Формула нахождения производной – Формулы. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции.Правила дифференцирования.
Определение производной. Общее правило нахождения производной.
Определение производной. Общее правило нахождения производной.
Производная – придел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0
Общее правило: находим , потом и затем обношение
Правила и формулы дифференцирования элементарных функций.
Дифференцирование– это взятие производной от функции.
Правила дифференцирования:
1)производная постоянной равна нулю
(c)ʹ = 0, c — const
2)производная Х равна 1
(x)ʹ = 1
3) постоянный множитель выносится за знак производной
(c*u)ʹ=c*uʹ, c — const
4) производная алгебраической суммы функции равна алгебраической сумме производных от каждого слагаемого
(u+γ-ω) ʹ= uʹ+γʹ-ωʹ
5) производная произведения равна производной первого множителя на второй, плюс производная второго множителя, умноженного на первый
(u*γ) ʹ= uʹγ+ γʹu
6) производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель и делить на знаменатель в квадрате
Формулы дифференцирования:
Дифференцирование логарифмической функции. Производная показательной функции.
Производная показательной функции.
Дифференцирование тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций.
см 2 билет ( косинусы, синусы, тангенсы, катангенсы, арккосинусы, арксинусы, арктангенсы)
Производная второго порядка и её механический смысл. Уравнение касательной.
Производную от функции часто называют производной первого порядка (первой производной). Очевидно, что производная также является функцией и если она дифференцируема, то от нее в свою очередь можно взять производную, которую называют производной второго порядка (второй производной) и обозначают yʹʹ,
Пусть тело движется прямолинейно по закону S=f(t). Как известно, скорость U движения тела в данный момент времени равно производной пути по времени, т.е. U=S
Если тело движется неравномерно, то скорость с течением времени изменяется и за промежуток времени получает приращение
В этом случае величина отношения показывающаяся изменение скорости за единицу времени, называется средним ускорением в промежутке времени от t до t+
Пусть , тогда t+ , а среднее ускорение стремится к величине, которая называется ускорение в данный момент времени t
Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.
Уравнение касательной:
y=f(x)
Дифференциал– главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной, обозначается знаком d т.е.
Геометрический смысл: дифференциал функции геометрический изображается приращением ординаты касательной, проведенной в точке М(x;y) при данных значениях x и
дифференциал можно вычислить по формуле
Точка перегиба. Алгоритм нахождения точки перегиба. Исследование функции и построение графика.
Точка перегиба – точка на кривой, где меняется направление выпуклости
Алгоритм:
1. находим 2-ую производную
2. приравниваем ее к 0 и решаем уравнение y
3. отмечаем решение на прямой и узнаем знак второй производной на каждом интервале.
Если смена равна производной, то х = с – абсцисса точки перегиба
Чтобы найти ординату для точек надо подставить ее в функцию
Правило:
Если 2-ая производная на интервале положительна, то функция выпукла вверх
Если 2-ая производная на интервале отрицательна, то функция выпукла вниз
(начало 8 билет)
y
6х=0
х=0
х=0 – абсцисса точки перегиба
у(0)=-9*0+0 => (0;0) – точка перегиба
Формулы интегрирования. Вычисление неопределенного интеграла. Пример.
Тут надо придумать. Можно что-то простое
Геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбица.
Геометрический смысл: определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x) прямыми х=а и х=b и отрезками ab на ОХ
Определенный интеграл высчитывается по формуле Ньютона-Лейбица:
Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Их следствия. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Стереометрия – это раздел геометрии, в котором фигуры изучаются в пространстве.
Основные фигуры: точка, прямая, плоскость.
Аксиомы:
1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие и не принадлежащие ей.
2.Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящую через эту точку.
3.Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.
Следствия из них:
1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.
Доказательство: возьмем точку принадлежащую прямой. Через две точки проведем прямую, назовем b. Имея две пересекающиеся прямые по аксиоме мы может провести плоскость и притом только одну.
2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и сама прямая принадлежит этой плоскости.
Доказательство: пусть a – данная прямая и α — данная плоскость. Проведем через прямую a и точку A плоскость α`. Если плоскость α` совпадает с α, то плоскость α содержит прямую a, что и утверждается теоремой. Если плоскость α` отлична от α, то эти плоскости пересекаются по прямой a`, содержащей две точки прямой a.
3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве:
Прямые, лежащие на одной плоскости, имеющих одну общую точку ,называютпересекающимися.
Прямые называютсяпараллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Прямые называются скрещивающимися, если они лежат в разных плоскостях.
