Формулы крамера для решения систем – Как решать систему уравнений (СЛАУ) методом Крамера: примеры, описание метода

Лекция 3 СЛУ Метод Крамера

6

Лекция 3. Системы линейных уравнений.

метод Крамера

Содержание

  1. Основные определения.

  2. Метод Крамера (определителей) решения систем линейных уравнений.

1. Основные определения

  • Системой линейных уравнений снеизвестными называется совокупность уравнений, в каждом из которых неизвестные присутствуют в первой степени:

где числа — коэффициенты при неизвестных,- номер уравнения,- номер неизвестной,— свободные члены.

,

который при подстановке в каждое уравнение системы вместо неизвестных соответственно обращает их в верные равенства.

  • Решить СЛУ – это значит указать все решения системы, то есть такие наборы значений неизвестных, которые обращают уравнения системы в тождества.

Система линейных уравнений называется:

а) совместной, если она имеет хотя бы одно решение;

б) несовместной, если она не имеет решений;

в) определенной, если она имеет единственное решение;

г) неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений;

д) однородной, если все свободные члены равны нулю ;

е) неоднородной, если есть

.

2. Метод Крамера (определителей) решения систем линейных уравнений

Правило (метод) Крамера применяется к системам, у которых число уравнений равно числу неизвестных. Этот метод использует определители.

2.1. Число уравнений и неизвестных равно 2

Рассмотрим систему линейных уравнений

Вычисляются определители:

, ,.

Здесь

— определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных;

— это определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов прина столбец свободных членов;

— это определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов прина столбец свободных членов.

1. Если , тосистема совместная и определенная, то есть имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

.

2. Если , а хотя бы один из определителей,отличен от нуля, тосистема не имеет решений (несовместная).

3. Если , тосистема имеет бесконечно много решений (совместная и неопределенная)

.

Пример 1. Решить с помощью метода Крамера систему уравнений

Решение

, поэтому СЛУ имеет единственное решение.

, .

Тогда ;.

Ответ: система уравнений совместна и определенна, ее единственное решение .

Пример 2. Решить с помощью метода Крамера систему уравнений

.

Решение

Определитель системы равен нулю: , однако один из вспомогательных определителей не равен нулю:, значит, СЛУ не имеет решений, то есть СЛУ

несовместная.

Пример 3. Решить с помощью метода Крамера систему уравнений

Решение

, ,.

Поэтому система имеет бесконечно много решений.

Разделив коэффициенты 2-го уравнения на 3, получим: Оставим только одно из этих уравнений:.

Выразим через

:, значение— любое действительное число. Это и есть выражение дляобщего решения СЛУ. Ответ можно записать так: , где.

Придавая различные значения, будем получать бесконечное множествочастных решений. Например, при получими первое частное решение

. Приполучими второе частное решение, и так далее.

2.2. Число уравнений и неизвестных равно 3

Рассмотрим СЛУ

Вычисляются определители:

, ,

, .

1. Если , то системаимеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

, .

2. Если , а хотя бы один из определителей,,отличен от нуля, тосистема не имеет решений

.

3.Если , то системаимеет бесконечно много решений.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений .

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных и вычислим его: ,

значит, СЛУ имеет единственное решение.

Найдем вспомогательные определители и значения неизвестных.

Ответ: Система совместная и определенная, единственное решение .

Рассмотрим пример, в котором СЛУ имеет бесконечное множество решений, и они будут найдены с применением формул Крамера.

Пример 5

. Решить СЛУ

Решение

Вычислим определитель системы:

Заметим, что третье уравнение системы равно сумме первых двух уравнений, т.е. зависит от первых двух уравнений.

Отбросив третье уравнение, получим равносильную систему двух уравнений с тремя неизвестными:

Оставим в левой части системы те неизвестные, коэффициенты при которых образуют определитель, не равный нулю.

Например, коэффициенты при иобразуют определитель. Поэтому оставим в левой части уравнений слагаемые с

и, а слагаемые сперенесем в правую часть с противоположным знаком.

Неизвестное назовем свободным, а неизвестные ибазисными неизвестными.

Запишем систему в виде и применим к ней правило Крамера:

;

Выражение

общее решение неопределенной СЛУ, где — любое действительное число.

Из общего решения можно получить частные решения, если придать свободной неизвестной какое-то конкретное значение.

Например, пусть , тогда; тогда частное решение. И так далее.

Контрольные вопросы

  1. Запишите общий вид системы 2 линейных уравнений с тремя неизвестными.

  2. Что называется решением СЛУ?

