Функция виды – Функция и её свойства. Способы задания функции. Виды функций и их свойства

Виды функций

Постоянная функция. Эта функция задана формулой  у = b, где b – некоторое число. Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0; b) на оси ординат. Графиком функции у = 0 является ось абсцисс.

Прямая пропорциональность. Эта функция задана формулой у = kx, где коэффициент пропорциональности k ≠ 0. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. 

Линейная функция. Такая функция задана формулой у = kx + b, где k и b – действительные числа. Графиком линейной функции является прямая.

Графики линейных функций могут пересекаться или быть параллельными.

Так, прямые графиков линейных функций у = k1x + b1 и у = k2x + b2 пересекаются, если k1 ≠ k2; если же k1 = k2, то прямые параллельны.

Обратная пропорциональность – это функция, которая задана формулой у = k/x, где k ≠ 0. K называется коэффициентом обратной пропорциональности. Графиком обратной пропорциональности является гипербола.

Функция у = х2 представлена графиком, получившим название парабола: на промежутке [-~; 0] функция убывает, на промежутке [0; ~] функция возрастает.

Функция у = х3 возрастает на всей числовой прямой и графически представлена кубической параболой.

Степенная функция с натуральным показателем. Эта функция задана формулой у = хn, где n – натуральное число. Графики степенной функции с натуральным показателем зависят от n. Например, если n = 1, то графиком будет прямая (у = х), если n = 2, то графиком будет парабола и т.д.

Степенная функция с целым отрицательным показателем представлена формулой у = хn, где n – натуральное число. Данная функция определена при всех х ≠ 0. График функции также зависит от показателя степени n.

Функция у = ˅х. Такая функция имеет смысл при х  > или = 0. Функция у = ˅х отличается тем, что она не является ни четной, ни нечетной.

Степенная функция с положительным дробным показателем. Эта функция представлена формулой у = хr, где r – положительная несократимая дробь. Данная функция также не является ни четной, ни нечетной.

Закрепим изученный материал.

Задание 1.

Построим график функции у = х2.

Решение.

Для этого выберем несколько значений х и найдем соответствующие им значения у.

1.Если х = 0, то у = 0.

2. Если х = 1, то у = 1.

3. Если х = 3, то у = 9.

4. Если х = 5, то у = 25.

5. Если х = -1, то у = 1.

6. Если х = -3, то у = 9.

7. Если х = -5, то у = 25 и т.д.

Следовательно, наши «опорные» точки имеют координаты (0; 0), (1; 1), (3; 9), (5; 25), (-1; 1) и т.д.

Ответ: нашим графиком будет парабола.

Задание 2.

Построим график функции у = х3.

Решение.

Для этого выберем несколько значений х и найдем им соответствующие значения у.

1.Если х = 0, то у = 0.

2. Если х = 1, то у = 1.

3. Если х = 2, то у = 8.

4. Если х = 3, то у = 27.

5. Если х = -1, то у = -1.

6. Если х = -2, то у = -8.

7. Если х = -3, то у = -27 и т.д.

Следовательно, наши «опорные» точки имеют координаты (0; 0), (1; 1), (2; 8), (3; 27), (-1; -1) и т.д.

Ответ: нашим графиком будет кубическая парабола.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Виды функций

БГЭУ 2006

лекции по высшей математике для студентов I курса

 

ст. преподавателя, к. физ.-мат.н. Поддубной О.H.

бесконечно много корней y , то в общем случае неявная функция является

многозначной.

Разрешая уравнение x2 + y2 −1= 0 из примера 1 относительноy получаем

две явных однозначных функции: y = 1− x2 иy = − 1− x2 , графики которых

представляют собой верхнюю и нижнюю полуокружности.

Уравнение Кеплера элементарными средствами не может быть разрешено относительно y . В таком случае функциюy приходится изучать, пользуясь

непосредственно уравнением (9.3), определяющим эту функцию.

Функция называется параметрически заданной, если она описывается множеством точек (x,y ), где

x = x(t)

t [a,b] ,t называется параметром. (9.4)

y = y(t)

x = cost

Пример 4.t [0,2π]–параметрическоезадание окружности с центом

y = sint

в начале координат и единичным радиусом. Действительно, возводя обе части каждого уравнения совокупности в квадрат и складывая полученные

результаты, получаем x2 + y2 =1.

