Формулы арифметических прогрессий – Формулы арифметической прогрессии. Формула n числа арифметической прогрессии. Формула для вычисления суммы арифметической прогрессии.

Формулы арифметической прогрессии. Формула n числа арифметической прогрессии. Формула для вычисления суммы арифметической прогрессии.

Прогрессия-это последовательность объектов, которые следуют определенному порядку. Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой разница между двумя последовательными числами одинакова.

 

Арифметическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, где разница между любыми двумя последовательными числами постоянна.

Другими словами, в арифметической прогрессии, результат одинаков, когда число вычитается из его следующего числа, по всей ее последовательности. Результат, когда число вычитается из его следующего числа, называется  шагом или разностью арифметической прогрессии.

Пример арифметической прогресии: \(1,3,5,7,9,11\), к каждому последующему числу мы прибавляем \(2\). 

Для того чтобы решать задачи по арифметической прогрессии, важно понимать формулировку  символов.

Обозначения в формулах арифметической прогрессии:

  • Первый член в арифметической прогрессии \(a_1\):

    \(1,3,5,7,9\)   \(1 -a_1\)

 

  • Какой-либо член в арифметической прогрессии \(a_n\) :

​          \(1,3,5,7,9\)  например \(a_n-3\), также это может быть любое число из прогрессии.

  •  Следующий член \(a_{n+1}\):

     \(1,3,5,7,9\)    \(3-n,\; \; \; 5-a_{n+1}\).

  • Предыдущий член арифметической прогрессии \(a_{n-1}\)

      \(1,3,5,7,9\)    \(5-n,\; \; \; 3-a_{n-1}\).

  • Сумма членов арифметической прогрессии \(S_n\):

      \(1,3,5,7,9\)   \(S_n=1+3+5+7+9=25\).

 

  • Шаг арифметической прогрессии \(d\):

       \(1,3,5,7,9\)    \(3-1=5-3=7-5=9-7=2(d)\)

  • Номер члена арифметической прогрессии \(n\):

      \(1,3,5,7,9\)    \(1\)–первый член \((n=1)\); \(3-\)второй член \((n=2)\); третий член\(-5\) \((n=3)\).

Формулы

 

Формула для нахождения \(a_n\) , если нам известно \(a_1\)и \(d\):

\(a_n=a_1+d(n-1)\)

Формула для нахождения \(a_{n+1}\) , если нам известно \(a_{n}\)  и \(d\), также мы можем выразить любое слагаемое:

 

\(a_{n+1}=a_n+d\)

Предыдущий член арифметической прогрессии, если мы знаем \(a_n\)  и \(d\):

 

\(a_{n-1}=a_n-d\)



Формула если нам известно \(a_{n+1}\)  , \(a_{n-1}\), \(n\):

\(a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\), где \(n>1\)

 



Формула нахождения суммы арифметической прогрессии, если мы знаем \(a_1\), \(a_n,n\):

 

\( S_n=\frac{(a_1+a_n)*n}{2}\)

 

Формула нахождения суммы арифметической прогрессии, если мы знаем \(a_1,d,n\):

\(S_n=\frac{2a_1+d(n-1)n}{2}\)

 

Также не забываем, что мы можем выразить неизвестную нам искомую величину, в любой вышеперечисленной формуле.

 

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

все формулы арифметической прогрессии | математика-повторение

Записи с меткой «все формулы арифметической прогрессии»

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом, называют арифметической прогрессией. Число, которое каждый раз прибавляют к предыдущему числу, называется

разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой d.

Так, числовая последовательность а1;  а2;  а3;  а4;  а5; … аn будет являться арифметической  прогрессией, если а2 = а1 + d;

а3 = а2 + d;

a4 = a3 + d;

a5 = a4 + d;

………….

an = an-1 + d

Говорят, что дана арифметическая прогрессия с общим членом аn. Записывают: дана арифметическая  прогрессия {an}.

Арифметическая прогрессия считается определенной, если известны ее первый член

a1 и разность d.

Примеры арифметической прогрессии

Пример 1.    1; 3; 5; 7; 9;…      Здесь а1 = 1; d = 2.

Пример 2.   8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;…   Здесь а1 = 8; d =-3.

Пример 3.   -16; -12; -8; -4;…    Здесь а1 = -16; d = 4.

Заметим, что каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов.

В 1 примере второй член 3 =(1+5):2  ;  т.е. а2 = (а13):2;  третий член   5 =(3+7):2;

т. е. а3 = (а24

):2.

Значит, справедлива формула:

Но, на самом деле, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому не только соседних с ним членов, но и равноотстоящих от него членов, т. е.

Обратимся  примеру 2.  Число -1 является четвертым членом арифметической прогрессии и одинаково отстоит от первого и  седьмого членов (а1 = 8, а7 = -10).

По формуле (**) имеем:

Выведем формулу n- го члена арифметической прогрессии.

Итак, второй член арифметической прогрессии мы получим, если к первому прибавим разность d; третий член получим, если ко второму прибавим разность d или к первому члену прибавим две разности d; четвертый член получим, если к третьему прибавим разность d

или к первому прибавим три разности d и так далее.

Вы уже догадались: а2 = а1 + d;

a3 = a2 + d = a1 + 2d;

a4 = a3 + d = a1 + 3d;

…………………….

an = an-1 + d = a1 + (n-1) d.

Полученную формулу an = a1 + (n-1)d               (***)

называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Теперь поговорим о том, как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии. Обозначим эту сумму через Sn.

От перестановки мест слагаемых значение суммы не изменится, поэтому ее можно записать двумя способами.

Sn = a1 + a2 + a3  + a4 + … + an-3 + an-2 + an-1+ an                    и

Sn = an + an-1 + an-2 + an-3 + ……+ a4 + a3 + a2 + a1

Сложим почленно эти два равенства:

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + (a4 + an-3) + …

Значения в скобках равны между собой, так как являются суммами равноотстоящих членов ряда, значит, можно записать: 2Sn = n· (a1 + an).

Получаем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии.

                         (****)

Если заменим аn  значением а1 + (n-1) d    по формуле  (***), то получим еще одну формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии.

                (*****)

www.mathematics-repetition.com

Арифметическая прогрессия, формулы и примеры

Основные формулы арифметической прогрессии

Число называется разностью арифметической прогрессии. Любой член арифметической прогрессии можно найти по формуле:

   

Сумму первых членов арифметической прогрессии можно посчитать, используя формулы:

   

или

   

Количество членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

   

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Арифметическая прогрессия | Формулы с примерами

Определение
Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность (an), в которой для любого натурального n

d — разность арифметической прогрессии (заданное число).

Пример
Дано Арифметическая прогрессия
1. a1 = 2; d = 3 2; 5; 8; 11; 14; 17; …
2. a1 = 11; d = -4,8 11; 6,2; 1,4; -3,4; -8,2; …

Если d > 0, то прогрессия возрастающая.
Если d , то прогрессия убывающая.

Формула
Формула общего (n-го) члена арифметической прогрессии:

Формулы
Формулы суммы Sn n первых членов арифметической прогрессии.

Где: S1 = a1;   Sn = a1 + a2 + … + an.

Пример решения
a1 = 3,9;   d = -1,1.   Найти a80 и сумму S100.

a80 = a1 + 79d = — 83.

S100

= 2a1 + 99d2 • 100 = -5055.

Свойство
Характеристическое свойство.

formula-xyz.ru

Внеклассный урок — Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия

Прогрессия – это определенная последовательность чисел.
Последовательность обозначается так: (an)

Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности.

Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена (a1, a2, a3 и т.д.- читается так: «а первое», «а второе», «а

третье» и т.д.).

Последовательность может быть бесконечной или конечной.

 

Понятие арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия – это такая последовательность чисел, которая получается в результате сложения каждого последующего члена с одним и тем же числом.

Пример:

Возьмем последовательность чисел 3; 10; 17; 24; 31.
Здесь каждое последующее число на 7 больше предыдущего. То есть последовательность получилась в результате прибавления одного и того же числа 7 к каждому последующему члену. Это и есть арифметическая прогрессия:

3+7=10

10+7=17

17+7=24

24+7=31

 

Формула арифметической прогрессии.

Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой:

an = kn + b,

где k и b – некоторые числа.

И наоборот: если последовательность задана подобной формулой, то эта последовательность точно является арифметической прогрессией.

Пример: формула an = 8n – 2 является формулой арифметической прогрессии, так как она задана формулой типа an = kn + b. В ней k = 8, b = –2.

 

Разность арифметической прогрессии.

Разность арифметической прогрессии – это разность между последующим и предыдущим членами прогрессии. Ее обычно обозначают буквой d.

Пример:
Вернемся к нашей прогрессии 3; 10; 17; 24; 31. В ней разность между второй и первой, третьей и второй и т.д. членами равна 7. Число 7 и является разностью данной арифметической прогрессии.

 

Свойства арифметической прогрессии.

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

2) Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией.

В нашем примере второй член равен средней арифметической первого и третьего членов:

3 + 17
——— = 10.
    2

Точно так же третий член равен средней арифметической второго и четвертого членов и т.д.

 

Как найти определенный член арифметической прогрессии.

Чтобы найти n-й член арифметической прогрессии, следует применить формулу:

an = a1 + d(n – 1)

Пример:

Возьмем некую арифметическую прогрессию, в которой первый член равен 3, а разность арифметической прогрессии составляет 4. Надо найти 45-й член этой прогрессии.

Дано:
b1 = 3
d = 4
n = 45
———
b45 — ?

Решение.

Применим формулу bn = b1 + d(n – 1):

b45 = 3 + 4(45 – 1) = 3 + 4 · 44 = 3 + 176 = 179.

Ответ: 45-й член заданной арифметической прогрессии – число 179.

 

Как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии.

Сумму любого количества первых членов арифметической прогрессии можно найти
с помощью формулы:

 

                                                                              (a1 + an) n
                                                                       
Sn = —————
                                                                                       2

Если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться другой формулой: 

 

                                                                             2a1 + d(n – 1)
                                                                    
Sn = —————— n
                                                                                       2

Пример 1: Найдем сумму первых ста членов арифметической прогрессии 1+2+3+4+5 и т.д.+100.

Дано:
a1 = 1
n = 100
an = 100
————
S100 — ?

Решение:

           (1 + 100) · 100          101 · 100
S100 = ——————— = ————— = 5050
                       2                           2

Ответ: Сумма первых ста членов заданной арифметической прогрессии равна 5050.

 

Пример 2: Найдем сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, в которой первый член равен 5, разность арифметической прогрессии составляет 3.

Дано:
a1 = 5
d = 3
————
S20 — ?

Решение:

1) Найдем сначала двадцатый член по уже известной нам формуле an = a1 + d(n – 1):
a20 = 5 + 3 (20 – 1) = 5 + 3 · 19 = 62.

2) Теперь уже легко решить нашу задачу.

По формуле 1:

              (5 + 62) · 20
S20 = ———————  = 670
                      2

 

По формуле 2:

             2 · 5 + 3 · (20 – 1)
S20 = ————————— · 20  = 670
                           2

Ответ: Сумма первых двадцати членов заданной арифметической прогрессии равна 670.

 

raal100.narod.ru