Если корень умножить на корень – Урок Арифметический квадатный корень. Корень n-степени. Свойства корня. Преобразование выражений содержащих корень. Исключение иррациональности из знаменателя

Содержание

Умножение корней

Приветствую, котаны! В прошлый раз мы подробно разобрали, что такое корни (если не помните, рекомендую почитать). Главный вывод того урока: существует лишь одно универсальное определение корней, которое вам и нужно знать. Остальное — брехня и пустая трата времени.

Сегодня мы идём дальше. Будем учиться умножать корни, изучим некоторые проблемы, связанные с умножением (если эти проблемы не решить, то на экзамене они могут стать фатальными) и как следует потренируемся. Поэтому запасайтесь попкорном, устраивайтесь поудобнее — и мы начинаем.:)

Вы ведь тоже ещё не вкурили?

Урок получился довольно большим, поэтому я разделил его на две части:

  1. Сначала мы разберём правила умножения. Кэп как бы намекает: это когда есть два корня, между ними стоит знак «умножить» — и мы хотим что-то с этим сделать.
  2. Затем разберём обратную ситуацию: есть один большой корень, а нам приспичило представить его в виде произведения двух корней попроще. С какого перепугу это бывает нужно — вопрос отдельный. Мы разберём лишь алгоритм.

Тем, кому не терпится сразу перейти ко второй части — милости прошу. С остальными начнём по порядку.

Основное правило умножения

Начнём с самого простого — классических квадратных корней. Тех самых, которые обозначаются $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$. Для них всё вообще очевидно:

Правило умножения. Чтобы умножить один квадратный корень на другой, нужно просто перемножить их подкоренные выражения, а результат записать под общим радикалом:

\[\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\]

Никаких дополнительных ограничений на числа, стоящие справа или слева, не накладывается: если корни-множители существуют, то и произведение тоже существует.

Примеры. Рассмотрим сразу четыре примера с числами:

\[\begin{align} & \sqrt{25}\cdot \sqrt{4}=\sqrt{25\cdot 4}=\sqrt{100}=10; \\ & \sqrt{32}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8; \\ & \sqrt{54}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{54\cdot 6}=\sqrt{324}=18; \\ & \sqrt{\frac{3}{17}}\cdot \sqrt{\frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{3}{17}\cdot \frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}. \\ \end{align}\]

Как видите, основной смысл этого правила — упрощение иррациональных выражений. И если в первом примере мы бы и сами извлекли корни из 25 и 4 без всяких новых правил, то дальше начинается жесть: $\sqrt{32}$ и $\sqrt{2}$ сами по себе не считаются, но их произведение оказывается точным квадратом, поэтому корень из него равен рациональному числу.

Отдельно хотел бы отметить последнюю строчку. Там оба подкоренных выражения представляют собой дроби. Благодаря произведению многие множители сокращаются, а всё выражение превращается в адекватное число.

Конечно, не всегда всё будет так красиво. Иногда под корнями будет стоять полная лажа — непонятно, что с ней делать и как преобразовывать после умножения. Чуть позже, когда начнёте изучать иррациональные уравнения и неравенства, там вообще будут всякие переменные и функции. И очень часто составители задач как раз и рассчитывают на то, что вы обнаружите какие-то сокращающиеся слагаемые или множители, после чего задача многократно упростится.

Кроме того, совсем необязательно перемножать именно два корня. Можно умножить сразу три, четыре — да хоть десять! Правило от этого не поменяется. Взгляните:

Примеры.

\[\begin{align} & \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{2\cdot 3\cdot 6}=\sqrt{36}=6; \\ & \sqrt{5}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{0,001}=\sqrt{5\cdot 2\cdot 0,001}= \\ & =\sqrt{10\cdot \frac{1}{1000}}=\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{1}{10}. \\ \end{align}\]

И опять небольшое замечание по второму примеру. Как видите, в третьем множителе под корнем стоит десятичная дробь — в процессе вычислений мы заменяем её обычной, после чего всё легко сокращается. Так вот: очень рекомендую избавляться от десятичных дробей в любых иррациональных выражениях (т.е. содержащих хотя бы один значок радикала). В будущем это сэкономит вам кучу времени и нервов.

Но это было лирическое отступление. Теперь рассмотрим более общий случай — когда в показателе корня стоит произвольное число $n$, а не только «классическая» двойка.

Случай произвольного показателя

Итак, с квадратными корнями разобрались. А что делать с кубическими? Или вообще с корнями произвольной степени $n$? Да всё то же самое. Правило остаётся прежним:

Чтобы перемножить два корня степени $n$, достаточно перемножить их подкоренные выражения, после чего результат записать под одним радикалом.

