Коэффициент перед логарифмом – Логарифмы. Свойства логарифмов. Формулы с логарифмами. Десятичные, натуральные логарифмы, основное логарифмическое тождество
Если перед логарифмом стоит число
Если перед логарифмом стоит число, как можно преобразовать это выражение?
Если перед логарифмом стоит число, это число можно записать в показатель степени выражения под знаком логарифма:
(x>0).
Например,
Вместе с суммой логарифмов и разностью логарифмов это свойство часто встречается при упрощении выражений с логарифмами, при решении логарифмических уравнений, неравенств и их систем.
А как умножить число на логарифм в квадрате? В кубе?
Если число стоит перед n-й степенью логарифма, то в показатель степени можно записать корень n-й степени из этого числа (при условии, что такой корень существует):
В частности,
Например,
www.logarifmy.ru
Логарифм. Свойства логарифмов
Логарифм. Свойства логарифмов
Рассмотрим равенство . Пусть нам известны значения и и мы хотим найти значение .
То есть мы ищем показатель степени, в которую нужно взвести чтобы получить .
Пусть переменная может принимать любое действительное значение, тогда на переменные и накладываются такие ограничения: , ,
Если нам известны значения и , и перед нами стоит задача найти неизвестное , то для этой цели вводится математическое действие, которое называется логарифмирование.
Чтобы найти значение , мы берем логарифм числа по основанию :
Итак,
Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .
То есть основное логарифмическое тождество:
, ,
является по сути математической записью определения логарифма.
Математическая операция логарифмирование является обратной по отношению к операции возведения в степень, поэтому свойства логарифмов тесно связаны со свойствами степени.
Перечислим основные свойства логарифмов:
(, , , ,
1.
2.
3.
4.
5.
Следующая группа свойств позволяет представить показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма, или стоящего в основании логарифма в виде коэффициента перед знаком логарифма:
6.
7.
8.
9.
Следующая группа формул позволяет перейти от логарифма с данным основанием к логарифму с произвольным основанием, и называется формулами перехода к новому основанию:
10.
11.
12. (следствие из свойства 11)
Следующие три свойства не очень известны, однако они часто используются при решении логарифмических уравнений, или при упрощении выражений, содержащих логарифмы:
13.
14.
15.
Частные случаи:
— десятичный логарифм
— натуральный логарифм
При упрощении выражений, содержащих логарифмы применяется общий подход:
1. Представляем десятичные дроби в виде обыкновенных.
2. Смешанные числа представляем в виде неправильных дробей.
3. Числа, стоящие в основании логарифма и под знаком логарифма раскладываем на простые множители.
4. Стараемся привести все логарифмы к одному основанию.
5. Применяем свойства логарифмов.
Давайте рассмотрим примеры упрощения выражений, содержащих логарифмы.
Пример 1.
Вычислить:
Упростим все показатели степеней: наша задача привести их к логарифмам, в основании которых стоит то же число, что и в основании степtни.
==(по свойству 7)=(по свойству 6) =
Подставим показатели, которые у нас получились в исходное выражение. Получим:
Ответ: 5,25
Пример 2. Вычислить:
Приведем все логарифмы к основанию 6 (при этом логарифмы из знаменателя дроби «перекочуют» в числитель):
Разложим числа, стоящие под знаком логарифма на простые множители:
Применим свойства 4 и 6:
Введем замену
Получим:
Ответ: 1
Скачать таблицу логарифм и его свойства
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
ege-ok.ru
Логарифмы, примеры решений
Теория про логарифмы
Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается :
а логарифм по основанию называют натуральным и обозначают :
Примеры
ПРИМЕР 3| Задание | Вычислить значение выражения
|
| Решение | Перейдем в каждом из слагаемых к логарифму по основанию 18, используя формулу перехода . Получим:
Так как сумма логарифмов равна логарифму произведения, последняя сумма перепишется в виде:
Число 324 можно представить как степень 18, получим
далее выносим степень как коэффициент перед знаком логарифма:
Учитывая, что , окончательно будем иметь:
|
| Ответ |
| Задание | Вычислить |
| Решение | Перейдем во всех логарифмах к основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию:
получим
Представим 4 и 8 в виде степени двойки и вынесем полученные степени за знак логарифма как коэффициент:
|
| Ответ |
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
Если перед логарифмом стоит минус
Если перед логарифмом стоит минус, как можно преобразовать такое выражение?
«Минус» перед логарифмом — общепринятое сокращение записи
То есть перед логарифмом в этом случае стоит коэффициент -1.
Число перед логарифмом можно внести в показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма:
Другой вариант — минус единицу внести в показатель степени основания:
Примеры:
Аналогично можно преобразовывать десятичные и натуральные логарифмы:
www.logarifmy.ru
Логарифм в показателе степени | Логарифмы
Для преобразования выражений, содержащих логарифм в показателе степени числа (или выражения), используют основное логарифмическое тождество.
Рассмотрим на примерах, как упростить выражение, содержащее в показателе степени логарифмы.
