Объяснение и обоснование

  1. Корни уравнения sinx = а. При | а | > 1 уравнение не имеет корней, по­скольку | sinx | < 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а > 1 или при а < -1 не пересекает график функции y = sinx).

ya-znau.ru

cosx меньше a

Рассмотрим решение тригонометрических неравенств вида cosx меньше a (cosx<a) на единичной окружности.

Снова применяем ассоциацию косинус-колобок. Оба кругленькие, оба начинаются с ко-. Колобку, в силу особенности его фигуры, удобнее двигаться влево-вправо, а не вверх-вниз. Влево-вправо на координатной плоскости — движение по оси ox. Значит, косинус — это x. То есть абсцисса,  координата x точки на окружности. Геометрически cosx=a в точках пересечения единичной окружности и прямой x=a (прямая, параллельная оси ox). Соответственно, точки окружности, находящиеся правее этой прямой, соответствуют значениям косинуса, большим a, а cosx меньше a — левее этой прямой. Прямая и окружность могут пересекаться, не пересекаться и касаться. От их взаимного расположения зависит решение тригонометрического неравенства cosx меньше a.

1) cosx<a, при 0<a<1.

 

Первая точка пересечения прямой и окружности находится, как обычно, — это arccos a. Поскольку нам нужны значения, в которых cos x меньше a, из первой точки ко второй мы идем по верхнему пути, против часовой стрелки. При таком направлении обхода угол увеличивается. Вторую точку получили, немного не дойдя до 2п. На сколько не дошли? На тот же угол, который соответствует arccos a. Раз не дошли, то это число вычитаем из 2п. Поэтому вторая точка пересечения прямой с окружностью есть 2п-arccos a. Итак, решением неравенства cos x меньше a является промежуток (arccos a; 2п-arccos a). Поскольку период косинуса равен 2п, к каждому из концов промежутка прибавляем 2пn, где n -целое число (то есть n принадлежит Z). Получаем окончательный вариант ответа: (arccos a+2пn; 2п-arccos a+2пn). Для нестрогого неравенства точки закрашиваем и ставим квадратные скобки.

2) cos x меньше -a, при 0<a<1.

Решение неравенства аналогично первому случаю. Отличие — нужно вычислить арккосинус отрицательного числа (чуть позже я расскажу, как легко запомнить значения arccos (-a) с помощью ассоциации). А пока что arccos (-a)= п-arccos a. Ко второй точке здесь тоже идем против часовой стрелки, то есть значение угла увеличивается. Не доходим до 2п на величину arccos(-a), отсюда вторая точка есть 2п-arccos(-a). Чтобы учесть все решения неравенства, к концам промежутка прибавляем 2пn. Если неравенство нестрогое, точки закрашиваем и включаем в ответ (с квадратной скобкой).

3) cosx<0

То есть ищем, где косинус отрицательный.

В качестве первой точки промежутка, на котором косинус принимает отрицательные значения, берем п/2, вторая точка — 3п/2. Чтобы учесть все промежутки, на которых косинус отрицательный, прибавляем к концам промежутка 2пn. Таким образом, решение тригонометрического неравенства cosx<0 есть промежуток (п/2+2пn; 3п/2+2пn), где n — целое число. Если неравенство нестрогое, то есть ищем неотрицательные значения косинуса, точки закрашиваем, скобки берем квадратные.

4) cosx<1

В этом случае окружность и прямая x=a касаются в одной точке — в нуле. Таким образом, за исключением этой точки, окружность расположена левее прямой. Значит, cosx меньше 1 в любой точке, кроме точек вида 0+2пn. Чтобы записать решение тригонометрического неравенства cosx<1 в виде интервала, в качестве второго конца промежутка берем 2п и к обоим концам прибавляем 2пn. Получаем (2пn; 2п+2пn).

5) cosx<a, при a>1.

В этом случае окружность целиком лежит левее прямой x=a и любое значение x удовлетворяет условию неравенства. Таким образом, в этом случае косинус меньше a на промежутке (-∞;+∞).

6) cosx<-a, при a>1.

При таких a окружность целиком расположена правее прямой x=-a и нет ни одного x, удовлетворяющего требованию cosx меньше -a. Поэтому решений нет.

