Дискриминанта уравнения – Квадратные уравнения. Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. ( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа.
примеры решений. Как решать квадратные уравнения через дискриминант :: SYL.ru
Квадратные уравнения часто появляются во время решения различных задач физики и математики. В данной статье мы рассмотрим, как решать эти равенства универсальным способом «через дискриминант». Примеры использования полученных знаний также даются в статье.
О каких уравнениях пойдет речь?
На рисунке ниже изображена формула, в которой x — неизвестная переменная, а латинские символы a, b, c представляют собой некоторые известные числа.
Каждый из этих символов называется коэффициентом. Как можно заметить, число «a» стоит перед переменной x, возведенной в квадрат. Это максимальная степень представленного выражения, поэтому оно называется квадратным уравнением. Часто используют другое его название: уравнение второго порядка. Само значение a — это квадратный коэффициент (стоящий при переменной в квадрате), b — это линейный коэффициент (он находится рядом с переменной, возведенной в первую степень), наконец, число c — свободный член.
Отметим, что вид уравнения, который изображен на рисунке выше, является общим классическим квадратным выражением. Помимо него существуют другие уравнения второго порядка, в которых коэффициенты b, c могут быть нулевыми.
Когда ставят задачу решить рассматриваемое равенство, то это означает, что такие значения переменной x нужно найти, которые бы ему удовлетворяли. Здесь первым делом нужно запомнить следующую вещь: поскольку максимальная степень икса — это 2, то данный тип выражений не может иметь больше, чем 2 решения. Это означает, что если при решении уравнения были найдены 2 значения x, которые ему удовлетворяют, то можно быть уверенным, что не существует никакого 3-го числа, подставляя которое вместо x, равенство также бы являлось истиной. Решения уравнения в математике называют его корнями.
Способы решения уравнений второго порядка
Решения уравнений этого типа требует знания некоторой теории о них. В школьном курсе алгебры рассматривают 4 различных метода решения. Перечислим их:
- с помощью факторизации;
- используя формулу для полного квадрата;
- применяя график соответствующей квадратичной функции;
- используя уравнение дискриминанта.
Плюс первого метода заключается в его простоте, однако, он не для всех уравнений может применяться. Второй способ является универсальным, однако несколько громоздким. Третий метод отличается своей наглядностью, но он не всегда удобен и применим. И, наконец, использование уравнения дискриминанта — это универсальный и достаточно простой способ нахождения корней абсолютно любого уравнения второго порядка. Поэтому в статье рассмотрим только его.
Формула для получения корней уравнения
Обратимся к общему виду квадратного уравнения. Запишем его: a*x²+ b*x + c =0. Перед тем как пользоваться способом его решения «через дискриминант», следует приводить равенство всегда к записанному виду. То есть оно должно состоять из трех слагаемых (или меньше, если b или c равен 0).
Например, если имеется выражение: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², то сначала следует перенести все его члены в одну сторону равенства и сложить слагаемые, содержащие переменную x в одинаковых степенях.
В данном случае эта операция приведет к следующему выражению: -6*x²-4*x+8=0, которое эквивалентно уравнению 6*x²+4*x-8=0 (здесь левую и правую части равенства мы умножили на -1).
Как только усвоен описанный выше шаг, далее, следует научиться различать коэффициенты. Здесь все просто: при x² всегда стоит a, при x1 находится b, свободный член c представляет собой не связанное с x число.
В примере выше a = 6, b=4, c=-8. Заметим, что все члены рассматриваемого равенства всегда суммируются между собой, поэтому если появляется знак «-«, то это означает, что отрицательным является соответствующий коэффициент, как число c в данном случае.
Разобрав этот момент, перейдем теперь к самой формуле, которая дает возможность получения корней квадратного уравнения. Она имеет вид, который представлен на фото ниже.
Как видно из этого выражения, оно позволяет получать два корня (следует обратить внимание на знак «±»). Для этого в него достаточно подставить коэффициенты b, c, и a.
Понятие о дискриминанте
В предыдущем пункте была приведена формула, которая позволяет быстро решить любое уравнение второго порядка. В ней подкоренное выражение называют дискриминантом, то есть D = b²-4*a*c.
Почему эту часть формулы выделяют, и она даже имеет собственное название? Дело в том, что дискриминант связывает в единое выражение все три коэффициента уравнения. Последний факт означает, что он полностью несет информацию о корнях, которую можно выразить следующим списком:
- D>0: равенство имеет 2 различных решения, причем оба они представляют собой действительные числа.
