Коэффициенты в квадратном уравнении – Вывод формулы корней полного квадратного уравнения. Решение приведенных квадратных уравнений и уравнений с четным вторым коэффициентом

Урок по алгебре в 8-м классе “Свойства коэффициентов квадратного уравнения”

Разделы:
Математика




Цели урока:


Образовательная (учебная).




Сформировать умения и навыки метода устного
решения квадратных уравнений.


Воспитательные.


— Формирование мировоззрения:


Показать учащимся, что математические понятия
не изолированы друг от друга, а представляют
определенную систему знаний, все звенья которой
находятся во взаимной связи.


— Формирование общественных навыков:

  1. Вычислительных;
  2. Эстетических навыков при оформлении записей;
  3. Приобретение навыков исследовательской работы.

— Формирование качеств личности.

  1. Трудолюбия;
  2. Самостоятельности;
  3. Ответственности за принятое решение.

Развивающие задачи:

  1. Развитие мыслительной деятельности: умения
    анализировать, обобщать, классифицировать;
  2. Развитие творческой деятельности: интуиции,
    смекалки.



Актуализация знаний.


На доске записано: ах2 + bх + с, где а 0


— Что написано на доске? (Квадратный трехчлен)

— А теперь что написано на доске? ах2 + bх + с =
0, где а 0 (Квадратное
уравнение)


— Всегда ли имеют ли корни квадратный трехчлен и
квадратное уравнение? (Нет, не всегда)

— От чего зависит количество корней? (От
дискриминанта)


— Как найти дискриминант квадратного трехчлена
или квадратного уравнения? (Д = в2 – 4ас)

— Сколько корней в зависимости от дискриминанта
может иметь квадратный трехчлен или квадратное
уравнение? (Два различных корня, два одинаковых
корня или нет корней).


— Как найти корни квадратного трехчлена или
квадратного уравнения?1,2 = )

— По какой формуле можно квадратный трехчлен
разложить на линейные множители? (ах2 + bх +
с =а(х – х1)(х – х2))


1. Найдите корни квадратного трехчлена: 5х2
+ 8х + 3;

(Ответ: )


2. Решите квадратное уравнение: х2 + 6х + 8 = 0;

(Ответ: -4 и -2)


3. Разложите на линейные множители квадратный
трехчлен: 3х2 – 10х + 8;

(Ответ: 3(х — 2)(х — ))




Введение знаний.


— Решая математические задачи, часто приходится
встречаться с квадратными уравнениями. Поэтому
помимо основных формул для вычисления корней
таких уравнений полезно знать методы устного
решения. Это помогает не только экономить время,
но и развивать внимание. Конечно, не каждое
квадратное уравнение можно решить с помощью
свойства его коэффициентов, но в школьных
учебниках многие уравнения решаются таким
способом.




Свойства коэффициентов квадратного
уравнения.


Пусть ах2 + bх + с = 0, где а 0

  1. Если а + b + с = 0, то х1 = 1, х2 = ;
  2. Если а + с = b, то х1 = -1, х2 = -.

Пример 1. Решить уравнение: 341х2
+ 290х – 51 = 0




Решение. Имеем: а = 341, b = 290, с = -51.




341 + (-51) = 290, т.е. а + с = b. Следовательно, х1 =
-1, х2 = .


Пример 2. Решить уравнение: 67х2
– 75х + 8 = 0.




Решение. Замечаем, что 67 + 8 = 75, следовательно,
х1 = = 1,
х2 = .


Пример 3. Решить уравнение: 19х2 +
15х – 34 = 0.


Решение. Так как 19 + 15 – 34 = 0, то искомые
числители дробей равны 19 и -34, тогда, х1 = = 1, х2 = -.


Задания для закрепления.

  1. 2 – 5х + 2 = 0;
  2. 2 + 3х + 1 = 0;
  3. 2 + 9х –14 = 0;
  4. 2 + х – 6 = 0;
  5. 2 + 4х — 9 = 0;
  6. х2 + 29х – 30 = 0;
  7. х2 — 2000х – 2001 = 0;
  8. 72х2 + 69х – 3 = 0;
  9. 83х2 – 97х + 14 = 0.



Квадратное уравнение с коэффициентом 1
при х2( т.е.а = 1) называют приведенным
квадратным уравнением.


