Дискриминант сокращСнная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° – ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния. РСшСниС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Дискриминант. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° дискриминанта. ( Дискриминат Π½Π° 4 ΠΈ Π½Π° 1). Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π°. 3 способа.

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ВнСклассный ΡƒΡ€ΠΎΠΊ — Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния. Дискриминант

Β Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния. Дискриминант.
Β Β 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° β„–1:

Β Β Β Β Β Β Β Β  —b Β± √D
x
=Β  β€”β€”β€”β€”,Β  Π³Π΄Π΅
D = b2 – 4ac.
Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  2
a

Латинской Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ D ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ дискриминант.

Дискриминант — это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ зависит число ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния.

Если D < 0, Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

Если D = 0, Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

Если D > 0, Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° корня.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. РСшим ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 12x2 + 7x + 1 = 0.

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° вычислим дискриминант.

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π° = 12, b = 7, c = 1.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ:

D = b2 – 4ac = 72 – 4 Β· 12 Β· 1 = 49 – 48 = 1.

D > 0. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ (ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Π΄Π²Π° корня), Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ дальшС.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния:

Β Β Β Β Β Β Β Β  —b Β± √DΒ Β Β Β Β  -7 Β± √1Β Β Β Β Β Β Β Β  -7 Β± 1
x =Β  β€”β€”β€”β€” = β€”β€”β€”β€” = β€”β€”β€”β€”
Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  2aΒ Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  24Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  Β  24

Находим ΠΎΠ±Π° значСния x:

Β Β Β Β Β Β Β  -7 + 1Β Β Β Β Β Β Β  -6Β Β Β Β Β  -1Β Β Β Β Β Β Β Β Β  1
x1 = β€”β€”β€” = β€”β€” = β€” = – β€”
Β Β Β  Β Β Β Β Β Β  24Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  24Β Β Β Β Β Β  4Β Β Β Β Β Β Β Β Β  4

Β 

Β Β Β Β Β Β Β  Β -7 – 1Β Β Β Β Β Β  -8Β Β Β Β Β Β  -1Β Β Β Β Β Β Β Β  1
x2 = β€”β€”β€” = β€”β€” = β€” = – β€” .
Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  24Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  24Β Β Β Β Β Β  3Β Β Β Β Β Β Β Β Β  3

Β 

Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  1Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  Β Β  1
ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: x1 = – β€”,Β Β Β  x2 = – β€”
Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  4Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  3

Β 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° β„–2.

Из Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ β„–1 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² случаях, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ коэффициСнт – Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число. Π’ этом случаС раскладываСм Π΅Π³ΠΎ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… – ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 2. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ коэффициСнт прСдставляСм Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ 2k, Π³Π΄Π΅ k – это ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π° ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ:

Β Β Β Β Β  —k Β± √D1
x = β€”β€”β€”
β€”, Β Β Π³Π΄Π΅ D1 = k2 – ac
Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β 
a

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. РСшим ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 5x2 – 16x + 3 = 0.

ЗаписываСм -16x Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ 2 Β· (-8x). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° k = -8,Β  a = 5, Β c = 3. ΠœΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ дискриминант D1:

D1 = k2 – ac = (-8)2 – 5 Β· 3 = 64 – 15 = 49.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π° значСния x:

Β Β Β Β Β  —k Β± √D1Β Β  Β Β Β  — (-8) Β± √49Β Β  Β Β  8 Β± 7
x = β€”β€”β€”β€” = Β β€”β€”β€”β€”β€” = β€”β€”β€”
Β Β Β Β Β Β Β Β Β  Β Β  aΒ Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  Β Β Β Β Β Β Β Β Β 5Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  Β Β Β 5

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π°:

Β Β Β Β Β  Β Β Β Β 8 + 7Β Β Β Β Β Β  15
x1 = β€”β€”β€” =Β  β€” = 3
Β Β Β Β Β Β Β Β Β  Β  5Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  5

Β 

Β Β Β Β Β  Β Β Β 8 – 7Β Β Β Β Β Β Β Β  1
x2 = β€”β€”β€” =Β  β€” = 0,2
Β Β Β Β Β Β Β Β Β  Β Β  5Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  5Β 

Β 

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: x1 = 3; x2 = 0,2.

Β 

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ цСлСсообразно ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

1) Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ дискриминант ΠΈ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ с Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ;

2) Ссли дискриминант ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅Π½ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ; Ссли дискриминант ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅Π½, Ρ‚ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½Π΅Ρ‚.

Β 

raal100.narod.ru

Дискриминант. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π°

Дискриминант, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π² курсС Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π² 8 классС. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· дискриминант ΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π°. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΈΠΊΠ° изучСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ дискриминанта достаточно Π½Π΅ΡƒΠ΄Π°Ρ‡Π½ΠΎ прививаСтся школьникам, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ΅ Π² настоящСм ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ проходят ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π³ΠΎΠ΄Ρ‹, ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² 9-11 классС замСняСт «Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅» ΠΈ всС снова ΠΈΡ‰ΡƒΡ‚ — «ΠšΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅?», «ΠšΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния?», «ΠšΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ дискриминант?» ΠΈ …

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° дискриминанта

Дискриминант D ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния a*x^2+bx+c=0 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ D=b^2–4*a*c.
ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ (Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ) ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния зависят ΠΎΡ‚ Π·Π½Π°ΠΊΠ° дискриминанта (D) :
D>0 – ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ 2 Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… корня;
D=0 — ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ 1 ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ (2 ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… корня):
D<0 – Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ (Π² школьной Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ). Π’ Π’Π£Π—Π°Ρ… ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ комплСксныС числа ΠΈ ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π° мноТСствС комплСксных чисСл ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ дискриминантом ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° комплСксных корня.
Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для вычислСния дискриминанта достаточно проста, поэтому мноТСство сайтов ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ дискриминанта. ΠœΡ‹ с Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ€ΠΎΠ΄Π° скриптами Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π΅ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π»ΠΈΡΡŒ, поэтому ΠΊΡ‚ΠΎ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚, ΠΊΠ°ΠΊ это Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ просим ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚Ρƒ Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ адрСс элСктронной ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚Ρ‹ Π·Π°Ρ‰ΠΈΡ‰Ρ‘Π½ ΠΎΡ‚ спам-Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠ². Π£ вас Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ JavaScript для просмотра..

ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для нахоТдСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния:

ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅
Если коэффициСнт ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚ΠΎ цСлСсообразно ΠΈΡΡ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ дискриминант, Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡƒΡŽ Π΅Π³ΠΎ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ
Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… случаях ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния находят ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

Вторая способ нахоТдСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ — это Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π°.

ЀормулируСтся Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π½ΠΎ ΠΈ для ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ². Π­Ρ‚ΠΎ Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π’ΠΈΠΊΠΈΠΏΠ΅Π΄ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… элСктронных рСсурсах. Однако для упрощСния рассмотрим Ρ‚Ρƒ Π΅Π΅ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, которая касаСтся ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° (a=1)
Π‘ΡƒΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π° Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сумма ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ уравнСния Ρ€Π°Π²Π½Π° коэффициСнту ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, взятому с ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ уравнСния Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ свободном Ρ‡Π»Π΅Π½Ρƒ. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ запись.
Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π° достаточно прост. РаспишСм ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ
Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ всС гСниальноС ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ являСтся простым. Π­Ρ„Ρ„Π΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π° ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° 1, 2. НапримСр, ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ уравнСния ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ




Π”ΠΎ 4 уравнСния Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ уравнСния Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 6, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ корнями ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ значСния (1, 6) ΠΈ (2, 3) ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ с ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° 7 (коэффициСнт ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ с ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ). ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ x=2; x=3.
ΠŸΡ€ΠΎΡ‰Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния срСди Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ свободного Ρ‡Π»Π΅Π½Π°, коррСктируя ΠΈΡ… Π·Π½Π°ΠΊ с Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ выполнСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π°. Π’ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ это каТСтся Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Π½ΠΎ с ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ Π½Π° рядС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ такая ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΈΠΊΠ° окаТСтся эффСктивнСС вычислСния дискриминанта ΠΈ нахоТдСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния классичСским способом.
Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ школьная тСория изучСния дискриминанта ΠΈ способов нахоТдСния Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ уравнСния лишСна практичСского смысла — «Π—Π°Ρ‡Π΅ΠΌ школьникам ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅?», «ΠšΠ°ΠΊΠΎΠΉ физичСский смысл дискриминанта?».

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ описываСт дискриминант?

Π’ курсС Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, схСмы исслСдования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Из всСх Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ мСсто Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅
Π’Π°ΠΊ Π²ΠΎΡ‚ физичСский смысл ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния — это Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с осью абсцисс Ox
Бвойства ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ» ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ описаны Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΡˆΡƒ Вас Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ. ΠŸΡ€ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ врСмя ΡΠ΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ экзамСны, тСсты, ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ экзамСны ΠΈ Π’Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ Π±Π»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°Ρ€Π½Ρ‹ Π·Π° справочный ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π». Π—Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ соотвСтствуСт Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ Π²Π΅Ρ‚ΠΊΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈΠ΄Ρ‚ΠΈ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… (a>0),

ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π° вСтвями Π²Π½ΠΈΠ· (a<0).

Π’Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ посСрСдинС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ корнями

ЀизичСский смысл дискриминанта:

Если дискриминант большС нуля (D>0) ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния с осью Ox.
Если дискриминант Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ (D=0) Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π° Π² Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ касаСтся оси абсцисс.
И послСдний случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° дискриминант мСньшС нуля (D<0) – Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости Π½Π°Π΄ осью абсцисс (Π²Π΅Ρ‚ΠΊΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…), ΠΈΠ»ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΠΎΠ΄ осью абсцисс (Π²Π΅Ρ‚ΠΊΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Ρ‹ Π²Π½ΠΈΠ·).

НСполныС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния

Если Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ коэффициСнт ΠΏΡ€ΠΈ свободном Ρ‡Π»Π΅Π½Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ уравнСния Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅
Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ всСгда симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π‘Ρ‚ΠΎΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ коэффициСнтах «+, -» ΠΈΠ»ΠΈ «-, +».
НСполноС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°
ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ всСгда ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ x=0.
Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ контСкстС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ становится Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ, Π° ΠΏΡ€ΠΈ построСнии Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ», Π΅Ρ‰Π΅ ΠΈ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ интСрСсным врСмяпрСпровоТдСниСм, особСнно Ссли Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎ школьном занятии ΠΏΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ». ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π² 8, 9 классС Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ эти Π΄Π²Π΅ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ ΡΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒ.
Если ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ Π’Π°ΠΌ Π² ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎΡΡŒΠ±Π° ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Π΄Ρ€ΡƒΠ·ΡŒΡΠΌΠΈ ссылкой Π½Π° ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡŽ!

yukhym.com

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. РСшСниС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Дискриминант. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° дискриминанта. ( Дискриминат Π½Π° 4 ΠΈ Π½Π° 1). Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π°. 3 способа.

РСшСниС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Дискриминант. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° дискриминанта. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π°.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ называСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°:

Β  Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β ,

Π³Π΄Π΅
x — пСрСмСнная,
a,b,c — постоянныС (числовыС) коэффициСнты.

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ сводится ΠΊ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ дискриминанта

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° дискриминанта: .
О корнях ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡƒΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΡƒ дискриминанта (D) :
  • D>0 — ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ 2 Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… вСщСствСнных корня
  • D=0 — ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ 2 ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… вСщСствСнных корня
  • D<0 — ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ 2 ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Ρ… корня (для Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ — ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚)

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹:

Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  .

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Π² случаС с Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ дискриминантом, ΠΎΠ±Π° корня Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹

Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  .

Если коэффициСнт ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ, Ρ‚ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ дискриминант, Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ дискриминанта:

Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β 

Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ случаС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β 

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ называСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°

Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β ,

Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ коэффициСнтом ΠΏΡ€ΠΈ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅ΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½Π΅.

Π’ этом случаС цСлСсообразно ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π°, которая позволяСт ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ уравнСния ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ систСму ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:

Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  .

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ любоС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ, Ссли Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° коэффициСнт ΠΏΡ€ΠΈ
ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅ΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½Π΅
, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ…2

www.dpva.ru

НахоТдСниС дискриминанта, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, сравнСниС с Π½ΡƒΠ»Ρ‘ΠΌ

Дискриминант β€” ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½. Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΏΠΎΠΉΠ΄Ρ‘Ρ‚ ΠΎ дискриминантС ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ позволяСт ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ Ρƒ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° встрСчаСтся Π² школьном курсС Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ дискриминант? Π§Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ уравнСния?