   

В этом случае точку пересечения окружности и прямой исключать из решения не нужно, значит, x — любое число и решением является вся числовая прямая: (-∞;+∞).

   

Единственным решением этого тригонометрического неравенства является точка п. С учетом периодичности косинуса, решением является множество точек вида п+2пn, где n — целое число.

И в заключении — пример решения тригонометрического неравенства вида cosx меньше a: cosx<-1/2:

 

www.uznateshe.ru

cosx>a

Рассмотрим решение тригонометрических неравенств вида cosx>a на единичной окружности.

Косинус — это абсцисса точки. Значит, cosx=a в точках пересечения единичной окружности и прямой x=a (прямая, параллельная оси oy), cosx>a справа от этой прямой, cosx<a — слева. Поскольку мы рассматриваем решение неравенства cosx>a, нам нужна часть окружности, расположенная правее прямой y=a. Соответственно, от взаимного расположения окружности и этой прямой зависит решение неравенства cosx>a.

1) cosx>a при 0<a<1

На единичной окружности отмечает точки пересечения ее с прямой y=a. Первая точка — arccos a. Чтобы найти вторую, рассуждаем так: решения неравенства cosx>a лежат справа от этой прямой (заштриховываем соответствующую дугу окружности). Поэтому, чтобы попасть из 1й точки во вторую, идем по часовой стрелке. При таком обходе угол уменьшается. Доходим до нуля, дальше — отрицательные углы. Вторую  точку отделяет от нуля такой же угол, что и первую. Но поскольку мы шли по часовой стрелке, ее берем со знаком минус.

Интервал записываем по возрастанию, поэтому сначала идет -arccos a,  потом уже arccos a. С учетом периодичности синуса, к каждому из концов интервала прибавляем 2пn, где n — целое число (n принадлежит Z). Если неравенство нестрогое, точки закрашиваем и включаем в ответ (с квадратными скобками).

2) cosx>-a при 0<a<1

Рассуждения аналогичны предыдущему случаю. Отличие — нужно искать arccos(-a) (чуть позже я расскажу, как легко запомнить арккосинусы отрицательных чисел).

3) cosx>0

4) cosx>-1

За исключением одной точки,вся окружность лежит правее прямой y=a. Чтобы записать ответ в виде интервала, первой точкой берем -п. Поскольку во 2ю попадаем через полный оборот окружности, то есть через 2п, то -п +2п=п. К обоим концам интервала прибавляем 2пn.

   

В этом случае точки исключать не нужно, x — любое число: (-∞;+∞).

   

Единственной точкой, удовлетворяющей данному условию, является 0. С учетом периодичности косинуса, решение — множество точек x=2пn.

7) cosx>a при a>1

Единичная окружность полностью лежит слева от прямой y=a, поэтому при таких a нет ни одной точки, удовлетворяющей условию cosx>a. Значит, решений нет.

8) cosx>-a при a>1

Единичная окружность целиком лежит правее прямой y=a, поэтому x — любое число: (-∞;+∞).

И в заключении — конкретный пример решения неравенства вида cosx>a:

 

www.uznateshe.ru

cosx = 0 частные случаи решения

Доброй всем ночи!
Вы уже, скорее всего, знакомы с основными понятиями о тригонометрических уравнениях. По-этому останавливаться на этом не вижу смысла. Вы просили продемонстрировать на уравнении: cosx = 0 частные случаи решения.
Давайте проясним, что здесь значит частные случаи. Это значит, что Вам упросили жизнь. Каким образом?! смотрите, Вы если запомните, чему равно это уравнение, то Вам не нужно вспоминать целую таблицу, придумывать из раза в раз велосипед. Помощь не большая, но иногда — это палочка-выручалочка.

