Как сравнить логарифмы – Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по алгебре (11 класс) на тему: Презентация к уроку «Сравнение логарифмов» | скачать бесплатно
Приемы и методы сравнения логарифмов
Разделы: Математика
Сравнение значений логарифмов или значения логарифма с некоторым числом встречается в школьной практике решения задач не только как самостоятельная задача. Сравнивать логарифмы приходится, например, при решении уравнений и неравенств. Материалы статьи (задачи и их решения) располагаются по принципу “от простого к сложному” и могут быть использованы для подготовки и проведения урока (уроков) по данной теме, а также на факультативных занятиях. Количество рассматриваемых задач на уроке зависит от уровня класса, его профильного направления. В классах с углубленным изучением математики этот материал может быть использован для двухчасового урока-лекции.
1. (Устно.) Какие из функций являются возрастающими, а какие убывающими:
Замечание. Это упражнение является подготовительным.
2. (Устно.) Сравните с нулем:
Замечание. При решении упражнения № 2 можно использовать как свойства логарифмической функции с привлечением графика логарифмической функции, так и следующее полезное свойство:
если положительные числа a и b лежат на числовой прямой правее 1 или левее 1
(то есть a>1 и b>1 или 0<a<1 и 0<b<1), то
logab > 0 ;
если положительные числа a и b лежат на числовой прямой по разные стороны от
1(то есть 0<a<1<b или 0<b<1<a), то log
Покажем использование этого свойства при решении № 2(а).
Так как
Так как функция y = log7t возрастает на R+, 10 > 7, то log710 > log77, то есть log710 > 1. Таким образом, положительные числа sin3 и log710 лежат по разные стороны от 1. Следовательно, logsin3log710 < 0.
3. (Устно.) Найдите ошибку в рассуждениях:
. Функция y = lgt возрастает на R+, тогда ,
Разделим обе части последнего неравенства на . Получим, что 2 > 3.
Решение.
Положительные числа и 10 (основание логарифма) лежат по разные стороны от 1. Значит, < 0. При делении обеих частей неравенства на число знак неравенства следует изменить на противоположный.
4. (Устно.) Сравните числа:
Замечание. При решении упражнений № 4(a–c) используем свойство монотонности логарифмической функции. При решении № 4(d) используем свойство:
если c > a >1, то при b>1 справедливо неравенство logab > logcb.
Решение 4(d).
Так как 1 < 5 < 7 и 13 > 1, то log513 > log713.
5. Сравните числа log26 и 2.
Решение.
Первый способ (использование монотонности логарифмической функции).
2 = log24;
Функция y = log2t возрастает на R+, 6 > 4. Значит, log26 > log24 и log25 > 2.
Второй способ (составление разности).
Составим разность .
6. Сравните числа
Решение.
-1 = ;
Функция y = убывает на R+, 3 < 5. Значит, > и > -1.
7. Сравните числа и 3log826.
Решение.
Функция y = log2t возрастает на R+, 25 < 26. Значит, log225 < log226 и .
Решение.
Первый способ.
Умножим обе части неравенства на 3:
Функция y = log 5t
Второй способ.
Составим разность
. Отсюда
.
9. Сравните числа log426 и log617.
Решение.
Оценим логарифмы, учитывая, что функции y = log4t и y = log6t возрастающие на R+:
Решение.
Учитывая, что функции убывающие на R+, имеем:
. Значит,
Замечание. Предложенный метод сравнения называют методом “вставки”
11. Сравните числа log23 и log35.
Решение.
Заметим, что оба логарифма больше 1, но меньше 2.
Первый способ. Попробуем применить метод “разделения”. Сравним логарифмы с числом .
Второй способ (умножение на натуральное число).
Замечание 1. Суть метода “умножения на натуральное число” в том, что мы ищем натуральное число k, при умножении на которое сравниваемых чисел
Замечание 2. Реализация вышеописанного метода бывает весьма
трудоемка, если сравниваемые числа очень близки друг к другу.
В этом случае
можно попробовать сравнение методом “вычитания единицы”. Покажем его на
следующем примере.
12. Сравните числа log78 и log67.
Решение.
Первый способ (вычитание единицы).
Вычтем из сравниваемых чисел по 1.
В первом неравенстве мы воспользовались тем, что
если c > a > 1, то при b > 1 справедливо неравенство logab > logcb.
Во втором неравенстве – монотонностью функции y = logax.
Замечание. Вычитать из сравниваемых чисел можно любое натуральное число n. При этом часто бывает достаточно взять n = 1.
Второй способ (применение неравенства Коши).
13. Сравните числа log2472 и log1218.
Решение.
14. Сравните числа log2080 и log80640.
Решение.
Решение.
Пусть log25 = x . Заметим, что x > 0.
Получаем неравенство .
Найдем множество решений неравенства , удовлетворяющих условию x > 0.