— Посмотрите на таблицу. Все ли уравнения ,
записанные в ней, являются приведенными
квадратными уравнениями?
























Уравнение a b c Д х1 х2 х12 х1 х2
х2 – 7х + 12 =0                
х2 – 8х + 12 =0                
х2 – 12х+11 =0                
х2 + 7х – 8 =0                
х2 – 5х + 12 =0                
х2 – х — 12 =0                
х2 – 2х – 3 =0                
х2 + 5х – 14 =0                
х2 + 18х+32 =0                
х2 +5х + 4 =0                
х2 – 7х + 10 =0                
х2 – 7х + 15 =0                
х2 + 2х — 8 =0                
х2 + 5х – 6 =0                
х2 + 3х — 4 =0                
х2 + 5х — 24 =0                
х2 – х – 20 =0                
х2 – 2х + 9 =0                
х2 + 9х + 14 =0                
х2 + 14х — 32=0                


(Далее решаем уравнения из таблицы и все
последовательно заполняем)


Сообщаю, что домашнее задание
закончить заполнение таблицы.




Подведение итогов обучения.



Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Вывод формулы корней полного квадратного уравнения. Решение приведенных квадратных уравнений и уравнений с четным вторым коэффициентом

Разделы:
Математика


Устный счет:

1. При каком значении Х , выражение принимает минимальное значение

а) ; б)
2. Зависимость y(x) выражается формулой y = 13x + 1 выразить x(y)

3. Не решая уравнения, определить, равносильны ли они:

4. Выделить полный квадрат:

5. Вычислить пары чисел , удовлетворяющих условиям

а) m + n = 4
mn = 4
б) m + n = –3
mn = –18
  1. Какое уравнение называется полным?
  2. Что такое корни квадратного уравнения?
  3. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

Теорема. Квадратное уравнение не может иметь более двух различных корней.

Доказательство:

Предположим, что уравнение три различных корня:

Если уравнение имеет корень, то после подстановки его в уравнение получится верное числовое равенство:

(1)
(2)
(3)

из (2) отнимаем (1)



_____________________

В каком случае произведение равно 0?

Так как = > 0 = > a+ b = 0. (4)

Из (3) вычтем (2)



_________________

= > a+ b = 0 (5)

Из (4) отнимем (5)



________________

а0 = > = > ,
а по условию пришли к противоречию.

Давайте решим уравнение:

Самостоятельно:

a)

Вместе:

б)

Нравится ли этот способ? Нет! Тогда будем рассуждать иначе:

(формулу для нахождения корней квадратного уравнения учить проговаривать словами).

– дискриминант квадратного уравнения.

По теореме, доказанной нами , уравнение не может иметь более двух корней.

Количество корней зависит от D.

1). D > 0
2). D = 0

3). D < 0 – уравнение действительных корней не имеет.

Решить уравнения:

1)
– корней нет.

2)
D = 49–48 = 1

3)
D = 25 + 12 = 37

Если в уравнении b = 2k ,то уравнение имеет вид

D =

Диктант(один ученик на внутренней доске, в это время двое по карточкам)

1) Вычислить дискриминант квадратного уравнения D = 100
2) Найти корни квадратного уравнения х = 3 и
3) При каком условии полное квадратное уравнение имеет один корень D = 0
4) При каком условии полное квадратное уравнение не имеет корней.
5) Решить уравнение D < 0.

После диктанта ребята меняются тетрадями и проверяют задание , исправляют ошибки и задают вопросы ученику у доски.

Все проверяют работу учеников на доске, которым были даны карточки.

1)

а) Решить уравнение

б) При каком m можно представить в виде квадрата двучлена выражение

а)
б)

2)

1. Решить уравнение

2. При каком а уравнение имеет один корень

Этим учащимся задаются вопросы и ставится оценка.

Итог урока

– Какие уравнения мы сегодня решали?
– Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
– С помощью чего мы их решали?

Когда D = 0, то …
D < 0, то …
D > 0, то …

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Знаки коэффициентов квадратного трехчлена

Знаки коэффициентов квадратного трехчлена.

В этой статье я расскажу, как по графику квадратичной функции найти знаки коэффициентов квадратного трехчлена.

Чтобы определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена по графику квадратичной функции , нужно вспомнить теорему Виета.

Согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

Квадратное уравнение называется приведенным, если его старший коэффициент равен единице.

Чтобы уравнение   стало приведенным, нужно обе части уравнения разделить на старший коэффициент. Получим приведенное уравнение . Для него справедливы соотношения:

И эти же соотношения справедливы для уравнения  

По графику квадратичной функции мы легко можем определить знак коэффициента   — если ветви параболы направлены вверх, то ,  а если вниз, то .

Также по графику легко определяются знаки корней (корни квадратного трехчлена   — это абсциссы точек пересечения графика функции  с осью абсцисс), а также знак корня с большим модулем.

Если оба корня положительны, то .

Если оба корня отрицательны, то .

Если корень с большим модулем положителен, то .

Если корень с большим модулем отрицателен, то .

Если корни имеют одинаковые знаки, то .

Если корни имеют разные знаки, то .

Во всех случаях, определив знак коэффициента  по направлению ветвей параболы, мы легко найдем знаки коэффициентов  и

Рассмотрим примеры.

1. Определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена , если график функции   имеет вид:

1. Ветви параболы направлены вниз, следовательно, .

2. Корни имеют одинаковые знаки, следовательно, их произведение положительно: . Так как , следовательно, .

3. Оба корня отрицательны, следовательно,   их сумма отрицательна: . Так как , следовательно, .

Ответ: , , .

 

2. Определить знаки коэффициентов  квадратного трехчлена , если график функции   имеет вид:

1. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, .

2. Корни имеют разные  знаки, следовательно, их произведение отрицательно: . Так как , следовательно, .

3. Корень с большим модулем положителен, следовательно,  сумма корней положительна: . Так как , следовательно, .

Ответ: , , .

Замечание: — ордината точки пересечения параболы с осью , поэтому знак можно определить сразу.

 

ege-ok.ru

Метод коэффициентов при решении квадратных уравнений


 


В статье описываются нестандартные способы решения квадратных уравнений.


Ключевые слова: уравнения, квадратные уравнения, способы решения квадратных уравнений.


 


В школьном курсе математики изучается решение полных квадратных уравнений с помощью дискриминанта, теоремы обратной теореме Виета, выделения полного квадрата. Однако, имеются и другие приемы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения:


1. Прием переброски старшего коэффициента


ах2+вх+с=0


Коэффициент а умножается на с, таким образом «перебрасывается» к свободному члену. Получается следующее уравнение у2+ру+к=0, тогда


х1=, х2=.


Пример:2х2-9х-5=0


У2-9у-10=0. у1=10, у2=-1, тогда х1==5, х2=-0,5.


Данный метод удобен в том случае, когда после переброски корни находятся по т. Виета, или (а+в+с=0; а-в+с=0).


Пример: . При переброске старшего коэффициента получим уравнение . По теореме, обратной т.Виета, получим корни у1=-3, у2=-, тогда х1==, х2=.


2. Сумма коэффициентов квадратного уравнения: ах2+вх+с=0.


                     Если выполняется условие а+в+с=0, то х1=1, х2=.


Пример: 21х2-3940х+3919=0. Так как 21-3940+3919=0 то, х1=1, х2=.


                     Если а-в+с=0, то х1=-1, х2=.


Пример: х2+1357х+1356=0. Так как 1-1357+1356=0, то х1=-1, х2=-1356.


3. Метод решения квадратных уравнений вида: ах2± (а2+1)х ± а=0.


                     В уравнениях вида ах2+(а2+1)х+а=0 корни х1=- а, х2=-.


Пример: 25х2+626х+25=0, х1=- 25, х2= – .


                     В уравнениях вида ах2— (а2+1)х+а=0 корни х1= а, х2=.


Пример: 13х2— 170х+13=0, х1=13, х2= .


                     В уравнениях вида ах2+(а2+1)х- а=0 корни х1=- а, х2=.


Пример: 25х2+626х – 25=0, х1=- 25, х2= .


                     В уравнениях вида ах2— (а2+1)х- а=0 корни х1= а, х2=.


Пример: 13х2— 170х-13=0, х1=13, х2= .


В уравнениях вида ах2-(а2+1)х+а=0 можно перебросить старший коэффициент, получим уравнение вида у2-(а2+1)у+а2=0. Сумма коэффициентов 1-(а2+1)+а2=0, следовательно у1=1, у22, тогда х1=, х2=а.