Давайте разберём наше уравнение, чтоб Вы имел представление, что Вам вообще надо запоминать.
 Прежде, чем разобраться с Вашей уравнением cosx = 0, нужно подумать, в каком виде можно представить данное уравнение, чтоб понять как его решать.
Вот так будет выглядеть Ваше условие на математическом языке: 

   

Да, я понимаю, что это Вам особо не помогло. Но для этого есть определённое правило решения подобных уравнений, которое примет такой общий вид: 

   

 

   

Как только мы разобрались с общим решением, то теперь можем преступить к решению именно Вашего уравнения: 

   

 

   

Значение  мы найдём при помощи таблицы. И исходя из этого получаем, что 

Так как с основным разобрались, то теперь можем и решить до конца Ваше уравнение: 

   

 

   

Ответ:

ru.solverbook.com

Косинус икс равен минус 1 частный случай — Bitbucket

———————————————————
>>> СКАЧАТЬ ФАЙЛ <<<
———————————————————
Проверено, вирусов нет!
———————————————————

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Если | a | ≤ 1, то корни уравнения выражаются формулой x = ( 1)n arcsin a + πn, n ∈ Z. Частные случаи: 1. sin x = 0 ⇒ x = πn, n ∈ Z. 2. sin x = 1 ⇒ x. это абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу. cosx = 1. cosx = 1. На единичной окружности имеется лишь одна точка с. Как и другие частные случаи косинуса, решение уравнения cosx=1. Нам нужны точки, в которых x равен 1, поэтому идем вправо. С помощью этой ассоциации легко запомнить формулу для решения частного случая простейшего тригонометрического уравнения. 1) sin x = a, если модуль а меньше или равен единице, х = (– 1)narcsin a + πn. 6) в пункте отражены частные случаи решения уравнений sin x. два косинус икс на синус семи икс минус синус семи икс равно нулю. ПЕРВЫЕ ДВА УРАВНЕНИЯ (а также их более общий случай. столбцы – частные случаи решения тригонометрических уравнений. угол (1 четверти), для которого синус или косинус или… равен числу, стоящему под аркой. Обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс. Рис. 1. Частные случаи решения уравнений sin x = a. Частные случаи. ( sinx + cosx ) 2 = 1 – sinxcosx, принадлежащие отрезку [0; 2 ]. Решение. Решение: Используя формулу sin 2 x = 1 – cos 2 x, получаем. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. 1. Арккосинус и уравнение cos x=a. Арккосинус в переводе с латинского означает дуга и косинус. Это обратная функция. Частные случаи: 1. cos x = 0. Если икс появится где-нибудь снаружи, например, sin2x + 3x = 3, это уже будет уравнение смешанного. Нарисуем на круге косинус, равный 0,5 и сразу увидим угол. х1 — не один корень, это целая серия корней, записанная в краткой форме. Она на этот случай придумала арккосинусы. (3). Частные случаи: 1. tg x = 0, х = πn, n∈ Z. 2. tg x = 1, х = 4 π. + πn, n∈ Z. а правая часть равна 0, то корнями такого уравнения служат те и только те. 1. Формула для корней уравнения где имеет вид: 2. Частные случаи: 3. Формула. равно нулю тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. А ведь метод вообщем-то несложный и, более того, это один из основных. Вспомним формулу косинуса и синуса суммы и разности. Внесем «минус » в скобку хитрым способом. Это частный случай, простейшая тригонометрическая конструкция. Осталось найти, чему равен φ. решить тригонометрическое уравнение:cos3xcosx-sin3xsinx=-1. Смотрим на частный случай, когда косинус равен минус единице). Но я собираюсь в одной заметке рассказать, почему eiπ = −1, без. Здесь синий вектор равен произведению зеленого и красного. cos x + i sin x, и ее частного случая, формулы Эйлера, является легким. что в круглых скобках получились выражения для косинуса и синуса суммы углов. Тригономе́трия (от др.-греч. τρίγωνον «треугольник» и μετρέω «измеряю», то есть измерение треугольников) раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Отдельный случай теоремы Птолемея появился как 93-е предложение «Данных». Бесконечно малая числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Бесконечно большая числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Содержание. [скрыть]. 1 Исчисление бесконечно малых и больших. Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем. Окру́жность замкнутая плоская кривая, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки. Окружность называется единичной, если её радиус равен единице. Окружность является частным случаем эллипса, у которого полуоси равны, и поэтому окружность относится к. 1. Производная константы равна нулю: (C) prime=0. 2. Частный случай этой формулы. (arcctgx) prime=-1/ 1+x^2. числителе которой стоит степенная функция, а в знаменателе сумма косинуса и константы.