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни называСтся i * w ^ 2 + j * w + k Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 0, Π³Π΄Π΅ Β«iΒ» ΠΈ Β«jΒ» β€” ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ коэффициСнт соотвСтствСнно, Β«kΒ» β€” константа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡƒΡŽΡ‚ «свободным Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌΒ», Π° Β«wΒ» β€” пСрСмСнная. Π•Π³ΠΎ корнями окаТутся всС значСния ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ½ΠΎ прСвращаСтся Π² тоТдСство. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ равСнство допустимо ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ i, (w β€” w1) ΠΈ (w β€” w2) Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 0. Π’ этом случаС ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли коэффициСнт Β«iΒ» Π½Π΅ обращаСтся Π² ноль, Ρ‚ΠΎ функция Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части станСт Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² случаС, Ссли x ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ w1 ΠΈΠ»ΠΈ w2. Π­Ρ‚ΠΈ значСния ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ приравнивания ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Для нахоТдСния значСния ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ обращаСтся Π² ноль, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ конструкция, построСнная Π½Π° Π΅Π³ΠΎ коэффициСнтах ΠΈ названная дискриминантом. Π­Ρ‚Π° конструкция рассчитываСтся согласно Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ D равняСтся j * j β€” 4 * i * k. Π—Π°Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ?

  1. Она Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹.
  2. Она ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΡ… Π²Ρ‹ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ.

Как это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ вСщСствСнных ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ:

  • Если ΠΎΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Π²Π° корня Π² области Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.
  • Если дискриминант Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚. МоТно ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ всСго ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΈΠ· области вСщСствСнных чисСл.
  • Если дискриминант мСньшС нуля, Ρ‚ΠΎ Ρƒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΎΡ‚ΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ вСщСствСнныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.

Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Ρ‹ расчётов для закрСплСния ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°

Для суммы {7 * w ^ 2; 3 * w; 1} Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ 0 рассчитываСм D ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ 3 * 3 β€” 4 * 7 * 1 = 9 β€” 28 ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ -19. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ дискриминанта Π½ΠΈΠΆΠ΅ нуля Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ ΠΎΠ± отсутствии Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ прямой.

Если Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ 2 * w ^ 2 β€” 3 * w + 1 эквивалСнтный 0, Ρ‚ΠΎ D рассчитываСтся ΠΊΠ°ΠΊ (-3) Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ Π·Π° Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ произвСдСния чисСл {4; 2; 1} ΠΈ равняСтся 9 β€” 8, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ 1. ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ ΠΎ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°Ρ… Π½Π° вСщСствСнной прямой.

Если Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ сумму {w ^ 2; 2 * w; 1} ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΊ 0, D рассчитаСтся, ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π²Π° Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ минус ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ чисСл {4; 1; 1}. Π­Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ упростится Π΄ΠΎ 4 β€” 4 ΠΈ обратится Π² ноль. Π’Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚. Если Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, Ρ‚ΠΎ станСт понятно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Β«ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Β». Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, равСнство ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ (w + 1) ^ 2 = 0. Π‘Ρ‚Π°Π»ΠΎ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π² этой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ Β«-1Β». Π’ ситуации Ссли D Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0, Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ равСнства всСгда получится ΡΠ²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ Β«ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ суммы».

ИспользованиС дискриминанта Π² вычислСнии ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

Π­Ρ‚Π° Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ конструкция Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ количСство вСщСствСнных Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΡ… Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ. ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° расчёта для уравнСния Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Π°:

w = (-j +/- d) / (2 * i), Π³Π΄Π΅ d β€” дискриминант Π² стСпСни 1/2.

Допустим, дискриминант Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° d β€” ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎ ΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅.

D Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° d, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ D Π² стСпСни 1/2, Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ. РСшСниС: -j / (2 * i). Π‘Π½ΠΎΠ²Π° рассматриваСм 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ эквивалСнтныС -2 / (2 * 1) = -1.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, D > 0, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, d β€” вСщСствСнноС число, ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ здСсь распадаСтся Π½Π° Π΄Π²Π΅ части: w1 = (-j + d) / (2 * i) ΠΈ w2 = (-j β€” d) / (2 * i). Оба Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π° окаТутся Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅. ВзглянСм Π½Π° 2 * w ^ 2 β€” 3 * w + 1 = 0. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ дискриминант ΠΈ d β€” Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹. Π’Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚, w1 равняСтся (3 + 1) Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ (2 * 2) ΠΈΠ»ΠΈ 1, Π° w2 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (3 β€” 1) Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 2 * 2 ΠΈΠ»ΠΈ 1/2.

Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ приравнивания ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ вычисляСтся согласно Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΡƒ:

  1. ВычислСниС дискриминанта.
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ количСства Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
  3. ВычислСниС d = D ^ (1/2).
  4. НахоТдСниС Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π° Π² соотвСтствии с Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ (-j +/- d) / (2 * i).
  5. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π° Π² исходноС равСнство для ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ.

НСкоторыС частныС случаи

Π’ зависимости ΠΎΡ‚ коэффициСнтов Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ нСсколько ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ. ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли коэффициСнт ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ получаСтся Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ равСнство. Когда коэффициСнт ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ стСпСни Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ Π΄Π²Π° Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°:

  1. ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ раскладываСтся Π² Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ свободном Ρ‡Π»Π΅Π½Π΅;
  2. ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ константС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ нСльзя.

Если свободный Ρ‡Π»Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ {0; -j}

Но Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ частныС случаи, ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½, Π³Π΄Π΅ коэффициСнт ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ β€” Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°. Для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ситуации ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠ° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π°, гласящая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сумма ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ равняСтся коэффициСнту ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ стСпСни, ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π° -1, Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ соотвСтствуСт константС Β«kΒ».

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, w1 + w2 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ -j ΠΈ w1 * w2 равняСтся k, Ссли ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ коэффициСнт β€” Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ прСдставлСния, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ w2 = -j β€” w1 ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ равСнство w1 * (-j β€” w1) = k. Π’ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ получаСтся исходноС равСнство w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ i * w ^ 2 + j * w + k = 0 удастся привСсти ΠΏΡƒΡ‚Ρ‘ΠΌ дСлСния Π½Π° Β«iΒ». Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚: w ^ 2 + j1 * w + k1 = 0, Π³Π΄Π΅ j1 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ j / i ΠΈ k1 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ k / i.

