Формула сокращенного умножения калькулятор – Вычислите используя формулы сокращённого умножения не используя калькулятор и таблицу… — Алгебра

Калькулятор онлайн — Упрощение многочлена (умножение многочленов) (с подробным решением)

С помощью данной математической программы вы можете упростить многочлен.
В процессе работы программа:
— умножает многочлены
— суммирует одночлены (приводит подобные)
— раскрывает скобки
— возводит многочлен в степень

Программа упрощения многочленов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы вы могли проконтролировать свои знания по математике и/или алгебре.

Данная программа может быть полезна учащимся общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Примеры подробного решения >>

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Произведение одночлена и многочлена. Понятие многочлена

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:

\( 5a^4 — 2a^3 + 0,3a^2 — 4,6a + 8 \)
\( xy^3 — 5x^2y + 9x^3 — 7y^2 + 6x + 5y — 2 \)

Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

Например, многочлен
\( 8b^5 — 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 — 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.

Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\( 8b^5 — 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 — 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\( = 8b^5 — 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\( 8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида.

За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \( 12a^2b — 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \( 2b^2 -7b + 6 \) — вторую.

Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:
\( 5x — 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 — 18x^3 + 5x + 1 \)

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки — это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\( 9a^2b(7a^2 — 5ab — 4b^2) = \)
\( = 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\( = 63a^4b — 45a^3b^2 — 36a^2b^3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \( (a + b)^2, \; (a — b)^2 \) и \( a^2 — b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \( (a + b)^2 \) — это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.

Выражения \( (a + b)^2, \; (a — b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:
\( (a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\( = a^2 + 2ab + b^2 \)

Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

\( (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) — квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.

\( (a — b)^2 = a^2 + b^2 — 2ab \) — квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.

\( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \) — разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно — правые части левыми. Самое трудное при этом — увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

www.mathsolution.ru

Формулы сокращённого умножения.

— часто встречающиеся случаи умножения многочленов, используются для разложения многочленов на множители, упрощения выражений, приведения многочленов к стандартному виду. Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых.

Формулы для квадратов
( a + b )2 = a 2 + 2 ab + b 2	– квадрат суммы
( a – b )2 = a 2 – 2 ab + b 2	– квадрат разности
a 2 – b 2 = ( a – b )( a + b )	– разность квадратов
( a + b + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ab + 2 ac + 2 bc
Формулы для кубов
( a + b )3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3	– куб суммы
( a – b )3 = a 3 – 3 a 2 b + 3 a b 2 – b 3	– куб разности
a 3 + b 3 = ( a + b )( a 2 – ab + b 2)	– сумма кубов
a 3 – b 3 = ( a – b )( a 2 + ab + b 2)	– разность кубов
Формулы для четвёртой степени
( a + b )4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 a b 3 + b 4
( a – b )4 = a 4 – 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 – 4 a b 3 + b 4
a 4 – b 4 = ( a – b )( a + b )( a 2 + b 2)
Формулы для n -той степени
( a + b ) n = an + na n – 1 b +  n ( n – 1) a n – 2 b 2 + … +  n ! an – kbk + … + bn 2 k !( n – k )!
( a – b ) n = an – na n – 1 b +  n ( n – 1) a n – 2 b 2 + … + (-1) k   n ! an – kbk + … + (-1) nbn 2 k !( n – k )!

o-math.com

Формулы сокращенного умножения

Решая различные задачи, часто приходится умножать друг на друга двучлены следующего вида: , и т.п. Чтобы в таком случае сразу можно было записать ответ, полезно запомнить определенные тождества, которые называются формулами сокращенного умножения.

При помощи формул сокращенного умножения некоторые многочлены можно разложить на множители либо ускорить процесс умножения некоторых выражений друг на друга.

Приведем формулы сокращенного умножения 7 класс:

Квадрат суммы

   и обратная   

Квадрат разности

   и обратная   

Разность квадратов

   и обратная   

Куб суммы

   и обратная   

Куб разности

   и обратная   

Сумма кубов

   и обратная   

Разность кубов

   и обратная   

Отметим, что разложение на множители является обратным преобразованием к умножению многочленов. Схематически, на примере формулы «разность квадратов», это можно изобразить так:

   

Формулы сокращенного умножения были известны уже давно, еще древнегреческим и древнекитайским математикам. Записывали их словами и доказывали геометрически для положительных чисел. Используя рисунок, доказывали, что площадь квадрата со стороною равна сумме площадей двух квадратов со сторонами и и прямоугольников со сторонами , . То есть доказывали выполнение равенства

   

Аналогично доказывались и остальные формулы сокращенного умножения.