bitbucket.org

котангенс арккосинуса

Найти котангенс арккосинуса ctg (arccos x) на основании определений косинуса, котангенса, арккосинуса и теоремы Пифагора очень легко. На чертеже прямоугольного треугольника этот способ решения демонстрируется наглядно.Арккосинус икс — это такое число альфа, косинус которого равен x:

   

Поскольку косинус в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, то в нашем случае

   

А нам нужен котангенс этого же угла альфа. Поскольку котангенс — это отношение прилежащего катета к противолежащему:

   

нам остается найти противолежаший катет b. По теореме Пифагора:

   

где

   

Примеры.

1) Найти ctg (arccos (1/3)).

Арккосинус 1/3 равен числу α, значит cosα=1/3. А так как косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, то прилежащий катет a=1, гипотенуза c=3. Котангенс α равен отношению прилежащего катета к противолежащему. Противолежащий катет b находим по теореме Пифагора:

   

2) Найти ctg (arccos (4/5)).

arccos (4/5)=α, значит cosα=4/5. Косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, отсюда a=4, c=5. По теореме Пифагора, b=3. Котангенс — это отношение прилежащего катета к противолежащему, значит ctg (arccos (4/5))=4/3.

www.uznateshe.ru

Интегрирование тригонометрических функций: методы и примеры

Рассмотрим интегралы, в которых подынтегральная функция представляет собой произведение синусов и косинусов первой степени от икса, умноженного на разные множители, то есть интегралы вида

 (1)

Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами

 (2)
 (3)
 (4)
можно преобразовать каждое из произведений в интегралах вида (31) в алгебраическую сумму и проинтегрировать по формулам

 (5)

и

 (6)

Пример 1. Найти интеграл от тригонометрической функции

Решение. По формуле (2) при

имеем

Поэтому

Применяя далее формулу (5), получим

Пример 2. Найти интеграл от тригонометрической функции

Решение. По формуле (3) при получаем следующее преобразование подынтегрального выражения:

Поэтому

Применяя далее формулу (6), получим

Пример 3. Найти интеграл от тригонометрической функции

Решение. По формуле (4) при получаем следующее преобразование подынтегрального выражения:

Применяя формулу (6), получим

Рассмотрим теперь интегралы от функций, представляющих собой произведение степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента, т.е.

 (7)

В частных случаях один из показателей (m или n) может равняться нулю.

При интегрировании таких функций используется то, что чётную степень косинуса можно выразить через синус, а дифференциал синуса равен cos x dx (или чётную степень синуса можно выразить через косинус, а дифференциал косинуса равен — sin x dx).

Следует различать два случая: 1) хотя бы один из показателей m и n нечётный; 2) оба показателя чётные.

Пусть имеет место первый случай, а именно показатель n = 2k + 1 — нечётный. Тогда, учитывая, что

получим

Подынтегральное выражение представлено в таком виде, что одна его часть – функция только синуса, а другая – дифференциал синуса. Теперь с помощью замены переменной t = sin x решение сводится к интегрированию многочлена относительно t. Если же только степень m нечётна, то поступают аналогично, выделяя множитель sinx, выражая остальную часть подынтегральной функции через cos x и полагая t = cos x. Этот приём можно использовать и при интегрировании частного степеней синуса и косинуса, когда хотя бы один из показателей — нечётный. Всё дело в том, что частное степеней синуса и косинуса — это частный случай их произведения: когда тригонометрическая функция находится в знаменателе подынтегрального выражения, её степень — отрицательная. Но бывают и случаи частного тригонометрических функций, когда их степени — только чётные. О них — следующем абзаце.

Если же оба показателя m и n – чётные, то, используя тригонометрические формулы

понижают показатели степени синуса и косинуса, после чего получится интеграл того же типа, что и выше. Поэтому интегрирование следует продолжать по той же схеме. Если же один из чётных показателей — отрицательный, то есть рассматривается частное чётных степеней синуса и косинуса, то данная схема не годится. Тогда используется замена переменной в зависимости от того, как можно преобразовать подынтегральное выражение. Такой случай будет рассмотрен в следующем параграфе.