ВзглянСм Π½Π° ΡƒΠΆΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ 2 * w ^ 2 β€” 3 * w + 1 = 0 с Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ w1 = 1 ΠΈ w2 = 1/2. Надо ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ w ^ 2 β€” 3/2 * w + 1/2 = 0. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² справСдливы условия Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹: 1 + 1/2 = 3/2 ΠΈ 1*1/2 = 1/2.

Π§Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ

Если ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ стСпСни (j) дСлится Π½Π° 2, Ρ‚ΠΎ удастся ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΈ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ дискриминанта D/4 = (j / 2) ^ 2 β€” i * k. получаСтся w = (-j +/- d/2) / i, Π³Π΄Π΅ d/2 = D/4 Π² стСпСни 1/2.

Если i = 1, Π° коэффициСнт j β€” Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ, Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ -1 ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ‹ коэффициСнта ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ w, плюс/минус ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° этой ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ‹ Π·Π° Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ константы Β«kΒ». Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 β€” k) ^ 1/2.

Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ высокий порядок дискриминанта

РассмотрСнный Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ дискриминант Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни β€” это Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡƒΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΈΠΌΡ‹ΠΉ частный случай. Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ случаС дискриминант ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° прСдставляСт собой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹ разностСй ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ этого ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, дискриминант Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π½ΡƒΠ»ΡŽ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ ΠΎ Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

Рассмотрим i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.

D = j ^ 2 * k ^ 2 β€” 4 * i * k ^ 3 β€” 4 * i ^ 3 * k β€” 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

Допустим, дискриминант прСвосходит ноль. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ имССтся Ρ‚Ρ€ΠΈ корня Π² области Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. ΠŸΡ€ΠΈ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Если D < 0, Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π° корня комплСксно-сопряТСнныС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ β€” вСщСствСнный.

Π’ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ

НашС Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ расскаТСт ΠΎ вычислСнии дискриминанта.

liveposts.ru

HowToDoIt Β» Дискриминант ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния (Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄)

Часто, изучая основы ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ Π½Π° Π²Π΅Ρ€Ρƒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ всС, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π·Π°Π΄ΡƒΠΌΡ‹Π²Π°ΡΡΡŒ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ‹Π»Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ самому Ρ‚Ρƒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ. Как Ρ‚ΠΎ, мСня посСтила ΠΌΡ‹ΡΠ»ΡŒ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ я совсСм Π½Π΅ понимаю, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° взялся дискриминант Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ простого ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π²ΠΈΠ΄Π°:

Написав это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° листочкС Π±ΡƒΠΌΠ°Π³ΠΈ, ΠΌΠ½Π΅ Π·Π°Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΎΡΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ, Π½Π΅ зная Ρ‚Π΅Ρ… всСми извСстных Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΈΠ· школьной ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹. Π― Π½Π°Ρ‡Π°Π» с Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нарисовал Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ уравнСния. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π° Π²ΠΈΠ΄Π°:

Π’Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ для ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ довольно просто. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Ρ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния:

Π’. Π΅. Π½Π°ΠΌΠΈ Π±Ρ‹Π» ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ для Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹. Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ стороны ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ(ΠΈΠ΅) значСния для , Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ . На Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Ρ‡Ρ‘Ρ‚ΠΊΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния:

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ β€” симмСтричный, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ расстояниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° корнями ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚:

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:




ПослС упрощСния ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:





Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ‡Π½ΡƒΡŽ для всСх запись:

Π’ΠΎΡ‚ собствСнно ΠΈ всС! ΠŸΡƒΡ‚Ρ‘ΠΌ Π½Π΅Ρ…ΠΈΡ‚Ρ€Ρ‹Ρ… матСматичСских дСйствий (Π½Π΅ считая ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ) ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚. ИмСнно запись:

ΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ дискриминантом. Π§Ρ‚ΠΎ Π΅Ρ‰Ρ‘ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎ дискриминантС? Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π² школьной ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ просто для удобства ΠΈ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ°Π³ΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚. Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌ являСтся Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ гСомСтричСский смысл β€” это Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ рисункС. О гСомСтричСском смыслС дискриминанта судитС сами!

howtodoit.com.ua

Дискриминант β€’ ru.knowledgr.com

Π’ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ дискриминант ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° — функция своих коэффициСнтов, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… столицСй ‘Π”’ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΏΠΈΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π”Π΅Π»ΡŒΡ‚ΠΎΠΉ грСчСской Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ (Ξ”). Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π΅ Π΅Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Как ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, дискриминант — ноль, Ссли ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли Ρƒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. НапримСр, дискриминант ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π°

:

:

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ для Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ a, b ΠΈ c, Ссли Ξ”> 0, Ρƒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… корня, Ссли Ξ” = 0, Ρƒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, ΠΈ Ссли Ξ”

:

Для Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высоких стСпСнСй дискриминант всСгда — многочлСнная функция коэффициСнтов. Π­Ρ‚ΠΎ становится Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΌ для Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высоких стСпСнСй. Π£ дискриминанта Π±ΠΈΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Π΅Π½Π΅Ρ€Π°Π»Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ 16 условий, Ρƒ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· quintic Π΅ΡΡ‚ΡŒ 59 условий, Ρƒ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· 6-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° стСпСни Π΅ΡΡ‚ΡŒ 246 условий,

ΠΈ число условий увСличиваСтся ΠΏΠΎ экспонСнтС со ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ.

Π£

ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ (Ρ‚.Π΅. ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ с Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠ΅ΠΌ, большС, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ) Π² комплСксных числах, Ссли ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли Π΅Π³ΠΎ дискриминант — ноль.

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ примСняСтся, Ссли Ρƒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ коэффициСнты Π² области, которая Π½Π΅ содСрТится Π² комплСксных числах. Π’ этом случаС дискриминант исчСзаСт, Ссли ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли Ρƒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π² Π΅Π³ΠΎ сильной области.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ дискриминант — многочлСнная функция коэффициСнтов, ΠΎΠ½ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ коэффициСнты ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ составной области R ΠΈ, Π² этом случаС, дискриминант находится Π² R. Π’ частности дискриминант ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° с коэффициСнтами Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа всСгда — Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число. Π­Ρ‚Π° ΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ чисСл.

