Формулы сокращенного умножения для 4 степени – Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов и разность четвертых степеней. Квадрат суммы и квадрат разности и куб суммы и куб разности.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра — Формулы сокращенного умножения

      Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:

Степень суммы

      Группа формул «Степень суммы» составляет Таблицу 1. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:

(x + y)2 = (x + y)(x + y) , (x + y)3 = (x + y)2(x + y) , (x + y)4 = (x + y)3(x + y)

и т.д.

      Группу формул «Степень суммы» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.

      Таблица 1. – Степень суммы

Название формулы	Формула
Квадрат (вторая степень) суммы	(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Куб (третья степень) суммы	(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Четвертая степень суммы	(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
Пятая степень суммы	(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5
Шестая степень суммы	(x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6
…	…

Квадрат (вторая степень) суммы (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

Куб (третья степень) суммы (x + y)3 = = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Четвертая степень суммы (x + y)4 = x4 + 4x3y + + 6x2y2 + 4xy3 + y4

Пятая степень суммы (x + y)5 = x5 + 5x4y + + 10x3y2 + + 10x2y3 + + 5xy4 + y5

Шестая степень суммы (x + y)6 = x6 + 6x5y + + 15x4y2 + + 20x3y3 + + 15x2y4 + 6xy5 + y6

…

      Общая формула для вычисления суммы

(x + y)ⁿ

с произвольным натуральным значением   n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.

Степень разности

      Если в формулах из Таблицы 1 заменить  y  на  – y ,  то мы получим группу формул «Степень разности» (Таблица 2.):

      Таблица 2. – Степень разности

Название формулы	Формула
Квадрат (вторая степень) разности	(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
Куб (третья степень) разности	(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
Четвертая степень разности	(x – y)4 = x4 – 4x3y + 6x2y2 – 4xy3 + y4
Пятая степень разности	(x – y)5 = x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4– y5
Шестая степень разности	(x – y)6 = x6 – 6x5y + 15x4y2 – 20x3y3 + 15x2y4 – 6xy5 + y6
…	…

Квадрат (вторая степень) разности (x – y)2 = x2 – 2xy + y2

Куб (третья степень) разности (x – y)3 = = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3

Четвертая степень разности (x – y)4 = x4 – 4x3y + + 6x2y2 – 4xy3 + y4

Пятая степень разности (x – y)5 = x5 – 5x4y + + 10x3y2 – – 10x2y3 + + 5xy4– y5

Шестая степень разности (x – y)6 = x6 – 6x5y + + 15x4y2 – – 20x3y3 + + 15x2y4 – 6xy5 + y6

…

Квадрат многочлена

      Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена»:

      Словами эту формулу можно выразить так: — «Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов плюс сумма всевозможных удвоенных произведений его членов».

Куб трехчлена

      Следующая формула называется «Куб трехчлена»:

(x + y + z)³ =
= x³ + y³ + z³ + 3x²y +
+ 3x²z + 3xy² +
+ 3xz² +
+ 3y²z + 3yz² + 6xyz .

     Другие формулы сокращенного умножения приведены в разделе «Формулы сокращенного умножения: сумма степеней, разность степеней» нашего справочника.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

1. формула квадрата суммы: a+b2=a2+2ab+b2
2. формула квадрата разности: a-b2=a2-2ab+b2
3. формула куба суммы: a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3
4. формула куба разности: a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3
5. формула разности квадратов: a-b2=a-ba+b
6. формула суммы кубов: a3+b3=a+ba2-ab+b2
7. формула разности кубов: a3-b3=a-ba2+ab+b2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы. 

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как кажд

www.zaochnik.com

Формулы сокращённого умножения многочленов Википедия

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Содержание

• 1 Формулы для квадратов
• 2 Формулы для кубов
• 3 Формулы для четвёртой степени
• 4 Формулы для n-ой степени
• 5 Некоторые свойства формул
• 6 См. также
• 7 Литература

Формулы для квадратов

• (a±b)2=a2±2ab+b2{\displaystyle (a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}}
• a2−b2=(a+b)(a−b){\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}
• (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc{\displaystyle \left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc}

Формулы для кубов

• (a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3{\displaystyle (a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}}
• a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2){\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})}
• (a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3ab2+3ac2+3b2c+3bc2+6abc{\displaystyle \left(a+b+c\right)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc}

Формулы для четвёртой степени

• (a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4{\displaystyle (a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}}
• a4−b4=(a−b)(a+b)(a2+b2){\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})} (выводится из a2−b2{\displaystyle a^{2}-b^{2}})

Формулы для n-ой степени

• an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+…+a2bn−3+abn−2+bn−1){\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+…+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})}
• a2n−b2n=(a+b)(a2n−1−a2n−2b+a2n−3b2−…−a2b2n−3+ab2n−2−b2n−1){\displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2}-…-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})}, где n∈N{\displaystyle n\in N}
• a2n−b2n=(an+bn)(an−bn){\displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})}
• a2n+1+b2n+1=(a+b)(a2n−a2n−1b+a2n−2b2−…+a2b2n−2−ab2n−1+b2n){\displaystyle a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-…+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})}, где n∈N{\displaystyle n\in N}

Некоторые свойства формул

• (a−b)2n=(b−a)2n{\displaystyle (a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}}, где n∈N{\displaystyle n\in N}
• (a−b)2n+1=−(b−a)2n+1{\displaystyle (a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}}, где n∈N{\displaystyle n\in N}

См. также

• Многочлен
• Бином Ньютона
• Факторизация многочленов

Литература

• М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958.

wikiredia.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра — Формулы сокращенного умножения

      Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:

Сумма нечетных степеней

      Группа формул «Сумма нечетных степеней» приведена в Таблице 3.

