Единичная тригонометрическая окружность – Тригонометрическая окружность. Подробная теория с примерами.

Что такое тригонометрическая окружность? | Александр Будников

        Итак, друзья, я вас поздравляю! Начальный этап знакомства с тригонометрией благополучно пройден. Подытожим его. Теперь мы с вами:

        1. Знаем, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике.

        2. Знаем, как устроена связь между тригонометрическими функциями одного и того же угла и умеем находить полный набор функций, если известна хотя бы одна из них. Кроме того, ещё мы умеем (надеюсь) пользоваться основными тригонометрическими формулами. А чего? Зря, что ли, примеры разбирали?)

        Это – самые азы тригонометрии. Без этих элементарных знаний и навыков – дальше никуда. Так что, прошу прогуляться и почитать, пока не поздно. Тем более там всё очень просто и доступно.)

        Идём дальше.

        Как мы уже с вами знаем, у каждого острого угла в прямоугольном треугольнике имеется свой джентльменский набор тригонометрических функций. Знаем длины катетов и гипотенузу, делим друг на друга и считаем себе. И так для

любого острого угла. Всё элементарно.

        Вопрос: а если угол сделать тупым? Скажем, вот таким:

        

        Что делать? Развалился наш прямоугольный треугольник. Ни катетов больше нет, ни гипотенузы… А тригонометрические функции тоже ушли в небытие, да?

        Если бы древние математики не нашли выход из этой ситуации, то, возможно, вы бы сейчас и не читали этот сайт. Ибо не было бы у нас тогда ни планшетов, ни компьютеров, ни смартфонов, ни многих других полезных штучек…

        Так как можно определять любые тригонометрические функции любых углов

без прямоугольного треугольника? Что ж, пришла пора взрослеть дальше. Знакомимся!

 

Тригонометрическая окружность. Единичная окружность. Числовая окружность. Что всё это значит?

        Это очень простые понятия. Более того, эти понятия – верный друг и надёжный помощник во всех разделах тригонометрии! От простой работы с углами в градусах или в радианах до тригонометрических уравнений и неравенств. Почему? А потому, что эта штука – своего рода шпаргалка! Причём совершенно законная! Обычно ведь что бывает: за шпоры выгоняют, двойки ставят…  А тут нарисовал окружность, угол, функцию – и сразу увидел всё что тебя интересует.

        Например, такое простое задание:

        Что больше – sin200° или sin(-100°)?

        Кто не в теме, тот отдыхает в сторонке. А кто в теме, тот нацарапает что-то типа вот такого наскального рисунка:

        

        и сразу же увидит всю необходимую информацию!

        И никто слова не скажет! Даже суровая комиссия в боевой обстановке ЕГЭ. Так зачем же такой шанс упускать, правда?

        Чуть позже, в соответствующем уроке, мы разберём эту страшную задачку. И про злые углы типа -100 градусов тоже поговорим.)

        А пока начнём. Для начала нарисуем самый обычный привычный нам острый угол. Назовём его, как обычно, «альфа». Вот так:

        

        Угол как угол, пока ничего выдающегося, но… Раз есть угол (пока что острый), то у него должны быть и свои тригонометрические функции! Косинус там или тангенс… А где их взять? Ни гипотенузы, ни катетов больше нет, только угол. Тупик?

        Спокойствие! Сейчас всё увидите.)

        Для начала нарисуем самые обычные и знакомые нам координатные оси. OX по горизонтали, OY – по вертикали, всё чин-чинарём… Нарисуем и… приколотим горизонтальную сторону угла к положительной полуоси OX. Приколотим покрепче, дабы не оторвать ненароком.) Вершину угла поместим в начало координат, точку О. А вот вторую сторону угла прибивать не будем и оставим подвижной. Зачем? А чтобы угол менять можно было. Хотим побольше, хотим поменьше. Хотим острый, хотим тупой – любой! Раздвижной у нас угол будет. Как угол раствора циркуля, только одна из его ножек будет прибитой.) Конец подвижной стороны обозначим буквой

А.