Π’Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ «дискриминант» Π±Ρ‹Π» Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ Π² 1851 британским ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΌ ДТСймсом Π”ΠΆΠΎΠ·Π΅Ρ„ΠΎΠΌ Π‘ΠΈΠ»ΡŒΠ²Π΅ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΌ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π‘ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ дискриминант Π΄Π°Π½

:

Π³Π΄Π΅ Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΉ коэффициСнт ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ (ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠ΅) ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ области. Π­Ρ‚ΠΎ — ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° Vandermonde.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ дискриминант — симмСтричная функция Π² корнях, ΠΎΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния коэффициСнтов ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π°, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ коэффициСнты — элСмСнтарныС симмСтричныС ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Ρ‹ Π² корнях; такая Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄Π°Π½Π° Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ дискриминанта с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ясно Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ свою ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²ΡƒΡŽ ΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ исчСзаСт, Ссли ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Π½ΠΎ Π½Π΅ позволяСт Π΅ΠΌΡƒ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ вычислСнным Π±Π΅Π· Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π», послС ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ информация это обСспСчиваСт, ΠΈΠ·Π±Ρ‹Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ (Ссли Ρƒ Вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π΄ΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°Ρ‚Ρ‹). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния коэффициСнтов позволяСт ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π±Π΅Π· Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π».

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для Π½ΠΈΠ·ΠΊΠΈΡ… стСпСнСй

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»

:

ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ дискриминант

:

ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»

:

ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ дискриминант

:

Π‘ΠΈΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»

:

ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ дискриминант

:

:

Π­Ρ‚ΠΎ Π³ΠΎΠΌΠΎΠ³Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Ρ‹ Π² коэффициСнтах, соотвСтствСнно стСпСни 2, 4 ΠΈ 6. Они Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π³ΠΎΠΌΠΎΠ³Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… стСпСнСй 2, 6 ΠΈ 12.

Π£

Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простых ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простыС выраТСния для ΠΈΡ… дискриминантов. НапримСр, Ρƒ monic ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° x + основной ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½ + c Π΅ΡΡ‚ΡŒ дискриминант Ξ” = b βˆ’ 4c.

Π£

monic кубичСского ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° Π±Π΅Π· ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π° x + пкс + q Π΅ΡΡ‚ΡŒ дискриминант Ξ” = βˆ’4p βˆ’ 27q.

Π‘ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ эти дискриминанты — Π³ΠΎΠΌΠΎΠ³Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Ρ‹ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ стСпСни 2 ΠΈ 6.

ΠžΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

Дискриминант — Π³ΠΎΠΌΠΎΠ³Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π» Π² коэффициСнтах; для monic ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² это — Π³ΠΎΠΌΠΎΠ³Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π» Π² корнях.

Π’ коэффициСнтах дискриминант Π³ΠΎΠΌΠΎΠ³Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· стСпСни 2nβˆ’2; это ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΎ Π΄Π²Π° ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ. Π‘ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈ приводящий Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ всСх коэффициСнтов Ξ» Π½Π΅ измСняСт ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Π½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΉ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ Π½Π° Ξ». Π‘ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚ (2nβˆ’1) Γ— (2nβˆ’1) ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, раздСлСнная Π½Π° a, Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π³ΠΎΠΌΠΎΠ³Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· стСпСни 2nβˆ’1 Π² записях ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 2nβˆ’2; явно, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ коэффициСнтов Ξ» ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ‚ всС записи ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ξ», ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚ Π½Π° Ξ».

Для monic ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° дискриминант — ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π» Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ корнях (ΠΊΠ°ΠΊ, Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ — ΠΎΠ΄ΠΈΠ½), ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ n (nβˆ’1) Π² корнях, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π΅ΡΡ‚ΡŒ условия Π² ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ согласованный.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅

рассмотрим ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»

:

Π­Ρ‚ΠΎ слСдуСт ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡˆΠ΅ΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚, Ρ‚ΠΎΡ‚ Π΅Π³ΠΎ дискриминант Π³ΠΎΠΌΠΎΠ³Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· стСпСни 2nβˆ’2 Π² ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π·ΠΈΠ³ΠΎΠΌΠΎΠ³Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· вСса n (nβˆ’1), Ссли ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ Π΄Π°ΡŽΡ‚ вСс i. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ Π² дискриминантС, удовлСтворяСт эти Π΄Π²Π° уравнСния

:

ΠΈ

:

Они Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ n (nβˆ’1) Π² Π² 2nβˆ’2 (Π½Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ) части Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° Π² большСй части n

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ условия Π² дискриминантС. Для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΄Π²Π΅ возмоТности ΠΈΠ»ΠΈ для [1,0,1] ΠΈΠ»ΠΈ для [0,2,0] учитывая эти Π΄Π²Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ac ΠΈ b.

Для кубичСского ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° это Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 6 Π² 4 части Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° самоС большСС 3:

:

a^2d^2 = aadd&: 0+0+3+3 &&& abcd&: 0+1+2+3 &&& ac^3 = accc&: 0+2+2+2 \\

b^3d = bbbd&: 1+1+1+3 &&& b^2c^2=bbcc&: 1+1+2+2.

ВсС эти ΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² происходят эффСктивно Π² дискриминантС.

Π’ Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ этот ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ условия, ΠΎΠ½ Π½Π΅ опрСдСляСт коэффициСнты. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π² Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ Π½Π΅ всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ условия ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΠΉΠ΄ΡƒΡ‚ Π² дискриминантС. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ для Π±ΠΈΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° удовлСтворяСт ΠΈ, Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ дискриминант Π½Π΅ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°

Π£

ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ дискриминант

:

ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ являСтся количСством ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅. Для Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл a, b, c, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚:

  • Когда Ρƒ Ξ”> 0, P (x) Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… корня

:

ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ пСрСсСкаСт ось X Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹.

  • Когда Ρƒ Ξ” = 0, P (x) Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… корня

:

ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ — тангСнс ΠΊ оси X.

ΠΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ способ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ дискриминант ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ характСристику Π² качСствС «ноля, Ссли ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли Ρƒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒΒ».

