F x модуль – Функции y=|x|, y=[x],y={x}, y=sign(x) и их графики. Функция f(x)=|x|

Функции y=|x|, y=[x],y={x}, y=sign(x) и их графики. Функция f(x)=|x|

Функция $f(x)=|x|$

$|x|$ — модуль. Он определяется следующим образом: Если действительное число будет неотрицательным, то значение модуля совпадает с самим числом. Если же отрицательно, то значение модуля совпадает с абсолютным значением данного числа.

Математически это можно записать следующим образом:

Пример 1

Исследуем и построим её график.

1. $D\left(f\right)=R$.
2. По определению модуля действительного числа, получим, что$E\left(f\right)=[0,\infty )$
3. $f\left(-x\right)=|-x|=|x|=f(x)$. Значит, функция четна.
4. При $x=0,\ y=0$. Точка $\left(0,0\right)$ — единственное пересечение с координатными осями.
5. \[f’\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} {1,x >0,} \\ {-1,xФункция будет возрастать на промежутке $x\in (0,+\infty )$

   Функция будет убывать на промежутке $x\in (-\infty ,0)$

6. Значения на концах области определения.

   \[{\mathop{\lim }_{x\to -\infty } y\ }=+\infty \] \[{\mathop{\lim }_{x\to +\infty } y\ }=+\infty \]
   

   Рисунок 1.

Функция $f(x)=[x]$

Функция $f\left(x\right)=[x]$ — функция целой части числа. Она находится округлением числа (если оно само не целое) «в меньшую сторону».

Пример: $[2,6]=2.$

Пример 2

Исследуем и построим её график.

1. $D\left(f\right)=R$.
2. Очевидно, что эта функция принимает только целые значения, то есть $\ E\left(f\right)=Z$
3. $f\left(-x\right)=[-x]$. Следовательно, эта функция будет общего вида.
4. $(0,0)$ — единственная точка пересечения с осями координат.
5. $f’\left(x\right)=0$
6. Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$.

Рисунок 2.

Функция $f\left(x\right)=\{x\}$

Функция $f\left(x\right)=\{x\}$ — функция дробной части числа. Она находится «отбрасыванием» целой части этого числа.

$\{2,6\}=0,6$

Пример 3

Исследуем и построим график функции

1. $D\left(f\right)=R$.

2. Очевидно, что эта функция никогда не будет отрицательной и никогда не будет больше единицы, то есть $\ E\left(f\right)=[0,1)$

3. $f\left(-x\right)=\{-x\}$. Следовательно, данная функция будет общего вида.

   Пересечение с осью $Ox$: $\left(z,0\right),\ z\in Z$

   Пересечение с осью $Oy$: $\left(0,0\right)$

4. $f’\left(x\right)=0$

5. Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$

   Рисунок 3.

Функция $f(x)=sign(x)$

Функция $f\left(x\right)=sign(x)$ — сигнум-функция. Эта функция показывает, какой знак имеет действительное число. Если число отрицательно, то функция имеет значение $-1$. Если число положительно, то функция равняется единице. При нулевом значении числа, значение функции также будет принимать нулевое значение.

Математически это можно записать следующим образом:

Пример 4

Исследуем и построим график функции

1. $D\left(f\right)=R$.
2. Непосредственно из определения, получим
3. \[\ E\left(f\right)=\left\{-1\right\}\cup \left\{0\right\}\cup \{1\}\]

4. $f\left(-x\right)=sign\left(-x\right)=-sign(x)$. Следовательно, данная функция будет нечетной.

   Пересечение с осью $Ox$: $\left(0,0\right)$

   Пересечение с осью $Oy$: $\left(0,0\right)$

5. $f’\left(x\right)=0$

6. Функция имеет точку разрыва (скачка функции) в начале координат.

   

   Рисунок 4.

spravochnick.ru

Построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля с использованием информационных технологий

Разделы: Математика, Информатика

---

Проблема: повышение уровня математической подготовка учащихся через решение задач повышенной сложности с использованием в учебном процессе современных информационных технологий.

При решении последних заданий в работах, предлагаемых на выпускных экзаменах за курс средней школы, а также при решении задач, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы по математике, могут быть использованы любые известные учащимся математические методы.