        Получим вот такой незамысловатый рисунок:

        Итак, угол у нас пристроен, это хорошо. А где же его синус и косинус – спросите вы? Потерпите минутку, торопыги, сейчас всё увидите! Я же только начал.)

        Введём теперь координаты x и y конца подвижной стороны угла (точки А) и отметим их на осях. Это будут точки В и С соответственно. Ясное дело, что ОВ и ОС – какие-то числа. Длины отрезков. Или координаты точки А.

        ОВ = х

        ОС = у

        Так вот, оказывается, иксовая координата точки А (отрезок ОВ) будет косинусом угла альфа, а игрековая координата (отрезок ОС) – его синусом!

        

        

        Смотрим на рисунок:

        Стоп-стоп! С какого такого перепугу-то? Ведь мы же чётко зарубили себе на носу из прошлых двух уроков, что синус и косинус – это отношения сторон в прямоугольном треугольнике! Которые от длин этих самых сторон никак не зависят. А у нас тут координаты точки А присутствуют. Которые могут быть любыми!

        Всё верно. Любыми. Но! Давайте посмотрим внимательнее на треугольник АВО. Прямоугольный, между прочим.) Ибо координаты точки, они обычно перпендикулярами отмечаются на осях, да… По нашему заклинанию косинус угла альфа – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Или ОВ/ОА. Синус альфа – соответственно ОС/ОА. Причём мы с вами помним, что синус/косинус никак не зависят от длин сторон. А это совсем прекрасно! Почему? А потому, что мы имеем полное право выбирать длины сторон как хотим. Как нам удобно, так и выберем. В частности, мы имеем полное право принять длину гипотенузы ОА за единичку (ОА=1)! Причём единицы измерения нас вообще не волнуют – миллиметр, километр, миля, дюйм… Синус и косинус от этого всё равно не изменятся.)

        Почему именно гипотенуза (а не катеты) и именно единичка (а не 2, 10, 157 и т.д)? Потому, что так нам (и древним людям) очень удобно! Именно при таком выборе у нас достигаются максимальные упрощения. Смотрите, что получается:

        

        

        Вот и все дела.) Косинус – иксовая координата точки А, а синус – игрековая (если гипотенуза ОА – единичка). Да, ненаучно, да нестрого, но зато понятно. И запоминается проще. А запомнить очень важно. Причём, запомнить надёжно!

        Запоминаем:

        Косинус – по Х, синус – по Y.

        Именно в таком порядке. Не путаемся!

        Как видите, всё просто. Пока что всё идёт в рамках геометрии восьмого класса. С той лишь разницей, что катеты превратились у нас в координаты х и у точки А, а гипотенуза – та и вовсе превратилась в единичку. Очень удобное число.) Однако… Тема урока называется «Тригонометрическая окружность», не так ли? Пока ни слова про окружность не было!

        Всё правильно. Но остались совсем пустяки. Сейчас мы с вами резко повзрослеем и колоссально расширим наши возможности всего одним движением руки! Как? Очень просто. Берём подвижную сторону угла (т.е. ОА) и… проворачиваем её вокруг точки О на полный оборот! Как вы думаете, какую линию при этом опишет точка А? Ну, конечно! Окружность!

        Вот так:

        Вот и всё. Это и есть тригонометрическая окружность!

        Это научное название. А на математическом сленге обычно говорят «тригонометрический круг». Или совсем коротко — просто «круг». Или — «радар» :).

        Ну хорошо, окружность начертили. Но почему – тригонометрическая? Окружность как окружность… Вскрою тайну. Любой точке на окружности соответствуют два числа – координаты этой точки по X и координаты этой точки по Y. То есть, А(х; у). А икс и игрек у нас что? Только что разбирались… Да! Косинус и синус угла альфа. То есть, не что иное, как его тригонометрические функции. Вот и весь смысл.

        А теперь, вспомнив, что ОА = 1 и что ОА – радиус окружности, можно сообразить, что это же самое понятие – и единичная окружность тоже.

        А если вспомнить самый первый урок по тригонометрии (а чуть конкретнее – то, что синус и косинус – просто какие-то числа), то наша с вами тригонометрическая окружность будет ещё и числовой окружностью.

        Вот так. Сразу три термина в одном. Очень удобно и практично.

