Формула производных функций – Таблица производных. Таблица производных функций. Табличные производные. Формулы производных.

Формулы производных функций y (x)

Производные линейной функции.

 

Производные степенной функции.

 

 

Производные показательной функции.

 

Производные логарифмической функции.

 

Производные тригонометрической функции.

 

Производные обратной тригонометрической функции.

Подробности

Автор: Administrator

Опубликовано: 30 мая 2013

Обновлено: 24 мая 2017

www-formula.ru

Вывод производных основных элементарных функций

Производная логарифма

;     ;
;     .
См. Вывод производной логарифма тремя способами >>>

Производная степенной и показательной функций

;
;
См. Вывод производной степенной функции >>>

;
;
См. Вывод производной показательной функции и экспоненты тремя способами >>>

Производные тригонометрических функций

См. Вывод производных тригонометрических функций >>>

;
См. Вывод производной синуса >>>

;
См. Вывод производной косинуса >>>

;
См. Вывод производной тангенса >>>

;
См. Вывод производной котангенса >>>

Производные обратных тригонометрических функций

См. Вывод производных обратных тригонометрических функций >>>

;
;
См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса двумя способами >>>

;
;
См. Вывод производных арктангенса и арккотангенса двумя способами >>>

Производные гиперболических функций

;
;
;
;

Производные обратных гиперболических функций

;
;
;
.

Обратный гиперболический косинус является многозначной функцией. Он имеет две ветви:
  – главное значение;
.
Иногда значения для двух ветвей пишут одной формулой:
.
Тогда его производная имеет вид:
.

Производные высших порядков

.
См. Доказательство методом математической индукции >>>

.
См. Вывод производной степенной функции n-го порядка >>>

.
См. Производные высших порядков показательной функции >>>

Тригонометрические функции

.
См. Доказательство методом математической индукции >>>

.
См. Производные косинуса высших порядков >>>

,
где .
См. Производные тангенса высших порядков >>>.

,
где .
См. Производные котангенса высших порядков >>>.

Обратные тригонометрические функции

Производные арксинуса и арккосинуса

,
где – многочлен степени . Он определяется по формулам:
;
.
Здесь .
.
См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса >>>.

Производные арктангенса и арккотангенса

;
.

Другой вид производных:
,
где .
,
где .

См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса >>>.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 28-02-2017   Изменено: 26-07-2017

1cov-edu.ru

Формулы дифференцирования функций

Далее разобраны основные правила и формулы дифференцирования функций:

Правила дифференцирования:

Константу можно выносить за знак производной:

   

Производная суммы равна сумме производных:

   

Производная произведения равна сумме произведений производной первого слагаемого на второе и первого слагаемого на производную второго:

   

Производная частного находится по формуле:

   

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

7.1. Производная, правила и формулы дифференцирования

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке х_o называется предел

= .

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x_o; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.

Если же рассматриваемый предел равен  (или — ), то при условии, что функция в точке х_o непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке х_oбесконечную производную.

Производная обозначается символами

y ,   f (x_o),   ,   .

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том,что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке х_o; физический смысл — в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t_o.

Если с — постоянное число, и u = u(x), v = v(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с)‘ = 0, (cu)‘ = cu’;

2) (u+v)’ = u’+v’;

3) (uv)’ = u’v+v’u;

4) (u/v)’ = (u’v-v’u)/v^2;

5) если y = f(u), u = (x), т.е. y = f((x)) — сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций  и f, то , или

;

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем   0, то .

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

1. (u^)’ =  u^1 u’ (  R).

2. (a^u)’ = a^u lna u’.

3. (e^u)’ = e^u u’.

4. (log_a u)’ = u’/(u ln a).

5. (ln u)’ = u’/u.

6. (sin u)’ = cos u u’.

7. (cos u)’ = — sin u u’.

8. (tg u)’ = 1/ cos²u u’.

9. (ctg u)’ = — u’ / sin²u.

10. (arcsin u)’ = u’ /.

11. (arccos u)’ = — u’ /.

12. (arctg u)’ = u’/(1 + u²).

13. (arcctg u)’ = — u’/(1 + u²).

Вычислим производную степенно-показательного выражения y=u^v, (u>0), где u и v суть функции от х, имеющие в данной точке производные u’, v’.

Прологарифмировав равенство y=u ^v, получим ln y = v ln u.

Приравнивая производные по х от обеих частей полученного равенства с помощью правил 3, 5 и формулы для производной логарифмической функции, будем иметь:

y’/y = vu’/u +v’ ln u, откуда y’ = y (vu’/u +v’ ln u).

Итак,

(u ^v)’=u ^v (vu’/u+v’ ln u), u > 0.

Например, если y = x ^{sin x}, то y’ = x ^{sin x} (sin x/x + cos x ln x).

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x, т.е. имеет в этой точке конечную производную y’, то  = y’+, где 0 при х 0; отсюда  y = y’ х +  x.

Главная часть приращения функции, линейная относительно х, называется дифференциалом функции и обозначается dy: dy = y’ х. Если положить в этой формуле y=x, то получим dx = x’х = 1х =х, поэтому dy=y’dx, т. е. символ для обозначения производной

 можно рассматривать как дробь.

