Косинус 3х формула – Основные тригонометрические формулы. Формулы приведения тригонометрических функций. Тригонометрические тождества.
Основные формулы тригонометрии | umath.ru
1. Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.
Синус угла (обозначается ) – ордината точки , полученной поворотом точки вокруг начала координат на угол .
Косинус угла (обозначается ) – абсцисса точки , полученной поворотом точки вокруг начала координат на угол .
Тангенс угла (обозначается ) – отношение синуса угла к его косинусу, т.е.
Котангенс угла (обозначается ) – отношение косинуса угла к его синусу, т.е.
2. Основное тригонометрическое тождество:
3. Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом:
4. Чётность, нечётность и периодичность тригонометрических функций.
Косинус – чётная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечётные функции аргумента :
Синус и косинус – периодические с периодом 2\pi функции, а тангенс и котангенс – периодические с периодом функции:Число является наименьшим положительным периодом синуса и косинуса, а число – наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса.
5. Формулы сложения:

6. Формулы двойного и тройного аргумента:
7. Формулы понижения степени:
8. Формулы приведения:
9. Формулы суммы и разности синусов:
10. Формулы суммы и разности косинусов:
11. Формулы суммы и разности тангенсов:
12. Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму (разность):
13. Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного аргумента:
umath.ru
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Тригонометрия
Справочник по математике | Тригонометрия |
Связи между тригонометрическими функциями одного угла |
Тригонометрические функции суммы и разности двух углов |
Тригонометрические функции двойного угла |
Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций |
Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса |
Выражение тангенса угла через синус и косинус двойного угла |
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение |
Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму |
Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла |
Тригонометрические функции тройного угла |
Связи между тригонометрическими функциями одного угла
sin2α + cos2α = 1 |
Тригонометрические функции суммы и разности двух углов
Формула | Название формулы |
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β | Синус суммы |
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β | Синус разности |
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β | Косинус суммы |
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β | Косинус разности |
Тангенс суммы | |
Тангенс разности |
Синус суммы |
sin (α + β) = sin α cos β + + cos α sin β |
Синус разности |
sin (α – β) = sin α cos β – – cos α sin β |
Косинус суммы |
cos (α + β) = cos α cos β – – sin α sin β |
Косинус разности |
cos (α – β) = cos α cos β + + sin α sin β |
Тангенс суммы |
Тангенс разности |
Тригонометрические функции двойного угла
Формула | Название формулы |
sin 2α = 2 sin α cos α | Синус двойного угла |
cos 2α = cos 2α – sin2α cos 2α = 2cos 2α – 1 cos 2α = 1 – 2sin 2α | Косинус двойного угла |
Тангенс двойного угла |
Синус двойного угла |
sin 2α = 2 sin α cos α |
Косинус двойного угла |
cos 2α = cos 2α – sin2α cos 2α = 2cos 2α – 1 cos 2α = 1 – 2sin 2α |
Тангенс двойного угла |
Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций
Формула | Название формулы |
Выражение квадрата синуса через косинус двойного угла | |
Выражение квадрата косинуса через косинус двойного угла | |
Выражение квадрата тангенса через косинус двойного угла |
Выражение квадрата синуса через косинус двойного угла |
Выражение квадрата косинуса через косинус двойного угла |
Выражение квадрата тангенса через косинус двойного угла |
Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса
Формула | Название формулы |
Выражение куба синуса через синус угла и синус тройного угла | |
Выражение куба косинуса через косинус угла и косинус тройного угла |
Выражение куба синуса через синус угла и синус тройного угла |
Выражение куба косинуса через косинус угла и косинус тройного угла |
Выражение тангенса через синус и косинус двойного угла
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Формула | Название формулы |
Сумма синусов | |
Разность синусов | |
Сумма косинусов | |
Разность косинусов | |
Сумма тангенсов | |
Разность тангенсов |
Сумма синусов |
Разность синусов |
Сумма косинусов |
Разность косинусов |
Сумма тангенсов |
Разность тангенсов |
Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
Формула | Название формулы |
Произведение синусов | |
Произведение косинусов | |
Произведение синуса и косинуса |
Произведение синусов |
Произведение косинусов |
Произведение синуса и косинуса |
Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла
Формула | Название формулы |
Выражение синуса угла через тангенс половинного угла | |
Выражение косинуса угла через тангенс половинного угла | |
Выражение тангенса угла через тангенс половинного угла |
Выражение синуса угла через тангенс половинного угла |
Выражение косинуса угла через тангенс половинного угла |
Выражение тангенса угла через тангенс половинного угла |
Тригонометрические функции тройного угла
Формула | Название формулы |
sin 3α = 3sin α – 4sin3α | Синус тройного угла |
cos 3α = 4cos3α –3cos α | Косинус тройного угла |
Тангенс тройного угла |
Синус тройного угла |
sin 3α = 3sin α – 4sin3α |
Косинус тройного угла |
cos 3α = 4cos3α –3cos α |
Тангенс тройного угла |
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10 |
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов |
У нас также для школьников организованы
индивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку |
МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
www.resolventa.ru
73 формулы тригонометрии
На странице вы найдете все формулы тригонометрии в удобном для использования оформлении. Формулы структурированы в блоки по количеству аргументов, степеням, арифметическим операциям над ними.
Все формулы тригонометрии
Основные тригонометрические тождества
{\tg \alpha = \dfrac {\sin \alpha}{ \cos \alpha} = \dfrac{1}{\ctg \alpha}}
{\ctg \alpha = \dfrac {\cos \alpha}{ \sin \alpha} = \dfrac{1}{\tg \alpha}}
{\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = 1}
{1+\tg^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}}
{1+\ctg^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}}
{\tg\alpha \cdot \ctg\alpha=1}
Формулы двойного угла (аргумента)
{\sin(2\alpha)=2 \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha}
{\sin(2\alpha)=\dfrac{2 \cdot \tg \alpha}{1+\tg ^2 \alpha}=\dfrac{2 \cdot \ctg \alpha}{1+\ctg ^2 \alpha}=\dfrac{2}{\tg \alpha + \ctg \alpha}}
{\cos(2\alpha)=\cos ^2 \alpha- \sin ^2 \alpha = 2 \cdot \cos ^2 \alpha- 1 = 1- 2 \cdot \sin ^2 \alpha}