По свойству степени
от степени с суммой в показателе переходим к произведению степеней
От степени с рациональным показателем переходим к корню; основание степени преобразовываем, чтобы можно было использовать основное логарифмическое тождество:
Применим свойство степени
Значение выражения можно найти двумя способами.
1 способ
Логарифмы, стоящие в показатели степени, приведем к одинаковым основаниям:
показатель степени, стоящей в основании логарифма, вынесем за знак логарифма, затем внесём в показатель степени числа, стоящего под знаком логарифма:
Сумма логарифмов равна логарифму произведения. Затем применим основное логарифмическое тождество:
2 способ:
Перейдем к произведению степеней, затем каждый множитель преобразуем отдельно:
Выносим показатели степеней из оснований перед логарифмами:
После этого дроби можно сократить:
www.logarifmy.ru
Логарифм степени
Логарифм степени основания
Определение 1
Значением логарифма степени числа, которое равно основанию логарифма, является показатель этой степени:
$\log_{a}a^s=s$
при $a > 0$, $a \ne 1$,
$s$ – любом числе.
Данное свойство вытекает из определения логарифма. С его помощью можно сразу найти значение логарифма при условии, что число, которое стоит под знаком логарифма, можно записать в виде степени числа, являющегося основанием данного логарифма.
Пример 1
$\log_{11}{11^8}=8$;
$\lg10^{-17}=-17$;
$\log_{\sqrt{8,7}}(\sqrt{8,7})^{7,23}=7,23$.
Логарифм степени числа
Определение 2
Логарифм степени любого числа равен произведению логарифма модуля основания этой степени на показатель степени:
$\log_{a}x^r=r \cdot \log_{a}|x|$
при $x^r,a > 0$, $a \ne 1$.
Пример 2
Найти значение выражения $\log_{5}\frac{1}{125}+\log_{11}121$.
Решение.
Представим подлогарифмические выражения в виде основания логарифма в степени и используем свойство логарифма степени:
$log_{5}\frac{1}{125}+\log_{11}121=\log_{5}5^{-3}+\log_{11}11^2=-3\log_{5}5+2\log_{11}11=$
воспользуемся равенством $\log_{a}a=1$:
$=-3+2=-1$.
Ответ: $\log_{5} \frac{1}{125}+\log_{11}121=-1$.
При вычислении логарифмов справедливым является и обратное определение:
Определение 3
Коэффициент, который стоит перед логарифмом можно внести в степень подлогарифмического выражения:
$s \log_{a}x=\log_{a}x^s$
при $a,b > 0$, $a \ne 1$.
Пример 3
Упростить $6 \log_{13}x^2-\log_{13}x^7$.
Решение.
Используем свойство логарифма степени и вынесем степень за знак логарифма:
$6 \log_{13}x^2-\log_{13}x^7=6 \cdot 2 \log_{13}x-7 \log_{13}x=12 \log_{13}x-7 \log_{13}x=5 \log_{13}x=$
внесем коэффициент $5$ под знак логарифма:
$=\log_{13}x^5$.
Ответ: $6 \log_{13}x^2-\log_{13}x^7=\log_{13}x^5$.
Логарифм корня
Определение 4
Следствием из свойства логарифма степени числа является свойство логарифма степени в виде дроби:
$\log_{a}\sqrt[r]{x}=\frac{1}{r} \cdot \log_{a}x$
при $a,x > 0$, $a \ne 1$, $r$ – натуральное число, $r > 1$.
Пример 4
$\log_{7,8}\sqrt[6]{2}=\log_{7,8}2^{\frac{1}{6}}=\frac{1}{6}\log_{7,8}2$.
Пример 5
Найти значение выражения $\lg\sqrt[3]{10x}$, если $\lgx=\frac{5}{7}$.
Решение.
Используем свойство логарифма корня:
$\lg\sqrt[3]{10x}=\frac{1}{3}\lg10x=$
воспользуемся свойством логарифма произведения:
$\frac{1}{3} (\lg10+\lgx )=\frac{1}{3} (1+\frac{5}{7})=\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7}=\frac{12}{21}$.
Ответ: $\lg\sqrt[3]{10x}=\frac{12}{21}$.
Также можно применять и обратное свойство:
Определение 5
Если перед логарифмом стоит дробь, то ее можно внести в степень подлогарифмического выражения:
$\frac{1}{r} \cdot \log_{a}x=\log_{a}\sqrt[r]{x}$
при $a,x > 0$, $a \ne 1$, $r$ – натуральное число, $r > 1$.
Пример 6
Вычислить $\frac{1}{4}\log_{12}16+\log_{12}6$.
Решение.
Применим свойство логарифма корня:
$\frac{1}{4}\log_{12}16+\log_{12}6=\log_{12}\sqrt[4]{16}+\log_{12}6=\log_{12}2+\log_{12}6=$
используем свойство суммы логарифмов:
$=\log_{12}2 \cdot 6=\log_{12}12=1$.
Ответ: $\frac{1}{4}\log_{12}16+\log_{12}6=1$.
При вычислении логарифмов зачастую встречаются случаи, когда основание логарифма и число, для которого вычисляется логарифм, можно записать в виде степени одного и того же числа. Тогда для упрощения вычислений пользуются формулой:
$log_{a^x}a^y=\frac{y}{x}$.
Данная формула дает возможность практически моментально получить значение рассматриваемого логарифма при его кажущейся сложности записи.
Рассмотрим пример, который покажет удобство использования данной формулы.
Пример 7
Вычислить $\log_{27}9\sqrt[7]{81}$.
Решение.
Запишем основание логарифма $27$ и подлогарифмическое выражение $9\sqrt[7]{81}$ в виде степени числа $3$:
$\log_{27}9\sqrt[7]{81}=\log_{3^3}3^2 \cdot 3^{\frac{4}{7}}=\log_{3^3}3^{\frac{18}{7}}=$
теперь воспользуемся рассматриваемой формулой:
$=\frac{\frac{18}{7}}{3}=\frac{18}{7 \cdot 3}=\frac{6}{7}$.
Ответ: $\log_{27}9\sqrt[7]{81}=\frac{6}{7}$.
Пример 8
Вычислить $\log_{\sqrt[11]{8}}\frac{x^3}{16}$, если $\log_{\sqrt[11]{8}}x=13$.
Решение.
Применим свойство логарифма дроби:
$log_{\sqrt[11]{8}}\frac{x^3}{16}=\log_{\sqrt[11]{8}}x^3-\log_{\sqrt[11]{8}}16=$
к первому логарифму применим свойство логарифма степени, а во втором в основании логарифма и подлогарифмическом выражении перейдем к степеням числа $2$:
$=3 \log_{\sqrt[11]{8}}x-\log_{2^{\frac{3}{11}}}2^4=$
подставим условие $\log_{\sqrt[11]{8}}x=13$ в первый логарифм и применим рассмотренное свойство для логарифма степени ко второму логарифму:
$=3 \cdot 13-\frac{4}{\frac{3}{11}}=39-4 \cdot \frac{11}{3}=39-\frac{44}{3}=\frac{73}{3}=24 \frac{1}{3}$.
Ответ: $\log_{\sqrt[11]{8}}\frac{x^3}{16}=24 \frac{1}{3}$.
spravochnick.ru
Логарифмы. Свойства логарифмов. Формулы с логарифмами. Десятичные, натуральные логарифмы, основное логарифмическое тождество
Определение логарифма
Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что ac = b: logab=c⇔ac=b(a>0,a≠1,b>0)      
Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.
Основное логарифмическое тождество
alogab=b(a>0,a≠1) (2)Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического «тождества» при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.
Два очевидных следствия определения логарифма
logaa=1(a>0,a≠1) (3)loga1=0(a>0,a≠1) (4)
Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень — единицу.
Логарифм произведения и логарифм частного
loga(bc)=logab+logac(a>0,a≠1,b>0,c>0) (5)logabc=logab−logac(a>0,a≠1,b>0,c>0) (6)
Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании «слева направо» происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного — расширение ОДЗ.
Действительно, выражение loga(f(x)g(x)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.
Преобразуя данное выражение в сумму logaf(x)+logag(x), мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).
Степень можно выносить за знак логарифма
logabp=plogab(a>0,a≠1,b>0) (7)И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:
loga(f(x)2=2logaf(x)Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть — только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.
Формула перехода к новому основанию
logab=logcblogca(a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1) (8)Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.
Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):
logab=1logba(a>0,a≠1,b>0,b≠1) (9)Десятичные и натуральные логарифмы
Десятичным логарифмом числа x называется логарифм по основанию 10. Десятичные логарифмы используются довольно часто, поэтому для них введено специальное обозначение: log10x = lg x. Все перечисленные выше формулы сохраняют актуальность для десятичных логарифмов. Например, lg(xy)=lgx+lgy(x>0,y>0).
Натуральным логарифмом числа x (обозначение lnx) называется логарифм х по основанию e. Число e — иррациональное, приближенно равно 2,71. Например, ln e = 1. Пользуясь формулой (8), можно любой логарифм свести к десятичным или натуральным логарифмам:
logab=lgblga=lnblna(a>0,a≠1,b>0)
Несколько простых примеров с логарифмами
Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50.
Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.
Пример 2. Вычислите: lg125/lg5.
Решение. lg125/lg5 = log5125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).
Таблица формул, связанных с логарифмами
| alogab=b(a>0,a≠1) |
| logaa=1(a>0,a≠1) |
| loga1=0(a>0,a≠1) |
| loga(bc)=logab+logac(a>0,a≠1,b>0,c>0) |
| logabc=logab−logac(a>0,a≠1,b>0,c>0) |
| logabp=plogab(a>0,a≠1,b>0) |
| logab=logcblogca(a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1) |
| logab=1logba(a>0,a≠1,b>0,b≠1) |
Возможно, вас заинтересуют также:
www.repetitor2000.ru