В общем, ничего сложного. Разве что объём вычислений может оказаться больше. Разберём парочку примеров:

Примеры. Вычислить произведения:

\[\begin{align} & \sqrt[4]{20}\cdot \sqrt[4]{\frac{125}{4}}=\sqrt[4]{20\cdot \frac{125}{4}}=\sqrt[4]{625}=5; \\ & \sqrt[3]{\frac{16}{625}}\cdot \sqrt[3]{0,16}=\sqrt[3]{\frac{16}{625}\cdot \frac{16}{100}}=\sqrt[3]{\frac{64}{{{25}^{2}}\cdot 25}}= \\ & =\sqrt[3]{\frac{{{4}^{3}}}{{{25}^{3}}}}=\sqrt[3]{{{\left( \frac{4}{25} \right)}^{3}}}=\frac{4}{25}. \\ \end{align}\]

И вновь внимание второе выражение. Мы перемножаем кубические корни, избавляемся от десятичной дроби и в итоге получаем в знаменателе произведение чисел 625 и 25. Это довольно большое число — лично я с ходу не посчитаю, чему оно равно.

Поэтому мы просто выделили точный куб в числителе и знаменателе, а затем воспользовались одним из ключевых свойств (или, если угодно — определением) корня $n$-й степени:

\[\begin{align} & \sqrt[2n+1]{{{a}^{2n+1}}}=a; \\ & \sqrt[2n]{{{a}^{2n}}}=\left| a \right|. \\ \end{align}\]

Подобные «махинации» могут здорово сэкономить вам время на экзамене или контрольной работе, поэтому запомните:

Не спешите перемножать числа в подкоренном выражении. Сначала проверьте: вдруг там «зашифрована» точная степень какого-либо выражения?

При всей очевидности этого замечания должен признать, что большинство неподготовленных учеников в упор не видят точные степени. Вместо этого они перемножают всё напролом, а затем удивляются: почему это получились такие зверские числа?:)

Впрочем, всё это детский лепет по сравнению с тем, что мы изучим сейчас.

Умножение корней с разными показателями

Ну хорошо, теперь мы умеем перемножать корни с одинаковыми показателями. А что, если показатели разные? Скажем, как умножить обычный $\sqrt{2}$ на какую-нибудь хрень типа $\sqrt[7]{23}$? Можно ли вообще это делать?

Да конечно можно. Всё делается вот по этой формуле:

Правило умножения корней. Чтобы умножить $\sqrt[n]{a}$ на $\sqrt[p]{b}$, достаточно выполнить вот такое преобразование:

\[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt[n\cdot p]{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\]

Однако эта формула работает только при условии, что подкоренные выражения неотрицательны. Это очень важное замечание, к которому мы вернёмся чуть позже.

А пока рассмотрим парочку примеров:

\[\begin{align} & \sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[4]{2}=\sqrt[3\cdot 4]{{{3}^{4}}\cdot {{2}^{3}}}=\sqrt[12]{81\cdot 8}=\sqrt[12]{648}; \\ & \sqrt{2}\cdot \sqrt[5]{7}=\sqrt[2\cdot 5]{{{2}^{5}}\cdot {{7}^{2}}}=\sqrt[10]{32\cdot 49}=\sqrt[10]{1568}; \\ & \sqrt{5}\cdot \sqrt[4]{3}=\sqrt[2\cdot 4]{{{5}^{4}}\cdot {{3}^{2}}}=\sqrt[8]{625\cdot 9}=\sqrt[8]{5625}. \\ \end{align}\]

Как видите, ничего сложного. Теперь давайте разберёмся, откуда взялось требование неотрицательности, и что будет, если мы его нарушим.:)

Умножать корни несложно

Почему подкоренные выражения должны быть неотрицательными?

Конечно, можно уподобиться школьным учителям и с умным видом процитировать учебник:

Требование неотрицательности связано с разными определениями корней чётной и нечётной степени (соответственно, области определения у них тоже разные).

Ну что, стало понятнее? Лично я, когда читал этот бред в 8-м классе, понял для себя примерно следующее: «Требование неотрицательности связано с *#&^@(*#@^#)~%» — короче, я нихрена в тот раз не понял.:)

Поэтому сейчас объясню всё по-нормальному.

Сначала выясним, откуда вообще берётся формула умножения, приведённая выше. Для этого напомню одно важное свойство корня:

\[\sqrt[n]{a}=\sqrt[n\cdot k]{{{a}^{k}}}\]

Другими словами, мы можем спокойно возводить подкоренное выражение в любую натуральную степень $k$ — при этом показатель корня придётся умножить на эту же степень. Следовательно, мы легко сведём любые корни к общему показателю, после чего перемножим. Отсюда и берётся формула умножения:

\[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt[n\cdot p]{{{a}^{p}}}\cdot \sqrt[p\cdot n]{{{b}^{n}}}=\sqrt[n\cdot p]{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\]

Но есть одна проблема, которая резко ограничивает применение всех этих формул. Рассмотрим вот такое число:

\[\sqrt[3]{-5}\]

Согласно только что приведённой формуле мы можем добавить любую степень. Попробуем добавить $k=2$:

\[\sqrt[3]{-5}=\sqrt[3\cdot 2]{{{\left( -5 \right)}^{2}}}=\sqrt[6]{{{5}^{2}}}\]