{\cos(2\alpha)=\dfrac{1 -\tg ^2 \alpha}{1+\tg ^2 \alpha}=\dfrac{\ctg ^2 \alpha- 1}{\ctg ^2 \alpha +1}=\dfrac{\ctg \alpha-\tg \alpha}{\ctg \alpha + \tg \alpha}}
{\tg(2\alpha) = \dfrac{2 \cdot \tg \alpha}{1-\tg ^2 \alpha}=\dfrac{2 \cdot \ctg \alpha}{\ctg ^2 \alpha- 1}=\dfrac{2}{\ctg \alpha- \tg \alpha}}
{\ctg(2\alpha) = \dfrac{\ctg ^2 \alpha-1}{2 \cdot \ctg \alpha}=\dfrac{\ctg \alpha- \tg \alpha}{2}}
Формулы тройного угла (аргумента)
{\sin(3\alpha)=3 \cdot \sin \alpha- 4 \cdot \sin ^3 \alpha}
{\cos(3\alpha)= 4 \cdot \cos ^3 \alpha- 3 \cdot \cos \alpha}
{\tg(3\alpha)= \dfrac{3 \cdot \tg \alpha- \tg ^3 \alpha}{1-3 \cdot \tg ^2 \alpha}}
{\ctg(3\alpha)= \dfrac{\ctg ^3 \alpha- 3 \cdot \ctg \alpha}{3 \cdot \ctg ^2 \alpha -1}}
Формулы понижения степени тригонометрических функций
Вторая степень
{\sin ^2 \alpha = \dfrac{1-\cos(2\alpha)}{2}}{\cos ^2 \alpha = \dfrac{1+\cos(2\alpha)}{2}}
{\tg ^2 \alpha = \dfrac{1-\cos(2\alpha)}{1+\cos(2\alpha)}}
{\ctg ^2 \alpha = \dfrac{1+\cos(2\alpha)}{1-\cos(2\alpha)}}
{(\sin \alpha- \cos \alpha)^2=1-\sin(2 \alpha)}
{(\sin \alpha+ \cos \alpha)^2=1+\sin(2 \alpha)}
Третья степень
{\sin ^3 \alpha = \dfrac{3 \cdot \sin(\alpha)-\sin(3 \alpha)}{4}}{\cos ^3 \alpha = \dfrac{3 \cdot \cos(\alpha)+\cos(3 \alpha)}{4}}
{\tg ^3 \alpha = \dfrac{3 \cdot \sin (\alpha)-\sin(3 \alpha)}{3 \cdot \cos (\alpha)+\cos(3 \alpha)}}
{\ctg ^3 \alpha = \dfrac{3 \cdot \cos (\alpha)+\cos(3 \alpha)}{3 \cdot \sin (\alpha)-\sin(3 \alpha)}}
Четвёртая степень
{\sin ^4 \alpha = \dfrac{3-4 \cdot \cos(2 \alpha)+\cos(4 \alpha)}{8}}{\cos ^4 \alpha = \dfrac{3+4 \cdot \cos(2 \alpha)+\cos(4 \alpha)}{8}}
Пятая степень
{\sin ^5 \alpha = \dfrac{10 \cdot \sin(\alpha)-5 \cdot \sin(3 \alpha)+\sin(5 \alpha)}{16}}{\cos ^5 \alpha = \dfrac{10 \cdot \cos(\alpha)+5 \cdot \cos(3 \alpha)+\cos(5 \alpha)}{16}}
Формулы половинного угла (аргумента)
{\sin \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha}{2}}}
{\cos \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\pm \sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha}{2}}}
{\tg \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)= \dfrac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}= \dfrac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}}
{\ctg \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)= \dfrac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}= \dfrac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha}}
Формулы понижения степени половинного угла (аргумента)
{\sin ^2 \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\dfrac{1-\cos \alpha}{2}}
{\cos ^2 \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\dfrac{1+\cos \alpha}{2}}
{\tg ^2 \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\dfrac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}
{\ctg ^2 \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\dfrac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}}
Формулы сложения аргументов
{\sin(\alpha + \beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta}
{\cos(\alpha + \beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta- \sin \alpha \cdot \sin \beta}
{\tg(\alpha + \beta)= \dfrac{\tg \alpha + \tg \beta}{1-\tg \alpha \cdot \tg \beta}}
{\ctg(\alpha + \beta)= \dfrac{\ctg \alpha \cdot \ctg \beta-1}{\ctg \alpha + \ctg \beta}}
Формулы вычитания аргументов