Как правило, применение «нестандартных» методов позволяет более эффективно решать многие задачи повышенной сложности. Мой опыт работы в школе показывает, что задания на построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля, вызывают у учащихся затруднения.

Цель работы: рассмотреть построение графиков трех видов: y = f(|x|), y = |f(x)|, |y| = f(x) — для дальнейшего применения данного материала на уроках алгебры, на факультативных и дополнительных занятиях.

Построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля

В методической литературе этому вопросу уделяется немало внимания; наблюдения показывают, что такие задачи вызывают у учащихся затруднения и они допускают ошибки при построении указанных графиков.

Одна из причин таких ошибок кроется, на мой взгляд, в непонимании учащимися определения модуля числа:

При работе над определением модуля числа учитель должен обратить внимание учащихся на то, что число — x может быть как отрицательное (при x < 0), так и положительное (при х > 0).

В курсе алгебры неполной средней школы на уроках и в период проведения внеклассной работы целесообразно рассмотреть построение графиков трех видов:

y = f(|x|),   y = |f(x)|,   |y| = f(x).

Для построение всех типов графиков учащимся достаточно хорошо понимать определение модуля и знать виды простейших графиков, изучаемых в школе.

Так, для построения графика функции y = f(|x|) на основании модуля имеем:

Следовательно, график функции y = f(|x|) состоит из двух графиков: y = f(x) — в правой полуплоскости, y = f(-x) — в левой полуплоскости.

Например:

После того, как учащиеся познакомятся с определением четной и нечетной функции, их можно познакомить с правилом 1.

Правило 1: функция y = f(|x|) — четная, поэтому для построения ее графика достаточно построить график функции y = f(x), для всех х ≥ 0 из области определения и отразить полученную часть симметрично оси ординат.

Знание этого правила облегчает построение графиков функций вида y = f(|x|).

Целесообразно предлагать учащимся строить графики двумя способами:
1) на основании определения модуля;
2) на основании правила 1.

После знакомства с квадратичной функцией весьма интересным и полезным является построение графиков функций:

Рисунок 1	Рисунок 2

В старших классах после знакомства учащихся с графиками тригонометрических функций полезно построить графики функций y = sin(|x|), y = cos(|x|), y = tg(|x|), обратив внимание учащихся, что график функции y = cos(|x|) совпадает с графиком y = -cos(|x|) (y = cos(|x|) — четная функция).

В современном образовании одним из важных и актуальным вопросом является разработка методики внедрения и использования информационных, компьютерных и мультимедийных продуктов в учебном процессе.

Одной из удобной форм активизации передачи и восприятия информации, на наш взгляд, является компьютерная интерактивная презентация, которую целесообразно использовать учителю в качестве сопровождения при объяснении нового материала.

Пример слайдов компьютерной презентации, иллюстрирующих правило 1:

Знакомство учащихся с построением графиков функций вида y = |f(x)| лучше начинать сразу же, как только они хорошо усвоят определение модуля.

Правило 2: для построения графика функции y = |f(x)| для всех x из области определения, надо ту часть графика функции y = f(x), которая располагается ниже оси абсцисс (

f(x)

Таким образом, график функции y = |f(x)| расположен только в верхней полуплоскости.

Пример: y = |x² — 4|.

Строим график функции y = x² — 4 (рис. 3).

Рисунок 3

Как правило, учащиеся хорошо понимают правило построения графика такой функции. Его можно легко довести до автоматизма. Во избежание формализма в знаниях и умениях учащихся необходимо чередовать построение графиков вида y = f(|x|) и y = |f

(x)|.

С построением графиков зависимостей вида |y| = f(x) учащихся можно познакомить на внеклассных занятиях, ибо такие графики вызывают наибольшие затруднения. Учитывая, что в формуле |y| = f(x)   f(x) ≥ 0 и на основании определения модуля

,

перепишем формулу |y| = f(x) в виде y = ±f(x), где f(x) ≥ 0.

Исходя из этого, можно сформулировать правило 3.

Правило 3: для построения графиков зависимости (а не функции) достаточно построить график функции y = f(x) для тех x из области определения, при которых f(x) ≥ 0 и отразить полученную часть графика, симметрично оси абсцисс.