Минус мы убрали как раз потому, что квадрат сжигает минус (как и любая другая чётная степень). А теперь выполним обратное преобразование: «сократим» двойку в показателе и степени. Ведь любое равенство можно читать как слева-направо, так и справа-налево:

\[\begin{align} & \sqrt[n]{a}=\sqrt[n\cdot k]{{{a}^{k}}}\Rightarrow \sqrt[n\cdot k]{{{a}^{k}}}=\sqrt[n]{a}; \\ & \sqrt[n\cdot k]{{{a}^{k}}}=\sqrt[n]{a}\Rightarrow \sqrt[6]{{{5}^{2}}}=\sqrt[3\cdot 2]{{{5}^{2}}}=\sqrt[3]{5}. \\ \end{align}\]

Но тогда получается какая-то хрень:

\[\sqrt[3]{-5}=\sqrt[3]{5}\]

Этого не может быть, потому что $\sqrt[3]{-5} \lt 0$, а $\sqrt[3]{5} \gt 0$. Значит, для чётных степеней и отрицательных чисел наша формула уже не работает. После чего у нас есть два варианта:

  1. Убиться об стену констатировать, что математика — это дурацкая наука, где «есть какие-то правила, но это неточно»;
  2. Ввести дополнительные ограничения, при которых формула станет рабочей на 100%.

В первом варианте нам придётся постоянно вылавливать «неработающие» случаи — это трудно, долго и вообще фу. Поэтому математики предпочли второй вариант.:)

Но не переживайте! На практике это ограничение никак не влияет на вычисления, потому что все описанные проблемы касаются лишь корней нечётной степени, а из них можно выносить минусы.

Поэтому сформулируем ещё одно правило, которое распространяется вообще на все действия с корнями:

Прежде чем перемножать корни, сделайте так, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны.

Пример. В числе $\sqrt[3]{-5}$ можно вынести минус из-под знака корня — тогда всё будет норм:

\[\begin{align} & \sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3]{5} \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3\cdot 2]{{{5}^{2}}}=-\sqrt[6]{25}=-\sqrt[3\cdot 2]{{{5}^{2}}}=-\sqrt[3]{5} \lt 0 \\ \end{align}\]

Чувствуете разницу? Если оставить минус под корнем, то при возведении подкоренного выражения в квадрат он исчезнет, и начнётся хрень. А если сначала вынести минус, то можно хоть до посинения возводить/убирать квадрат — число останется отрицательным.:)

Таким образом, самый правильный и самый надёжный способ умножения корней следующий:

  1. Убрать все минусы из-под радикалов. Минусы бывают только в корнях нечётной кратности — их можно поставить перед корнем и при необходимости сократить (например, если этих минусов окажется два).
  2. Выполнить умножение согласно правилам, рассмотренным выше в сегодняшнем уроке. Если показатели корней одинаковые, просто перемножаем подкоренные выражения. А если разные — используем злобную формулу \[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt[n\cdot p]{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\].
  3. 3.Наслаждаемся результатом и хорошими оценками.:)

Ну что? Потренируемся?

Пример 1. Упростите выражение:

\[\begin{align} & \sqrt[3]{48}\cdot \sqrt[3]{-\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{48}\cdot \left( -\sqrt[3]{\frac{4}{3}} \right)=-\sqrt[3]{48}\cdot \sqrt[3]{\frac{4}{3}}= \\ & =-\sqrt[3]{48\cdot \frac{4}{3}}=-\sqrt[3]{64}=-4; \end{align}\]

Это самое простой вариант: показатели корней одинаковы и нечётны, проблема лишь в минусе у второго множителя. Выносим этот минус нафиг, после чего всё легко считается.

Пример 2. Упростите выражение:

\[\begin{align} & \sqrt[4]{32}\cdot \sqrt[3]{4}=\sqrt[4]{{{2}^{5}}}\cdot \sqrt[3]{{{2}^{2}}}=\sqrt[4\cdot 3]{{{\left( {{2}^{5}} \right)}^{3}}\cdot {{\left( {{2}^{2}} \right)}^{4}}}= \\ & =\sqrt[12]{{{2}^{15}}\cdot {{2}^{8}}}=\sqrt[12]{{{2}^{23}}} \\ \end{align}\]

Здесь многих смутило бы то, что на выходе получилось иррациональное число. Да, так бывает: мы не смогли полностью избавиться от корня, но по крайней мере существенно упростили выражение.

Пример 3. Упростите выражение:

\[\begin{align} & \sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[3]{{{a}^{4}}}=\sqrt[6\cdot 3]{{{a}^{3}}\cdot {{\left( {{a}^{4}} \right)}^{6}}}=\sqrt[18]{{{a}^{3}}\cdot {{a}^{24}}}= \\ & =\sqrt[18]{{{a}^{27}}}=\sqrt[2\cdot 9]{{{a}^{3\cdot 9}}}=\sqrt{{{a}^{3}}} \end{align}\]

Вот на это задание хотел бы обратить ваше внимание. Тут сразу два момента:

  1. Под корнем стоит не конкретное число или степень, а переменная $a$. На первый взгляд, это немного непривычно, но в действительности при решении математических задач чаще всего придётся иметь дело именно с переменными.
  2. В конце мы умудрились «сократить» показатель корня и степень в подкоренном выражении. Такое случается довольно часто. И это означает, что можно было существенно упростить вычисления, если не пользоваться основной формулой.

