Формулы квадратов и кубов – Решение уравнений. Формулы приведения для полиномов. Разность квадратов, квадрат разности, квадрат суммы, разность и сумма кубов, куб разности и суммы. Они же «формулы сокращенного умножения».
Формулы сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения.
Цели:
— Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.
— Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.
Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть.
Пусть а, b R. Тогда:
1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. Квадрат разности двух выражений равен
(a — b)2 = a2 — 2ab + b2
3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.a2 — b2 = (a -b) (a+b)
4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab
5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
(a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3
6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.
a3 + b3 = (a + b) (a2 — ab + b2)
7. Разность кубов
a3 — b3 = (a — b) (a2 + ab + b2)
Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.
Пример 1.
Вычислить
а) (40+1)2
б) 982
Решение:
а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем
(40+1)2 = 402 + 2 · 40 · 1 + 12 = 1600 + 80 + 1 = 1681
б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим
982 = (100 – 2)2 = 1002 — 2 · 100 · 2 + 22 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Пример 2.
Вычислить
Решение
Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим
Пример 3.
Упростить выражение
(х — у)2 + (х + у)2
Решение
Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений
(х — у)2 + (х + у)2 = х2 — 2ху + у2 + х2 + 2ху + у2 = 2х2 + 2у2
Формулы сокращенного умножения в одной таблице:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a — b)2 = a2 — 2ab + b2
a2 — b2 = (a — b) (a+b)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3
a3 + b3 = (a + b) (a2 — ab + b2)
a3 — b3 = (a — b) (a2 + ab + b2)
Разность квадратов, сумма и разность кубов
Разность квадратов
Выведем формулу разности квадратов $a^2-b^2$.
Для этого вспомним следующее правило:
Если к выражению прибавить любой одночлен и вычесть такой же одночлен, то мы получим верное тождество.
Прибавим к нашему выражению и вычтем из него одночлен $ab$:
Вынесем за скобки общие множители:
Вынесем за скобки $\left(a+b\right)$:
Итого, получим:
То есть, разность квадратов двух одночленов равна произведению их разности на их сумму.
Пример 1
Представить в виде произведения ${4x}^2-y^2$
Данное выражение можно переписать в следующем виде:
\[{4x}^2-y^2={(2x)}^2-y^2\]Используя формулу разности квадратов, получим:
\[{(2x)}^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]Сумма кубов
Выведем формулу суммы кубов $a^3+b^3$.
Для этого будем пользоваться тем же правилом, что и выше.
Прибавим к нашему выражению и вычтем из него одночлены $a^2b\ и\ {ab}^2$:
Вынесем за скобки общие множители:
Вынесем за скобки $\left(a+b\right)$:
Итого, получим:
То есть, сумма кубов двух одночленов равна произведению их суммы на неполный квадрат их разности.
Пример 2
Представить в виде произведения ${8x}^3+y^3$
Данное выражение можно переписать в следующем виде:
\[{8x}^3+y^3={(2x)}^3+y^3\]Используя формулу разности квадратов, получим:
\[{(2x)}^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]Разность кубов
Выведем формулу разность кубов $a^3-b^3$.
Для этого будем пользоваться тем же правилом, что и выше.
Прибавим к нашему выражению и вычтем из него одночлены $a^2b\ и\ {ab}^2$:
Вынесем за скобки общие множители:
Вынесем за скобки $\left(a-b\right)$:
Итого, получим:
То есть, разность кубов двух одночленов равна произведению их разности на неполный квадрат их суммы.
Пример 3
Представить в виде произведения ${8x}^3-y^3$
Данное выражение можно переписать в следующем виде:
\[{8x}^3-y^3={(2x)}^3-y^3\]Используя формулу разности квадратов, получим:
\[{(2x)}^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]Пример задач на использование формул разности квадратов и суммы и разности кубов
Пример 4
Разложить на множители.
а) ${(a+5)}^2-9$
б) $8-x^3y^3$
в) $-x^3+\frac{1}{27}$
Решение:
а) ${(a+5)}^2-9$
Запишем данное выражение в виде:
\[{{(a+5)}^2-9=(a+5)}^2-3^2\]Применяя формулу разности квадратов, получим:
\[{(a+5)}^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a+8)\]б) $8+x^3y^3$
Запишем данное выражение в виде:
\[8+x^3y^3=2^3+{(xy)}^3\]Применим формулу кумы кубов:
\[2^3+{(xy)}^3=\left(2+xy\right)(4-2xy+x^2y^2)\]в) $-x^3+\frac{1}{27}$
Запишем данное выражение в виде:
\[-x^3+\frac{1}{27}={\left(\frac{1}{3}\right)}^3-x^3\]Применим формулу кумы кубов:
\[{\left(\frac{1}{3}\right)}^3-x^3=\left(\frac{1}{3}-x\right)\left(\frac{1}{9}+\frac{x}{3}+x^2\right)\]spravochnick.ru
Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, квадрат суммы, разность кубов, бином Ньютона.
