Коэффициенты в квадратном уравнении – Вывод формулы корней полного квадратного уравнения. Решение приведенных квадратных уравнений и уравнений с четным вторым коэффициентом

Урок по алгебре в 8-м классе “Свойства коэффициентов квадратного уравнения”

Разделы: Математика

---

Цели урока:

Образовательная (учебная).

Сформировать умения и навыки метода устного решения квадратных уравнений.

Воспитательные.

— Формирование мировоззрения:

Показать учащимся, что математические понятия не изолированы друг от друга, а представляют определенную систему знаний, все звенья которой находятся во взаимной связи.

— Формирование общественных навыков:

1. Вычислительных;
2. Эстетических навыков при оформлении записей;
3. Приобретение навыков исследовательской работы.

— Формирование качеств личности.

1. Трудолюбия;
2. Самостоятельности;
3. Ответственности за принятое решение.

Развивающие задачи:

1. Развитие мыслительной деятельности: умения анализировать, обобщать, классифицировать;
2. Развитие творческой деятельности: интуиции, смекалки.

Актуализация знаний.

На доске записано: ах² + bх + с, где а 0

— Что написано на доске? (Квадратный трехчлен)
— А теперь что написано на доске? ах² + bх + с = 0, где а 0 (Квадратное уравнение)
— Всегда ли имеют ли корни квадратный трехчлен и квадратное уравнение?

(Нет, не всегда)
— От чего зависит количество корней? (От дискриминанта)
— Как найти дискриминант квадратного трехчлена или квадратного уравнения? (Д = в² – 4ас)
— Сколько корней в зависимости от дискриминанта может иметь квадратный трехчлен или квадратное уравнение? (Два различных корня, два одинаковых корня или нет корней).
— Как найти корни квадратного трехчлена или квадратного уравнения? (х_1,2 = )
— По какой формуле можно квадратный трехчлен разложить на линейные множители? (ах² + bх + с =а(х – х ₁)(х – х₂))

1. Найдите корни квадратного трехчлена: 5х² + 8х + 3;
(Ответ: )

2. Решите квадратное уравнение: х² + 6х + 8 = 0;
(Ответ: -4 и -2)

3. Разложите на линейные множители квадратный трехчлен: 3х² – 10х + 8;
(Ответ: 3(х — 2)(х — ))

Введение знаний.

— Решая математические задачи, часто приходится встречаться с квадратными уравнениями. Поэтому помимо основных формул для вычисления корней таких уравнений полезно знать методы устного решения. Это помогает не только экономить время, но и развивать внимание. Конечно, не каждое квадратное уравнение можно решить с помощью свойства его коэффициентов, но в школьных учебниках многие уравнения решаются таким способом.

Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть ах² + bх + с = 0, где а 0

1. Если а + b + с = 0, то х₁ = 1, х₂ = ;
2. Если а + с = b, то х₁ = -1, х₂ = -.

Пример 1. Решить уравнение: 341х² + 290х – 51 = 0

Решение. Имеем: а = 341, b = 290, с = -51.

341 + (-51) = 290, т.е. а + с = b. Следовательно, х₁ = -1, х₂ = .

Пример 2. Решить уравнение: 67х² – 75х + 8 = 0.

Решение. Замечаем, что 67 + 8 = 75, следовательно, х₁ = = 1, х₂ = .

Пример 3. Решить уравнение: 19х² + 15х – 34 = 0.

Решение. Так как 19 + 15 – 34 = 0, то искомые числители дробей равны 19 и -34, тогда, х₁ = = 1, х₂ = -.

Задания для закрепления.

1. 3х² – 5х + 2 = 0;
2. 2х² + 3х + 1 = 0;
3. 5х² + 9х –14 = 0;
4. 5х² + х – 6 = 0;
5. 5х² + 4х — 9 = 0;
6. х² + 29х – 30 = 0;
7. х² — 2000х – 2001 = 0;
8. 72х² + 69х – 3 = 0;
9. 83х² – 97х + 14 = 0.

Квадратное уравнение с коэффициентом 1 при х²( т.е.а = 1) называют приведенным квадратным уравнением.

— Посмотрите на таблицу. Все ли уравнения , записанные в ней, являются приведенными квадратными уравнениями?