Например, можно было поступить так:

\[\begin{align} & \sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[3]{{{a}^{4}}}=\sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[3\cdot 2]{{{\left( {{a}^{4}} \right)}^{2}}}=\sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[6]{{{a}^{8}}} \\ & =\sqrt[6]{a\cdot {{a}^{8}}}=\sqrt[6]{{{a}^{9}}}=\sqrt[2\cdot 3]{{{a}^{3\cdot 3}}}=\sqrt{{{a}^{3}}} \\ \end{align}\]

По сути, все преобразования выполнялись лишь со вторым радикалом. И если не расписывать детально все промежуточные шаги, то в итоге объём вычислений существенно снизится.

На самом деле мы уже сталкивались с подобным задание выше, когда решали пример $\sqrt{5}\cdot \sqrt[4]{3}$. Теперь его можно расписать намного проще:

\[\begin{align} & \sqrt{5}\cdot \sqrt[4]{3}=\sqrt[2\cdot 4]{{{5}^{4}}\cdot {{3}^{2}}}=\sqrt[2\cdot 4]{{{\left( {{5}^{2}}\cdot 3 \right)}^{2}}}= \\ & =\sqrt[4\cdot 2]{{{\left( 75 \right)}^{2}}}=\sqrt[4]{75}. \end{align}\]

Ну что ж, с умножением корней разобрались. Теперь рассмотрим обратную операцию: что делать, когда под корнем стоит произведение?

Смотрите также:

  1. Что такое корень натуральной степени $n$
  2. Сложные иррациональные уравнения — что с ними делать и как их решать?
  3. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 1 (без логарифмов)
  4. Как решать задачи B15 без производных
  5. Как обеспечить себе достойную старость?
  6. Выбор репетитора по математике для подготовки к ЕГЭ

www.berdov.com

Как умножать корни » VripMaster

Знак корня (√) означает квадратный корень из некоторого числа. Знак корня встречается не только в алгебре, но и в повседневной жизни, например, в деревообрабатывающем производстве, которое включает расчет относительных размеров. Вы можете умножить два любых корня с одинаковыми показателями (степени корня). Если у корней разные показатели, необходимо привести корни к одному показателю. Если вы хотите узнать, как умножить корни с или без множителей, прочитайте эту статью.

Умножение корней без множителей

  1. Убедитесь, что корни имеют одинаковый показатель (степень). Степень записывается слева над знаком корня. Если степени нет, то корень считается квадратным (то есть его степень 2) и его можно умножить на другие квадратные корни (об умножении корней с разными показателями читайте далее). Вот несколько примеров умножения корней с одинаковыми показателями:
    • Пример 1: √(18) x √(2) = ?
    • Пример 2: √(10) x √(5) = ?
    • Пример 3: √(3) x √(9) = ?
  2. Перемножьте числа под корнем. Вот как это делается:
    • Пример 1: √(18) x √(2) = √(36)
    • Пример 2: √(10) x √(5) = √(50)
    • Пример 3: √(3) x √(9) = √(27)
  3. Упростите подкоренное выражение. При умножении корней полученное подкоренное выражение можно упростить (не всегда) до произведения некоторого числа (или выражения) на полный квадрат или куб. Вот как это делается:
    • Пример 1: √(36) = 6. 36 является квадратом числа 6, потому что 6*6=36.
    • Пример 2: √(50) = √(25*2) = √([5*5]*2) = 5√(2). Число 50 можно разложить на произведение чисел 25 и 2. Корень из 25 равен 5, поэтому выносим 5 за знак корня и таким образом упрощаем подкоренное выражение.
      • Если внести число 5 обратно под знак корня, оно возводится в квадрат, и вы получите число 25 под знаком корня.
    • Пример 3: √(27) = 3. Кубический корень из числа 27 равен 3, потому что 3*3*3 = 27.

Умножение корней с множителями

  1. Умножьте множители. Множитель – число, стоящее перед знаком корня. Если его нет, то множитель равен 1. Перемножьте множители. Вот как это делается:
    • Пример 1: 3√(2) x √(10) = 3√(?)
    • Пример 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(?)
  2. Умножьте числа под знаком корня. После того как вы перемножили множители, перемножьте числа под знаком корня. Вот как это делается:
    • Пример 1: 3√(2) x √(10) = 3√(2 x 10) = 3√(20)
    • Пример 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(3 x 6) = 12√(18)
  3. Упростите подкоренное выражение. Далее упростите полученные значения под знаком корня, вынеся соответствующие числа за знак корня. После этого просто перемножьте эти вынесенные числа и множители, стоящие перед знаком корня. Вот как это делается:
    • 3√(20) = 3√(4 x 5) = 3√([2 x 2] x 5) = (3 x 2)√(5) = 6√(5)
    • 12√(18) = 12√(9 x 2) = 12√(3 x 3 x 2) = (12 x 3)√(2) = 36√(2)

Умножение корней с разными показателями

  1. Найдите НОК (наименьшее общее кратное) показателей. НОК показателей – наименьшее число, которое делится на оба показателя. Найдите НОК показателей для следующего выражения:√(5) x √(2) = ?
    • Показатели равны 3 и 2. Число 6 является НОК этих двух чисел, потому что это наименьшее число, которое делится без остатка как на 3, так и на 2: 6/3=2 и 6/2=3. Чтобы умножить корни, их показатель должен быть равен 6.
  2. Запишите каждый корень с НОК в качестве нового показателя. Вот как записать выражение с новым показателем:

  3. Найдите числа, на которые вы должны умножить каждый исходный показатель, чтобы получить НОК. В выражении √(5) вам нужно умножить показатель 3 на 2, чтобы получить 6. В выражении √(2) вам нужно умножить показатель 2 на 3, чтобы получить 6.

