Как умножить логарифм на логарифм – Как складывать логарифмы 🚩 произведение логарифмов с одинаковыми основаниями 🚩 Математика
Умножение логарифмов, формула и примеры
Определение и формулы для умножения логарифмов
1 случай. .
Доказательство. Используя частный случай формулы перехода к новому основанию (свойство 11), будем иметь:
Что и требовалось доказать.
Например. .
2 случай. При умножении нескольких логарифмов с разными основаниями выражение также можно в некоторых случаях упростить, перейдя к логарифмам с одним основанием по формуле перехода
Примеры решения задач
3 случай. Произведение логарифмов с одинаковыми основаниями также можно иногда преобразовать, основываясь на свойствах логарифма.
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного. Воспитание в педагогике
Дополнительные сочиненияНа данном уроке мы рассмотрим два важных свойства логарифмов, а именно, логарифм произведения и частного двух положительных выражений. Мы выведем соответствующие формулы и будем применять их для решения задач.
1. Некоторые теоретические сведения
Напомним определение логарифма. Для этого рассмотрим показательную функцию . В левой части стоит показательная функция, если выполняются следующие условия: . Свойства показательной функции нам известны: она монотонна и принимает все положительные значения. Это значит, что любое положительное значение b функция принимает при единственном значении аргумента, то есть, уравнение имеет единственный корень, который и называется логарифмом:
Определение:
Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.
Исходя из определения, имеем основное логарифмическое тождество:
То есть, любое положительное число b можно представить при помощи основного логарифмического тождества.
Рассмотрим конкретный пример: .
Рис. 1. График уравнения
По графику очевидно, что каждое свое положительное значение функция достигает при единственном значении аргумента.
Решением заданного уравнения будет такое значение аргумента:
.
Перейдем к доказательству теорем, являющихся непосредственной целью данного урока.
2. Логарифм произведения, формула, примеры
Теорема 1:
Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.
Здесь
Доказательство:
Представим числа b и с с помощью основного логарифмического тождества:
Тогда:
Согласно свойству степени при умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются. Получаем:
По определению логарифма имеем:
Что и требовалось доказать.
Выведенная формула применяется для выполнения различного рода вычислений.
Пример 1 – вычислить:
а)
Несложно догадаться, что сумму логарифмов с одинаковым основанием можно представить как логарифм произведения:
б)
Аналогично предыдущему примеру представляем сумму десятичных логарифмов как логарифм произведения:
Комментарий: в ходе решения была применена формула
3. Логарифм произведения трех положительных чисел
Обобщим выведенную формулу для произведения трех положительных чисел.
Доказать:
Здесь
Доказательство:
Применим дважды выведенную формулу, на первом шаге будем считать произведение bc за единое число:
Теперь раскроем первый логарифм по той же формуле:
Что и требовалось доказать.
Перейдем к следующей формуле.
Дано:
Доказать:
Представим числа b и с с помощью основного логарифмического тождества:
Тогда:
Согласно свойству степени, при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. Получаем:
По определению логарифма имеем:
Что и требовалось доказать.
Пример 2 – вычислить:
а)
4. Логарифм частного, формула, примеры
Согласно выведенной формуле, разность логарифмов с одинаковым основанием можем представить как логарифм частного:
б)
Аналогично предыдущему примеру:
Итак, мы изучили некоторые важные свойства логарифма, вывели формулы для логарифма произведения и логарифма частного. Далее мы продолжим изучение свойств логарифма.
Список литературы
Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Webmath. ru . Berdov. com . Ru. onlinemschool. com .
Домашнее задание
1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 506;
2. Вычислить:
а) ; б) ; в) ; г) ;
3. Вычислить:
а) ; б) ;
в) ; г) .
dp-adilet.kz
Деление логарифмов | Логарифмы
В каких случаях можно выполнить деление логарифмов? Возможно ли деление логарифмов с разными основаниями?
I. Деление логарифмов с одинаковыми основаниями выполняется по формуле
где
Например,
Деление логарифмов с разными основаниями возможно в некоторых случаях.
Например, если после вынесения показателей степеней за знак логарифма в числителе и знаменателе получим одинаковые логарифмы и дробь можно на них сократить.
Например,
В виде формулы этот случай деления логарифмов с разными основаниями можно представить так:
В общем случае при делении логарифмов с разными основаниями нужно попытаться упростить выражение, используя различные свойства логарифмов.
Например,
www.logarifmy.ru
Сумма логарифмов | Логарифмы
Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения выражений, стоящих под знаками логарифмов слагаемых:
(x>0, y>0).
С помощью этого свойства в некоторых случаях можно найти, чему равна сумма логарифмов, даже если логарифм каждого слагаемого не является рациональным числом.
Например,
Это свойство верно, в частности, и для десятичных и натуральных логарифмов.
Сумма десятичных логарифмов равна десятичному логарифму произведения выражений, стоящих под знаками логарифмов слагаемых:
Например,
Сумма натуральных логарифмов равна натуральному логарифму произведения выражений, которые стоят под знаками логарифмов в слагаемых:
Переход от суммы логарифмов к логарифму произведения верен и в случае когда количество слагаемых больше двух:
Например,
Это свойство логарифмов широко используется при упрощении выражений, в ходе решения логарифмических уравнений и неравенств.
www.logarifmy.ru
Логарифмы
Логарифмы
Логарифм отвечает на вопрос: в какую степень мы должны возвести число a чтобы получить число b.
Пример Сколько раз нужно умножить 3 чтобы получить 81?
Чтобы получить число 81, нужно умножить 3 четыре раза, иначе говоря возвести число 3 в 4 степень и получить 81:
Число 4 будет является логарифмом, можно записать также в форме , также говорят что 4 является логарифмом числа 81 по основанию 3.
Работаю с логарифмом мы оперируем тремя числами: основание —
Определение
Пусть a > 0, b > 0, a ≠ 1, тогда есть такое число c, что ac=b.
Основное логарифмическое тождество:
Пример Рассмотрим примеры вычисления логарифма с основанием 2, 4, 5.
Десятичные логарифмы
Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом, записывают
Пример Найдем десятичный логарифм чисел 100, 10000.
| # | Логарифм | Число в степени |
|---|---|---|
| 1 | ||
| 2 |
Натуральные логарифмы
Логарифм по основанию e≈2,718 называют натуральным логарифмом, записывают
calcs.su
Логарифм произведения | Логарифмы
Логарифм произведения — результат сложения логарифмов с одинаковыми основаниями. Если выражения, стоящие под знаками логарифмов, положительны, формула
является тождеством, то есть
при x>0, y>0 логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей:
Например,
Как и другие свойства логарифмов, переход от логарифма произведения к к сумме логарифмов может быть использован для преобразований в ходе решения логарифмических уравнений, неравенств и их систем. Если на области допустимых значений переменные, входящие в произведение под знаком логарифма, положительны, проблем не возникает.
Например, для системы
область допустимых значений x>0, y>0. Поэтому
и систему можно преобразовать как
Если же область допустимых значений включает в себя не только положительные значения переменных, формула перехода от логарифма произведения к сумме логарифмов выглядит так:
Таким образом, в общем случае
логарифм произведения равен сумме логарифмов модулей множителей.
Примеры.
Здесь область допустимых значений
поэтому при переходе от логарифма произведения к сумме логарифмов множителей переменную x берем по модулю:
Область допустимых значений
следовательно,
www.logarifmy.ru