        Запоминаем:

        Тригонометрическая, единичная и числовая окружности – это всё одно и то же понятие. В рамках тригонометрии.

        Так, ну хорошо. Окружность изобразили. Угол у нас крутящийся, меняющийся. А раз крутящийся, то нам уже ничто не запрещает прокрутить подвижную сторону ОА

куда угодно. Например, так, чтобы угол альфа стал каким-нибудь тупым!

        Хотя бы вот так:

        А как увидеть его синус и косинус? Не вопрос! Всё точно так же. Опускаем перпендикуляры из точки А на оси OX и OY и всё видим:

        Самые глазастые, возможно, уже заметили, что синус угла альфа у нас положительный (точка С лежит на положительной полуоси OY). А вот косинус альфа – отрицательный! Ибо точка В, иксовая координата точки А (т.е. не что иное, как косинус альфа!), лежит на отрицательной полуоси OХ. Значит, у любого тупого угла синус положительный, а косинус – отрицательный. Чего, кстати, принципиально не бывает в прямоугольном треугольнике: там все тригонометрические функции – синус, косинус, тангенс, котангенс – положительные.

        А здесь – пожалуйста! Не зря же мы с вами расширили наши возможности!) Ну а коли так, раз уж мы столкнулись с отрицательным косинусом у тупого угла, то пришла пора разобраться и с такой важной штукой, как знаки синуса/косинуса по четвертям. До кучи и знаки тангенса/котангенса разберём сразу же.

 

Знаки синуса и косинуса, тангенса и котангенса по четвертям.

        Всё проще простого. Для начала напомню, что координатные четверти (или по-другому квадранты) в тригонометрии нумеруются точно так же, как и при работе с обычными задачами на координаты точек – против часовой стрелки.

        Вот так:

        А что же со знаками синуса/косинуса по четвертям? Тоже всё элементарно, Ватсон.) С первой и второй четвертями мы уже разобрались выше. Незаметно для себя.) С первой четвертью вообще вопросов нет. Там только острые углы, у которых все функции (в том числе и синус с косинусом) – положительные. Со второй четвертью тоже всё ясно: синус положительный, а косинус – отрицательный. Это мы уже выяснили, когда тупой угол рисовали.

        Осталось лишь разобраться с третьей и четвёртой четвертями. Как? Точно так же! Не зря же мы с вами тут углы мотать учимся потихоньку.)

        Мы же знаем, что ОА – подвижная сторона нашего угла альфа. Вот и продолжим её крутить от положительной полуоси ОХ в нужную нам сторону! В третью четверть. Получим вот такую картинку:

        Как видно из рисунка, для любого угла в третьей четверти уже станет отрицательным не только косинус, но и синус тоже:

 

        Для четвёртой четверти тоже ничего хитрого. Крутим и рисуем:

        И видим, что синус в четвёртой четверти остаётся по-прежнему отрицательным. А косинус? Да! Косинус снова становится положительным:

        Так, по всем четвертям пробежались. Как видите, всё просто. Для лучшего запоминания можно нарисовать знаки синуса/косинуса прямо на нашем круге.

        Запоминаются обе картинки достаточно просто и быстро. Особенно если железно помнить наше секретное заклинание: «Косинус – по икс, синус – по игрек.» Кстати, сопоставьте заклинание с картинками! Очень полезно.)

        Ну хорошо, с синусом/косинусом всё понятно. А тангенс и котангенс? Тоже никаких проблем. Если, конечно, помнить из второго урока, что тангенс – это синус поделить на косинус:

        А котангенс – наоборот.

        Вот теперь и прикинем. В первой четверти у нас всё шоколадно. Всё с плюсом – и синус и косинус. А плюс поделить на плюс – что будет? Конечно же, плюс! Во второй четверти знаки синуса и косинуса – разные. Плюс и минус. А это значит, что их отношение (что синуса к косинусу, что наоборот) будет всегда отрицательным. Ибо в борьбе минуса с плюсом всегда выигрывает минус. Так уж повелось в математике.) В третьей четверти как синус, так и косинус имеют знак «минус». А их отношение? Минус на минус – будет… будет… плюс! А в четвёртой четверти знаки синуса/косинуса опять разные. Стало быть, их отношение (тангенс с котангенсом) снова будет с минусом! Вот и все дела.)

