Дискриминант сокращенная формула – Квадратные уравнения. Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. ( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа.

Содержание

Внеклассный урок — Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант

 Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант.
  

Формула №1:

         —b ± √D
x
=  ————,  где
D = b2 – 4ac.
             2
a

Латинской буквой D обозначают дискриминант.

Дискриминант — это выражение, от которого зависит число корней данного уравнения.

Если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

Пример. Решим уравнение 12x2 + 7x + 1 = 0.

Сначала вычислим дискриминант.

Мы видим, что а = 12, b = 7, c = 1.

Итак:

D = b2 – 4ac = 72 – 4 · 12 · 1 = 49 – 48 = 1.

D > 0. Значит, уравнение имеет корни (причем два корня), а значит, можно вычислять дальше.

Чтобы найти корни, применим формулу корней квадратного уравнения:

         —b ± √D      -7 ± √1         -7 ± 1
x =  ———— = ———— = ————
             2a                24                 24

Находим оба значения x:

        -7 + 1        -6      -1          1
x1 = ——— = —— = — = – —
           24           24       4          4

 

         -7 – 1       -8       -1         1
x2 = ——— = —— = — = – — .
           24           24       3          3

 

                        1                   1
Ответ: x1 = – —,    x2 = – —
                        4                   3

 

Формула №2.

Из формулы №1 можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться в случаях, когда второй коэффициент – четное число. В этом случае раскладываем его на множители, один из которых – множитель 2. То есть второй коэффициент представляем в виде 2k, где k – это половина изначально заданного числа. Тогда удобно пользоваться формулой:

      —k ± √D1
x = ———
,   где D1 = k2ac
            
a

Пример. Решим уравнение 5x2 – 16x + 3 = 0.

Записываем -16x в виде 2 · (-8x). Тогда k = -8,  a = 5,  c = 3. Мы уже можем найти дискриминант D1:

D1 = k2ac = (-8)2 – 5 · 3 = 64 – 15 = 49.

Теперь находим оба значения x:

      —k ± √D1       — (-8) ± √49      8 ± 7
x = ———— =  ————— = ———
             a                     5                  5

Отсюда:

          8 + 7       15
x1 = ——— =  — = 3
            5            5

 

         8 – 7         1
x2 = ——— =  — = 0,2
             5           5 

 

Ответ: x1 = 3; x2 = 0,2.

 

При решении квадратного уравнения по данным формулам целесообразно поступать следующим образом:

1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней; если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

 

raal100.narod.ru

Дискриминант. Теорема Виета

Дискриминант, как и квадратные уравнения начинают изучать в курсе алгебры в 8 классе. Решить квадратное уравнение можно через дискриминант и с помощью теоремы Виета. Методика изучения квадратных уравнений, как и формулы дискриминанта достаточно неудачно прививается школьникам, как и многое в настоящем образовании. Поэтому проходят школьные годы, обучение в 9-11 классе заменяет «высшее образование» и все снова ищут — «Как решить квадратное уравнение?», «Как найти корни уравнения?», «Как найти дискриминант?» и …

Формула дискриминанта

Дискриминант D квадратного уравнения a*x^2+bx+c=0 равен D=b^2–4*a*c.
Корни (решения) квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта (D) :
D>0 – уравнение имеет 2 различных действительных корня;
D=0 — уравнение имеет 1 корень (2 совпадающих корня):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Формула для вычисления дискриминанта достаточно проста, поэтому множество сайтов предлагают онлайн калькулятор дискриминанта. Мы с такого рода скриптами еще не разобрались, поэтому кто знает, как это реализовать просим писать на почту Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра..

Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения:

Корни уравнения находим по формуле
Если коэффициент при переменной в квадрате парный то целесообразно исчислять не дискриминант, а четвертую его часть
В таких случаях корни уравнения находят по формуле

Вторая способ нахождения корней — это Теорема Виета.

Формулируется теорема не только для квадратных уравнений, но и для многочленов. Это Вы можете почитать в Википедии или других электронных ресурсах. Однако для упрощения рассмотрим ту ее часть, которая касается приведенных квадратных уравнений, то есть уравнений вида (a=1)
Суть формул Виета заключается в том, что сумма корней уравнения равна коэффициенту при переменной, взятому с противоположным знаком. Произведение корней уравнения равно свободном члену. Формулами теорема Виета имеет запись.
Вывод формулы Виета достаточно прост. Распишем квадратное уравнение через простые множители
Как видите все гениальное одновременно является простым. Эффективно использовать формулу Виета когда разница корней по модулю или разница модулей корней равна 1, 2. Например, следующие уравнения по теореме Виета имеют корни