Пусть f : X →Y , g :Y → Z . Композицией функций

f ,g называется

функция, обозначаемая g D f :X → Z и определяемая как

 

def

(9.5)

(g D f )(x)= g(f (x))

Правая часть в (9.5) показывает, что значение композиции в точке x вычисляется в результате последовательного действия сначалаf , а затем на

полученный результат функции g .

Пример 5. Пустьf :\ → \ иf (x)= sinx ,g :\ → \ иg(x)= x2 , тогда

(g D f )(x)= (sinx)2 , а (f D g)(x)= sinx2 .

Попутно доказано, что композиция функций не является операцией

коммутативной.

 

 

y = xα ,

 

 

y = ax (a> 0) ,

Функции:

степенная

показательная

логарифмическая

 

y = loga x (a > 0,a ≠1) ,

тригонометрические

y = sinx,y = cosx,

y = tgx,

y = ctgx

и

обратные

тригонометрические

y = arcsin x, y= arccos x,

y = arctgx,

y = arcctgx , постоянные

y = c называются

основными элементарными функциями.

Всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и

В литературе термин «композиция функций» часто встречается под названием «суперпозиция функций» или «сложная функция»

studfiles.net

Виды функций и их графики



Поиск Лекций




Понятие функции

Зависимость одной переменной у от другой х, при которой каждому значению переменной х из определенного множества D соответствует единственное значение переменной у, называется функцией.

Общий вид функции: у = f(х),

где х – независимая переменная (аргумент), у – зависимая переменная (функция).

Область определения функции D(f)— множество, на котором задаётся функция. Другими словами: множество значений, которые может принимать аргумент.

Область значений функции E(f)— множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция.

График функции – множество точек на координатной плоскости, координатами которых являются пары чисел (х; у), где х – значение аргумента, у – соответствующее ему значение функции.

Нули функции – значения аргумента, при которых функция равна 0.

Виды функций и их графики

ü Линейная функция y = kx + m

График функции – прямая.

Коэффициент k отвечает за угол наклона (k>0 – угол острый, k<0 – угол тупой, k=0 – горизонтальная прямая), m – за сдвиг графика вверх-вниз (m>0 – вверх, m<0 – вниз).

у = kx – частный случай линейной функции при m=0.

В этом случае график функции обязательно проходит через начало координат.

Свойства функции y = kx + m

1) D(f) = (-∞; +∞)

2) Возрастает, если k > 0; убывает, если k < 0

3) Не ограничена ни снизу, ни сверху

4) Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений

5) E(f) = (-∞; +∞)

ü Функция y = kx² (k ≠ 0)График функции – парабола.

Свойства функции y = kx² Если k > 0

1) D(f) = (-∞; +∞)

2) Убывает на луче (-∞; 0], возрастает на луче [0; +∞)

3) Ограничена снизу, не ограничена сверху

4)

y наим = 0, у наиб не существует

5) Непрерывна

6) E(f) = [0; +∞)

Если k < 0

1)

D(f) = (-∞; +∞)

2) Возрастает на луче (-∞; 0], убывает на луче [0; +∞)

3) Не ограничена снизу, ограничена сверху

4) y наим не существует, у наиб = 0

5) Непрерывна

6) E(f) = (-∞; 0]

ü Квадратичная функция y = ax² + bx + c

График функции – парабола, у которой:

® вершинарасполагается в точке (x0; y0), где x0 = , y0 = f(x0)

® ветви, направлены вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0

® прямая х = х0 является осью симметрии параболы.

Число с – ордината точки пересечения параболы с осью Оу.

Свойства функции y = ax² + bx + c

Если а > 0

1) D(f) = (-∞; +∞)

2)

Убывает на луче (-∞; — ], возрастает на луче [- ; +∞)

3) Ограничена снизу, не ограничена сверху

4) y наим = 0, у наиб не существует



5) Непрерывна

6) E(f) = [y0; +∞)

Если а > 0

1)

D(f) = (-∞; +∞)

2) Возрастает на луче (-∞; — ], убывает на луче [- ; +∞)

3) Не ограничена снизу, ограничена сверху

4) yнаим не существует, унаиб = 0

5) Непрерывна

6) E(f) = (-∞; y0]

ü

Функция обратной пропорциональности y =

График функции – гипербола.

