Как вычислить определитель разложив его по элементам i строки – Разложение определителя по строке (столбцу).

11. Разложение определителя по элементам строки или столбца

Задание. Вычислить определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей — вторую:

Ответ. 

12. Слау 3 порядка

1. Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.

2. Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:

3. Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель 

Решение. 

Ответ. 

4.Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример

Задание. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

studfiles.net

Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца

Дальнейшие свойства связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения

Минором элемента  называется определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания  стоки и  столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Минор элемента  определителя  порядка имеет порядок . Будем его обозначать через .

Пример 1. Пусть , тогда .

Этот минор получается из A путём вычёркивания второй строки и третьего столбца.

Алгебраическим дополнением элемента  называется соответствующий минор, умноженный на , т.е , где –номер строки и  -столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

VІІІ. (Разложение определителя по элементам некоторой строки). Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки на соответствующие им алгебраические дополнения.

Пример 2.Пусть , тогда

Пример 3.Найдём определитель матрицы , разложив его по элементам первой строки.

Формально эта теорема и другие свойства определителей применимы пока только для определителей матриц не выше третьего порядка, поскольку другие определители мы не рассматривали. Следующее определение позволит распространить эти свойства на определители любого порядка.

Определителемматрицы  порядка называется число, вычисленное с помощью последовательного применения теоремы о разложении и других свойств определителей.

Можно проверить, что результат вычислений не зависит от того, в какой последовательности и для каких строк и столбцов применяются вышеуказанные свойства. Определитель с помощью этого определения находится однозначно.

Хотя данное определение и не содержит явной формулы для нахождения определителя, оно позволяет находить его путём сведения к определителям матриц меньшего порядка. Такие определения называют

рекуррентными.

Пример 4.Вычислить определитель:

Хотя теорему о разложении можно применять к любой строке или столбцу данной матрицы, меньше вычислений получится при разложении по столбцу, содержащему как можно больше нулей.

Поскольку у матрицы  нет нулевых элементов, то получим их с помощью свойства VII. Умножим первую строку последовательно на числа  и прибавим её ко  строкам и получим:

Разложим получившийся определитель по первому столбцу и получим:

=

так как определитель содержит два пропорциональных столбца.

Некоторые виды матриц и их определители

Квадратная матрица, у которой ниже или выше главной диагонали стоят нулевые элементы ( )называется треугольной.

Их схематичное строение соответственно имеет вид: или

.

Здесь – означает нулевые элементы, а – произвольные элементы.

Теорема. Определитель квадратной треугольной матрицы равен произведению её элементов, стоящих на главной диагонали, т.е.

.

Например,

Квадратная матрица, у которой вне главной диагонали стоят нулевые элементы, называется диагональной.

Её схематический вид

Диагональная матрица, у которой на главной диагонали стоят только единичные элементы, называется единичной матрицей. Она обозначается через:

Определитель единичной матрицы равен , т.е.

studopedia.net

Разложение определителя по элементам строки или столбца — КиберПедия

Пример

Задание. Вычислить определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей — вторую:

Ответ.

Замечание

Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример

Задание. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

Ответ.

 

Теорема Лапласа

Теорема

Пусть — определитель -го порядка. Выберем в нем произвольные строк (или столбцов), причем . Тогда сумма произведений всех миноров -го порядка, которые содержатся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.



Пример

Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель

Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки — вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):

Ответ.

 

Обратная матрица

На множестве матриц не определена операция деления, она заменена умножением на обратную матрицу.

Определение

Невырожденной называется квадратная матрица, определитель которой не равен нулю. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю.

Квадратная матрица называется обратной к невырожденной матрице , если , где — это единичная матрица соответствующего порядка.

Замечание

Обратная матрица существует только для квадратных матриц с не равными нулюопределителями.

Свойства обратной матрицы:

 

cyberpedia.su

Разложение определителя по строке.

 

Определение1. 7. Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент.

 

Обозначение: выбранный элемент определителя, его минор.

 

Пример. Для

 

Определение1. 8. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i+j есть число четное, или число, противоположное минору, если i+j нечетно, т.е.

 

Рассмотрим еще один способ вычисления определителей третьего порядка – так называемое разложение по строке или столбцу. Для этого докажем следующую теорему:

 

Теорема 1.1. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е.

где i=1,2,3.

Доказательство.

Докажем теорему для первой строки определителя, так как для любой другой строки или столбца можно провести аналогичные рассуждения и получить тот же результат.

