Как корни возводить в степень – Как возвести корень в степень 🚩 корень третьей степени в квадрате 🚩 Математика

Содержание

Возведение в степень и извлечение корня в Excel

Для извлечения корня в Excel и возведения числа в степень используются встроенные функции и математические операторы. Рассмотрим на примерах.

Примеры функции КОРЕНЬ в Excel

Встроенная функция КОРЕНЬ возвращает положительное значение квадратного корня. В меню «Функции» она находится в категории «Математические».

Синтаксис функции: =КОРЕНЬ(число).

Единственный и обязательный аргумент представляет собой положительное число, для которого функция вычисляет квадратный корень. Если аргумент имеет отрицательное значение, Excel вернет ошибку #ЧИСЛО!.

В качестве аргумента можно указывать конкретное значение либо ссылку на ячейку с числовым значением.

Рассмотрим примеры.

Функция вернула квадратный корень числа 36. Аргумент – определенное значение.

Аргумент функции – ссылка на ячейку с положительным значением 36.

Функция вернула ошибку, т.к. аргумент – ссылка на ячейку с отрицательным значением.

Функция ABS возвращает абсолютное значение числа -36. Ее использование позволило избежать ошибки при извлечении квадратного корня из отрицательного числа.

Функция извлекла квадратный корень от суммы 13 и значения ячейки C1.

Функция возведения в степень в Excel

Синтаксис функции: =СТЕПЕНЬ(значение; число). Оба аргумента обязательные.

Значение – любое вещественное числовое значение. Число – показатель степени, в которую нужно возвести заданное значение.

Рассмотрим примеры.

В ячейке C2 – результат возведения числа 10 в квадрат.

В качестве основания указана ссылка на ячейку с положительным значением 10.

Аргументы функции – ссылки на ячейки с дробными значениями. Результат – число 86,5, возведенное в степень 1,3.

Функция вернула число 100, возведенное к ¾.

Возведение к степени с помощью оператора

Для возведения числа к степени в Excel, можно воспользоваться математическим оператором «^». Для его введения нажать Shift + 6 (с английской раскладкой клавиатуры).

Чтобы Excel воспринимал вводимую информацию как формулу, сначала ставится знак «=». Далее водится цифра, которую нужно возвести в степень. А после значка «^» – значение степени.

Вместо любого значения данной математической формулы можно использовать ссылки на ячейки с цифрами.

Это удобно, если нужно возвести множество значений.

Скопировав формулу на весь столбец, быстро получили результаты возведения чисел в столбце A в третью степень.

Извлечение корней n-й степени

КОРЕНЬ – это функция квадратного корня в Excel. А как извлекать корень 3-й, 4-й и иной степеней?

Вспомним один из математических законов: чтобы извлечь корень n-й степени, необходимо возвести число в степень 1/n.

Например, чтобы извлечь кубический корень, возводим число в степень 1/3.

Воспользуемся формулой для извлечения корней разных степеней в Excel.

Формула вернула значение кубического корня из числа 21. Для возведения в дробную степень использовали оператор «^».

Обратите внимание! Дробная степень пишется в скобках.

Выполнили ту же задачу, но с использованием функции СТЕПЕНЬ.

Извлекли корень девятой степени из значения ячейки h2.

Извлекли корень пятой степени из суммы числа 9 и значения ячейки h2.

Те же математические операции можно выполнить с помощью функции СТЕПЕНЬ:

Таким образом, возвести в степень и извлечь корень n-й степени в Excel можно с помощью одной функции.

Как написать число в степени

Для корректного отображения числа в степени при демонстрации файла или его печати, необходимо произвести ряд манипуляций:

Щелкаем по ячейке с числом правой кнопкой мыши. Выбираем «Формат ячеек» (или нажмите CTRL+1).
В открывшемся меню переходим на вкладку «Число». Задаем «Текстовый» формат. Текстовый формат для значения в ячейке можно также задать через панель инструментов («Главная» – «Число»). После установки текстового формата цифра в ячейке становится слева.
Рядом с цифрой вводим в ячейку значение со знаком «минус».
Выделяем только значение степени («-3»). Вызываем меню «Формат ячеек». Устанавливаем видоизменение «Надстрочный». И нажимаем ОК.

Получили корректное отображение числа 5 в -3 степени.

exceltable.com

Возведение в степень и извлечение корня — Мегаобучалка

Возможность представления комплексного числа в показательной форме позволяет возводить комплексное число в степень – целую или дробную.

Рассмотрим функцию , задав число в показательной форме: . Таким образом, при возведении комплексного числа в степень n получим новое комплексное число с модулем, равным модулю исходного числа в n-й степени и аргументом, равным аргументу исходного числа, умноженному на n.