- D<0: также получаются два корня, но оба они комплексные. Этот тип выражений научились решать только в эпоху Возрождения, когда математиками нового времени было введено понятие «мнимая единица».
- D=0: у уравнения всего один корень, и он является действительным числом.
Далее в статье приведены примеры с дискриминантом квадратных уравнений и дано их решение.
Задача на определение дискриминанта
Приведем простой пример, как найти дискриминант. Пусть дано такое равенство: 2*x² — 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.
Приведем его к стандартному виду, получаем: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, откуда приходим к равенству: -2*x²+2*x-11 = 0. Здесь a=-2, b=2, c=-11.
Теперь можно воспользоваться названной формулой для дискриминанта: D = 2² — 4*(-2)*(-11) = -84. Полученное число является ответом на поставленную задачу. Поскольку в примере дискриминант меньше нуля, то можно сказать, что данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Его решением будут только числа комплексного типа.
Пример неравенства через дискриминант
Решим задачи несколько иного типа: дано равенство -3*x²-6*x+c = 0. Необходимо найти такие значения c, для которых D>0.
В данном случае известно лишь 2 из 3 коэффициентов, поэтому рассчитать точное значение дискриминанта не получится, однако известно, что он является положительным. Последний факт используем при составлении неравенства: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Решение полученного неравенства приводит к результату: c>-3.
Проверим полученное число. Для этого вычислим D для 2 случаев: c=-2 и c=-4. Число -2 удовлетворяет полученному результату (-2>-3), соответствующий дискриминант будет иметь значение: D = 12>0. В свою очередь, число -4 не удовлетворяет неравенству (-4<-3), вычисляем дискриминант: D = -12<0, что противоречит условию задачи.
Таким образом, любые числа c, которые больше -3, будут удовлетворять условию.
Пример решения уравнения
Приведем задачу, которая заключается не только в нахождении дискриминанта, но и в решении уравнения. Необходимо найти корни для равенства -2*x²+7-9*x = 0.
В этом примере дискриминант равен следующему значению: D = 81-4*(-2)*7= 137. Тогда корни уравнения определятся так: x = (9±√137)/(-4). Это точные значения корней, если вычислить приближенно корень, тогда получатся числа: x = -5,176 и x = 0,676.
Геометрическая задача
Решим задачу, которая потребует не только умения вычислять дискриминант, но и применения навыков абстрактного мышления и знания, как составлять квадратные уравнения.
У Боба было пуховое одеяло размером 5 x 4 метра. Мальчик захотел пришить к нему по всему периметру сплошную полосу из красивой ткани. Какой толщины будет эта полоса, если известно, что у Боба имеется 10 м² ткани.
Пусть полоса будет иметь толщину x м, тогда площадь ткани по длинной стороне одеяла составит (5+2*x)*x, а поскольку длинных сторон 2, то имеем: 2*x*(5+2*x). По короткой стороне площадь пришитой ткани составит 4*x, так как этих сторон 2, то получаем значение 8*x. Отметим, что к длинной стороне было добавлено значение 2*x, поскольку длина одеяла увеличилась на это число. Общая пришитая к одеялу площадь ткани равна 10 м². Поэтому получаем равенство: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.
Для этого примера дискриминант равен: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Его корень равен 22. Воспользовавшись формулой, находим искомые корни: x = (-18±22)/(2*4) = (-5; 0,5). Очевидно, что из двух корней подходит по условию задачи только число 0,5.
Таким образом, полоса из ткани, которую пришьет Боб к своему одеялу, будет иметь ширину 50 см.
www.syl.ru
Решение квадратных уравнений через дискриминант
Любое квадратное уравнение можно представить как
ax2 + bx + c = 0, где a, b, c — это любые числа и a ≠ 0
Чтобы проверить количество решений этого уравнения используется специальное выражение — дискриминант, которые обозначается, как D.
D = b2 — 4ac
И более того, через дискриминант легко искать решение квадратных уравнений.
