Формула cos 2 – Формулы (тождества) синус, косинус, тангенс, котангенс двойного угла

Содержание

Все формулы по тригонометрии

Все формулы по тригонометрии

Основные тригонометрические тождества

sin2x + cos2x = 1

tgx ctgx = 1

tg2x + 1

  =  

1

cos2x

ctg2x + 1

  =  

1

sin2x

Формулы двойного аргумента

sin2x = 2sinx cosx

sin2x

  =  

2tgx

  = 

2ctgx

  = 

2

1 + tg2x

1 + ctg2x

tgx + ctgx

cos2x = cos2 — sin2x = 2cos2x — 1 = 1 — 2sin2x

cos2x

  =  

1 — tg2x

  = 

ctg2x — 1

  = 

ctgx — tgx

1 + tg2x

ctg2x + 1

ctgx + tgx

tg2x

  =  

2tgx

  = 

2ctgx

  = 

2

1 — tg2x

ctg2x — 1

ctgx — tgx

ctg2x

  =  

ctg2x — 1

  = 

ctgx — tgx

2ctgx

2

Формулы тройного аргумента

sin3x = 3sinx — 4sin3x cos3x = 4cos3x — 3cosx

tg3x

  =  

3tgx — tg3x

1 — 3tg2x

ctg3x

  =  

ctg3x — 3ctgx

3ctg2x — 1

Формулы половинного аргумента

sin2

x

  =  

1 — cosx

2

2

cos2

x

  =  

1 + cosx

2

2

tg2

x

  =  

1 — cosx

2

1 + cos

x

ctg2

x

  =  

1 + cosx

2

1 — cosx

tg

x

  =  

1 — cosx

  =  

sinx

2

sinx

1 + cos

x

ctg

x

  =  

1 + cosx

  =  

sinx

2

sinx

1 — cosx

Формулы квадратов тригонометрических функций

sin2x

  =  

1 — cos2x

2

cos2x

  =  

1 + cos2x

2

tg2x

  =  

1 — cos2x

1 + cos2x

ctg2x

  =  

1 + cos2x

1 — cos2x

sin2

x

  =  

1 — cosx

2

2

cos2

x

  =  

1 + cosx

2

2

tg2

x

  =  

1 — cosx

2

1 + cosx

ctg2

x

  =  

1 + cosx

2

1 — cosx

Формулы кубов тригонометрических функций

sin3x

  =  

3sinx — sin3x

4

cos3x

  =  

3cosx + cos3x

4

tg3x

  =  

3sinx — sin3x

3cosx + cos3x

ctg3x

  =  

3cosx + cos3x

3sinx — sin3x

Формулы тригонометрических функций в четвертой степени

sin4x

  =  

3 — 4cos2x + cos4x

8

cos4x

  =  

3 + 4cos2x + cos4x

8

Формулы сложения аргументов

sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ cos(α + β) = cosα cosβ — sinα sinβ

tg(α + β)

  =  

tgα + tgβ

1 — tgα tgβ

ctg(α + β)

  =  

ctgα ctgβ — 1

ctgα + ctgβ

sin(α — β) = sinα cosβ — cosα sinβ cos(α — β) = cosα cosβ + sinα sinβ

tg(α — β)

  =  

tgα — tgβ

1 + tgα tgβ

ctg(α — β)

  =  

ctgα ctgβ + 1

ctgα — ctgβ

Формулы суммы тригонометрических функций

sinα + sinβ

  =  2sin

α + β

 ∙ cos

α — β

2

2

cosα + cosβ

  =  2cos

α + β

 ∙ cos

α — β

2

2

(sinα + cosα)2 = 1 + sin2α

tgα + tgβ

  =  

sin(α + β)

cosα cosβ

ctgα + ctgβ

  =  

sin(α + β)

sinα sinβ

Формулы разности тригонометрических функций

sinα — sinβ

  =  2sin

α — β

 ∙ cos

α + β

2

2

cosα — cosβ

  =  -2sin

α + β

 ∙ sin

α — β

2

2

(sinα — cosα)2 = 1 — sin2α

tgα — tgβ

  =  

sin(α — β)

cosα cosβ

ctgα — ctgβ

  =  – 

sin(α — β)

sinα sinβ

Формулы произведения тригонометрических функций

sinα ∙ sinβ

  =  

cos(α — β) — cos(α + β)