При извлечении корня степени n также используем показательную форму записи комплексного числа, но при этом отметим, что уравнение при любой правой части имеет ровно n комплексных корней.

Действительно, если вместо взять при любом целом , то при возведении в степень n мы получим тот же результат, так как при любом целом значении справедливо равенство . Поскольку и при любом целом m – это одно и то же комплексное число, имеет смысл брать . Поэтому при извлечении корня из комплексного числа представим его в виде , где . Тогда , , то есть мы получим n различных корней, имеющих одинаковый модуль, но разные аргументы. Два корня с соседними значениями отличаются друг от друга аргументами, разность между которыми . Следовательно, все корни из одного и того же комплексного числа находятся на окружности с центром в нуле радиуса и представляют собой вершины правильного n-угольника, вписанного в эту окружность.

Заметим, что обобщением того свойства, что уравнение имеет ровно n комплексных корней, является знаменитая основная теорема алгебры

, в соответствии с которой любое уравнение n-й степени вида имеет ровно n корней в множестве комплексных чисел, правда в этом случае корни могут быть кратными (совпадать).

Показательная функция, тригонометрические функции

И обратные к ним

1. Показательная функция определена и однозначна во всей комплексной плоскости. Если комплексное число записать в показательной форме: , а комплексное число записать в алгебраической форме: , то согласно соотношению и формуле Эйлера получим .

2. Тригонометрические функции представляются с помощью показательной функции благодаря формуле Эйлера. Поскольку согласно формуле Эйлера , соответствующие функции комплексного переменного так и определяются: .

Обе эти функции определены и однозначны для всех точек комплексной плоскости.

Тангенс и котангенс комплексного переменного вводятся так же, как и для вещественного переменного: .

3. Функция, обратная к показательной, называется, как и в случае вещественного переменного, логарифмической функцией и обозначается . Она определена всюду в комплексной плоскости, кроме точки . Однако теперь это функция, имеющая бесконечное множество значений. Действительно, как уже было отмечено, для любого целого значения числа . Поэтому одному значению комплексного числа соответствует бесконечное множество значений , отличающихся на слагаемое . Представим число в показательной форме: , а число в алгебраической форме: . Тогда . То есть, , где логарифм положительной функции – известная со школьных времен однозначная функция вещественного переменного, . Для того, чтобы избавиться от неоднозначности логарифма, рассматривают функцию – однозначную ветвь логарифма, договариваясь, какие значения принимает мнимая часть функции. Заметим, что функцию комплексного переменного можно рассматривать только в такой области комплексной плоскости, где невозможно обойти вокруг точки , иначе функция перестанет быть однозначной.

Заметим, что теперь мы можем вычислять логарифм отрицательного числа. Например, .

4. Для того, чтобы вычислить обратную тригонометрическую функцию, следует решить соответствующее уравнение. Например, следует вычислить функцию, обратную к синусу . Запишем: . Теперь решим уравнение относительно . Имеем или . Это квадратное уравнение относительно , решим его: . Теперь . Очевидно, что раз в представлении арксинуса содержится бесконечнозначная функция , функция также бесконечнозначна.

megaobuchalka.ru

Как возвести корень в степень

Для быстрого решения примеров надо знать свойства корней и действия, которые можно с ними выполнять. Одна из промежуточных задач — возведение корня в степень. В результате пример преобразовывается в более простой, доступный для элементарных вычислений.

Инструкция

Задайте подкоренное число a>=0, из которого извлекают корень. Пусть для примера a=8. Также его называют числом, стоящим под знаком корня.
Запишите целое число n1. Его называют показателем корня. Если n=2, речь идет о квадратном корне из числа a. Если n=3, корень называют кубическим. Для примера можно взять n=6.
Выберите целое число k — степень, в которую надо возвести корень. Пусть k=2.
Сформулируйте получившийся для решения пример. В данном случае надо возвести в квадрат корень шестой степени из числа восемь.
Для решения задачи возведите в степень подкоренное число: 8²=64.
Сформулируйте получившуюся задачу: теперь надо извлечь корень шестой степени из числа 64.
Преобразуйте подкоренное выражение: 64=8*8, т.е. надо извлечь корень шестой степени из произведения двух сомножителей. Иначе можно записать так: корень шестой степени из числа восемь умножить на корень шестой степени из числа восемь. Еще один вариант записи: корень шестой степени из числа восемь в квадрате.
Преобразуйте еще одно использующееся в примере число: 6=3*2. Теперь квадрат — число два — есть и в подкоренном выражении, и в показателе степени. Поэтому их можно взаимно сократить, тогда пример прозвучит так: корень третьей степени из числа восемь. Кубический корень из восьми равен двум — это ответ.
Чтобы возвести корень в степень другим способом, после четвертого шага сразу преобразуйте n=6=3*2. Число два есть и в степени, и в показателе корня, поэтому на двойку можно сократить.
Запишите преобразованную задачу: найти корень третьей степени из числа восемь. С подкоренным выражением не пришлось ничего делать, потому что пример сразу упростился. Ответ задачи — два — кубический корень из восьмерки.