  4. Возведите число, стоящее под знаком корня, в степень равную числу, найденному в предыдущем шаге. Для первого выражения возведите 5 в степень 2. Для второго выражения возведите 2 в степень 3. Вот как это будет выглядеть:
    • —> √(5) = √(5)
    • —> √(2) = √(2)
  5. Проделайте операцию возведения в степень и запишите результат под знаком корня. Вот как это делается:
    • √(5) = √(5 x 5) = √25
    • √(2) = √(2 x 2 x 2) = √8

  6. Перемножьте числа под знаком корня: √(8 x 25)

  7. Запишите ответ. √(8 x 25) = √(200). В некоторых случаях вы можете упростить подкоренное выражение, например, найдя множитель числа 200, из которого можно взять корень 6 степени. Но в данном случае выражение не упрощается.

Советы

  • Если «множитель» отделяется от корня знаком плюс или минус, то это уже вообще не множитель – это отдельный член выражения, и операции с ним проводятся отдельно от корня.
  • Знак корня является еще одним способом записи дробных показателей. Например, квадратный корень из любого числа есть это число в степени 1/2; кубический корень из любого числа есть это число в степени 1/3 и так далее.
  • Множитель – число, стоящее непосредственно перед знаком корня. Так, например, в выражении 2(квадратный корень)5, число 5 является подкоренным выражением, а число 2 – множителем. Когда множитель и корень записаны рядом, то это означает их умножение: 2*(квадратный корень)5.

vripmaster.com

Как умножать корни

3 методика:Умножение корней без множителейУмножение корней с множителямиУмножение корней с разными показателями

Знак корня (√) означает квадратный корень из некоторого числа. Знак корня встречается не только в алгебре, но и в повседневной жизни, например, в деревообрабатывающем производстве, которое включает расчет относительных размеров. Вы можете умножить два любых корня с одинаковыми показателями (степени корня). Если у корней разные показатели, необходимо привести корни к одному показателю. Если вы хотите узнать, как умножить корни с или без множителей, прочитайте эту статью.

Шаги

Метод 1 из 3: Умножение корней без множителей

  1. 1 Убедитесь, что корни имеют одинаковый показатель (степень). Степень записывается слева над знаком корня. Если степени нет, то корень считается квадратным (то есть его степень 2) и его можно умножить на другие квадратные корни (об умножение корней с разными показателями читайте далее). Вот несколько примеров умножения корней с одинаковыми показателями:
    • Пример 1: √(18) x √(2) = ?
    • Пример 2: √(10) x √(5) = ?
    • Пример 3: 3√(3) x 3√(9) = ?
  2. 2 Перемножьте числа под корнем. Вот как это делается:
    • Пример 1: √(18) x √(2) = √(36)
    • Пример 2: √(10) x √(5) = √(50)
    • Пример 3: 3√(3) x 3√(9) = 3√(27)
  3. 3 Упростите подкоренное выражение. При умножении корней полученное подкоренное выражение можно упростить (не всегда) до произведения некоторого числа (или выражения) на полный квадрат или куб. Вот как это делается:
    • Пример 1: √(36) = 6. 36 является квадратом числа 6, потому что 6*6=36.
    • Пример 2: √(50) = √(25*2) = √([5*5]*2) = 5√(2). Число 50 можно разложить на произведение чисел 25 и 2. Корень из 25 равен 5, поэтому выносим 5 за знак корня и таким образом упрощаем подкоренное выражение.
      • Если внести число 5 обратно под знак корня, оно возводится в квадрат и вы получаете число 25 под знаком корня.
    • Пример 3: 3√(27) = 3. Кубический корень из числа 27 равен 3, потому что 3*3*3 = 27.

Метод 2 из 3: Умножение корней с множителями

  1. 1 Умножьте множители. Множитель – число, стоящее перед знаком корня. Если его нет, то множитель равен 1. Перемножьте множители. Вот как это делается:
    • Пример 1: 3√(2) x √(10) = 3√(?)
    • Пример 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(?)
  2. 2 Умножьте числа под знаком корня. После того, как вы перемножили множители, перемножьте числа под знаком корня. Вот как это делается:
    • Пример 1: 3√(2) x √(10) = 3√(2 x 10) = 3√(20)
    • Пример 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(3 x 6) = 12√(18)
  3. 3 Упростите подкоренное выражение. Далее упростите полученные значения под знаком корня, вынеся соответствующие числа за знак корня. После этого просто перемножьте эти вынесенные числа и множители, стоящие перед знаком корня. Вот как это делается:
    • 3√(20) = 3√(4 x 5) = 3√([2 x 2] x 5) = (3 x 2)√(5) = 6√(5)
    • 12√(18) = 12√(9 x 2) = 12√(3 x 3 x 2) = (12 x 3)√(2) = 36√(2)

