График модуль y равен модуль x – постройте график y= x*2 если модуль x меньше или равен 1 1/х если модуль х больше… — Алгебра

Графики уравнений, содержащих знак модуля

Разделы: Математика


Цель:

  • закрепить методы построения графика линейной функции,
  • закрепить умение учащихся задавать уравнением функцию, заданную при помощи графика,
  • познакомить учащихся с тем, каким образом влияет знак модуля на отображение графика линейной функции

Оборудование: презентация (приложение 1)

Ход урока №1

При решении многих математических задач необходимо быстро и точно строить графики любых функций, изучаемых в школьном курсе алгебры. Т.к. на уроке предстоит много построений, начинаем, вспоминая, как строить график линейной функции y = kx + b на основе анализа углового коэффициента и коэффициента смещения (слайд 2)

Сопоставляем уравнения и графики (слайд 3):

 

Построим в тетрадях в одной системе координат графики функций (

y = —x; y = —x -4; y = -1/3 x – 2; y = 2x + 5; y = x + 1), проверяя себя при помощи слайда 4

Вспомним определение модуля числа x (слайд 5)

Рассматриваем, как можно построить график функции y = |x| на основании определения модуля, отбрасывая части прямых, не лежащих в полуплоскостях x < 0 и x> 0 (слайд 6)

Аналогично рассматриваем способ построения графика функции y = |x + 1| (слайд 7)

Сравнивая графики и уравнения функций (слайд 8-9),

делаем вывод о том, как можно построить график функции y = |x + a| — b смещением графика функции y = |x| (слайд 10-11)

Строим в тетрадях графики функций y = |x-3| + 3, y = |x – 3| — 2, y = |x+2| — 5, y = |x + 3| + 2 и проверяем себя при помощи слайда 12

Далее учащиеся должны на основе рисунка, представленного на слайде 13, задать функцию уравнением:

При построении графиков очень важно научить ребят анализировать область определения и множество значений функции и “переносить” указанные множества на координатную плоскость.

Заполняем таблицу (слайд 12):

  D(y) E (y)
y = |x|    
y = |x – 3|    
y = |x – 3| +2    
y = — |x|    
y = |x + 2| -5    
y = — |x +2| -5    

И рассматриваем, как множества значений можно определить на основе графиков (слайд 15)

Учащимся предлагается определить D (

y) и E(y) по рисунку (слайд 16):

 

Ученики самостоятельно придумывают уравнение функции по заданным D(y) и E(y) (слайд 17):

Анализируя графики и уравнения (слайд 18), ученики делают вывод о том, как влияет знак минуса перед модульными скобками на график. И самостоятельно задают уравнение по графикам, представленным на слайде 19.

Ход урока № 2

Устно проговариваем уравнения функций по графикам (слайд 20):

 

Аналогично схеме предыдущего урока (слайд 21-27) ученики знакомятся с тем, каким образом влияет коэффициент перед аргументом функции на график. В результате они должны научиться описывать уравнением следующие графики:

 

Для закрепления полученных знаний, в тетрадях в одной системе координат ребята строят следующие графики:

y = |0,5x| при -3 < x< 3;

y = 3 при -1 < x< 1;

y = -|x + 3| + 6 при -4 < x < -2;

y = -|x — 3| + 6 при 2 < x < 4;

y = |x + 3| + 4 при -4 < x < -2;

y = |x — 3| + 4 при 2 < x ? 4;

y = -|0,5x – 1,5| + 7 при -5 < x < -1;

y = -|0,5x + 1,5| + 7 при 1 < x < 5.

Проверяют себя по слайду 29:

Домашнее задание: придумать картину, состоящую из отрезков прямых, и описать ее при помощи уравнений функций.

Ход урока № 3

Построим графики функций y = |3x| — 3 и y = |3x – 3|. Как в каждом случае связаны y(x) и y(-x)?

Наличие условия y(x) = y(-x) означает симметрию относительно …?

Приведите примеры уравнений функции, графики которых будут симметричны относительно оси ординат

Если в модульные скобки заключается переменная y, то мы получаем условие |y| = |-y|. Какую симметрию задает это условие?

На слайде 34 последовательно рассматриваем цепочку построения графиков:

y = 3x – 3, |y| = 3x – 3, |y| = |3x| — 3, |y| = |3x – 3| путем преобразований симметрии.

Выводим и запоминаем три правила:

 

Распределите, к какому типу из трех (y = f(|x|, |y| = f(x), y = |f(x)|), можно отнести каждое уравнение:

|y| = 2 – x, y = |3x — 4|, |x| + |y| = 2, |y| = 3x – 4, y = |3|x| — 4|, y = |3x| — 4, |y| = |3|x| — 4|, |y| = |3x – 4|.

Проверяем себя (слайд 35)

Строим последовательную цепочку графиков (тонкими линиями в тетрадях):

1) y = 3x – 4, y = |3x – 4|, y = |3|x| - 4|, |y

| = |3|x| — 4|

2) y = 3x – 4, y = 3|x| — 4, y = |3|x| — 4|

Рассматриваем способ построения графика соответствия |x| + |y| = 2.

Самостоятельно строим график |x| — |y| = 2 и проверяем себя по слайду 39.

Домашнее задание: придумать пять уравнений соответствий с модулем, в которых встречаются все случаи, рассмотренные на уроке, и построить графики.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Уравнения с модулями. Графический метод

Простыми уравнения с модулями называем уравнения вида

|x|=5; |x-3|=2; ||2x-1|-5|=3; |1-x|=4

в которых переменная входит однократно и линейно.

Решать модульные уравнения можно как с помощью метода раскрытия модулей так и графически. В данной статье большое внимание будет уделено именно графическому методу раскрытия модулей. Для этого постепенно будет раскрыта суть преобразований с модулями. Таким образом удается решить множество тестовых задач в которых требуется найти количество решений уравнения с модулем.
Для наглядности приведем график модуль функции y=|x| ( «галочки»)

Далее представим смещение графика модуль функции по оси Ox, например y=|x-7|. Такая запись означает что функция равна нулю когда дужка равна нулю
x-7=0; –> x=7.
Так что «галочка» переносится вправо на 7.

Если подмодульную функцию умножить на (-1) то график функции не изменится |7-x|=|x-7|.
Если в модуле имеем суммирование |x+5| то смещение графика модуль функции выполняем в сторону отрицательных переменных

Самое интересное в вычислениях происходит когда имеем уравнение вида модуль в модуле
||x|-6|, ||x|+3|
Тогда выполняем перенос графика внутреннего модуля по оси вниз или вверх и симметричное отображение значений, которые идут ниже оси Oх вверх.

Следующая функция это модуль поднят вверх на три.

Далее, если в задании спрашивают «Какое количество корней уравнения ||x|-6|=2?» то необходимо провести лишь линию y=2 и подсчитать количество точек пересечения с графиком модуль функции

Уравнение имеет 4 решения. Лучше решать графически уравнение с модулями на листке в клеточку, есть лучшая привязка к квадратикам. Задача в каждом из случаев сводится к смещению, отображения и параллельному переносу графика модуль функции |x|. Решим несколько примеров чтоб Вы понимали насколько эффективная методика графического раскрытия модулей.

 

Пример 1. Найти корни уравнения ||x-2|-5|=3.
Решение: Имеем задания типа модуль от модуля. Выполняем построение первого (внутреннего) модуля

Далее параллельно переносим линии вниз на 5, чтобы получить график функции y=|x-2|-5

Следующим шагом отражаем все что находится ниже оси абсцисс. Это и будет искомая модуль функция y=||x-2|-5|. Также выполняем построение прямой у=3

Нетрудно определить по рисунку что решениями уравнения с модулями будут значения

x=-6; x=0;x=4; x=10.
На этом пример выполнен. Далее будет меньше детализации, однако суть алгоритма графического построения Вам будет понятен.