Откровенно говоря, эти формулы должен помнить любой ученик седьмого класса. Изучать алгебру даже на школьном уровне и не знать формулу разности квадратов или, скажем, квадрата суммы, просто невозможно. Они постоянно встречаются при упрощении алгебраических выражений, при сокращении дробей и даже могут помочь в арифметических вычислениях. Ну, например, вам нужно вычислить в уме: 3,162 — 2 • 3,16 • 1,16 + 1,162. Если вы начнете считать это «в лоб», получится долго и скучно, а если воспользуетесь формулой квадрата разности, ответ получите за 2 секунды!
Итак, семь формул «школьной» алгебры, которые должны знать все:
| Название | Формула |
| Квадрат суммы | (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 |
| Квадрат разности | (A — B)2 = A2 — 2AB + B2 |
| Разность квадратов | (A — B)(A + B) = A2 — B2 |
| Куб суммы | (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2+ B3 |
| Куб разности | (A — B)3 = A3 — 3A2B + 3AB2 — B3 |
| Сумма кубов | A3 + B3 = (A + B)(A2 — AB + B2) |
| Разность кубов | A3 — B3 = (A — B)(A2 + AB + B2) |
Обратите внимание: никакой формулы суммы квадратов не существует! Не позволяйте своей фантазии заходить слишком далеко.
Как проще всего запомнить все эти формулы? Ну, скажем, увидеть определенные аналогии. Например, формула квадрата суммы похожа на формулу квадрата разности (отличие лишь в одном знаке), а формула куба суммы — на формулу куба разности. Далее, в составе формул разности кубов и суммы кубов мы видим нечто похожее на квадрат суммы и квадрат разности (только коэффициента 2 не хватает).
Но лучше всего эти формулы (как и любые другие!) запоминаются на практике. Решайте больше примеров на упрощение алгебраических выражений, и все ф-лы запомнятся сами собой.
Любознательным школьникам будет, вероятно, интересно обобщить приведенные факты. Вот, скажем, существуют формулы квадрата и куба суммы. А что, если рассмотреть выражения типа (A + B)4, (A + B)5 и даже (A + B)n, где n — произвольное натуральное число? Можно ли увидеть здесь какую — либо закономерность?
Да, подобная закономерность существует. Выражение вида (A + B)n называется биномом Ньютона. Я рекомендую пытливым школьникам самим вывести формулы для (A + B)4 и (A + B)5, а далее попытаться увидеть общий закон: сравнить, например, степень соответствующего бинома и степень каждого из слагаемых, которые получаются при раскрытии скобок; сравнить степень бинома с количеством слагаемых; попытаться найти закономерности в коэффициентах. Мы не будем сейчас углубляться в эту тему (для этого нужен отдельный разговор!), а лишь запишем готовый результат:
(A + B)n = An + Cn1An-1B + Cn2An-2B2 + … + CnkAn-kBk + … + Bn.
Здесь Cnk = n!/(k! • (n-k)!).
Напоминаю, что n! — это 1 • 2 • … • n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Называется это выражение факториалом числа n. Например, 4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24. Факториал нуля считается равным единице!
А что можно сказать по поводу разности квадратов, разности кубов и т. п.? Существует ли здесь какая-либо закономерность? Можно ли привести общую формулу для An — Bn?
Да, можно. Вот эта формула:
An — Bn = (A — В)(An-1 + An-2B + An-3B2 + … + Bn-1).
Более того, для нечетных степеней n существует аналогичная ф-ла и для суммы:
An + Bn = (A + В)(An-1 — An-2B + An-3B2 — … + Bn-1).
Мы не будем сейчас выводить эти формулы (кстати, это не очень сложно), но знать об их существовании, безусловно, полезно.
www.repetitor2000.ru
Формулы сокращенного умножения | Cubens
Формулы сокращенного умножения — формулы, для умножения многочленов, используются для разложения этих же многочленов на множители, упрощения выражений и возведения многочленов к стандартному виду. Формулы сокращенного умножения можно доказать непосредственно раскрытием скобок и возведением подобных слагаемых.
Формулы квадратов
| квадрат суммы | |
| квадрат разности | |
| разность квадратов | |
Формулы кубов
| куб суммы | |
| куб разности | |
| сумма кубов | |
| разность кубов |
Формулы сокращенного умножения четвертой степени
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа.
Квадрат суммы
Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность.
Разность квадратов
Куб суммы двух чисел равен кубовые первого числа плюс утроенный квадрат произведение первого числа на второе, плюс утроен произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа.
Куб суммы
Куб разности равна кубовые первого числа минус утроен произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроен произведение первого числа на квадрат второго и минус куб второго числа.
Куб разности
Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат разности этих чисел.
Сумма кубов
Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат суммы этих чисел.
Разность кубов
cubens.com
Формулы сокращенного умножения.
Формулы сокращенного умножения.
| Разность квадратов | a2-b2 = (a-b)(a+b) |
| Квадрат суммы | (a+b)2 = a2+2ab+b2 |
| Квадрат разности | (a-b)2 = a2-2ab+b2 |
| Куб суммы | (a+b)3 = a3+3a2 |
| Куб разности | (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 |
| Сумма кубов | a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) |
| Разность кубов | a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) |
| Разность четвертых степеней |
a4-b4 = (a2-b2)(a2+b2)=(a-b)(a+b)(a2+b2) |
Справочно, только для тех кто хочет больше представлять тему: Бином Ньютона. Целая положительная степень n суммы. (a + b)n=
www.dpva.ru
Формулы сокращенного умножения
Для того что бы упростить алгебраические многочлены, существуют формулы сокращенного умножения. Их не так уж и много и они легко запоминаются, а запомнить их нужно. Обозначения которые используются в формулах, могут принимать любой вид (число или многочлен).
Первая формула сокращенного умножения называется разность квадратов. Она заключается в том что из квадрата одного числа отнимается квадрат второго числа равен величине разности данных чисел, а также их произведению.
а2 — b2 = (а — b)(a + b)
Разберем для наглядности:
222 — 42 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9а2 — 4b2c2 = (3a — 2bc)(3a + 2bc)
Вторая формула о сумме квадратов. Звучит она как, сумма двух величин в квадрате равняется квадрату первой величины к ней прибавляется двойное произведение первой величины умноженное на вторую, к ним прибавляется квадрат второй величины.
Благодаря данной формуле, становится намного проще вычислять квадрат от большого числа, без использования вычислительной техники.
Так к примеру: квадрат от 112 будет равен
1) В начале разберем 112 на числа квадраты которых нам знакомы
112 = 100 + 12
2) Вписываем полученное в скобки возведенные в квадрат
1122 = (100+12)2
3) Применяя формулу, получаем:
Третья формула это квадрат разности. Которая гласит о том, что две вычитаемые друг друга величины в квадрате равняются, тому что, от первой величины в квадрате отнимаем двойное произведение первой величины умноженное на вторую, прибавляя к ним квадрат второй величины.
(а +b)2 = а2 — 2аb + b2
где (а — b)2 равняется (b — а)2. В доказательство чему, (а-b)2 = а2-2аb+b2 = b2-2аb + а2 = (b-а)2
Четвертая формула сокращенного умножения называется куб суммы. Которая звучит как: две слагаемые величины в кубе равны кубу 1 величины прибавляется тройное произведение 1 величины в квадрате умноженное на 2-ую величину, к ним прибавляется тройное произведение 1 величины умноженной на квадрат 2 величины, плюс вторая величина в кубе.
(а+b)3 = а3 + 3а2b + 3аb2 + b3
Пятая, как вы уже поняли называется куб разности. Которая находит разности между величинами, как от первого обозначения в кубе отнимаем тройное произведение первого обозначения в квадрате умноженное на второе, к ним прибавляется тройное произведение первого обозначения умноженной на квадрат второго обозначения, минус второе обозначение в кубе.
(а-b)3 = а3 — 3а2b + 3аb2 — b3
Шестая называется — сумма кубов. Сумма кубов равняется произведению двух слагаемых величин, умноженных на неполный квадрат разности, так как в середине нет удвоенного значения.
а3 + b3 = (а+b)(а2-аb+b2)
По другому можно сказать сумму кубов можно назвать произведение в двух скобках.
Седьмая и заключительная, называется разность кубов (ее легко перепутать с формулой куба разности, но это разные вещи). Разность кубов равняется произведению от разности двух величин, умноженных на неполный квадрат суммы, так как в середине нет удвоенного значения.