Бином Ньютона

Отметим, что формулы квадрат суммы/разности, куб суммы/разности являются простейшими случаями формулы бинома Ньютона:

   

ru.solverbook.com

онлайн калькулятор, формула, вычисления с примерами

Сумма двух кубов – это формула сокращенного умножения, позволяющие преобразовывать и упрощать математические выражения. Формулы сокращенного умножения постоянно используются при развязывании уравнений или решении алгебраических, тригонометрических, логарифмических и показательных выражений.

Историческая справка

Некоторые формулы сокращенного умножения были составлены еще в четвертом тысячелетии до нашей эры древними вавилонянами. Древние греки развили идеи вавилонских ученых и разработали целый набор подобных формул. Однако античные математики мыслили зримо – в то время числа визуализировались в геометрических фигурах или подручных предметах, например, камнях на счетной доске. Формулы суммы квадратов выводились не алгебраически, а геометрически, путем рассечения плоского квадрата на части. Расцвет математической науки пришелся на времена Лейбница, Ньютона и Эйлера и именно эти ученые внесли большой вклад в развитие формул сокращенного умножения.

Сумма двух кубов

Алгебраический куб – это возведение числа или неизвестного в третью степень. Следовательно, сумма двух кубов – это результат сложения двух чисел в третьей степени. Записывается это следующим образом:

a³ + b³

Такой пример решается довольно просто, но при любых значениях a и b ответ можно представить в виде:

(a + b) × (a² − ab + b²).

Следовательно, у нас есть тождество, которое работает при любых значениях переменных:

a³ + b³ = (a + b) × (a² − ab + b²).

Доказать его можно простым раскрытием скобок и сокращением членов в правой части выражения. Данное тождество используется для сокращения выражений и быстрого поиска ответов или для разложения на множители.

Вряд ли подобные формулы понадобятся нам в реальной повседневности, но школьникам крайне важно знать формулы сокращенного умножения наизусть. Простыми словами формула звучит так: сумма двух кубов есть произведение суммы членов выражения на неполный квадрат их разности. Словосочетание «неполный» квадрат может вызвать у ребят сомнения. Полный квадрат разности – это еще одна формула сокращенного умножения, которая выглядит так:

(a − b)² = a² − 2ab + b²

В левой части у нас квадрат разности a – b, а справа – полный квадрат, разложенный на множители. Выражение a

2 – ab + b² для суммы двух кубов носит название неполного, так как в нем произведение ab без двойки. Данные тождества используются для упрощения громоздких выражений, а также для проверки полученных результатов сложения кубов или квадратов больших чисел.

Применение формулы на практике

Сумма двух кубов используется на практике для упрощения многочленов. Например, у нас есть сложный тригонометрический пример:

(sinx + cosy) × (sin² x − sinx × cosy + cos² y)

Решать этот пример при помощи тригонометрического аппарата было бы довольно сложно, особенно для школьника, незнакомого со свойствами синусов и косинусов. Однако мы можем применить правило суммы двух кубов, ведь данный пример полностью повторяет разложение на множители выражения a

2 + b², только здесь a = sinx, b = cosy. В итоге громоздкое тригонометрическое выражение превратится в компактную запись:

sin³ x + cos³ y.

Теперь давайте применим эту формулу при счете. Большинство людей практически наизусть знает квадраты натуральных чисел до 15, а те, кто постоянно занимается арифметикой, знают куда больше квадратов. С кубами все обстоит сложнее, поэтому если вам требуется посчитать сумму двух кубов, куда проще использовать формулу разложения на множители. Например, давайте посчитаем выражение:

15³ + 12³

Сходу вычислить кубы этих чисел непросто, если вы не ученик математического кружка. Давайте используем формулу:

15³ + 12³ = (15 + 12) × (15² − 15×12 + 12²)

Квадраты 12 и 15 многие помнят наизусть – это 144 и 225 соответственно. Осталось провести небольшие вычисления:

15³ + 12³ = 27 × (225 − 180 + 144) = 27 × 189 = 5 103

Проверим вычисления на калькуляторе. Число 15 в кубе дает 3 375, а 12 — 1 728. Суммируем их и получим 3 375 + 1 728 = 5 103. Все верно, но оперировать меньшими числами гораздо удобнее.

