Калькулятор правило крамера – Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.

Содержание

Калькулятор правило крамера | Miassats.Ru

Графические построения
  • Построить график онлайн

Работы на заказ

На сайте matematikam.ru помимо решений онлайн мы предлагаем услуги: выполнение контрольных работ на заказ. Отправить работу на оценку можно по ссылке Заказать контрольную по высшей математике.

Объявление

На странице использован адаптивный дизайн, подстраиваемый под разрешение экрана мобильных устройств. Если на вашем телефоне наблюдаются ошибки, просим сообщать через обратную связь.

matematikam.ru

Линейные уравнения. Система линейных уравнений.

Система m линейных уравнений с n неизвестными это система вида:

где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные числа. В обозначении коэффициентов aijиндекс i определяет номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, у которого расположен этот коэффициент.

Однородная система — когда все свободные члены системы равны нулю (b

1 = b2 = … = bm = 0), обратная ситуация — неоднородная система.

Квадратная система — когда число m уравнений равняется числу n неизвестных.

Решение системы — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких, что подстановка всех ciвместо xi в систему превращает все её уравнения в тождества.

Совместная система – когда у системы есть хоть бы 1-но решение, и несовместная система, когда у системы нет решений.

У совместной системы такого вида (как приведен выше, пусть она будет (1)) может быть одно либо больше решений.

Решения c1 (1) , c2 (1) , …, cn (1) и c1 (2) , c2 (2) , …, cn (2) совместной системы типа (1) будут

различными, когда не выполняется даже 1-но из равенств:

Совместная система типа (1) будет определённой, когда у нее есть только одно решение; когда у системы есть хотя бы 2 разных решений, она становится недоопределённой. Когда уравнений больше, чем неизвестных, система является переопределённой.

Коэффициенты при неизвестных записываются как матрица:

Она называется матрицей системы.

Числа, которые стоят в правых частях уравнений, b1,…,bm являются свободными членами.

Совокупность n чисел c1,…,cn является решением этой системы, когда все уравнения системы обращаются в равенство после подставки в них чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x

1,…,xn.

При решении системы линейных уравнений могут возникнуть 3 варианта:

1. У системы есть только одно решение.

2. У системы есть нескончаемое число решений. Например, . Решением этой системы будут все пары чисел, которые отличаются знаком.

3. У системы нет решений. Например, , если бы решение существовало, то x1 + x2 равнялось бы в одно время 0 и 1.

Методы решения систем линейных уравнений.

Прямые методы дают алгоритм, по которому находится точное решение СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнений). И если бы точность была абсолютной, они бы нашли его. Реальная электро-вычислительная машина, конечно, работает с погрешностью, поэтому решение будет приблизительным.

Итерационные методы основываются на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.

Метод Крамера (правило Крамера) — метод решения СЛАУ с количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера:

где Δ — определитель матрицы системы,

Δi — определитель матрицы системы, в котором вместо i-го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы. Когда D≠0, значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

,,

Решаем систему по формулам Крамера:

;;;

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же путем получаем определитель Δ2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Дана СЛУ с вещественными коэффициентами:

В определителях столбец коэффициентов у соответствующей неизвестной заменяем на столбец свободных членов системы.

www.calc.ru

Транспорт Долли системы для Дроби

Сайт клиента. Мельничное оборудование mtw138 для переработки угля в Цзянси, Китай, 9т/ч

Система Долли — Система Долли — Fliegl

Тележка Долли с седельным устройством для прицепов со . и двухосной системы .

Купить роторную дробилку в Спасск

Дробилки цена в Украине Купить дробилки недорого оптом или Вернуться в раздел

Сравнение обыкновенных дробей.

Транспорт Физика . множители для каждой дроби. . глагольной системы в испанском .

Правило Крамера. Метод обратной

Пути Передвижения и Транспорт. . Крамера для системы двух . дроби, с которыми .

Весна идет, готовь патроны — Оружие —

Транспорт. патроны с уменьшенными навесками дроби, для 12-го . системы оружия .