а3 — b3 = (а-b)(а2+аb+b2)
И так формул сокращенного умножения всего 7, они похожи друг на друга и легко запоминаются, единственно важно не путаться в знаках. Они так же рассчитаны на то, что их можно использовать в обратном порядке и в учебниках собрано довольно много таких заданий. Будьте внимательны и все у вас получится.
Если у вас появились вопросы по формулам, обязательно пишите их в комментариях. Будем рады ответить вам!
Если Вы находитесь в декретном отпуске, но хотите зарабатывать деньги. Просто перейдите по ссылке Интернет бизнес с Орифлейм. Там все очень подробно написано и показано. Будет интересно!
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
reshit.ru
Формулы сокращенного умножения
Формулы для возведения двучлена в $n-ю$ степень
Для упрощения вычислений и преобразований различных выражений можно пользоваться заранее выведенными формулами. Одними из таких формул являются формулы возведения двучлена в $n-ю$ степень.
Данные формулы можно вывести с помощью Бинома Ньютона.
Формула бинома Ньютона для натуральных чисел имеет следующий вид:
Здесь $C^0_n,\ C^1_n,\dots ,C^{n-1}_n,C^n_n$ — коэффициенты Бинома Ньютона.
Коэффициенты разложения Бинома Ньютона можно находить с помощью треугольника Паскаля.
Треугольник Паскаля имеет следующую структуру (Таблица 1).
Рисунок 1. Структура треугольника Паскаля
Значения коэффициентов треугольника паскаля приведены в следующей таблице (таблица 2):
Рисунок 2. Коэффициенты треугольника Паскаля
Формулы для вычисления квадратов и кубов суммы и разности
Используя Бином Ньютона можно легко найти формулы для вычисления квадратов и кубов суммы и разности. Получим следующие формулы:
а) Квадрат суммы:
б) Квадрат разности:
в) Куб суммы:
г) Куб разности:
Используя полученные формулы, можно выводить также формулы кубов и квадратов трехчленов и многочленов с 4-мя и выше количеством членов. Приведем пример такого вывода. Найдем квадрат суммы трехчлена:
Для этого сделаем следующую замену. Пусть $a+b=t$, тогда
Воспользуемся формулой квадрата суммы:
Вернемся к замене:
Вновь воспользуемся формулой квадрата суммы:
Другие формулы сокращенного умножения
Представим еще несколько формул сокращенного умножения.
а) Разность квадратов двух выражений равна произведению их разность на их сумму:
б) Сумма кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы:
в) Разность кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности:
Примеры задач на применение формул сокращенного умножения
Пример 1
Упростить выражение:
а) ${(x+8)}^2-2\left(x+8\right)\left(x-2\right){+(x-2)}^2$
б) ${(y+7)}^2-2\left(y+1\right)\left(y-1\right){+(y-7)}^2$
в) $\left(a+5\right)\left(a^2-5a+25\right)-a(a^2+3)$
г) $\left(2b-1\right)\left({4b}^2+2b+1\right)-b\left(b-1\right)(b+1)$
Решение:
а) ${(x+8)}^2-2\left(x+8\right)\left(x-2\right){+(x-2)}^2$
Воспользуемся формулой квадрата разности:
\[{(x+8)}^2-2\left(x+8\right)\left(x-2\right){+(x-2)}^2=\] \[{=(x+8-x+2)}^2={10}^2=100\]б) ${(y+7)}^2-2\left(y+1\right)\left(y-1\right){+(y-7)}^2$
Воспользуется формулами квадрата суммы и разности, и разности квадратов:
\[{(y+7)}^2-2\left(y+1\right)\left(y-1\right){+(y-7)}^2=\] \[=y^2+14y+49-2y^2+2+y^2-14y+49=100\]в) $\left(a+5\right)\left(a^2-5a+25\right)-a(a^2+3)$
Воспользуемся формулой суммы кубов:
\[\left(a+5\right)\left(a^2-5a+25\right)-a\left(a^2+3\right)=\] \[=a^3+125-a^3-3a=125-3a\]г) $\left(2b-1\right)\left({4b}^2+2b+1\right)-b\left(b-1\right)(b+1)$
Воспользуемся формулой разности кубов и разности квадратов:
\[\left(2b-1\right)\left({4b}^2+2b+1\right)-b\left(b-1\right)\left(b+1\right)=\] \[={8b}^3-1-b^3+1={7b}^3\]spravochnick.ru