Таким образом, график зависимости |y| = f(x) состоит из графиков двух функций: y = f(x) и y = —f(x), где f(x) ≥ 0.

Мы убедились, что учитель, проводящий урок с помощью компьютера, имеет возможность интенсифицировать процесс обучения, сделать его более наглядным, динамичным. Такие уроки вызывают большой интерес у учащихся, способствуют повышению качества знаний, расширяют горизонты школьной математики.

В соответствии с этим правилом можно предложить учащимся построить графики (рис. 4):

	Рисунок 4

Конечно, нет необходимости требовать от учащихся запоминания правил построения.

Пример экзаменационной работы:

Так как |y| ≥ 0, x ≠ 0, x > 0    y = |f(|x|)|.

Правило 4: для того, чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, надо скачала построить график функции y = f(x) при x > 0, затем при х < 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси 0y, а затем на интервалах, где f(|x|) < 0, построить изображение, симметричное графику f(|x|) относительно оси Ох.

Рассмотрим еще несколько интересных заданий.

1. Построить график функции

ОДЗ: x ≠ -1

2. Построить график функции

3. Построить график функции

Упростим:

Получим:

Все рассмотренные задания можно использовать на уроках алгебры, факультативных и дополнительных занятиях.

4.02.2009

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Построение функций, содержащих модули

Модуль аргумента и модуль функции

Внимание: мелкие рисунки увеличиваются щелчком левой клавиши мыши.

Если Вы попали на эту страницу из поисковика, миновав предыдущие разделы темы «Графики функций и их преобразования», то рекомендую сначала повторить графики основных элементарных функций и общие правила преобразования графиков функций.

Модуль переменной (абсолютная величина значения) определяется следующим образом:

|x| = x, если х ≥ 0,
|x| = −x, если х < 0.

В контексте построения графиков это означает использование преобразования симметрии относительно осей координат.

   

I  График функции y = f (|x|) симметричен относительно оси ординат. Он состоит их двух ветвей. Построение графика функции y = f(|x|) можно осуществить так:

1. Построить график функции y = f(x).
2. Исключить его часть, расположенную в отрицательной половине оси абсцисс. (Например, просто стереть ластиком, если график был построен карандашом.)
3. Построить левую ветвь графика (при отрицательных x) симметричным отображением его правой ветви относительно оси Oy.

II  Функция y = |f (x)| характерна тем, что не имеет отрицательных значений. Чтобы построить график такой функции, нужно:

1. Построить график функции y = f(x).
2. Участок графика, расположенный ниже оси абсцисс (при отрицательных y) развернуть на верхнюю половину координатной сетки преобразованием симметрии относительно оси Ox.

   

В этом примере оба графика получены из графика функции  y = x − 3.

Первый — преобразованием Гf(x) → Гf(|x|), второй — преобразованием Гf(x) → Г|f(x)|.

III  При построении из графика функции y = f(x) более сложных графиков, например, вида y = k·f (a|x| + b) + c или y = k·|f (ax + b)| + c тщательно соблюдайте последовательность преобразований.

Ниже показаны примеры графиков различных функций, содержащих модуль, которые получены из графика функции y = √|x|__.

1.   y = √x_

2.   y = √|x|__

3.   y = √|x − 1|_____

4.   y = √|x| − 1 _____

5.   y = |√x − 1_|

IV  Равенство вида |y| = f (x) по определению не является функцией, так как допускает неоднозначность при вычислении значения y.

Однако линию на координатной плоскости оно задает, и эту линию тоже можно построить, исходя из графика функции y = f(x).
Для этого нужно:

1. Построить график функции y = f(x).
2. Исключить его часть, расположенную ниже оси абсцисс, поскольку указанное равенство возможно только для положительных значений f(x).
3. Построить нижнюю часть линии (при отрицательных y) симметричным отображением относительно оси Ox.

Эти графики также получены из графика функции y = √x_.

6.  7.

1.   |y| = √x_

2.   |y| = |√x_ − 1|

Пример 1.

Задан график функции y = x².
Построить кривые, удовлетворяющие уравнению, |y| = x² − 2|x| − 5.

Заметим, что x² = |x|² (значение четной степени, как и значение модуля, всегда неотрицательно). Поэтому, выделяя полный квадрат, преобразуем функцию к виду |y| = (|x| − 1)² − 6 и строим её график последовательными преобразованиями.

Строим график функции f(x) = (x − 1)² − 6 переносом на 1 вправо вдоль оси Ox, а затем переносом вниз на 6 единиц вдоль оси Oy.
Строим график функции f(|x|) = (|x| − 1)² − 6 с использованием преобразования симметрии относительно оси Oy.
Строим линии, удовлетворяющие уравнению |y| = (|x| − 1)² − 6 с использованием преобразования симметрии относительно оси Ox.

1.   y = x2

2.   y = (x − 1)2

3.   y = (x − 1)2 − 6

4.   y = (|x| − 1)2 − 6

5.   |y| = (|x| − 1)2 − 6

Следующий график постройте самостоятельно, чтобы убедиться, что вы правильно поняли материал.

Пример 2.

Задан график функции y = x².
Построить график функции y = |x² − 2x − 5|.

Сумма модулей

Если формула функции включает сумму или разность несколько модулей, то следует разбить координатную плоскость на участки и построить каждую ветвь графика отдельно. Границы участков определяются приравниванием каждого модуля к нулю и решением соответствующего уравнения. Подробный пример такого подхода можно увидеть в задаче 1 на странице, посвященной решению уравнений с параметрами.

Однако, если подмодульные выражения простые и содержат элементарные функции, графики которых вам хорошо известны, то можно получить результат прямым сложением ординат этих графиков в характерных точках.

Пример 3.

Построить график функции y = |x + 2| + |x − 1|.

Эти два модуля содержат только линейные функции, графиками которых являются прямые линии. В результате сложения должна получиться ломаная линия, состоящая из трёх звеньев. (2 модуля, следовательно 2 уравнения, каждое из которых имеет одно решение, следовательно 2 границы, которыми плоскость разбита на 3 участка.) Трёхзвенную ломаную можно построить по 4-ём точкам.

На одних осях независимо друг от друга строим графики функций y = |x + 2| и y = |x − 1|, используя сдвиг и отражение. Складываем ординаты в точках излома x = −2 и x = 1 и в двух удобных точках на крайних участках, например, при x = −3 и x = 3. На приведенном рисунке красным цветом представлен результирующий график, полученный по этим 4-ём точкам: (−3;5 ), (−2;3 ), (1; 3), (3;7).

Теперь проверьте себя.

Пример 4.

Построить график функции y = |x + 2| + |x − 1| − |x|.

      Перейти  на главную страницу сайта.

rpilot62.ru

Построить график функции y=f(x). Исследование функции онлайн.

Введите график функции

Построим (исследуем) график функции y=f(x), для этого задайте функцию f(x)

Важно: a должно быть меньше b, иначе график не сможет построиться. Cледите за масштабом — если графика на рисунке нету, значит стоит поварьировать значения a и b

Примеры

С применением степени
(квадрат и куб) и дроби

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Квадратный корень

sqrt(x)/(x + 1)

Кубический корень

cbrt(x)/(3*x + 2)

С применением синуса и косинуса

2*sin(x)*cos(x)

Арксинус

x*arcsin(x)

Арккосинус

x*arccos(x)

Применение логарифма

x*log(x, 10)

Натуральный логарифм

ln(x)/x

Экспонента

exp(x)*x

Тангенс

tg(x)*sin(x)

Котангенс

ctg(x)*cos(x)

Иррациональне дроби

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Арктангенс

x*arctg(x)

Арккотангенс

x*arсctg(x)

Гиберболические синус и косинус

2*sh(x)*ch(x)

Гиберболические тангенс и котангенс

ctgh(x)/tgh(x)

Гиберболические арксинус и арккосинус

x^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Гиберболические арктангенс и арккотангенс

x^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Исследование графика функции

Для периодических функций идет исследование графика функции только на промежутке периода

Наш калькулятор позволяет исследовать график функции. Но пока что нет возможности находить область определения функции

Что умеет находить этот калькулятор:

• Область определения функции: Да. Умеет определять только точки, в которых знаменатель функции обращается в нуль, но в остальных случаях:
• Умеет определять точки пересечения графика функции с осями координат: Да
• Экстремумы функции: интервалы (отрезки) возрастания и убывания функции: Да
• Точки перегибов графика функции: перегибы: интервалы выпуклости, вогнутости (впуклости): Да
• Вертикальные асимптоты : Да (это завязано с областью определения функции, на точки, где знаменатель функции обращается в нуль)
• Горизонтальные асимптоты графика функции: Да
• Наклонные асимптоты графика функции: Да
• Четность и нечетность функции: Да

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x)

Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)

arccos(x)

Функция — арккосинус от x

arccosh(x)

Арккосинус гиперболический от x

arcsin(x)

Арксинус от x

arcsinh(x)

Арксинус гиперболический от x

arctg(x)

Функция — арктангенс от x

arctgh(x)

Арктангенс гиперболический от x

e

e число, которое примерно равно 2.7

exp(x)

Функция — экспонента от x (что и e^x)

log(x) or ln(x)

Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))

pi

Число — «Пи», которое примерно равно 3.14

sin(x)

Функция — Синус от x

cos(x)

Функция — Косинус от x

sinh(x)

Функция — Синус гиперболический от x

cosh(x)

Функция — Косинус гиперболический от x

sqrt(x)

Функция — квадратный корень из x

sqr(x) или x^2

Функция — Квадрат x

tg(x)

Функция — Тангенс от x

tgh(x)

Функция — Тангенс гиперболический от x

cbrt(x)

Функция — кубический корень из x

floor(x)

Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)

sign(x)

Функция — Знак x

erf(x)

Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа

вводить в виде 7.5, не 7,5

2*x

— умножение

3/x

— деление

x^3

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

www.kontrolnaya-rabota.ru

Преобразование графиков функций

Преобразование графиков функций

В этой статье я  познакомлю вас с линейными преобразованиями графиков функций и покажу, как с помощью этих преобразований из графика функции получить график функции 

Линейным преобразованием функции  называется преобразование самой функции и/или ее аргумента к виду , а также преобразование, содержащее модуль аргумента и/или функции.

Наибольшие затруднения при построении графиков с помощью линейных преобразований вызывают следующие действия:

1.  Вычленение базовой функции, собственно, график которой мы и преобразовываем.
2. Определения порядка преобразований.

Именно на этих моментах мы и остановимся подробнее.

Рассмотрим внимательно функцию

В ее основе лежит функция . Назовем ее базовой функцией.

При построении графика функции  мы совершаем преобразования графика базовой функции  .

Если бы  мы совершали преобразования функции   в том же порядке , в каком находили ее значение  при определенном значении аргумента, то

Рассмотрим какие виды линейных преобразований аргумента и функции существуют, и как их выполнять.

Преобразования аргумента.

1. f(x)  f(x+b)

1. Строим график фунции 

2. Сдвигаем график фунции  вдоль оси ОХ на  |b| единиц

•   влево, если b>0
•   вправо, если b<0

Построим график функции  

1. Строим график функции 

2. Сдвигаем его на 2 единицы вправо:

2. f(x)  f(kx)

1. Строим график фунции 

2. Абсциссы точек графика  делим на к, ординаты точек оставляем без изменений.

Построим график функции  .

1. Строим график функции 

2. Все абсциссы точек графика  делим на 2, ординаты оставляем без изменений:

3. f(x)  f(-x)

1. Строим график фунции 

2. Отображаем его симметрично относительно оси OY.

 

Построим график функции  .

1. Строим график функции 

2. Отображаем его симметрично относительно оси OY:

4.  f(x)  f(|x|)

1. Строим график функции 

2. Часть графика, расположенную левее оси ОY стираем, часть графика, расположенную правее оси ОY Достраиваем симметрично относительно оси OY:

График функции   выглядит так:

Построим график функции 

1. Строим график функции (это график функции , смещенный вдоль оси ОХ на 2 единицы влево):

2. Часть графика, расположенную левее оси OY (x<0) стираем:

3. Часть графика, расположенную правее оси OY (x>0) достраиваем симметрично относительно оси OY:

Важно! Два главных правила преобразования аргумента.

1. Все преобразования аргумента совершаются вдоль оси ОХ

2. Все преобразования аргумента совершаются «наоборот» и «в обратном порядке».

Например, в функции   последовательность преобразований аргумента такая:

1. Берем модуль от х.

2. К модулю х прибавляем число 2.

Но построение графика мы совершали в обратном порядке:

Сначала выполнили преобразование 2. — сместили график на 2 единицы влево (то есть абсциссы точек уменьшили на 2, как бы «наоборот»)

Затем выполнили преобразование f(x)  f(|x|).

Коротко последовательность преобразований записывается так:

Теперь поговорим о преобразовании функции. Преобразования  совершаются

1. Вдоль оси OY.

2. В той же последовательности, в какой выполняются действия.

Вот эти преобразования:

1. f(x)f(x)+D

1. Строим график функции y=f(x)

2.  Смещаем его  вдоль оси OY  на |D| единиц

• вверх, если D>0
• вниз, если D<0

 

Построим график функции 

1. Строим график функции 

2. Смещаем его вдоль оси OY на 2 единицы вверх:

 

2. f(x)Af(x)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Ординаты всех точек графика умножаем на А, абсциссы оставляем без изменений.

 

Построим график функции 

1. Построим график функции 

2. Ординаты всех точек графика умножим на 2:

3. f(x)-f(x)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Отображаем его симметрично относительно оси ОХ.

 

Построим график функции .

1. Строим график функции .

2. Отображаем его симметрично относительно оси ОХ.

 

4. f(x)|f(x)|

1. Строим график функции y=f(x)

2. Часть графика, расположенную выше оси ОХ оставляем без изменений, часть графика, расположенную ниже оси OX, отображаем симметрично относительно этой оси.

 

Построим график функции 

1. Строим график функции . Он получается смещением графика функции   вдоль оси OY на 2 единицы вниз:

2. Теперь часть графика, расположенную ниже оси ОХ, отобразим симметрично относительно этой оси:

 

И последнее преобразование, которое, строго говоря, нельзя назвать преобразованием функции, поскольку результат этого преобразования функцией уже не является:

y=f(x) |y|=f(x)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем, затем часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.

Построим график  уравнения 

1. Строим график функции   :

2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем:

3. Часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.

 

И, наконец,  предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК в котором я показываю пошаговый алгоритм построения графика функции

График этой функции выглядит так:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

ege-ok.ru

Строим графики функций, содержащие модуль. Часть 1

Построение графиков функций, содержащих модули, обычно вызывает немалые затруднения у школьников. Однако, все не так плохо. Достаточно запомнить несколько алгоритмов решения таких задач, и вы сможете без труда построить график даже самой на вид сложной функции. Давайте разберемся, что же это за алгоритмы.

1. Построение графика функции y = |f(x)|

Заметим, что множество значений функций y = |f(x)| : y ≥ 0. Таким образом, графики таких функций всегда расположены полностью в верхней полуплоскости.

Построение графика функции y = |f(x)| состоит из следующих простых четырех этапов.

1) Построить аккуратно и внимательно график функции y = f(x).

2) Оставить без изменения все точки графика, которые находятся выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, которая лежит ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 1. Изобразить график функции y = |x² – 4x + 3|

1) Строим график функции y = x² – 4x + 3. Очевидно, что график данной функции – парабола. Найдем координаты всех точек пересечения параболы с осями координат и координаты вершины параболы.

0x : y = 0.

x² – 4x + 3 = 0.

x₁ = 3, x₂ = 1.

Следовательно, парабола пересекает ось 0x в точках (3, 0) и (1, 0).

0y: x = 0.

y = 0² – 4 · 0 + 3 = 3.

Следовательно, парабола пересекает ось 0y в точке (0, 3).

Координаты вершины параболы:

x_в = -(-4/2) = 2, y_в = 2² – 4 · 2 + 3 = -1.

Следовательно, точка (2, -1) является вершиной данной параболы.

Рисуем параболу, используя полученные данные (рис. 1)

2) Часть графика, лежащую ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно оси 0x.

3) Получаем график исходной функции (рис. 2, изображен пунктиром).

2. Построение графика функции y = f(|x|)

Заметим, что функции вида y = f(|x|) являются четными:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Значит, графики таких функций симметричны относительно оси 0y.

Построение графика функции y = f(|x|) состоит из следующей несложной цепочки действий.

