Формула сокращенного умножения примеры – 7 класс. Алгебра. Формулы сокращенного умножения. — Формулы сокращенного умножения.

7 класс. Алгебра. Формулы сокращенного умножения. — Формулы сокращенного умножения.

Комментарии преподавателя

На данном уроке мы познакомимся с формулами квадрата суммы и квадрата разности и выведем их. Формулу квадрата суммы докажем геометрически. Кроме того, решим много различных примеров с применением этих формул.

 

Рас­смот­рим фор­му­лу квад­ра­та суммы:

.

Итак, мы вы­ве­ли фор­му­лу квад­ра­та суммы:

.

Сло­вес­но эта фор­му­ла вы­ра­жа­ет­ся так: квад­рат суммы равен квад­ра­ту пер­во­го числа плюс удво­ен­ное про­из­ве­де­ние пер­во­го числа на вто­рое плюс квад­рат вто­ро­го числа.

Дан­ную фор­му­лу легко пред­ста­вить гео­мет­ри­че­ски.

Рас­смот­рим квад­рат со сто­ро­ной :

 – пло­щадь квад­ра­та.

С дру­гой сто­ро­ны, этот же квад­рат можно пред­ста­вить иначе, раз­бив сто­ро­ну на а и b (рис. 1).

Рис. 1. Квад­рат

Тогда пло­щадь квад­ра­та можно пред­ста­вить в виде суммы пло­ща­дей:

.

По­сколь­ку квад­ра­ты были оди­на­ко­вы, то их пло­ща­ди равны, зна­чит:

 .

Итак, мы до­ка­за­ли гео­мет­ри­че­ски фор­му­лу квад­ра­та суммы.

Рас­смот­рим при­ме­ры:

При­мер 1:

.

Ком­мен­та­рий: при­мер решен с при­ме­не­ни­ем фор­му­лы квад­ра­та суммы.

При­мер 2:

.

При­мер 3:

+1.

Вы­ве­дем фор­му­лу квад­ра­та раз­но­сти:

.

Итак, мы вы­ве­ли фор­му­лу квад­ра­та раз­но­сти:

.

Сло­вес­но эта фор­му­ла вы­ра­жа­ет­ся так: квад­рат раз­но­сти равен квад­ра­ту пер­во­го числа минус удво­ен­ное про­из­ве­де­ние пер­во­го числа на вто­рое плюс квад­рат вто­ро­го числа.

Рас­смот­рим при­ме­ры:

При­мер 4:

.

При­мер 5:

.

При­мер 6:

.

Фор­му­лы квад­ра­та суммы и квад­ра­та раз­но­сти могут ра­бо­тать как слева на­пра­во, так и спра­ва на­ле­во. При ис­поль­зо­ва­нии слева на­пра­во это будут фор­му­лы со­кра­щен­но­го умно­же­ния, они при­ме­ня­ют­ся при вы­чис­ле­нии и пре­об­ра­зо­ва­нии при­ме­ров. А при ис­поль­зо­ва­нии спра­ва на­ле­во – фор­му­лы раз­ло­же­ния на мно­жи­те­ли.

Рас­смот­рим при­ме­ры, в ко­то­рых нужно раз­ло­жить за­дан­ный мно­го­член на мно­жи­те­ли, при­ме­няя фор­му­лы квад­ра­та суммы и квад­ра­та раз­но­сти. Для этого нужно очень вни­ма­тель­но по­смот­реть на мно­го­член и опре­де­лить, как имен­но его пра­виль­но раз­ло­жить.

При­мер 7:

.

Ком­мен­та­рий: для того, чтобы раз­ло­жить мно­го­член на мно­жи­те­ли, нужно опре­де­лить, что пред­став­ле­но в дан­ном вы­ра­же­нии. Итак, мы видим квад­рат  и квад­рат еди­ни­цы. Те­перь нужно найти удво­ен­ное про­из­ве­де­ние – это . Итак, все необ­хо­ди­мые эле­мен­ты есть, нужно толь­ко опре­де­лить, это квад­рат суммы или раз­но­сти. Перед удво­ен­ным про­из­ве­де­ни­ем стоит знак плюс, зна­чит, перед нами квад­рат суммы.

При­мер 8:

.

При­мер 9:

.

Ком­мен­та­рий: для ре­ше­ния дан­но­го при­ме­ра нужно вы­не­сти минус за скоб­ки, чтобы можно было уви­деть нуж­ную нам фор­му­лу.

Пе­рей­дем к ре­ше­нию урав­не­ний:

При­мер 10:

;

;

;

;

;

.

