Формула разложения суммы куба – 1. Применение формул сокращенного умножения для разложения многочлена на множители

Куб суммы и куб разности. Правила

Записывается это тождество так:

                                         (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Данная формула верна и справа налево, то есть верно равенство

                                         a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³

Доказательство.

(a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b) =   (a + b)(a + b)² =  (a + b)(a² + 2ab + b²) = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab²+b³

Так как равенство  верно при любых значениях a и b,то оно является тождеством. Это тождество называется

формулой куба суммы. Если в эту формулу вместо a и b подставить какие-нибудь выражения, например 30 и 2 ,

то опять получится тождество.

(30 + 2)³ = 30³ + 3·30²·2 + 3·30·2² + 2³ = 27000 + 3·900·2 + 3·30·4 + 8 = 2700 + 2700·2 + 360 + 8 =

=   27000 + 5400 + 360 + 8  =  32768

(a + 3b)³ = a³ + 3a²3b + 3a (3b)² + (3b)³ = a³ + 9a²b + 27ab² + 27b³

Запомните (a + b)³  не равно  a³ + b³

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго, плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго,минус куб второго выражения.

Записывается это тождество так:

(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² —  b³

Доказательство.

(a — b)³ =(a − b)(a − b)(a − b) = (a − b)(a − b)² =  (a − b)(a²−2ab+b²) = a³ − 2a²b + ab² − a²b+2ab² − b³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³

Так как равенство  верно при любых значениях a и b,то оно является тождеством. Это тождество называется формулой куба разности. Если в эту формулу вместо a и b подставить какие-нибудь выражения, например 5y и 2z ,то опять получится тождество.

(5y − 2z)³ = 125y³ − 150y²z  + 60y z² − 8z³ 

(11 — 7)³ = 11³ — 3 • 11³ • 7 + 3 • 11 • 7² — 7³ = 64

Или Возвести в куб двучлен 2x-y.

(2x — y)³ = (2x)³ — 3(2x)²y +3(2x)y² — y³ = 8х³ — 3*4x²y + 6xy² — y³ = 8х³ — 12x²y + 6xy² — y³ 

  

spishy-u-antoshki.ru

Разложение на множители с помощью формул куба суммы и куба разности

Вопросы занятия:

·  показать, что формулы куба суммы и куба разности можно применять для разложения многочленов на множители.

Материал урока

Нам уже известны такие способы разложения многочленов на множители как вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности, с помощью формулы разности квадратов. Сегодня мы познакомимся со способом разложения многочлена на множители с помощью формул куба суммы и куба разности.

Вспомним эти формулы

Поменяв в формуле куба суммы правую и левую части местами и расписав куб суммы как произведение трёх одинаковых множителей, мы видим, что:

Аналогично:

Давайте разложим на множители многочлен:

Разложим ещё несколько многочленов на множители.

Пример.

Пример.

videouroki.net

Материал по математике «Разложение на множители суммы и разности кубов»

Для разложения на множители суммы кубов нужно использовать одну из формул сокращенного умножения. Она имеет название «сумма кубов»:

a^3 +b^3 = (a+b) *(a^2 – a*b +b^2) ;

Сумма кубов

Мы можем проверить это тождество. Для этого перемножим два многочлена стоящих в правой части тождества (a+b) и (a^2 – a*b +b^2). Воспользуемся правилом умножения многочленов и перемножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена. Имеем:

(a+b) *(a^2 – a*b +b^2) =a^3 – a^2*b + a*b^2 + a^2*b – a*b^2 + b^3;

Теперь приводим подобные и получаем:

(a+b) *(a^2 – a*b +b^2) = a^3 + b^3;

Что и требовалось доказать.

Возможно, что вы уже обратили внимание на множитель (a^2 – a*b +b^2). Он похож на трехчлен, который получается при возведении в квадрат выражения (a-b). Отличие лишь в том, что в данном случае, вместо удвоенного произведения стоит просто произведение. Такое выражение a^2 – a*b +b^2 в математике принято называть неполным квадратом разности двух выражений.