{\sin(\alpha- \beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta- \cos \alpha \cdot \sin \beta}
{\cos(\alpha- \beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta+ \sin \alpha \cdot \sin \beta}
{\tg(\alpha- \beta)= \dfrac{\tg \alpha- \tg \beta}{1+\tg \alpha \cdot \tg \beta}}
{\ctg(\alpha- \beta)= \dfrac{\ctg \alpha \cdot \ctg \beta+1}{\ctg \alpha- \ctg \beta}}
Формулы суммы тригонометрических функций
{\sin \alpha+ \sin \beta=2 \cdot \sin \big( \dfrac{\alpha + \beta}{2} \big) \cdot \cos \big( \dfrac{\alpha- \beta}{2} \big)}
{\cos \alpha+ \cos \beta=2 \cdot \cos \big( \dfrac{\alpha + \beta}{2} \big) \cdot \cos \big( \dfrac{\alpha- \beta}{2} \big)}
{\tg \alpha + \tg \beta = \dfrac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}}
{\ctg \alpha + \ctg \beta = \dfrac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}}
{\sin (\alpha)+\cos(\alpha)=\sqrt{2} \cdot \sin \Big( \alpha+ \dfrac{\pi}{4} \Big)}
Формулы разности тригонометрических функций
{\sin \alpha- \sin \beta=2 \cdot \sin \big( \dfrac{\alpha- \beta}{2} \big) \cdot \cos \big( \dfrac{\alpha+ \beta}{2} \big)}
{\cos \alpha- \cos \beta=-2 \cdot \sin \big( \dfrac{\alpha + \beta}{2} \big) \cdot \sin \big( \dfrac{\alpha- \beta}{2} \big)}
{\tg \alpha- \tg \beta = \dfrac{\sin(\alpha- \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}}
{\ctg \alpha- \ctg \beta = \dfrac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \cdot \sin \beta}}
{\sin (\alpha)-\cos(\alpha)=\sqrt{2} \cdot \sin \Big( \alpha- \dfrac{\pi}{4} \Big)}
Формулы произведения тригонометрических функций
{\sin \alpha \cdot \sin \beta = \dfrac{\cos (\alpha- \beta)-\cos(\alpha + \beta)}{2}}
{\sin \alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{\sin (\alpha- \beta)+\sin(\alpha + \beta)}{2}}
{\cos \alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{\cos (\alpha- \beta)+\cos(\alpha + \beta)}{2}}
{\tg \alpha \cdot \tg \beta = \dfrac{\cos(\alpha- \beta)- \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha- \beta)+ \cos(\alpha+\beta)}=\dfrac{\tg \alpha + \tg \beta}{\ctg \alpha + \ctg \beta}}
{\ctg \alpha \cdot \ctg \beta = \dfrac{\cos(\alpha- \beta)+ \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha- \beta)- \cos(\alpha+\beta)}=\dfrac{\ctg \alpha + \ctg \beta}{\tg \alpha + \tg \beta}}
{\tg \alpha \cdot \ctg \beta = \dfrac{\sin(\alpha- \beta)+ \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+ \beta)- \sin(\alpha-\beta)}}
Формулы произведения тригонометрических функций в степени
{\sin ^2 (\alpha) \cdot \cos ^2 (\alpha) = \dfrac{1-\cos(4 \alpha)}{8}}
{\sin ^3 (\alpha) \cdot \cos ^3 (\alpha) = \dfrac{3 \cdot \sin(2 \alpha)- \sin(6 \alpha)}{32}}
{\sin ^4 (\alpha) \cdot \cos ^4 (\alpha) = \dfrac{3-4 \cdot \cos(4 \alpha)+ \cos(8 \alpha)}{128}}
{\sin ^5 (\alpha) \cdot \cos ^5 (\alpha) = \dfrac{10 \cdot \sin (2 \alpha)-5 \cdot \sin(6 \alpha)+\sin (10 \alpha)}{512}}
Все формулы тригонометрии на одном листе
На этой картинке собраны все формулы тригонометрии для печати. Листо можно распечатать и использовать при решении задач ЕГЭ или вырезать таблицы и использовать как шпаргалку. Распечатанный лист можно применять как справочный материал при решении задач по тригонометрии в 10 и 11 классе.

Все формулы тригонометрии на одном листе
Ваша оценка
[Оценок: 8 Средняя: 5]Просмотров страницы: 786
mnogoformul.ru
cos 3x
Начнем с анализа заданного тригонометрического выражения.