 

Пример 2. Найти количество корней следующего уравнения с модулем |||x+1|-3|-5|=2.
Решение: Имеем уравнения с двумя вложенными модулями. График первого вложенного модуля получим смещением в отрицательную сторону оси абсцисс модуль функции на единицу. Далее параллельно переносим полученный график вниз на 3 и отразим относительно оси Ox все минусовые y. Полученный график снова опускаем вниз, на этот раз на 5 клеток и симметрично отражаем все что находится ниже оси Ox. Выполняем построение правой стороны уравнения – прямой y=2.
В результате у Вас должен получиться похожий конечный график модуль функции

Из построения видим, что имеем пять точек пересечения прямой с модуль-функцией, а следовательно и 5 корней уравнения. Вот и все решения примера с модулями. Классическое раскрытие модулей для этого примера занимает очень много времени и существует вероятность неправильного решения уравнения. Преимущество графического метода по времени решения видна невооружённым глазом.

 

Пример 3. При каком значении параметра a уравнение с модулем ||x-4|-2|=a-3 имеет три, четыре корня?
Решение: Выполняем построение модулей, которые находятся в левой части уравнения

Из построения видим, если правая сторона уравнения с модулями равна 2 то имеем три точки пересечения. Если от 0 до 2 не учитывая краев – 4 корни уравнения. Отсюда получим уравнение для определеения параметра

a-3=2; – > a=5.

и неровности

a-3>0; a>3;
a-3< 2; a < 5 .

В итоге: уравнение имеет 3 корня когда параметр равен a=5
и 4 корня если параметр принадлежит интервалу a=(3..5).

В подобных примерах надо быть очень внимательными так как часто именно вопрос ставится так, чтобы помочь Вам или наоборот «навредить». Например: «Сколько положительных корней имеет уравнение с модулями?», «Найдите сумму решений уравнения», «Найдите наибольшее целое значение параметра» и тому подобные. Поэтому вдумчиво читайте что от Вас требуют, а уже потом приступайте к вычислениям.

Похожие материалы:

yukhym.com

Построение графиков функций, содержащих знак модуля

Разделы: Математика


Цель урока: получение более широких знаний о модуле числа, различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

Задачи урока: использование различных методов исследования: теоретический и практический (решение задач), а так же исследовательский, расширение познавательного интереса к изучению алгебры, углубление знаний по теории модуля и решение задач, выходящих за пределы школьных учебников.

Оборудование: мультимедийное оборудование, компьютер, классная доска, планшет, творческие тетради, копировальная бумага.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Вступительное слово учителя.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово, которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

В архитектуре — это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике — это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и т.п.

Модуль объемного сжатия (в физике) — отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

3. Повторение

Чтобы глубоко изучать данную тему, нужно вспомнить простейшие определения, которые нам будут необходимы. Вопросы:

  1. Что называется уравнением? (Уравнение – это равенство, содержащее переменные.)
  2. Что называется уравнением с модулем? (Уравнение с модулем – это уравнение, содержащее переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Привести пример уравнения с модулем, используя планшет.)
  3. Что значит решить уравнение? (Решить уравнение – это значит, найти все его корни, или доказать, что корней нет. Привести пример уравнения, используя планшет).
  4. Используя планшет, изобразить график функции y=x, y=-x, y=x+2, y=2x.

В математике модуль имеет несколько значений, но сегодня мы поработаем с одним из них.

Модуль — абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой. Любое число можно изобразить точкой на координатной прямой. Расстояние этой точкой от начала отсчёта на этой прямой равно положительному числу или нулю, если точка совпадает с началом отсчёта числовой прямой. Вопросы:

1. Что называется модулем данного числа? (Расстояние точки, изображающей данное число на числовой прямой от начала этой прямой, называется модулем данного числа.)

2. Как обозначается модуль? (Модуль некоторого числа а обозначается |а| .)

Геометрический смысл модуля удобно использовать при решении некоторых уравнений.

Работа у доски.

Решим уравнение |х-6| = 9. Если число 6 мы изобразим точкой А (рисунок 1), то по определению модуля следует, что точка х стоит от точки А на 9 единиц. Но на числовой прямой таких точек две. Одна имеет координату х = 6 + 9 = 15, а вторая имеет координату

х = 6-9 = -3.

Следовательно, данное уравнение имеет два решения: х = 15 и х = -3.

Объяснение нового материала.

Теоремы, доказательства, следствия.

При решении уравнений, содержащих несколько выражений со знаком модуля, удобнее пользоваться алгебраическим определением модуля.

Определение. Модуль числа а или абсолютная величина числа а равна а, если а больше или равно нулю и равна , если а меньше нуля:

Из определения следует, что для любого действительного числа а, |а|≥0.

4. Объяснение нового материала.

Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа а≠0 равна большему из двух чисел а или -а.

Доказательство:

1. Если число а положительно, то отрицательно, т. е. -а < 0 < а. Отсюда следует, что -а < а. Например, число 7 положительно, тогда -7 — отрицательно и -7< 0 < 7 отсюда -7 < 7. В этом случае |а| = а, т. е. |а| совпадает с большим из двух чисел а и — а.

2. Если а отрицательно, тогда положительно и а < — а, т. е. большим числом является . По определению, в этом случае, |а| = — снова, равно большему из двух чисел и а.

Следствие 1. Из теоремы следует, что |-а| = |а|.

В самом деле, как |-а|, так и |а| равны большему из чисел и а, а значит, равны между собой

Следствие 2. Для любого действительного числа а справедливы неравенства а≤|а|, -а≤|а|.

Умножая второе равенство -а≤|а|, на -1 (при этом знак неравенства изменится на противоположный), мы получим следующие неравенства: а≤|а|, а≥-|а|, справедливые для любого действительного числа а. Объединяя последние два неравенства в одно, получаем:

-|а|≤а≤|а|.

Работа у доски.

Решим уравнение |2х-12|+|6х+48|=160. Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащего знак модуля: 2х-12=0, х=6; 6х+48=0, х= -8.

Найденные значения х разбивают числовую прямую на три промежутка: х<-8, 8≤ х <6, х≥6 (рисунок 2).

Решение этого уравнения рассматривается в каждом промежутке отдельно.

В промежутке х<-8 оба выражения, стоящие под знаком модуля, отрицательны. Поэтому в этом промежутке при записи уравнения без знаков модуля знаки этих выражений меняем на противоположные. Получим уравнение –(2х-12) –(6х+48)=160. откуда х=-24,5. Это значение принадлежит рассматриваемому промежутку. Значит, оно является решением данного уравнения.

Во втором промежутке 8≤х<6 первое выражение отрицательно, а второе положительно. Следовательно, в этом промежутке уравнение запишется так:

-(2х-12)-(6х+48)=160. Откуда х=25 не принадлежит к промежутку.

В третьем промежутке х≥6 оба выражения положительны. Следовательно, в этом промежутке уравнение запишется так:

(2х-12)+(6х+48)=160. Откуда х=15.8. Значит, решением данного уравнения будут значения х =-24,5 и х=15,8

Для построения графиков функций, содержащих выражения под знаком модуля, как и при решении уравнений, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки. График строят в каждом промежутке отдельно.

В простейшем случае, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет слагаемых без знака модуля, можно построить график функции, опустив знак модуля, и затем часть графика, расположенную в области отрицательных значений у, отобразить симметрично относительно оси Ох. Это вытекает из определения модуля числа.

Функция у= |х|.

Рассмотрим график функции у=|х|, где |х| означает абсолютную величину, или модуль, числа х.

Построим её график, пользуясь определением абсолютной величины. При положительных х имеем |х|=х, т. Е. этот график совпадает с графиком у=х и является лучом, проходящим через начало координат под углом 45° к оси абсцисс. При х<0 имеем |х|=-х, значит, для отрицательных х график у=|х| совпадает с биссектрисой второго координатного угла.

Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных значений х) легко получить из первой, если заметить, что функция у=|х| четная, так как |-a|=|a|. Значит, график этой функции симметричен относительно оси Оу, и вторую половину графика можно получит, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных значений (рисунок 3).

Рассмотрим функция у=-|х|.

График функции у=-|х| получается симметричным отображением графика

у= |х| относительно оси х (рисунок 4).

Функции у=|х|+2, у=|х|-2

Этот график легко построить непосредственно. Однако мы его получим из графика у=|х|. Составим таблицу значений функций у=|х|+2 и сравним её с такой же таблицей, составленной для у=|х|, выписав эти таблицы рядом. Ясно, что из каждой точки первого графика у=|х| можно получить точку второго графика у=|х|+2, увеличив |х| на единицу. Значит, чтобы получить точки второго графика, надо каждую точку первого сдвинуть на 2 вверх, т.е. второй график получается из первого сдвигом вверх на 2.

Сравним этот график с графиком у=|х|. Если х=а, у=|а| — точка первого графика, то точка х=а, у=|а|-1 будет лежать на втором графике. Поэтому каждая точка (|а|, |а|-1) второго графика может быть получена точки (а, |а|) первого графика сдвигом вниз на 2 единицы, и весь график получается, если у=|х| сдвинуть вниз на 2 единицы (рисунок 5).

Функции у=|х+2|, у=|х+2|

График этой функции мы тоже можем получить из графика у=|х|. Напишем опять рядом две таблицы: для у=|х| и для у=|х+2|. Если сравнивать значения этих функций при одинаковых х, то окажется, что для некоторых х ордината первого графика больше, чем для второго, а для некоторых наоборот.

Однако, если внимательно посмотреть на правые столбцы этих двух таблиц, связь между таблицами можно установить. Именно вторая функция принимает те же самые значения, что и первая, только принимает их на две единицы раньше, при меньших значениях. Значит, из каждой точки первого графика у=|х| получается точка второго графика у=|х|+2, сдвинутая на 2 влево; например из точки (-2, 2) получается точка с координатами (-3, 2). Поэтому и весь график у=|х|+2, получится, если сдвинуть график у=|х| на 2 влево вдоль оси абсцисс (рисунок 6).

Функция у=а|х|

График функции у=а|х| получается растяжением графика у=|х| вдоль оси у в а раз при а>1 и сжатием вдоль этой оси в 1 раз при 0<а<1 (рисунок 7).

Функция у=||х-2|-3|

  1. Строим график функции у=|х|.
  2. Строим график функции у=|х-2|.
  3. Строим график функции у=|х-2|-3.
  4. Применяем к графику у=|х-2|-3 операцию «модуль» (рисунок 8).

Функции у=|2х-4|+|6+3х|. Находим корни каждого выражения, стоявшего под знаком модуля: 2х – 4 = 0; 6 + 3х = 0, х = -2. В результате ось Ох разбиваем на три промежутка. В каждом промежутке выражение, стоящее перед знаком модуля, имеет определенный знак. Опускаем знаки модуля, берём выражение в каждом промежутке с соответствующим знаком:

  1. х<-2, у = -(2х-4)-(6+3х)=-5х-2;
  2. –2≤ х < 2, у= —( 2х-4)+(6+3х)=х+10;
  3. х≥ 2, у = 2х-4+6+3х = 5х+2

Получим в каждом промежутке выражение функции без знака модуля. Строим график функции в промежутке. При правильном построении в области определения график должен представлять непрерывную линию (рисунок 9).

5. Итог урока.

Использую копировальную бумагу по вариантам построить график функции: у=|х-4|+2 (у=|х+4|-2).

6. Домашнее задание.

В творческой тетради составить функции, содержащие знак модуля, и построить их графики.

Литература.

  1. Детская энциклопедия. М., «Педагогика», 1990.
  2. Глейзер Г. И. История математики в школе. М. «Просвещение», 1982.
  3. Дынкин Е.Б., Молчанова С.А. Математические задачи. М., «Наука», 1993.
  4. Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах. М., «Просвещение», 1987.
  5. Талочкин П.Б. Неравенства и уравнения. М., «Просвещение», 1989.
  6. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. Издательство Московского университета, 1974.

Приложение

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Графики функций с модулем



Муниципальное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа

городского округа город Буй Костромской области

Графики функций

с модулем

Работу выполнила:

Торопова И.В. учитель математики

2004 г.


В курсе математики основной и средней школы незначительное место отводится построению графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля. И поэтому учащиеся испытывают определённые затруднения при их построении.

Впервые с модулем числа учащиеся встречаются в курсе математики 6 класса, и больше не упоминается о нем до 9 класса, и немного заданий на построение графиков таких функций встречается в курсе алгебры и начала анализа 10 класса.

Поэтому, я считаю, что формировать навыки построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля, можно начинать с учащимися 7 – 8 классов, проявляющими интерес к изучению математики на занятиях математического кружка или факультатива.

В 7 классе после изучения тем «Линейная функция» и « Прямая пропорциональность» стоит попробовать построить график функции y = |2х|.

Учащиеся уже хорошо умеют строить графики прямой пропорциональности и предварительно надо построить график функции

y = 2х, затем вспомнить с учащимися определение модуля числа и попросить их составить таблицу значений для функции y = |2х| (значения переменной х необходимо взять как положительные так и отрицательные), затем отметить полученные точки на координатной плоскости, соединить их и сравнить полученные графики, ответив на следующие вопросы:

а) Какие значения принимает функция y = |2х| при х≥0, х

б) чем сходны графики функций y = 2х и y = |2х|, чем различаются?

в) Можно ли получить график функции из графика функции y = 2х?
y = 2х y = |2х|


х

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-6

-4

-2

0

2

4

6

х

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

6

4

2

0

2

4

6

Учащиеся заметят, что для построения графика функции y = |2х| можно построить график функции y = 2х, затем оставить без изменения часть графика при х≥0, а часть графика расположенную ниже оси х ( при х

Таких заданий можно подобрать много, а способные учащиеся вполне могут построить графики следующих функций: y = |х + 1|, y = |2х + 1|, используя выводы, полученные при построении графика функции y = |2х|.
y = | х + 1| y = |2х + 1|

В 8 классе учащиеся знакомятся с графиком обратной пропорциональности и продолжая формировать умения строить графики, сильным учащимся стоит

построить графики функций типа y = и y = , опираясь на знания, полученные при построении графиков функций, содержащих модуль

в 7 классе.


y = y =


В курсе алгебры 9 класса при изучении темы «Функция. Область определения и область значения функции» ребята знакомятся с графиком функции y = |х| , её областью определения и областью значения. Но заданий в учебнике под редакцией С.А. Теляковского с использованием функции

y = |х| нет, кроме №17 и то предлагаемого на дом. А вот в дидактических материалах для 9 класса авторов Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюка,

Л.М. Коротковой предлагаются задания из второго блока, способствующие развитию учащихся в алгоритмическом и логическом плане.

С-8 «График квадратичной функции»

Задание №6

Постройте график функции: а) y = |х| — 3 ; б) y = |х +3| .

y = |х| — 3 y = |х +3|

При построении данных графиков функций можно воспользоваться знаниями, полученными при преобразовании графиков функций y =aх2+n c одной стороны , т. е. график функции y = |х| — 3 можно получить из графика

y = |х| с помощью параллельного переноса вдоль оси Оy на три единицы масштаба вниз, а график функции y = |х +3| из графика функции y = |х| с помощью параллельного переноса вдоль оси Ох на три единицы масштаба влево. Затем сильных учащихся попросить сделать вывод о построении графиков функций вида y = |х| + n ; y = |х — m|.

n>0
y = |х — m| y = |х| + n


m

n

m>0

А с другой стороны (возможно учащиеся и этот способ вспомнят, который чаще всего и используется) построить график функции y = |х — m| можно из графика функции y = х – m , оставив без изменения все части графика, которые лежат выше оси абсцисс, а части расположенные ниже её отобразить симметрично.