Уравнение	a	b	c	Д	х1	х2	х1+х2	х1 х 2
х2 – 7х + 12 =0
х2 – 8х + 12 =0
х2 – 12х+11 =0
х2 + 7х – 8 =0
х2 – 5х + 12 =0
х2 – х — 12 =0
х2 – 2х – 3 =0
х2 + 5х – 14 =0
х2 + 18х+32 =0
х2 +5х + 4 =0
х2 – 7х + 10 =0
х2 – 7х + 15 =0
х2 + 2х — 8 =0
х2 + 5х – 6 =0
х2 + 3х — 4 =0
х2 + 5х — 24 =0
х2 – х – 20 =0
х2 – 2х + 9 =0
х2 + 9х + 14 =0
х2 + 14х — 32=0

(Далее решаем уравнения из таблицы и все последовательно заполняем)

Сообщаю, что домашнее задание – закончить заполнение таблицы.

Подведение итогов обучения.

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Вывод формулы корней полного квадратного уравнения. Решение приведенных квадратных уравнений и уравнений с четным вторым коэффициентом

Разделы: Математика

---

Устный счет:

1. При каком значении Х , выражение принимает минимальное значение

а) ; б)
2. Зависимость y(x) выражается формулой y = 13x + 1 выразить x(y)

3. Не решая уравнения, определить, равносильны ли они:

4. Выделить полный квадрат:

5. Вычислить пары чисел , удовлетворяющих условиям

а) m + n = 4 mn = 4

б) m + n = –3 mn = –18

1. Какое уравнение называется полным?
2. Что такое корни квадратного уравнения?
3. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

Теорема. Квадратное уравнение не может иметь более двух различных корней.

Доказательство:

Предположим, что уравнение три различных корня:

Если уравнение имеет корень, то после подстановки его в уравнение получится верное числовое равенство:

(1)
(2)
(3)

из (2) отнимаем (1)

–

_____________________

В каком случае произведение равно 0?

Так как = > 0 = > a+ b = 0. (4)

Из (3) вычтем (2)

–

_________________

= > a+ b = 0 (5)

Из (4) отнимем (5)

–

________________

а0 = > = > ,
а по условию пришли к противоречию.

Давайте решим уравнение:

Самостоятельно:

a)

Вместе:

б)

Нравится ли этот способ? Нет! Тогда будем рассуждать иначе:

(формулу для нахождения корней квадратного уравнения учить проговаривать словами).

– дискриминант квадратного уравнения.

По теореме, доказанной нами , уравнение не может иметь более двух корней.

Количество корней зависит от D.

1). D > 0
2). D = 0

3). D < 0 – уравнение действительных корней не имеет.

Решить уравнения:

1)
– корней нет.

2)
D = 49–48 = 1

3)
D = 25 + 12 = 37

Если в уравнении b = 2k ,то уравнение имеет вид

D =

Диктант(один ученик на внутренней доске, в это время двое по карточкам)

1) Вычислить дискриминант квадратного уравнения D = 100
2) Найти корни квадратного уравнения х = 3 и
3) При каком условии полное квадратное уравнение имеет один корень D = 0
4) При каком условии полное квадратное уравнение не имеет корней.
5) Решить уравнение D < 0.

После диктанта ребята меняются тетрадями и проверяют задание , исправляют ошибки и задают вопросы ученику у доски.

Все проверяют работу учеников на доске, которым были даны карточки.

1)

а) Решить уравнение

б) При каком m можно представить в виде квадрата двучлена выражение

а)
б)

2)

1. Решить уравнение

2. При каком а уравнение имеет один корень

Этим учащимся задаются вопросы и ставится оценка.

Итог урока

– Какие уравнения мы сегодня решали?
– Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
– С помощью чего мы их решали?

Когда D = 0, то …
D < 0, то …
D > 0, то …

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Знаки коэффициентов квадратного трехчлена

Знаки коэффициентов квадратного трехчлена.

В этой статье я расскажу, как по графику квадратичной функции найти знаки коэффициентов квадратного трехчлена.

Чтобы определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена по графику квадратичной функции , нужно вспомнить теорему Виета.

Согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

Квадратное уравнение называется приведенным, если его старший коэффициент равен единице.

Чтобы уравнение   стало приведенным, нужно обе части уравнения разделить на старший коэффициент. Получим приведенное уравнение . Для него справедливы соотношения:

И эти же соотношения справедливы для уравнения  

По графику квадратичной функции мы легко можем определить знак коэффициента   — если ветви параболы направлены вверх, то ,  а если вниз, то .

Также по графику легко определяются знаки корней (корни квадратного трехчлена   — это абсциссы точек пересечения графика функции  с осью абсцисс), а также знак корня с большим модулем.

Если оба корня положительны, то .

Если оба корня отрицательны, то .

Если корень с большим модулем положителен, то .

Если корень с большим модулем отрицателен, то .

Если корни имеют одинаковые знаки, то .

Если корни имеют разные знаки, то .

Во всех случаях, определив знак коэффициента  по направлению ветвей параболы, мы легко найдем знаки коэффициентов  и

Рассмотрим примеры.

1. Определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена , если график функции   имеет вид:

1. Ветви параболы направлены вниз, следовательно, .

2. Корни имеют одинаковые знаки, следовательно, их произведение положительно: . Так как , следовательно, .

3. Оба корня отрицательны, следовательно,   их сумма отрицательна: . Так как , следовательно, .

Ответ: , , .

 

2. Определить знаки коэффициентов  квадратного трехчлена , если график функции   имеет вид:

1. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, .

2. Корни имеют разные  знаки, следовательно, их произведение отрицательно: . Так как , следовательно, .

3. Корень с большим модулем положителен, следовательно,  сумма корней положительна: . Так как , следовательно, .

Ответ: , , .

Замечание: — ордината точки пересечения параболы с осью , поэтому знак можно определить сразу.

 

ege-ok.ru

Метод коэффициентов при решении квадратных уравнений

 

В статье описываются нестандартные способы решения квадратных уравнений.

Ключевые слова: уравнения, квадратные уравнения, способы решения квадратных уравнений.

 

В школьном курсе математики изучается решение полных квадратных уравнений с помощью дискриминанта, теоремы обратной теореме Виета, выделения полного квадрата. Однако, имеются и другие приемы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения:

1. Прием переброски старшего коэффициента

ах²+вх+с=0

Коэффициент а умножается на с, таким образом «перебрасывается» к свободному члену. Получается следующее уравнение у²+ру+к=0, тогда

х₁=, х₂=.

Пример:2х²-9х-5=0

У²-9у-10=0. у₁=10, у₂=-1, тогда х₁==5, х₂=-0,5.

Данный метод удобен в том случае, когда после переброски корни находятся по т. Виета, или (а+в+с=0; а-в+с=0).

Пример: . При переброске старшего коэффициента получим уравнение . По теореме, обратной т.Виета, получим корни у₁=-3, у₂=-, тогда х₁==, х₂=.

2. Сумма коэффициентов квадратного уравнения: ах²+вх+с=0.

                     Если выполняется условие а+в+с=0, то х₁=1, х₂=.

Пример: 21х²-3940х+3919=0. Так как 21-3940+3919=0 то, х₁=1, х₂=.

                     Если а-в+с=0, то х₁=-1, х₂=.

Пример: х²+1357х+1356=0. Так как 1-1357+1356=0, то х₁=-1, х₂=-1356.

3. Метод решения квадратных уравнений вида: ах²± (а²+1)х ± а=0.

                     В уравнениях вида ах²+(а²+1)х+а=0 корни х₁=- а, х₂=-.

Пример: 25х²+626х+25=0, х₁=- 25, х₂= – .

                     В уравнениях вида ах²— (а²+1)х+а=0 корни х₁= а, х₂=.

Пример: 13х²— 170х+13=0, х₁=13, х₂= .

                     В уравнениях вида ах²+(а²+1)х- а=0 корни х₁=- а, х₂=.

Пример: 25х²+626х – 25=0, х₁=- 25, х₂= .

                     В уравнениях вида ах²— (а²+1)х- а=0 корни х₁= а, х₂=.

Пример: 13х²— 170х-13=0, х₁=13, х₂= .

В уравнениях вида ах²-(а²+1)х+а=0 можно перебросить старший коэффициент, получим уравнение вида у²-(а²+1)у+а²=0. Сумма коэффициентов 1-(а²+1)+а²=0, следовательно у₁=1, у₂=а², тогда х₁=, х₂=а.

Предлагаем решить следующие уравнения, используя рассмотренные приемы:

1.       Решить квадратные уравнения с большими коэффициентами

 

4х2 – 13х + 9 =0 1978х2 – 1984х + 6=0 4х2 + 11х + 7 = 0 319х2 + 1988х +1669=0 1999х2 + 2000х+1=0

313х2 +326х+13=0 839х2– 448х -391=0 345х2 – 137х – 208=0 939х2+978х+39=0 8х2+65х+8=0

2.             Решите уравнение

а) 20092008х²-20092009х+1 (Олимпиада 2009 г. для поступающих в СМАЛ)

б) x(x+ 1) = 2014·2015 (турнир Ломоносова)

3.             Найди наиболее рациональным способом корни уравнения:

17х2+290х+17=0 23х2— 530х+23=0 37х2+1370х – 37=0 38х2+3365 – 38=0

69х2+4762х+69=0 69х2— 4762х+69=0 69х2+4762х – 69=0 69х2+4762х – 69=0

Каждое из этих уравнений может быть решено без использования формулы корней квадратного уравнения; без громоздких вычислений; каждое решение уравнения почти устное.

Умение быстро и рационально решать квадратные уравнения необходимо для решения более сложных уравнений, например, дробно-рациональных уравнений, уравнений высших степеней, биквадратных уравнений, а в старшей школе тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений.

 

Литература:

 

1.                Галицкий М.Л., Гольдман М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики:4-е изд.-М.: Просвещение, 1997.
2.                Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Учебник для 8 класса. М., Просвещение, 2001.
3.                Штейнгауз В.Г. Математический калейдоскоп. – М.: Бюро «Квантум», 2005.
4.                Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985.
5.                Лысогорова Л.В. Педагогические условия развития математических способностей младших школьников //Сибирский педагогический журнал. 2007. № 9. С. 228-233.
6.                Зубова С.П., Лысогорова Л.В. Математические олимпиады в современных условиях. Самарский научный вестник. 2013. № 3 (4). С. 61-63.
7.                Лысогорова Л.В., Кочетова Н.Г., Зубова С.П. Реализация принципа обучения математике на повышенном уровне трудности. В сборнике: Научные проблемы образования третьего тысячелетия VII Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием. 2013. С. 109-114.

yun.moluch.ru

Квадратное уравнение — WiKi

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение общего вида

ax2+bx+c=0,{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}

где x{\displaystyle x} — неизвестное, a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b}, c{\displaystyle c} — коэффициенты, причём a≠0.{\displaystyle \quad a\neq 0.}

Выражение ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c} называют квадратным трёхчленом^[1].

Корень — это значение переменной x{\displaystyle x}, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство.

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия^[1]:

• a{\displaystyle a} называют первым или старшим коэффициентом,
• b{\displaystyle b} называют вторым, средним или коэффициентом при x{\displaystyle x},
• c{\displaystyle c} называют свободным членом.

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице^[1]. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент a{\displaystyle a}:

x2+px+q=0,p=ba,q=ca.{\displaystyle x^{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a}},\quad q={\frac {c}{a}}.}

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Исторические сведения о квадратных уравнениях

Древний Вавилон

Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения^[1]. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:

x2+x=34; x2−x=1412.{\displaystyle x^{2}+x={\frac {3}{4}};\ x^{2}-x=14{\frac {1}{2}}.} 

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Индия

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.)^[1]; Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: ax2+bx=c{\displaystyle ax^{2}+bx=c} ; притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме a,{\displaystyle a,}  могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

I способ. Общая формула для вычисления корней

Для нахождения корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}  в общем случае следует пользоваться приводимым ниже алгоритмом:

Выведение формулы

Формулу можно получить следующим образом:

ax2+bx+c=0,{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,} 

ax2+bx=−c{\displaystyle ax^{2}+bx=-c} 

Умножаем каждую часть на 4a{\displaystyle 4a}  и прибавляем b2{\displaystyle b^{2}} :

4a2x2+4abx+b2=−4ac+b2{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}} 

(2ax+b)2=−4ac+b2{\displaystyle (2ax+b)^{2}=-4ac+b^{2}} 

2ax+b=±−4ac+b2{\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt {-4ac+b^{2}}}} 

2ax=−b±−4ac+b2{\displaystyle 2ax=-b\pm {\sqrt {-4ac+b^{2}}}} 

x1,2=−b±b2−4ac2a.{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.} 

Примечание: очевидно, что формула для корня кратности 2 является частным случаем общей формулы, получается при подстановке в неё равенства D=0, а вывод о отсутствии вещественных корней при D<0 следует также сделать, учтя, что в этом случае -D>0, а −1=i{\displaystyle {\sqrt {-1}}=i} .

Изложенный метод универсален, однако он далеко не единственный.

II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

Для уравнений вида ax2+2kx+c=0{\displaystyle ax^{2}+2kx+c=0} , то есть при чётном b{\displaystyle b} , где

k=12b,{\displaystyle k={\frac {1}{2}}b,} 

вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать более простые выражения^[1].

Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b=2k и совершив при этом несложные преобразования.

III способ. Решение неполных квадратных уравнений

К решению неполных квадратных уравнений следует подходить по-особому. Рассмотрим три возможных ситуации.

ru-wiki.org

Квадратное уравнение Википедия

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение общего вида

ax2+bx+c=0,{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}

где x{\displaystyle x} — неизвестное, a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b}, c{\displaystyle c} — коэффициенты, причём a≠0.{\displaystyle \quad a\neq 0.}

Выражение ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c} называют квадратным трёхчленом^[1].

Корень — это значение переменной x{\displaystyle x}, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство.

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия^[1]:

• a{\displaystyle a} называют первым или старшим коэффициентом,
• b{\displaystyle b} называют вторым, средним или коэффициентом при x{\displaystyle x},
• c{\displaystyle c} называют свободным членом.

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице^[1]. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент a{\displaystyle a}:

x2+px+q=0,p=ba,q=ca.{\displaystyle x^{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a}},\quad q={\frac {c}{a}}.}

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

ru-wiki.ru

Определение квадратного уравнения | Учитель математики.ру

Квадратным уравнением называется уравнение вида      где – переменная,   и    —  некоторые числа, причём 

Я вполне допускаю мысль о том, что не всё сразу понятно в этом определении. Не беспокойтесь! Сейчас во всём разберёмся!

Числа    и   называются коэффициентами квадратного уравнения:

– первый или старший коэффициент;
– второй коэффициент;
– свободный член. Число    не называют третий коэффициент. Для него существует специальное название «свободный член». Почему «свободный член»? Потому что он «свободен» от переменной .

Обратите внимание на то, что число   стоит перед , число   стоит перед , а число  это просто какое-то число, явно не связанное с .

Ограничение для старшего коэффициента

В определении квадратного уравнения есть очень важное ограничение для старшего коэффициента . Ограничение заключается в такой записи . Эта запись говорит о том, что число  может принимать любые значения, кроме нуля!

Попробуем разобраться, почему необходимо это ограничение. А что будет, если не учитывать это ограничение? Что тогда произойдёт с уравнением? Давайте снимем ограничение .  Ну, не нравится нам это ограничение!

Предположим, что . Что же мы получим в этом случае?
А вот что! Подставим в уравнение   вместо   число ,  получим: . Так как ,  то уравнение примет вид: .

Но, позвольте! Уравнение такого вида является линейным или его ещё можно назвать уравнением первой степени. Ничего общего с квадратным уравнением оно не имеет! А мы-то ведём речь о квадратном уравнении!

Итак, делаем очень важный вывод ограничение  крайне необходимо! Потому что если мы не будем его учитывать, то вместо квадратного уравнения получим линейное.

Таким образом, в квадратном уравнении старший коэффициент в ни в коем случае не может быть равным нулю! Никогда!!! Так как иначе квадратное уравнение превратится в линейное.

Повторим ещё раз определение квадратного уравнения.
«Квадратным уравнением называется уравнение вида , где  –переменная,   и  – некоторые числа, причём, .
Я надеюсь, теперь всем понятен смысл этого определения, включая ограничение!

А вот с числами   и  всё гораздо проще! Числа  и запросто могут быть равными нулю! В этом случае получается неполное квадратное уравнение. Об этом мы говорили в предыдущей статье.

vebuchitel.ru