До 4 уравнения анализ должен выглядеть следующим образом. Произведение корней уравнения равно 6, следовательно корнями могут быть значения (1, 6) и (2, 3) или пары с противоположным знаком. Сумма корней равна 7 (коэффициент при переменной с противоположным знаком). Отсюда делаем вывод что решения квадратного уравнения равны x=2; x=3.
Проще подбирать корни уравнения среди делителей свободного члена, корректируя их знак с целью выполнения формул Виета. В начале это кажется трудно сделать, но с практикой на ряде квадратных уравнений такая методика окажется эффективнее вычисления дискриминанта и нахождения корней квадратного уравнения классическим способом.
Как видите школьная теория изучения дискриминанта и способов нахождения решений уравнения лишена практического смысла — «Зачем школьникам квадратное уравнение?», «Какой физический смысл дискриминанта?».

Давайте попробуем разобраться, что описывает дискриминант?

В курсе алгебры изучают функции, схемы исследования функции и построения графика функций. Из всех функций важное место занимает парабола, уравнение которой можно записать в виде
Так вот физический смысл квадратного уравнения — это нули параболы, то есть точки пересечения графика функции с осью абсцисс Ox
Свойства парабол которые описаны ниже попрошу Вас запомнить. Придет время сдавать экзамены, тесты, или вступительные экзамены и Вы будете благодарны за справочный материал. Знак при переменной в квадрате соответствует тому, будут ли ветки параболы на графике идти вверх (a>0),

или парабола ветвями вниз (a<0).

Вершина параболы лежит посередине между корнями

Физический смысл дискриминанта:

Если дискриминант больше нуля (D>0) парабола имеет две точки пересечения с осью Ox.
Если дискриминант равен нулю (D=0) то парабола в вершине касается оси абсцисс.
И последний случай, когда дискриминант меньше нуля (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении коэффициент при свободном члене или переменной равны нулю то такие уравнения называют неполными. Корни уравнений находим по упрощенной формуле
График функций всегда симметричен относительно начала координат. Стоит отметить, что уравнение имеет действительные корни только тогда, когда в уравнении чередуются знаки при коэффициентах «+, -» или «-, +».
Неполное квадратное уравнение вида
одним из корней всегда имеет точку x=0.
В таком контексте решения квадратных уравнений становится нужным, а при построении графиков парабол, еще и визуально интересным времяпрепровождением, особенно если речь идет о школьном занятии по анализу графика функций, или изучении темы парабол. Поэтому в 8, 9 классе рекомендуем эти две темы в алгебре сочетать.
Если материал помог Вам в обучении, просьба поделиться с друзьями ссылкой на статью!

yukhym.com

Квадратное уравнение. Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. ( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа.

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. Теорема Виета.

Квадратным уравнением называется уравнение вида:

                 ,

где
x — переменная,
a,b,c — постоянные (числовые) коэффициенты.

В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта


Формула дискриминанта: .

О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :

  • D>0 — уравнение имеет 2 различных вещественных корня
  • D=0 — уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
  • D<0 — уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей — корней не имеет)

В общем случае корни уравнения равны:

                 .

Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны

                 .

Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:

                

В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:

                

Теорема Виета.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

                ,

то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.

В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:

                 .

Следует заметить, что любое квадратное уравнение может стать приведенным, если его поделить на коэффициент при старшем члене, то есть при х2

www.dpva.ru

Нахождение дискриминанта, формула, сравнение с нулём

Дискриминант — многозначный термин. В данной статье речь пойдёт о дискриминанте многочлена, который позволяет определить, есть ли у данного многочлена действительные решения. Формула для квадратного многочлена встречается в школьном курсе алгебры и анализа. Как найти дискриминант? Что нужно для решения уравнения?

Квадратный многочлен, как искать его корни

Квадратным многочленом или уравнением второй степени называется i * w ^ 2 + j * w + k равный 0, где «i» и «j» — первый и второй коэффициент соответственно, «k» — константа, которую иногда именуют «свободным членом», а «w» — переменная. Его корнями окажутся все значения переменной, при которых оно превращается в тождество. Такое равенство допустимо переписать, как произведение i, (w — w1) и (w — w2) равное 0. В этом случае очевидно, что если коэффициент «i» не обращается в ноль, то функция в левой части станет нулевой только в случае, если x принимает значение w1 или w2. Эти значения являются результатом приравнивания многочлена к нулю.

Для нахождения значения переменной, при котором квадратный многочлен обращается в ноль, используется вспомогательная конструкция, построенная на его коэффициентах и названная дискриминантом. Эта конструкция рассчитывается согласно формуле D равняется j * j — 4 * i * k. Зачем она используется?

