Доказательство бернулли – Статистическое определение вероятности события. Примеры. Теорема Бернулли (с доказательством)

11.3. Теорема Бернулли

Пусть производится nнезависимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события Aравна p.Можно ли предвидеть, какова примерно будет относительная частота появлений события A?Положительный ответ на этот вопрос дает теорема Бернулли. Историческая справка. Эта теорема была опубликована Я. Бернулли в 1713 г. Однако доказательство Бернулли было очень сложным. Более простое доказательство теоремы дал П.Л. Чебышев в 1846 г. В 1837 г. С. Пуассон доказал аналогичную теорему в более широких условиях.

Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события A постоянна, то при достаточно большом числе испытаний отклонение относительной частоты от вероятности p будет сколь угодно малым

. (11.12)

Доказательство. Рассмотрим в качестве случайной величины Xi

число появлений события A в i-ом испытании. Каждая из этих величин может принимать только два значения: 1 с вероятностью p и 0 – с вероятностью q. Математическое ожидание и дисперсия этих величин равны

, .

Поскольку дисперсии всех этих величин Xi ограничены pq1/4 (доказать самостоятельно) и, кроме того, случайные величины независимы, то применяя к случайной величине неравенство (11.7), получим

.

Поскольку – частота появлений событияA, то получим неравенство Чебышева для относительной частоты появлений событий по схеме Бернулли:

. (11.13)

Отсюда при n получаем утверждение теоремы Бернулли (11.12).

Пример 11.7. При штамповке пластинок из пластмассы брак составляет 3%. Найти вероятность того, что при проверке партии в 1000 пластинок выявится отклонение от установленного процента брака меньше чем на 1%.

Решение. Из условия задачи следует, что n=1000,=0,01,p=0,03,q=1–p=0,97.В соответствии с формулой (11.13), получим

.

Пример 11.8. При каком числе независимых испытаний вероятность выполнения неравенства превысит 0,96, если вероятность появления события в отдельном испытании p=0,7.

Решение. По условию задачи имеем:=0,2,p=0,7,q=0,3.Условие P>0,96равносильно неравенству

.

Следовательно, требуемое неравенство выполняется при числе независимых испытаний, начиная со 132.

Теорема Бернулли устанавливает связь между вероятностью появления события и его относительной частотой появления и позволяет предсказать, какой будет примерно эта частота в nиспытаниях. Из теоремы Бернулли видно, что относительная частота обладает свойством устойчивости при неограниченном росте числа испытаний. В связи с этим на практике вместо вероятности обычно используют относительную частоту (см. тему: «Статистическое определение вероятности»). Отметим, что связь между относительной частотой и вероятность является тем мостом, который связывает теорию вероятностей и математическую статистику.

На практике сравнительно редко вероятность наступления события во всех испытаниях остается одной и той же. Чаще всего она меняется от испытания к испытанию. К схеме испытаний такого типа относится теорема Пуассона.

Теорема Пуассона. Если в последовательности независимых испытаний вероятность появления события A в i-м испытании равна pi, то

, (11.14)

где – средняя арифметическая вероятность.

Доказательство. Рассмотрим в качестве случайной величины Xi число появлений события A в i-ом испытании. Каждая из этих величин может принимать только два значения: 1 с вероятностью pi и 0 – с вероятностью qi. Математическое ожидание и дисперсия этих величин равны

,

.

Тогда неравенство Чебышева для относительной частоты появлений событий (11.13) примет вид

. (11.15)

Отсюда при n получаем утверждение теоремы Пуассона (11.14).

Пример 11.9. Проведено 800 независимых испытаний: в 200 из них вероятность появления ожидаемого результата была 0,5, в 400 испытаниях эта вероятность была 0,4, и, наконец, в оставшихся случаях вероятность благоприятствующего исхода была равна 0,3. Оценить вероятность того, что отклонение относительной частоты появления ожидаемого результата от средней вероятности по абсолютной величине не превысит 0,04.

Решение. Найдем среднюю вероятность наступления события в 800 испытаниях:

.

Таким образом, в задаче требуется оценить вероятность

.

Более точная оценка будет иметь следующий вид

studfiles.net

Неравенство Бернулли. displaystyle lim_{n oinfty}n^kq^n. Вычисление пределов

Теорема. Пусть и — сходящиеся последовательности, и — их пределы соответственно. Тогда

1) ;

2) ;

3) если отделена от нуля и , то

   

Доказательство.

1)

   

2)

   

3)

   

Теорема. Пусть . Тогда .