Найдем алгебраические дополнения к элементам первой строки:

Тогда

Таким образом, для вычисления определителя достаточно найти алгебраические дополнения к элементам какой-либо строки или столбца и вычислить сумму их произведений на соответствующие элементы определителя.

 

Пример. Вычислим определитель с помощью разложения по первому столбцу. Заметим, что при этом искать не требуется, так как следовательно, и Найдем и Следовательно,

=

 

 

Определители более высоких порядков.

 

Определение1. 9. Определитель n-го порядка

есть сумма n! членов каждый из которых соответствует одному из n! упорядоченных множеств полученных r попарными перестановками элементов из множества 1,2,…,n.

 

Замечание 1. Свойства определителей 3-го порядка справедливы и для определителей n-го порядка.

 

Замечание 2. На практике определители высоких порядков вычисляют с помощью разложения по строке или столбцу. Это позволяет понизить порядок вычисляемых определителей и в конечном счете свести задачу к нахождению определителей 3-го порядка.

 

Пример. Вычислим определитель 4-го порядка с помощью разложения по 2-му столбцу. Для этого найдем и :

Следовательно,

 

Теоре́ма Лапла́са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году[1], хотя частный случай этой теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) был известен ещё Лейбницу.

олнение минора определяется следующим образом:

где , .

Справедливо следующее утверждение.

Число миноров, по которым берётся сумма в теореме Лапласа, равно числу способов выбрать столбцов из , то есть биномиальному коэффициенту .

Так как строки и столбцы матрицы равносильны относительно свойств определителя, теорему Лапласа можно сформулировать и для столбцов матрицы.

Разложение определителя по строке (столбцу) (Следствие 1)

Широко известен частный случай теоремы Лапласа — разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Пусть — квадратная матрица размера . Пусть также задан некоторый номер строки либо номер столбца матрицы . Тогда определитель может быть вычислен по следующим формулам:

Разложение по -й строке: Разложение по -му столбцу:

где — алгебраическое дополнение к минору, расположенному в строке с номером и столбце с номером . также называют алгебраическим дополнением к элементу .

Утверждение является частным случаем теоремы Лапласа. Достаточно в ней положить равным 1 и выбрать -ую строку, тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.




infopedia.su

Разложение определителей по элементам его рядов.

1.Теорема разложения:

Всякий определитель равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда на их алгебраические дополнения.

 

Для i-й строки:

;

или для j-го столбца:

Пример 7.1.Вычислить определитель разложением по элементам первой строки:

 

=1∙(1+12+12 ) ∙(2+16+18 )+

+3∙(4+8+27 ) ∙(8+4+18 )=

=8 = .

Теорема разложения позволяет заменить вычисление одного определителя n-го порядка вычислением n определителей (n-1)-го порядка.

Однако для упрощения вычислений целесообразно для определителей высоких порядков использовать метод «размножения нулей», основанный на свойстве 6 раздела 5. Его идея:

-сначала «размножить нули» в некотором ряду, т.е. получить ряд, в котором только один элемент не равен нулю, остальные нули;

-затем разложить определитель по элементам этого ряда.

Следовательно, на основании теоремы разложения исходный определитель равен произведению ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение.

Пример7.2. Вычислить определитель:

.

«Размножим нули» в первом столбце.

От второй строки вычтем первую, умноженную на 2, от третьей строки вычтем первую, умноженную на 3, а от четвертой строки вычтем первую, умноженную на 4. При таких преобразованиях величина определителя не изменится.

По свойству 4 раздела 5 можем вынести за знак определителя из 1-го столбца, из 2-го столбца и из 3-го столбца.

Следствие: Определитель с нулевым рядом равен нулю.

2. Теорема замещения:

Сумма парных произведений каких-либо чисел на алгебраические дополнения некоторого ряда определителя равна тому определителю, который получается из данного, если в нем заменить элементы этого ряда взятыми числами.

Для -й строки:

1. Теорема аннулирования:

Сумма парных произведений элементов какого-либо ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю.

.

Действительно, по теореме замещения получаем определитель, у которого в k-й строке стоят те же элементы, что и в i-й строке

Но по свойству 3 раздела 5 такой определитель равен нулю.

Т.о., теорему разложения и ее следствия можно записать следующим образом:

 

8. Общие сведения о матрицах. Основные определения.

Определение 8.1 . Матрицей называется следующая прямоугольная таблица:

 

содержащая элементов ,расположенных в т строках и в п столбцах.