1. Если D > 0, то в уравнении есть 2 корня:
x1, 2 =
Например, уравнение:
x2 — x — 2 = 0
Коэффициенты здесь:
a = 1, b = -1, с = -2
Смотрим дискриминант:
D = b2 — 4ac = (-1)2 + 4*1*2 = 1 + 8 = 9
Он явно больше нуля, поэтому в этом уравнении два корня. Вычислим их из полученного дискриминанта:
x1, 2 = = = 2; -1
2. Если D = 0, то в уравнении единственный корень
x =
3. Если D < 0, то в уравнении нет корней.
Редактировать этот урок и/или добавить задание и получать деньги постоянно* Добавить свой урок и/или задания и получать деньги постоянноДобавить новость и получить деньги
Добавить анкету репетитора и получать бесплатно заявки на обучение от учеников
uchilegko.info
Как решать квадратные уравнения? Дискриминант. — МегаЛекции
Поработаем с квадратными уравнениями. Это очень популярные уравнения! В самом общем виде квадратное уравнение выглядит так:
Например:
Здесь а =1; b = 3; c = -4
Или:
Здесь а =2; b = -0,5; c = 2,2
Или:
Здесь а =-3; b = 6; c = -18
Ну, вы поняли…
Как решать квадратные уравнения? Если перед вами квадратное уравнение именно в таком виде, дальше уже всё просто. Вспоминаем волшебное слово
Выражение под знаком корня – и есть тот самый дискриминант. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с. Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с в это формулу и считаем. Подставляем со своими знаками!
Пример практически решён:
Вот и всё.
Какие случаи возможны при использовании этой формулы? Всего три случая.
1. Дискриминант положительный. Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения.
2. Дискриминант равен нулю. Тогда у вас одно решение. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых. Но это играет роль в неравенствах, там мы поподробнее вопрос изучим.
3. Дискриминант отрицательный. Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет.
Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…
Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с. Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте!
Предположим, надо вот такой примерчик решить:
Здесь a = -6; b = -5; c = -1
Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.
Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок
Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно? Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!
Итак, как решать квадратные уравнения через дискриминант мы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо. Умеете правильно определять
Однако частенько квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:
Или так:
Это неполные квадратные уравнения. Их тоже можно решать через дискриминант. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с.
Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4; а c? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c, и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не
Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всякого дискриминанта. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.
И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
Не получается? То-то…
Следовательно, можно уверенно записать: х = 0, или х = 4
Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем через дискриминант.
Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:
Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:
Тоже два корня. х = +3 и х = -3.
Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…
А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно…
Приём первый. Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает?
Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:
Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с. Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:
И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:
А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно. У вас должны получиться корни 2 и -1.
Приём второй. Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1, проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком. Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку. Если получилось — надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент
Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1. Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше ошибок будет.
Приём третий. Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, — избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в предыдущем разделе. При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут…
Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он.
Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем:
Вот и всё! Решать – одно удовольствие!
Итак, подытожим тему.
Практические советы:
1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно.
2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1.
3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель.
4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это!
Дробные уравнения. ОДЗ.
Продолжаем осваивать уравнения. Мы уже в курсе, как работать с линейными уравнениями и квадратными. Остался последний вид – дробные уравнения. Или их ещё называют гораздо солиднее – дробные рациональные уравнения. Это одно и то же.
Дробные уравнения.
Как ясно из названия, в этих уравнениях обязательно присутствуют дроби. Но не просто дроби, а дроби, у которых есть неизвестное в знаменателе. Хотя бы в одном. Например:
Или:
Напомню, если в знаменателях только числа, это линейные уравнения.
Как решать дробные уравнения? Прежде всего – избавиться от дробей! После этого уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное. А дальше мы знаем, что делать… В некоторых случаях оно может превратиться в тождество, типа 5=5 или неверное выражение, типа 7=2. Но это редко случается. Ниже я про это упомяну.
Но как избавиться от дробей!? Очень просто. Применяя всё те же тождественные преобразования.
Нам надо умножить всё уравнение на одно и то же выражение. Так, чтобы все знаменатели посокращались! Всё сразу станет проще. Поясняю на примере. Пусть нам требуется решить уравнение:
Как учили в младших классах? Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и т.д. Забудьте, как страшный сон! Так нужно делать, когда вы складываете или вычитаете дробные выражения. Или работаете с неравенствами. А в уравнениях мы сразу умножаем обе части на выражение, которое даст нам возможность сократить все знаменатели (т.е., в сущности, на общий знаменатель). И какое же это выражение?
