Формула нахождения производной – Формулы. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции.Правила дифференцирования.

Определение производной. Общее правило нахождения производной.

Определение производной. Общее правило нахождения производной.

Производная – придел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0

Общее правило: находим , потом и затем обношение

Правила и формулы дифференцирования элементарных функций.

Дифференцирование– это взятие производной от функции.

Правила дифференцирования:

1)производная постоянной равна нулю

(c)ʹ = 0, c — const

2)производная Х равна 1

(x)ʹ = 1

3) постоянный множитель выносится за знак производной

(c*u)ʹ=c*uʹ, c — const

4) производная алгебраической суммы функции равна алгебраической сумме производных от каждого слагаемого

(u+γ-ω) ʹ= uʹ+γʹ-ωʹ

5) производная произведения равна производной первого множителя на второй, плюс производная второго множителя, умноженного на первый

(u*γ) ʹ= uʹγ+ γʹu

6) производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель и делить на знаменатель в квадрате

 

Формулы дифференцирования:

 

Дифференцирование логарифмической функции. Производная показательной функции.


Производная показательной функции.

Дифференцирование тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций.

см 2 билет ( косинусы, синусы, тангенсы, катангенсы, арккосинусы, арксинусы, арктангенсы)

 

Производная второго порядка и её механический смысл. Уравнение касательной.

Производную от функции часто называют производной первого порядка (первой производной). Очевидно, что производная также является функцией и если она дифференцируема, то от нее в свою очередь можно взять производную, которую называют производной второго порядка (второй производной) и обозначают yʹʹ,

Пусть тело движется прямолинейно по закону S=f(t). Как известно, скорость U движения тела в данный момент времени равно производной пути по времени, т.е. U=S

Если тело движется неравномерно, то скорость с течением времени изменяется и за промежуток времени получает приращение

В этом случае величина отношения показывающаяся изменение скорости за единицу времени, называется средним ускорением в промежутке времени от t до t+

Пусть , тогда t+ , а среднее ускорение стремится к величине, которая называется ускорение в данный момент времени t

Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.

Уравнение касательной:

 

 

y=f(x)

 

Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Вычисление дифференциала.

Дифференциал– главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной, обозначается знаком d т.е.

Геометрический смысл: дифференциал функции геометрический изображается приращением ординаты касательной, проведенной в точке М(x;y) при данных значениях x и

дифференциал можно вычислить по формуле

 

Точка перегиба. Алгоритм нахождения точки перегиба. Исследование функции и построение графика.

Точка перегиба – точка на кривой, где меняется направление выпуклости

Алгоритм:

1. находим 2-ую производную

2. приравниваем ее к 0 и решаем уравнение y

3. отмечаем решение на прямой и узнаем знак второй производной на каждом интервале.

Если смена равна производной, то х = с – абсцисса точки перегиба

Чтобы найти ординату для точек надо подставить ее в функцию

Правило:

Если 2-ая производная на интервале положительна, то функция выпукла вверх

Если 2-ая производная на интервале отрицательна, то функция выпукла вниз

(начало 8 билет)

y

6х=0

х=0

х=0 – абсцисса точки перегиба

у(0)=-9*0+0 => (0;0) – точка перегиба

Формулы интегрирования. Вычисление неопределенного интеграла. Пример.

 

Тут надо придумать. Можно что-то простое

 

Геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбица.

Геометрический смысл: определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x) прямыми х=а и х=b и отрезками ab на ОХ

Определенный интеграл высчитывается по формуле Ньютона-Лейбица:

 

Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Их следствия. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором фигуры изучаются в пространстве.

Основные фигуры: точка, прямая, плоскость.

Аксиомы:

1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие и не принадлежащие ей.

2.Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящую через эту точку.

3.Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Следствия из них:

1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство: возьмем точку принадлежащую прямой. Через две точки проведем прямую, назовем b. Имея две пересекающиеся прямые по аксиоме мы может провести плоскость и притом только одну.

2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и сама прямая принадлежит этой плоскости.

Доказательство: пусть a – данная прямая и α — данная плоскость. Проведем через прямую a и точку A плоскость α`. Если плоскость α` совпадает с α, то плоскость α содержит прямую a, что и утверждается теоремой. Если плоскость α` отлична от α, то эти плоскости пересекаются по прямой a`, содержащей две точки прямой a.

3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве:

Прямые, лежащие на одной плоскости, имеющих одну общую точку ,называютпересекающимися.

Прямые называютсяпараллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Прямые называются скрещивающимися, если они лежат в разных плоскостях.

