Как сравнить логарифмы – Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по алгебре (11 класс) на тему: Презентация к уроку «Сравнение логарифмов» | скачать бесплатно

Приемы и методы сравнения логарифмов

Разделы:
Математика


Сравнение значений логарифмов или значения логарифма с некоторым числом
встречается в школьной практике решения задач не только как самостоятельная
задача. Сравнивать логарифмы приходится, например, при решении уравнений и
неравенств. Материалы статьи (задачи и их решения) располагаются по принципу “от
простого к сложному” и могут быть использованы для подготовки и проведения урока
(уроков) по данной теме, а также на факультативных занятиях. Количество
рассматриваемых задач на уроке зависит от уровня класса, его профильного
направления. В классах с углубленным изучением математики этот материал может
быть использован для двухчасового урока-лекции.

1. (Устно.) Какие из функций являются возрастающими, а какие убывающими:

Замечание. Это упражнение является подготовительным.

2. (Устно.) Сравните с нулем:

Замечание. При решении упражнения № 2 можно использовать как свойства
логарифмической функции с привлечением графика логарифмической функции, так и
следующее полезное свойство:

если положительные числа a и b лежат на числовой прямой правее 1 или левее 1
(то есть a>1 и b>1 или 0<a<1 и 0<b<1), то
logab > 0 ;

если положительные числа a и b лежат на числовой прямой по разные стороны от
1(то есть 0<a<1<b или 0<b<1<a), то logab
< 0
[4].

Покажем использование этого свойства при решении № 2(а).

Так как

Так как функция y = log7t возрастает на
R+, 10 > 7, то
log710 > log77, то есть
log710 > 1. Таким образом, положительные
числа sin3 и
log710 лежат по разные стороны от 1.
Следовательно, logsin3log710 < 0.

3. (Устно.) Найдите ошибку в рассуждениях:

. Функция
y = lgt возрастает на
R+, тогда
,

Разделим обе части последнего неравенства на
. Получим, что
2 > 3.

Решение.

Положительные числа
и 10
(основание логарифма) лежат по разные стороны от 1. Значит,

< 0. При делении обеих частей
неравенства на число
знак
неравенства следует изменить на противоположный.

4. (Устно.) Сравните числа:

Замечание. При решении упражнений № 4(a–c) используем свойство монотонности
логарифмической функции. При решении № 4(d) используем свойство:

если c > a >1, то при
b>1 справедливо неравенство
logab > logcb.

Решение 4(d).

Так как 1 < 5 < 7 и 13 > 1, то
log513 > log713.

5. Сравните числа log26 и 2.

Решение.

Первый способ (использование монотонности логарифмической функции).

2 = log24;

Функция y = log2t возрастает на
R+, 6 > 4. Значит,
log26 > log24  
и
log25 > 2.

Второй способ (составление разности).

Составим разность
.



6. Сравните числа

и
-1.



Решение.


-1 =
;

Функция y =
  убывает на
R+, 3 < 5. Значит,
>
 и

> -1
.



7. Сравните числа
и
3log826.



Решение.


Функция y = log2t возрастает на
R+, 25 < 26. Значит,
log225 < log226  и .



Решение.

Первый способ.


Умножим обе части неравенства на 3: 

Функция y = log 5t возрастает на
R+ , 27 >
25. Значит,



Второй способ.


Составим разность
. Отсюда
.



9. Сравните числа log426
и
log617.



Решение.


Оценим логарифмы, учитывая, что функции y = log4t
и y = log6t
возрастающие на R+:



Решение.


Учитывая, что функции
 
убывающие на R+, имеем:

. Значит,


Замечание
.
Предложенный метод сравнения называют методом “вставки”
или методом “разделения” (мы нашли число 4, разделяющее данные два
числа).



11. Сравните числа log23
и  log35.



Решение.


Заметим, что оба логарифма больше 1, но меньше 2.



Первый способ. Попробуем применить метод “разделения”. Сравним логарифмы
с числом .



Второй способ (умножение на натуральное число).



Замечание 1. Суть методаумножения на натуральное число
в том, что мы ищем натуральное число k, при умножении на которое
сравниваемых чисел a и b получают такие числа ka и kb,
что между ними находится хотя бы одно целое число.



Замечание 2. Реализация вышеописанного метода бывает весьма
трудоемка, если сравниваемые числа очень близки друг к другу.

В этом случае
можно попробовать сравнение методом “вычитания единицы”. Покажем его на
следующем примере.



12. Сравните числа log78
и log67.



Решение.

Первый способ (вычитание единицы).


Вычтем из сравниваемых чисел по 1.

В первом неравенстве мы воспользовались тем, что

если c > a > 1, то при
b > 1 справедливо неравенство
logab > logcb.


Во втором неравенстве – монотонностью функции
y = logax.



Замечание. Вычитать из сравниваемых чисел можно любое натуральное
число n. При этом часто бывает достаточно взять
n = 1.



Второй способ (применение неравенства Коши).




13. Сравните числа log2472
и log1218.



Решение.





14. Сравните числа log2080
и log80640.



Решение.




Решение.


Пусть log25 = x . Заметим, что
x > 0.

Получаем неравенство
.



Найдем множество решений неравенства
, удовлетворяющих
условию x >

0.


Возведем обе части неравенства
в квадрат (при
x > 0 обе части неравенства
положительны). Имеем 9x2 < 9x + 28.

Множеством решений последнего неравенства является промежуток
.

Учитывая, что x > 0, получаем:
.



Ответ: неравенство верно.


Практикум по решению задач.

1. Сравните числа:

2. Расположите в порядке возрастания числа:

3. Решите неравенство 44 – 2·24+1
– 3 < 0.
Является ли число √2
решением
данного неравенства?
(Ответ: (–∞;
log23);
число √2 является решением данного
неравенства.)

Заключение.

Методов сравнения логарифмов много. Цель уроков по данной теме – научить
ориентироваться в многообразии методов, выбирать и применять наиболее
рациональный способ решения в каждой конкретной ситуации.

В классах с углубленным изучением математики материал по данной теме может
быть изложен в форме лекции. Такая форма учебной деятельности предполагает, что
материал лекции должен быть тщательно отобран, проработан, выстроен в
определенной логической последовательности. Записи, которые делает учитель на
доске, должны быть продуманными, математически точными.

Закрепление лекционного материала, отработку навыков по решению задач
целесообразно проводить на уроках-практикумах. Цель практикума – не только
закрепить и проверить полученные знания, но и пополнить их. Поэтому задания
должны содержать задачи разного уровня, от самых простых задач до задач
повышенной сложности. Учитель на таких практикумах выступает в роли
консультанта.

Литература.

  1. Галицкий М.Л. и др.Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: Метод.
    рекомендации и дидактические материалы: Пособие для учителя.– М.: Просвещение,
    1986.
  2. Зив Б.Г., Гольдич В.А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – СПб.: “ЧеРо-на-Неве”,
    2003.
  3. Литвиненко В.Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия.: Учебное
    издание. – М.: Просвещение, 1990.
  4. Рязановский А.Р. Алгебра и начала анализа:500 способов и методов решения задач по математике
    для школьников и поступающих в вузы. – М.: Дрофа, 2001.
  5. Садовничий Ю.В. Математика. Конкурсные задачи по алгебре с решениями. Часть 4.
    Логарифмические уравнения, неравенства, системы. Учебное пособие.-3-е изд.,
    стер.-М.:Издательский отдел УНЦДО, 2003.
  6. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И.Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл.
    сред.шк.– М.: Просвещение, 1991.