Метод 3 из 3: Умножение корней с разными показателями

  1. 1 Найдите НОК (наименьшее общее кратное) показателей. НОК показателей — наименьшее число, которое делится на оба показателя. Найдите НОК показателей для следующего выражения:3√(5) x 2√(2) = ?
    • Показатели равны 3 и 2. Число 6 является НОК этих двух чисел, потому что это наименьшее число, которое делится без остатка как на 3, так и на 2: 6/3=2 и 6/2=3. Чтобы умножить корни, их показатель должен быть равен 6.
  2. 2 Запишите каждый корень с НОК в качестве нового показателя. Вот как записать выражение с новым показателем:
  3. 3 Найдите числа, на которые вы должны умножить каждый исходный показатель, чтобы получить НОК. В выражении 3√(5) вам нужно умножить показатель 3 на 2, чтобы получить 6. В выражении 2√(2) вам нужно умножить показатель 2 на 3, чтобы получить 6.
  4. 4 Возведите число, стоящее под знаком корня, в степень равную числу, найденному в предыдущем шаге. Для первого выражения возведите 5 в степень 2. Для второго выражение возведите 2 в степень 3. Вот как это будет выглядеть:
    • 2 —> 6√(5) = 6√(5)2
    • 3 —> 6√(2) = 6√(2)3
  5. 5 Проделайте операцию возведения в степень и запишите результат под знаком корня.
    Вот как это делается:
    • 6√(5)2 = 6√(5 x 5) = 6√25
    • 6√(2)3 = 6√(2 x 2 x 2) = 6√8
  6. 6 Перемножьте числа под знаком корня: 6√(8 x 25)
  7. 7 Запишите ответ. 6√(8 x 25) = 6√(200). В некоторых случаях вы можете упростить подкоренное выражение, например, найдя множитель числа 200, из которого можно взять корень 6 степени. Но в данном случае выражение не упрощается.

Советы

  • Знак корня является еще одним способом записи дробных показателей. Например, квадратный корень из любого числа есть это число в степени 1/2; кубический корень из любого числа есть это число в степени 1/3 и так далее.
  • Множитель – число, стоящее непосредственно перед знаком корня. Так, например, в выражении 2(квадратный корень)5, число 5 является подкоренным выражением, а число 2 — множителем. Когда множитель и корень записаны рядом, то это означает их умножение: 2*(квадратный корень)5.
  • Если «множитель» отделяется от корня знаком плюс или минус, то это уже вообще не множитель — это отдельный член выражения и операции с ним проводятся отдельно от корня.

ves-mir.3dn.ru

Как перемножить квадратные корни Как? Так!

Содержимое:

2 метода:

Квадратные корни можно умножать так же, как целые числа. Иногда перед квадратным корнем находится множитель (целое число), но это лишь немного удлиняет процесс умножения, но не меняет его. Перед тем как перемножить квадратные корни, рекомендуется упростить их, но это довольно легко, если вы знаете, что такое полный квадрат.

Шаги

Метод 1 Перемножение квадратных корней без множителей

  1. 1 Перемножьте подкоренные числа. Это числа, которые находятся под знаком корня. Перемножьте подкоренные числа как целые числа. Результат перемножения запишите под одним знаком корня.
    • Например, 15×5 2 Вынесите множитель из-под корня. Для этого выясните, можно ли разложить подкоренное число на два множителя, один из которых является полным квадратом. Если полного квадрата нет, результат упростить нельзя; в этом случае запишите его в ответе.
      • Полный квадрат – это число, которое является квадратом (произведением самого на себя) целого числа. Например, 25 – это полный квадрат, потому что 5×5=25 3 Извлеките квадратный корень из полного квадрата, а результат запишите перед знаком корня. Другой множитель оставьте под знаком корня. Так вы упростите подкоренное выражение.
        • Например, 75 4 Возведите квадратный корень в квадрат. В некоторых задачах квадратный корень умножается сам на себя. Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня – это две противоположные операции, то есть они отменяют друг друга. Результатом возведения квадратного корня в квадрат является подкоренное число.
          • Например, 25×25=25