1) Построить график функции y = f(x).

2) Оставить ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отобразить указанную в пункте (2) часть графика симметрично оси 0y.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 2. Изобразить график функции y = x² – 4 · |x| + 3

Так как x² = |x|², то исходную функцию можно переписать в следующем виде: y = |x|² – 4 · |x| + 3. А теперь можем применять предложенный выше алгоритм.

1) Строим аккуратно и внимательно график функции y = x² – 4 · x + 3 (см. также рис. 1).

2) Оставляем ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отображаем правую часть графика симметрично оси 0y.

4) Окончательный график изображен на рисунке (рис. 3).

Пример 3. Изобразить график функции y = log₂|x|

Применяем схему, данную выше.

1) Строим график функции y = log₂x (рис. 4).

Далее повторяем пункты 2)-3) предыдущего примера и получаем окончательный график (рис. 5).

3. Построение графика функции y = |f(|x|)|

Заметим, что функции вида y = |f(|x|)| тоже  являются четными. Действительно, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), и поэтому , их графики симметричны относительно оси 0y. Множество значений таких функций: y ≥ 0. Значит, графики таких функций расположены полностью в верхней полуплоскости.

Чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, необходимо:

1) Построить аккуратно график функции y = f(|x|).

2) Оставить без изменений ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 4. Изобразить график функции y = |-x² + 2|x| – 1|.

1) Заметим, что x²= |x|². Значит, вместо исходной функции y = -x² + 2|x| – 1

можно использовать функцию y = -|x|² + 2|x| – 1, так как их графики совпадают.

Строим график y = -|x|² + 2|x| – 1. Для этого применяем алгоритм 2.

a) Строим график функции y = -x² + 2x – 1 (рис. 6).

b) Оставляем ту часть графика, которая расположена в правой полуплоскости.

c) Отображаем полученную часть графика симметрично оси 0y.

d) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 7).

2) Выше оси 0х точек нет, точки на оси 0х оставляем без изменения.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно 0x.

4) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 8).

Пример 5. Построить график функции y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Сначала необходимо построить график функции y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Для этого возвращаемся к алгоритму 2.

a)  Аккуратно строим график функции y = (2x – 4) / (x + 3) (рис. 9).

Заметим, что данная функция является дробно-линейной и ее график есть гипербола. Для построения кривой сначала необходимо найти асимптоты графика. Горизонтальная – y = 2/1 (отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе дроби), вертикальная – x = -3.

Далее повторяем пункты b)-c) из предыдущего примера и получаем следующий график функции (рис. 10).

2) Ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней, оставим без изменений.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразим симметрично относительно 0x.

4) Окончательный график изображен на рисунке (рис. 11).

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Решение предела функции · Калькулятор Онлайн

Введите функцию и точку, для которых надо вычислить предел

Сайт предоставляет ПОДРОБНОЕ решение по нахождению предела функции.

Займемся вычислением (решением) пределов функций в точке. Дана функция f(x). Вычислим ее предел в точке x0

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x)

Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)

arccos(x)

Функция — арккосинус от x

arccosh(x)

Арккосинус гиперболический от x

arcsin(x)

Арксинус от x

arcsinh(x)

Арксинус гиперболический от x

arctg(x)

Функция — арктангенс от x

arctgh(x)

Арктангенс гиперболический от x

e

e число, которое примерно равно 2.7

exp(x)

Функция — экспонента от x (что и e^x)

log(x) or ln(x)

Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))

pi

Число — «Пи», которое примерно равно 3.14

sin(x)

Функция — Синус от x

cos(x)

Функция — Косинус от x

sinh(x)

Функция — Синус гиперболический от x

cosh(x)

Функция — Косинус гиперболический от x

sqrt(x)

Функция — квадратный корень из x

sqr(x) или x^2

Функция — Квадрат x

tg(x)

Функция — Тангенс от x

tgh(x)

Функция — Тангенс гиперболический от x

cbrt(x)

Функция — кубический корень из x

floor(x)

Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)

sign(x)

Функция — Знак x

erf(x)

Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа

вводить в виде 7.5, не 7,5

2*x

— умножение

3/x

— деление

x^3

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

www.kontrolnaya-rabota.ru