  1. Она говорит, имеются ли действительные результаты.
  2. Она помогает их высчитать.

Как это значение показывает наличие вещественных корней:

  • Если оно положительное, то можно найти два корня в области действительных чисел.
  • Если дискриминант равен нулю, то оба решения совпадают. Можно сказать, что есть всего одно решение, и оно из области вещественных чисел.
  • Если дискриминант меньше нуля, то у многочлена отсутствуют вещественные корни.

Варианты расчётов для закрепления материала

Для суммы {7 * w ^ 2; 3 * w; 1} равной 0 рассчитываем D по формуле 3 * 3 — 4 * 7 * 1 = 9 — 28 получаем -19. Значение дискриминанта ниже нуля говорит об отсутствии результатов на действительной прямой.

Если рассмотреть 2 * w ^ 2 — 3 * w + 1 эквивалентный 0, то D рассчитывается как (-3) в квадрате за вычетом произведения чисел {4; 2; 1} и равняется 9 — 8, то есть 1. Положительное значение говорит о двух результатах на вещественной прямой.

Если взять сумму {w ^ 2; 2 * w; 1} и прировнять к 0, D рассчитается, как два в квадрате минус произведение чисел {4; 1; 1}. Это выражение упростится до 4 — 4 и обратится в ноль. Выходит, что результаты совпадают. Если внимательно вглядеться в данную формулу, то станет понятно, что это «полный квадрат». Значит, равенство можно переписать в форме (w + 1) ^ 2 = 0. Стало очевидно, что результат в этой задаче «-1». В ситуации если D равен 0, левую часть равенства всегда получится свернуть по формуле «квадрат суммы».

Использование дискриминанта в вычислении корней

Эта вспомогательная конструкция не только показывает количество вещественных решений, но и помогает их находить. Общая формула расчёта для уравнения второй степени такова:

w = (-j +/- d) / (2 * i), где d — дискриминант в степени 1/2.

Допустим, дискриминант ниже нулевой отметки, тогда d — мнимо и результаты мнимые.

D нулевой, тогда d, равный D в степени 1/2, тоже нулевой. Решение: -j / (2 * i). Снова рассматриваем 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, находим результаты эквивалентные -2 / (2 * 1) = -1.

Предположим, D > 0, значит, d — вещественное число, и ответ здесь распадается на две части: w1 = (-j + d) / (2 * i) и w2 = (-j — d) / (2 * i). Оба результата окажутся действительные. Взглянем на 2 * w ^ 2 — 3 * w + 1 = 0. Здесь дискриминант и d — единицы. Выходит, w1 равняется (3 + 1) делить (2 * 2) или 1, а w2 равен (3 — 1) делить на 2 * 2 или 1/2.

Результат приравнивания квадратного выражения к нулю вычисляется согласно алгоритму:

  1. Вычисление дискриминанта.
  2. Определение количества действительных решений.
  3. Вычисление d = D ^ (1/2).
  4. Нахождение результата в соответствии с формулой (-j +/- d) / (2 * i).
  5. Подстановка полученного результата в исходное равенство для проверки.

Некоторые частные случаи

В зависимости от коэффициентов решение может несколько упрощаться. Очевидно, что если коэффициент перед переменной во второй степени равен нулю, то получается линейное равенство. Когда коэффициент перед переменной в первой степени нулевой, то возможны два варианта:

  1. многочлен раскладывается в разность квадратов при отрицательном свободном члене;
  2. при положительной константе действительных решений найти нельзя.

Если свободный член нулевой, то корни будут {0; -j}

Но есть и другие частные случаи, упрощающие нахождение решения.

Приведенное уравнение второй степени

Приведенным именуют такой квадратный трёхчлен, где коэффициент перед старшим членом — единица. Для данной ситуации применима теорема Виета, гласящая, что сумма корней равняется коэффициенту при переменной в первой степени, помноженному на -1, а произведение соответствует константе «k».

Следовательно, w1 + w2 равно -j и w1 * w2 равняется k, если первый коэффициент — единица. Чтобы убедиться в правильности такого представления, можно выразить из первой формулы w2 = -j — w1 и подставить его во второе равенство w1 * (-j — w1) = k. В итоге получается исходное равенство w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Важно отметить, что i * w ^ 2 + j * w + k = 0 удастся привести путём деления на «i». Результат будет: w ^ 2 + j1 * w + k1 = 0, где j1 равно j / i и k1 равно k / i.