Π’ этом случаС ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π» —

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ

ΠΈ Ρƒ monic ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ссли ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли Π΄Π΅Π»ΠΎ обстоит Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠŸΠΎΠΌΠ΅Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Π° условия Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρƒ сторону ΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΉ коэффициСнт, ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚

ΠΊ

Дискриминант ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π°

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для дискриминанта ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния Π΅Π³ΠΎ коэффициСнтов, являСтся самым Π»Π΅Π³ΠΊΠΈΠΌ ввСсти Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Π½Ρ‚. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ дискриминант СдинствСнного ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° — ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ корнями, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Π½Ρ‚ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² — ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΈΡ… корнями, ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ дискриминант исчСзаСт, Ссли ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли Ρƒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Π½Ρ‚ исчСзаСт, Ссли ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли эти Π΄Π²Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρƒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ссли ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли ΠΎΠ½ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ со своСй ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Ρƒ дискриминанта ΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Π½Ρ‚Π° ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΡΡ‡Π΅Π·Π°ΡŽΡ‚, Ссли ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли Ρƒ p Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, ΠΈ Ρƒ Π½ΠΈΡ… Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ самая ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ (ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Π½Ρ‚Π° — ΠΎΠ΄Π½ΠΎ большСС, Ρ‡Π΅ΠΌ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ дискриминанта), ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π΄ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° стСпСни ΠΎΠ΄ΠΈΠ½.

Π’Ρ‹Π³ΠΎΠ΄Π° Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Π½Ρ‚Π° — Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ вычислСн ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π‘ΠΈΠ»ΡŒΠ²Π΅ΡΡ‚Ρ€Π°, (2n βˆ’ 1) Γ— (2n βˆ’ 1) ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, n βˆ’ 1 ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ ряды содСрТат коэффициСнты p ΠΈ n послСдниС коэффициСнты Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Π½Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π°

:

Π΄ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚Ρƒ (2n βˆ’ 1) Γ— (2n βˆ’ 1) ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π‘ΠΈΠ»ΡŒΠ²Π΅ΡΡ‚Ρ€Π°:

:

& a_n & a_ {n-1} & a_ {n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & \ldots & 0 \\

& 0 & a_n & a_ {n-1} & a_ {n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & 0 \\

& \vdots\&&&&&&&& \vdots \\

& 0 & \ldots\& 0 & a_n & a_ {n-1} & a_ {n-2} & \ldots & a_1 & a_0 \\

& na_n & (n-1) a_ {n-1} & (n-2) a_ {n-2} & \ldots\& a_1 & 0 & \ldots &\\ldots & 0 \\

& 0 & na_n & (n-1) a_ {n-1} & (n-2) a_ {n-2} & \ldots\& a_1 & 0 & \ldots & 0 \\

& \vdots\&&&&&&&& \vdots \\

& 0 & 0 & \ldots & 0 & na_n & (n-1) a_ {n-1} & (n-2) a_ {n-2} & \ldots\& a_1 \\

Дискриминант Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π½ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ

:

НапримСр, Π² случаС n = 4, Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡƒΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΉ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚ —

:

& a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\

& 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\

& 0 & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\

& 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 & 0 \\

& 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 \\

& 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1& 0 \\

& 0 & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 \\

Дискриминант стСпСни 4 ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ ΠΈΠ· этого Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚Π° послС дСлСния Π½Π°.

Π‘ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ дискриминант Ρ€Π°Π²Π΅Π½

:

Π³Π΄Π΅ r…, r ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ слоТными корнями (ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠ΅) ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π°:

:

Π­Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ проясняСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ p Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ссли ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли дискриминант — ноль. (Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ слоТным.)

Дискриминант ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ для ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ областям Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ самым способом ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π°, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ r, остаСтся Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ; ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Ρ‹ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ области ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π°. Дискриминант ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ для ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΏΠΎ Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Ρƒ. Однако, Ссли ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎ Π½Π΅ составная ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ, Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ подраздСлСния Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Π½Ρ‚Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½, заняв мСсто 1 Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ»ΠΎΠ½ΠΊΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π° ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

Дискриминант Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π²Π½Π΅ просто, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ: это Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ слоТны, ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹. Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ это Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π² области, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π» ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ ΠΈΠ»ΠΈ находится Π² Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ области, ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΏΠΎ области коэффициСнтов. Π­Ρ‚ΠΎ являСтся самым ΠΏΡ€ΠΎΠ·Ρ€Π°Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ установлСнноС для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ кубичСских ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΠΎΠ²; для ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² стСпСни 4 ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ это Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ Π·Π°ΡΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ квадратная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΠ»Π° ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня дискриминанта, ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° находятся Π² Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ самой области ΠΊΠ°ΠΊ коэффициСнты, Ссли ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли дискриминант — ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π² области коэффициСнтов: Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΏΠΎ области коэффициСнтов, Ссли ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли дискриминант — ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρƒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Ссли ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли это Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈ эти ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹, Ссли ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли это ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ (Π½Π΅ ноль), ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ дискриминанта позволяСт ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ описаниС ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° с Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами:

  • Ξ”> 0: 2 ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… корня: Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΏΠΎ Ρ€Π΅Π°Π»Π°ΠΌ;
  • Ξ”
  • Ξ”, Π΅ΡΡ‚ΡŒ 2k+1 ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ слоТных сопряТСнных ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈ n-4k-2 Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, всС ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ;
  • Ξ” = 0: ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 2 корня ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ (Π² этом случаС, ΠΈΡ… комплСкс спрягаСтся, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚).

Дискриминант ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Ρƒ

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ дискриминанта ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π° с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Π½Ρ‚Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΎ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Ρ‹, коэффициСнты ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Ρƒ. Однако, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ всСгда опрСдСляСтся Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π΅, вмСсто Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚ Π½Π° Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΉ коэффициСнт, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ замСняСт Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΌ коэффициСнтом 1 Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ»ΠΎΠ½ΠΊΠ΅ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚Π°. Π£ этого ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ дискриминанта Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, которая Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π° Π² алгСбраичСской Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

ΠŸΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΡ‚Π΅ f Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ с коэффициСнтами Π² ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π΅ A ΠΈ D Π΅Π³ΠΎ дискриминант. ΠŸΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΡ‚Π΅ Ο† Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π΅Π²Ρ‹ΠΌ Π³ΠΎΠΌΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„ΠΈΠ·ΠΌΠΎΠΌ Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ К ΠΈ Ο† (f) Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΏΠΎ K, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ, Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² коэффициСнты f ΠΈΡ… изобраТСниями Ο†. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ρƒ Ο† (D) = 0, Ссли ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ стСпСнСй f ΠΈ Ο† (f) — ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 2 ΠΈΠ»ΠΈ Ο† (f), Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π² алгСбраичСском Π·Π°ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠΈ K. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ случай ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, говоря, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ Ο† (f) Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π² бСсконСчности.