Выражение содержит косинус от нечетного угла, следовательно, не может быть применена формула для двойного угла этой функции. Разложим аргумент 3х на сумму двух аргументов — х и 2х:
Распишем полученное выражение с помощью формулы для косинуса суммы и получим:
Избавимся от двойных аргументов под знаками синуса и косинуса с помощью формул для тригонометрических функций от двойных углов:
Раскроем скобки в выражении и обратим внимание на подобные слагаемые, при сложении которых выражение значительно упроститься:
Далее вынесем косинус за скобку, а от квадрата синуса перейдем к квадрату косинуса, используя основное тригонометрическое уравнение:
Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и снова раскроем скобки, после чего получим:
Получили, что косинус тройного угла можно выразить через разность косинусов одинарного аргумента, то один из членов разности — кубический косинус.
Тождеством удобно пользоваться, если нужно избавиться от тройного аргумента. Но не стоит забывать, что вместо тройного аргумента появляется разность с кубом.
ru.solverbook.com
Тригонометрические выражения и тригонометрические формулы [wiki.eduVdom.com]
subjects:mathematics:тригонометрические_выражения_и_формулы
Отметим на координатной оси Ох справа от точки О точку А и построим окружность с центром в точке О и радиусом ОА (так называемым начальным радиусом).
Окружность с центром в точке О и радиусом ОА
Рис.1
Пусть при повороте на угол a против часовой стрелки начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ.
Тогда:
Синусом (sin α) угла α называется отношение ординаты точки В к длине радиуса.
Косинусом (cos α) угла α называется отношение абсциссы точки В к длине радиуса.
Тангенсом (tg α) угла α называется отношение ординаты точки В к ее абсциссе.
Котангенсом (
Секанс определяется как sec α = 1/(cos α)
Косеканс определяется как cosec α = 1/(sin α)
В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x
Если координаты точки В равны x и y, то:
$$\sin{\alpha} = \frac{y}{R}\;;\; \cos{\alpha} = \frac{x}{R}\;;\; {\rm tg}\, \alpha = \frac{y}{x}\;;\; {\rm ctg}\, \alpha = \frac{x}{y}$$
Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α
Приведем таблицу значений тригонометрических функций некоторых углов (прочерк сделан, когда выражение не имеет смысла):
0º 0 рад | 30º $$\frac{\pi}{6}$$ | 45º $$\frac{\pi}{4}$$ | 60º $$\frac{\pi}{3}$$ | 90º $$\frac{\pi}{2}$$ | 180º $$\pi$$ | 270º $$\frac{3\pi}{2}$$ | 360º $$2\pi$$ | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
$$\sin \alpha$$ | 0 | $$\frac{1}{2}$$ | $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ | $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ | 1 | 0 | -1 | 0 |
$$\cos \alpha$$ | 1 | $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ | $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ | $$\frac{1}{2}$$ | 0 | -1 | 0 | 1 |
$${\rm tg}\, \alpha$$ | 0 | $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$ | 1 | $$\sqrt{3}$$ | — | 0 | — | 0 |
$${\rm ctg}\, \alpha$$ | — | $$\sqrt{3}$$ | 1 | $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$ | 0 | — | 0 | — |
Свойства sin, cos, tg и ctg
Свойства синуса (sin), косинуса (cos), тангенса(tg) и котангенса(ctg):
Определение знака
Если α-угол I или II координатной четверти, то sin α > 0;
Если α-угол III или IV координатной четверти, то sin α < 0;
Если α-угол I или IV координатной четверти, то
Если α-угол II или III координатной четверти, то cos α < 0;
Если α-угол I или III координатной четверти, то tg α > 0 и ctg α > 0;
Если α-угол II или IV координатной четверти, то tg α < 0 и ctg α < 0.
Синус, тангенс и котангенс — нечетные функции; косинус — четная функция.
Для чётной функции справедливо равенство: y(-x) = y(x). Примеры чётных функций: y = cos(x), y = x2.
Для НЕчётной функции справедливо равенство: y(-x) = -y(x). Примеры НЕчётных функций: y = sin(x), y = x.
При изменении угла на целое число оборотов значения тригонометрических функций не меняются.