        Получаем для тангенса/котангенса вот такую картинку:

        Запомнить знаки тоже проще простого: плюс-минус-плюс-минус. Простое чередование знаков.)

        И вот тут у некоторых назревает закономерный вопрос:

        А можно ли увидеть тангенс и котангенс на круге? Синус – по игрек, косинус – по икс. Это понятно.) А тангенс и котангенс???

        Ух, какие вы любопытные, оказывается! Все-то секреты вам раскрой сразу же! Да, можно! Можно увидеть тангенс и котангенс на числовой окружности! Любого угла. Только для этого на нашем рисунке необходим ещё один дополнительный взмах пера. Всего один. Какой именно – в спецтеме «Тангенс и котангенс на тригонометрической окружности».

        Итак, полдела сделали. Нарисовали угол, с его помощью начертили окружность. Осталась вторая половина дела. А именно – научиться проделывать обратную операцию. По любой произвольной точке на окружности научиться определять сам угол! А вот эта задачка та ещё…

        Об этом – в следующей теме: «Как отсчитывать углы на тригонометрической окружности?».

abudnikov.ru

Числовая окружность, тригонометрический круг и единичная окружность

Любая окружность, которую мы соотносим с действительными числами будет числовая. Но на практике (для удобства) используют единичную окружность, т.е. окружность с радиусом = 1 и центром в начале координат.

Ну, и поскольку у каждой точки окружности есть координаты на осях Х и Y, которые являются косинусом и синусом угла β, соответственно круг является тригонометрическим, т.е. связанным с этими самыми функциями из тригонометрии.

Большой плюс, что на тригонометрическом круге можно увидеть разные углы (а не только, как в треугольнике). Ведь неважно, где мы поставим точку на круге, мы всегда сможем определить для нее косинус и синус по абсциссе и ординате даже по самому простому и схематичному рисунку.

Важно только помнить, что угол всегда рисуется от оси OX (называется углом поворота) и получается такая схема, где положительные углы всегда отображаются против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой. 

Вместе с положительными углами движется и отсчет четвертей круга:

0° до 90° — I четверть, 

90° до 180° — II четверть, 

180° до 270° — III четверть, 

270° до 360° — IV четверть

Еще лайфхаки с градусами и кругами

Соответственно, если точно помнить, что целый круг — это 360°, то 50° будет в том же месте, где и -310° (проверьте;)

Если нужны углы более 360°, то делим их на 360, отбрасываем целые части и рисуем обычный угол. Например, угол в 795° = (360° * 2) + 75° — значит, просто рисуем угол в 75° и смотрим его синусы/косинусы. 

Редактировать этот урок и/или добавить задание и получать деньги постоянно* Добавить свой урок и/или задания и получать деньги постоянно

Добавить новость и получить деньги

Добавить анкету репетитора и получать бесплатно заявки на обучение от учеников

uchilegko.info

Тригонометрическая таблица и тригонометрический круг

Тригонометрическая таблица и тригонометрический круг

Интерактивная таблица значений тригонометрических функций

α
sin α =		cos α =
tg α =		ctg α =

Пояснения к интерактивной таблице значений тригонометрических функций

• Угол α — это угол между лучом, проведённым из центра единичной окружности с координатами (0;0) через выбранное вами положение указателя компьютерной мыши (эта линия обозначена красными точками), и положительным направлением горизонтальной оси (эта линия обозначена синим цветом).
• Значение синуса угла α обозначено красной точкой на красной прямой.Эта горизонтальная прямая совпадает с осью X декартовой системы координат.
• Значение косинуса угла α обозначено синей точкой на синей прямой. Эта вертикальная прямая совпадает с осью Y декартовой системы координат.
• Значение тангенса угла α обозначено зелёной точкой на зелёной прямой. Эта вертикальная прямая параллельна оси Y и проходит через точку с координатами (1;0).
• Значение котангенса угла α обозначено жёлтой точкой на жёлтой прямой. Эта горизонтальная прямая параллельна оси X и проходит через точку с координатами (0;1).
• Для углов, кратных π/12 или 15 градусов, приведены точные значения тригонометрических функций в виде дроби с корнями. Для остальных углов — приблизительные, округленные до трех знаков после запятой.