      Таблица 3. – Сумма нечетных степеней

Название формулы	Формула
Сумма кубов	x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)
Сумма пятых степеней	x5 + y5 = (x + y) (x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4)
Сумма седьмых степеней	x7 + y7 = (x + y) (x6 – x5y + x4y2 – x3y3 + x2y4 – xy5 + y6)
…	…
Сумма степеней порядка  2n + 1	x2n + 1 + y2n + 1 = (x + y) (x2n – x2n – 1y + x2n – 2 y2 – …– xy2n – 1 + y2n)

Сумма кубов x3 + y3 = = (x + y) (x2 – xy + y2)

Сумма пятых степеней x5 + y5 = = (x + y) (x4 – x3y + + x2y2 – xy3 + y4)

Сумма седьмых степеней x7 + y7 = = (x + y) (x6 – x5y + + x4y2 – x3y3 + + x2y4 – xy5 + y6)

…

Сумма степеней порядка  2n + 1   x2n + 1 + y2n + 1 = = (x + y) (x2n – – x2n – 1y + + x2n – 2 y2 – – …– xy2n – 1 + y 2n)

Разность нечетных степеней

      Если в формулах из Таблицы 3 заменить  y  на  – y ,  то мы получим группу формул «Разность нечетных степеней» (Таблица 4.):

      Таблица 4. – Разность нечетных степеней

Название формулы	Формула
Разность кубов	x3– y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)
Разность пятых степеней	x5– y5 = (x – y) (x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4)
Разность седьмых степеней	x7– y7 = (x – y) (x6 + x5y + x4y2 + x3y3 + x2y4 + xy5 + y6)
…	…
Разность степеней порядка  2n + 1	x2n + 1– y2n + 1 = (x – y) (x2n + x2n – 1y + x2n – 2 y2 + …+ xy2n – 1 + y2n)

Разность кубов x3– y3 = = (x – y) (x2 + xy + y2)

Разность пятых степеней x5– y 5 = = (x – y) (x4 + x3y + + x2y2 + xy3 + y4)

Разность седьмых степеней x7– y7 = = (x – y) (x6 + x5y + + x4y2 + x3y3 + + x2y4 + xy5 + y6)

…

Разность степеней порядка  2 n + 1 x2n + 1– y2n + 1 = = (x – y) (x2n + + x2n – 1y + + x2n – 2 y2 + + …+ xy2n – 1 + y2n)

Разность четных степеней

      Группа формул «Разность четных степеней» приведена в Таблице 5.

      Таблица 5. – Разность четных степеней

Название формулы	Формула
Разность квадратов	x2– y2 = (x + y) (x – y)
Разность четвертых степеней	x4– y4 = = (x + y) (x3 – x2y + xy2 –y3) = = (x + y) (x – y) (x 2 + y2)
Разность шестых степеней	x6– y6 = = (x + y) (x5 – x4y + x3y2 – x2y3 + xy4 –y5) = = (x + y) (x – y) (x2 – xy + y2) (x2 + xy + y2)
Разность восьмых степеней	x8– y8 = = (x + y) (x7 – x6y + x5y2 – x4y3 + x3y4 – x2y5 + xy6 –y7) = = (x + y) (x – y) (x2 + y2) (x4 + y4)
…	…
Разность степеней порядка  2 n	x2n– y2n = (x + y) (x2n – 1 – x2n – 2 y + x2n – 3 y2 – …+ xy2n – 2 – y2n – 1) , x2n– y2n = (x – y) (x2n – 1 + x2n – 2 y + x2n – 3 y2 + …+ xy2n – 2 + y2 n – 1)

Разность квадратов x2– y2 = (x + y) (x – y)

Разность четвертых степеней x4– y4 = = (x + y) (x3 – x2y + + xy2 –y3) = = (x + y) (x – y) (x2 + + y2)

Разность шестых степеней x6– y6 = = (x + y) (x5 – x4y + + x3y2 – – x2y3 + + xy4 –y5) = = (x + y) (x – y) (x2 – – xy + y2) (x2 + + xy + y2)

Разность восьмых степеней x8– y8 = = (x + y) (x7 – x6y + + x5y2 – x4y3 + + x3y4 – – x2y5 + xy6 –y7) = = (x + y) (x – y) (x2 + + y2) (x4 + y4)

…

Разность степеней порядка  2n x2n– y2n = = (x + y) (x2n – 1 – – x2n – 2 y + + x2n – 3 y2 – – …+ xy2n – 2 – – y2n – 1) * * * x2n– y2n = = (x – y) (x2n – 1 + + x2n – 2 y + + x2n – 3 y2 + + …+ xy2n – 2 + + y2n – 1)

      Замечание. Оба разложения на множители двучлена:

x²ⁿ– y²ⁿ ,

приведенные в последней строке Таблицы 5, можно продолжить и далее, по аналогии с тем, как это сделано в других строках таблицы.