Возведем обе части неравенства в квадрат (при x > 0 обе части неравенства положительны). Имеем 9x2 < 9x + 28.
Множеством решений последнего неравенства является промежуток .
Учитывая, что x > 0, получаем: .
Ответ: неравенство верно.
Практикум по решению задач.
1. Сравните числа:
2. Расположите в порядке возрастания числа:
3. Решите неравенство 44 – 2·24+1 – 3 < 0. Является ли число √2 решением данного неравенства? (Ответ: (–∞; log23); число √2 является решением данного неравенства.)
Заключение.
Методов сравнения логарифмов много. Цель уроков по данной теме – научить ориентироваться в многообразии методов, выбирать и применять наиболее рациональный способ решения в каждой конкретной ситуации.
В классах с углубленным изучением математики материал по данной теме может быть изложен в форме лекции. Такая форма учебной деятельности предполагает, что материал лекции должен быть тщательно отобран, проработан, выстроен в определенной логической последовательности. Записи, которые делает учитель на доске, должны быть продуманными, математически точными.
Закрепление лекционного материала, отработку навыков по решению задач целесообразно проводить на уроках-практикумах. Цель практикума – не только закрепить и проверить полученные знания, но и пополнить их. Поэтому задания должны содержать задачи разного уровня, от самых простых задач до задач повышенной сложности. Учитель на таких практикумах выступает в роли консультанта.
Литература.
- Галицкий М.Л. и др.Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: Метод. рекомендации и дидактические материалы: Пособие для учителя.– М.: Просвещение, 1986.
- Зив Б.Г., Гольдич В.А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – СПб.: “ЧеРо-на-Неве”, 2003.
- Литвиненко В.Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия.: Учебное издание. – М.: Просвещение, 1990.
- Рязановский А.Р. Алгебра и начала анализа:500 способов и методов решения задач по математике для школьников и поступающих в вузы. – М.: Дрофа, 2001.
- Садовничий Ю.В. Математика. Конкурсные задачи по алгебре с решениями. Часть 4. Логарифмические уравнения, неравенства, системы. Учебное пособие.-3-е изд., стер.-М.:Издательский отдел УНЦДО, 2003.
- Шарыгин И.Ф., Голубев В.И.Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред.шк.– М.: Просвещение, 1991.
15.05.2011
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Сравнение логарифмов
Ни для кого не секрет, что с помощью применения логарифмов мы упрощаем довольно много сложных алгебраических операций и не только. Логарифмы дают возможность заменять более сложные операции умножения на операции сложения, деление на вычитание. Согласитесь, ведь это намного проще. Если уже быть совсем точными, то логарифм заданного числа – это показатель степени, в которую нужно возвести другое, также заданное число, чтобы получить данное. На первый взгляд все запутано и непонятно, но это только на первый, на самом деле, все до нельзя просто. Для того, чтобы закреплять знания о логарифмах (да и не только о них), конечно же, рекомендовано после прочтения теории выполнять самостоятельные практические упражнения, это не только поможет усвоить материал, но и выявить все недочеты.
Но вернемся к логарифмам, а точнее к их сравнению. Разумеется, вам в голову может прийти вопрос: «что такое сравнение логарифмов? и как это делается?».
Зачем мы сравниваем логарифмы? Ответ достаточно прост. При решении неравенств и уравнений, довольно часто возникает вопрос, когда нужно определить принадлежность корня области допустимых значений или же сделать соотношение решений двух или более неравенств на числовой прямой, а решение, при этом, выражается иррациональным числом, которое, в свою очередь, записано с помощью логарифма. Вот тут-то нам и необходимо сравнение этих логарифмов.
Существуют несколько способов сравнения логарифмов. Какой из них использовать зависит, в первую очередь, от того, одинаковые основания у логарифмов или нет. Если первый вариант, то тут выход один – использовать монотонность логарифмических функций.
Если числа равные, но основания разные, то тут можно пойти несколькими путями:
- Графический способ
- Сравнение логарифмов через переход к одному основанию
- Метод оценки
- введение промежуточного числа
- Алгебраические методы, которые, в свою очередь делятся еще на несколько.
Например: log[2,x]>log[4,x]
Сравнение логарифмов | |||||||||
| |||||||||
| |||||||||
| |||||||||
| |||||||||
| |||||||||
| |||||||||
mateshka.ru
Как сравнивать степени | Логарифмы
Как сравнивать степени с одинаковыми основаниями? С одинаковыми показателями? Можно ли сравнить степени, если и основания, и показатели различны?
Как и сравнение логарифмов, сравнение степеней основано на свойстве показательной функции.
Сравнение степеней с одинаковыми основаниями
- Если основание степени больше единицы (a>1), показательная функция возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, соответственно, знак неравенства между показателями степеней и между степенями одинаковый.
- Если основание степени меньше единицы (0<a<1), функция убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, знак неравенства между показателями степеней противоположен знаку между степенями.
С помощью схемы сравнение степеней с равными основаниями можно изобразить так:
Примеры.
№1. Сравнить значения выражений:
Решение:
Сравниваем показатели степеней: 1,5<1,9.
Основание a=2/7 меньше единицы, функция убывает, знак неравенства между степенями меняется на противоположный:
Решение:
Сравниваем показатели степеней:
Основание a=5,2 больше единицы, функция возрастает, знак неравенства между степенями не меняется:
№2. Сравнить показатели m и n, если известно, что для степеней выполняется неравенство:
Решение:
Основание a=0,21<1, функция убывает, поэтому знак неравенства между показателя степеней нужно изменить на противоположный: m>n.
Решение:
Основание
функция возрастает, поэтому знак неравенства между показателями степеней не изменяется: m<n.
Сравнение степеней с одинаковыми показателями.
1) Для возрастающих функций ( x>0):
Пример.
Для положительных значений аргумента
например,
Для отрицательных значений аргумента
например,
2) Для убывающих функций:
Пример.
Для положительных значений аргумента
например,
Для отрицательных значений аргумента:
например,
Как сравнивать степени, если и основания, и показатели различны?
Можно попробовать, например, сравнить каждую из степеней с единицей. Любая степень с основанием, большим единицы, при положительных значениях аргумента принимает значения, большие единицы:
при отрицательных — меньшие 1:
Если основание меньше единицы — соответственно,
Пример.
Сравнить
Решение:
В алгебре сравнивать степени чаще всего приходится при решении показательных неравенств.
Как решать показательные неравенства, мы рассмотрим позже.
www.logarifmy.ru
Логарифмы | Все о логарифмах
Показательные уравнения: вынесение вынесение общего множителя за скобки — следующий шаг в рассмотрении видов показательных уравнений и способов их решения.
Признаки показательного уравнения, решаемого вынесением общего множителя за скобки:
1) все степени имеют одинаковые основания;
2) все показатели степеней имеют одинаковые коэффициенты при переменных.
Количество степеней может быть любым.
Выносить за скобки можно степень с любым показателем, но удобнее всего в качестве общего множителя вынести степень с наименьшим показателем если основание a>1, с наибольшим — при a<1.
(далее…)
Продолжаем рассматривать показательные уравнения. Примеры решения показательных уравнений, в которых задействованы степени с одинаковыми показателями — наш следующий шаг на этом пути.
В этих примерах акцент сделан на следующих свойствах степеней:
(далее…)
Рассмотрим решение простейших показательных уравнений, приводимых к уравнениям вида
с помощью свойств степеней:
ОДЗ (Область допустимых значений уравнения) — x∈R.
(далее…)
Показательные уравнения — это уравнения, в которых переменная входит в показатель степени, а основание степени переменной не содержит.
Простейшие показательные уравнения — это уравнения вида
где a>0, a≠1.
Так как показательная функция
строго монотонна (возрастает при a>1, убывает при 0<a<1), то каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента, следовательно, простейшее показательное уравнение имеет единственный корень (или не имеет корней).
(далее…)
Как сравнивать степени с одинаковыми основаниями? С одинаковыми показателями? Можно ли сравнить степени, если и основания, и показатели различны?
Как и сравнение логарифмов, сравнение степеней основано на свойстве показательной функции.
Сравнение степеней с одинаковыми основаниями
- Если основание степени больше единицы (a>1), показательная функция возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, соответственно, знак неравенства между показателями степеней и между степенями одинаковый.
- Если основание степени меньше единицы (0<a<1), функция убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, знак неравенства между показателями степеней противоположен знаку между степенями.
(далее…)
Показательная функция и логарифмическая функция тесно связаны между собой: они являются взаимно-обратными.
Определение
Показательная функция — это функция вида
гле a>0, a≠1.
График показательной функции:
(далее…)
Однородные логарифмические уравнения первого порядка —
— не нуждаются в особом подходе для их решения.
С помощью свойств логарифмов такое уравнение можно привести к простейшему логарифмическому.
В общем виде решение таких уравнений можно представить, например, так: (далее…)
www.logarifmy.ru
Подскажите, как сравнить логарифмические функции по их свойствам?, алгебра
+ 0 — агент007цру11 окт. 2013 г., 16:13:31 (5 лет назад)
решим сперва ваш пример:
и
т.к. у логарифмов основание одинаковое, то мы имеем право опустить логарифм и сравнивать уже по его числу
5 и 3
следовательно…
теперь рассмотрим более сложный пример
и
и
умножим обе части на и надо бы не забыть поменять в этом месте знак неравенства.
и
и
и
прибавим к обеим частям
и
т.к. у логарифмов одинаковое основание, то их можно опустить
500 и 480
отсюда видно, что 500 > 400, следовательно…
<
PS меньше, потому что мы, в ходе решения, поменяли знак (когда умножили на -2)
Имя |
algebra.neznaka.ru