Доли и обыкновенные дроби

Математика 5 класс Доли и обыкновенные дроби Правила Задания с онлайн проверкой ответов

Сравнить стоимость транспортного налога для всех регионов Российской Федерации. . Дроби .

Мини Тележка — AliExpress

2018 Интернет-магазин популярных и горячих Мини Тележка из Электроника, Аксессуары для .

Слайдер Для Видео — AliExpress

2018 Интернет-магазин популярных и горячих Слайдер Для . системы и . Долли + 11 .

Калькулятор дробей онлайн — calc.by

Онлайн калькулятор дробей предназначен для расчета простых и смешанных . Дроби бывают .

Формулы для решения задач на дроби

По каким формулам и как решать задачи на дроби по математике для 5 . системы счисления .

Как умножить дроби — ru.wikihow

В нашем примере для дроби 2/4 НОД=2. переводить из десятичной системы счисления в .

Контрольная работа по алгебре для 8

Домашняя контрольная работа по алгебре для 8 . При каких а значение дроби больше . системы .

Камеры дробеструйной очистки –

Вакуумные системы для сбора и . Вакуумные системы для сбора дроби и рекуперации .

Калькулятор транспортного налога

Решение систем уравнений —

Решение системы линейных уравнений методом .

Периодические дроби — spacemath.xyz

Системы линейных . Существуют дроби. Для этого достаточно округлить эту периодическую .

Параметры товаропроводящей системы

Для всей системы срок полного о.овления . Транспорт . отправителем в виде дроби .

Приложения в Google Play – Photomath

Просто наведите камеру на математическую задачу, и Photomath магическим образом сразу же .

Задачи дроби 4 класс — Задачи дроби

Задачи на дроби, для освоения и закрепления математических . дроби, системы счисления.

Дроби, Примеры дробей, Тест на

Дульные насадки и стрельба влет —

Для дроби до № 7 . А что в общем-то следует “требовать” от системы “ружье . Транспорт;

Математика (резинка). Единицы

Математика (резинка). Единицы измерения, доли и дроби . Каталог ВСЁ ДЛЯ ДОУ СТЕНДЫ ДЛЯ ДОУ

Преобразование неправильной дроби

13/03/2012 · Преобразование неправильной дроби в смешанную . МЫsli tv // антителевидение для .

Решение системы уравнений — easyto.me

Решение системы уравнений онлайн. Решить систему уравнений. easy to.me: Помощник в .

⛰️Самая большая пещера в PUBG ,

19/04/2018 · Первая майнинговая платформа для . Новый транспорт . это настоящие системы .

Как разделить дробь на . —

Для деления дроби на дробь найдите обратную . переводить из десятичной системы .

«ПК Транспортные системы» . его для перевозки . городской транспорт на .

TR — Транспорт в России

Общественный транспорт, транспортные системы городов и регионов, инфраструктура для .

Интегрирование дро.о-рациональных

Известны 4 простейшие дроби. . После определения из полученной системы . Примеры для .

Алгебраические дроби. Пропорции. . Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными .

ГДЗ и Реше.ик по математике

Системы счисления . Обыкновенные дроби. интернет-ресурс для школьников и их родителей.

Десятичная дробь — Википедия

Десяти́чная дробь — разновидность дроби. и для . свойство системы .

Транспорт — Википедия

Водный транспорт осуществляет перевозки по водным путям, в том числе речной транспорт по .

Категории . · Краткая . · Транспорт .

Главная — Портал общественного

Состав и функции бортового оборудованием Комплексной системы . транспорт в . для .

Табличный метод перевода —

Перевод чисел делением на основание новой системы. Перевод целых чисел осуществляется .

Перевод чисел систем счисления ,

калькулятор переводит числа из десятичной системы . Транспорт . дроби или .

Системы уравнений . Бесплатный калькулятор для дробей . Если значение дроби n/40 находится .

Онлайн сервис для вычислений

Онлайн сервис для вычислений . сумму и частное от десятичной и обыкновенной дроби. .

Мобильность — Siemens Global Website

Поможет ли общественный транспорт . системы управления и . решения для .