      Другие формулы сокращенного умножения можно посмотреть в разделе «Формулы сокращенного умножения: степень суммы, степень разности» нашего справочника.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Формулы сокращённого умножения многочленов Википедия

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Содержание

• 1 Формулы для квадратов
• 2 Формулы для кубов
• 3 Формулы для четвёртой степени
• 4 Формулы для n-ой степени
• 5 Некоторые свойства формул
• 6 См. также
• 7 Литература

Формулы для квадратов[ | код]

• (a±b)2=a2±2ab+b2{\displaystyle (a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}}
• a2−b2=(a+b)(a−b){\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}
• (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc{\displaystyle \left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc}

Формулы для кубов[ | код]

• (a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3{\displaystyle (a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}}
• a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2){\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})}
• (a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3ab2+3ac2+3b2c+3bc2+6abc{\displaystyle \left(a+b+c\right)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc}

Формулы для четвёртой степени[ | код]

• (a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4{\displaystyle (a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}}
• a4−b4=(a−b)(a+b)(a2+b2){\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})} (выводится из

ru-wiki.ru

Формулы сокращённого умножения Википедия

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Содержание

• 1 Формулы для квадратов
• 2 Формулы для кубов
• 3 Формулы для четвёртой степени
• 4 Формулы для n-ой степени
• 5 Некоторые свойства формул
• 6 См. также
• 7 Литература

Формулы для квадратов

• (a±b)2=a2±2ab+b2{\displaystyle (a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}}
• a2−b2=(a+b)(a−b){\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}
• (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc{\displaystyle \left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc}

Формулы для кубов

• (a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3{\displaystyle (a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}}
• a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2){\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})}
• (a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3ab2+3ac2+3b2c+3bc2+6abc{\displaystyle \left(a+b+c\right)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc}

Формулы для четвёртой степени

• (a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4{\displaystyle (a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}}
• a4−b4=(a−b)(a+b)(a2+b2){\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})} (выводится из a2−b2{\displaystyle a^{2}-b^{2}})

Формулы для n-ой степени

• an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+…+a2bn−3+abn−2+bn−1){\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+…+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})}
• a2n−b2n=(a+b)(a2n−1−a2n−2b+a2n−3b2−…−a2b2n−3+ab2n−2−b2n−1){\displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2}-…-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})}, где n∈N{\displaystyle n\in N}
• a2n−b2n=(an+bn)(an−bn){\displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})}
• a2n+1+b2n+1=(a+b)(a2n−a2n−1b+a2n−2b2−…+a2b2n−2−ab2n−1+b2n){\displaystyle a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-…+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})}, где n∈N{\displaystyle n\in N}

Некоторые свойства формул

• (a−b)2n=(b−a)2n{\displaystyle (a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}}, где n∈N{\displaystyle n\in N}
• (a−b)2n+1=−(b−a)2n+1{\displaystyle (a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}}, где n∈N{\displaystyle n\in N}

См. также

• Многочлен
• Бином Ньютона
• Факторизация многочленов

Литература

• М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958.

wikiredia.ru

Тождества сокращенного умножения — Сайт 35schulemath!

Формулы сокращенного умножения

 

Формулы для квадратов

(a + b)2 = a2+ 2ab + b2	– квадрат суммы
(a – b)2 = a2– 2ab + b2	– квадрат разности
a2– b2= (a – b)(a + b)	– разность квадратов
(a + b + c)2 = a2+ b2+ c2+ 2ab + 2ac + 2bc

Формулы для кубов

(a + b)3 = a3+ 3a2b + 3ab2+ b3	– куб суммы
(a – b)3 = a3– 3a2b + 3ab2– b3	– куб разности
a3+ b3= (a + b)(a2– ab + b2)	– сумма кубов
a3– b3= (a – b)(a2+ ab + b2)	– разность кубов

Формулы для четвёртой степени

(a + b)4 = a4+ 4a3b + 6a2b2+ 4ab3+ b4

(a – b)4 = a4– 4a3b + 6a2b2– 4ab3+ b4

a4– b4= (a – b)(a + b)(a2+ b2)

Формулы для n-ой степени

(a + b)n= an + nan – 1b + n(n – 1)2an – 2b2+ … + n!k!(n – k)!an – kbk + … + bn

(a — b)n= an — nan – 1b + n(n – 1)2an – 2b2+ … + (-1)kn!k!(n – k)!an – kbk + … + (-1)nbn

35schulemath.jimdo.com