completerepair.ru

Дробная степень | Алгебра

Какими свойствами обладает степень с дробным показателем (дробная степень)? Как выполнить возведение числа в дробную степень?

Определение.

1) Степенью числа a (a>0) с рациональным показателем r

где m — целое число, n — натуральное число (n>1), называется число

2) При a=0 и r>0

В частности,

При a<0 степень с дробным показателем не определяется.

Все свойства степеней из курса алгебры 7 класса выполняются и для степеней с рациональными показателями.

Для упрощения вычислений при возведении числа в дробную степень удобно использовать таблицу степеней и следующее свойство корня:

Примеры.

Выполнить возведение в дробную степень:

Если показатель степени — десятичная дробь, нужно предварительно перевести ее в обыкновенную.

Смешанное число нужно предварительно перевести в неправильную дробь:

www.algebraclass.ru

Как возвести корень в степень

Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как возвести корень в степень» Как посчитать корень в пятой степени Как найти корни кубического уравнения Как найти квадратный корень из числа

Инструкция

Задайте подкоренное число a>=0, из которого извлекают корень. Пусть для примера a=8. Также его называют числом, стоящим под знаком корня.

Запишите целое число n1. Его называют показателем корня. Если n=2, речь идет о квадратном корне из числа a. Если n=3, корень называют кубическим. Для примера можно взять n=6.

Выберите целое число k — степень, в которую надо возвести корень. Пусть k=2.

Сформулируйте получившийся для решения пример. В данном случае надо возвести в квадрат корень шестой степени из числа восемь.

Для решения задачи возведите в степень подкоренное число: 8?=64.

Сформулируйте получившуюся задачу: теперь надо извлечь корень шестой степени из числа 64.

Преобразуйте подкоренное выражение: 64=8*8, т.е. надо извлечь корень шестой степени из произведения двух сомножителей. Иначе можно записать так: корень шестой степени из числа восемь умножить на корень шестой степени из числа восемь. Еще один вариант записи: корень шестой степени из числа восемь в квадрате.

Преобразуйте еще одно использующееся в примере число: 6=3*2. Теперь квадрат — число два — есть и в подкоренном выражении, и в показателе степени. Поэтому их можно взаимно сократить, тогда пример прозвучит так: корень третьей степени из числа восемь. Кубический корень из восьми равен двум — это ответ.

Чтобы возвести корень в степень другим способом, после четвертого шага сразу преобразуйте n=6=3*2. Число два есть и в степени, и в показателе корня, поэтому на двойку можно сократить.

Запишите преобразованную задачу: найти корень третьей степени из числа восемь. С подкоренным выражением не пришлось ничего делать, потому что пример сразу упростился. Ответ задачи — два — кубический корень из восьмерки. Как просто

masterotvetov.com

определение, виды, правила возведения в натуральную и дробную степень

Решение алгебраических выражений — один из самых распространенных видов задач в высшей математике. И, как это всегда бывает, успешный исход дела и верный ответ зависят от знания азов и умения применять их на практике. Одно из таких умений — это понимание алгоритма возведения чисел в разные виды степеней. Важно также уметь правильно перефразировать выражение, приводя ее в более понятный и простой вид, а также упросить. Особенное внимание в данном случае следует уделить дробной разновидности. О том, как правильно и успешно возводить в дробную степень — читайте далее.

Что означает возведение в степень

Прежде чем привести конкретные примеры, следует объяснить, что называют термином «возведение в степень». Вот подходящее определение. Возведением называют вычисление значения степени какого-либо числa. Поясним сказанное. Вычисление степенного значения числa «a» с показателем «r» — одно и то же, что и возведение числа a в r-степень.

К примеру, если стоит задача вычислить значение (0,4)^4, то это имеет другую такую же справедливую формулировку: «Возвести числo 0,4 в cтепень 4». После этого можно переходить напрямую к правилам, по которым осуществляется эта математическая операция.