 

Определение производной. Общее правило нахождения производной.

Производная – придел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0

Общее правило: находим , потом и затем обношение


Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

Производная функции: основные понятия и определения

Пусть задана функция . Рассмотрим два значения (исходное) и (новое) из области определения функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Разность называется приращением аргумента в точке и обозначается («дельта икс»):

   

Замечание. Символ рассматривается как единый, а не представляет собой произведение, то есть .

Значение рассматриваемой функции в точке равно . Зададим аргументу приращение . Получим значение функции в новой точке .

Приращение функции в точке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Приращением функции в точке , соответствующее приращению аргумента , называется величина

   

Определение производной

Функция имеет производную на интервале , если производная существует в каждой точке этого интервала.

Левая и правая производные функции

Основные теоремы производных

ТЕОРЕМА (О непрерывности функции в точке.) Если функция имеет конечную производную в точке , то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Обратное заключение не всегда верно: если функция непрерывна в некоторой точке , то она может и не иметь производной в этой точке.

ТЕОРЕМА (О необходимом и достаточном условии дифференцируемости.) Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы имела в точке конечную производную.

Теорема устанавливает, что для функции дифференцируемость в данной точке и существование конечной производной в этой точке – понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной называют также

дифференцированием этой функции.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Внеклассный урок — Формулы и правила дифференцирования (нахождения производной)

Формулы и правила дифференцирования (нахождения производной)

Дифференцирование – это вычисление производной.

 

1. Формулы дифференцирования.

Основные формулы дифференцирования – в таблице. Их необязательно зазубривать. Поняв некоторые закономерности, вы сможете из одних формул самостоятельно выводить другие.

 

1) Начнем с формулы (kx + m)′ = k.
Ее частными случаями являются формулы x′ = 1 и C′ = 0.

Поясним.

В любой функции вида у = kx + m производная равна угловому коэффициенту k.

Например, дана функция у = 2х + 4. Ее производная в любой точке будет равна 2:

(2х + 4)′ = 2.

Производная функции у = 9х + 5 в любой точке равна 9. И т.д.

А давайте найдем производную функции у = 5х. Для этого представим 5х в виде (5х + 0). Мы получили выражение, похожее на предыдущее. Значит:

(5х)′ = (5х + 0)′ = 5.

Наконец, выясним, чему равна x′.
Применим прием из предыдущего примера: представим х в виде 1х + 0. Тогда получим:

x′ = (1х + 0)′  = 1.

Таким образом, мы самостоятельно вывели формулу из таблицы:

x′ = 1.

Идем дальше. Пусть k = 0. Мы знаем, что производная равна коэффициенту. То есть:

(0 · x + m)′ = 0.

Но тогда получается, что  m′ тоже равна 0. Пусть m = C, где C – произвольная постоянная. Тогда мы приходим к еще одной истине: производная постоянной равна нулю. То есть получаем еще одну формулу из таблицы:

C′ = 0.

    

raal100.narod.ru

Производная первого порядка, все формулы и примеры

Производная первого порядка функции , заданной явно, находится с помощью таблицы производных

а также правил дифференцирования (нахождения производных):

  1. Константу можно выносить за знак производной:

       

  2. Производная суммы/разности:

       

  3. Производная произведения:

       

  4. Производная частного двух функций:

       

ПРИМЕР
Задание Найти производную функции, заданной явно

   

Решение Искомая производная

   

Производная суммы/разности функций равна сумме/разности их производных, то есть:

   

Производную первого слагаемого находим по таблице производных как производную степенной функции тогда

   

Во втором слагаемом, согласно свойствам производных, вначале вынесем константу 3 за знак производной:

   

А затем производную найдем по выше предложенной формуле производной степенной функции:

   

Производную третьего слагаемого находим как производную частного по формуле . Для будем иметь:

   

   

А таким образом, для заданной функции имеем:

   

Ответ

Производная первого порядка параметрической функции

В случае если функция задана параметрически в виде – параметр, то первая производная такой функции находится по формуле:

   

Производная первого порядка неявной функции

Если функция задана неявно равнение или то для нахождения первой производной поступают следующим образом:

  1. дифференцируют левую и правую части заданного равенства:

       

    или

       

  2. находят производные от каждой из частей равенства, используя таблицу производных и правила дифференцирования, а также учитывают, что – сложная функция;
  3. из полученного равенства выражают .
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Полная производная функции, формула и примеры

Функция где называется сложной функцией переменных и

В случае, когда функции и зависят только от переменной то есть то производная рассматриваемой функции по независимой переменной задается соотношением:

   

Если же а то формула (1) принимает вид:

   

В формулах (1), (2) выражение называется полной производной функции

ПРИМЕР 1
Задание Найти полную производную функции если
Решение Находим частные производные:

   

   

   

   

Тогда, согласно формуле (1), имеем:

   

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти полную производную функции если
Решение Искомую производную будем находить по следующей формуле:

   

Находим частные производные:

   

   

Итак, имеем:

   

   

Ответ

ru.solverbook.com

Определение производной. Общее правило нахождения производной.