Випичная ситуация, Π³Π΄Π΅ эта ΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Π°, состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° A (ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ), ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎ ΠΏΠΎ области k ΠΈ Ο† — Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π° indeterminates Π² элСмСнтами ΠΏΠΎΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΡ K k.

НапримСр, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΡ‚Π΅ f Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ Π² X ΠΈ Y с Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f = 0 являСтся нСявным ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ самолСта алгСбраичСская кривая. Рассматривая f ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π» Π² Y с коэффициСнтами Π² зависимости ΠΎΡ‚ X, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° дискриминант — ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π» Π² X, Ρ‡ΡŒΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ — X-ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ особых Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ вопросов с тангСнсом, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Оси Y ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… асимптот, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Оси Y. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, вычислСниС ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Y-дискриминанта ΠΈ X-дискриминанта позволяСт Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ всС Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Ρ‹ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°.

ΠžΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡ

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ дискриминанта Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΎ ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ алгСбраичСским структурам ΠΏΠΎΠΌΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ коничСскиС сСкции, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΠΈ поля алгСбраичСских чисСл. Дискриминанты Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ алгСбраичСского числа тСсно связаны, ΠΈ содСрТат ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎ Ρ€Π°Π·Π²Π΅Ρ‚Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ. ЀактичСски, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ гСомСтричСскиС Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ развСтвлСния Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ связаны с Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ абстрактными Ρ‚ΠΈΠΏΠ°ΠΌΠΈ дискриминанта, дСлая это Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ алгСбраичСской ΠΈΠ΄Π΅Π΅ΠΉ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… заявлСниях.

Дискриминант коничСской сСкции

Для коничСской сСкции, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ самолСта Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ

:

дискриминант Ρ€Π°Π²Π΅Π½

:

ΠΈ опрСдСляСт Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ коничСской сСкции. Если дискриминант — мСньшС Ρ‡Π΅ΠΌ 0, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ эллипс ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³. Если дискриминант равняСтся 0, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ — ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹. Если дискриминант большС, Ρ‡Π΅ΠΌ 0, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ — ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹. Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈΠ²ΡˆΠΈΠ΅ΡΡ случаи (ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹).

Дискриминант ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹

Π•ΡΡ‚ΡŒ нСзависимоС ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°ΠΌ Q ΠΏΠΎ любой области К особСнности β‰  2. Для характСристики 2 ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΈΠ½Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ — ΠΈΠ½Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ Arf.

Учитывая ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Q, дискриминант ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚ симмСтричной ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ S для Q.

Π—Π°ΠΌΠ΅Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ измСнСния ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° симмСтричной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, дискриминантными измСнСниями ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚ нуля, ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ классом дискриминанта, Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π² K / (K), Ρ‚.Π΅., Π΄ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ нуля. Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ остаток.

МСнСС свойствСнно Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π”ΠΆΠ°ΠΊΠΎΠ±ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ Π½Π° ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹, послС Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, Π² диагональной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ

:

Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ Π½Π° V ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ сумма

:

Π³Π΄Π΅ L — нСзависимыС Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹, ΠΈ n — число ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΠΌΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ»Π΅ΠΌ). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° дискриминант — ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ a, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ ΠΊΠ°ΠΊ класс Π² K / (K).

Для K=R Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, (R) ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами (любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число — ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ числа ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚ нуля), ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Ρƒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° R / (R) Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ элСмСнта: ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, ноль, ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π­Ρ‚ΠΎ — Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ сырой ΠΈΠ½Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚, Ρ‡Π΅ΠΌ подпись (n, n, n), Π³Π΄Π΅ nΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ 0s ΠΈ n, число Β±1s Π² диагональной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅. Дискриминант — Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ноль, Ссли Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈΠ²ΡˆΠ°ΡΡΡ , ΠΈ ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ это — ΠΏΠ°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ‚ числа ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… коэффициСнтов,

Для K=C комплСксныС числа, (C) ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ комплСксными числами ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΎΡ‚ нуля (любоС комплСксноС число — ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚), ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Ρƒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° C / (C) Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° элСмСнта: ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚ нуля ΠΈ ноль.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ дискриминант ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π» Π³ΠΎΠΌΠΎΠ³Π΅Π½ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π΅ΡΡ‚ΡŒ симмСтричная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°

:

\begin {bmatrix }\

a & b/2 \\

b/2 & c

\end {bmatrix}.

Ρ‡Π΅ΠΉ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚ Π”ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° βˆ’4, это —

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ класса дискриминанта Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ (ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, ноль, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ) соотвСтствуСт ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ коничСской сСкции, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ эллипсом, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ.

Дискриминант поля алгСбраичСских чисСл

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»Ρ‹

Дискриминант — симмСтричный ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π» Π² корнях; Ссли Π’Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΡ‹ΠΊΠ°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΡŽ Π΅Π³ΠΎ (ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌΠΎΡ‡ΠΈΠΉ: ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π» Vandermonde) ΠΊ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Ρƒ симмСтричных ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² Π² n ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ являСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

Π’Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΠ΅ ссылки


ru.knowledgr.com

Дискриминант β€” WiKi

Дискримина́нт

ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° p(x)=a0+a1x+β‹―+anxn{\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}}, anβ‰ 0{\displaystyle a_{n}\neq 0}, Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

D(p)=an2nβˆ’2∏i<j(Ξ±iβˆ’Ξ±j)2{\displaystyle D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}},
Π³Π΄Π΅ Ξ±1,Ξ±2,…,Ξ±n{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}Β β€” всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° (с ΡƒΡ‡Ρ‘Ρ‚ΠΎΠΌ кратностСй) Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠΈ основного поля, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚.

Π§Π°Ρ‰Π΅ всСго ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ дискриминант ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π°[⇨], Π·Π½Π°ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ опрСдСляСт количСство Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

Π’ΠΎ всСх ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ… Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ с вСщСствСнными коэффициСнтами ΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚ нуля ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΌ коэффициСнтом.

ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни

Дискриминант ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π° ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c}Β  Ρ€Π°Π²Π΅Π½ D=b2βˆ’4ac.{\displaystyle D=b^{2}-4ac.}Β 

  • ΠŸΡ€ΠΈ D>0{\displaystyle D>0}Β  вСщСствСнных ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉΒ β€” Π΄Π²Π°, ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅
x1,2=βˆ’bΒ±b2βˆ’4ac2a{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}Β .
  • ΠŸΡ€ΠΈ D=0{\displaystyle D=0}Β  ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ (Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… контСкстах говорят Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… корнях), кратности 2:
x=βˆ’b2a{\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}}Β .
  • ΠŸΡ€ΠΈ D<0{\displaystyle D<0}Β  вСщСствСнных ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½Π΅Ρ‚. Π‘ΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π΄Π²Π° комплСксных корня, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ (1) (Π±Π΅Π· использования извлСчСния корня ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа), Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ
x1,2=βˆ’bΒ±i4acβˆ’b22a{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}}Β .

ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни

Дискриминант кубичСского ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ax3+bx2+cx+d{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}Β  Ρ€Π°Π²Π΅Π½

D=b2c2βˆ’4ac3βˆ’4b3dβˆ’27a2d2+18abcd.{\displaystyle D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd.}Β 

Π’ частности, дискриминант кубичСского ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° x3+px+q{\displaystyle x^{3}+px+q}Β  (ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠšΠ°Ρ€Π΄Π°Π½ΠΎ) Ρ€Π°Π²Π΅Π½ βˆ’27q2βˆ’4p3{\displaystyle -27q^{2}-4p^{3}}Β .

  • ΠŸΡ€ΠΈ D>0{\displaystyle D>0}Β  кубичСский ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… вСщСствСнных корня.
  • ΠŸΡ€ΠΈ D=0{\displaystyle D=0}Β  ΠΎΠ½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ (Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ кратности 2 ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ кратности 1, ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚, ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ вСщСствСнныС; Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½-СдинствСнный вСщСствСнный ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ кратности 3).
  • ΠŸΡ€ΠΈ D<0{\displaystyle D<0}Β  кубичСский ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ вСщСствСнный ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈ Π΄Π²Π° комплСксных корня (ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ комплСксно-сопряТСнными).

ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни

Дискриминант ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни ax4+bx3+cx2+dx+e{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}Β  Ρ€Π°Π²Π΅Π½

D=256a3e3βˆ’192a2bde2βˆ’128a2c2e2+144a2cd2eβˆ’27a2d4+144ab2ce2βˆ’6ab2d2eβˆ’80abc2de+18abcd3+16ac4eβˆ’4ac3d2βˆ’27b4e2+18b3cdeβˆ’4b3d3βˆ’4b2c3e+b2c2d2.{\displaystyle {\begin{aligned}&D=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}.\end{aligned}}}Β 

Для ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° x4+qx2+rx+s{\displaystyle x^{4}+qx^{2}+rx+s}Β  дискриминант ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄

D=256s3βˆ’128q2s2+144qr2sβˆ’27r4+16q4sβˆ’4q3r2{\displaystyle D=256s^{3}-128q^{2}s^{2}+144qr^{2}s-27r^{4}+16q^{4}s-4q^{3}r^{2}}Β 

ΠΈ равСнство D=0{\displaystyle D=0}Β  опрСдСляСт Π² пространствС (q,r,s){\displaystyle (q,r,s)}Β  ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡƒΡŽ ласточкиным хвостом.

  • ΠŸΡ€ΠΈ D<0{\displaystyle D<0}Β  ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… вСщСствСнных корня ΠΈ Π΄Π²Π° комплСксных корня.
  • ΠŸΡ€ΠΈ D>0{\displaystyle D>0}Β  ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… корня: Π»ΠΈΠ±ΠΎ всС вСщСствСнныС, Π»ΠΈΠ±ΠΎ всС комплСксныС.
А ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, для ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° x4+qx2+rx+s{\displaystyle x^{4}+qx^{2}+rx+s}Β :[1]
  • ΠŸΡ€ΠΈ D=0{\displaystyle D=0}Β  ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎ мСньшСй ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ (вСщСствСнный ΠΈΠ»ΠΈ комплСксный). Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ случаС ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° комплСксно сопряТСнных ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… корня ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, распадаСтся Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни, Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ вСщСствСнных чисСл.
Π’ΠΎΡ‡Π½Π΅Π΅:[1]
  • Ссли q<0{\displaystyle q<0}Β  ΠΈ s>q24{\displaystyle s>{\frac {q^{2}}{4}}}Β , Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ вСщСствСнный ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ кратности 2 ΠΈ Π΄Π²Π° комплСксных корня,
  • Ссли q<0{\displaystyle q<0}Β  ΠΈ βˆ’q212<s<q24{\displaystyle -{\frac {q^{2}}{12}}<s<{\frac {q^{2}}{4}}}Β , Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… вСщСствСнных корня, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… кратности 2,
  • Ссли q<0{\displaystyle q<0}Β  ΠΈ s=q24{\displaystyle s={\frac {q^{2}}{4}}}Β , Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π° вСщСствСнных корня, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… кратности 2,
  • Ссли q<0{\displaystyle q<0}Β  ΠΈ s=βˆ’q212{\displaystyle s=-{\frac {q^{2}}{12}}}Β , Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π° вСщСствСнных корня, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… кратности 3,
  • Ссли q>0{\displaystyle q>0}Β , s>0{\displaystyle s>0}Β  ΠΈ rβ‰ 0{\displaystyle r\neq 0}Β , Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ вСщСствСнный ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ кратности 2 ΠΈ Π΄Π²Π° комплСксных корня,
  • Ссли q>0{\displaystyle q>0}Β , s=q24{\displaystyle s={\frac {q^{2}}{4}}}Β  ΠΈ r=0{\displaystyle r=0}Β , Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΏΠ°Ρ€Π° комплСксно сопряТСнных ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ кратности 2,
  • Ссли q>0{\displaystyle q>0}Β  ΠΈ s=0{\displaystyle s=0}Β , Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ вСщСствСнный ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ кратности 2 ΠΈ Π΄Π²Π° комплСксных корня,
  • Ссли q=0{\displaystyle q=0}Β  ΠΈ s>0{\displaystyle s>0}Β , Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ вСщСствСнный ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ кратности 2 ΠΈ Π΄Π²Π° комплСксных корня,
  • Ссли q=0{\displaystyle q=0}Β  ΠΈ s=0{\displaystyle s=0}Β , Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ вСщСствСнный ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ кратности 4.

ru-wiki.org