Натуральная степень числа

По самому определению cтепeнь некого числa a с n — натуральным показателем — будет равна произведению из n множителей, каждый из которых, в свою очередь, равен числу a. Иначе говоря, чтобы возвести некое число a в n-cтепень, необходимо рассчитать произведение вида a*a…*a, поделенное на n. В связи с этим ясно, что возведение в n-степeнь (то есть натуральную) основывается на умении осуществлять умножение чисел, а как именно это следует делать, можно узнать, ознакомившись с разделом об умножении действительных чисел.

Опишем способы решения на некоторых примерах.

Пример 1. Задача Требуется выполнить возведение числa минус два в cтепень 4. Решение задачи. По понятию cтeпени числa с натуральным показателем, мы имеем следующее: (-2)^4 =(-2)*(-2)*(-2)*(-2). Все очень просто. Теперь остается только лишь произвести умножение целых чисел, получаем: (-2)*(-2)*(-2)*(-2) = 16. Записываем ответ: (-2)^4 = 16.
Пример 2. Определите значение степени: ( 3 2/7 )^2 (три целых две седьмых во второй cтепeни). Решение задачи. Вторая степeнь данного числа равна произведению следующего вида: три целых две седьмых, умноженное на три целых две седьмых. Теперь остаётся лишь вспомнить порядок выполнения умножения смешанных чисел, которые нужно закончить возведением в степeнь. Получаем следующий ответ: 10 39/49 (десять целых, тридцать девять сорок девятых).

Иррациональные числa

Что касаемо возведения иррациональных чисел в натуральную cтепень, то его следует проводить по окончании подготовительного округления основы cтепени до какого-либо разряда, который позволил бы извлечь значение с установленной cтепенью точности.

Пример:

К примеру, нам следует возвести в квадрат числo пи.
Если его предварительно округлить до сотых, то тогда мы получим 9,8596 (пи квадрат).
Если взять просто пи — 3,1415 — возведение в «квадрат» без округления даст следующее значение 9,8695877281.

Здесь следует отметить, что во многих задачах не требуется иррациональные чиcла возводить в степень. Как правило, ответ заносится или в виде самой cтепени, к примеру, (ln6)^3, либо, если есть возможность, проводят преобразование выражения: корень из пяти в cтепени 7 равен ста двадцати пяти корня из пяти.

Возведение числа в дробную степень

Это умение базируется на установлении степени с дробным показателем. Понятно, что под a понимается любое положительное чиcло, под m целое, а под n натуральное. Соответственно, нахождение дробной степени m/n числа a можно заменить 2-мя операциями: нахождением целой степени (о чем уже было сказано) и вычислением корня степени n.

На деле равенство на базе свойств корней, как правило, употребляется в следующем виде: а в дробной степени n/m, где n числитель, а m знаменатель. Иначе говоря, при возведении a в дробную cтепень m/n первоначально извлекается корень n-ой cтепени из a, после этого извлеченный результат возводится в степень m (в целую).

Разберем решение примеров возведения в дробную стeпень.

Пример. Вычислите значение 8 в отрицательную степeнь -2/3

Решение. Продемонстрируем 2 приема решения:

1-й прием. Опираясь на определение стeпени с дробным показателем, 8 в отрицательной степeни -2/3 равно корню в третьей cтепени из 8 в -2 cтепeни. Вычисляем значение cтeпeни под знаком корня, после этого исчисляем кубический корень через следующие выражения. Кубический корень из дроби 1\64 равен дроби: в числителе кубический корень из 1, в знаменателе кубический корень из 64 равно дроби в числителе — корень 3 cтeпeни из единицы в 3 cтeпeни, в знаменателе — корень третьей cтепени из 4 в 3 cтeпeни. Получаем 1\4.
2-й прием. Согласно определению степени с дробным показателем и на базе свойств корней, правомерны следующие равенства: 8 в -2\3 степени = куб. корню из 8 в -2 cтeпени = куб. корню из 8 в -2 cтeпени. Теперь следует извлечь и возвести в целую cтeпень. Получается, соответственно, 1\4.

Заметим, что дробный показатель возможно записать в виде смешанного числа или десятичной дроби.

Тогда его стоит заменить обыкновенной дробью, которая ему соответствует, после чего осуществлять возведение в стeпeнь.

В заключение, отдельно остановимся на возведении в 1-ую cтепень. В таком варианте достаточно иметь понятие, что число a в 1-ой cтепени в сущности и есть это само число a, то есть, а^1=а. Это представляет частный случай формулы при n равном 1. К примеру, (-9)^1= -9.

Видео

На примере этого видео вам будет проще разобраться, как упрощать степени с дробным показателем.

liveposts.ru

как корень возводить в степень

Помогите нам сделать больше… Здравствуйте! На нашем канале и официальном сайте www.videokursy.kz представлены…. как корень возводить в степень