Свойства функции y =

1) D(f) = (-∞; 0) (0; +∞)

2) Если k > 0, то функция убывает на промежутке (-∞; 0) (0; +∞)


Если k < 0, то функция возрастает на промежутке (-∞; 0) (0; +∞)

3) Не ограничена ни снизу, ни сверху

4) Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений

5) Функция непрерывна на открытом луче (-∞; 0) и на открытом луче (0; +∞)

6) E(f) = (-∞; 0) (0; +∞)

ü Функция y =

График функции – ветвь параболы, перевернутая «набок».

Свойства функции y =

1) D(f) = [0; +∞)

2) Возрастает

3) Ограничена снизу, не ограничена сверху

4) y наим = 0, у наиб не существует

5) Непрерывна

6) E(f) = [0; +∞)

ü Функция y =

График функции – объединение двух лучей: y = x, x ≥ 0 и y = -x, x ≤ 0

Свойства функции y =

1) D(f) = (-∞; +∞)

2) Убывает на луче (-∞; 0], возрастает на луче [0; +∞)

3) Ограничена снизу, не ограничена сверху

4) y наим = 0, у наиб не существует

5) Непрерывна

6) E(f) = [0; +∞)

 

y = xⁿ (n = 3, 5, 7, 9…)

График функции – кубическая парабола (при n=3)

Свойства функции

1)

D(f) = (-∞; +∞)

2) Возрастает

3) Не ограничена ни снизу, ни сверху

4) Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений

5) Непрерывна

6) E(f) = (-∞; +∞)

Преобразования графика функции y = f(x)

1) y = f(x) + a

Сдвиг вверх на а единиц, если a > 0

Cдвиг вниз, если a < 0

2) y = f(x + a)

Сдвиг влево на а единиц, если a > 0

Сдвиг вправо, если a < 0




3) — y = f(x)

Зеркальное отражение относительно Ох

4) y = f(-x)

Зеркальное отражение относительно Оу

5) y = a·f(x)

Растяжение вдоль Оу, если a > 1

Растяжение вдоль Ох, если 0 < a < 1

6) y = f(|x|)

Для x ≥ 0, y = f(x)

Для x < 0 – преобразование симметрии относительно Oy графика y = f(x), для x ≥ 0 симметричные части графика из правой полуплоскости в левую.

7) y = |f(x)|

Для f(x) ≥ 0, |f(x)| = f(x)

Для f(x) < 0, |f(x)| = -f(x)

Симметричное отображение части графика из нижней полуплоскости в верхнюю относительно Ox.





Рекомендуемые страницы:



poisk-ru.ru

Функция


















































     
 
Главная > Учебные материалы > Математика:  Функция
 
  
 





  •  Репетитор: Васильев Алексей Александрович

     Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.







  •  Репетитор: Крюков Илья Хассанович

     Предметы: математика, экономика, эконометрика, теория вероятностей.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.






  •  Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

     Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.








  •  Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

     Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.








  •  Репетитор: Тверской Василий Борисович

     Предметы: математика, физика.

           Стоимость: 3500 руб / 90 мин.







  •  Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

     Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

           Стоимость: 2000 руб / 60 мин.







  •  Репетитор: Ершикова Марина Львовна

     Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

           Стоимость: 1500 руб / 60 мин.





 
 1.Понятие функции.
2.Свойства функций.
3.Основные элементарные функции.

 

 
   
 

1
2
3
4
5
6
7
8
9


 
   
  
 

1. Понятие функции

   Понятие «функция» является одним из основных понятий в математике. Под функцией понимают некий закон, по которому одна переменная величина зависит от другой. Согласно определению, если каждому значению переменной х множества Х ставится в соответствие одно определенное значение переменной у множества Y, то такое соответствие называется функцией. Исходя из этого, можно дать другую формулировку: однозначное соответствие двух переменных величин на множестве действительных чисел R называется функцией.

   Переменая х называется независимой переменной или аргументом, y — зависимой переменной от x, буква f обозначает закон соответствия. Множество X называется областью определения функции, а множество Y, соответственно, областью значений функции.