Пример 4. Найти интеграл от тригонометрической функции

Решение. Показатель степени косинуса – нечётный. Поэтому представим

в виде

и произведём замену переменной t = sin x (тогда dt = cos x dx). Тогда получим

Возвращаясь к старой переменной, окончательно найдём

Пример 5. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Показатель степени косинуса, как и в предыдущем примере – нечётный, но больше. Представим

в виде

и произведём замену переменной t = sin x (тогда dt = cos x dx). Тогда получим

Раскроем скобки

и получим

Возвращаясь к старой переменной, получаем решение

Пример 6. Найти интеграл от тригонометрической функции

Решение. Показатели степени синуса и косинуса – чётные. Поэтому преобразуем подынтегральную функцию так:

Тогда получим

Во втором интеграле произведём замену переменной, полагая t = sin2x. Тогда (1/2)dt = cos2x dx. Следовательно,

а

Окончательно получаем

Найти интеграл от тригонометрической функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Метод замены переменной при интегировании тригонометрических функций можно применять в случаях, когда в подынтегральном выражении присутствует только синус или только косинус, произведение синуса и косинуса, в котором или синус или косинус — в первой степени, тангенс или котангенс, а также частное чётных степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента. При этом можно производить перестановки не только sinx = t и sinx = t, но и tgx = t и ctgx = t.

Пример 8. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Произведём замену переменной: , тогда . Получившееся подынтегральное выражение легко интегрируется по таблице интегралов:

.

Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:

Пример 9. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Преобразуем тангенс в отношение синуса и косинуса:

.

Произведём замену переменной: , тогда . Получившееся подынтегральное выражение представляет собой табличный интеграл со знаком минус:

.

Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:

.

Пример 10. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Произведём замену переменной: , тогда .

Преобразуем подынтегральное выражение, чтобы применить тригонометрическое тождество :

Производим замену переменной, не забывая перед интегралом поставить знак минус (смотрите выше, чему равно dt). Далее раскладываем подынтегральное выражение на множители и интегрируем по таблице:

.

Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:

.

Найти интеграл от тригонометрической функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Универсальную тригонометрическую подстановку можно применять в случаях, когда подынтегральное выражение не подпадает под случаи, разобранные в предыдущих параграфах. В основном, когда синус или косинус (или и то, и другое) находятся в знаменателе дроби. Доказано, что синус и косинус можно заменить другим выражением, содержащим тангенс половины исходного угла следующим образом:

где .

Тогда .

Но заметим, что универсальная тригонометрическая подстановка часто влечёт за собой довольно сложные алгебраические преобразования, поэтому её лучше применять, когда никакой другой метод не работает. Разберём примеры, когда вместе с универсальной тригонометрической подстановкой используются подведение под знак дифференциала и метод неопределённых коэффициентов.

Пример 12. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда
.

Дроби в числителе и знаменателе умножаем на , а двойку выносим и ставим перед знаком интеграла. Тогда

Чтобы в результате преобразований прийти к табличному интегралу, попытаемся получить в знаменателе полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на 2. Применяем интегрирование подведением под знак дифференциала. Получим

К полученному результату преобразований можем теперь применить табличный интеграл 21. В результате получаем окончательное решение:

.

Пример 13. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда
.

Дроби в числителе и знаменателе умножаем на , а двойку выносим и ставим перед знаком интеграла. Тогда

.

Чтобы в результате преобразований прийти к табличному интегралу, попытаемся получить в знаменателе полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на 3. Применяем интегрирование подведением под знак дифференциала. Получим

К полученному результату преобразований можем теперь применить табличный интеграл 21. В результате получаем окончательное решение:

.

Пример 14. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда

Используем метод неопределённых коэффициентов. Получим следующее подынтегральное выражение:

Чтобы найти коэффициенты, решим систему уравнений:

Теперь получаем:

Используем подведение под знак дифференциала:

К последнему слагаемому применяем замену переменной , тогда . Получаем:

Преобразуем и вернём на место первоначальную переменную и окончательно получим решение:

Начало темы «Интеграл»

Продолжение темы «Интеграл»

function-x.ru