Мы представляем вам программу, которая считает сумму двух кубов с иллюстрацией промежуточных выкладок. Для расчета вам понадобится ввести значения в соответствующие ячейки и сделать один клик мышкой. Используя калькулятор, вы получите не только мгновенный и правильный ответ, но и весь процесс решения. Такая программа пригодится школьникам, которые хотят проверить свои выкладки, а также тем взрослым, кто хочет освежить в памяти школьный курс алгебры.

Заключение

Формулы сокращенного умножения – важная тема школьной алгебры, которая пригодится при решении громоздких выражений на любую тему. Это своеобразный фундамент, на котором строятся решения тригонометрических, показательных, логарифмических и даже интегральных и дифференциальных исчислений. Наш калькулятор может вам освоить применение формулы суммы двух кубов или освежить в памяти школьный материал.

bbf.ru

формула куб суммы двух чисел

Формулы сокращенного умножения

В некоторых конкретных случаях можно умножение одного выражения (многочлена, числа) на другое (другой многочлен, число) свести к компактному, легко запоминающемуся результату. То есть на практике можно сэкономить время, не умножая каждый раз одно выражение на другое, а воспользовавшись уже известным результатом. Такие случаи называют формулами сокращенного умножения:

1

Квадрат суммы:

2

Квадрат разности:

3

Разность квадратов:

4

Куб суммы:

5

Куб разности:

6

Сумма кубов:

7

Разность кубов:

Выражения и , стоящие в правых частях равенств (1) и (2), называются соответственно полный квадрат суммы и полный квадрат разности.

Выражения и , которые стоят вторыми сомножителями в правых частях равенств (6), (7), называются соответственно неполный квадрат суммы и неполный квадрат разности. От полных квадратов суммы и разности они отличаются лишь средним коэффициентом.

Все формулы сокращенного умножения доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых.

Заметим, что любое математическое равенство «читается» в математике как слева направо, то есть левая часть равенства заменяется равной ей правой частью, так и наоборот: справа налево, то есть правая часть равенства заменяется левой. А тогда приведенные формулы сокращенного умножения можно записать и в виде:

8

Квадрат суммы:

9

Квадрат разности:

10

Разность квадратов:

11

Куб суммы:

12

Куб разности:

13

Сумма кубов:

14

Разность кубов:

Формулы сокращенного умножения применяются непосредственно для сокращенного умножения, для разложения выражений на множители. С их помощью можно сравнительно быстро и легко выполнять тождественные преобразования алгебраических выражений.

Читать дальше: формула «квадрат суммы».

Политика конфиденциальности

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию.

Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию.

  Формулы сокращенного умножения. Коротко о главном.

  Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.

• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ?

Оставьте e-mail

ОтправитьЗакрыть

Зарегистрируйся и начни учиться!

Закрыть

Привет!

Нравится наш учебник?

Помоги сделать так, чтобы его не закрыли… 

… а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника.

Всего 199 руб…

Но твоя помощь бесценна! 🙂  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Упростите условия в Интернете

первый2 + 3 = (2 + 3) • (2 • 3 + 2 • 3 — 2 • 3 + 3) =
5 • (16 — 8-е место • 3 + 4 • 9 — 2 • 27 + 81) =
5 • (16 — 24 + 36 — 54 + 81) =
5 • 55 = 275;
a = 2 ;
b = 3 ;

второй7 + 5 = (7 + 5) • (7 — 7 • 5 + 7 • 5 — 7 • 5 + 5) =
12 • (2 401 — 343 • 5 + 49 • 25 — 7 • 125 + 625) =
12 • (2 401 — 1 715 + 1 225-875 + 625) =
12 • 1 661 = 19 932;
a = 7 ;
b = 5 ;

третий3 + 3 = (3 + 5) • (3 — 3 • 5 + 3 • 5 — 3 • 5 + 5) =
8 • (81 — 27 • 5 + 9 • 25 — 3 • 125 + 625) =
8 • (81 — 135 + 225 — 375 + 625) =
8 • 421 = 3,368;
a = 3 ;
b = 5 ;

Калькулятор суммы двух кубов

Упрощение терминов

Шаг 1. Введите термин для упрощения

Услуга (тип программы для классов 5 и 7, 8, 9, 10, 11) позволяет упростить математические выражения алгебры (алгебраические выражения), тригонометрические выражения, выражения с корнями и другими степенями, уменьшить дроби и упростить сложные литералы ,
Упростите сложные выражения, которые вы здесь (!)