2

sinα ∙ cosβ

  =  

sin(α — β) + sin(α + β)

2

cosα ∙ cosβ

  =  

cos(α — β) + cos(α + β)

2

tgα ∙ tgβ

  =  

cos(α — β) — cos(α + β)

  =  

tgα + tgβ

cos(α — β) + cos(α + β)

ctgα + ctgβ

ctgα ∙ ctgβ

  =  

cos(α — β) + cos(α + β)

  =  

ctgα + ctgβ

cos(α — β) — cos(α + β)

tgα + tgβ

tgα ∙ ctgβ

  =  

sin(α — β) + sin(α + β)

sin(α + β) — sin(α — β)

studfiles.net

Персональный сайт — Тригонометрия

Основное тригонометрическое тождество: sin^2 (a)+cos^2 (a)=1 (формула)

Формулы приведения:

Функция / угол в рад.π/2 – απ/2 + απ – απ + α3π/2 – α3π/2 + α2π – α2π + α
sincos αcos αsin α–sin α–cos α–cos α–sin αsin α
cossin α–sin α–cos α–cos α–sin αsin αcos αcos α
tgctg α–ctg α–tg αtg αctg α–ctg α–tg αtg α
ctgtg α–tg α–ctg αctg αtg α–tg α–ctg αctg α
Функция / угол в °90° – α90° + α180° – α180° + α270° – α270° + α360° – α360° + α

 

 Связь между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:

Тригонометрические функции суммы и разности углов:

Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента:

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение:

hystory-for-vki.narod.ru

Внеклассный урок — Формулы двойного аргумента

Формулы двойного аргумента (двойного угла)

Выражения sin 2x, cos 2x, tg 2x можно выразить через sin x, cos x, tg x. Эти преобразующие формулы называются формулами двойного аргумента (или двойного угла).

Логику преобразования можно понять на примере выражения sin 2x.

Представим это выражение в виде sin (x + x).

Тогда мы легко можем применить формулу синуса суммы аргументов:

sin (x + x) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x.

Мы получили первую из формул двойного аргумента. А вот все формулы:

sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x = cos2x – sin2x

cos 2x = 1 – 2 sin2x

                                                                                      2 tg x
                                                                       tg 2x = ————
                                                                                    1 – tg2x

 

В первых строках мы показали, как была получена первая формула из таблицы. Вычислим остальные три.

2) cos 2x = cos2x – sin2x.

Здесь так же представляем 2х в виде х + х и применяем формулу косинуса сложения аргументов:

cos 2x = cos (x + x) = cos x cos x – sin x sin x = cos2x – sin2x.

 

3) cos 2x = 1 – 2 sin2x.

Здесь мы просто продолжим преобразовывать предыдущую формулу.
Используем для этого основное тригонометрическое тождество cos2x + sin2x = 1.
Из этого тождества следует, что cos2x = 1 – sin2x. Итак, выпишем предыдущую формулу, вставим значение cos2x, сведем подобные члены и получим результат:

cos 2x = cos2x – sin2x = 1 – sin2x – sin2x = 1 – 2sin2x.

                    2 tg x
4) tg 2x = ————
                   1 – tg2x

Способов, как прийти к такому тождеству, два.

Первый способ. Здесь нам поможет формула тангенса сложения аргументов. Для этого представим tg 2x в виде tg (x + х). Итак:

                                   tg х + tg х             2 tg х
tg 2x = tg (x + х) = —————— = —————
                                  1 – tg х tg х          1 – tg2х

Второй способ. Он сложнее. Сначала применяем формулы синуса и косинуса сложения аргументов:

                                     sin (x + х)           sin x cos х + cos x sin х
tg 2x =  tg (x + х) = —————— = ———————————
                                     cos (x + х)           cos x cos х – sin x sin х

Теперь, чтобы упростить выражение, делим все его части на cos x cos х, сокращаем подобные члены и приходим к решению:

   sin x cos х         cos x sin х               2 sin х
 ————— + —————          —————
  cos x cos х        cos x cos х               2 cos х                  2 tg x
———————————— = ——————— = —————
cos x cos x         sin x sin х                      sin2x               1 – tg2x
————— – —————           1 – ————     
 cos x cos x       cos x cos х                     cos2x

 

ПРИМЕЧАНИЕ:

При решении конкретных задач важно помнить, что задача имеет смысл лишь в том случае, если в процессе решения знаменатели нигде не оказываются равны нулю.