Доказательство. Нужно доказать, что

   

По предыдущей теореме

   

Возьмем произвольное .

Так как , то ;

так как , то .

Возьмем . Тогда

   

Теорема. Пусть . Тогда .

Доказательство. Нужно доказать, что

   

По предыдущей теореме

   

Возьмем произвольное .

Так как , то ;

так как , то .

Возьмем . Тогда

   

Теорема. Пусть . Тогда .

Доказательство. Последовательность отделена от нуля. В промежутке содержатся все члены последовательности, начиная с -го. Из тех членов последовательности, которые не содержатся в этом промежутке, выберем самый близкий к нулю и обозначим расстояние от него до нуля через . Тогда , а значит, отделена от нуля. Тогда последовательность ограничена, т.е. . Нужно доказать, что

   

Найдем такой номер , что .

Тогда будет выполняться неравенство

   

Теорема. Пусть . Тогда .

Доказательство. По предыдущей теореме . Применим к последовательностям и теорему о пределе произведения. Получим
.

Неравенство Бернулли (Bernoulli)

Если , и , то

   

Действительно, положив , где , по формуле бинома Ньютона будем иметь

   

так как ненаписанные члены положительны, то

   

что равносильно неравенству Бернулли.

Замечание. Другое доказательство неравенства Бернулли можно найти здесь.

Рассмотрим отношение , при представляющее неопределенность вида .

Положим . По формуле бинома Ньютона имеем

   

Так как для , очевидно, , то

   

При получаем сразу

   

так что

   

Так как этот результат верен при любом , то, взяв , можем написать (по крайней мере, для достаточно больших )

   

откуда

   

Задачи.

1) Вычислите следующие пределы, пользуясь теоремами о пределе суммы, произведения и частного:

1.

2.

3.

4.

2) Постройте на координатной плоскости совокупность точек с координатами, удовлетворяющими уравнению

hijos.ru

Неравенство Бернулли — Википедия (с комментариями)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Нера́венство Берну́лли утверждает: если <math>x \geq -1</math>, то

<math>(1+x)^n\geq 1 + nx</math> для всех <math>n\in\mathbb{N}_0.</math>

Доказательство

Доказательство неравенства проводится методом математической индукции по n. При n = 1 неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для n, докажем его верность для n+1:

<math>(1+x)^{n+1} = (1+x)(1+x)^n \geq (1+x)(1+nx) \geq (1+nx)+x = 1+(n+1)x</math>,

ч.т.д.

Обобщенное неравенство Бернулли

Обобщенное неравенство Бернулли утверждает, что при <math>x > — 1 \!\ </math> и <math>n\in\mathbb{R}</math>:

  • если <math> n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty )</math>, то <math>(1+x)^n\geq 1 + nx</math>
  • если <math> n\in(0;1) \!\ </math>, то <math>(1+x)^n\leq 1+nx</math>
  • при этом равенство достигается в двух случаях: <math>\left[\begin{matrix} \forall x\neq -1, n=0, n=1 \\ \forall n\neq 0, x=0 \end{matrix}\right.</math>

Доказательство  

Напишите отзыв о статье «Неравенство Бернулли»

Примечания

  • Неравенство также справедливо для <math>x\geq -2</math> (при <math>n\in\mathbb{N}_0</math>), но указанное выше доказательство по индукции в случае <math>x\in\left[-2,-1\right)</math> не работает.

Отрывок, характеризующий Неравенство Бернулли

Два дня после этого, Ростов не видал Долохова у своих и не заставал его дома; на третий день он получил от него записку. «Так как я в доме у вас бывать более не намерен по известным тебе причинам и еду в армию, то нынче вечером я даю моим приятелям прощальную пирушку – приезжай в английскую гостинницу». Ростов в 10 м часу, из театра, где он был вместе с своими и Денисовым, приехал в назначенный день в английскую гостинницу. Его тотчас же провели в лучшее помещение гостинницы, занятое на эту ночь Долоховым. Человек двадцать толпилось около стола, перед которым между двумя свечами сидел Долохов. На столе лежало золото и ассигнации, и Долохов метал банк. После предложения и отказа Сони, Николай еще не видался с ним и испытывал замешательство при мысли о том, как они свидятся.
Светлый холодный взгляд Долохова встретил Ростова еще у двери, как будто он давно ждал его.
– Давно не видались, – сказал он, – спасибо, что приехал. Вот только домечу, и явится Илюшка с хором.
– Я к тебе заезжал, – сказал Ростов, краснея.
Долохов не отвечал ему. – Можешь поставить, – сказал он.
Ростов вспомнил в эту минуту странный разговор, который он имел раз с Долоховым. – «Играть на счастие могут только дураки», сказал тогда Долохов.
– Или ты боишься со мной играть? – сказал теперь Долохов, как будто угадав мысль Ростова, и улыбнулся. Из за улыбки его Ростов увидал в нем то настроение духа, которое было у него во время обеда в клубе и вообще в те времена, когда, как бы соскучившись ежедневной жизнью, Долохов чувствовал необходимость каким нибудь странным, большей частью жестоким, поступком выходить из нее.
Ростову стало неловко; он искал и не находил в уме своем шутки, которая ответила бы на слова Долохова. Но прежде, чем он успел это сделать, Долохов, глядя прямо в лицо Ростову, медленно и с расстановкой, так, что все могли слышать, сказал ему:

wiki-org.ru

Закон больших чисел. Теорема Бернулли (с доказательством) и ее значение. Пример.

Под законам больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке академика Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых весьма общих условиях) к результату, почти не зависящему от случая. Другими словами, при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Теорема. Частость события в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p, при неограниченном увеличении числа n сходится по вероятности к вероятности р этого события в отдельном испытании:

Или

☺ Заключение теоремы непосредственно вытекает из неравенства Чебышева для частости события при n → ∞. ☻

Смысл теоремы Бернулли состоит в том, что при большом числе n повторных независимых испытаний практически достоверно, что частость (или статистическая вероятность) события m/n — величина случайная, как угодно мало отличается от неслучайной величины р — вероятности события, т.е. практически перестает быть случайной.

Теорема Бернулли является следствием теоремы Чебышева.

  1. Неравенство Чебышева для средней арифметической случай­ных величин (с выводом).

  1. Центральная предельная теорема. Понятие о теореме Ляпу­нова и ее значение. Пример.

Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при к-ых возникает нормальный закон распределения. Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теореме Ляпунова.

Теорема Ляпунова. Если независимые случайные величины, у каждой из которых существует матем-кое ожидание, дисперсия, абсолютный центральный момент третьего порядкаи

(6.20)

то закон распределения суммы приn → ∞ неограниченно приближается к нормальному с матем-ким ожиданием и дисперсией.

Например, потребление электроэнергии для бытовых нужд за месяц в каждой квартире многоквартирного дома можно представить в виде n различных случайных величин. Если потребление электроэнергии в каждой квартире по своему значению резко не выделяется среди остальных, то на основании теоремы Ляпунова можно считать, что потребление электроэнергии всего дома, т.е. сумма n независимых случайных величин будет случайной величиной, имеющей приближенно нормальный закон распределения. Если, например, в одном из помещений дома разместится вычислительный центр, у которого уровень потребления электроэнергии несравнимо выше, чем в каждой квартире для бытовых нужд, то вывод о приближенно нормальном распределении потребления электроэнергии всего дома будет неправомерен, так как нарушено условие (6.20), ибо потребление электроэнергии вычислительного центра будет играть превалирующую роль в образовании всей суммы потребления.

Следствие. Если — независимые случайные величины, у которых существуют равные математические ожидания, дисперсиии абсолютные центральные моменты третьего порядка(i = 1, 2,…n), то закон распределения суммыприn → ∞ неограниченно приближается к нормальному закону.

В частности, если все случайные величины одинаково распределены, то закон распределения их суммы неограниченно приближается к нормальному закону приn → ∞.

studfiles.net

Неравенство Бернулли Википедия

Рассмотрим f(x)=(1+x)n−nx {\displaystyle f(x)=(1+x)^{n}-nx\!\ }, причем x>−1,n≠0,n≠1 {\displaystyle x>-1,n\neq 0,n\neq 1\!\ }.
Производная f′(x)=n(1+x)n−1−n=0 {\displaystyle f'(x)=n(1+x)^{n-1}-n=0\!\ } при x=x0=0 {\displaystyle x=x_{0}=0\!\ }, поскольку n≠0 {\displaystyle n\neq 0\!\ }.
Функция f {\displaystyle f\!\ } дважды дифференцируема в проколотой окрестности точки x0 {\displaystyle x_{0}\!\ }. Поэтому f″(x)=n(n−1)(1+x)n−2 {\displaystyle f»(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2}\!\ }. Получаем:

Значение функции f(x0)=1 {\displaystyle f(x_{0})=1\!\ }, следовательно, справедливы следующие утверждения:

  • если n∈(−∞;0)∪[1;+∞){\displaystyle n\in (-\infty ;0)\cup [1;+\infty )}, то (1+x)n≥1+nx{\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+nx}
  • если n∈(0;1] {\displaystyle n\in (0;1]\!\ }, то (1+x)n≤1+nx{\displaystyle (1+x)^{n}\leq 1+nx}

Несложно заметить, что при соответствующих значениях x0=0 {\displaystyle x_{0}=0\!\ } или n=0,n=1 {\displaystyle n=0,n=1\!\ } функция f(x)=f(x0) {\displaystyle f(x)=f(x_{0})\!\ }. При этом в конечном неравенстве исчезают ограничения на n {\displaystyle n\!\ }, заданные в начале доказательства, поскольку для них исполняется равенство. ■

wikiredia.ru

Статистическое определение вероятности события. Примеры. Теорема Бернулли (с доказательством)

Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в n произведенных испытаниях, т.е.

w(A) – относительная частота (частость) события А;

m – число испытаний, в которых появилось событие А;

n – общее число испытаний.

Статистическое определение вероятности, как и понятия и методы теории вероятности, применимы только к тем событиям, которые обладают свойствами:

1) Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.

2) События должны обладать статистической устойчивостью, или устойчивостью относительных частот. Это означает, что в серии испытаний относительная частота события меняется незначительно.

3) Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико, ибо только в этом случае можно считать вероятность события Р(А) приближенно равной ее относительной частоте.

Пример.Английский учёный Пирсон произвел 23000 бросаний монеты, герб появился 11512 раз.

W(A) = = 0.5005

Теорема Бернулли.

Частость события в n повторных независимых испытаниях в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p, при неограниченном увеличении числа n сходится по вероятности к вероятности р этого события в отдельном испытании:

Cмысл теоремы состоит в том, что при большом числе n повторных независимых испытаний практически достоверно, что частость события m/n – величина случайная, как угодно мало отличается от неслучайной величины p – вероятности события, т.е. практически перестает быть случайной.

Доказательство:

q p

Отметим, что случайная величина m =

г

E( = p ; D( = pq

Таким образом, выполняются все условия теоремы Чебышева, т.е.

.

 

Геометрическое определение вероятности. Примеры.

Классическое определение вероятности основывается на том, что число всех возможных случаев конечно. Если распределение возможных исходов испытания непрерывно и бесконечно, то при решении задач часто используется понятие геометрической вероятности.



Полагают, что имеется область Ω и в ней область A. На Ω наудачу бросается точка. Событие А – попадание точки в область А.

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области Ω, т.е.

P(A) = ;

Область Ω может быть одномерной, двумерной, трехмерной и n-мерной.

Пример. В круг радиуса R=50 бросается точка. Найти вероятность ее попадания во вписанный в круг квадрат.

Решение. P(A) = = ; ( R = ; a = )

 

megaobuchalka.ru

Неравенство Бернулли — WiKi

Рассмотрим f(x)=(1+x)n−nx {\displaystyle f(x)=(1+x)^{n}-nx\!\ } , причем x>−1,n≠0,n≠1 {\displaystyle x>-1,n\neq 0,n\neq 1\!\ } .
Производная f′(x)=n(1+x)n−1−n=0 {\displaystyle f'(x)=n(1+x)^{n-1}-n=0\!\ }  при x=x0=0 {\displaystyle x=x_{0}=0\!\ } , поскольку n≠0 {\displaystyle n\neq 0\!\ } .
Функция f {\displaystyle f\!\ }  дважды дифференцируема в проколотой окрестности точки x0 {\displaystyle x_{0}\!\ } . Поэтому f″(x)=n(n−1)(1+x)n−2 {\displaystyle f»(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2}\!\ } . Получаем:

Значение функции f(x0)=1 {\displaystyle f(x_{0})=1\!\ } , следовательно, справедливы следующие утверждения:

  • если n∈(−∞;0)∪[1;+∞){\displaystyle n\in (-\infty ;0)\cup [1;+\infty )} , то (1+x)n≥1+nx{\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+nx} 
  • если n∈(0;1] {\displaystyle n\in (0;1]\!\ } , то (1+x)n≤1+nx{\displaystyle (1+x)^{n}\leq 1+nx} 

Несложно заметить, что при соответствующих значениях x0=0 {\displaystyle x_{0}=0\!\ }  или n=0,n=1 {\displaystyle n=0,n=1\!\ }  функция f(x)=f(x0) {\displaystyle f(x)=f(x_{0})\!\ } . При этом в конечном неравенстве исчезают ограничения на n {\displaystyle n\!\ } , заданные в начале доказательства, поскольку для них исполняется равенство. ■

ru-wiki.org