15.05.2011

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Сравнение логарифмов

Ни для кого не секрет, что с помощью применения логарифмов мы упрощаем довольно много сложных алгебраических операций и не только. Логарифмы дают возможность заменять более сложные операции умножения на операции сложения, деление на вычитание. Согласитесь, ведь это намного проще. Если уже быть совсем точными, то логарифм заданного числа – это показатель степени, в которую нужно возвести другое, также заданное число, чтобы получить данное. На первый взгляд все запутано и непонятно, но это только на первый, на самом деле, все до нельзя просто. Для того, чтобы закреплять знания о логарифмах (да и не только о них), конечно же, рекомендовано после прочтения теории выполнять самостоятельные практические упражнения, это не только поможет усвоить материал, но и выявить все недочеты.

Но вернемся к логарифмам, а точнее к их сравнению. Разумеется, вам в голову может прийти вопрос: «что такое сравнение логарифмов? и как это делается?».

Зачем мы сравниваем логарифмы? Ответ достаточно прост. При решении неравенств и уравнений, довольно часто возникает вопрос, когда нужно определить принадлежность корня области допустимых значений или же сделать соотношение решений двух или более неравенств на числовой прямой, а решение, при этом, выражается иррациональным числом, которое, в свою очередь, записано с помощью логарифма. Вот тут-то нам и необходимо сравнение этих логарифмов.

Существуют несколько способов сравнения логарифмов. Какой из них использовать зависит, в первую очередь, от того, одинаковые основания у логарифмов или нет. Если первый вариант, то тут выход один – использовать монотонность логарифмических функций.

Если числа равные, но основания разные, то тут можно пойти несколькими путями:

  1. Графический способ
  2. Сравнение логарифмов через переход к одному основанию
  3. Метод оценки
  4. введение промежуточного числа
  5. Алгебраические методы, которые, в свою очередь делятся еще на несколько.

Например: log[2,x]>log[4,x]

Сравнение логарифмов

Если 0 
1
 
2
, то
log 
a
x 
1
> log 
a
x 
2
— знак неравенства меняется
Если a > 1 и 0 
1
 
2
, то
log 
a
x 
1
 
a
x 
2
— знак неравенства не меняется
Если 1 1, то log 
a
x > log 
b
x
Если 0 1, то log 
a
x > log 
b
x

mateshka.ru

Как сравнивать степени | Логарифмы

Как сравнивать степени с одинаковыми основаниями? С одинаковыми показателями? Можно ли сравнить степени, если и основания, и показатели различны?

Как и сравнение логарифмов, сравнение степеней основано на свойстве показательной функции.

Сравнение степеней с одинаковыми основаниями

  • Если основание степени больше единицы (a>1), показательная функция возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, соответственно, знак неравенства между показателями степеней и между степенями одинаковый.
  • Если основание степени меньше единицы (0<a<1), функция убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, знак неравенства между показателями степеней противоположен знаку между степенями.

С помощью схемы сравнение степеней с равными основаниями можно изобразить так:

Примеры.

№1. Сравнить значения выражений:

   

Решение:

Сравниваем показатели степеней: 1,5<1,9.

Основание a=2/7 меньше единицы, функция убывает, знак неравенства между степенями меняется на противоположный:

   

   

Решение:

Сравниваем показатели степеней:

   

Основание a=5,2 больше единицы, функция возрастает, знак неравенства между степенями не меняется:

   

№2. Сравнить показатели m и n, если известно, что для степеней выполняется неравенство:

   

Решение:

Основание a=0,21<1, функция убывает, поэтому знак неравенства между показателя степеней нужно изменить на противоположный: m>n.

   

Решение:

Основание

   

функция возрастает, поэтому знак неравенства между показателями степеней не изменяется: m<n.

Сравнение степеней с одинаковыми показателями.

1) Для возрастающих функций ( x>0):

   

   

Пример.

Для положительных значений аргумента

   

например,

   

Для отрицательных значений аргумента

   

например,

   

 

2) Для убывающих функций:

   

   

Пример.

Для положительных значений аргумента

   

например,

   

Для отрицательных значений аргумента:

   

например,

   

 

Как сравнивать степени, если и основания, и показатели различны?

Можно попробовать, например, сравнить каждую из степеней с единицей. Любая степень с основанием, большим единицы, при положительных значениях аргумента принимает значения, большие единицы:

   

при отрицательных — меньшие 1:

   

Если основание меньше единицы — соответственно,

   

   

Пример.

Сравнить

   

Решение:

   

В алгебре сравнивать степени чаще всего приходится при решении показательных неравенств.

Как решать показательные неравенства, мы рассмотрим позже.

www.logarifmy.ru

Логарифмы | Все о логарифмах



Показательные уравнения: вынесение вынесение общего множителя за скобки — следующий шаг в рассмотрении видов показательных уравнений и способов их решения.

Признаки показательного уравнения, решаемого вынесением общего множителя за скобки:

1) все степени имеют одинаковые основания;

2) все показатели степеней имеют одинаковые коэффициенты при переменных.

Количество степеней может быть любым.

Выносить за скобки можно степень с любым показателем, но удобнее всего в качестве общего множителя вынести степень с наименьшим показателем если основание a>1, с наибольшим — при a<1.

(далее…)



Продолжаем рассматривать показательные уравнения. Примеры решения показательных уравнений, в которых задействованы степени с одинаковыми показателями — наш следующий шаг на этом пути.

В этих примерах акцент сделан на следующих свойствах степеней:

   

   

(далее…)



Рассмотрим решение простейших показательных уравнений, приводимых к уравнениям вида

   

с помощью свойств степеней:

   

   

   

   

   

   

   

   

ОДЗ (Область допустимых значений уравнения) — x∈R.

(далее…)



Показательные уравнения — это уравнения, в которых переменная входит в показатель степени, а основание степени переменной не содержит.

Простейшие показательные уравнения — это уравнения вида

   

где a>0, a≠1.

Так как показательная функция

   

строго монотонна (возрастает при a>1, убывает при 0<a<1), то каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента, следовательно, простейшее показательное уравнение имеет единственный корень (или не имеет корней).

(далее…)



Как сравнивать степени с одинаковыми основаниями? С одинаковыми показателями? Можно ли сравнить степени, если и основания, и показатели различны?

Как и сравнение логарифмов, сравнение степеней основано на свойстве показательной функции.

Сравнение степеней с одинаковыми основаниями

  • Если основание степени больше единицы (a>1), показательная функция возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, соответственно, знак неравенства между показателями степеней и между степенями одинаковый.
  • Если основание степени меньше единицы (0<a<1), функция убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, знак неравенства между показателями степеней противоположен знаку между степенями.

(далее…)



Показательная функция и логарифмическая функция тесно связаны между собой: они являются взаимно-обратными.

Определение

Показательная функция — это функция вида

   

гле a>0, a≠1.

График показательной функции:

(далее…)



Однородные логарифмические уравнения первого порядка —

   

— не нуждаются в особом подходе для их решения.

С помощью свойств логарифмов такое уравнение можно привести к простейшему логарифмическому.

В общем виде решение таких уравнений можно представить, например, так: (далее…)

www.logarifmy.ru

Подскажите, как сравнить логарифмические функции по их свойствам?, алгебра

+
0

агент007цру

11 окт. 2013 г., 16:13:31 (5 лет назад)

решим сперва ваш пример:
и
т.к. у логарифмов основание одинаковое, то мы имеем право опустить логарифм и сравнивать уже по его числу
5 и 3
следовательно…
теперь рассмотрим более сложный пример
и
и
умножим обе части на и надо бы не забыть поменять в этом месте знак неравенства.
и
и
и
прибавим к обеим частям
и
т.к. у логарифмов одинаковое основание, то их можно опустить
500 и 480
отсюда видно, что 500 > 400, следовательно…
<
PS меньше, потому что мы, в ходе решения, поменяли знак (когда умножили на -2)

Хороший ответ
0
Жалоба Ответить

Имя

E-mail

Текст вашего комментария

Введите текст с картинки

Ответить

algebra.neznaka.ru