С-14 «Графический способ решения систем уравнений» предлагается задание №5, также из второго блока.

Решите графически систему уравнений:

а) y =х2 – 3

y = |х|
Ответ: (≈ -2,3; ≈2,3) (≈ 2,3; ≈2,3)

Учащиеся легко с этим заданием справляются, поэтому можно предложить

ёще ряд аналогичных заданий.

Задание: Изобразив схематически графики, выясните, имеет ли решение система уравнений и если имеет, то сколько:

а) y = х2 – 3 б) y = х2 – 3 в) y = х2 – 3 г) y = х2 – 3 д) y = х2 – 3

y = |х| — 3 y = -|х| y = 4 — |х| y = -|х| — 3 y =-|х| — 4

(3 решения) (2 решения) (2 решения) (1 решение) (нет решения)

Решение.

а)


Отработав навыки построения графика квадратичной функции сильные учащиеся могут попробовать построить графики следующих функций:

а) y = |х2— 1|

Для построения достаточно сначала построить график функции y = х2— 1 , а на интервале (-1; 1) часть графика отобразить симметрично относительно оси абсцисс, остальную часть оставить без изменения.

Аналогичных заданий можно

подобрать достаточно много,

но после их выполнения необходимо

с учащимися сделать вывод о

построении графиков функций

вида y = |f(х)|.

Здесь же надо рассмотреть построение графиков функций вида y = f(|х|). т.е. графики функций содержащие модуль аргумента.

б) y = После его построения учащиеся заметят,

что данный график получается из графика

функции y =путем симметрии относительно уже оси Оy . Необходимо еще раз обратить внимание учащихся, что под знаком модуля находится аргумент и вновь сделать выводы.
в) y = х2 — 6|х| + 4


Некоторые учащиеся заметят, что под знаком модуля стоит аргумент, учитывая что х2 =|х|2, тогда достаточно будет построить график функции для х≥0, а затем полученную кривую отобразить относительно оси у.


И закончить рассмотрение графиков функций в 9 классе, аналитическое выражение которых содержит знак модуля построением графиков вида

y = |f(|х|)|.

Предложить учащимся построить графики следующих функций:

а) y = |х| ; б) y = |х| — 1; в) y = | |х| — 1|.

Задания а) и б) легко учащиеся выполнят, но их выполнение должно натолкнуть их на мысль, что построение графика функции под в) следует выполнять поэтапно: строим график функции y = |х|, затем выполнить параллельный перенос вдоль оси Оу на одну единицу масштаба вниз и наконец, часть графика расположенного под осью Ох симметрично отобразить относительно её.

а) б) в)


Тренировочные упражнения:


а) y = | |2х|-3 | б) y = | 3|х| + 1| в) y =| х2 — 4|х| + 3 |

г) y = |х| + х д) y = 2|х| + х е) y =+ 3


Вывод: Для построения графика функции y = |f(|х|)| надо построить график функции y = f(|х|), далее оставить без изменения все части построенного графика, которые лежат выше оси абсцисс, а части, расположенные ниже её, отобразить симметрично относительно этой оси.

Такая работа с графиками закрепит знания учащихся о модуле числа и даст неплохие навыки для их построения.

В 10-11 классах эту работу следует продолжить, т.к. учащиеся основательно знакомятся со свойствами функций и их исследованием.

В 10 классе большое место отводится изучению тригонометрических функций и, конечно же, их графикам. Здесь можно такие задания:


1. Построить графики функций у = cos|x| и у = |cosx|.

Решение.


а)у = cos|x|, cos|x| = cosx, т.к. cos x = cos(-x). Следовательно, график данной функции тот же, что и график функции у = cosx;
б) у=- |cosx|, при cos x ≥ 0 у = cos x. Следовательно, на участке, где
cos x ≥ 0, график будет тот же, что и график функции у = cosx. При cos x у = — cosx. Следовательно, части графика функции у = cos x, расположенные
ниже оси абсцисс, зеркально отобразятся и будут расположены в верхней
полуплоскости.

2. Построить графики функций у = sin[x| и у = |sin x |.


Решение.

Чтобы построить график у = sin|x|, надо построить сначала график

у = sin х при х > 0, а затем построить кривую, симметричную с построенным графи­ком относительно оси ординат.

3. Построить график функции у = sin х + |sin х |.

4. Построить график функции у =tg|x|.

Решение.


Функция чётная, так как tg|-x| = tg|x|. При х > 0 график искомой функции тот же, что и график функции у = tg x.

5. Построить график функции у = |tgx|.


Решение.

Часть графика функции у = tgx, расположенную в верхней полуплоско­сти, оставить без изменений, а часть графика, расположенную в нижней полуплоскости, зеркально отобразить относительно оси ОХ.

В теме «Функции и их графики» при изучении нового материала и говоря о преобразовании графиков вновь вспомнить и о графиках функции у = |f(х)| и y = f(|х|):

а) график у = |f(х)| функции получается из графика функции у = f(х) сле­дующим образом: часть графика у = f(х), лежащая над осью Ох, сохраняет­ся, часть его, лежащая под осью Ох, отображается симметрично относи­тельно оси Ох:

б) график функции y = f(|х|) получается из графика функции у = f(х) так: при х≥0 график у = f(х) сохраняется, а при х 0 полученная часть графика отображается симметрично относительно оси Oу:


На следующем уроке рассмотреть построение нескольких таких графиков функций.

а) построить графики функций:

б) построить график функции у = |х-1| + |х+3|.

Решение.

Находим значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль: х — 1 = 0 или х + 3 = 0;

х= 1 или х = -3.

1) при х = -х+ 1-х-3 =-2х-2; у = -2х-2;

2) при -3= -х+ 1 +х + 3 = 4; у = 4;

3) при х>1, у = х-1+х + 3=2х + 2; у= 2х + 2.


В теме «Исследование функций» в учебнике «Алгебра и начала анализа» для учащихся 10-11 классов Колмогорова А.Н. включены функции, содержащие знак модуля, но таких заданий всего два — это №99(а, в), №55(а).


В качестве дополнительного задания на исследования тригонометрических функций сильным учащимся предложить построить график функции

у = 2 – sin| х+|

Решение.

1 способ. Строим график функции у = —sin|х|

Ось ординат переносим на +, а ось абсцисс — на -2.

2 способ. График имеет две ветви, уравнения которых различны.

1) если х+≥ 0, то есть х≥-, то у = 2 – sin( х+).

2) если х+0, то есть х, то у = 2 – sin( -(х+))= 2+ sin( х+).

Область определения функции — вся числовая прямая.

Область значения функции определим из условия -1≤– sin| х+|≤1

-1+2≤ у 1+2

1≤ у ≤3

Общая точка обеих ветвей графика: х= -; у=- sin| 0|+2=2: точка (-; 2).

Можно учащимся, конечно, предложить построить и исследовать графики таких функций, как у= arcsin| x| , у= arcsin| x-1|, у=arccos| x|, у= arctg| x|, но с этим заданием справятся только сильные учащиеся или проявляющие интерес к данной теме.

И закончить построение таких графиков функций в 11 классе рассмотрением графиков показательной и логарифмической функций типа:


у = 2| x| у =| log аx |

График функции у = 2x при х≥0 Строим график функции у = log аx.

И его зеркальное отображение На интервале (0;1) у = log аx 0

относительно оси Оу дадут в (кривая расположена под осью Ох)

совокупности график заданной эта часть графика функции симмет

функции. рично отобразится относительно

оси Ох, а остальная часть останется

без изменения.

у = 2| x-1| у = log | x ||у = |log | x ||

Литература
1. Афанасьева Т.Л., Тапилина Л.А. Алгебра 10 класс (поурочные планы).- Волгоград . -2002. С.13-45.

2. Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И. Графики функций: Справочник. –Киев: Наукова думка. -1979. — С.100-107.