Предлагаем решить следующие уравнения, используя рассмотренные приемы:


  1.       Решить квадратные уравнения с большими коэффициентами


 



2 – 13х + 9 =0


1978х2 – 1984х + 6=0


2 + 11х + 7 = 0


319х2 + 1988х +1669=0


1999х2 + 2000х+1=0


313х2 +326х+13=0


839х2– 448х -391=0


345х2 – 137х – 208=0


939х2+978х+39=0


2+65х+8=0


  1.             Решите уравнение


а) 20092008х2-20092009х+1 (Олимпиада 2009 г. для поступающих в СМАЛ)


б) x(x+ 1) = 2014·2015 (турнир Ломоносова)


  1.             Найди наиболее рациональным способом корни уравнения:



17х2+290х+17=0


23х2— 530х+23=0


37х2+1370х – 37=0


38х2+3365 – 38=0


69х2+4762х+69=0


69х2— 4762х+69=0


69х2+4762х – 69=0


69х2+4762х – 69=0


Каждое из этих уравнений может быть решено без использования формулы корней квадратного уравнения; без громоздких вычислений; каждое решение уравнения почти устное.


Умение быстро и рационально решать квадратные уравнения необходимо для решения более сложных уравнений, например, дробно-рациональных уравнений, уравнений высших степеней, биквадратных уравнений, а в старшей школе тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений.


 


Литература:


 


  1.                Галицкий М.Л., Гольдман М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики:4-е изд.-М.: Просвещение, 1997.

  2.                Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Учебник для 8 класса. М., Просвещение, 2001.

  3.                Штейнгауз В.Г. Математический калейдоскоп. – М.: Бюро «Квантум», 2005.

  4.                Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985.

  5.                Лысогорова Л.В. Педагогические условия развития математических способностей младших школьников //Сибирский педагогический журнал. 2007. № 9. С. 228-233.

  6.                Зубова С.П., Лысогорова Л.В. Математические олимпиады в современных условиях. Самарский научный вестник. 2013. № 3 (4). С. 61-63.

  7.                Лысогорова Л.В., Кочетова Н.Г., Зубова С.П. Реализация принципа обучения математике на повышенном уровне трудности. В сборнике: Научные проблемы образования третьего тысячелетия VII Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием. 2013. С. 109-114.

yun.moluch.ru

Квадратное уравнение — WiKi

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение общего вида

ax2+bx+c=0,{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}

где x{\displaystyle x} — неизвестное, a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b}, c{\displaystyle c} — коэффициенты, причём a≠0.{\displaystyle \quad a\neq 0.}

Выражение ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c} называют квадратным трёхчленом[1].

Корень — это значение переменной x{\displaystyle x}, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство.

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия[1]:

  • a{\displaystyle a} называют первым или старшим коэффициентом,
  • b{\displaystyle b} называют вторым, средним или коэффициентом при x{\displaystyle x},
  • c{\displaystyle c} называют свободным членом.

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице[1]. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент a{\displaystyle a}:

x2+px+q=0,p=ba,q=ca.{\displaystyle x^{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a}},\quad q={\frac {c}{a}}.}

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Исторические сведения о квадратных уравнениях

Древний Вавилон

Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения[1]. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:

x2+x=34; x2−x=1412.{\displaystyle x^{2}+x={\frac {3}{4}};\ x^{2}-x=14{\frac {1}{2}}.} 

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Индия

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.)[1]; Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: ax2+bx=c{\displaystyle ax^{2}+bx=c} ; притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме a,{\displaystyle a,}  могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

I способ. Общая формула для вычисления корней

Для нахождения корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}  в общем случае следует пользоваться приводимым ниже алгоритмом:

Выведение формулы

Формулу можно получить следующим образом:

ax2+bx+c=0,{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,} 
ax2+bx=−c{\displaystyle ax^{2}+bx=-c} 

Умножаем каждую часть на 4a{\displaystyle 4a}  и прибавляем b2{\displaystyle b^{2}} :

4a2x2+4abx+b2=−4ac+b2{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}} 
(2ax+b)2=−4ac+b2{\displaystyle (2ax+b)^{2}=-4ac+b^{2}} 
2ax+b=±−4ac+b2{\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt {-4ac+b^{2}}}} 
2ax=−b±−4ac+b2{\displaystyle 2ax=-b\pm {\sqrt {-4ac+b^{2}}}} 
x1,2=−b±b2−4ac2a.{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.} 

Примечание: очевидно, что формула для корня кратности 2 является частным случаем общей формулы, получается при подстановке в неё равенства D=0, а вывод о отсутствии вещественных корней при D<0 следует также сделать, учтя, что в этом случае -D>0, а −1=i{\displaystyle {\sqrt {-1}}=i} .