Определение производной. Общее правило нахождения производной.

Производная – придел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0

Общее правило: находим , потом и затем обношение

Правила и формулы дифференцирования элементарных функций.

Дифференцирование– это взятие производной от функции.

Правила дифференцирования:

1)производная постоянной равна нулю

(c)ʹ = 0, c — const

2)производная Х равна 1

(x)ʹ = 1

3) постоянный множитель выносится за знак производной

(c*u)ʹ=c*uʹ, c — const

4) производная алгебраической суммы функции равна алгебраической сумме производных от каждого слагаемого

(u+γ-ω) ʹ= uʹ+γʹ-ωʹ

5) производная произведения равна производной первого множителя на второй, плюс производная второго множителя, умноженного на первый

(u*γ) ʹ= uʹγ+ γʹu

6) производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель и делить на знаменатель в квадрате

 

Формулы дифференцирования:

 

 

Дифференцирование логарифмической функции. Производная показательной функции.


Производная показательной функции.

Дифференцирование тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций.

см 2 билет ( косинусы, синусы, тангенсы, катангенсы, арккосинусы, арксинусы, арктангенсы)

 

Производная второго порядка и её механический смысл. Уравнение касательной.

Производную от функции часто называют производной первого порядка (первой производной). Очевидно, что производная также является функцией и если она дифференцируема, то от нее в свою очередь можно взять производную, которую называют производной второго порядка (второй производной) и обозначают yʹʹ,

Пусть тело движется прямолинейно по закону S=f(t). Как известно, скорость U движения тела в данный момент времени равно производной пути по времени, т.е. U=S

Если тело движется неравномерно, то скорость с течением времени изменяется и за промежуток времени получает приращение

В этом случае величина отношения показывающаяся изменение скорости за единицу времени, называется средним ускорением в промежутке времени от t до t+

Пусть , тогда t+ , а среднее ускорение стремится к величине, которая называется ускорение в данный момент времени t

Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.

Уравнение касательной:

 

 

y=f(x)

 

Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Вычисление дифференциала.

Дифференциал– главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной, обозначается знаком d т.е.

Геометрический смысл: дифференциал функции геометрический изображается приращением ординаты касательной, проведенной в точке М(x;y) при данных значениях x и

дифференциал можно вычислить по формуле

 

Понятие первообразной. Определение неопределенного интеграла и его свойства.

Дифференцируемая функция F(x), где называется первообразнойдля f(x), где , если выполняется равенство:

Совокупность всех первообразных функции f(x) на интервале от Называется неопределенным интегралом f(x) и обозначается

Свойства неопределенного интеграла:

1) постоянный множитель выносится за знак интеграла , с-const

2) интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме интегралов от каждого из слагаемых

 

Формулы интегрирования. Вычисление неопределенного интеграла. Пример.

 

Тут надо придумать. Можно что-то простое

 

Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Их следствия. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором фигуры изучаются в пространстве.

Основные фигуры: точка, прямая, плоскость.

Аксиомы:

1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие и не принадлежащие ей.

2.Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящую через эту точку.

3.Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Следствия из них:

1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство: возьмем точку принадлежащую прямой. Через две точки проведем прямую, назовем b. Имея две пересекающиеся прямые по аксиоме мы может провести плоскость и притом только одну.

2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и сама прямая принадлежит этой плоскости.

Доказательство: пусть a – данная прямая и α — данная плоскость. Проведем через прямую a и точку A плоскость α`. Если плоскость α` совпадает с α, то плоскость α содержит прямую a, что и утверждается теоремой. Если плоскость α` отлична от α, то эти плоскости пересекаются по прямой a`, содержащей две точки прямой a.

3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве:

Прямые, лежащие на одной плоскости, имеющих одну общую точку ,называютпересекающимися.

Прямые называютсяпараллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Прямые называются скрещивающимися, если они лежат в разных плоскостях.

 

Определение производной. Общее правило нахождения производной.

Производная – придел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0

Общее правило: находим , потом и затем обношение



infopedia.su