 

 
  
 

2. Cвойства функций

   1.Четность и нечетность. Функция f(x) называется четной, если ее значения симметричны относительно оси OY, т.е. f(-x) = f(x). Функция f(x) называется нечетной, если  ее значение изменяется на противоположное при изменении переменной х на -х , т.е. f(-x) = -f(x). В противном случае функция называется функцией общего вида.

   2.Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е. при x1< (>) x2, f(x1) < (>) f(x2).

   3.Периодичность. Если значение функции f(x) повторяется через определенный период Т, то функция называется периодической с периодом  Т ≠ 0 , т.е. f(x + T) = f(x). В противном случае непериодической.

   4. Ограниченность. Функция f (x) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое положительное число М > 0 , что для любого x, принадлежащего промежутку Х, | f (x) | < M. В противном случае функция называется неограниченной.

 

 
  
 

3. Основные элементарные функции

Степенная функция

   у = х 

область определения (-∞,∞)

область значений (-∞,∞)

нечетная

возрастает на (-∞,∞)

непериодическая

 

 

 
   у = х² 

область определения (-∞,∞)

область значений (0,∞)

четная

возрастает на (0,∞)

убывает на (-∞,0)

непериодическая

 

 

 
  у = х³  

область определения (-∞,∞)

область значений (-∞,∞)

нечетная

возрастает на (-∞,∞)

непериодическая

 

 

 
 
 у = 1/х

область определения (-∞,0)U(0,∞)

область значений (-∞,0)U(0,∞)

нечетная

убывает на (-∞;0) и на ( 0;∞)

непериодическая

 

 

 
  у = 1/х²  

область определения (-∞,0)U(0,∞)

область значений (0,∞)

четная

возрастает на (-∞,0) и убывает на (0,∞)

непериодическая

 

 

 
 
 

область определения [0,∞)

область значений [0,∞)

общего вида,

возрастает на [0; ∞)

непериодическая

 

 

 
 

область определения (-∞,∞)

область значений (-∞,∞)

нечетная

возрастает на (-∞,∞)

непериодическая

 

 

 
 
 

Показательная функция

   у = а ͯ      (a>0  a≠1)

область определения (-∞,∞)

область значений (0; ∞) 

общего вида

возрастает на (-∞,∞), если a>1;

убывает на (-∞,∞), если 0<a<1

непериодическая

 

 

 
 

Логарифмическая функция

   у = log ₐ x    (a>0  a≠1)

область определения (0,∞)

область значений (-∞; ∞) 

общего вида

возрастает на (0,∞), если a>1;

убывает на (0,∞), 0<a<1

непериодическая

 

 

 
 
 

Тригонометрические функции

   y = sin x

область определения (-∞; ∞) 

область значений [-1; 1] 

нечетная

возрастает на [-π/2 + 2πn, π/2 + 2πn];

убывает на [π/2 + 2πn, 3π/2 + 2πn], nϵZ;

период  Т=2π

 

 

 
 

  y = cos x

область определения (-∞; ∞) 

область значений [-1; 1] 

четная

возрастает на [-π + 2πn, 2πn];

убывает на [2πn, π + 2πn], nϵZ;

период  Т=2π

 

 

 
 

   y = tg x

область определения

(-π/2 + πn, π/2 + πn) nϵZ;

область значений (-∞; ∞) 

нечетная

возрастает на (-π/2 + πn, π/2 + πn) nϵZ;

период  Т=π

 

 

 
 

   y = ctg x

область определения

(πn, π + πn) nϵZ;

область значений (-∞; ∞) 

нечетная

убывает на (πn, π + πn) nϵZ;

период  Т=π

 

 

 
 
 

  y = arcsin x

область определения [-1; 1]

область значений [-π/2; π/2] 

нечетная

возрастает на [-1; 1]

 

 

 
 

   y = arccos x

область определения [-1; 1]

область значений [0; π] 

функция центрально-симметрична относительно точки (0; π/2)

убывает на [-1; 1]

 

 

 
 

   y = arctg x

область определения (-∞; ∞)

область значений [-π/2; π/2] 

нечетная

возрастает на (-∞; ∞)

 

 

 
 

   y = arcctg x

область определения (-∞; ∞)

область значений [0; π] 

ни четная, ни нечетная

убывает на (-∞; ∞)

  
 
   
 
 

Пример 1.