1 радиан — это мера центрального угла, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности.
Связь радианов с градусами: $1° =\frac{\pi}{180}\text{рад; 1 рад }=\frac{180°}{\pi}$.
Основные тригонометрические тождества
Формулы приведения
X | $\frac{\pi}{2}-\alpha$ | $\frac{\pi}{2}+\alpha$ | $\pi-\alpha$ | $\pi+\alpha$ | $\frac{3\pi}{2}-\alpha$ | $\frac{3\pi}{2}+\alpha$ | $2\pi-\alpha$ | $2\pi+\alpha$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
sin x | cos α | cos α | sin α | -sin α | -cos α | -sin α | sin α | |
cos x | sin α | -sin α | -cos α | -cos α | -sin α | sin α | cos α | cos α |
tg x | ctg α | -ctg α | -tg α | tg α | ctg α | -ctg α | -tg α | tg α |
ctg x | tg α | -tg α | -ctg α | ctg α | tg α | -tg α | -ctg α | ctg α |
Формулы сложения
Формулы двойного угла
Формулы двойного угла или двойного аргумента:
Формулы половинного аргумента
Формулы половинного аргумента (для sin и cos — формулы понижения степени):
Формулы суммы и разности
Формулы произведения
Соотношения между sin x, cos x и tg(x/2)
Один из способов использования: свести всё к tg(x/2) и путём замены получить обычное алгебраическое выражение.
Простейшие тригонометрические уравнения
Дополнительно
subjects/mathematics/тригонометрические_выражения_и_формулы.txt · Последние изменения: 2014/02/26 22:10 — ¶
как вывести забытую тригонометрическую формулу?
На олимпиаде по математике с большой степенью вероятности, а на внешнем независимом тестировании – уж наверняка встретятся задания по тригонометрии. Тригонометрию часто не любят за необходимость зубрить огромное количество трудных формул, кишащих синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами. На сайте уже когда-то давались советы, как вспомнить забытую формулу, на примере формул Эйлера и Пиля.
А в этой статье мы постараемся показать, что достаточно твёрдо знать всего пять простейших тригонометрических формул, а об остальных иметь общее представление и выводить их по ходу дела. Это как с ДНК: в молекуле не хранятся полные чертежи готового живого существа. Там содержатся, скорее, инструкции по его сборке из имеющихся аминокислот. Так и в тригонометрии, зная некоторые общие принципы, мы получим все необходимые формулы из небольшого набора тех, которые нужно обязательно держать в голове.
Будем опираться на следующие формулы:
- Основное тригонометрическое тождество: sin2a+cos2a = 1
- Определение тангенса:
- Определение котангенса:
- Формула
синуса суммы: sin(a+b) = sinacosb+cosasinb - Формула косинуса суммы: cos(a+b) = cosacosb—sinasinb
Из формул синуса и косинуса сумм, зная о чётности функции косинуса и о нечётности функции синуса, подставив -b вместо b, получаем формулы для разностей:
- Синус разности: sin(a-b)
- Косинус разности: cos(a-b) = cosacos(-b)—sinasin(-b) = cosacosb+sinasinb
Поставляя в эти же формулы a = b, получаем формулы синуса и косинуса двойных углов:
- Синус двойного угла: sin2a = sin(a+a) = sinacosa+cosasina = 2sinacosa
- Косинус двойного угла: cos2a = cos(a+a) = cosacosa—sinasina = cos2a—sin2a
Аналогично получаются и формулы других кратных углов:
- Синус тройного угла: sin3a = sin(2a+a) = sin2acosa+cos2asina = (2sinacosa)cosa+(cos2a—sin2a)sina = 2sinacos2a+sinacos2a—sin3a = 3sinacos2a—sin3a = 3sina(1-sin2a)-sin3a = 3sina-4sin3a
- Косинус тройного угла: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa—sin2asina = (cos2a—sin2a)cosa-(2sinacosa)sina = cos3a-sin2acosa-2sin2acosa = cos3a-3sin2acosa = cos3a-3(1-cos2a)cosa = 4cos3a-3cosa
Прежде чем двигаться дальше, рассмотрим одну задачу.