важно В терминах переменные отмечены одной буквой!

К примеру, , б, …, с/

Примеры упрощенных терминов

• 2 * a -7 * a
• exp (-7 * a) / exp (2 * a)
• 1 / x + 1 / y
• sin (x) ^ 2 + cos (x) ^ 2

Правила ввода функций

В функции е вы можете сделать следующее:Реальные числа введите в форму 7,5, не 7,52 * x — умножение 3 / x — разделение x ^ 3 — eksponentiacija x + 7 — Кроме того, x — 6 — Функция обратного отсчета е он может содержать функции (метки находятся в алфавитном порядке):абсолютный (x) Функция — абсолютное значение х (модуль х или | x |) arccos (x) Функция — аркоксин из хarccosh (x) Функция представляет собой гиперболический дуговый косинус хarcsin (x) Функция является обратным синусом хarcsinh (x) Функция представляет собой гиперболический арксин харктан (х) Функция — арктангенс из хarctanh (x) Функция представляет собой гиперболический арктангенс хе Функция — е это около 2,7 exp (x) Функция — показатель х (так же, как е^х) почва (х) Функция округления х на нижней стороне (пример почвы (4.5) == 4.0) log (x) или ln (x) Функция — естественный логарифм от х (Да log7 (x), Необходимо ввести log (x) / log (7) (или, например, для log10 (x)= log (x) / log (10)) пи Число «Pi», которое составляет около 3,14 символ (x) Функция — символ хsin (x) Функция — Синус хcos (x) Функция — Конус от хsinh (x) Функция — Синус гиперболический хcosh (x) Функция — косинус-гиперболический хsqrt (x) Функция — корень хx ^ 2 Функция — квадрат хtan (x) Функция — Тангенс от хtanh (x) Функция — касательная гиперболическая от х

Кратко об основах Базовый уровень Промежуточный

Формулы сокращенного умножения.

Упрощение терминов

Средний уровень.

Формулы сокращенного умножения являются формулами, так как вы можете избежать выполнения некоторых стандартных действий в упрощающих терминах или факторных многочленах. Нам нужно изучить формулировки сокращенного умножения на сердце!

Здесь мы объяснили приведенную формулу умножения для начального уровня.

1. Площадь суммы два выражения равны квадрату первого выражения плюс двойное произведение первого выражения со вторым плюс-квадратом второго выражения:
2. Площадь разницы два выражения равны квадрату первого выражения, минус два раза произведение первого выражения со вторым плюс-квадратом второго выражения:
3. Разница квадратов эти два члена равны произведению разности между этими членами и их суммами:
4. Количество кубов два члена равны кубу первого слагаемого плюс потребительский продукт квадрата первого выражения со вторым плюс потребляемым продуктом первого выражения с квадратом второго и кубом второго выражения:
5. Разница в кубе два выражения, которые являются одинаковыми кубами первого выражения минус три раза произведение квадрата первого выражения на второй и три раза продукты первого выражения в кубе второго второго квадрата второго выражения:
6. Сумма кубов два выражения равны произведению суммы первого и второго с неполным квадратом разности этих членов:
7. Разница в кубе эти два члена равны произведению разности первого и второго членов с неполным квадратом суммы этих членов:

Докажем теперь все эти формулы.

Формулы сокращенного умножения.

Доказательство.

1 ..
Если вы хотите выразить квадрат, умножьте его на себя:
.

Мы откроем скобки и дадим следующее:

второй

.
Сделайте то же самое: умножьте разницу на себя, откройте скобки и укажите следующее:
.

3 ..
Возьмите термин справа и откройте скобки:
.

4 ..
Число в кубе может отображаться как это число, умноженное на квадрат:

пятые

аналогичным образом,

В отличие от кубов, символы меняются.

6 ..
Откройте скобки справа:
.

седьмые

.
Откройте скобки справа:
.

Использование формул с уменьшенным умножением для решения

Пример 1:

Найдите значение терминов:

решение:

1. Мы используем формулу для квадрата суммы :.
2. Это число представлено в виде разности, и мы используем формулу квадрата разности :.

Пример 2:

Найдите значение выражения :.

решение:

Используя формулу для разности квадратов обоих выражений, получим:

Пример 3:

Упростите фразу:

решение:

Я такой.

Мы используем квадраты суммы и квадрата разности:

II путь.

Мы используем разницу для квадратов с двумя фразами:

Комментарии

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения.

Цели:

— Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

— Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть.

Пусть а, b   R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b)2 = a2 — 2ab + b2

3.

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a2 — b2 = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Решение задач по математике онлайн

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a3 + b3 = (a + b) (a2 — ab + b2)

Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

a3 — b3 = (a — b) (a2 + ab + b2)

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Вычислить

а) (40+1)2

б) 982

Решение:

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40+1)2 = 402 + 2 · 40 · 1 + 12 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

982 = (100 – 2)2 = 1002 — 2 · 100 · 2 + 22 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Вычислить

Решение

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим

Пример 3.

Упростить выражение

(х — у)2 + (х + у)2

Решение

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(х — у)2 + (х + у)2 = х2 — 2ху + у2 + х2 + 2ху + у2 = 2х2 + 2у2

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a — b)2 = a2 — 2ab + b2
a2 — b2 = (a — b) (a+b)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3
a3 + b3 = (a + b) (a2 — ab + b2)
a3 — b3 = (a — b) (a2 + ab + b2)

vipstylelife.ru

Формулы сокращённого умножения | umath.ru

Формулы сокращённого умножения — это часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Формулы сокращённого умножения очень полезно запомнить — знание этих формул сильно сэкономит ваше время при работе с многочленами.

Основные формулы сокращённого умножения

1. Квадрат суммы:

      

2. Квадрат разности:

      

3. Разность квадратов:

      

4. Куб суммы: 

      

5. Куб разности: 

      

6. Сумма кубов: 

      

7. Разность кубов: 

      

Дополнительные формулы сокращённого умножения:

1. Разность степеней:

      

      

2. Сумма степеней:

      

      

3. Квадрат суммы нескольких слагаемых:

      

      

   В частности, квадрат суммы трёх слагаемых:

      

umath.ru

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения — страница №1/1


Формулы сокращенного умножения.

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо a и b в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a² — b² = (a — b)(a + b)

Примеры:


• 
  15² — 2² = (15 — 2)(15 + 2) = 13 x 17 = 221
  
• 
  9a² — 4b²с² = (3a — 2bc)(3a + 2bc)
  

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа плюс квадрат второго числа.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 112².


• 
  Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.2
  

112 = 100 + 1



• 
  Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
  

112² = (100 + 12)²



• 
  Воспользуемся формулой квадрата суммы:
  

112² = (100 + 12)² = 100² + 2 x 100 x 12 + 12² = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.


• 
  (8a + с)² = 64a² + 16ac + c²
  

Предостережение!

 (a + b)² не равно a² + b²

Квадрат разности

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(a — b)² = a² — 2ab + b²

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a — b)² = (b — a)²
Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a — b)² = a² — 2ab + b² = b² — 2ab + a² = (b — a)²

Куб суммы

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.



• 
  Выучите, что в начале идёт a³.
  
• 
  Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3.
  
• 
  Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1. (a⁰ = 1, b⁰ = 1). Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени a и увеличение степени b. В этом можно убедиться:
  

(a + b)³ = a³b⁰ + 3a²b¹ + 3a¹b² + b³a⁰ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Предостережение!

 (a + b)³ не равно a³ + b³

Куб разности

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.


(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и «-«. Перед первым членом a³ стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «-«, затем опять «+» и т.д.

(a — b)³ = + a³ — 3a²b + 3ab² — b³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³ 

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²)

Сумма кубов — это произведение двух скобок.



Разность кубов

Не путать с кубом разности!

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²)

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

Примеры:


• 
  a² + 2a + 1 = (a + 1)²
  
• 
  (aс — 4b)(ac + 4b) = a²c² — 16b²
  



umotnas.ru