Солнечная система – купить по лучшей

Купить игрушку Солнечная система для развития детей в интернет магазине «Детям Все».

Уроки по математике 5 класс,

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 5 . «Десятичные дроби»

Вся элементарная математика —

Онлайн калькулятор. Решение систем

Детальное пошаговое решение системы . для решения . числа или дроби.

www.modesproject.eu

Метод Крамера в Excel

Одним из способов решения системы линейных уравнений является применение метода Крамера.
Давайте разберем принципы использования метода Крамера в Excel.

Краткое описание метода Крамера

Предположим у нас есть система из n линейных уравнений с n неизвестными.
Тогда, при определителе матрицы системы D, отличном от нуля, решение записывается в следующем виде:

Решение уравнений методом Крамера в Excel

Разберем систему из 3 линейных уравнений с 3 неизвестными и запишем систему линейных уравнений в матричном виде Ax = B.
Введем матрицы A (диапазон ячеек B3:D5) и B (диапазон ячеек G3:G5), для наглядности области ввода выделены зеленым цветом.
В ячейке B7, с помощью функции МОПРЕД, запишем расчет определителя матрицы A:


В случае если определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение и систему можно решить методом Крамера.
Для поиска решения вычислим 3 дополнительных определителя матриц (диапазоны ячеек B9:D11, B13:D15 и B17:D19), в каждом из которых вместо одного из столбцов подставляется матрица B.
Например, вместо первого столбца (коэффициенты при переменной x1), ставим столбец матрицы B (свободные коэффициенты):

В ячейках F10, F14 и F18 рассчитываем определители матриц и записываем в ячейки I10, I14 и I18 (выделены голубым цветом) решение системы, по формуле Крамера получаем как отношение определителя дополнительных матриц к определителю матрицы системы (формулы =F10/B7, =F14/B7 и =F18/B7).

Решение СЛАУ методом Крамера для матриц большего размера (4×4, 5×5 и т.д.) аналогично рассмотренному выше.
Подробно ознакомиться с шаблоном решения для матриц 3×3 и 4×4 — скачать пример.

tutorexcel.ru

miassats.ru

Метод Крамера

Метод Крамера предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Решение системы уравнений методом Крамера проходит за три шага простого алгоритма:

  1. Составить определитель матрицы системы (его называют также определителем системы), и убедиться, что он не равен нулю, т.е. $\Delta\neq 0$.
  2. Для каждой переменной $x_i$($i=\overline{1,n}$) необходимо составить определитель $\Delta_{x_i}$, полученный из определителя $\Delta$ заменой i-го столбца столбцом свободных членов заданной СЛАУ.
  3. Найти значения неизвестных по формуле $x_i=\frac{\Delta_{x_{i}}}{\Delta}$ ($i=\overline{1,n}$).

Перед переходом к чтению примеров рекомендую ознакомиться с правилами вычисления определителей второго и третьего порядка, изложенными здесь.

Пример №1

Решить СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & 3x_1+2x_2=-11;\\ & -x_1+5x_2=15. \end{aligned}\right.$ методом Крамера.

Решение

Матрица системы такова: $ A=\left( \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array} \right) $. Определитель этой матрицы $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array}\right|=3\cdot 5-2\cdot(-1)=17$. Как вычисляется определитель второго порядка можете глянуть здесь.

Так как определитель системы не равен нулю, то продолжаем решение методом Крамера. Вычислим значения двух определителей: $\Delta_{x_1}$ и $\Delta_{x_2}$. Определитель $\Delta_{x_1}$ получаем из определителя $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array}\right|$ заменой первого столбца (именно первый столбец содержит коэффициенты при $x_1$) столбцом свободных членов $\left(\begin{array} {c} -11\\ 15\end{array}\right)$:

$$ \Delta_{x_1}=\left|\begin{array}{cc}-11&2\\15&5\end{array}\right|=-55-30=-85. $$

Аналогично, заменяя второй столбец в $\Delta=\left|\begin{array}{cc}3&2\\-1&5\end{array}\right|$ столбцом свободных членов, получим:

$$ \Delta_{x_2}=\left|\begin{array} {cc} 3 & -11\\ -1 & 15\end{array}\right|=45-11=34. $$

