Как умножить логарифм на логарифм – Как складывать логарифмы 🚩 произведение логарифмов с одинаковыми основаниями 🚩 Математика

Умножение логарифмов, формула и примеры

Определение и формулы для умножения логарифмов

1 случай. .

Доказательство. Используя частный случай формулы перехода к новому основанию (свойство 11), будем иметь:

   

Что и требовалось доказать.

Например. .

2 случай. При умножении нескольких логарифмов с разными основаниями выражение также можно в некоторых случаях упростить, перейдя к логарифмам с одним основанием по формуле перехода

   

Примеры решения задач

3 случай. Произведение логарифмов с одинаковыми основаниями также можно иногда преобразовать, основываясь на свойствах логарифма.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного. Воспитание в педагогике

Дополнительные сочинения

На данном уроке мы рассмотрим два важных свойства логарифмов, а именно, логарифм произведения и частного двух положительных выражений. Мы выведем соответствующие формулы и будем применять их для решения задач.

1. Некоторые теоретические сведения

Напомним определение логарифма. Для этого рассмотрим показательную функцию . В левой части стоит показательная функция, если выполняются следующие условия: . Свойства показательной функции нам известны: она монотонна и принимает все положительные значения. Это значит, что любое положительное значение b функция принимает при единственном значении аргумента, то есть, уравнение имеет единственный корень, который и называется логарифмом:

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Исходя из определения, имеем основное логарифмическое тождество:

То есть, любое положительное число b можно представить при помощи основного логарифмического тождества.

Рассмотрим конкретный пример: .

Рис. 1. График уравнения

По графику очевидно, что каждое свое положительное значение функция достигает при единственном значении аргумента.

Решением заданного уравнения будет такое значение аргумента:

.

Перейдем к доказательству теорем, являющихся непосредственной целью данного урока.

2. Логарифм произведения, формула, примеры

Теорема 1:

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.

Здесь

Доказательство:

Представим числа b и с с помощью основного логарифмического тождества:

Тогда:

Согласно свойству степени при умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются. Получаем:

По определению логарифма имеем:

Что и требовалось доказать.

Выведенная формула применяется для выполнения различного рода вычислений.

Пример 1 – вычислить:

а)

Несложно догадаться, что сумму логарифмов с одинаковым основанием можно представить как логарифм произведения:

б)

Аналогично предыдущему примеру представляем сумму десятичных логарифмов как логарифм произведения:

Комментарий: в ходе решения была применена формула

3. Логарифм произведения трех положительных чисел

Обобщим выведенную формулу для произведения трех положительных чисел.

Доказать:

       

Здесь

Доказательство:

Применим дважды выведенную формулу, на первом шаге будем считать произведение bc за единое число:

Теперь раскроем первый логарифм по той же формуле:

Что и требовалось доказать.

Перейдем к следующей формуле.

Дано:

Доказать:

Представим числа b и с с помощью основного логарифмического тождества:

Тогда:

Согласно свойству степени, при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. Получаем:

По определению логарифма имеем:

Что и требовалось доказать.

Пример 2 – вычислить:

а)

4. Логарифм частного, формула, примеры

Согласно выведенной формуле, разность логарифмов с одинаковым основанием можем представить как логарифм частного:

б)

Аналогично предыдущему примеру:

Итак, мы изучили некоторые важные свойства логарифма, вывели формулы для логарифма произведения и логарифма частного. Далее мы продолжим изучение свойств логарифма.

Список литературы

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Webmath. ru . Berdov. com . Ru. onlinemschool. com .

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 506;

2. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ;

3. Вычислить:

а) ; б) ;

в) ; г) .

dp-adilet.kz

Деление логарифмов | Логарифмы

В каких случаях можно выполнить деление логарифмов? Возможно ли деление логарифмов с разными основаниями?

I. Деление логарифмов с одинаковыми основаниями выполняется по формуле

   

где

   

Например,

   

   

   

   

   

Деление логарифмов с разными основаниями возможно в некоторых случаях.

Например, если после вынесения показателей степеней за знак логарифма в числителе и знаменателе получим одинаковые логарифмы и дробь можно на них сократить.

Например,

   

   

   

   

В  виде формулы этот случай деления логарифмов с разными основаниями можно представить так:

   

   

   

В общем случае при делении логарифмов с разными основаниями нужно попытаться упростить выражение, используя различные свойства логарифмов.

Например,

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

www.logarifmy.ru

Сумма логарифмов | Логарифмы

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения выражений, стоящих под знаками логарифмов слагаемых:

   

(x>0, y>0).

С помощью этого свойства в некоторых случаях можно найти, чему равна сумма логарифмов, даже если логарифм каждого слагаемого не является рациональным числом.

Например,

   

   

   

   

Это свойство верно, в частности, и для десятичных и натуральных логарифмов.

Сумма десятичных логарифмов равна десятичному логарифму произведения выражений, стоящих под знаками логарифмов слагаемых:

   

Например,

   

   

   

Сумма натуральных логарифмов равна натуральному логарифму произведения выражений, которые стоят под знаками логарифмов в слагаемых:

   

Переход от суммы логарифмов к логарифму произведения верен и в случае когда количество слагаемых больше двух:

   

   

Например,

   

   

   

   

Это свойство логарифмов широко используется при упрощении выражений, в ходе решения логарифмических уравнений и неравенств.

www.logarifmy.ru

Логарифмы

Логарифмы

Логарифм отвечает на вопрос: в какую степень мы должны возвести число a чтобы получить число b.

Пример Сколько раз нужно умножить
3
чтобы получить 81?

Чтобы получить число 81, нужно умножить 3 четыре раза, иначе говоря возвести число 3 в 4 степень и получить 81:

Число 4 будет является логарифмом, можно записать также в форме , также говорят что 4 является логарифмом числа 81 по основанию 3.

Работаю с логарифмом мы оперируем тремя числами: основание —

3, показатель степени числа — 4, число которое хотим получить(возведя основание в степень) — 81.

Определение

Пусть a > 0, b > 0, a1, тогда есть такое число c, что ac=b.

Основное логарифмическое тождество:

Пример Рассмотрим примеры вычисления логарифма с основанием 2, 4, 5.

Десятичные логарифмы

Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом, записывают

Пример Найдем десятичный логарифм чисел 100, 10000.
# Логарифм Число в степени
1
2

Натуральные логарифмы

Логарифм по основанию e≈2,718 называют натуральным логарифмом, записывают

calcs.su

Логарифм произведения | Логарифмы

Логарифм произведения — результат сложения логарифмов с одинаковыми основаниями. Если выражения, стоящие под знаками логарифмов, положительны, формула

   

является тождеством, то есть

при x>0, y>0 логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей:

   

Например,

   

   

   

   

   

Как и другие свойства логарифмов, переход от логарифма произведения к  к сумме логарифмов может быть использован для преобразований в ходе решения логарифмических уравнений, неравенств и их систем. Если на области допустимых значений переменные, входящие в произведение под знаком логарифма, положительны, проблем не возникает.

Например, для системы 

   

область допустимых значений x>0, y>0. Поэтому

   

и систему можно преобразовать как

   

Если же область допустимых значений включает в себя не только положительные значения переменных, формула перехода от логарифма произведения к сумме логарифмов выглядит так:

   

Таким образом, в общем случае

логарифм произведения равен сумме логарифмов модулей множителей.

Примеры.

   

Здесь область допустимых значений

   

поэтому при переходе от логарифма произведения к сумме логарифмов множителей переменную x берем по модулю:

   

   

   

Область допустимых значений

   

   

следовательно,

   

   

www.logarifmy.ru