Применяют также следующие обозначения матрицы: , или , или .

Строки и столбцы матрицы именуются рядами.

Величина называется размером матрицы.

Если в матрице поменять местами строки и столбцы, то получим матрицу, называемую транспонированной. Матрица, транспонированнаяс , обычно обозначается символом .

Например:

Определение 8.2. Две матрицы A и B называются равными, если

1) обе матрицы одинаковых размеров, т.е. и ;

2) все их соответствующие элементы равны, т.е.

(8.1)

Тогда . (8.2)

Здесь одно матричное равенство (8.2) эквивалентно скалярных равенств (8.1).

 

9. Разновидности матриц.

1) Матрица, все элементы которой равны нулю, называется ноль-матрицей:

2) Если матрица состоит только из одной строки, то она называется матрицей-строкой, например . Аналогично этому матрица, имеющая только один столбец, именуется матрицей-столб­цом, например .

Транспонирование переводит матрицу-столбец в матрицу-строку и наоборот.

3) Если m = n , то матрица называется квадрат­ной матрицей n-го порядка.

Диагональ членов квадратной матрицы, идущая из левого верхнего угла в ее правый нижний угол, называется главной. Другая же диагональ ее членов, идущая из левого нижнего угла в ее правый верхний угол, именуется побочной.

Для квадратной матрицы может быть вычислен определитель det(A).

4) Если определитель матрицы равен нулю, то матрица на­зывается особенной, или вырожденной. В противном случае матрица именуется неособенной, или невырожденной.

5) Разновидности квадратных матриц:

Если все элементы квадратной матрицы, за исключе­нием элементов ее главной диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной. Диагональная матрица имеет вид:

Ее определитель равен произведению элементов главной диагонали:

В частности, при диагональная матрица называется скалярной: .

При скалярная матрица называется единичной и обозначается символом Е.

. Ее определитель равен единице:

Если все элементы квадратной матрицы по одну сто­рону главной диагонали равны нулю, то матрица именуется треугольной (соответственно верхней или нижней).

— верхняя треугольная матрица.

 




infopedia.su

2.4. Вычисление определителей

ai, j

Определители

2 0 0

det(2A)=det(2E) detA = 0 2 0 (−2)= 23 (−2)= −16 . 0 0 2

(d) Аналогично,

det(−3A)= det(−3E) detA = (−3)3 (−2)=54.

(e) Сначала найдем матрицу ( A − 2E) , а затем ее определитель:

 

2

3

4

 

2

0

0

 

0

3

4

 

 

0

1

5

 

 

0

2

0

 

 

0

−1 5

 

,

A − 2E=

 

 

=

 

 

0

0

 

 

 

0

0

2

 

 

0

0

 

 

 

 

−1

 

 

 

−3

 

det(A − 2E)=0 (−1) (−3)=0 .

Здесь мы рассмотрим два метода вычисления определителей. Суть одного из них заключается в разложении определителя по элементам строки или столбца, в результате чего исходный определитель n-гопорядка выражается черезn определителей меньшего порядка. Другой метод основывается на свойствах определителей и связан с преобразованием определителя к более простому виду. Комбинация двух методов дает наиболее эффективный путь вычисления определителей.

2.4.1. Разложение определителя по элементам строки или столбца

Предварительно введем некоторые важные для последующего изложения понятия.

Рассмотрим квадратную матрицу n-гопорядка. Выберемi,j-ыйэлемент этой матрицы и вычеркнемi-уюстроку иj-ыйстолбец. В результате

мы получаем матрицу (n–1)-гопорядка, определитель которой называетсяминором элементаai, j и обозначается символомMi, j .

Определители

Алгебраическое дополнение Ai, j элементаai, j определяется формулой

Ai, j= (−1)i + j Mi, j.

Нетрудно заметить, что алгебраическое дополнение i,j-гоэлемента совпадает с минором этого элемента, если сумма индексов, нумерующих строку и столбец элемента, является четным числом. Для нечетных значенийi+j алгебраическое дополнение отличается от минора только знаком.

Теорема о разложении определителя по элементам строки.

Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:

det A = ai,1Ai,1+ ai,2Ai,2+K+ ai,n Ai,n =

n

= ∑ai, jAi, j j=1

Доказательство: По определению, определитель матрицыA представляет собой сумму

det A =

∑a1,k1 a2,k2 Kai,ki Kan,kn (−1)P{k1,k2 ,K,kn}

(*)

 

{k1,k2 ,Kki ,Kkn}

 

по все возможным перестановкам индексов, нумерующих столбцы. Выберем произвольным образом некоторую строку, например, с

номером i. Один из элементов этой строки представлен в каждом произведенииa1,k1 a2,k2 Kai,ki Kan,kn . Поэтому слагаемые суммы (*)

можно перегруппировать, объединив в первую группу те, что содержат элемент ai,1 в качестве общего множителя, во вторую группу – члены,

содержащие элемент ai,2 , и т.д.

Другими словами, выражение (*) можно представить в виде линейной комбинации элементов ai, j (j =1,2,L,n ),

33

Определители

n

 

∑a1,k1 a2,k2 Kai,j Kan,kn (−1)P{k1,k2 ,K,kn} =

 

det A = ∑

 

 

j =1{k1,k2 ,Kj,Kkn}

 

n

 

∑a1,k1 a2,k2 Kai−1,ki−1 ai+1,ki+1 an,kn (−1)P{k1,k2 ,K,kn} =

= ∑ai, j

j =1

 

{k1,k2 ,Kj,Kkn}

 

n

 

 

 

= ∑ai,j Ai,j = ai,1Ai,1+ ai,2Ai,2+K+ai,n Ai,n ,

 

j =1

 

 

 

где

∑a1,k1 a2,k2 Lai−1,ki−1 ai+1,ki+1 Kan,kn (−1)P(k1,L,ki−1, j,ki+1,L,kn ) .

Ai, j=

{k1,L,ki−1,ki = j,ki+1,L,kn}

 

Покажем, что

Ai, j представляет собой алгебраическое

дополнение

элемента ai, j .

 

 

 

Рассмотрим четность перестановки {k1,L, ki −1, j, ki +1,L, kn}.

Во-первых,

требуется i–1транспозиций элементаj с

соседними

элементами, чтобы получить перестановку { j, k1,L, ki −1, ki +1,L, kn}.

Во-вторых,в полученной перестановке, элементj образуетj–1инверсий с другими элементами.

Следовательно,

(−1)P(k1,L,ki−1,j,ki+1,L,kn )= (−1)i −1+ j −1(−1)P(k1,L,ki−1,ki+1,L,kn )=

= (−1)i+ j(−1)P(k1,L,ki−1,ki+1,L,kn )

Однако

∑Lai−1,ki−1 ai+1,ki+1 K (−1)P(k1,L,ki−1,ki+1,L,kn ) = Mi, j{k1,L,ki−1,ki+1,L,kn}

представляет собой минор элемента ai, j .

Таким образом, Ai, j = (−1)i + j Mi, j , что и требовалось доказать.

Поскольку det A = det AT , то тем самым справедлива и следующая

Теорема о разложении определителя по элементам столбца.

Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения:

det A = a1,j A1,j + a2,j A2,j +K+ an,j An,j

n

=∑ai, jAi, j

i=1

Определители

Теоремы о разложении определителя имеют важное значение в теоретических исследованиях. Они устанавливает, что проблема вычисления определителя n-гопорядка сводится к проблеме вычисленияn определителей (n –1)-гопорядка.

Примерs:

1) Вычислить определитель произвольной матрицы A =||aij || третьего

порядка разложением по элементам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(i) первой строки;

 

(ii) второго столбца.

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11

a12

a13

 

 

 

a22

a23

 

−a

 

a21

a23

 

+a

 

a21

a22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det A =

a

 

a

 

a

 

 

 

= a

 

 

 

 

 

 

21

 

22

 

23

 

 

11

a32

a33

 

12

 

a31

a33

 

13

 

a31

a32

 

a31

a32

a33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=a11(a22a33−a23a32) −a12(a21a33−a23a31) +a13(a21a32−a22a31)

=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31,

 

a11

a12

a13

 

a21

a23

 

+a

 

a11

a13

 

−a

 

a11

a13

 

 

 

 

 

 

det A =

a

 

a

 

a

 

= −a

 

 

 

 

 

 

21

 

22

 

23

12

a31

a33

 

 

22

a31

a33

 

 

32

a21

a23

 

a31

a32

a33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=−a12(a12a33−a23a31) +a22(a11a33−a13a31) −a32(a11a23−a13a21)

=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31.

Результаты, полученные различными методами, идентичны.

 

Вычислить определитель

 

2

−5

3

 

 

разложением по элементам

 

 

 

2)

 

1

4

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−3

7

5

 

 

 

 

 

 

 

(i) первой строки,

(ii) второго столбца.

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(i)

Разложение определителя по элементам первой строки дает

 

 

 

2

−5

3

 

 

4 0

 

 

1

 

 

0

 

1 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

0

 

= 2

−(−5)

 

 

+3

 

 

 

 

−3

7

5

 

 

7

5

 

 

−3

5

 

−3 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=2 4 5 +5 1 5+3(7+12)=122.

(ii)Тот же самый результат получается при разложении определителя по элементам второго столбца:

35

Определители

2

−5

3

 

1

0

 

2 3

 

2

3

 

 

 

 

 

 

1

4

0

= −(−5)

+4

−7

−3

7

5

 

−3

5

 

−3 5

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

=5(5 +0)+4 (10+9)−7(0−3)=122.

2.4.2.Вычисление определителей методом элементарных

преобразований

Под элементарными преобразованиями понимаются следующие операции.

N

Операция

Результат

1

Перестановка местами двух

Определитель изменяет свой

 

строк.

знак.

2

Умножение строки на ненулевое

Определитель умножается на это

 

число.

число.

3

Прибавление к строке другой

Определитель не изменяется.

строки, предварительно

 

умноженной на любое число.

 

С учетом равноправия строк и столбцов определителя подобные операции в полной мере применимы к столбцам.

Идея метода заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований строк и столбцов привести определитель к треугольному виду, что решает проблему его вычисления.

Можно поступать и несколько иначе: с помощью элементарных преобразований получить строку (или столбец), содержащую только один ненулевой элемент, и затем разложить полученный определитель по элементам этой строки (столбца). Подобная процедура понижает порядок определителя на одну единицу.

Примеры.

 

 

 

 

2

−4

1

 

 

−3

2

 

. Вычислить det A, приведя матрицу к

1) Пусть A =

5

 

1

2

 

 

 

3

 

треугольному виду.

Решение:

Определители

 

2

−4 1

 

r1

→r1−2r3

 

0

−8−5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det A =

 

r2

→r2+3r3

 

 

 

 

 

−3

2

 

 

5

 

 

=

 

 

 

0

8

14

 

 

 

 

 

1

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

r1

↔r3

 

1

 

2

 

3

 

r3

→r3

+r2

 

1

2

3

 

.

 

 

 

 

 

 

 

=

 

0 8

14

 

 

=

 

 

0

8

14

 

 

 

 

 

0

 

−8

−5

 

 

 

 

 

 

 

0

0

9

 

 

Определитель матрицы треугольного вида равен произведению ее диагональных элементов:

det A = −1 8 9= −72 . 2) Вычислить определитель матрицы

1

5

−2

0

 

 

3

1

6

 

 

 

−1

A =

7

0

1

3

.

 

 

 

4

5

2

1

 

 

 

Решение: Сначала преобразуем первую строку с помощью элементарных операций над столбцами, стремясь получить в ней максимально возможное число нулей. С этой целью вычтем из второго столбца пятый столбец, предварительно умноженный на 5, а к третьему столбцу прибавим удвоенный второй столбец:

 

1

5

−2 0

 

c →c−5c

 

1

0

0 0

 

 

 

 

 

 

 

3

1

6

−1

 

c2

→c2

+2c1

 

3

−14

12

−1

 

 

det A =

 

3

=3

1

 

 

.

 

7

0

1

3

 

 

 

 

 

7

−35

15

3

 

 

 

4

5

2

1

 

 

 

 

 

4

−15

10

1

 

 

Теперь разложим определитель по элементам первой строки:

det A =

 

−14

12

−1

 

 

 

 

−35

15

3

 

 

 

−15

10

1

 

Преобразуем строки, прибавляя к первой строке третью и вычитая из второй строки утроенную третью:

37

studfiles.net

03. Пример решения Заданий из раздела №1

Задание 1. Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения элементов . Вычислить определитель : а) разложив его по элементам I-ой строки; б) разложив его по элементам J-го столбца; в) получив предварительно нули в I-ой строки.

I = 1, J = 2

Решение: 1. Находим миноры к элементам :

Алгебраические дополнения элементов соответственно равны:

2. а). Вычислим определитель, разложив его по элементам первой строки:

Б) Вычислим определитель, разложив его по элементам второго столбца:

В) Вычисли определитель , Получив предварительно нули в первой строке. Используем свойство определителей: определитель Не ИЗмеНиТся, ЕСлИ ко всЕМ эЛеМентам кАКой-либо строки (столбца) прибавить СоотВЕтстВУющие эЛеМЕНтЫ другой строки (столбца), умноженНЫе на одно И то же произвольное число. Умножим третий столбец определителя на 3 и прибавим к первому, затем умножим на (-2) и прибавим ко второму. Тогда в первой строке все элементы, кроме одного, будут нулями. Разложим полученный таким образом опредЕЛитель по элемЕНтам первой строки и вычислим его:

В опрЕДЕЛитЕЛе трЕТьЕГо порядка получили нули в ПеРвом столбце по свойству тому же свойству определителей.

Задание 2.

Даны две матрицы A и B. Найти: а) AB; б) BA; в) ; г) .

Решение: а) Произведение АВ имеет смысл, так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Находим матрицу С=АВ, элементы которой определяются по формуле . ИмеЕМ:

Б) Вычислим

ОчЕВидНО, что ;

В) Обратная матрица матрицы А имеет виД

,

Где — алгебраическое дополнение, -минор, т. е. определитель полученный из основного определителя вычёркивание i-строки, j-столбца.

,

Т. е. матрица A — Невырожденная, и, значит, существуЕТ матрица . Находим:

Тогда

;

Г) Проверка

;

Задание 3. Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее а) по формулам Крамера б) методом Гаусса.

Решение: Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера — Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы

Данной системы и ранг расширенной матрицы

Для этого умножим первую строку матрицы В на (-2) и сложим со второй, затем умножим первую строку на (-3) и сложим с третьей, поменяем местами второй и третий столбцы. Получим

.

Следовательно, (т. е. числу неизвестных). Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.

А) По формулам Крамера

,

Где -главный определитель, который мы посчитаем, например, по правилу треугольника

,

Аналогично найдем

,

,

,

Находим: .

Б) Решим систему методом Гаусса. Исключим из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на 2 и вычтем из второго, затем первое уравнение умножим на 3 и вычтем из третьего:

Из полученной системы находим .

Задание 4

Решить матричное уравнение

Пусть ,

решение матричного уравнения находим по формуле

Х=А -1В, где А -1 обратная матрица

— алгебраическое дополнение, где

— определитель, полученный из основного вычеркивание i-строки, j-столбца, — определитель матрицы.

Найдем обратную матрицу.

(-1)1+14=4

А12=(-1)1+23=-3

А21= (-1)2+12=-2

А22=(-1)2+21=1

DetA==1*4-2*3=4-6=-2

Итак,

Задание 5

Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трёх видов: . Необходимые характеристики указаны в таблице .

Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одного вида продукции, усл. ед.

Расход сырья за один день, усл. ед.

Сапог

Кроссовок

Ботинок

S1

S2

S3

5

2

3

3

1

2

4

1

2

2700

900

1600

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.

Решение: Пусть ежедневно фабрика выпускает x1 – единиц продукции первого вида, x2 — единиц продукции второго вида, x3 — единиц продукции третьего вида. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему.

Решаем систему линейных уравнений любым способом. Решим данную систему, например, методом Гаусса. Составим матрицу из коэффициентов стоящих перед неизвестными и из свободных членов.

Обнуляем первый столбец, кроме первого элемента

1. Первую строчку оставляем без изменения

2. Вместо второй записываем сумму первой, умноженной на -2 и второй, умноженной на 5

3. Вместо третьей записываем сумму первой, умноженной на -3 и третьей, умноженной на 5

Аналогично обнуляем второй столбец под элементом второй строки второго столбца

˜˜

Вернемся к системе

Т. е. фабрика выпускает 200- единиц продукции первого вида, 300- единиц продукции второго вида и 200- единиц продукции третьего вида.

Задание 6. Решить однородную систему линейных алгебраических

Уравнений.

Решение: Так как определитель системы

,

То система ИМЕЕт бЕСчисленное множество решений. Поскольку , , возьмем любые два уравнения системы (наПРИМЕР, ПЕрвое И второе) и найдем ее рЕШение. ИмЕеМ:

Так как определитель из коэффициентов при неизвестных и не равен нулю, то в качестве базисных нЕИзвестных ВОзьмЕМ и (хотя можно брать и другие пары нЕИзвЕСтных) И ПеРЕМЕСтим члЕНы с в правые частИ УравнЕНИЙ:

РЕШаЕМ пОСлЕдНюю систЕМу по формулам КрамЕРа :

Где

,

,

.

Отсюда находим, что Полагая , где KПроизвольный коэффициент пропорциональности (произвольная постоянная), получаем решение исходной сИСтЕМы: .

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua