Как решать геометрическую прогрессию 9 класс примеры – Геометрическая прогрессия — Прогрессии — ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО АЛГЕБРЕ 9 класс к учебнику А. Г. Мордковича

Геометрическая прогрессия. Алгебра, 9 класс: уроки, тесты, задания.















1.

Нахождение члена геометрической прогрессии, даны два предыдущих


Сложность:
лёгкое

2


2.

Нахождение члена геометрической прогрессии


Сложность:
лёгкое

2


3.

Вычисление членов геометрической прогрессии


Сложность:
лёгкое

3


4.

Вычисление членов геометрической прогрессии


Сложность:
лёгкое

2


5.

Нахождение члена геометрической прогрессии, даны два первых члена


Сложность:
среднее

3


6.

Знаменатель геометрической прогрессии


Сложность:
среднее

2


7.

Сумма членов геометрической прогрессии, даны два первых члена


Сложность:
среднее

2


8.

Сумма членов геометрической прогрессии, даны q и b1


Сложность:
среднее

2


9.

Сумма членов геометрической прогрессии


Сложность:
среднее

3


10.

Преобразование бесконечной десятичной дроби


Сложность:
среднее

2


11.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии


Сложность:
сложное

5


12.

Вычисление значения дроби


Сложность:
сложное

4


13.

Члены геометрической прогрессии


Сложность:
сложное

5

www.yaklass.ru

9 класс арифметическая прогрессия | математика-повторение

Записи с меткой «9 класс арифметическая прогрессия»


Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом, называют арифметической прогрессией. Число, которое каждый раз прибавляют к предыдущему числу, называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой d.

Так, числовая последовательность а1;  а2;  а3;  а4;  а5; … аn будет являться арифметической  прогрессией, если а2 = а1 + d;

а3 = а2 + d;

a4 = a3 + d;

a5 = a4 + d;

………….

an = an-1 + d

Говорят, что дана арифметическая прогрессия с общим членом аn. Записывают: дана арифметическая  прогрессия {an}.

Арифметическая прогрессия считается определенной, если известны ее первый член a1 и разность d.

Примеры арифметической прогрессии

Пример 1.    1; 3; 5; 7; 9;…      Здесь а1 = 1; d = 2.

Пример 2.   8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;…   Здесь а1 = 8; d =-3.

Пример 3.   -16; -12; -8; -4;…    Здесь а1 = -16; d = 4.

Заметим, что каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов.

В 1 примере второй член 3 =(1+5):2  ;  т.е. а2 = (а13):2;  третий член   5 =(3+7):2;

т. е. а3 = (а24):2.

Значит, справедлива формула:

Но, на самом деле, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому не только соседних с ним членов, но и равноотстоящих от него членов, т. е.

Обратимся  примеру 2.  Число -1 является четвертым членом арифметической прогрессии и одинаково отстоит от первого и  седьмого членов (а1 = 8, а7 = -10).

По формуле (**) имеем:

Выведем формулу n- го члена арифметической прогрессии.

Итак, второй член арифметической прогрессии мы получим, если к первому прибавим разность d; третий член получим, если ко второму прибавим разность d или к первому члену прибавим две разности d; четвертый член получим, если к третьему прибавим разность d или к первому прибавим три разности d и так далее.

Вы уже догадались: а2 = а1 + d;

a3 = a2 + d = a1 + 2d;

a4 = a3 + d = a1 + 3d;

…………………….

an = an-1 + d = a1 + (n-1) d.

Полученную формулу an = a1 + (n-1)d               (***)

называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Теперь поговорим о том, как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии. Обозначим эту сумму через Sn.

От перестановки мест слагаемых значение суммы не изменится, поэтому ее можно записать двумя способами.

Sn = a1 + a2 + a3  + a4 + … + an-3 + an-2 + an-1+ an                    и

Sn = an + an-1 + an-2 + an-3 + ……+ a4 + a3 + a2 + a1

Сложим почленно эти два равенства:

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + (a4 + an-3) + …

Значения в скобках равны между собой, так как являются суммами равноотстоящих членов ряда, значит, можно записать: 2Sn = n· (a1 + an).

Получаем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии.

                         (****)

Если заменим аn  значением а1 + (n-1) d    по формуле  (***), то получим еще одну формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии.

                (*****)

www.mathematics-repetition.com

Геометрическая прогрессия

Вопросы
занятия:

·  повторить основные понятия, связанные с
геометрической прогрессии;

·  повторить формулу для нахождения суммы первых n
членов геометрической прогрессии;

·  повторить понятие бесконечно убывающей
геометрической прогрессии.

Материал
урока

Определение.

Геометрической прогрессией
называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная
со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Для задания геометрической прогрессии достаточно
задать её первый член и значение знаменателя q.

Рассмотрим пример.

Пример.

Получим формулу nого
члена геометрической прогрессии.

Она позволит найти любой член геометрической
прогрессии, зная её первый член и номер искомого члена.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Как и в случае просто последовательностей,
геометрическая прогрессия бывает возрастающей и убывающей.

Рассмотрим геометрическую прогрессию, состоящую из
степеней числа три.

Таким свойством обладает любая геометрическая
прогрессия.

Квадрат любого члена геометрической прогрессии,
начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов.

Другими словами, любой член геометрической
прогрессии равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов
.

Справедливо и обратное утверждение.

Если в последовательности чисел, отличных от нуля,
квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и
последующего членов, то эта последовательность является геометрической
прогрессией.

Рассмотрим пример.

Пример.

Рассмотрим пример.

Пример.

Можно сказать, что данная последовательность является
геометрической прогрессией.

Рассмотрим геометрическую прогрессию:

Запишем сумму эн первых членов геометрической
прогрессии.

Формулу, записанную в таком виде, на практике
использовать удобнее.

Решим несколько примеров.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Для бесконечно убывающей последовательности сумма
первых n членов равна:

Рассмотрим пример.

Пример.

Итоги урока

Сегодня на уроке, мы повторили основные понятия,
связанные с геометрической прогрессией, повторили формулу для нахождения суммы
первых эн членов геометрической прогрессии, рассмотрели несколько задач.

videouroki.net

Урок алгебры по теме «Геометрическая прогрессия». 9-й класс

Разделы:
Математика


Цели урока:

  • образовательная – воспроизведение и коррекция
    опорных знаний по теме; формирование навыков
    решения экзаменационных задач на геометрическую
    прогрессию;
  • развивающая — развитие логического мышления,
    навыков самоконтроля в подготовке к ГИА;
  • воспитательная – воспитание культуры
    умственного труда, познавательного интереса к
    предмету; коммуникативности.

Тип урока: урок обобщения и
систематизации знаний.


Оборудование: комплекты для устного
счета, раздаточный дидактический материал –
тесты, сборники экзаменационных заданий,
компьютер, видеопроектор, листки
самоконтроля.




Структура урока:












Этап урокаВид работыСодержание (цель) этапаВремя

(мин)
IОргмомент.Фронтально.Постановка цели урока.

Знакомство с
планом работы на уроке.

1
IIУстный счет.Фронтально, в парах.Отработка устных вычислительных
навыков.
3
IIIДиктант по формулам.Взаимопроверка.Проверка и коррекция знаний формул
геометрической прогрессии.
5
IVРабота с тестом.Работа в парах.

Самопроверка.

Формирование умений применять формулы
для установления истинности или ложности
утверждений.

Развитие навыков самоконтроля.

7
VРешение задач из сборника
экзаменационных заданий.
Работа в группах.

Проверка и коррекция
решения через видеопроектор.

Совершенствование навыков решения
задач на геометрическую прогрессию.

Воспитание
коммуникативности.

15
VIРешение познавательных задач.Построение графика.Развитие навыков применения знаний по
теме для решения познавательных задач.
6
VIIЗадание на дом.Запись в дневниках, чтение задания по
учебнику.
Комментирование содержания домашнего
задания.
1
VIIIИтог урока.Проверка листов самоконтроля.Обобщение полученных результатов
работы через листы самоконтроля.
Предварительное выявление проблем.
2



Ход урока


I. Оргмомент.


Объявить тему урока, дидактическую цель,
сообщить план работы.


II. Устный счет.


Раздаточный материал для устного счета
находится на столах учащихся. Каждый сидящий на 1
варианте отвечает по одному примеру, сосед по
парте проверяет ответ.




Задания для устного счета.


Вычислите:


1) 53; 2) 24; 3) (-2)7; 4) (0,2)2; 5)
(-0,2)3; 6) (-1)2; 7) (-1)5; 8) (-0,3)2; 9)
1,32; 10) 160;



16) 210 : 28; 17) 32 : 3; 18) 32n + 2 : 32n;
19) 24 * 23; 20) 0,5 * 23.


III. Диктант по формулам.


Класс пишет под диктовку учителя, один учащийся
работает на обороте доски. Затем ответы
открываются, учащиеся за партой меняются
тетрадями, и проводится взаимопроверка.




Задание 1. Запишите рекуррентную формулу n-го
члена геометрической прогрессии и выразите из
нее знаменатель прогрессии.




Задание 2. Запишите формулу n-го члена
геометрической прогрессии.




Задание 3. Запишите формулу суммы n первых
членов геометрической прогрессии.




Задание 4. Запишите формулу суммы бесконечно
убывающей геометрической прогрессии.




Задание 5. Запишите характеристическое
свойство геометрической прогрессии.


Ответы:



Дополнительный вопрос: Дать определение
геометрической прогрессии и привести пример.


Выставление оценок в листы самоконтроля по
количеству верных ответов по 5-бальной шкале.


IV. Работа с тестом.


Тест “Установите, истинны или ложны
следующие утверждения”:




Задание 1. Последовательность, заданная
формулой bn = 32n, — геометрическая
прогрессия.


Решение:



Ответ: да.




Задание 2. Третий член геометрической
прогрессии, у которой равен -18.


Решение:



Ответ: нет.




Задание 3. Сумма семи первых членов
геометрической прогрессии, у которой b1 = 3, q= 2, равна 384.


Решение:



Ответ: нет.




Задание 4. Геометрическая прогрессия,
заданная формулой , является бесконечно убывающей.


Решение:



Ответ: нет.




Задание 5. Сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии равна , если



Решение:



Ответ: да.


Проверка через видеопроектор и выставление
оценок в листы самоконтроля по количеству верных
ответов по 5-бальной шкале.


V. Решение задач из сборника
экзаменационных заданий ГИА.




Задача 1. Сумма первых трех членов
геометрической прогрессии равна 9, а сумма
следующих трех ее членов равна -72. Найдите
восьмой член этой прогрессии.


Решение:



Ответ: -384.




Задача 2. Существует ли геометрическая
прогрессия, в которой


Решение:



Ответ: да.




Задача 3. Является ли число 64 членом
геометрической прогрессии 0,5; 1; …?


Решение:



Ответ: да.




Задача 4. Найдите сумму бесконечно убывающей
геометрической прогрессии bn, если b2 b4 = 3 и b1 — b3 = 6.


Решение:



Ответ: 16.




Задача 5. При каком целом значении х
последовательность х, х + 2, 5х – 2 является
геометрической прогрессией?


Решение:


Согласно характеристическому свойству
геометрической прогрессии имеем: (х + 2)2 =
х(5х – 2).


Откуда х = — 0,5 – число не целое и х = 2 – число
целое.


Ответ: 2.


Выставление оценок в листы самоконтроля по
количеству верных ответов по 5-балльной шкале.


VI. Решение познавательных задач.




Задача 1. Один биолог “открыл” удивительную
разновидность амеб. Каждая из них через минуту
делится на две. В пробирку биолог кладет одну
амебу, и ровно через час вся пробирка оказывается
заполненной амебами. Сколько потребовалось бы
времени, чтобы вся пробирка заполнилась амебами,
если бы в нее положили вначале не одну, а две?


Решение:


Запишем две геометрические прогрессии одна под
другой:


1; 2; 4; 8; 16; 32; … и


2; 4; 8; 16; 32;…


Тогда очевидно, что задача решается с конца.
Минуту назад колба с одной амебой была заполнена
наполовину. Следовательно, нужно 59 минут, чтобы
вся пробирка заполнилась амебами, если бы в нее
положили вначале не одну, а две.


Ответ: 59 минут.




Задача 2. Построить график геометрической
прогрессии 1; 2; 4; 8; 16;… .


Решение:


b1 = 1; q = 2; bn = b1* qn – 1 = (b1
: q) * qn = 0,5 * qn .