  3. Что значит «решить систему линейных уравнений»?

  4. Какие системы линейных уравнений называются совместными и несовместными?

  5. При каком условии система линейных уравнений снеизвестными имеет единственное решение?

  6. Напишите формулы Крамера для решения системы линейных уравнений. В каком случае они применимы?

  7. Как, зная общее решение, записать частное решение неопределенной системы?

studfiles.net

Метод Крамера

Пусть дана система трех линейных уравнений:

(1)

Для решения системы линейных уравнений методом Крамера из коэффициентов при неизвестных составляется главный определитель системы . Для системы (1) главный определитель имеет вид .

Далее составляются определители по переменным ,,. Для этого в главном определителе вместо столбца коэффициентов при соответствующей переменной записывается столбец свободных членов, то есть

, ,.

Тогда решение системы находится по формулам Крамера

, ,

Следует отметить, что система имеет единственное решение , если главный определитель.Если же и = 0,= 0,= 0, то система имеет бесчисленное множество решений, найти которые по формулам Крамера нельзя. Если же и 0, или0,или0, то система уравнений несовместна, то есть решений не имеет.

Пример

Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение:

1) Составим и вычислим главный определитель системы, состоящий из коэффициентов при неизвестных.

.

Следовательно, система имеет единственное решение.

2) Составим и вычислим вспомогательные определители, заменяя соответствующий столбец в  столбцом из свободных членов.

По формулам Крамера находим неизвестные:

, ,.

Сделаем проверку, чтобы убедиться в правильности решения

, т.е. .

, т.е.

, т.е.

Ответ: .

Пример

Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение:

1) Составим и вычислим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

.

Следовательно, система не имеет единственного решения.

2) Составим и вычислим вспомогательные определители, заменяя соответствующий столбец в  столбцом из свободных членов:

.

, , следовательно, система несовместна.

Ответ: система несовместна.

Метод Гаусса

Метод Гаусса состоит из двух этапов. Первый этап заключается в последовательном исключении переменных из уравнений системы при помощи действий, не нарушающих равносильности системы. Например, рассмотрим два первых уравнения системы (1).

(1)

Необходимо путем сложения этих двух уравнений получить уравнение, в котором отсутствует переменная . Умножим первое уравнение на, а второе на () и сложим полученные уравнения

+

Заменим коэффициент перед y, z и свободный член на ,исоответственно, получим новую пару уравнений

Заметим, что во втором уравнении отсутствует переменная x.

Проведя аналогичные действия над первым и третьим уравнениями системы (1), а затем над полученными в результате сложения вторым и третьим уравнениями, преобразуем систему (1) к виду

(2)

Такой результат возможен, если система имеет единственное решение. В этом случае решение находится при помощи обратного хода метода Гаусса (второй этап). Из последнего уравнения системы (2) находим неизвестную переменную z, затем из второго уравнения находим y, а x соответственно из первого, подставляя в них уже найденные неизвестные.

Иногда в результате сложения двух уравнений суммарное уравнение может принять один из видов:

А) , где. Это означает, что решаемая система несовместна.

Б) , то есть. Такое уравнение исключается из системы, в результате число уравнений в системе становится меньше, чем число переменных, и система имеет бесчисленное множество решений, нахождение которых будет показано на примере.

Пример

Решить систему методом Гаусса:

Решение:

Рассмотрим следующий способ осуществления первого этапа решения методом Гаусса. Запишем три строки коэффициентов при неизвестных и свободных членов, соответствующих трем уравнениям системы. Свободные члены отделим от коэффициентов вертикальной линией, а под третьей строкой проведем горизонтальную прямую.

Первую строку, которая соответствует первому уравнению системы, обведем – коэффициенты в этом уравнении останутся неизменными. Вместо второй строки (уравнения) надо получить строку (уравнение), где коэффициент при равен нулю. Для этого все числа первой строки умножим на (–2) и сложим с соответствующими числами второй строки. Полученные суммы запишем под горизонтальной чертой (четвертая строка). Для того чтобы вместо третьей строки (уравнения) также получить строку (уравнение), в которой коэффициент приравен нулю, умножим все числа первой строки на (–5) и сложим с соответствующими числами третьей строки. Полученные суммы запишем пятой строкой и проведем под ней новую горизонтальную черту. Четвертую строку (или пятую – по выбору) обведем. Выбирается строка с меньшими коэффициентами. В этой строке коэффициенты останутся неизменными. Вместо пятой строки надо получить строку, где уже два коэффициента равны нулю. Умножим четвертую строку на 3 и сложим с пятой. Сумму запишем под горизонтальной чертой (шестая строка) и обведем ее.