3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 класса средней школы. – М.: Просвещение, 1990. – С. 47-54.
4. Макарычев Ю.Н. и др. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2000. – С. 10-19. 0>

www.megdu.ru

«модуль»

Тема:

Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули.

                                                                                                       

Содержание:

1.Введение………………………………………………………….4

2.Понятия и определения………………………………………….4

3.Доказательство теорем…………………………………………..5

4.Способы решение уравнений, содержащих модуль……………6

4.1.Решение при помощи зависимостей между числами a и b, их модулями и квадратами…………………………………………………………12

4.2.Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений…………………………………………………………..14

4.3.Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины…………………………………………………………..15

4.4.Решение нестандартных уравнений , ………….16

5.Заключение……………………………………………………….22

6.Список использованной литературы……………………………23

                                   1. Введение:

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово(омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании  и других точных науках.

В архитектуре -это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного  архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике -это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и .т.п.

Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

                                ^

Чтобы глубоко изучать данную тему, необходимо познакомиться с простейшими определениями, которые мне будут необходимы:

Уравнение-это равенство, содержащее переменные.

Уравнение с модулем -это уравнение, содержащие переменную под знаком абсолютной величины(под знаком модуля).Например: |x|=1

Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.

В математике модуль имеет несколько значений, но в моей исследовательской работе я возьму лишь одно:

  Модуль -абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета   до точки на числовой прямой.

                  ^

Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна  a, если a больше или равно нулю и равна -a, если a меньше нуля:

Из определения следует, что для любого действительного числа a ,

Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа  равна большему из двух чисел a или –a

Доказательство.

1. Если число a положительно, то -a отрицательно, т. е. -a

Например, число 5 положительно, тогда -5 — отрицательно и -5

В этом случае |a| = a, т. е. |a| совпадает с большим из двух чисел a и — a.

2. Если a отрицательно, тогда -a положительно и a

Следствие 1. Из теоремы следует, что |-a| = |a|.

В самом деле, как , так и  равны большему из чисел -a и a, а значит равны между собой.

Следствие 2. Для любого действительного числа a справедливы неравенства

Умножая второе равенство  на -1 (при этом знак неравенства изменится на противоположный), мы получим следующие неравенства:   справедливые для любого действительного числа a. Объединяя последние два неравенства в одно, получаем:

Теорема 2. Абсолютная величина любого действительного числа a равна арифметическому квадратному корню из  

В самом деле, если  то, по определению модуля числа, будем иметь  .  С другой стороны, при   значит |a| =

Если a  и в этом случае |a| =

Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять |a| на

Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета.

Если  то на координатной прямой существует две точки a и -a, равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если a = 0, то на координатной прямой |a| изображается точкой 0 (см. рис.)

                                       

Рис4.

^

Для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа. Мы решим несколько примеров одним и тем же способом и посмотрим, какой из способов окажется проще для решения уравнений, содержащих модуль.

Пример 1. Решим аналитически и графически уравнение |x — 2| = 3.

Решение.

А) Аналитическое решение

^

Рассуждать будем, исходя из определения модуля. Если выражение, находящееся под модулем

неотрицательно, т. е. x — 2  0, тогда оно «выйдет» из под знака модуля со знаком «плюс» и уравнение примет вид: x — 2 = 3. Если значения выражения под знаком модуля отрицательно, тогда, по определению, оно будет равно:  или x — 2=-3

Таким образом, получаем, либо x — 2 = 3, либо x — 2 = -3. Решая полученные уравнения, находим:  

Ответ:

Теперь можно сделать вывод: если модуль некоторого выражения равен действительному положительному числу a, тогда выражение под модулем равно либо  a, либо .

Б)Графическое решение

      Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль, является графический способ. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций. В случае, если графики пересекутся, точки пересечений данных графиков будут являться корнями нашего уравнения. В случае, если графики не пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет. Этот способ, вероятно, реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными.

Другой способ решения уравнений, содержащих модуль- это способ разбиения числовой прямой на промежутки. В этом случае нам нужно разбить числовую прямую так, что по определению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будет снять. Затем, для каждого из промежутков мы должны будем решить данное уравнение и сделать вывод, относительно получившихся корней (удовлетворяют они нашему промежутку или нет). Корни, удовлетворяющие промежутки и дадут окончательный ответ.

                                                                   

       ^

Установим, при каких значениях x, модуль равен нулю:

Получим два промежутка, на каждом из которых решим уравнение (см. рис. 9):

Рис. 9

Получим две смешанных системы:

(1)                 (2)

Решим каждую систему:

(1)   (удовлетворяет              данному промежутку)

(2)

Ответ:

А)Графическое решение

Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций  и

Для построения графика функции , построим график функции  — это прямая, пересекающая ось OX  в точке (2; 0), а ось OY  в точке  а затем часть прямой, лежащую ниже оси OX зеркально отразить в оси OX.

Графиком функции  является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку (0; 3) на оси OY (см. рис. 10).

Рис. 10

Абсциссы точек пересечения графиков функций дадут решения уравнения.

Прямая графика функции y=3 пересеклась с графиком функции y=|x – 2| в точках с координатами (-1; 3) и  (5; 3), следовательно, решениями уравнения будут абсциссы точек:

x=-1, x=5

Ответ:

Пример 2. Решим аналитически и графически уравнение 1+ |x| = 0.5.

                     Решение:

А)Аналитическое решение

Преобразуем уравнение: 1 + |x| = 0.5

                                                 |x| =0.5-1

                                                 |x|=-0.5

 Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как, по определению, модуль всегда неотрицателен.

Ответ: решений нет.

Б)Графическое решение

Преобразуем уравнение: 1 + |x| = 0.5

                                                   |x| =0.5-1

                                                 |x|=-0.5

Графиком функции  являются лучи — биссектрисы 1-го и 2-го координатных углов. Графиком функции  является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку -0,5 на оси OY.

Рис. 11

Графики не пересекаются, значит, уравнение не имеет решений (см. рис. 11).

Ответ: нет решений.

Пример 3. Решите аналитически и графически уравнение |-x + 2| = 2x + 1.

                        Решение:

А)Аналитическое решение

^

Прежде следует установить область допустимых значений переменной. Возникает естественный вопрос, почему в предыдущих примерах не было необходимости делать этого, а сейчас она возникла.

Дело в том, что в этом примере в левой части уравнения модуль некоторого выражения, а в правой части не число, а выражение с переменной, — именно это важное обстоятельство отличает данный пример от предыдущих.

Поскольку в левой части — модуль, а в правой части, выражение, содержащее переменную, необходимо потребовать, чтобы это выражение было неотрицательным, т. е.  Таким образом , область допустимых

значений модуля

Теперь можно рассуждать также , как и в примере 1, когда в правой части равенства находилось положительной число. Получим две смешанных системы:

(1)  и    (2)

Решим каждую систему:

(1)  входит в промежуток  и является корнем уравнения.

 (2)   x = -3  не входит в промежуток  и не является корнем уравнения.

Ответ:

^

Установим, при каких значениях x  модуль в левой части уравнения обращается в нуль:

Получим два промежутка, на каждом из которых решим данное уравнение (см. рис. 12):

Рис. 12

В результате будем иметь совокупность смешанных систем:

 

Решая полученные системы, находим:

(1)    входит в промежуток 


 является корнем уравнения.

(2)  не входит в промежуток и  x=-3 не является корнем уравнения

Ответ:

 

^

Помимо приведенных мною выше способов существует определенная равносильность, между числами и модулями данных чисел, а также между квадратами и модулями данных чисел:

  |a|=|b|          Û a=b или a=-b

                   

   a2=b2                  Û a=b или a=-b                                        (1)

Отсюда в свою очередь получим, что

  |a|=|b|          Û a2=b2

                                                                                (2)

Пример 4. Решим уравнение |x + 1|=|2x – 5| двумя различными способами.

