Формулы суммы и разности кубов – Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов и разность четвертых степеней. Квадрат суммы и квадрат разности и куб суммы и куб разности.
Сумма кубов и разность кубов
Выражения видаa 2 − ab + b2 и a 2 + ab + b2
a 2 − 2ab + b2 и a2 + 2ab + b2
При любых значениях a и b верно равенство(a + b)(a 2 − ab + b2 ) = a 3 + b3
Доказательство
(a+b)(a2 − ab+ b2) = a 3 + a2b − a 2b − ab2 + ab2 + b 3 =a 3 + b3
Так как равенство верно при любых значениях a и b, то оно является тождеством. Это тождество называется формулой суммы кубов . формула суммы кубов читается так: произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.
(a + b)(a 2 − ab + b2 ) = a 3 + b
a 3 + b3 = (a + b)(a 2 − ab + b2 )
Если в формулу (a + b)(a 2 − ab + b2 ) = a 3 + b3 вместо a и b подставить какие-нибудь выражения, например 2x и y2 ,
то опять получится тождество.
(2x + y2 )(4x2 − 2xy2 + y 4 ) = 8x3 + y6
Или Разложить на множители двучлен 8u3 + v3
8u3 + v3 = 23*8u3 + v3 = (2u)3 + v3 = (2u + v)((2u)2формула разности кубов читается так: произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений
(a — b)(a 2 + ab + b2 ) = a 3 — b3
Данная формула верна и справа налево, то есть верно равенство
Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы
a 3 — b3 = (a — b)(a 2 + ab + b2 )
Сумма кубов и разность кубов. Правила | Учеба-Легко.РФ
Выражения вида
a 2−ab+b 2 и a 2+ab+b 2
называют соответственно неполным квадратом разности и неполным квадратом суммы (сравните их с квадратом разности
и квадратом суммы).
a 2−2ab+b 2 и a 2+2ab+b 2
При любых значениях a и b верно равенство
(a+b)(a 2−ab+b 2) = a 3+b 3 . (1)
Доказательство.
(a+b)(a 2−ab+b 2) = a 3+a 2b−a 2b−ab 2+ab 2+b 3 = a 3+b 3
Так как равенство (1) верно при любых значениях a и b, то оно является тождеством. Это тождество называется формулой суммы кубов . Если в эту формулу вместо a и b подставить какие-нибудь выражения, например 2x и y 2 , то опять получится тождество.
(2x+y 2)(4x 2−2xy 2+y 4) = 8x 3+y 6 .
Поэтому формула суммы кубов читается так:
произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.
При любых значениях a и b верно равенство
(a−b)(a 2+ab+b 2) = a 3−b 3 . (2)
Доказательство.
(a−b)(a 2+ab+b 2) =
= a 3−a 2b+a 2b−ab 2+ab 2−b 3 =
= a 3−b 3
Так как равенство (2) верно при любых значениях a и b, то оно является тождеством. Это тождество называется
формулой разности кубов . Если в эту формулу вместо a и b подставить какие-нибудь выражения, например 2x и y 2 ,
то опять получится тождество.
(2x−y 2)(4x 2+2xy 2+y 4) = 8x 3−y 6 .
Поэтому формула разности кубов читается так:
произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.
Ł Куб суммы и разности Сумма и разность кубов
ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П.
СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ
АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА, 1965
СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ
4. Куб суммы и разности. Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго числа:
(а + b) = а ³ + 3 а ² b + 3 аb ² + b ³.
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго числа:
(а — b)³ = а ³ — 3 а ² b + 3 ab ² — b ³.
Примеры.
5. Сумма и разность кубов. Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат их разности:
а ³ + b ³ = (а + b)(а ² — аb + b ²).
Примечание. Неполным квадратом разности чисел а и b называют выражение а ² — ab + b ². От полного квадрата разности а ² — 2 ab + b ² оно отличается только средним коэффициентом. Выражение
Если приведенную выше формулу прочитать справа налево, получим: произведение суммы двух чисел на неполный квадрат их разности равно сумме кубов этих чисел.
Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат их суммы:
а ³ — b ³ = (а — b)(а ² + ab + b ²).
Эта формула читается и справа налево: произведение разности двух чисел на неполный квадрат их суммы равно разности кубов этих чисел.
Примеры.
6. Применения формул сокращенного умножения. При помощи формул сокращенного умножения можно сравнительно быстро выполнять тождественные преобразования многих алгебраических выражений.
Пример. Упростить (х — 1)(х + 1)(х 4 + x 2 + 1) — (x 2 + 1)3.
Решение (по частям):
Однако удобней преобразования выполнять цепочкой:
Можно использовать формулы сокращенного умножения и при делении многочленов.
Примеры.
Формулы сокращенного умножения используют также при устных вычислениях. Пусть, например, надо вычислить 50,52 — 49,52. В данном случае возводить в квадраты было бы нерационально, лучше воспользоваться формулой разности квадратов:
50,52 — 49,52 = (50,5 + 49,5) · (50,5 — 49,5) = 100 · 1 = 100.
Еще пример: 31 · 29 = (30 + 1) · (30 — 1) — 900 — 1 = 899. Такие вычисления можно выполнять устно.
⇦ Ctrl предыдущая страница / страница 65 из 168 / следующая страница Ctrl ⇨мобильная версия страницы Смотрите также на этом сайте:
ГАДАНИЯ, СОННИКИ, ЗАГОВОРЫ, НУМЕРОЛОГИЯ, ХИРОМАНТИЯ, ВУДУ, МАЯТНИК, ДЕНЕЖНАЯ МАГИЯ
ВЯЗАНИЕ НА СПИЦАХ, КРЮЧКОМ, ТУНИССКОЕ ВЯЗАНИЕ, МОДЕЛИ ВЯЗАНОЙ ОДЕЖДЫ; ШИТЬЕ; МАШИННОЕ ВЯЗАНИЕ
РАЗНООБРАЗНЫЕ КУЛИНАРНЫЕ РЕЦЕПТЫ; ГОРШОЧКИ, МИКРОВОЛНОВКА; КОНСЕРВИРОВАНИЕ
СПРАВОЧНИКИ ПО ФИЗИКЕ, МАТЕМАТИКЕ, АНГЛИЙСКОМУ ЯЗЫКУ; ПОХУДЕНИЕ, АКУПУНКТУРА; НЕИСПРАВНОСТИ АВТОМОБИЛЯ
ПОПУЛЯРНЫЕ ПЕСЕННИКИ 1963-1987 гг.; ТОСТЫ, РОЗЫГРЫШИ, КОНКУРСЫ
Пользуйтесь поиском вверху страницы! Все, что будет найдено со значком Ł — относится к данному сайту
cartalana.org