            Метод 2 Перемножение квадратных корней с множителями

            1. 1 Перемножьте множители. Здесь множитель – это число, которое находится перед знаком корня. На этом этапе не обращайте внимания на подкоренные числа – просто перемножьте множители. Результат запишите перед первым знаком корня.
              • При перемножении множителей не забудьте про их знаки. Помните, что при умножении отрицательного числа на положительное получится отрицательное число, а при умножении отрицательного числа на отрицательное получится положительное число.
              • Например, 32×26 2 Перемножьте подкоренные числа. Перемножьте подкоренные числа как целые числа. Результат перемножения запишите под одним знаком корня.
                • В нашем примере 62×6 3 Вынесите множитель из-под корня. Для этого выясните, можно ли разложить подкоренное число на два множителя, один из которых является полным квадратом. Если полного квадрата нет, результат упростить нельзя; в этом случае запишите его в ответе.
                  • Полный квадрат – это число, которое является квадратом (произведением самого на себя) целого числа. Например, 4 – это полный квадрат, потому что 2×2=4 4 Извлеките квадратный корень из полного квадрата, а результат умножьте на множитель, стоящий перед знаком корня. Другой множитель оставьте под знаком корня. Так вы упростите подкоренное выражение.
                    • В нашем примере 612{displaystyle 6{sqrt {12}}} подкоренное число раскладывается на два множителя: 64×3{displaystyle 6{sqrt {4 imes 3}}}. Таким образом, из числа 4 можно извлечь корень, а результат нужно умножить на 6:
                      612{displaystyle 6{sqrt {12}}}
                      = 64×3{displaystyle 6{sqrt {4 imes 3}}}
                      = 6×23{displaystyle 6 imes 2{sqrt {3}}}
                      = 123{displaystyle 12{sqrt {3}}}

            Советы

            • Не забывайте про полные квадраты, которые облегчают процесс вычисления.
            • Следуйте правилам перемножения отрицательных и положительных чисел, чтобы определить знак конечного множителя. Если положительный множитель умножить на отрицательный, конечный множитель будет отрицательным. Если перемножить два положительных или два отрицательных множителя, конечный множитель будет положительным.
            • Подкоренные числа всегда положительные, поэтому при перемножении подкоренных чисел конечный результат будет всегда положительным.

            Что вам понадобится

            • Карандаш
            • Бумага
            • Калькулятор

Прислал: Cr1stal . 2017-11-06 20:02:51

kak-otvet.imysite.ru

Как умножить квадратный корень на квадратный корень

Одна из четырех простейших математических операций (умножение) породила другую, несколько более усложненную — возведение в степень. Та, в свою очередь, добавила дополнительную сложность в обучение математике, породив обратную себе операцию — извлечение корня. К любой из этих операций можно применять все остальные математические действия, что еще более запутывает изучение предмета. Чтобы все это каким-то образом упорядочить, существуют наборы правил, одно из которых регламентирует порядок умножения корней.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как умножить квадратный корень на квадратный корень» Как вычитать квадратный корень Как найти сумму корней уравнения Как извлечь корень из дроби

Инструкция

1


Используйте для умножения квадратных корней правило — результатом этой операции должен стать квадратный корень, подкоренным выражением которого будет произведение подкоренных выражений корней-множителей. Это правило действует при умножении двух, трех и любого другого числа квадратных корней. Впрочем, оно относится не только к корням квадратным, но и к кубическим или с любым другим показателем степени, если этот показатель одинаков у всех участвующих в операции радикалов.

2

Если под знаками умножаемых корней стоят численные значения, то перемножьте их между собой и поставьте полученную величину под знак корня. Например, при умножении v3,14 на v7,62 это действие можно записать так: v3,14 * v7,62 = v(3,14*7,62) = v23,9268.

3

Если подкоренные выражения содержат переменные, то сначала запишите их произведение под одним знаком радикала, а затем попробуйте упростить полученное подкоренное выражение. Например, если надо умножить v(x+7) на v(x-14), то операцию можно записать так: v(x+7) * v(x-14) = v((x+7) * (x-14)) = v(x?-14*x+7*x-7*14) = v(x?-7*x-98).

4

При необходимости перемножить больше двух квадратных корней действуйте точно так же — собирайте под одним знаком радикала подкоренные выражения всех умножаемых корней в качестве множителей одного сложного выражения, а затем упрощайте его. Например, при перемножении квадратных корней из чисел 3,14, 7,62 и 5,56 операцию можно записать так: v3,14 * v7,62 * v5,56 = v(3,14*7,62*5,56) = v133,033008. А умножение квадратных корней, извлекаемых из выражений с переменными x+7, x-14 и 2*x+1 — так: v(x+7) * v(x-14) * v(2*x+1) = v((x+7) * (x-14) * (2*x+1)) = v((x?-14*x+7*x-7*14) * (2*x+1)) = v((x?-7*x-98) * (2*x+1)) = v(2*x*x?-2*x*7*x-2*x*98 + x?-7*x-98) = v(2*x?-14*x?-196*x+x?-7*x-98) = v(2*x?-13*x?-205*x-98). Как просто

masterotvetov.com

Как перемножить корни

Арифметические действия с корнями различной степени могут значительно упростить расчеты в физике и технике и сделать их более точными. При умножении и делении удобнее не извлекать корень из каждого сомножителя или делимого и делителя, а сначала выполнить нужные действия с подкоренными выражениями и показателями степени. Чтобы вычисления получились точными, необходимо следовать определенным правилам.

Вам понадобится

  • — корни заданной степени;
  • — ручка;
  • — лист бумаги;
  • — калькулятор.