Теперь можно найти значения неизвестных $x_1$ и $x_2$.

$$x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{-85}{17}=-5;\;x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{34}{17}=2.$$

В принципе, можно ещё проверить, правильно ли решена система методом Крамера. Подставим в заданную СЛАУ $x_1=-5$, $x_2=2$:

$$\left\{\begin{aligned} & 3x_1+2x_2=3\cdot(-5)+2\cdot{2}=-11;\\ & -x_1+5x_2=-(-5)+5\cdot{2}=15. \end{aligned}\right.$$

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно. Осталось лишь записать ответ.

Ответ: $x_1=-5$, $x_2=2$.

Пример №2

Решить СЛАУ $ \left\{\begin{aligned} & 2x_1+x_2-x_3=3;\\ & 3x_1+2x_2+2x_3=-7;\\ & x_1+x_3=-2. \end{aligned} \right.$, используя метод Крамера.

Решение

Определитель системы: $\Delta=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 1 & -1\\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right|=4+2+2-3=5$. Как вычисляется определитель третьего порядка можете глянуть здесь.

Заменяя первый столбец в $\Delta$ столбцом свободных членов, получим $\Delta_{x_1}$:

$$ \Delta_{x_1}=\left| \begin{array} {ccc} 3 & 1 & -1\\ -7 & 2 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{array}\right|=6-4-4+7=5. $$

Заменяя второй столбец в $\Delta$ столбцом свободных членов, получим $\Delta_{x_2}$:

$$ \Delta_{x_2}=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 3 & -1\\ 3 & -7 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right|=-14+6+6-7-9+8=-10. $$

Заменяя третий столбец в $\Delta$ столбцом свободных членов, получим $\Delta_{x_3}$:

$$ \Delta_{x_3}=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 1 & 3\\ 3 & 2 & -7 \\ 1 & 0 & -2 \end{array}\right|=-8-7-6+6=-15. $$

Учитывая все вышеизложенное, имеем:

$$ x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{5}{5}=1;\; x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{-10}{5}=-2; \; x_3=\frac{\Delta_{x_3}}{\Delta}=\frac{-15}{5}=-3. $$

Метод Крамера завершён. Можно проверить, верно ли решена система уравнений методом Крамера, подставив значения $x_1=1$, $x_2=-2$ и $x_3=-3$ в заданную СЛАУ:

$$\left\{\begin{aligned} & 2x_1+x_2-x_3=2\cdot{1}+(-2)-(-3)=3;\\ & 3x_1+2x_2+2x_3=3\cdot{1}+2\cdot(-2)+2\cdot(-3)=-7;\\ & x_1+x_3=1+(-3)=-2. \end{aligned} \right.$$

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно.

Ответ: $x_1=1$, $x_2=-2$, $x_3=-3$.

Пример №3

Решить СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & 2x_1+3x_2-x_3=15;\\ & -9x_1-2x_2+5x_3=-7. \end{aligned}\right.$ используя метод Крамера.

Решение

Матрица системы $ \left( \begin{array} {ccc} 2 & 3 & -1\\ -9 & -2 & 5 \end{array} \right) $ не является квадратной. Однако это вовсе не означает, что решение системы уравнений методом Крамера невозможно. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменную $x_3$ в правые части уравнений:

$$ \left \{ \begin{aligned} & 2x_1+3x_2=x_3+15;\\ & -9x_1-2x_2=-5x_3-7. \end{aligned} \right. $$

Теперь матрица системы $ \left( \begin{array} {cc} 2 & 3 \\ -9 & -2 \end{array} \right) $ стала квадратной, и определитель её $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 2 & 3\\ -9 & -2 \end{array}\right|=-4+27=23$ не равен нулю. Применим метод Крамера аналогично предыдущим примерам:

Ответ можно записать в таком виде: $\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{13x_3-9}{23};\\ & x_2=\frac{-x_3+121}{23};\\ & x_3\in R. \end{aligned}\right.$ Переменные $x_1$, $x_2$ – базисные (в иной терминологии – основные), а переменная $x_3$ – свободная (в иной терминологии – неосновная). Проверка, при необходимости, проводится так же, как и в предыдущих примерах.

Примечание

В подобных примерах возможна ситуация, когда после переноса переменной (или переменных) в правые части уравнений, определитель системы равняется нулю. В этом случае можно перенести в правую часть иную переменную (или переменные). Например, рассмотрим СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & 2x_1-5x_2+10x_3=14;\\ & -4x_1+10x_2-7x_3=5. \end{aligned}\right.$. Если перенести в правые части уравнений $x_3$, получим: $ \left\{\begin{aligned} &2x_1-5x_2=-10x_3+14;\\ &-4x_1+10x_2=7x_3+5. \end{aligned}\right.$. Определитель данной системы $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 2 & -5\\ -4 & 10 \end{array}\right|=20-20=0$. Однако если перенести в правые части уравнений переменную $x_2$, то получим систему $ \left\{\begin{aligned} &2x_1+10x_3=5x_2+14;\\ &-4x_1-7x_3=-10x_2+5. \end{aligned}\right.$, определитель которой $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 2 & 10\\ -4 & -7 \end{array}\right|=-14+40=26$ не равен нулю. Дальнейшее решение аналогично рассмотренному в примере №3.

Пример №4

Решить СЛАУ $\left\{\begin{aligned} &x_1-5x_2-x_3-2x_4+3x_5=0;\\ &2x_1-6x_2+x_3-4x_4-2x_5=0; \\ &-x_1+4x_2+5x_3-3x_4=0. \end{aligned}\right.$ методом Крамера.

Решение

Матрица системы $\left(\begin{array} {ccccc} 1 & -5 & -1 & -2 & 3 \\ 2 & -6 & 1 & -4 & -2 \\ -1 & 4 & 5 & -3 & 0 \end{array}\right)$ не является квадратной. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменные $x_4$, $x_5$ в правые части уравнений, и применим метод Крамера:

$$ \left\{\begin{aligned} & x_1-5x_2-x_3=2x_4-3x_5;\\ & 2x_1-6x_2+x_3=4x_4+2x_5; \\ & -x_1+4x_2+5x_3=3x_4. \end{aligned}\right.$$

Ответ таков: $\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{-17x_4+144x_5}{19};\\ & x_2=\frac{-15x_4+41x_5}{19};\\ & x_3=\frac{20x_4-4x_5}{19}; \\ & x_4\in R; \; x_5\in R. \end{aligned}\right.$ Переменные $x_1$, $x_2$, $x_3$ – базисные, переменные $x_4$, $x_5$ – свободные.

Естественно, что применение метода Крамера в случаях вроде того, что рассмотрен в примере №4, не всегда оправдано с точки зрения временных затрат. Мы ведь не можем гарантировать, что после переноса каких-либо переменных в правые части уравнений, определитель системы не будет равен нулю. А перебирать различные варианты – слишком долгий процесс. Гораздо удобнее в таком случае применить метод Гаусса. Я привёл пример №4 лишь с одной целью – показать, что метод Крамера применим вне зависимости от содержимого правых частей уравнений заданной СЛАУ (числа, переменные, функции – не имеет значения). Главное, чтобы определитель матрицы системы был отличен от нуля.

math1.ru

Pешение системы уравнений методом Крамера

Метод Крамера применяется в том случае, когда количество переменных в системе линейных уравнений совпадает с количеством самих уравнений. Этот метод можно применять лишь в том случае, когда определитель, который составлен из коэффициентов при переменных, 0, тогда система получает единственное решение.

В качестве примера возьмем для наглядности систему линейных уравнений из предыдущего
примера.

Найдем определители. В общем виде, правило нахождения определителя второго порядка ,
следующее:

Найдем det A

Найдем det A1

Определитель det A1 получим из определителя det A, заменив первый столбец коэффициентов столбцом из свободных членов.

Найдем det A2

Определитель det A2 получим из определителя det A , заменив второй столбец коэффициентов столбцом из свободных членов.

Ответ :


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

reshit.ru