1.Учитывая соотношение (1), получим:

  x + 1=2x – 5             или              x + 1=-2x + 5

x – 2x=-5 – 1                                x + 2x=5 – 1

       -x=-6|(:1)                                     3x=4

        x=6                                               x=11/3

Корень первого уравнения x=6, корень второго уравнения x=11/3


Таким образом корни исходного уравнения x1=6, x2=11/3

2. В силу соотношения (2), получим

(x + 1)2=(2x – 5)2,      или       x2 + 2x + 1=4x2 – 20x + 25

                          x2– 4x2 +2x+1 + 20x – 25=0

                                           -3x2 + 22x – 24=0|(:-1)

                                            3x2 – 22x + 24=0

D/4=121-3 ´ 24=121 – 72=49>0 уравнение имеет 2 различных корня.

x1=(11 – 7 )/3=11/3

x2=(11 + 7 )/3=6

Как показывает решение, корнями данного уравнения также являются числа 11/3 и 6

Ответ: x1=6, x2=11/3

Пример 5. Решим уравнение (2x + 3)2= ( x – 1)2.

Учитывая соотношение (2), получим, что |2x + 3|=|x – 1|, откуда по образцу предыдущего примера (и по соотношению (1)):

2х + 3=х – 1                           или                          2х + 3=-х + 1

2х – х=-1 – 3                                                           2х+ х=1 – 3

         х=-4                                                                       х=-0,(6)

Таким образом корнями уравнения являются х1=-4, и х2=-0,(6)

ответ: х1=-4, х2=0,(6)

Пример 6. Решим уравнение |x – 6|=|x2 – 5x + 9|

Пользуясь соотношением (1), получим:

х – 6=х2 – 5х + 9                          или              х – 6 = -(х2 – 5х + 9)

2+ 5х + х – 6 – 9=0 |(-1)                                x – 6=-x2 + 5x — 9

x2 — 6x + 15=0                                                   x2 – 4x + 3=0

                                                                              

D=36 – 4 * 15=36 – 60= -24 0

Þ корней нет.      

                                                                         x1=(4- 2 )  /2=1

                                                                         x2=(4 + 2 )  /2=3     

Проверка: |1 – 6|=|12 – 5 * 1 + 9|                |3 – 6|=|32 – 5 * 3  + 9|

                         5 = 5(И)                                     3 = |9 – 15 + 9|

                                                                            3 = 3(И)

Ответ: x1=1; x2=3

^

Геометрический смысл модуля разности величин -это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |x – a | -длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами а и х . Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений.

Пример 7. Решим уравнение |x – 1|  + |x – 2|=1 с использованием геометрической интерпретации модуля.

Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки абсцисс х до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка [1; 2] обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка- нет. Отсюда ответ: множеством решений уравнения является отрезок [1; 2].

Ответ: [1; 2]

Пример8.  Решим уравнение |x – 1| — |x – 2|=1 1 с использованием геометрической интерпретации модуля.

Будем рассуждать аналогично предыдущему примеру, при этом получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Следовательно ,решением данного уравнения будет являться не отрезок, заключенный между точками 1 и 2, а луч, выходящий из точки 2, и направленный в положительном направлении оси ОХ.

Ответ: [2; +¥)

Обобщением вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные переходы:

   |x – a| + |x – b|=b – a, где b >a   Û       a

           |x – a| — |x – b|=b – a, где b > a   Û       x

^

Под простейшими функциями понимают алгебраическую сумму модулей линейных выражений. Сформулируем утверждение, позволяющее строить графики таких функций, не раскрывая модули ( что особенно важно, когда модулей достаточно много ): «Алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет собой кусочно — линейную функцию, график которой состоит из n +1 прямолинейного отрезка. Тогда график может быть построен по n +2 точкам, n из которых представляют собой корни внутри модульных выражений, ещё одна произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней и последняя с абсциссой, большей большего из корней.

Например:

1)f(x)=|x — 1| Вычисляя функции в точках 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двух отрезков(рис.1)

2) f(x)=|x — 1| + |x – 2| Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1, 2, 0 и 3, получаем график, состоящий из двух отрезков прямых.(рис.2)

3) f(x)=|x — 1| + |x – 2| + |x – 3| Для построения графика вычислим значения функции в точках 1, 2, 3, 0 и 4 (рис.3)

4) f(x)=|x — 1| — |x – 2| График разности строится аналогично графику суммы, т.е. по точкам 1, 2, 0 и 3.

рис1.                             рис2.                          рис3.                         рис4.

^

Пример9. Решить уравнение 3| x + 2 | + x2 + 6x + 2 = 0.

                                                            Решение. 

Рассмотрим два случая.

Ответ: (– 4; – 1).

Пример10. Решить уравнение | 4 – x | + | (x – 1)(x – 3) | = 1.

 

                                             Решение.

Учитывая, что | 4 – x | = | x – 4 |, рассмотрим четыре случая.

2)

 

3) 

4) 

4) 

Ответ: 3.

      Графический способ.

Построим графики функций y = |(x–1)(x–3)| и y=1–|x–4 |

1)в Гy = |(x–1)(x–3)| подставим значение х=1 и х=3. Мы получим у=0,

тоесть пересечение графика с осью ОХ. При х равном нулю у=3, тоесть график пересекается с осью ОУ в точке (0 ;3). И при х=4 у также равен 3- мы получили первый график.

2) y=1–|x–4 | Найдем пересечение с осью ОХ, для этого решим простое уравнение: 1-|x-4|=0

                       |x-4|=1

                       x — 4=1                    или         x — 4=-1

                            x=5                                         x=3

Следовательно, данный график пересекает ось ОХ в точках 5 и 3.

При х=4 у=1 и ак видно из графика: графики обеих функций пересекаются в одной точке 3

 

Ответ: 3

Пример11. Решить уравнение | x2 + 3x | = 2(x + 1).

                                               

                                               Решение.

 Уравнение равносильно системе

Ответ:

Пример12.Решить уравнение х2 — 4х +|x — 3| +3=0

Для освобождения от знака абсолютной величины разобьем числовую прямую на две области и будем искать решения исходного уравнения в каждой из этих областей отдельно:

          

__________x ³3__________________|____________x

                                                              

|x – 3|=x – 3                                                 |x – 3|=-x + 3

x2 — 4x + x – 3 + 3=0                                   x2 – 4x – x + 3 + 3=0

x2 – 3x=0                                                     x2 – 5x + 6=0

x(x – 3)       

x1=0 или x2=3                                            D=25 – 4  * 6=1> 0 два различ. корня

x=0 –посторонний корень, так как         x1= (5- 1 )/2 =2

не удовлетворяет промежутку.               x2=(5 + 1)/2=3

                                                  

                                                                   x=3 — посторонний корень, так как                    

                                                                    не удовлетворяет промежутку.

Значит, исходное уравнение имеет два решения х1=2 и х2=3

Ответ:  х1=2,  х2=3

                                 

Пример13. Решить уравнение | 2x + 8 | – | x – 5 | = 12.

                                                    

                                                    Решение. 

Раскрытие пары модулей приводит к трем случаям (без x + 4

Ответ: {– 25; 3}.

   Пример  14. Решить уравнение . 

                                                   Решение:

Напишем равносильную смешанную систему:

                               

Ответ: х=-4

   Пример 15. Решить графически уравнение |1 – x| — |2x + 3| + x + 4=0

                        Решение:

Представим уравнение в виде |1 – x| — |2x + 3| =-х – 4

Построим два графика у=|1 – x| — |2x + 3| и у = -х – 4

1) у=|1 – x| — |2x + 3|

Критические точки: х=1, х=-1.5

(1 – х)    ________+________|______ +____________|_____-______ >

(2х +3)                   —            -1.5            +                       1         +

а) х0 и (2х + 3)

у = х + 4 –графиком является прямая , проходящая через две точки (0; 4), (-4; 0)

б) При -1.5 0 и (2x +3) >0, т.е функция примет вид

у=1 – х – 2х -3, у=-3х – 2 –графиком является прямая проходящая через две точки (0; -2), (-1; 1).