Теперь для наглядности решим несколько примеров по теме.

Пример 1. Упростить выражение:

 sin 2α
———
  sin α

Решение:

 sin 2α          2 sin α cos α
———  =  ——————  =  2 cos α
  sin α                sin α

 

Пример 2. Пусть tg α = 3/4  и 180º < α < 270º.

Найти sin 2α.

Решение.

В первую очередь, отмечаем, что угол находится в третьей четверти. Значит, синус будет со знаком минус.

                                                                                                                       1
1) Значение синуса мы могли бы найти через формулу 1 + ctg2 α =  ———.
                                                                                                                     sin2 α

Значит, нам надо сначала вычислить значение котангенса. Мы знаем, что tg α · ctg α = 1. Следовательно:

               1            1            4
ctg α = ——  =  ——  =  ——
             tg α         3/4          3


2) Теперь находим значение синуса:

                        1                        1                      1                 1            9
sin2 α  =  —————  =  —————  =  ————  =  ——  =  ——
                 1 + ctg2 α           1 + (4/3)2          1 + 16/9         25/9        25

 

                  3
sin α = – ——
                  5

3) Мы знаем, что sin 2α = 2 sin α cos α. Значит, находим еще косинус (по формуле cos2 α + sin2 α = 1). При этом опять не забываем, что угол – в третьей четверти и косинус должен быть со знаком минус. Итак:

                                            9            16
cos2 α = 1 – sin2 α  =  1 – ——  =  ——
                                           25           25

                  4
cos α = – ——
                  5

4) Осталось применить формулу двойного угла:

                          3               4          2 · 3 · 4        24
sin 2α = 2 · (– ——) · (– ——) = ———— = ——  =  0,96.
                          5               5             5 · 5          25

Пример решен.

 

Пример 3: Вычислить

         π             π
cos2 — – sin2
         8             8

Решение.

Это выражение соответствует правой части формулы косинуса двойного
аргумента (cos 2x = cos2xsin2x). Значит, просто приравняем его к левой части. Для этого замечаем, что

         π
х  =  —
         8

Остается ввести в формулу это значение х и решить уравнение:

            π                π                     π                 2π                 π          √2
cos2 —— – sin2 —— = cos 2 ∙ —— = cos ——  =  cos ——  =  —— .
           8                8                     8                   8                  4           2

Пример решен.

raal100.narod.ru

Полная таблица всех тригонометрических формул приведения

01)

Основные тригонометрические тождества

01.1)
Основное тригонометрическое тождество
формула основного тригонометрического тождества
01.2)
Основное тождество через тангенс и косинус
формула основного тождества через тангенс и косинус
01.3)
Основное тождество через котангенс и синус
формула основного тождества через котангенс и синус
01.4)
Соотношение между тангенсом и котангенсом
формула соотношения между тангенсом и котангенсом
02)

Формулы двойного аргумента (угла)

02.1)
Синус двойного угла
формула синуса двойного угла
02.2) формула синуса двойного угла
02.3)
Косинус двойного угла
формула синуса двойного угла
02.4) формула синуса двойного угла
02.5)
Тангенс двойного угла
формула синуса двойного угла
02.6)
Котангенс двойного угла
формула синуса двойного угла
03)

Формулы тройного аргумента (угла)

03.1)
Синус тройного угла
формула синуса тройного угла
03.2)
Косинус тройного угла
формула косинуса тройного угла
03.3)
Тангенс тройного угла
формула тангенса тройного угла
03.4)
Котангенс тройного угла
формула котангенса тройного угла
04)

Формулы половинного аргумента (угла)

04.1)
Синус половинного угла
формула синуса половинного угла
04.2)
Косинус половинного угла
формула косинуса половинного угла
04.3)
Тангенс половинного угла
формула тангенса половинного угла
04.4)
Котангенс половинного угла
формула котангенса половинного угла
04.5)
Тангенс половинного угла
формула тангенса половинного угла
04.6)
Котангенс половинного угла
формула котангенса половинного угла
05)