Приращение функции  y есть приращение ординаты кривой, а дифференциал dy есть приращение ординаты касательной.

Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную y = f (x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается .

Аналогично определяются и обозначаются:

производная третьего порядка — ,

производная четвертого порядка —

и вообще производная n-го порядка — .

Пример 3.15. Вычислить производную функции y=(3x³-2x+1)sin x.

Решение. По правилу 3, y’=(3x³-2x+1)’sin x + (3x³-2x+1)(sin x)’ = = (9x²-2)sin x + (3x³-2x+1)cos x.

Пример 3.16. Найти y’, y = tg x +.

Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного, получим: y’=(tgx + )’ = (tgx)’ + ()’ = +  = .

Пример 3.17. Найти производную сложной функции y=, u=x⁴ +1.

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим: y’_x =y‘_u u’_x =()’_u(x⁴ +1)’_x =(2u +. Так как u=x⁴ +1,то (2 x⁴ +2+.

Пример 3.18. Найти производную функции y=.

Решение. Представим функцию y=  в виде суперпозиции двух функций: y = e^u и u = x². Имеем: y’_x =y‘_u u’_x = (e

u)’_u(x²)’_x = e^u 2x. Подставляя x² вместо u, получим y=2x.

Пример 3.19. Найти производную функции y=ln sin x.

Решение. Обозначим u=sin x, тогда производная сложной функции y=ln u вычисляется по формуле y’ = (ln u)’_u(sin x)’_x= .

Пример 3.20. Найти производную функции y=.

Решение. Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила 5:

.

Пример 3.21. Вычислить производную y=ln .

Решение. Логарифмируя и используя свойства логарифмов, получим:

y=5/3ln(x²+4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x³+1)-1/3tg 5x.

Дифференцируя обе части последнего равенства, получим:

.

studfiles.net

Таблица производных

Реклама

Основные правила дифференцирования получаются из определения производной через вычисление соответствующих пределов. Ниже представлены все правила, которые потребуются Вам для вычисления производной любой функции.

Производная постоянной:

c’=0, (c — константа)

Производная суммы равна сумме производных:

[u(x)+v(x)]’= u(x)’+v(x)’

Производная разности равна разности производных:

[u(x)−v(x)]’= u(x)’−v(x)’

Производная произведения:

[u(x)∙v(x)]’=u(x)’∙v(x)+v(x)’∙u(x)

Производная дроби:

Производная сложной функции:

F[u(x)]’=F_u(x)^‘[u(x)]∙u(x)^‘

Формулы дифференцирования некоторых элементарных функций

Степенная функция:

Корень:

Показательная и логарифмическая функции:

Тригонометрические функции:

Показательно-степенная функция:

В наш онлайн калькулятор заложены все правила вычисления производной, поэтому он легко вычислит производную любой, даже очень сложной функции.

www.mathforyou.net

Таблица производных. Таблица производных функций. Табличные производные. Формулы производных.

Если x — независимая переменная, то:
Производная степенной функции	Производная степенной функции
—
Производная экспоненциальной функции	Производная экспоненты
Производная сложной экспоненциальной функции	Производная экспоненциальной функции
—
Производная логарифмической функции	Производная натурального логарифма
	Производная натурального логарифма функции
—
Производная синуса	Производная косинуса
Производная косеканса	Производная секанса
Производная арксинуса	Производная арккосинуса
Производная арксинуса	Производная арккосинуса
Производная тангенса	Производная котангенса
Производная арктангенса	Производная арккотангенса
Производная арктангенса	Производная арккотангенса
Производная арксеканса	Производная арккосеканса
Производная арксеканса	Производная арккосеканса
—
Производная гиперболического синуса	Производная гиперболического косинуса
Производная гиперболического синуса в английской версии	Производная гиперболического косинуса в английской версии
Производная гиперболического тангенса	Производная гиперболического котангенса
Производная гиперболического секанса	Производная гиперболического косеканса

www.dpva.ru

Таблица производных. Таблица производных функций. Табличные производные. Формулы производных.

Если x — независимая переменная, то:
Производная степенной функции	Производная степенной функции
—
Производная экспоненциальной функции	Производная экспоненты
Производная сложной экспоненциальной функции	Производная экспоненциальной функции
—
Производная логарифмической функции	Производная натурального логарифма
	Производная натурального логарифма функции
—
Производная синуса	Производная косинуса
Производная косеканса	Производная секанса
Производная арксинуса	Производная арккосинуса
Производная арксинуса	Производная арккосинуса
Производная тангенса	Производная котангенса
Производная арктангенса	Производная арккотангенса
Производная арктангенса	Производная арккотангенса
Производная арксеканса	Производная арккосеканса
Производная арксеканса	Производная арккосеканса
—
Производная гиперболического синуса	Производная гиперболического косинуса
Производная гиперболического синуса в английской версии	Производная гиперболического косинуса в английской версии
Производная гиперболического тангенса	Производная гиперболического котангенса
Производная гиперболического секанса	Производная гиперболического косеканса

www.dpva.ru