      Эта красивая тригонометрическая таблица с тригонометрическим кругом взята с сайта Летопись МИФИ без разрешения владельцев. За что приношу им свои извинения и выражаю искреннюю благодарность :)))

      05 марта 2011 года.

© 2006 — 2013 Николай Хижняк. Все права защишены.

ndspaces.narod.ru

Тригонометрический круг. Единичная окружность. Числовая окружность. Что это такое?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…» )

 

Очень часто термины тригонометрический круг, единичная окружность, числовая окружность плохо понимаются учащимся народом. И совершенно зря. Эти понятия – мощный и универсальный помощник во всех разделах тригонометрии. Фактически, это легальная шпаргалка! Нарисовал тригонометрический круг – и сразу увидел ответы! Заманчиво? Так давайте освоим, грех такой вещью не воспользоваться. Тем более, это совсем несложно.

Для успешной работы с тригонометрическим кругом нужно знать всего три вещи.

Первое. Надо знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс в применении к прямоугольному треугольнику. Сходите по ссылке, кто ещё не был. Тогда и здесь всё ясно будет.

Второе. Надо знать, что такое тригонометрический круг, единичная окружность, числовая окружность. Это я расскажу прямо здесь и сейчас.

Третье. Надо знать, как отсчитывать углы на тригонометрическом круге, и что такое градусная и радианная меры углов. Это будет в следующих уроках.

Всё. Разобравшись с этими тремя китами, получим надёжную, безотказную и совершенно законную шпаргалку для всей тригонометрии сразу.

А то в школьных учебниках с этой самым тригонометрическим кругом как-то не очень…

Начнём, помаленьку.

В предыдущем уроке вы усвоили, что синус, косинус, тангенс и котангенс (т.е. тригонометрические функции) зависят только от угла. И не зависят от длин сторон в прямоугольном треугольнике. Отсюда интересный вопрос. Пусть у нас есть вот такой угол. Назовём его угол β. Буква красивая.)

Раз есть угол, у него должны быть тригонометрические функции! Синус, скажем, или котангенс… А где их взять? Нет ни гипотенузы, ни катетов…

Как определить тригонометрические функции угла без прямоугольного треугольника? Задачка… Придётся опять лезть в сокровищницу мировых знаний. К средневековым людям. Те всё умели…

Первым делом возьмём координатную плоскость. Это самые обычные координатные оси, ОХ – по горизонтали, ОY – по вертикали. И… прибьём одну сторону угла к положительной полуоси ОХ. Вершина угла, естественно, в точке О. Крепко прибьём, чтобы не оторвать! Вторую сторону оставим подвижной, чтобы угол менять можно было. Раздвижной у нас угол будет. Конец неприбитой стороны угла обозначим точкой А. Получим вот такую картинку:

 

 

Так, угол пристроили. А где его синус, где косинус? Спокойно! Сейчас всё будет.

Отметим координаты точки А на осях. Наведите курсор мышки на картинку и всё увидите. На ОХ это будет точка В, на ОY — точка С. Понятно, что В и С — это какие-то числа. Координаты точки А.

Так вот, число В будет косинусом угла β, а число С – его синусом!

С чего бы это? Древние люди учили нас, что синус и косинус – это отношения сторон! Которые от длин сторон не зависят. А мы тут координаты точки придумали… Но! Посмотрите на треугольник ОАВ. Прямоугольный, кстати… По древнему определению косинус угла β равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Т.е. ОВ/ОА. Ладно, не возражаем. Причём косинус и синус не зависят от длин сторон. А это вообще отлично! Это значит, что длины сторон можно брать какие угодно. Имеем полное право взять длину ОА за единицу! Неважно чего. Хоть метр, хоть километр, всё равно синус не меняется. А в этом случае

Вот так. Если провести такие же рассуждения для синуса, получим, что синус угла β равен АВ. Но АБ = ОС. Следовательно,

Можно сказать совсем просто. Синусом угла β будет игрековая координата точки А, а косинусом – иксовая. Слова нестандартные, но тем лучше. Запоминается надёжнее! А запомнить это надо. Железно запомнить. Косинус – по иксу, синус – по игреку.