Дано: угол — острый.
Найти его косинус, если
Решение, данное одним учеником:
Т.к. , то sina = 3,а cosa = 4.
(Из математического юмора)
Итак, определение тангенса связывает эту функцию и с синусом, и с косинусом. Но можно получить формулу, дающую связь тангенса только с косинусом. Для её вывода возьмём основное тригонометрическое тождество: sin2a+cos2a = 1 и разделим его на cos2a. Получим:
- Связь тангенса и косинуса:
Так что решением этой задачи будет:
(Т.к. угол острый, при извлечении корня берётся знак +)
- Аналогично получаем связь котангенса и синуса:
Формула тангенса суммы – ещё одна, тяжело поддающаяся запоминанию. Выведем её так:
- Формула тангенса суммы: . Разделив числитель и знаменатель на произведение косинусов, получим:
Сразу выводится и
- Формула тангенса двойного угла:
Из формулы косинуса двойного угла можно получить формулы синуса и косинуса для половинного. Для этого к левой части формулы косинуса двойного угла:
cos2a = cos2a—sin2a
прибавляем единицу, а к правой – тригонометрическую единицу, т.е. сумму квадратов синуса и косинуса.
cos2a+1 = cos2a—sin2a+cos2a+sin2a
2cos2a = cos2a+1
Выражая cosa через cos2a и выполняя замену переменных, получаем:
- Косинус половинного угла:
Знак берётся в зависимости от квадранта.
Аналогично, отняв от левой части равенства единицу, а от правой — сумму квадратов синуса и косинуса, получим:
cos2a-1 = cos2a—sin2a—cos2a—sin2a
2sin2a = 1-cos2a
- Cинус половинного угла:
И, наконец, чтобы преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение, используем следующий приём. Допустим, нам нужно представить в виде произведения сумму синусов sina+sinb. Введём переменные x и y такие, что a = x+y, b+x-y. Тогда
sina+sinb = sin(x+y)+sin(x-y) = sinxcosy+cosxsiny+sinxcosy-cosxsiny = 2sinxcosy. Выразим теперь x и y через a и b.
Поскольку a = x+y, b = x-y, то . Поэтому
- Представление суммы синусов в виде произведения:
Сразу же можно вывести
- Формулу для разбиения произведения синуса и косинуса в сумму: sinacosb = 0.5(sin(a+b)+sin(a-b))
Рекомендуем потренироваться и вывести самостоятельно формулы для преобразования в произведение разности синусов и суммы и разности косинусов, а также для разбиения в сумму произведений синусов и косинусов. Проделав эти упражнения, вы досконально освоите мастерство вывода тригонометрических формул и не потеряетесь даже на самой сложной контрольной, олимпиаде или тестировании.
intelmath.narod.ru
Все формулы тригонометрии
В таблице приведены формулы приведения для тригонометрических функций (sin, cos, tg, ctg).
Тригонометрические формулы преобразования разности аргументов
Формулы преобразования функций двойного угла (2α) в выражение через одинарный угол (α)
sin(2α)- через sin и cos:
sin(2α)- через tg и ctg:
cos(2α)- через sin и cos:
cos(2α)- через tg и ctg:
tg(2α) и сtg(2α):
Формулы преобразования функций (синус, косинус, тангенс, котангенс), тройного угла (3α) в выражение через одинарный угол (α):
Уравнения разложения тригонометрических функций:
квадрат синус альфа, косинус альфа, тангенс альфа, котангенс альфа.
sin(α)=OA
cos(α)=OC
tg(α)=DE
ctg(α)=MK
R=OB=1
Значения функций для некоторых углов, α
zdesformula.ru