в)При х >1, (1 – х) 0, т.е. функция примет вид у = -1 + х – 2х – 3,

у = -х – 4 –графиком является прямая, проходящая через две точки (0; -4),

(-4; 0).

График функции у = — х – 4 совпадает с графиком у=|1 – x | — |2x + 3|, при х >1,

Поэтому решением являются все х >1 и х = -4

Ответ: х >1,х= -4

                                Аналитическое решение.

y=|1 – x| — |2x + 3|

y=-x – 4

Построим числовую прямую так, чтобы по определению модуля знак абсолютной величины числа можно будет снять. Для этого найдем критические точки: 1- х=0   и     2х – 3 =0,         

                                       х=1                  х=-1,5                                                                 

___________х

|1 – x|=1 – x                          |1 – x|=1 – x                      |1 – x|=-1 + x

|2x + 3|=-2x – 3                    |2x + 3|=2x + 3               |2x + 3|=2x + 3

 1 – x + 2x + 3 + x + 4=0   1–x – 2x – 3 + x +4=0   -1+x–2x–3+ x+ 4=0

          2x=-8                           -2x=-2                                  0x=0

     x=-4                                   x=1       x –любое ч.                       

Объеденив данные промежутки, получим, что решением данного уравнения являются: x=-4  и   x >1                                  

Ответ: x=-4,  x >1                  

5. Заключение.

И в заключении я хотела бы сказать, что для изучения материала  исследовательская работа подходит лучше всего , надо выйти за рамки того материала, который предоставляет нам учебник 10-го класса.

         

 6.Список использованной литературы.

1.Уравнения и неравенства – Башмаков М. И.

2.Задачи всесоюзных математических олимпиад-Васильев Н.Б., Егоров А.А.

3.Задачи вступительных экзаменов по математике- Нестеренко Ю.В.,

Олехник С.Н., Потапов М.К.0>

do.gendocs.ru

Построение графиков функций содержащих модуль? 14

Содержание

Стр.

Введение. 2

1Модуль в математике. 3

2.Графики с модулем. 4

2.1. y=f (|x|)………………………………………. 4

2.2. y=|f (x)|………………………………………. 5

2.3. y=|f (|x|)|……………………………………… 6-7

2.4. |y|=|f (x)|………………………………………. 8

3.Примеры построения.

I…………………………………………… 9

II………………………………………….. 10

III…………………………………………. 11

IV…………………………………………. 12

V………………………………………….. 13

3.6.Вывод………………………………… 14

4.Для чего нужно изучать

построение графиков функций, содержащих модуль? 14

5. Решение уравнений графическим способом.

I…………………………………………… 15

II………………………………………….. 16

III…………………………………………. 17

Заключение. 18

Список литературы. 19

Введение.

С понятием модуль мы познакомились в пятом классе и на протяжении долгих лет продолжаем встречаться с ним. Построение графиков функций, содержащих модуль, не входит в школьную программу. Именно по этому я решила подробно ознакомиться с модулем в графиках функций.

Моя цель: научиться строить графики функций, содержащих модуль, построить множество подобных графиков и понять алгоритм их построения. Узнать, для чего нужно уметь строить графики с модулем.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово, которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

В архитектуре модуль-это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

Модуль в технике — это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и. т.п.

Модуль объемного сжатия (в физике) — отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

1. Модуль в математике:

Модулем рационального числа α называют расстояние (в единичных отрезках) от начала отсчета до точки координатной прямой, соответствующей этому числу: А (α).

α, если α≥0;

|α|= -α, если α<0.

|α|≥0 – модуль числа не отрицателен.

Модуль вектора — это длина вектора и обозначается символом |AB|.

2. Графики с модулем.

Модуль встречается нам в уравнениях и выражениях, в неравенствах и в функциях. Особое внимание я уделяю графикам функций, содержащих модуль потому, что очень интересно строить график и видеть, как он изменяется.

Существует разное расположение модуля в функциях. Рассмотрим некоторые из них:

2.1. y=f (|x|)

І способ. Собственный алгоритм построения:

y=f (|x|) – четная.

По определению модуля получим:

f (x), если x≥0;

y=f (|x|)=

f (-x), если x<0.

a) построить график y=f (x).

b) «стереть» график y=f (x) на промежутке, в котором x<0.

c) построить график y=f (-x).

d) «стереть» график y=f (-x) на промежутке, в котором x≥0.

Полученный график и есть y=f (|x|).

Указание: графики строить на одной координатной плоскости.

2.2. y=|f (x)|

І способ. Собственный алгоритм построения:

По определению модуля получим:

f (x), если f (x)≥0;

y=|f (x)|=

-f (x), если f (x)<0.

a) построить график y=f (x).

b) «стереть» график y=f (x) на промежутке, в котором f (x)<0.

c) построить график y=-f (x).

d) «стереть» график y=-f (x) на промежутке, в котором f (x)≥0.

Полученный график и есть y=|f (x)|.

Указание: графики строить на одной координатной плоскости.

ІІ способ. По определению:

f (x), если f (x)≥0;

y=|f (x)|=

-f (x), если f (x)<0.

a) построить график y=f (x).

Построив множество таких графиков, я пришла к выводу, что модуль отражает симметрично относительно оси ОХ, ту часть графика функции, которая лежит ниже оси ОХ, в верхнюю полуплоскость.

b) отобразим часть графика y=f (x), лежащую ниже оси ОХ, в верхнюю полуплоскость.

c) «стереть» часть графика y=f (x), лежащую ниже оси ОХ.

Полученный график и есть y=|f (x)|.

2.3. y=|f (|x|)|

І способ. Собственный алгоритм построения:

По определению модуля получим:

f (x), если f (x)≥0;

|f (x)|=

-f (x), если f (x)<0;

y=|f (|x|)|=

f (-x), если f (-x)≥0;

|f (-x)|=

-f (-x), если f (-x)<0.

a) построить график y=f (x).

b) «стереть» график y=f (x) на промежутке, в котором f (x)<0.

c) построить график y=-f (x).

d) «стереть» график y=-f (x) на промежутке, в котором f (x)≥0.

e) построить график y=f (-x).

f) «стереть» график y=f (-x) на промежутке, в котором f (-x)<0.

g) построить график y=-f (-x).

h) «стереть» график y=-f (-x) на промежутке, в котором f (-x)≥0.

Полученный график и есть y=|f (|x|)|.

Указание: графики строить на одной координатной плоскости

ІІ способ. По определению:

f (x), если x≥0;

y=f (|x|)=

f (-x), если x<0.

Для построения графика y=|f (|x|)| нужно:

a) построить график y=f (x).

b) «стереть» график y=f (x) на промежутке, в котором x<0.

с) Участки полученного графика, лежащие ниже оси ОХ, отразить в верхнюю полуплоскость.

Построив множество таких графиков, я пришла к выводу, что модуль отразит построенную часть графика симметрично относительно оси ОУ.

Полученный график и есть y=|f (|x|)|.

Указание: графики строить на одной координатной плоскости.

2.4. |y|=|f (x)|

І способ. Собственный алгоритм построения:

Заметим, что функция |y|=|f (x)| — нечетная, имеем:

f (x), если f (x)≥0;

|f (x)|=

-f (x), если f (x)<0.

y, если y≥0;

|y|=

-y, если y<0.

Получили: y= f (x) равную ей –y=-f (x) и

-y= f (x) равную ей y=-f (x).

Тогда:

  1. построить график y= f (x)

  2. построить график y= -f (x)

Полученный график и есть |y|=|f (x)|.

Указание: графики строить на одной координатной плоскости

ІІ способ. По определению:

a) построить график y=|f (x)|.

b) отразить полученный график относительно оси ОХ в нижнюю полуплоскость.

3. Примеры построения:

І. y=x2­2|x|­3 способ «по алгоритму»

х, если х≥0;

|х|= -х, если х<0.