Найти область определения функции.

 
 

Пример 2

Выяснить четность или нечетность функции.

 

График функции y=x³+2sin x

 
 

Пример 3

   
   
   
     
     
  
   
 

1
2
3
4
5
6
7
8
9


 
   

www.mathtask.ru

Функция и ее свойства

Русская гимназия

КОНСПЕКТ

на тему:

Функция

Выполнил

ученик 10“Ф” класса Бурмистров Сергей

Руководитель

учитель Математики

Юлина О.А.

Нижний Новгород

1997 год

Функция и её свойства

Функция-
зависимость переменной у
от переменной x
,
если каждому значению х
соответствует единственное значение у
.

Переменная х-
независимая переменная или аргумент.

Переменная у-
зависимая переменная

Значение функции-
значение у
, соответствующее заданному значению х
.

Область определения функции-
все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)-
все значения, которые принимает функция.

Функция является четной-
если для любого х
из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)

Функция является нечетной-
если для любого х
из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

Возрастающая функция-
если для любых х1
и х2
,

таких, что х1
<
х2
, выполняется неравенство f(
х1
)<f(
х2
)

Убывающая функция-
если для любых х1
и х2
,

таких, что х1
<
х2
, выполняется неравенство f(
х1
)>f(
х2
)

Способы задания функции

¨ Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у
=f(x)
, где f(x)-
íåêîòîðîå âыðàæåíèå с переменной х
. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

¨ На практике часто используется табличный
способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

Виды функций и их свойства

1) Постоянная функция-
функция, заданная формулой у=
b
,
где b-
некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

2) Прямая пропорциональность-
функция, заданная формулой у=
kx
,
где к¹0. Число k
называется коэффициентом пропорциональности
.

Cвойства функции y=kx
:

1. Область определения функции- множество всех действительных чисел

2. y=kx
— нечетная функция

3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Линейная функция-
функция, которая задана формулой y=kx+b
, где k
иb

действительные числа. Если в частности, k=0
, то получаем постоянную функцию y=b
; если b=0
, то получаем прямую пропорциональность y=kx
.

Свойства функции y=kx+b
:

1. Область определения- множество всех действительных чисел

2. Функция y=kx+b
общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

3. При k>0функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиком функции является прямая
.

4)Обратная пропорциональность-
функция, заданная формулой y=k
/х,
где k¹0 Число k
называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k
/
x:

1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля

2. y=k
/
x

нечетная функция

3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

Графиком функции является гипербола
.

5)Функция
y=x2

Свойства функции y=x2
:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x2

четная функция

3. На промежутке [0;+¥) функция возрастает

4. На промежутке (-¥;0] функция убывает

Графиком функции является парабола
.

6)Функция
y=x3

Свойства функции y=x3
:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x3

нечетная функция

3. Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола

7)Степенная функция с натуральным показателем-
функция, заданная формулой y=xn
, где n
— натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2
; y=x3
. Их свойства рассмотрены выше.

Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8… В этом случае функция y=xn
обладает теми же свойствами, что и функция y=x2
. График функции напоминает параболу y=x2
, только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9… В этом случае функция y=xn
обладает теми же свойствами, что и функция y=x3
. График функции напоминает кубическую параболу.

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем-
функция, заданная формулой y=x-n
,
где n
— натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7… В этом случае функция y=x-n
обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства функции y=x-2
:

1. Функция определена при всех x¹0

2. y=x-2

четная функция

3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).

Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция
y=
Ö
х

Свойства функции y=
Ö
х
:

1. Область определения — луч [0;+¥).

2. Функция y=
Ö
х
— общего вида

3. Функция возрастает на луче [0;+¥).

10)Функция
y=
3
Ö
х

Свойства функции y=
3
Ö
х
:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. Функция y=
3
Ö
х
нечетна.

3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

11)Функция
y=n
Ö
х

При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=
Ö
х
. При нечетном n функция y=n
Ö
х
обладает теми же свойствами, что и функция y=
3
Ö
х.

12)Степенная функция с положительным дробным показателем-
функция, заданная формулой y=xr
, где r
— положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=xr
:

1. Область определения- луч [0;+¥).

2. Функция общего вида

3. Функция возрастает на [0;+¥).

На рисунке изображен график функции y=x5/2
. Он заключен между графиками функций y=x2
и y=x3
, заданных на промежутке [0;+¥).Подобный вид имеет любой график функции вида y=xr
, где r>1.

На рисунке изображен график функции y=x2/3
. Подобный вид имеет график любой степенной функции y=xr
, где 0<r<1

13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем-
функция, заданная формулой y=x-r
, где r
— положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x-r
:

1. Обл. определения -промежуток (0;+¥)

2. Функция общего вида

3. Функция убывает на (0;+¥)

14)Обратная функция

Если функция y=f(x)
такова, что для любого ее значения yo
уравнениеf(x)=yo
имеет относительно х
единственный корень, то говорят, что функция f
обратима.

Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.

Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.

15)Сложная функция-
функция, аргументом которой является другая любая функция.

Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.

mirznanii.com

Внеклассный урок — Функции. Основные понятия. Виды функций

Функции. Основные понятия. Виды функций.

 

Основные понятия.

Функция (или Функциональная зависимость) – это зависимость переменной y от переменной x. Это такая зависимость, при которой каждому значению переменной x соответствует только одно значение переменной y.

Переменную x называют независимой переменной или аргументом.

Переменную y называют зависимой переменной или функцией от переменной x.

Значение независимой переменной называют абсциссой (горизонтальная плоскость графика).

Соответствующее значение зависимой переменной называется ординатой (вертикальная плоскость графика).

Совокупность значений независимой переменной называется областью определения функции.

Совокупность значений зависимой переменной называют областью значений функции.

График функции – это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Значения аргумента, при которых функция обращается в нуль, называют нулями функции.

Пояснение:

К примеру, кривая пересекает ось x в точке -2.

То есть в этой точке кривая имеет координаты (-2;0):

x = -2, y = 0.

Говоря иначе, при значении аргумента, равном -2, значение функции равно 0.

Этот аргумент и называется нулем рассматриваемой функции.

 

Если кривая на оси координат возрастает, то это означает, что с увеличением значения аргумента увеличивается и значение функции. Такая функция называется возрастающей.

Если кривая убывает, то это означает, что с увеличением значения аргумента значение функции убывает. Такая функция называется убывающей.

 

Виды функций.

Существует несколько основных видов функций:

— линейная функция

— прямая пропорциональность

— обратная пропорциональность

— квадратичная функция

— кубическая функция

— функция корня

— функция модуля

 

Графики функций.

Графиком линейной функции y = kx + b является прямая.

Графиком прямой пропорциональности y = kx является прямая, проходящая через начало координат.

                                                                               k
Графиком обратной пропорциональности y = — является гипербола.
                                                                                x

Графиком квадратичной функции y = x2 является парабола.
Если х = 0, то у = 0.
Если х ≠ 0, то у > 0.

Графиком кубической функции y = x3 является кубическая парабола — винтообразная линия, проходящая через 0.
Если х = 0, то у = 0.
Если х > 0, то у > 0.
Если х < 0, то у < 0.

Подробнее о приведенных и других функциях – в следующих разделах.

 

raal100.narod.ru

Виды функций и их свойства.

1. Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b,где b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

2. Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx,где к0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.

Cвойства функции y=kx:

1. Область определения функции- множество всех действительных чисел

2. y=kx — нечетная функция

3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b, где kиb-действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

Свойства функции y=kx+b:

1. Область определения- множество всех действительных чисел

2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

3. При k>0функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиком функции является прямая.

4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х,где k0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k/x:

1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля

2. y=k/x- нечетная функция

3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+) и на промежутке (-;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-;0) и на промежутке (0;+).

Графиком функции является гипербола.

5)Функция y=x2

Свойства функции y=x2:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x2 четная функция

3. На промежутке [0;+) функция возрастает

4. На промежутке (-;0] функция убывает

Графиком функции является парабола.

 

6)Функция y=x3

Свойства функции y=x3:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x3 нечетная функция

3. Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола

7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y=xn, где n— натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2; y=x3. Их свойства рассмотрены выше.

Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8… В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2. График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9… В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x3. График функции напоминает кубическую параболу.

Примеры

графиков степенных функций, соответствующих различным показателям

степени, приведены на рис


refac.ru