Определение производной. Общее правило нахождения производной.
Производная – придел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0
Общее правило: находим , потом и затем обношение
Рекомендуемые страницы:
lektsia.com
Производная функции: основные понятия и определения
Пусть задана функция . Рассмотрим два значения (исходное) и (новое) из области определения функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Разность называется приращением аргумента в точке и обозначается («дельта икс»):
Замечание. Символ рассматривается как единый, а не представляет собой произведение, то есть .
Значение рассматриваемой функции в точке равно . Зададим аргументу приращение . Получим значение функции в новой точке .
Приращение функции в точке
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Приращением функции в точке , соответствующее приращению аргумента , называется величина
Определение производной
Функция имеет производную на интервале , если производная существует в каждой точке этого интервала.
Левая и правая производные функции
Основные теоремы производных
ТЕОРЕМА (О непрерывности функции в точке.) Если функция имеет конечную производную в точке , то она непрерывна в этой точке.Замечание. Обратное заключение не всегда верно: если функция непрерывна в некоторой точке , то она может и не иметь производной в этой точке.
Теорема устанавливает, что для функции дифференцируемость в данной точке и существование конечной производной в этой точке – понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной называют также дифференцированием этой функции.
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
Внеклассный урок — Формулы и правила дифференцирования (нахождения производной)
Формулы и правила дифференцирования (нахождения производной)
Дифференцирование – это вычисление производной.
1. Формулы дифференцирования.
Основные формулы дифференцирования – в таблице. Их необязательно зазубривать. Поняв некоторые закономерности, вы сможете из одних формул самостоятельно выводить другие.
1) Начнем с формулы (kx + m)′ = k.
Ее частными случаями являются формулы x′ = 1 и C′ = 0.
Поясним.
В любой функции вида у = kx + m производная равна угловому коэффициенту k.
Например, дана функция у = 2х + 4. Ее производная в любой точке будет равна 2:
(2х + 4)′ = 2.
Производная функции у = 9х + 5 в любой точке равна 9. И т.д.
А давайте найдем производную функции у = 5х. Для этого представим 5х в виде (5х + 0). Мы получили выражение, похожее на предыдущее. Значит:
(5х)′ = (5х + 0)′ = 5.
Наконец, выясним, чему равна x′.
Применим прием из предыдущего примера: представим х в виде 1х + 0. Тогда получим:
x′ = (1х + 0)′ = 1.
Таким образом, мы самостоятельно вывели формулу из таблицы:
x′ = 1.
Идем дальше. Пусть k = 0. Мы знаем, что производная равна коэффициенту. То есть:
(0 · x + m)′ = 0.
Но тогда получается, что m′ тоже равна 0. Пусть m = C, где C – произвольная постоянная. Тогда мы приходим к еще одной истине: производная постоянной равна нулю. То есть получаем еще одну формулу из таблицы:
C′ = 0.
raal100.narod.ru
Производная первого порядка, все формулы и примеры
Производная первого порядка функции , заданной явно, находится с помощью таблицы производных
а также правил дифференцирования (нахождения производных):
- Константу можно выносить за знак производной:
- Производная суммы/разности:
- Производная произведения:
- Производная частного двух функций:
| Задание | Найти производную функции, заданной явно
|
| Решение | Искомая производная
Производная суммы/разности функций равна сумме/разности их производных, то есть:
Производную первого слагаемого находим по таблице производных как производную степенной функции тогда
Во втором слагаемом, согласно свойствам производных, вначале вынесем константу 3 за знак производной:
А затем производную найдем по выше предложенной формуле производной степенной функции:
Производную третьего слагаемого находим как производную частного по формуле . Для будем иметь:
А таким образом, для заданной функции имеем:
|
| Ответ |
Производная первого порядка параметрической функции
В случае если функция задана параметрически в виде – параметр, то первая производная такой функции находится по формуле:
Производная первого порядка неявной функции
Если функция задана неявно равнение или то для нахождения первой производной поступают следующим образом:
- дифференцируют левую и правую части заданного равенства:
или
- находят производные от каждой из частей равенства, используя таблицу производных и правила дифференцирования, а также учитывают, что – сложная функция;
- из полученного равенства выражают .