В левой части для сокращения знаменателя требуется умножение на х+2 . А в правой требуется умножение на 2. Значит, уравнение надо умножать на 2(х+2). Умножаем:
Это обычное умножение дробей, но распишу подробно:
Обратите внимание, я пока не раскрываю скобку (х + 2)! Так, целиком, её и пишу:
В левой части сокращается целиком (х+2), а в правой 2. Что и требовалось! После сокращения получаем линейное уравнение:
А это уравнение уже решит всякий! х = 2.
Решим ещё один пример, чуть посложнее:
Если вспомнить, что 3 = 3/1, а 2х = 2х/1, можно записать:
И опять избавляемся от того, что нам не очень нравится – от дробей.
Видим, что для сокращения знаменателя с иксом, надо умножить дробь на (х – 2). А единицы нам не помеха. Ну и умножаем. Всю левую часть и всю правую часть:
Опять скобки (х – 2) я не раскрываю. Работаю со скобкой в целом, как будто это одно число! Так надо делать всегда, иначе ничего не сократится.
С чувством глубокого удовлетворения сокращаем (х – 2) и получаем уравнение безо всяких дробей, в линеечку!
А вот теперь уже раскрываем скобки:
Приводим подобные, переносим всё в левую часть и получаем:
Классическое квадратное уравнение. Но минус впереди – нехорош. От него можно всегда избавиться, умножением или делением на -1. Но если присмотреться к примеру, можно заметить, что лучше всего это уравнение разделить на -2! Одним махом и минус исчезнет, и коэффициенты посимпатичнее станут! Делим на -2. В левой части – почленно, а в правой – просто ноль делим на -2, ноль и получим:
Решаем через дискриминант и проверяем по теореме Виета. Получаем х = 1 и х = 3. Два корня.
Как видим, в первом случае уравнение после преобразования стало линейным, а здесь – квадратным. Бывает так, что после избавления от дробей, все иксы сокращаются. Остаётся что-нибудь, типа 5=5. Это означает, что икс может быть любым. Каким бы он не был, всё равно сократится. И получится чистая правда, 5=5. Но, после избавления от дробей, может получиться и совсем неправда, типа 2=7. А это означает, что решений нет! При любом иксе получается неправда.
Осознали главный способ решения дробных уравнений? Он прост и логичен. Мы меняем исходное выражение так, чтобы исчезло всё то, что нам не нравится. Или мешает. В данном случае это – дроби. Точно так же мы будем поступать и со всякими сложными примерами с логарифмами, синусами и прочими ужасами. Мы всегда будем от всего этого избавляться.
Однако менять исходное выражение в нужную нам сторону надо по правилам, да… Освоение которых и есть подготовка к ЕГЭ по математике. Вот и осваиваем.
Сейчас мы с вами научимся обходить одну из главных засад на ЕГЭ! Но для начала посмотрим, попадаете вы в неё, или нет?
Разберём простой пример:
Дело уже знакомое, умножаем обе части на (х – 2), получаем:
Напоминаю, со скобками (х – 2) работаем как с одним, цельным выражением!
Здесь я уже не писал единичку в знаменателях, несолидно… И скобки в знаменателях рисовать не стал, там кроме х – 2 ничего нет, можно и не рисовать. Сокращаем:
Раскрываем скобки, переносим всё влево, приводим подобные:
Решаем, проверяем, получаем два корня. х = 2 и х = 3. Отлично.
Предположим в задании сказано записать корень, или их сумму, если корней больше одного. Что писать будем?
Если решите, что ответ 5, – вы попали в засаду. И задание вам не засчитают. Зря трудились… Правильный ответ 3.
В чём дело?! А вы попробуйте проверку сделать. Подставить значения неизвестного в исходный пример. И если при х = 3 у нас всё чудненько срастётся, получим 9 = 9, то при х = 2 получится деление на ноль! Чего делать нельзя категорически. Значит х = 2 решением не является, и в ответе никак не учитывается. Это так называемый посторонний или лишний корень. Мы его просто отбрасываем. Окончательный корень один. х = 3.
Как так?! – слышу возмущённые возгласы. Нас учили, что уравнение можно умножать на выражение! Это тождественное преобразование!
Да, тождественное. При маленьком условии – выражение, на которое умножаем (делим) – отлично от нуля. А х – 2 при х = 2 равно нулю! Так что всё честно.
И что теперь делать?! Не умножать на выражение? Каждый раз проверку делать? Опять непонятно!
Спокойно! Без паники!