Ком­мен­та­рий: для ре­ше­ния дан­но­го урав­не­ния нужно упро­стить левую часть, при­ме­няя фор­му­лу раз­но­сти квад­ра­тов и квад­ра­та раз­но­сти, после этого при­ве­сти по­доб­ные члены. После этого пе­ре­не­сти все неиз­вест­ные в левую часть, а сво­бод­ный член в пра­вую и ре­шить эле­мен­тар­ное ли­ней­ное урав­не­ние.

При­мер 11:

Вы­чис­лить: .

Ком­мен­та­рий: для ре­ше­ния дан­но­го при­ме­ра нужно при­ме­нить фор­му­лы раз­но­сти квад­ра­тов и квад­ра­та суммы, после этого со­кра­тить по­лу­чен­ную дробь.

При­мер 12:

До­ка­зать ра­вен­ство:

.

Раз­ло­жим на мно­жи­те­ли :

.

Из каж­до­го мно­жи­те­ля вы­не­сем минус еди­ни­цу за скоб­ки:

.

Мы до­ка­за­ли ра­вен­ство (a — b)2 = (b — a)2.

Дан­ное ра­вен­ство яв­ля­ет­ся очень по­лез­ным при упро­ще­нии вы­ра­же­ний. Рас­смот­рим при­мер.

При­мер 13:

Раз­ло­жить на мно­жи­те­ли: .

При­мер 14:

До­ка­жи­те, что квад­рат вся­ко­го нечет­но­го числа, умень­шен­ный на еди­ни­цу, де­лит­ся на во­семь.

Пред­ста­вим про­из­воль­ное нечет­ное число как , а его квад­рат, со­от­вет­ствен­но, как . За­пи­шем вы­ра­же­ние со­глас­но усло­вию:

.

Упро­стим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние:

.

Чтобы до­ка­зать, что по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние крат­но вось­ми, нам нужно до­ка­зать, что оно де­лит­ся на 2 и на 4. Оче­вид­но, что вы­ра­же­ние крат­но че­ты­рем, так как в нем есть мно­жи­тель 4. По­это­му нам нужно до­ка­зать, что  де­лит­ся на 2.

За­пись 

www.kursoteka.ru

Формулы сокращенного умножения | Учеба-Легко.РФ

Формулы сокращенного умножения

 

Формулы сокращенного умножения

Ключевые слова: квадрат суммы, квадрат разности, куб суммы, куб разности, разность квадратов, сумма кубов, разность кубов

  • Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a+b)2=a2+2ab+b2
  • Квадрат разности 
    двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a-b)2=a2-2ab+b2
  • Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов(a+b)(a-b)=a2-b2
  • Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
  • Куб разности 
    двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй. (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
  • Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов( a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3
  • Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов. (a-b)(a2+ab+b2)=a3— b3

Очень часто приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить путём применения формул сокращённого умножения . Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Формулы сокращённого умножения нужно знать наизусть:

 

Пример. Докажите формулу a 3 + b 3 = ( a + b )( a 2 – ab + b 2 ).

Решение. Имеем ( a + b )( 2 – ab

 + b 2 ) = a 3 – a 2 b + ab 2 + ba 2 – ab 2 – b 3. Приводя подобные слагаемые, мы видим, что ( a + b )( a 2 – ab + b 2 ) = a 3 + b 3, что и доказывает нужную формулу.

 

Пример. Упростите выражение (2 x 3 – 5 z )(2 x 3 + 5 z ).

Решение. Воспользуемся формулой разности квадратов, получим: (2 x 3 – 5 )(2 x 3

 + 5 z ) = (2 x 3 ) 2 – (5 z ) 2 = 4 x 6 – 25 z 2.

Ответ. x 6 – 25 z 2.

 


Лекция добавлена 04.08.2012 в 22:56:28

uclg.ru

Формулы сокращенного умножения. Примеры решений задач | Учеба-Легко.РФ

1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

2. (a — b)2 = a2 — 2ab + b2.

3. a

2 — b2 = (a + b)(a — b).

4. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

5. (a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3.

6. a3 + b3 = (a + b)(a2 — ab + b2).

7. a3 — b3 = (a — b)(a2 + ab + b2).

 

Раздел «Формулы сокращенного умножения» содержит простые, но в то же время фундаментальные задачи, позволяющие в многочлене увидеть большее, чем просто разложение на множители. Научившись решать такие задачи, вы развиваете интуитивные начала, которые пригодятся в будущем при анализе и решении многих задач.

Применение формул сокращенного умножение не должно доставить много трудностей. Достаточно выучить их и закрепить решением ряда примеров. А посидев некоторое время над многочленами в поисках группировок и разложения на множители, вы вскоре легко станете «щелкать» такие задачи.

 

Представить в виде многочлена (x2 — )2.

____________________________________

Применяем формулу квадрата разницы и получаем:

(x2 — )2 = (x2)2 — 2·x2· + ()2 = x4 — 2x2 + 5.

Ответ: x4 — 2x2 + 5.

 

Представить в виде многочлена -( — x)(x2 — 3)(x + ).

_______________________________________________

Очевидно, что можно решить задачу открыв первые две скобки, далее последующие две. Но, если присмотреться, можно заметить более простой путь к решению задачи. А именно — занеся минус в первые скобки и открыв крайние мы получим квадрат разности, который легко преобразуется в многочлен:

-( — x)(x2 — 3)(x + ) = (x — )(x + )(x2 — 3) = (x2 — 3)(x2 — 3) = (x2 — 3)2 = x4 — 6x2 + 9.

Ответ: x4 — 6x2 + 9.

 

Разложить на множители x3 — 3x2 + 4.

Глянув на выражение сложно решить, что делать, какую формулу сокращенного умножения здесь применить. Потому для начала нужно сгруппировать выражение так, чтобы применение формулы стало очевидным. Такие решения нетривиальны. Навык, чувство группировки вырабатывается после решения определенного количества подобных задач.

В данной задаче отметим, что отняв и добавив x2 у нас появляются возможные варианты для группирования. Далее применяя формулы сокращенного умножения получаем ответ:

x3 — 3x2 + 4 = x3 + x2 — 4x2 + 4 = x2(x + 1) — 4(x2 — 1) =

x2(x + 1) — 4(x — 1)(x + 1) = (x2 — 4(x — 1))(x + 1) = (x2 — 4x + 4)(x + 1) = (x — 2)2(x + 1).

Ответ: (x — 2)2(x + 1).

 

Разложить на множители x4 — 4x3 + 3x2 + 4x — 4.

_________________________________________

Пусть вас не пугает степень многочлена и неясность, что делать. Начинайте группировать выражения и вскоре вы прийдете к ответу:

x4 — 4x3 + 3x2 + 4x — 4 = x2(x2 — 4x + 3) + 4(x — 1) = x2(x2 — x — 3x + 3) + 4(x — 1) =

x2(x[x — 1] — 3[x — 1]) + 4(x — 1) = x2(x — 3)(x — 1) + 4(x — 1) = (x — 1)(x2[x — 3] + 4) =

= (x — 1)(x3 — 3x2 + 4).

Так как мы уже решили предыдущую задачу, то знаем, что второй множитель (x3 — 3x2 + 4) равен (x — 2)2(x + 1), а потому:

(x — 1)(x3 — 3x2 + 4) = (x — 1)(x + 1)(x — 2)2.

Ответ: (x — 1)(x + 1)(x — 2)2.

 

Подставить вместо многоточия одночлены так, чтобы выполнялось равенство

(3x + …)2 = 9x2 + 6ax + …

____________________________________________________________________

Найдем второй, неизвестный пока что член квадрата суммы. Мы знаем, что 6axявляется удвоенным произведением членов. А так как первый равен 3x, то второй будет равен 6ax / 2·3x = a. Запишем:

(3x + a)2 = 9x2 + 6ax + …

Далее получим недостающий одночлен, как квадрат второго члена, согласно формуле. Он будет равен a2.

Ответ: (3x + a)2 = 9x2 + 6ax + a2.

 

Подставить вместо многоточия одночлены так, чтобы выполнялось равенство

(15x — …)2 = … — … + 50y.

____________________________________________________________________

Согласно формуле сокращенного умножения квадрата разницы найдем второй член в равенстве слева. Его квадрат равен 50y, а, значит, недостающий одночлен равен . Левая часть равенства определена, теперь нам не составит труда заполнить остальные многоточия. (15x)2 = 225x2 — первый одночлен правой части найден. Найдем и второй 2·15x·5 = 150x.

Ответ: (15x — 5)2 = 225x2 — 150x + 50y.

 

Первоисточник: easymath.com.ua

uclg.ru

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения помогают существенно облегчить вычисления. Суть их применения заключается в том, что вместо того, чтобы раз от разу совершать одни и те же алгебраические преобразования, можно сразу записывать их результат. Кроме того, разложение на множители по формулам сокращенного умножения часто помогает решить на первый взгляд сложные уравнения и неравенства.

Итак, вспомним формулы сокращенного умножения:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

8. Полезные тождества:

Примеры  использования формул сокращенного умножения:

1. Вычислить: 1992

1992=(200-1)2=2002-2х200+1=40000-400+1=39601

2. Вычислить:

3. Решить уравнение:  

Перенесем слагаемые в левую часть:

 

Разложим на множители по формуле разности квадратов:

Очевидно, что выражение во вторых скобках  не равно нулю ни при каких значениях х. Приравняем к нулю выражение в первых скобках:

Снова разложим на множители по формуле разности квадратов:

 

 

x=1/3

Скачать таблицу формулы сокращенного умножения

ege-ok.ru

Формулы сокращённого умножения [wiki.eduVdom.com]

Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть. Пусть а, b принадлежит R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения. $$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$ 2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения. $$(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2$$ 3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы. $$a^2 — b^2 = (a-b) (a+b)$$ 4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения. $$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$ 5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

$$(a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3$$ 6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений. $$a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 — ab + b^2)$$ 7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

$$a^3 — b^3 = (a — b) (a^2 + ab + b^2)$$ Применение формул сокращенного умножения при решении примеров. Пример 1. Вычислить а)$$(40+1)^2$$ Решение: Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем $$(40+1)^2 = 40^2 + 2 · 40 · 1 + 1^2 = 1600 + 80 + 1 = 1681$$ б)$$98^2$$ Решение: Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим $$98^2 = (100 – 2)^2 = 100^2 — 2 · 100 · 2 + 2^2 = 10000 – 400 + 4 = 9604$$ Пример 2. Упростить выражение. $$(х — у)^2 + (х + у)^2$$ Решение: Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений $$(х — у)^2 + (х + у)^2 = х^2 — 2ху + у^2 + х^2 + 2ху + у^2 = 2х^2 + 2у^2$$

Рекомендуем


subjects/mathematics/формулы_сокращённого_умножения.txt · Последние изменения: 2013/08/16 18:22 —

wiki.eduvdom.com

Формулы сокращённого умножения — 7 класс — Алгебра — Каталог статей

Формулы сокращённого умножения
При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.
 

Следует также помнить, что вместо a и b в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.
 

Разность квадратов
    

  • Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.
  • a2 — b2 = (a — b)(a + b)

Примеры:
•    152 — 22 = (15 — 2)(15 + 2) = 13 x 17 = 221
•    9a2 — 4b2с2 = (3a — 2bc)(3a + 2bc)
 

Квадрат суммы
    

  • Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
  • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик.

Поясним на примере:
Найти 1122.
•    Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.2 
112 = 100 + 12
•    Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат. 
1122 = (100 + 12)2
•    Воспользуемся формулой квадрата суммы: 
1122 = (100 + 12)2= 1002 + 2 x 100 x 12 + 122 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544
 

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.
•    (8a + с)2= 64a2 + 16ac + c2
 

Предостережение!
(a + b)2 не равно a2 + b2
 

Квадрат разности
    

  • Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.
  • (a — b)2 = a— 2ab + b2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:
(a — b)2 = (b — a)2


Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:
(a — b)2 = a2 — 2ab + b2 = b2 — 2ab + a2 = (b — a)2


Куб суммы
    

  • Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
  • (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.
•    Выучите, что в начале идёт a3.
•    Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3.
•    Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1. (a0 = 1, b0= 1). Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени a и увеличение степени b.

В этом можно убедиться: 
(a + b)3 = a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2+ b3a0 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
 

Предостережение!
(a + b)не равно a3 + b3
 

Куб разности
    

  • Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.
  • (a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и «-». Перед первым членом a3 стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «-», затем опять «+» и т.д.
(a — b)3 = + a3 — 3a2b + 3ab— b3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3 

Сумма кубов
Не путать с кубом суммы!
    

  • Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.
  • a3 + b3 = (a + b)(a2 — ab + b2)

Сумма кубов — это произведение двух скобок.
•    Первая скобка — сумма двух чисел.
•    Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:

a2— ab + b2

Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.
 

Разность кубов
Не путать с кубом разности!
    

  • Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.
  • a3 — b3 = (a — b)(a2 + ab + b2)

Будьте внимательны при записи знаков.
 

Применение формул сокращенного умножения
Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.
 

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.
 

Примеры:
•    a2+ 2a + 1 = (a + 1)2
•    (aс — 4b)(ac + 4b) = a2c2 — 16b2
 

matematik.3dn.ru

Формулы сокращенного умножения

При выполнении различных алгебраических преобразований встречаются часто некоторые частные случаи умножения. Получающиеся при этом произведения полезно запомнить наизусть, чтобы в дальнейшем, когда эти случаи встретятся, можно было сразу написать результат, не производя каждый раз почленного умножения. Равенства, выражающие эти частные случаи умножения, называются формулами сокращенного умножения.

1. Квадрат суммы. Возведем в квадрат сумму двух чисел a и b.

(a + b)2 = (a+b)(a+b) = a2 + ab + ab + b2

Приведя подобные члены получим:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Эту формулу следует запомнить как в приведенной записи, так и в словесном выражении.

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Примеры:
1)

(3a + 2b)2 = (3a)2 + 2 * 3a * 2b + (2b)2 = 9a2 + 12ab + 4b2.

Следует приобрести навык писать сразу окончательный результат, не проводя промежуточной записи, которая показана в этом примере.

2) Эта формула применяется при устном возведении в квадрат чисел, немного больших «круглого» числа, например:

412 = (40 + 1)2 = 402 + 2 * 40 * 1 + 12 = 1681;
322 = (30 + 2)2 = 302 + 2 * 2 * 30 + 22 = 900 + 120 + 4 = 1024.

3) Особенно легко запомнить прием возведения в квадрат чисел, оканчивающихся пятеркой. Положим, число имеет a десятков и 5 единиц. Тогда его можно записать так:

10a + 5.

Возведем это число в квадрат по формуле:

(10a + 5)2 = 100a2 + 2 * 5 * 10a + 52 = 100a2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25.

Полученное выражение показывает, что для возведения в квадрат числа, оканчивающегося пятеркой, надо число его десятков умножить на число, единицей большее, и к произведению приписать 25. Например:

652 = 6 * 7 * 100 + 25 = 4225;
852 = 8 * 9 (сотен) + 25 = 7225;
3,52 = 3 * 4 + 0,25 = 12,25.

Последний пример можно записать так:
Значит, чтобы возвести в квадрат смешанное число, дробная которого равна , достаточно целую часть умножить на число, единицей большее, и к произведению прибавить .2. Квадрат разности.

(a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – ab – ab + b2.
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2.

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Эта формула отличается от ранее выделенной формулы только знаком среднего члена. Поэтому часто пишут сразу обе формулы так:
Примеры:

1)

(4a2b – ab)2 = 16a4b2 – 8a2b * ab + a2b2 = 16a4b2 – 8a3b2 + a2b2.

И здесь следует стараться написать сразу результат, производя промежуточные вычисления в уме.

2) Эта формула применяется при устном возведении в квадрат чисел, немного меньших «круглого» числа, например:

392 = (40 – 1)2 = 402 – 2 * 40 + 1 = 1521;
482 = (50 – 2)2 = 2500 – 2 * 2 * 50 + 4 = 2304;
792 = (80 – 1)2 = 6400 – 160 + 1 = 6241.

3. Произведение суммы двух чисел на их разность.

(a + b)(a – b) = a2 + ab – ab – b2.
(a + b)(a – b) = a2 – b2.

Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Примеры.

1) (5a + 2b)(5a – 2b) = 25a2 – 4b2.

2) (2a2 + 3b3)(2a2 – 3b3) = 4a4 – 9b6.

3) Эта формула применяется при устном умножении двух чисел, из которых одно на несколько единиц больше «круглого» числа, на сколько другое меньше его, например: 47 и 53, 68 и 72.

47 * 53 = (50 – 3)(50 + 3) = 502 – 32 = 2491;
68 * 72 = 702 – 4 = 4896;
33 * 27 = 900 – 9 = 891.

4) Но иногда бывает полезно поступить наоборот: для вычисления разности квадратов двух чисел заменить эту разность произведением суммы оснований на их разность, например:

1022 — 1012 = (102 – 101)(102 + 101) = 203;
542 — 462 = (54 – 46)(54 + 46) = 800;

4. Куб суммы.

(a + b)3 = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3;
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго числа.

Примеры.

1) (2a + 3b)3 = 8a3 + 3 * 4a2 * 3b + 3 * 2a * 9b2 + 27b3 = 8a3 + 36a2b + 54ab2 + 27b3.

2) 113 = 103 + 3 * 102 + 3 * 10 + 1 = 1331.

5. Куб разности.

(a – b)3 = (a – b)2(a – b) = (a2 – 2ab + b2)(a – b).

Произведя умножение и приведя подобные члены, получим:

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго числа.

Примеры.
1) (x – 2)3 = x3 – 6x2 + 12x – 8.
2) (3a – 2b)3 = 27a3 – 54a2b + 36ab2 – 8b3.

mthm.ru