Нет, не обидели средневековые люди древних! Сберегли наследие! И отношение сторон сохранили, и возможности расширили чрезвычайно!

Однако, а где тригонометрический круг!? Где единичная окружность!? Ни слова про круги не было!

Верно. Но осталось всего ничего. Взять подвижную сторону ОА и повернуть её вокруг точки О на полный оборот. Как вы думаете, какую фигуру нарисует при этом точка А? Совершенно верно! Окружность! Вот она.

Вот это и будет тригонометрический круг.

Вот так. А почему круг — тригонометрический? Круг и круг… Вопрос резонный. Поясняю. Каждой точке окружности соответствуют два числа. Координата этой точки по Х и координата этой точки по Y. А координаты у нас что? Наведите курсор на рисунок. Координаты у нас — точки В и С. Т.е. косинус и синус угла β. Т.е. тригонометрические функции. Поэтому круг и называется тригонометрическим.

Вспомнив, что ОА = 1, а ОА – радиус, сообразим, что это же – и единичная окружность тоже.

А так как синус и косинус — просто какие-то числа — этот тригонометрический круг будет ещё и числовой окружностью.

Три термина в одном флаконе.)

В данной теме эти понятия: тригонометрический круг, единичная окружность и числовая окружность – одно и то же. В более широком смысле, единичная окружность – это любая окружность с радиусом, равным единице. Тригонометрический круг – практический термин, как раз для работы с единичной окружностью в тригонометрии. Чем мы сейчас и позанимаемся. Работой с тригонометрическим кругом.

Первую половину работы мы уже выполнили. Нарисовали тригонометрический круг с помощью угла (классно звучит, правда?).

Теперь выполним вторую половину работы. Сделаем то же самое, только наоборот. Пройдём путь от тригонометрического круга к углу.

Пусть нам дана единичная окружность. Т.е. просто окружность, нарисованная на координатной плоскости, с радиусом, равным единице. Возьмём произвольно точку А на окружности. Отметим её координаты точками В и С на осях. Как нам помнится, её координаты — это cosβ (по иксу) и sinβ (по игреку). И синус с косинусом отметим. Получим вот такую картинку:

Всё понятно? Внимание, вопрос!

Где β!? Где угол β, без которого синуса и косинуса не бывает!?

Наводим курсор на картинку, и… вот он, вот он угол β! Именно его синус и косинус являются координатами точки А.

Кстати, здесь не нарисована прибитая сторона угла. Она и в предыдущих рисунках не нужна, только так, для понимания… Угол всегда отсчитывается от положительного направления оси ОХ. От направления стрелки.

А если точку А взять в другом месте? Окружность — она круглая… Да пожалуйста! Где угодно! Поместим, к примеру, точку А во вторую четверть, отметим её координаты, синус, косинус, как полагается. Вот так:

Самые наблюдательные заметят, что синус угла β – положительный (точка С – на положительной полуоси OY), а вот косинус – отрицательный! Точка В лежит на отрицательной полуоси ОХ.

Наводим курсор на картинку и видим угол β. Угол β здесь – тупой. Чего, кстати, решительно не бывет в прямоугольном треугольнике. А зря, что ли, мы возможности расширяли?

Уловили суть тригонометрического круга? Если взять точку в любом месте окружности, её координатами будут косинус и синус угла. Угол отсчитывается от положительного направления оси ОХ и до прямой, соединяющей центр координат с этой самой точкой на окружности.

Вот и всё. Проще хотелось бы, да некуда. Кстати, мой вам совет. Работая с тригонометрическим кругом, рисуйте не только точки на окружности, но и сам угол! Как на этих рисунках. Понятнее будет.