Заполним таблицу и нанесем точки на систему
координат.





n12345
bn= 0,5 * 2n124816



Получаем точечный график. Точки графика лежат
на кривой, которую в 10-м классе при изучении
показательной функции назовем экспонентой.


VII. Задание на дом.


Задачи из учебника и сборника ГИА по теме
“Геометрическая прогрессия”.


VIII. Итог урока.


Учащиеся оценивают свою работу как среднее
арифметическое трех оценок, выставленных в
листках самоконтроля.


Называются самые трудные задания, которые
вызвали затруднения для дальнейшей коррекции на
следующем уроке.


Примечание. Учащиеся обучаются по
учебнику для общеобразовательных учреждений:
Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразоват.
учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И.
Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского.
– 18-е изд. — М.: Просвещение, 2011.

21.07.2014

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Задачи для ОГЭ. Геометрическая прогрессия

Задачи для ОГЭ с ответами и решениями

Геометрическая прогрессия

 

перейти к содержанию задачника

  1. Дана геометрическая прогрессия , знаменатель которой равен , . Найдите .
  2. Дана геометрическая прогрессия , знаменатель которой равен , . Найдите .
  3. Геометрическая прогрессия задана условиями , . Найдите .
  4. Геометрическая прогрессия задана условиями , . Найдите .
  5. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: . Найдите элемент прогрессии, обозначенный буквой .
  6. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: . Найдите элемент прогрессии, обозначенный буквой .
  7. Геометрическая прогрессия задана условием . Найдите .
  8. Геометрическая прогрессия задана условием . Найдите .
  9. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: . Найдите ее четвертый член.
  10. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: . Найдите ее пятый член.
  11. В геометрической прогрессии , . Найдите знаменатель прогрессии .
  12. В геометрической прогрессии , . Найдите знаменатель прогрессии .
  13. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: . Найдите ее пятый член.
  14. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: . Найдите ее четвертый член.
  15. — геометрическая прогрессия, знаменатель прогрессии равен , . Найдите сумму первых пяти ее элементов.
  16. — геометрическая прогрессия, знаменатель прогрессии равен , . Найдите сумму первых четырех ее элементов.
  17. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: . Найдите сумму первых семи ее элементов.
  18. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: . Найдите сумму первых пяти ее элементов.
  19. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: . Найдите сумму первых пяти ее элементов.

перейти к содержанию задачника

Ответы

  1. -486
  2. 2315,25
  3. 48
  4. 0,4
  5. 1,5
  6. -3
  7. 4992
  8. -2,5
  9. 4736
  10. -3136
  11. 3
  12. 2
  13. -3136
  14. 2187

 





Метки ОГЭ. Смотреть запись.

www.itmathrepetitor.ru

Урок по алгебре в 9 классе «Геометрическая прогрессия»

Сообщение ученика

Задача-легенда

Выступает . и читает легенду о шахматах: «…Шахматная игра была придумана в Индии, и, когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен её остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.

Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

— Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, — сказал царь…

— Повелитель, — сказал Сета, — прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

— Простое пшеничное зерно? – изумился царь.

— Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, за шестую – 32…

— Довольно, — с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения доброты своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся. Покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.

За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унёс ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.

— Повелитель, — был ответ, — приказание твоё исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен…

Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение.

Царь приказал ввести его.

— Прежде чем скажешь о твоем деле, — объявил Шерам, — я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.

— Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час, — ответил старик. – Мы добросовестно исчислили всё количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико…

— Как бы велико оно ни было, — надменно перебил царь, житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана…

— Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания… »

infourok.ru

Прогрессии. Алгебра, 9 класс: уроки, тесты, задания.




Вход на портал



Вход на портал

Регистрация



Начало



Поиск по сайту



ТОПы



Учебные заведения



Предметы



Проверочные работы



Обновления



Подписка Я+



Новости



Переменка


Отправить отзыв



  • Предметы
  • Алгебра
  • 9 класс


  1. Числовые последовательности










  2. Арифметическая прогрессия










  3. Геометрическая прогрессия









Отправить отзыв

Нашёл ошибку?


Сообщи нам!

Copyright © 2018 ООО ЯКласс

Контакты


Пользовательское соглашение



www.yaklass.ru