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
Полная производная функции, формула и примеры
Функция где называется сложной функцией переменных и
В случае, когда функции и зависят только от переменной то есть то производная рассматриваемой функции по независимой переменной задается соотношением:
Если же а то формула (1) принимает вид:
В формулах (1), (2) выражение называется полной производной функции
ПРИМЕР 1| Задание | Найти полную производную функции если |
| Решение | Находим частные производные:
Тогда, согласно формуле (1), имеем:
|
| Ответ |
| Задание | Найти полную производную функции если |
| Решение | Искомую производную будем находить по следующей формуле:
Находим частные производные:
Итак, имеем:
|
| Ответ |
ru.solverbook.com
Определение производной. Общее правило нахождения производной.
Определение производной. Общее правило нахождения производной.
Производная – придел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0
Общее правило: находим , потом и затем обношение
Правила и формулы дифференцирования элементарных функций.
Дифференцирование– это взятие производной от функции.
Правила дифференцирования:
1)производная постоянной равна нулю
(c)ʹ = 0, c — const
2)производная Х равна 1
(x)ʹ = 1
3) постоянный множитель выносится за знак производной
(c*u)ʹ=c*uʹ, c — const
4) производная алгебраической суммы функции равна алгебраической сумме производных от каждого слагаемого
(u+γ-ω) ʹ= uʹ+γʹ-ωʹ
5) производная произведения равна производной первого множителя на второй, плюс производная второго множителя, умноженного на первый
(u*γ) ʹ= uʹγ+ γʹu
6) производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель и делить на знаменатель в квадрате
Формулы дифференцирования:
Дифференцирование логарифмической функции. Производная показательной функции.
Производная показательной функции.
Дифференцирование тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций.
см 2 билет ( косинусы, синусы, тангенсы, катангенсы, арккосинусы, арксинусы, арктангенсы)
Производная второго порядка и её механический смысл. Уравнение касательной.
Производную от функции часто называют производной первого порядка (первой производной). Очевидно, что производная также является функцией и если она дифференцируема, то от нее в свою очередь можно взять производную, которую называют производной второго порядка (второй производной) и обозначают yʹʹ,
Пусть тело движется прямолинейно по закону S=f(t). Как известно, скорость U движения тела в данный момент времени равно производной пути по времени, т.е. U=S
Если тело движется неравномерно, то скорость с течением времени изменяется и за промежуток времени получает приращение
В этом случае величина отношения показывающаяся изменение скорости за единицу времени, называется средним ускорением в промежутке времени от t до t+
Пусть , тогда t+ , а среднее ускорение стремится к величине, которая называется ускорение в данный момент времени t
Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.
Уравнение касательной:
y=f(x)
Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Вычисление дифференциала.
Дифференциал– главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной, обозначается знаком d т.е.
Геометрический смысл: дифференциал функции геометрический изображается приращением ординаты касательной, проведенной в точке М(x;y) при данных значениях x и
дифференциал можно вычислить по формуле
Понятие первообразной. Определение неопределенного интеграла и его свойства.
Дифференцируемая функция F(x), где называется первообразнойдля f(x), где , если выполняется равенство:
Совокупность всех первообразных функции f(x) на интервале от Называется неопределенным интегралом f(x) и обозначается
Свойства неопределенного интеграла:
1) постоянный множитель выносится за знак интеграла , с-const
2) интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме интегралов от каждого из слагаемых
Формулы интегрирования. Вычисление неопределенного интеграла. Пример.
Тут надо придумать. Можно что-то простое
Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Их следствия. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Стереометрия – это раздел геометрии, в котором фигуры изучаются в пространстве.
Основные фигуры: точка, прямая, плоскость.
Аксиомы:
1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие и не принадлежащие ей.
2.Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящую через эту точку.
3.Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.
Следствия из них:
1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.
Доказательство: возьмем точку принадлежащую прямой. Через две точки проведем прямую, назовем b. Имея две пересекающиеся прямые по аксиоме мы может провести плоскость и притом только одну.
2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и сама прямая принадлежит этой плоскости.
Доказательство: пусть a – данная прямая и α — данная плоскость. Проведем через прямую a и точку A плоскость α`. Если плоскость α` совпадает с α, то плоскость α содержит прямую a, что и утверждается теоремой. Если плоскость α` отлична от α, то эти плоскости пересекаются по прямой a`, содержащей две точки прямой a.
3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве:
Прямые, лежащие на одной плоскости, имеющих одну общую точку ,называютпересекающимися.
Прямые называютсяпараллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Прямые называются скрещивающимися, если они лежат в разных плоскостях.
Определение производной. Общее правило нахождения производной.
Производная – придел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0
Общее правило: находим , потом и затем обношение
infopedia.su