Все описанные действия изображены в таблице 1 при помощи арифметических знаков и стрелок. Обведенные в таблице строки запишем снова в виде уравнений (3) и, применив обратный ход метода Гаусса, найдем значения переменных x, y и z.

Таблица 1

1

1

-2

6

*(-2)

*(-5)

2

3

-7

16

5

2

1

16

0

1

-3

4

*( 3)

0

-3

11

-14

0

0

2

-2

Восстанавливаем систему уравнений, полученную в результате наших преобразований:

(3)

Обратный ход метода Гаусса

Из третьего уравнения находим.

Во второе уравнение системы подставим найденное значение, получимили.

Из первого уравнения , подставляя уже найденные значения переменных, получаем, то есть.

Чтобы убедиться в правильности решения, проверку необходимо сделать во всех трех уравнениях системы.

Проверка:

, получим

, получим

, получим

значит, система решена верно.

Ответ: ,,.

Пример

Решить систему методом Гаусса:

Решение:

Порядок действий в этом примере аналогичен порядку в предыдущем примере, а конкретные действия указаны в таблице 2.

Таблица2

2

2

1

1

*(-3)

*(-5)

3

5

-2

0

*2

5

3

6

-2

*2

0

4

-7

-3

0

-4

7

-9

0

0

0

-12

В результате преобразований получим уравнение вида , следовательно, заданная система несовместна.

Ответ: система несовместна.

Пример

Решить систему методом Гаусса:

Решение:

Таблица 3

1

2

-1

0

*(-2)

*(-4)

2

-1

3

1

4

3

1

1

0

-5

5

1

*(-1)

0

-5

5

1

0

0

0

0

В результате преобразований получим уравнение вида , которое исключается из рассмотрения. Таким образом, имеем систему уравнений, в которой число неизвестных 3, а число уравнений 2.

Система имеет бесчисленное множество решений. Чтобы отыскать эти решения, введем одну свободную переменную. (Число свободных переменных всегда равно разности между числом неизвестных и числом уравнений, оставшихся после преобразования системы. В нашем случае 3 – 2 = 1).

Пусть – свободная переменная.

Тогда из второго уравнения найдем , откуда, а затем найдемx из первого уравнения или.

Таким образом, ;;.

Сделаем проверку в уравнениях, которые не участвовали в нахождении и, то есть во втором и в третьем уравнениях первоначальной системы.

Проверка:

или , получаем.

или , получаем.

Система решена верно. Давая произвольной постоянной различные значения, будем получать различные значенияx, y и z.

Ответ: ;;.

21

studfiles.net

Теорема Крамера, формула и примеры

Пусть задана система уравнений с неизвестными

   

– матрица этой системы, а – столбец свободных членов

   

Если определитель матрицы системы , то системы линейных уравнений (1) имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам

   

где – определители матриц, которые получаются из матрицы заменой -го столбца на столбец свободных членов .

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

1.3. Системы линейных уравнений. Метод Крамера

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

(1.3)

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком виде:

(1.4)

если 0. Здесь

(1.5)

Это есть формулы Крамерарешения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 1.6.Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель основной матрицы системы:

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить метод Крамера. Вычислим остальные определители:

Тогда

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно.

Теорема Крамера.Квадратная система линейных неоднородных уравнений n-го порядка с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение, и это решение вычисляется по формулам:

где  – определитель основной матрицы, iопределитель матрицы, полученной из основной, заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо вообще не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений.

1.4. Матричный метод. Обратная матрица

Матрица А–1называетсяобратнойматрицей по отношению к матрицеА, если выполняется равенствоAA–1=A–1A=E. Только квадратные матрицы могут иметь обратные. Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Для того чтобы матрицаАимела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля:detA0.

Пример 1.7.Решить систему линейных уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).

Решение. Запишем исходную систему уравнений в матричном виде:

.

Тогда решение можно формально записать в виде:

.

Таким образом, чтобы найти решение системы, нужно вычислить обратную матрицу

.

Найдем ее

1) Вычисляем определитель исходной матрицы: .

2) Транспонируем матрицу .

3) Находим все алгебраические дополнения транспонированной матрицы:

4) Составляем присоединенную матрицу, для этого вместо элементов транспонированной матрицы ставим найденные алгебраические дополнения:

5) Записываем обратную матрицу, для этого все элементы присоединенной матрицы делим на определитель исходной матрицы:

.

6) Сделаем проверку:

.

Следовательно, обратная матрица найдена правильно.

Теперь, используя найденную обратную матрицу можно найти решение исходной системы:

.

1.5. Метод Гаусса

Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений

(1.5)

В общем случае nm.

Задача теории систем линейных уравнений состоит в том, чтобы найти все решения системы. При этом возможны три случая. 1) Система вообще не имеет решений. Системы линейных уравнений, не имеющие ни одного решения, называются несовместными. 2) Система имеет хотя бы одно решение. такие системы называютсясовместными. 3) Система имеет только одно решение. Такие системы называютсяопределёнными.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система приводится к эквивалентной системе ступенчатого вида. Рассмотрим метод Гаусса на конкретных примерах.

Пример 1.8. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Решение.Выпишем расширенную матрицу системы, а затем при помощи элементарных преобразований строк приведем ее к треугольному виду:

.

Теперь выписываем соответствующую укороченную систему уравнений. Из последнего уравнения находим значение z и подставляем его во второе уравнение. После этого из второго уравнения находим y. Найденные значения y и z подставляем в первое уравнение, из которого затем находим значение x:

Эта тройка чисел будет являться единственным решением системы.

Пример 1.9.Решить систему методом Гаусса:

Решение. Выписываем и преобразуем расширенную матрицу системы

Записываем упрощенную систему уравнений:

Здесь, в последнем уравнении получилось, что 0=4, т.е. противоречие. Следовательно, система не имеет решения, т.е. она несовместна.

Пример 1.10. Найти общее решение методом Гаусса

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы, а затем при помощи элементарных преобразований строк приведем ее трапециевидной форме:

-1

4

3

3

:15

.

Теперь выписываем соответствующую укороченную систему уравнений:

Пусть переменные x4 и x5 будут свободными, тогда переменные x1, x2 и x3 будут основными (или базисными). Их мы оставим в левой части:

Разрешая эту систему относительно x1, x2 и x3 получим

Это есть общее решение системы. Запишем это решение в параметрическом виде. Пусть x4=a и x5=5b. Тогда общее решение системы запишется в виде:

Давая числам a и b различные значения, будем получать частные решения. Например, если a=0, b=1, то x1=–7, x2=–2, x3=4, x4=0, x5=5.

studfiles.net

8. Формулы Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений.

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А

 = det (aij)

и n вспомогательных определителейi (i=), которые получаются из определителя  заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

  xi=  i( i  = ).                                                (5.4)

Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

x i=  i/ .

Если главный определитель системы  и все вспомогательные определители  i = 0 (i= ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы  = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

Пример 2.14. Решить методом Крамера систему уравнений:

                                               x1 +   x2 +  x3 +      x4 = 5,

                                               x1 + 2x2 —   x3 +    4x4 = -2,

                                             2x1 —  3x2 —   x3 —     5x4 = -2,

                                             3x1 +   x2 +2x3 + 11 x4 = 0.

Решение. Главный определитель этой системы

значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители  i ( i = ), получающиеся из определителя  путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при xi, столбцом из свободных членов:

Отсюда x1 =  1/ = 1, x2 =  2/ = 2, x3 =  3/ = 3, x4 =  4/ = -1, решение системы — вектор С=(1, 2, 3, -1)T.

9. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

Наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Пример 2.13. Решить систему уравнений методом Гаусса:

                                                      x +  y — 3z = 2,

                                                    3x — 2y +  z = — 1,

                                                    2x +  y — 2z = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

~ ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

.

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

                                                    x + y — 3z = 2,

                                                    -5y + 10z = -7,

                                                           — 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим x = — 0,7.

studfiles.net

Примеры решений: Метод Крамера

Пример 1. Решить систему уравнений методом Крамера

Решение: 

Составим и вычислим сначала главный определитель этой системы:

Так как , то система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера:

где получаются из определителя путем замены 1-го, 2-го или 3-го столбца, соответственно, на столбец свободных членов.

Таким образом:

Итак, — единственное решение.

 

Пример 2. Решить систему уравнений методом Крамера

Решение: 

Составим главный определитель этой системы:

Используя свойства определителя, создадим в первом столбце нули. Для этого

  • Вторую и третью строку оставим без изменеий, 
  • Умножим вторую строку на -2 и добавим к первой
  • Умножим вторую строку на -1 и добавим к четвертой

После этих преобразований значение определителя не изменится, но он наберет следующий вид

Теперь, воспользовавшись определением определителя и разложив его по элементам четвертого столбца, получим:

 

Итак, главный определитель системы уравнений отличен от нуля. По правилу Крамера такая система имеет единственное решение. Найдем его. Для этого создадим и вычислим еще четыре определители:

 

По правилу Крамера имеем решение:

Итак, — единственное решение.

anet.lectra.me

Матричная форма формулы Крамера

С.К. Соболев

Матричный способ решения СЛАУ, формулы Крамера, свойство присоединенной матрицы и основное свойство линейной зависимости.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ), содержащую
т уравнений и п неизвестных:

(1)

Пусть

– матрица коэффициентов при неизвестных, столбец свободных членов (чисел стоящих справа от равенства в системе (1)) и столбец неизвестных соответственно системы (1). Матрица А называется основной матрицей системы (1). Тогда очевидно, что система (1) может быть кратко записана в матричной форме

. Форма (1) называется координатной записью системы.Если , т.е. число уравнений равно числу неизвестных, то СЛАУ называется «квадратной », она принимает вид: (2)

Если же матрица А к тому же не вырождена, т.е.

, то тогда СЛАУ (2) можно решить как матричное уравнение по формуле . (3)

Этот метод называется матричным способом решения СЛАУ (2).

Пример. Решить систему матричным способом, если это возможно:

Решение . Запишем эту систему как матричное уравнение

, где
, . Вычисляем: , следовательно, матричный способ применим. Находим обратную матрицу:

Следовательно,

.

Ответ:

Формулы Крамера для решения СЛАУ

Эти формулы применимы для решения СЛАУ при тех же условиях, что и матричный способ, а именно, когда матрица А коэффициентов при неизвестных этой СЛАУ квадратная и не вырожденная . Для нахождения неизвестных квадратной системы (2) надо вычислить главный определитель

, убедиться что , и затем вычислить п вспомогательных определителей , где определитель () получается из главного определителя заменой в нем k -го столбца на столбец В свободных членов:

Тогда решением системы (2) будет:

.

Вывод формул Крамера . Распишем подробно формулу (3)

.

Вспомним, что

, где – алгебраическое дополнение элемента , равное , а – определитель порядка , полученный из главного определителя D вычеркиванием i -й строки и j -го столбца. Получим .

Итак, матричный способ дает формулу

(4)

Сравним эту формулу с выражением для

, полученным по формуле Крамера: . (5)

Заметим, что у всех элементов k -го столбца этого определителя алгебраические дополнения точно такие же, как и у элементов k -го столбца матрицы А . Поэтому, разложив определитель в (5) по этому столбцу, получим:

. (6)

Полученная формула (6) в точности совпадает с (4). Формулы Крамера доказаны.

Пример. Решить систему

методом Крамера, если это возможно:

Решение . Вычислим главный определитель системы:

, следовательно, метод Крамера применим. Далее вычислим три вспомогательных определителя:

Следовательно,

.

Дополнение 1. При выводе на лекции в ауд. 220 формулы для обратной матрицы через алгебраические дополнения использовалось основное свойство присоединенной матрицы

.

Доказательство этого свойства, в свою очередь, опиралось на два свойства определителя:

(1) Сумма произведений элементов произвольной строки квадратной матрицы на соответствующие алгебраические дополнения этой же строки равна определителю этой матрицы (и аналогично для столбцов) :

(разложение по i -й строке),
(разложение по j -му столбцу)

(2) Сумма произведений элементов произвольной строки квадратной матрицы на соответствующие алгебраические дополнения другой строки равна нулю (и аналогично для столбцов) :

, (для строк, при ),
(для столбцов, при )

Свойство (1) нам известно из общих свойств определителя, которые у нас идут без доказательства. Среди этих свойств есть, в частности, такое:
если в определителе две строки или два столбца совпадают, то он равен нулю .

Теперь докажем свойство (2). Заменим в определителе


j — строку на строку с номером i . Понятно что после этого у полученного определителя две одинаковые строки, и потому он равен нулю. Заметим также, что алгебраические дополнения изменённой j -й строки не изменились, т.к. они не зависят от элементов этой строки. Разложим определитель по j -й строке, получим:

Аналогично доказывается для столбцов.

Дополнение 2. Относительно линейной зависимости векторов теории линейного пространства, просьба не путать:

Общий критерий линейной зависимости векторов произвольного линейного пространства: Совокупность векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов выражается в виде линейной комбинации остальных.

Основное свойство линейной зависимости : Пусть даны n векторов линейного пространства , и еще какие-то т векторов этого же пространства, каждый из которых линейно выражается через , причем, . Тогда векторы линейно зависимы .

Доказательство этого свойства есть в лекциях, присланных на вашу Почту.

mirznanii.com