Рисовать вам этот круг в тригонометрии постоянно придётся. Это не обязаловка, это и есть та легальная шпаргалка, которой пользуются умные люди. Сомневаетсь? Тогда назовите мне по памяти знаки вот таких выражений, к примеру: sin130⁰, cos150⁰, sin250⁰, cos330⁰? Я уж не спрашиваю про cos1050⁰ или sin(-145⁰)… Про такие углы в следующем уроке написано.

И нигде-то вы подсказку не найдёте. Только на тригонометрическом круге. Рисуем примерный угол в правильной четверти и сразу видим, куда попадают его синус и косинус. На положительные полуоси, или отрицательные. Кстати, определение знаков тригонометрических функций постоянно требуется в самых различных заданиях…

Или ещё, чисто для примера… Надо вам, например, узнать, что больше, sin130⁰, или sin155⁰? Попробуй-ка, сообрази просто так…

А мы умные, мы нарисуем тригонометрический круг. И нарисуем на нём угол примерно 130 градусов. Исходя только из того, что он больше 90 и меньше 180 градусов. Ориентируемся на угол, а не на окружность! Уж где пересечёт подвижная сторона угла окружность, там и пересечёт. Отмечаем игрековую координату точки пересечения. Это будет sin130⁰. Как на этом рисунке:

А затем, здесь же, нарисуем угол 155 градусов. Примерно нарисуем, зная, что он больше 130 градусов. И меньше 180. Отметим и его синус. Наведите курсор на картинку, всё увидите. Ну и что, какой синус больше? Тут уж совсем трудно ошибиться! Конечно sin130⁰ больше, чем sin155⁰!

Долго? Да ну?! Никто не требует от вас тщательно прорисовывать картину и обеспечивать мультипликацию! Поработаете с этим сайтом, и по этой задаче будете за 10 секунд рисовать вот такую картинку:

Другой и не сообразит, что это за каракули, да… А вы спокойно и уверенно дадите правильный ответ! Хотя, аккуратность и не мешает… А то можно такую «окружность» нарисовать, что ответ обратный получится…

Эта задачка — только один пример широких возможностей тригонометрического круга. Освоить эти возможности вполне реально. Чем мы и займёмся далее.

Чаще всего вам придётся иметь с тригонометрическими функциями в обычной, алгебраической записи. Типа sin45⁰, tg(-3), cos(x+y) и так далее. Безо всяких картинок и тригонометрических кругов! Рисовать этот самый круг надо самим. Руками. Если, конечно, хотите легко и правильно решать задания по тригонометрии. В том числе и самые продвинутые. Но особо не волнуйтесь. Уж на этом сайте, в тригонометрии, я вам обеспечу рисование кругов! И вы освоите этот крайне полезный приём. Однозначно.

Подведём итоги урока.

В этой теме мы плавно перешли от тригонометрических функций угла в прямоугольном треугольнике к тригонометрическим функциям любого угла. Для этого нам понадобилось освоить понятия «тригонометрический круг, единичная окружность, числовая окружность». Это очень полезно.)

Здесь я рассказывал о тригонометрическом круге в применении к синусу и косинусу. Но тангенс и котангенс тоже можно увидеть на круге! Одно движение ручкой, и вы легко и правильно определяете знак тангенса — котангенса любого угла, решаете тригонометрические неравенства и вообще потрясаете окружающих своими тригонометрическими способностями.)

Если вас интересуют такие перспективы — можно посетить урок «Тангенс и котангенс на тригонометрическом круге» в Особом разделе 555.

Далее мы разберёмся со следующими вопросами.

Как выглядят углы в 1000 градусов? Как выглядят отрицательные углы? Что за загадочное число «Пи», на которое неизбежно наталкиваешься в любом разделе тригонометрии? И каким боком это «Пи» к углам пристраивается? Всё это – в следующих уроках.

---

Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

megalektsii.ru

Тригонометрическая единичная окружность. Функция синуса. Функция косинуса.

Возьмем ось \(x\) и ось \(y\) , и пусть \(0\)-начало координат. Круг с центром в точке \(0\) и радиусом \(1\) называется тригонометрической окружностью или единичной окружностью.