Изложенный метод универсален, однако он далеко не единственный.

II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

Для уравнений вида ax2+2kx+c=0{\displaystyle ax^{2}+2kx+c=0} , то есть при чётном b{\displaystyle b} , где

k=12b,{\displaystyle k={\frac {1}{2}}b,} 

вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать более простые выражения[1].

Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b=2k и совершив при этом несложные преобразования.

III способ. Решение неполных квадратных уравнений

К решению неполных квадратных уравнений следует подходить по-особому. Рассмотрим три возможных ситуации.

ru-wiki.org

Квадратное уравнение Википедия

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение общего вида

ax2+bx+c=0,{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}

где x{\displaystyle x} — неизвестное, a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b}, c{\displaystyle c} — коэффициенты, причём a≠0.{\displaystyle \quad a\neq 0.}

Выражение ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c} называют квадратным трёхчленом[1].

Корень — это значение переменной x{\displaystyle x}, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство.

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия[1]:

  • a{\displaystyle a} называют первым или старшим коэффициентом,
  • b{\displaystyle b} называют вторым, средним или коэффициентом при x{\displaystyle x},
  • c{\displaystyle c} называют свободным членом.

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице[1]. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент a{\displaystyle a}:

x2+px+q=0,p=ba,q=ca.{\displaystyle x^{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a}},\quad q={\frac {c}{a}}.}

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

ru-wiki.ru

Определение квадратного уравнения | Учитель математики.ру

Квадратным уравнением называется уравнение вида      где – переменная,   и    —  некоторые числа, причём 

Я вполне допускаю мысль о том, что не всё сразу понятно в этом определении. Не беспокойтесь! Сейчас во всём разберёмся!

Числа    и   называются коэффициентами квадратного уравнения:

первый или старший коэффициент;
второй коэффициент;
свободный член. Число    не называют третий коэффициент. Для него существует специальное название «свободный член». Почему «свободный член»? Потому что он «свободен» от переменной .

Обратите внимание на то, что число   стоит перед , число   стоит перед , а число  это просто какое-то число, явно не связанное с .

Ограничение для старшего коэффициента

В определении квадратного уравнения есть очень важное ограничение для старшего коэффициента . Ограничение заключается в такой записи . Эта запись говорит о том, что число  может принимать любые значения, кроме нуля!

Попробуем разобраться, почему необходимо это ограничение. А что будет, если не учитывать это ограничение? Что тогда произойдёт с уравнением? Давайте снимем ограничение .  Ну, не нравится нам это ограничение!

Предположим, что . Что же мы получим в этом случае?
А вот что! Подставим в уравнение   вместо   число ,  получим: . Так как ,  то уравнение примет вид: .

Но, позвольте! Уравнение такого вида является линейным или его ещё можно назвать уравнением первой степени. Ничего общего с квадратным уравнением оно не имеет! А мы-то ведём речь о квадратном уравнении!

Итак, делаем очень важный вывод ограничение  крайне необходимо! Потому что если мы не будем его учитывать, то вместо квадратного уравнения получим линейное.

Таким образом, в квадратном уравнении старший коэффициент в ни в коем случае не может быть равным нулю! Никогда!!! Так как иначе квадратное уравнение превратится в линейное.

Повторим ещё раз определение квадратного уравнения.
«Квадратным уравнением называется уравнение вида , где  –переменная,   и  – некоторые числа, причём, .
Я надеюсь, теперь всем понятен смысл этого определения, включая ограничение!

А вот с числами   и  всё гораздо проще! Числа  и запросто могут быть равными нулю! В этом случае получается неполное квадратное уравнение. Об этом мы говорили в предыдущей статье.

vebuchitel.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о