В этой тяжелой ситуации нас спасут три магических буквы. Я знаю, о чем вы подумали. Правильно! Это ОДЗ. Область Допустимых Значений.
Рекомендуемые страницы:
Воспользуйтесь поиском по сайту:
megalektsii.ru
Разузнай! — Как найти дискриминант — Уравнения с дискриминантом
Среди всего курса школьной программы алгебры одной из самых объемных тем является тема о квадратных уравнениях. При этом под квадратным уравнением понимается уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a ≠ 0 (читается: а умножить на икс в квадрате плюс бэ икс плюс цэ равно нулю, где а неравно нулю). При этом основное место занимают формулы нахождения дискриминанта квадратного уравнения указанного вида, под которым понимается выражение, позволяющее определить наличие или отсутствие корней у квадратного уравнения, а также их количество (при наличии).
Формула (уравнение) дискриминанта квадратного уравнения
Общепринятая формула дискриминанта квадратного уравнения выглядит следующим образом: D = b2 – 4ac. Вычисляя дискриминант по указанной формуле, можно не только определить наличие и количество корней у квадратного уравнения, но и выбрать способ нахождения этих корней, которых существует несколько в зависимости от типа квадратного уравнения.
Что значит если дискриминант равен нулю \ Формула корней квадратного уравнения если дискриминант равен нулю
Дискриминант, как следует из формулы, обозначается латинской буквой D. В случае, когда дискриминант равен нулю, следует сделать вывод, что квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, имеет только один корень, который вычисляется по упрощенной формуле. Данная формула применяется только при нулевом дискриминанте и выглядит следующим образом: x = –b/2a, где х – корень квадратного уравнения, b и а – соответствующие переменные квадратного уравнения. Для нахождения корня квадратного уравнения необходимо отрицательное значение переменной b разделить на удвоенное значение переменной а. Полученной выражение будет решением квадратного уравнения.
Решение квадратного уравнения через дискриминант
Если при вычислении дискриминанта по вышеприведенной формуле получается положительное значение (D больше нуля), то квадратное уравнение имеет два корня, которые вычисляются по следующим формулам: x1 = (–b + vD)/2a, x2 = (–b – vD)/2a. Чаще всего, дискриминант отдельно не высчитывается, а в значение D, из которого извлекается корень, просто подставляется подкоренное выражение в виде формулы дискриминанта. Если переменная b имеет четное значение, то для вычисления корней квадратного уравнения вида ax2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, можно также использовать следующие формулы: x1 = (–k + v(k2 – ac))/a, x2 = (–k + v(k2 – ac))/a, где k = b/2.
В некоторых случаях для практического решения квадратных уравнений можно использовать Теорему Виета, которая гласит, что для суммы корней квадратного уравнения вида x2 + px + q = 0 будет справедливо значение x1 + x2 = –p, а для произведения корней указанного уравнения – выражение x1x x2 = q.
Может ли дискриминант быть меньше нуля
При вычислении значения дискриминанта можно столкнуться с ситуацией, которая не попадает ни под один из описанных случаев – когда дискриминант имеет отрицательное значение (то есть меньше нуля). В этом случае принято считать, что квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, действительных корней не имеет, следовательно, его решение будет ограничиваться вычислением дискриминанта, а приводимые выше формулы корней квадратного уравнения в данном случае применяться не будут. При этом в ответе к квадратному уравнению записывается, что «уравнение действительных корней не имеет».