Исходя из всего вышесказанного, можем подвести следующий итог:

Сумма кубов любых двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат разности этих двух выражений.

Тождество для разности кубов.

Для разности кубов, тоже существует свое тождество.

a^3 -b^3 = (a-b) *(a^2 + a*b +b^2) ;

Данное выражение доказывается аналогично предыдущему.

(a-b) *(a^2 + a*b +b^2) = a^3 + a^2*b + a*b^2 — a^2*b – a*b^2 — b^3 = a^3 – b^3;

Трехчлен (a^2 + a*b +b^2) называется в математике неполный квадрат суммы двух выражений.

Учитывая всё вышесказанное, подведем итог:

Разность кубов двух любых выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат суммы этих двух выражений.

Примеры

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Разложить многочлен x^3 + 8*y^3 на множители.

x^3 + 8*y^3 = x^3 + (2*y) ^3;

Теперь можем применить формулу куб суммы.

x^3 + (2*y) ^3 = (x + 2*y) *(x^2 – 2*x*y +4*y^2) ;

В итоге имеем: x^3 + 8*y^3 = (x + 2*y) *(x^2 – 2*x*y +4*y^2) ;

Пример 2.

Разложить многочлен x^6 – y^3 на множители.

x^6 – y^3 = (x^2) ^3 – y^3;

А теперь можем воспользоваться тождеством разности кубов двух выражений.

(x^2) ^3 – y^3 = (x^2 – y) *(x^4 + x^2*y +y^2) ;

В итоге имеем: x^6 – y^3 = (x^2 – y) *(x^4 + x^2*y +y^2).

videouroki.net

Разложение на множители суммы и разности кубов

Вопросы занятия:

·  показать, что формулы куба суммы и куба разности можно применять для разложения многочленов на множители.

Материал урока

Для разложения на множители суммы кубов используется одна из формул сокращённого умножения, которая называется формулой суммы кубов.

Обратите внимание, что один из множителей в правой части формулы:

Читают формулу суммы кубов так: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Для разложения на множители разности кубов используется следующая формула сокращённого умножения, которая называется формулой разности кубов.

В этой формуле:

Читают формулу разности кубов следующим образом: разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

Таким образом, к уже известным нам способам разложения многочленов на множители, а это: вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности, с помощью формулы разности квадратов, а также с помощью формул куба суммы и куба разности; мы можем добавить способ разложения на множители с помощью формул суммы и разности кубов.

Рассмотрим несколько примеров применения новых формул.

Пример.

Пример.

Пример.

videouroki.net

Куб разности | Алгебра

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго выражения.

Формула куба суммы:

   

Другой вариант записи формулы куба разности —

   

Примеры применения формулы куба разности.

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Как и другие формулы сокращённого умножения, куб разности — тождество, то есть формулу можно использовать как для разложения куба разности в многочлен, так и сворачивания соответствующего многочлена в куб разности:

   

Первый раз формула куба разности встречается в курсе алгебры 7 класса как одна из формул сокращенного умножения (в качестве дополнительного материала). Затем — в курсе комбинаторики, как бином Ньютона.

www.algebraclass.ru

Формулы сокращенного умножения

Рассмотрим на примерах применение формул сокращенного умножения.

Пример 4 Преобразуйте выражение в многочлен

Разложим выражение на множители с помощью формулы куба суммы

Пример 5 Преобразуйте используя формулу куба разности

Формула куба разности

Пример 6 Разложите на множители многочлен

Воспользуемся формулой суммы кубов

Пример 7 Разложите на множители многочлен

Воспользуемся формулой разности кубов

calcs.su

Формула сумма кубов и примеры применения

   

Выражение , стоящее в правой части равенства, называется неполный квадрат разности. От полного квадрата разности оно отличается лишь отсутствием двойки у второго слагаемого.

Данная формула верна и «справа налево», то есть имеет место соотношение:

   

При помощи этих формул можно раскладывать на множители многочлены.

Примеры решения задач по теме «Сумма кубов»

Рассматриваемую формулу «сумма кубов» для положительных величин и можно проиллюстрировать геометрически (рис. 1).

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com