Формулы квадратов тригонометрических функций

05.1)
Квадрат синуса
формула квадрата синуса
05.2)
Квадрат косинуса
формула квадрата косинуса
05.3)
Квадрат тангенса
формула квадрата тангенса
05.4)
Квадрат котангенса
формула квадрата котангенса
05.5)
Квадрат синуса половинного угла
формула квадрата синуса половинного угла
05.6)
Квадрат косинуса половинного угла
формула квадрата косинуса половинного угла
05.7)
Квадрат тангенса половинного угла
формула квадрата тангенса половинного угла
05.8)
Формулы кубов тригонометрических функций
формула квадрата котангенса половинного угла
06)

Формулы кубов тригонометрических функций

06.1)
Куб синуса
формула куба синуса
06.2)
Куб косинуса
формула куба косинуса
06.3)
Куб тангенса
формула куба тангенса
06.4)
Куб котангенса
формула куба котангенса
07)

Формулы тригонометрических функций в четвертой степени

07.1)
Четвертая степень синуса
формула четвертой степени синуса
07.2)
Четвертая степень косинуса
формула четвертой степени косинуса
08)

Формулы сложения и вычитания аргументов

08.1)
Сложение аргументов синуса
формула сложения аргументов синуса
08.2)
Сложение аргументов косинуса
формула сложения аргументов косинуса
08.3)
Сложение аргументов тангенса
формула сложения аргументов тангенса
08.4)
Сложение аргументов котангенса
формула сложения аргументов котангенса
08.5)
Вычитание аргументов синуса
формула вычитания аргументов синуса
08.6)
Вычитание аргументов косинуса
формула вычитания аргументов косинуса
08.7)
Вычитание аргументов тангенса
формула вычитания аргументов тангенса
08.8)
Вычитание аргументов котангенса
формула вычитания аргументов котангенса
09)

Формулы суммы тригонометрических функций

09.1)
Сумма синусов
формула суммы синусов
09.2)
Сумма косинусов
формула суммы косинусов
09.3)
Сумма тангенсов
формула суммы тангенсов
09.4)
Сумма котангенсов
формула суммы котангенсов
09.5)
Сумма синуса и косинуса
формула суммы синуса и косинуса
10)

Формулы разности тригонометрических функций

10.1)
Разность синусов
формула разности суммы синусов
10.2)
Разность косинусов
формула разности суммы косинусов
10.3)
Разность тангенсов
формула разности суммы тангенсов
10.4)
Разность котангенсов
формула разности котангенсов
10.5)
Разность синуса и косинуса
формула разности синуса и косинуса
11)

Формулы произведения тригонометрических функций

11.1)
Произведение синусов
формула произведения синусов
11.2)
Произведение косинусов
формула произведения косинусов
11.3)
Произведение синуса и косинуса
формула произведения синуса и косинуса
11.4)
Произведение тангенсов
формула произведения тангенсов
11.5)
Произведение котангенсов
формула произведения котангенсов
11.6)
Произведение тангенса и котангенса
формула произведения тангенса и котангенса
12)

Формулы понижения степени

12.1)
Понижение степени синуса
формула понижения степени синуса
12.2)
Понижение степени косинуса
формула понижение степени косинуса
13)

Формулы суммы и разности разных тригонометрических функций

13.1)
Сумма синуса и косинуса
формула суммы синуса и косинуса
13.2)
Разность синуса и косинуса
формула разности синуса и косинуса
13.3)
Сумма синуса и косинуса с коэффициентами
формула суммы синуса и косинуса с коэффициентами
13.4)
Разность синуса и косинуса с коэффициентами
формула разности синуса и косинуса с коэффициентами
14)

Формулы общего вида

14.1)
Формула понижения nй четной степени синуса
формула формулы формулы понижения n четной степени синуса
14.2)
Формула понижения nй четной степени косинуса
формула формулы понижения nй четной степени косинуса
14.3)
Формула понижения nй нечетной степени синуса
формула формулы понижения nй нечетной степени синуса
14.4)
Формула понижения nй нечетной степени косинуса
формула формулы понижения nй нечетной степени косинуса

cae-cube.ru

Формулы (тождества) синус, косинус, тангенс, котангенс двойного угла


Формулы преобразования функций двойного угла (2α) в выражение через одинарный угол (α)

 

sin(2α)- через sin и cos:

 

sin(2α)- через tg и ctg:

 

 

cos(2α)- через sin и cos:

 

cos(2α)- через tg и ctg:

 

tg(2α):

 

сtg(2α):


Подробности
Автор: Administrator

www-formula.ru