Поясняющее видео:
Читайте также:
- < Как сделать дизайн ногтей
- Как вызвать матного гномика >
razuznai.ru
Дискриминант уравнения — Справочник химика 21
Вычислим дискриминанты уравнения (II.4) [c.29]В точке с уравнение (3.136) принимает вид (г — — 1) = О, что соответствует трем равным корням = г, = г, = —1 или Г1 = Гз = Гз = —Го- Область диаграммы, в которой все корни характеристического уравнения третьей степени действительные и отрицательные, находят приравниванием нулю дискриминанта уравнения (3.136) [c.217]
Формула (65) показывает, в частности, величину максимального диаметра, превышение которого уже не обеспечивает при заданной величине т необходимую фильтрующую поверхность ф. Из этой же формулы можно определить минимальную длину фильтра 1ф, при которой обеспечивается заданная поверхность Рф. Для этого дискриминант уравнения (65) должен быть больше нуля [c.108]
Поскольку дискриминант уравнения (10.127) 4AD—С =—Ка2 [c.245]
Вычислим дискриминанты уравнения (111.12а) [c.45]
Вычислим дискриминанты уравнения (IX.4) [c.103]
Вычислим дискриминанты уравнения (Х.Ю) [c.115]
Легко убедиться, что при выполнении условия (1.56) дискриминант уравнения 1 > О, г один из корней уравнения (1.47) является побочным и возникает вследствие возведения в квадрат выражения (1.41). Действительным корнем является наименьший (с учетом знака) при дН и наибольший — при дЬ > 1 . [c.39]
Исследование корней производится с помощью дискриминанта уравнения А — р . Если Д > О, то один корень действительный, два — мнимые если Д [c.523]
Дискриминант квадратного уравнения (10.69) О = 1 — 4 со положителен, поскольку со 1. Поэтому корни характеристического уравнения [c.328]
Форма решения полученного дифференциального уравнения 2-го порядка зависит от знака дискриминанта х характеристического уравнения, а границы устойчивости — от знаков постоянных коэффициентов. Результат анализа представлен на рис. 16.8. [c.211]
При вычис.пении дискриминанта квадратного уравнения (9.6) следует вос- [c.535]
Введем обозначения дискриминантов квадратных уравнений н составных частей корней [c.155]
Величина Л — дискриминант нормированного уравнения третьей степени. При Л > О имеем один действительный и два комплексных корня, при = О — два или три равных корня [c.218]
Уравнения (6.2а) и (6.3а) для контуров / и II, как и в -пространстве, являются уравнениями эллипсов, так как дискриминанты соответствующих квадратичных форм удовлетворяют неравенствам [c.80]
Если дискриминант > 4Ло, то из уравнения (3.69) получаем [c.74]
Если дискриминант характеристического уравнения [c.490]
Уравнения типа руq = О имеют один вещественный и два комплексных корня, если дискриминант равен [c.80]
Считаем о Зм, и ярк, нормированными, тогда S = = Sk=1, и дискриминант системы уравнений (III.11) можно записать в виде [c.55]
Корни уравнения ( 13 ) зависят от дискриминанта [c.16]
Дискриминант общего уравнения будет [c.57]
Вычислим дискриминант общего уравнения А и дискриминант старших членов б (см. Приложения 2 и 3) [c.62]
Вопрос о распадении кривой второго порядка решается величиной дискриминанта общего уравнения второго порядка [c.479]
Левая часть (3.7) представляет собой квадратное уравнение относительно а/Ь, не имеющее различных действительных корней. Поэтому дискриминант этого уравнения не превосходит нуля, т. е. > [c.56]
Уравнение (6.3.6) относится к линейным дискриминирующим функциям. Если имеется более чем два кластера, то требуется множественный линейный дискриминант. [Линейные дискриминанты редко отвечают требованиям диагностирования процессов, потому что кластеры обычно не являются однородно сферичными. Редко когда величины стандартных отклонений переменных не имеют различий между кластерами. Часто наблюдается пересечение кластеров, как на рис. 6.12. К тому же пики плотностей кластеров часто радикально различны. Наконец, даже в тех случаях, когда линейные дискриминанты могут быть рационально использованы, они дают меньше информации, чем квадратичные дискриминанты. Точка, лежащая далеко от ближайшего к ней кластера, и точка в его центре дают одну и ту же дискриминирующую величину. Такая ситуация не возникает при квадратичной дискриминации, когда значение дискриминанта само по себе указывает на положение точки внутри или вне соответствующего кластера. [c.254]
Для этого частного случая гауссовых распределений логарифмический дискриминант L [см. уравнение (6.3.7)], имеет вид [c.258]
Решая уравнение (12.41), получаем соответствующие шесть значений т, положительных и отрицательных. Четыре корня, отвечающие выражению в квадратных скобках, являются действительными, так как дискриминант [Л 1 — 4 Жд О- [c.331]
Дискриминант этого уравнения выражается в виде [c.69]
Этот вопрос решается путем определения величины так называемого дискриминанта А общего уравнения кривой второго порядка. Этот дискриминант представляет собою определитель третьего порядка, составленный из коэффициентов уравнения (1.35) [c.20]
В последнем случае следует дополнительно вычислить дискриминант старших членов о, который представляет собою определитель второго порядка, составленный из коэффициентов уравнения (1.35) [c.21]
Последнее уравнение есть уравнение второго порядка. Вычислим его дискриминанты [c.22]
Так как дискриминант равен нулю, то уравнение второго порядка (И—139) является произведением двух уравнений первого поряд- [c.104]
Число действительных корней уравнения (7.83) зависит от знака дискриминанта О = + р . Если О > О, то уравнение имеет один действительный корень и два мнимых. При решении его вводятся вспомогательные величины г = У р [c.408]
Как известно, существование корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта [c.35]
Дискриминант этого уравнения имеет вид [c.131]
При проведении интегрирования, как видно, играет роль условие о существовании различных вещественных корней йь кг. Покажем, что, согласно термодинамической теории фазового равновесия, это условие можно считать выполненным. Для этого убедимся, что дискриминант уравнения (111,9) D = (S22 — В з) А В32В23 положителен. Воспользуемся полученным ранее выражением (11,21). В применении к тройной системе 2 — 3 — 4 оно будет иметь вид [c.43]
Полученныг нами уравнения (III.4), (III.5), (III.6), (111.6а представляют свойство как функцию N а- Вычислим дискриминанты уравнения (III.6) [c.41]
В зависимости от )начсиий дискриминантов dj н будем иметь действительные или комплексные корни характеристических уравнений [c.155]
Данное уравнение третьей степени относительно [Н] может быть преобразовано к виду + Зрг/+ 2только один действительный, поскольку дискриминант О = 2 + рЗ всегда положителен). Однако соответствующая такому способу [c.50]
Если дискриминант общего уравнения не равен нулю, то уравнение (Х.9) выражает собой параболу. Эта парабола отнесена к осям, параллельным ее директриссе и оси. Координаты вершины этой параболы будут [c.115]
Обозначим коэффициенты при неизвестных ац= — 166 ), 0 2= —2са2, 22= 4, 23= О, 13= 8с Ь , адз= —АЬ с и проверил , не распадается ли наше уравнение на пару прямых. Для этого найдем дискриминант общего уравнения, равный определителю [c.104]
Второй случай наличия одного корня уравнения (1.41) будет при равенстве нулю дискриминанта (1.48). Соответствующие графики функщ1й изображены на рис. 1.9, д, е. Аналитические выражения, связьтающие скорость движения пены, высоту ее слоя и структурные параметры, могут быть получены из уравнения (1.48), но оказываются вьгсокой степени и весьма сложны для анализа. Отметим только, что в этом случае необходимым условием является вьшолнение следующих неравенств [c.39]
Постоянные коэффициенты частотного уравнения (116) р=—2,68х ХЮ12 1/с q= —1,68- 1018 1/с H(u p = V U + 1 loe. Само частотное уравнение принимает вид —2,68-10 2 V—1,68-10 8=0. Нетрудно убедиться, что дискриминант этого уравнения отрицателен, следовательно, имеет три [c.112]
chem21.info
Квадратные уравнения
Квадратные уравнения
Квадратные уравнения
Уравнение вида
ax2 + bx + c = 0
называется квадратным. В нём a, b, c – числа и «а» не равно нулю. Числа a, b называются коэффициентами, а число «с» называется свободным членом.
Дискриминант
Пусть дано квадратное уравнение:
ax2 + bx + c = 0
Дискриминант – это число, определяемое так:
D = b2 – 4ac
Имеются три случая:
- Если дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два различных корня, эти корни вычисляют по формулам:
и - Если дискриминант равен нулю, то квадратное уравнение имеет единственный корень, который вычисляется по формуле:
иногда говорят, что в этом случае квадратное уравнение имеет два одинаковых корня - Если дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Приведенное квадратное уравнение
Если коэффициент «a» в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 равен единице, такое квадратное уравнение называется приведенным. Обычно приведенное квадратное уравнение записывают в виде:
x2 + px + q = 0
Дискриминант приведенного квадратного уравнения:
D = b2 – 4ac = p2 – 4q
Если дискриминант больше нуля, то корни квадратного уравнения находим по формуле:
Если дискриминант равен нулю, то корни квадратного уравнения находим по формуле:
Если дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Неполное квадратное уравнение
Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент «b» или свободный член «c» равны нулю, то такое квадратное уравнение называется неполным.
Находить корни такого уравнения можно по тем же формулам, что и для обычного квадратного уравнения.
www.sbp-program.ru