Инструкция

  • Внимательно прочитайте условия задания и проанализируйте данные. Обратите внимание на показатели степени. От того, разные они или одинаковые, зависит способ действия. Если нужно перемножить корни одной и той же степени, просто перемножьте между собой подкоренные выражения. При этом неважно, со сколькими корнями вы имеете дело. Показатель степени при этом остается тем же самым. Например, вам нужно умножить квадратные корни из чисел a, b и c. Выражение будет выглядеть так: √a*√b*√c = √abc.
  • Деление корней с одинаковыми показателями степени выполняется точно так же. Поставьте знак корня с тем же показателем. Одно подкоренное выражение разделите на другое. √a : √b=√a/b. Вместо a и b можно использовать любые числа или буквенные обозначения. Над знаком корня частного поставьте тот же самый показатель степени, что у делимого и делителя.
  • Если показатели степени разные, вычисления необходимо проводить несколько иначе. Показатели степени в этом случае тоже участвуют в процессе. Их необходимо привести к общему показателю примерно так же, как это делается при приведении простых дробей. Если вам нужно перемножите корни с показателями m и n, то общий показатель будет mn. Соответственно, у первого сомножителя необходимо возвести в степень n оба числа. Умножьте показатели степени радикала на этот дополнительный множитель. Во втором случае умножьте оба показателя на m. Поставьте знак радикала с показателем mn и перемножьте подкоренные выражения, как и в первом способе. Деление выполняется аналогично.
  • Если корни имеют коэффициенты, их необходимо перемножить или разделить отдельно. Результат запишите перед знаком корня, под которым стоит результат умножения или деления подкоренных выражений.
  • Очень часто бывает необходимо вывести один из сомножителей из-под корня или наоборот. Для этого число, стоящее перед радикалом, необходимо возвести в ту же степени, которая обозначена показателем, и убрать под корень. Например, 3√2=√9*2=√18. Можно поступить и наоборот, разложив подкоренное выражение на сомножители. Извлеките корень из того сомножителя, из которого это можно сделать, и выведите его из-под знака радикала.

completerepair.ru

Как перемножить квадратные корни

3 методика:Перемножение корней без множителейПеремножение корней с множителямиПеремножение двучленов с квадратными корнями

Перемножение корней – несложная задача. Проделайте следующие простые шаги для перемножения корней (данная статья рассматривает исключительно квадратные корни).

Шаги

Метод 1 из 3: Перемножение корней без множителей

  1. 1 Терминология:
    • Множитель – число, стоящее перед знаком корня
    • Подкоренное число — число, стоящее под знаком корня
  2. 2 Упростите подкоренное выражение.
    • Например, требуется перемножить корень из 15 и корень из 5.
    • Ни 15, ни 5 не содержат делителей, из которых можно взять целый корень. Поэтому эти подкоренные выражения упростить нельзя.
  3. 3 Перемножьте подкоренные числа. В нашем примере, корень из 5 умножить на корень из 15 равно корень из 75, так как 5 * 15 = 75.
  4. 4 Упростите подкоренное выражение, вынося множитель.
    • Посмотрите на результат умножения и найдите такой его делитель, из которого можно взять целый корень. Например, если подкоренное число 75, то можно разложить его на: 25 умножить на 3.
    • Упростите выражение. Так как корень из 25 =5, то корень из 75 равен 5 умноженное на корень из 3.

Метод 2 из 3: Перемножение корней с множителями

  1. 1 Например, требуется перемножить корень из 18 и корень из 6.
  2. 2 Начните с упрощения подкоренного выражения.
    • У 6 нет делителей, из которых можно взять целый корень, а 18 =9*2. 9 — число, из которого берется целый корень, поэтому запишем корень из 18 как корень из произведения 9 на 2.
    • Перепишите все выражение. Оно будет выглядеть как умножение корня из 9 на корень из 2 на корень из 6.
    • Напишите корень из 9= 3. Теперь выражение записывается в виде: 3 умножить на корень из 2 и умножить на корень из 6.
  3. 3 Перемножьте подкоренные числа. Результат — 3 умножить на корень из 12, так как 6 * 2 = 12.
  4. 4 Вынесите множитель. 12= 4*3, 4 — число, из которого берется целый корень.
    • Перепишите все выражение. Оно будет выглядеть как умножение 3 на корень из 4 на корень из 3.
    • Упростите выражение. Так как корень из 4=2, выражение записывается как: 3 * 2 * корень из 3.
  5. 5 Перемножьте множители. 3 * 2 = 6. Поэтому окончательный ответ: 6 * корень из 3.

Метод 3 из 3: Перемножение двучленов с квадратными корнями

  1. 1 Перемножьте два двучлена.
    • Запишите процесс перемножения полностью.
    • Перемножьте все члены между собой, включая множители перед корнями и подкоренные выражения.
  2. 2 Упростите выражение, вынеся множители из-под корня.
  3. 3 Сложите или вычтете корни.

Советы

  • Следуйте стандартным правилам чтобы выяснить, какой знак нужно поставить перед множителями. Умножение положительного множителя на отрицательный дает отрицательный множитель. Перемножение двух положительных или двух отрицательных множителей дает положительный множитель.
  • Любое подкоренное выражение всегда положительно, поэтому не думайте о знаках при перемножении подкоренных чисел.
  • Всегда ищите делитель, из которого можно взять целый корень; это облегчит процесс.

Что вам понадобится

  • Карандаш
  • Бумага
  • Калькулятор

Дополнительные статьи

ves-mir.3dn.ru

РубрикаПолезно знать

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *