Коэффициент перед логарифмом – Логарифмы. Свойства логарифмов. Формулы с логарифмами. Десятичные, натуральные логарифмы, основное логарифмическое тождество

Если перед логарифмом стоит число




Если перед логарифмом стоит число, как можно преобразовать это выражение?

Если перед логарифмом стоит число, это число можно записать в показатель степени выражения под знаком логарифма:

   

(x>0).

Например,

   

   

   

   

Вместе с суммой логарифмов и разностью логарифмов это свойство часто встречается при упрощении выражений с логарифмами, при решении логарифмических уравнений, неравенств и их систем.

А как умножить число на логарифм в квадрате? В кубе?

Если число стоит перед n-й степенью логарифма, то в показатель степени можно записать корень n-й степени из этого числа (при условии, что такой корень существует):

   

В частности,

   

   

Например,

   

   

www.logarifmy.ru

Логарифм. Свойства логарифмов

Логарифм. Свойства логарифмов

Рассмотрим равенство . Пусть нам известны значения  и и мы хотим найти значение .

То есть мы ищем показатель степени, в которую нужно взвести чтобы получить .

Пусть переменная  может принимать любое действительное значение, тогда на переменные  и накладываются такие ограничения: ,  ,  

Если нам известны значения  и , и перед нами стоит задача найти неизвестное , то для этой цели вводится математическое  действие, которое называется логарифмирование.

Чтобы найти значение , мы берем логарифм числа  по основанию :

Итак,

Логарифмом числа  по основанию  называется показатель степени, в которую надо возвести  , чтобы получить .

То есть основное логарифмическое тождество:

            ,  ,  

является по сути математической записью определения логарифма.

Математическая операция  логарифмирование является обратной по отношению к операции возведения в степень, поэтому свойства логарифмов тесно связаны со свойствами степени.

Перечислим основные свойства логарифмов:

(,  ,   ,  ,  

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Следующая группа свойств позволяет представить  показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма, или стоящего в основании логарифма в виде коэффициента  перед знаком логарифма:

6. 

7. 

8. 

9. 

Следующая группа формул позволяет перейти от логарифма с данным основанием к логарифму с произвольным основанием, и называется формулами перехода к новому основанию:

10. 

11. 

12. (следствие из свойства 11)

Следующие три свойства не очень известны, однако они часто используются при решении логарифмических уравнений, или при упрощении выражений, содержащих логарифмы:

13. 

14. 

15. 

 

Частные случаи:

десятичный логарифм

 —  натуральный логарифм

При упрощении выражений, содержащих логарифмы  применяется общий подход:

1. Представляем десятичные дроби в виде обыкновенных.

2. Смешанные числа представляем в виде неправильных дробей.

3. Числа, стоящие в основании логарифма и под знаком логарифма раскладываем на простые множители.

4. Стараемся привести все логарифмы к одному основанию.

5. Применяем свойства логарифмов.

Давайте рассмотрим примеры упрощения выражений, содержащих логарифмы.

Пример 1.

Вычислить:

Упростим все показатели степеней: наша задача привести их к логарифмам, в основании которых стоит то же число, что и в основании степtни.

==(по свойству 7)=(по свойству 6) =

Подставим показатели, которые у нас получились в исходное выражение. Получим:

Ответ: 5,25

 

Пример 2. Вычислить:

Приведем все логарифмы к основанию 6 (при этом логарифмы из знаменателя дроби «перекочуют» в числитель):

Разложим числа, стоящие под знаком логарифма на простые множители:

Применим свойства 4 и 6:

Введем замену  

Получим:

Ответ:  1 

 

Скачать таблицу логарифм и его свойства

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Логарифмы, примеры решений

Теория про логарифмы

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается :

   

а логарифм по основанию называют натуральным и обозначают :

   

Примеры

ПРИМЕР 3




ЗаданиеВычислить значение выражения

   

РешениеПерейдем в каждом из слагаемых к логарифму по основанию 18, используя формулу перехода . Получим:

   

Так как сумма логарифмов равна логарифму произведения, последняя сумма перепишется в виде:

   

Число 324 можно представить как степень 18, получим

   

далее выносим степень как коэффициент перед знаком логарифма:

   

Учитывая, что , окончательно будем иметь:

   

Ответ

ПРИМЕР 5




ЗаданиеВычислить
РешениеПерейдем во всех логарифмах к основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию:

   

получим

   

Представим 4 и 8 в виде степени двойки и вынесем полученные степени за знак логарифма как коэффициент:

   

Ответ



Понравился сайт? Расскажи друзьям!



ru.solverbook.com

Если перед логарифмом стоит минус




Если перед логарифмом стоит минус, как можно преобразовать такое выражение?

«Минус» перед логарифмом — общепринятое сокращение записи

   

То есть перед логарифмом в этом случае стоит коэффициент -1.

Число перед логарифмом можно внести в показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма:

   

Другой вариант — минус единицу внести в показатель степени основания:

   

Примеры:

   

   

   

Аналогично можно преобразовывать десятичные и натуральные логарифмы:

   

   

   

www.logarifmy.ru

Логарифм в показателе степени | Логарифмы

Для преобразования выражений, содержащих логарифм в показателе степени числа (или выражения), используют основное логарифмическое тождество.

Рассмотрим на примерах, как упростить выражение, содержащее в показателе степени логарифмы.

   

По свойству степени

   

от степени с суммой в показателе переходим к произведению степеней

   

От степени с рациональным показателем переходим к корню; основание степени преобразовываем, чтобы можно было использовать основное логарифмическое тождество:

   

   

   

Применим свойство степени

   

   

   

   

Значение выражения можно найти двумя способами.

1 способ

Логарифмы, стоящие в показатели степени, приведем к одинаковым основаниям:

   

показатель степени, стоящей в основании логарифма, вынесем за знак логарифма, затем внесём в показатель степени числа, стоящего под знаком логарифма:

   

Сумма логарифмов равна логарифму произведения. Затем применим основное логарифмическое тождество:

   

   

2 способ:

Перейдем к произведению степеней, затем каждый множитель преобразуем отдельно:

   

   

   

   

Выносим показатели степеней из оснований перед логарифмами:

   

После этого дроби можно сократить:

   

   

www.logarifmy.ru

Логарифм степени

Логарифм степени основания

Определение 1

Значением логарифма степени числа, которое равно основанию логарифма, является показатель этой степени:

$\log_{a}⁡a^s=s$

при $a > 0$, $a \ne 1$,

$s$ – любом числе.

Данное свойство вытекает из определения логарифма. С его помощью можно сразу найти значение логарифма при условии, что число, которое стоит под знаком логарифма, можно записать в виде степени числа, являющегося основанием данного логарифма.

Пример 1

$\log_{11}⁡{11^8}=8$;

$\lg⁡10^{-17}=-17$;

$\log_{\sqrt{8,7}}(\sqrt{8,7})^{7,23}=7,23$.

Логарифм степени числа

Определение 2

Логарифм степени любого числа равен произведению логарифма модуля основания этой степени на показатель степени:

$\log_{a}x^r=r \cdot \log_{a}⁡|x|$

при $x^r,a > 0$, $a \ne 1$.

Пример 2

Найти значение выражения $\log_{5}⁡\frac{1}{125}+\log_{11}⁡121$.

Решение.

Представим подлогарифмические выражения в виде основания логарифма в степени и используем свойство логарифма степени:

$log_{5}\frac{1}{125}+\log_{11}⁡121=\log_{5}5^{-3}+\log_{11}11^2=-3\log_{5}⁡5+2\log_{11}⁡11=$

воспользуемся равенством $\log_{a}⁡a=1$:

$=-3+2=-1$.

Ответ: $\log_{5} \frac{1}{125}+\log_{11}⁡121=-1$.

При вычислении логарифмов справедливым является и обратное определение:

Определение 3

Коэффициент, который стоит перед логарифмом можно внести в степень подлогарифмического выражения:

$s \log_{a}⁡x=\log_{a}x^s$

при $a,b > 0$, $a \ne 1$.

Пример 3

Упростить $6 \log_{13}x^2-\log_{13}x^7$.

Решение.

Используем свойство логарифма степени и вынесем степень за знак логарифма:

$6 \log_{13}x^2-\log_{13}x^7=6 \cdot 2 \log_{13}⁡x-7 \log_{13}⁡x=12 \log_{13}⁡x-7 \log_{13}⁡x=5 \log_{13}⁡x=$

внесем коэффициент $5$ под знак логарифма:

$=\log_{13}x^5$.

Ответ: $6 \log_{13}x^2-\log_{13}x^7=\log_{13}x^5$.

Логарифм корня

Определение 4

Следствием из свойства логарифма степени числа является свойство логарифма степени в виде дроби:

$\log_{a}\sqrt[r]{x}=\frac{1}{r} \cdot \log_{a}⁡x$

при $a,x > 0$, $a \ne 1$, $r$ – натуральное число, $r > 1$.

Пример 4

$\log_{7,8}\sqrt[6]{2}=\log_{7,8}2^{\frac{1}{6}}=\frac{1}{6}\log_{7,8}⁡2$.

Пример 5

Найти значение выражения $\lg\sqrt[3]{10x}$, если $\lg⁡x=\frac{5}{7}$.

Решение.

Используем свойство логарифма корня:

$\lg\sqrt[3]{10x}=\frac{1}{3}\lg10x=$

воспользуемся свойством логарифма произведения:

$\frac{1}{3} (\lg⁡10+\lg⁡x )=\frac{1}{3} (1+\frac{5}{7})=\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7}=\frac{12}{21}$.

Ответ: $\lg\sqrt[3]{10x}=\frac{12}{21}$.

Также можно применять и обратное свойство:

Определение 5

Если перед логарифмом стоит дробь, то ее можно внести в степень подлогарифмического выражения:

$\frac{1}{r} \cdot \log_{a}x=\log_{a}\sqrt[r]{x}$

при $a,x > 0$, $a \ne 1$, $r$ – натуральное число, $r > 1$.

Пример 6

Вычислить $\frac{1}{4}\log_{12}⁡16+\log_{12}⁡6$.

Решение.

Применим свойство логарифма корня:

$\frac{1}{4}\log_{12}⁡16+\log_{12}⁡6=\log_{12}\sqrt[4]{16}+\log_{12}⁡6=\log_{12}⁡2+\log_{12}⁡6=$

используем свойство суммы логарифмов:

$=\log_{12}2 \cdot 6=\log_{12}⁡12=1$.

Ответ: $\frac{1}{4}\log_{12}⁡16+\log_{12}⁡6=1$.

При вычислении логарифмов зачастую встречаются случаи, когда основание логарифма и число, для которого вычисляется логарифм, можно записать в виде степени одного и того же числа. Тогда для упрощения вычислений пользуются формулой:

$log_{a^x}a^y=\frac{y}{x}$.

Данная формула дает возможность практически моментально получить значение рассматриваемого логарифма при его кажущейся сложности записи.

Рассмотрим пример, который покажет удобство использования данной формулы.

Пример 7

Вычислить $\log_{27}9\sqrt[7]{81}$.

Решение.

Запишем основание логарифма $27$ и подлогарифмическое выражение $9\sqrt[7]{81}$ в виде степени числа $3$:

$\log_{27}9\sqrt[7]{81}=\log_{3^3}3^2 \cdot 3^{\frac{4}{7}}=\log_{3^3}3^{\frac{18}{7}}=$

теперь воспользуемся рассматриваемой формулой:

$=\frac{\frac{18}{7}}{3}=\frac{18}{7 \cdot 3}=\frac{6}{7}$.

Ответ: $\log_{27}9\sqrt[7]{81}=\frac{6}{7}$.

Пример 8

Вычислить $\log_{\sqrt[11]{8}}⁡\frac{x^3}{16}$, если $\log_{\sqrt[11]{8}}⁡x=13$.

Решение.

Применим свойство логарифма дроби:

$log_{\sqrt[11]{8}}\frac{x^3}{16}=\log_{\sqrt[11]{8}}x^3-\log_{\sqrt[11]{8}}⁡16=$

к первому логарифму применим свойство логарифма степени, а во втором в основании логарифма и подлогарифмическом выражении перейдем к степеням числа $2$:

$=3 \log_{\sqrt[11]{8}}⁡x-\log_{2^{\frac{3}{11}}}2^4=$

подставим условие $\log_{\sqrt[11]{8}}⁡x=13$ в первый логарифм и применим рассмотренное свойство для логарифма степени ко второму логарифму:

$=3 \cdot 13-\frac{4}{\frac{3}{11}}=39-4 \cdot \frac{11}{3}=39-\frac{44}{3}=\frac{73}{3}=24 \frac{1}{3}$.

Ответ: $\log_{\sqrt[11]{8}}\frac{x^3}{16}=24 \frac{1}{3}$.

spravochnick.ru

Логарифмы. Свойства логарифмов. Формулы с логарифмами. Десятичные, натуральные логарифмы, основное логарифмическое тождество

Определение логарифма


Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что ac = b:

logab=c⇔ac=b(a>0,a≠1,b>0)&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp

Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.

Основное логарифмическое тождество

alogab=b(a>0,a≠1)
(2)

Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического «тождества» при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.

Два очевидных следствия определения логарифма

logaa=1(a>0,a≠1) (3)

loga1=0(a>0,a≠1) (4)

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень — единицу.

Логарифм произведения и логарифм частного

loga(bc)=logab+logac(a>0,a≠1,b>0,c>0) (5)

logabc=logab−logac(a>0,a≠1,b>0,c>0) (6)

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании «слева направо» происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного — расширение ОДЗ.

Действительно, выражение

loga(f(x)g(x))

определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму

logaf(x)+logag(x), мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Степень можно выносить за знак логарифма

logabp=plogab(a>0,a≠1,b>0) (7)

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

loga(f(x)2=2logaf(x)

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть — только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Формула перехода к новому основанию

logab=logcblogca(a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1) (8)

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

logab=1logba(a>0,a≠1,b>0,b≠1) (9)

Десятичные и натуральные логарифмы

Десятичным логарифмом числа x называется логарифм по основанию 10. Десятичные логарифмы используются довольно часто, поэтому для них введено специальное обозначение: log10x = lg x. Все перечисленные выше формулы сохраняют актуальность для десятичных логарифмов. Например,

lg(xy)=lgx+lgy(x>0,y>0).

Натуральным логарифмом числа x (обозначение lnx) называется логарифм х по основанию e. Число e — иррациональное, приближенно равно 2,71. Например, ln e = 1. Пользуясь формулой (8), можно любой логарифм свести к десятичным или натуральным логарифмам:

logab=lgblga=lnblna(a>0,a≠1,b>0)

Несколько простых примеров с логарифмами


Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50.

Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.


Пример 2. Вычислите: lg125/lg5.

Решение. lg125/lg5 = log5125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).

Таблица формул, связанных с логарифмами


alogab=b(a>0,a≠1)

logaa=1(a>0,a≠1)

loga1=0(a>0,a≠1)

loga(bc)=logab+logac(a>0,a≠1,b>0,c>0)

logabc=logab−logac(a>0,a≠1,b>0,c>0)

logabp=plogab(a>0,a≠1,b>0)

logab=logcblogca(a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1)

logab=1logba(a>0,a≠1,b>0,b≠1)

Возможно, вас заинтересуют также:

www.repetitor2000.ru