Единичная окружность

Если \(P\)- точка на окружности, а \(A\)-угол между отрезком \(PO\) и \(x\), то:

 

 

• \(x\)-координата \(P\) называется косинусом \(A\). мы пишем \(cos (A)\) или \(cos A\);
• \(y\)-координата \(P\) называется синусом \(A\). Мы пишем \(sin (A)\) или \(sin A\);

число \(\frac{sin (A)} { cos (A)}\) называется касательной \(A\) , мы пишем \(tg (A)\) ;

 

Функция синуса
\(sin: R — > [-1;1]\)

Все тригонометрические функции являются периодическими c периодом \( 2π.\)
Диапазон функции равен \([-1,1]\).

 

Функция косинуса
\(cos: R — > [-1;1]\)

Период \(2π\).
Диапазон функции также равен \( [-1,1]\) .

 

Функция тангенса
\(tan: R — > R\)
Период диапазона \(π\) функции \(R\) не определен при \( x = \frac{π}{2} + kn, k=0,1,2,…\)
График функции тангенса на интервале \(0 — π\)

Функция котангенс 
\(ctg: R — > R\)
Диапазон функции \(R\). период \(π\) и что функция не определена при \( x = kn, k=0,1,2,…\)

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Тригонометрическая окружность Вики

Единичная окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Понятие единичной окружности обобщается до n{\displaystyle n}-мерного пространства (n>2{\displaystyle n>2}), в таком случае говорят о «единичной сфере».

Для координат всех точек на окружности, согласно теореме Пифагора, выполняется равенство x2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}.

Тригонометрические функции[ | код]

Все тригонометрические функции угла θ могут быть сконструированы геометрически при помощи единичной окружности.

С помощью единичной окружности могут быть наглядно описаны тригонометрические функции (в контексте такого описания единичную окружность иногда называют «тригонометрическим кругом», что не слишком удачно, так как рассматривается именно окружность, а не круг).

Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: если соединить любую точку (x,y){\displaystyle (x,y)} на единичной окружности с началом координат (0,0){\displaystyle (0,0)}, получается отрезок, находящийся под углом α{\displaystyle \alpha } относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда действительно:

cos⁡α=x{\displaystyle \cos \alpha =x},

sin⁡α=y{\displaystyle \sin \alpha =y}.

При подстановке этих значений в уравнение окружности x2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} получается:

cos2⁡α+sin2⁡α=1{\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1}.

(Используется следующая общепринятая нотация: cos2⁡x=(cos⁡x)2{\displaystyle \cos ^{2}x=(\cos x)^{2}}.)

Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как соответствующее углу положение отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:

sin⁡(x+2πk)=sin⁡(x){\displaystyle \sin(x+2\pi k)=\sin(x)}

cos⁡(x+2πk)=cos⁡(x){\displaystyle \cos(x+2\pi k)=\cos(x)}

для всех целых чисел k{\displaystyle k}, то есть для k∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }.

Комплексная плоскость[ | код]

В комплексной плоскости единичная окружность — это следующее множество G⊂C{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }:

G={z:Re{z}2+Im{z}2=1}={z:z=eiϕ,0≤ϕ<2π}{\displaystyle G=\{z:\mathrm {Re} \{z\}^{2}+\mathrm {Im} \{z\}^{2}=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leq \phi <2\pi \}}

Множество G{\displaystyle G} является подгруппой группы комплексных чисел по умножению, её нейтральный элемент — это ei0=1{\displaystyle e^{i0}=1}).

См. также[ | код]

ru.wikibedia.ru

Тригонометрический круг. Тригонометрия

Тригонометрический круг

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единицу, и с центром в начале системы координат.

Мы отсчитываем углы от положительного направления против часовой стрелки. Стоит сказать — полный круг — градусов.

Точка с координатами ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙует углу в градусов. Отметим, что каждому углу от нуля до градусов ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (координата по оси )

Синусом угла называется ордината (координата по оси )

Пример:

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: 360 градусов (полный круг) ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙует радиан.

В случае если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. В случае если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным.

Углы могут быть и больше 360 градусов. К примеру, угол — ϶ᴛᴏ два полных оборота и ещё . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса на тригонометрическом круге повторяются каждые.

где, — целое число.

Тригонометрический круг

xn--80aatn3b3a4e.xn--p1ai