1.если х≥0, то y=x2-2x-3 – квадратичная функция, график парабола,

ветви направлены вверх,D(y)=R,

вершина (1;-4).

(синий график)

2.если х<0, то y=x2+2x-3 — квадратичная функция, график парабола,

ветви направлены вверх,D(y)=R,

вершина (-1;-4).

(зеленый график)

ІІ. y=|x2­2x­3| способ «по алгоритму»

x2­2x­3 , если x2­2x­3 ≥0;

1. | x2­2x­3|=

-x2+2x+3, если x2­2x­3 <0.

X2­2x­3 ≥0, пусть h≥0, тогда найдем нули h:

x2­2x­3=0

по теореме Виета:

x1x2=-3 x1=-1;

x1+x2=2 x2=3.

а)x€(-∞;-1]٧[3;+∞), то y=x2­2x­3– квадратичная функция, график

парабола,

ветви направлены вверх,D(y)=R,

вершина (1;-4).

(синий график)

b) x€(-1;3), то y=-x2+2x+3 — квадратичная функция, график парабола,

ветви направлены вниз,D(y)=R,

вершина (1;4).

(зеленый график)

ІІІ. |y|=|xІ­2|x|­3| Способ «по определению»

1.построить график y=xІ­2|x|­3 (пример І)

(синий график)

2. построить график y=|xІ­2|x|­3|, т.е.модуль отразит симметрично относительно оси ОХ, ту часть графика y=xІ­2|x|­3, которая лежит ниже оси ОХ, в верхнюю полуплоскость.

(синий график)

4.построить график |y|=|xІ­2|x|­3|,т.е. модуль отразит график y=|xІ­2|x|­3| в нижнюю полуплоскость.

(зеленый график)

IV. |y|=xІ­2x­3 способ «по алгоритму»

y, если y≥0;

|y|= -y, если y<0.

1.построить график y=x2­2x­3 – квадратичная функция,

график парабола,

ветви направлены вверх,D(y)=R,

вершина (1;-4).

(синий график)

2.оставить график y=xІ­2x­3 только на тех промежутках, где y≥0.

3.построить график -y=xІ­2x­3,для этого преобразуем его, умножив две части на-1. Получим:

y=-x2+2x+3 — квадратичная функция, график парабола,

ветви направлены вниз,D(y)=R,

вершина (1;4).

(зеленый график)

4. оставить график y=-xІ+2x+3 только на тех промежутках, где y<0.

V. y=|xІ­x|­2 способ «по алгоритму»

x2­x , если x2­x≥0;

1. | x2­x|=

-x2+x, если x2­x<0.

x2­x≥0, пусть h≥0, тогда найдем нули h:

x2­x=0

x(x-1)=0

x=0 или x=1

2.Построить график y=xІ­x­2 на промежутке x€(-∞;0]٧[1;+∞),

y=x2­x­2– квадратичная функция, график парабола,

ветви направлены вверх,D(y)=R,

вершина (0,5;-2,25).

(синий график)

3. Построить график y=-xІ+x+2 на промежутке x€(0;1)

y=-x2+x-2– квадратичная функция, график парабола,

ветви направлены вниз,D(y)=R,

вершина (0,5;-1,25).

(зеленый график)

3.6.Вывод:

Каждый выбирает свой способ построения графиков функций, содержащих модуль. По моему мнению удобней строить такие графики способом «по определению». Этим способом графики строятся очень быстро, но для этого необходимы навыки в работе.

Для некоторых графиков удобен способ «по алгоритму», при таком построении нет опасности запутаться.

4.Для чего нужно изучать

построение графиков функций, содержащих модуль?

Решать уравнения можно не только аналитическим способом, но и графическим способом.

Графический способ: Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций. В случае, если графики пересекутся, точки пересечений данных графиков будут являться корнями нашего уравнения. В случае, если графики не пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет. Этот способ, вероятно, реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными.

Другой способ решения уравнений, содержащих модуль — это способ разбиения числовой прямой на промежутки. В этом случае нам нужно разбить числовую прямую так, что по определению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будет снять. Затем, для каждого из промежутков мы должны будем решить данное уравнение и сделать вывод, относительно получившихся корней (удовлетворяют они нашему промежутку или нет). Корни, удовлетворяющие промежутки и дадут окончательный ответ.

5.решение уравнений графическим способом.

І. Решим графически уравнение |x­2|=3

Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функцийy=|x -2| и у=3.

Для построения графика функции у =|x — 2|, построим график функции у =| х — 2| — это прямая, пересекающая ось ОХ в точке (2; О), а ось ОУ в точке (о; — 2), а затем часть прямой, лежащую ниже оси ОХ зеркально отразить в оси ОХ.

Графиком функции у = 3 является прямая, параллельная оси ОХ и проходящая через точку (о; 3) на оси ОУ.

Абсциссы точек пересечения графиков функций дадут решения уравнения.

Прямая графика функции у=3 пересеклась с графиком функции y=|x — 2| в точках с координатами (-1; 3) и (5; 3), следовательно решениями уравнения будут абсциссы точек: х= — l, х=5.

Ответ: Х 1= -1, Х2 = 5.

ІІ. Решить графически уравнение |1-x|-|2x+3|+x+4=0

1.Представим уравнение в виде |1-x|-|2x+3|=-x-4

2.Построим график y=|1-x|-|2x+3|

Узловые точки: x=1,x=-1,5.

(1-x)

(2x+3)

а) При x<-1,5, (1-x)>0 и (2x+3)<0,т.е. функция примет вид

y=1- x+2x+3,

y=x+4 – графиком является прямая, проходящая через две точки

(0;4), (-4;0).

б) При -1,5≤x<1, (1-x)>0 и (2x+3)>0, т.е. функция примет вид

y=1-x-2x-3, y=-3x-2 – графиком является прямая, проходящая

через две точки (0;-2), (-1;1).

в) При x≥1, (1-x)≤0 и (2x+3)>0, т.е. функция примет вид

y=-1+x-2x-3, y=-x-4 – графиком является прямая, проходящая

через две точки (0;-4), (-4;0).

График функции y=-x-4 совпадает с графиком y=|1-x|-|2x+3|,

при x≥1, поэтому решением являются все x≥1 и x=-4.

Ответ: x≥1 и x=-4.

Нестандартное уравнение:

ІІІ. Решим графически уравнение |4-x|+|(x-1)(x-3)|=1.

  1. Представим уравнение в виде |(x-1)(x-3)|=1-|4-x|.

2. Построим график y=|(x-1)(x-3| и y=1-|x-4|.

а) В графике y=|(x-1)(x-3| раскроем внутренние скобки получим:

y=|x2-4x+3|- квадратичная функция.

Построим этот график «по определению».

Пересечение графика с осью ОХ. При x=0 y=3,

т.е. график пересекается с осью ОУ в точке (0;3). И при x=4 y=3

мы получили первый график.

б) Построим график y=1-|x-4| «по алгоритму»,

Построив, увидим, что данный график пересекает ось ОХ в точках 5 и 3.

При x=4, y=1 и как видно из графика обеих функций пересекаются в одной точке (3;0).

Ответ: (3;0).

Заключение

Разобравшись с построением графиков функций, содержащих модуль, самостоятельно, я убедилась:

  1. как интересно строить такие графики;

  2. приобрела навык в этом деле;

  3. увидела, какие удивительные и красивые бывают графики.

4.я научилась применять построение графиков в решении

сложных уравнений.

В дальнейшем, когда круг знаний функций расширится, я рассмотрю, как изменяет модуль графики. Надеюсь, это будет ещё интересней и увлекательней.

Список литературы

1.К.Вельскер, Л.Лепманн. Учебник математики Х класса.

2.М.И.Башмаков. уравнения и неравенства.

3.Д.И. Аверьянов, П.И. Алтынов, И.И. Баврин и др. Большой справочник Математики для школьников и поступающих в вузы.

textarchive.ru