Взглянем на уже решенное 2 * w ^ 2 — 3 * w + 1 = 0 с результатами w1 = 1 и w2 = 1/2. Надо поделить его пополам, в итоге w ^ 2 — 3/2 * w + 1/2 = 0. Проверим, что для найденных результатов справедливы условия теоремы: 1 + 1/2 = 3/2 и 1*1/2 = 1/2.

Чётный второй множитель

Если множитель при переменной в первой степени (j) делится на 2, то удастся упростить формулу и искать решение через четверть дискриминанта D/4 = (j / 2) ^ 2 — i * k. получается w = (-j +/- d/2) / i, где d/2 = D/4 в степени 1/2.

Если i = 1, а коэффициент j — чётный, то решением будет произведение -1 и половины коэффициента при переменной w, плюс/минус корень из квадрата этой половины за вычетом константы «k». Формула: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 — k) ^ 1/2.

Более высокий порядок дискриминанта

Рассмотренный выше дискриминант трёхчлена второй степени — это наиболее употребимый частный случай. В общем же случае дискриминант многочлена представляет собой перемноженные квадраты разностей корней этого многочлена. Следовательно, дискриминант равный нулю говорит о наличии как минимум двух кратных решений.

Рассмотрим i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.

D = j ^ 2 * k ^ 2 — 4 * i * k ^ 3 — 4 * i ^ 3 * k — 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

Допустим, дискриминант превосходит ноль. Это значит, что имеется три корня в области действительных чисел. При нулевом есть кратные решения. Если D < 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Видео

Наше видео подробно расскажет о вычислении дискриминанта.

liveposts.ru

HowToDoIt » Дискриминант квадратного уравнения (вывод)

Часто, изучая основы математики, мы принимаем на веру многое или даже все, даже не задумываясь о том, как была получена или как получить самому ту или иную формулу. Как то, меня посетила мысль о том, что я совсем не понимаю, откуда взялся дискриминант такого простого и такого квадратного уравнения вида:

Написав это выражение на листочке бумаги, мне захотелось решить его, не зная тех всеми известных формул из школьной программы. Я начал с того, что нарисовал график уравнения. Получилась парабола вида:

Вершину для параболы найти довольно просто. Производная в этой точке должна равняться нулю. Производная квадратного уравнения:

Т. е. нами был получен для вершины параболы. С другой же стороны мы хотим найти такой(ие) значения для , в которых значение функции будет равняться . На графике чётко видны эти точки пересечения:

Поскольку график параболы — симметричный, положим расстояние от точки пересечения до координаты . Тогда корнями квадратного уравнение будут:

Подставим предполагаемое решение в начальное уравнение:

После упрощения получим:

В результате получаем привычную для всех запись:

Вот собственно и все! Путём нехитрых математических действий (не считая производную ) получаем желаемый результат. Именно запись:

и называют дискриминантом. Что ещё сказать о дискриминанте? Запись выделена в школьной программе просто для удобства и никакой магией не обладает. Более интуитивным является выражение:

которое имеет геометрический смысл — это длинна отрезка указанного на втором рисунке. О геометрическом смысле дискриминанта судите сами!

howtodoit.com.ua

Дискриминант • ru.knowledgr.com

В алгебре дискриминант полиномиала — функция своих коэффициентов, как правило обозначенных столицей ‘Д’ или капитальной Дельтой греческой буквы (Δ). Это дает информацию о природе ее корней. Как правило, дискриминант — ноль, если и только если у полиномиала есть многократный корень. Например, дискриминант квадратного полиномиала

:

:

Здесь для реального a, b и c, если Δ> 0, у полиномиала есть два реальных корня, если Δ = 0, у полиномиала есть один реальный двойной корень, и если Δ

:

Для более высоких степеней дискриминант всегда — многочленная функция коэффициентов. Это становится значительно более длинным для более высоких степеней. У дискриминанта биквадратного генерала есть 16 условий, у того из quintic есть 59 условий, у того из 6-го полиномиала степени есть 246 условий,

и число условий увеличивается по экспоненте со степенью.

У

полиномиала есть многократный корень (т.е. корень с разнообразием, больше, чем одно) в комплексных числах, если и только если его дискриминант — ноль.

Понятие также применяется, если у полиномиала есть коэффициенты в области, которая не содержится в комплексных числах. В этом случае дискриминант исчезает, если и только если у полиномиала есть многократный корень в его сильной области.

Поскольку дискриминант — многочленная функция коэффициентов, он определен, как только коэффициенты принадлежат составной области R и, в этом случае, дискриминант находится в R. В частности дискриминант полиномиала с коэффициентами целого числа всегда — целое число. Эта собственность широко используется в теории чисел.

Термин «дискриминант» был введен в 1851 британским математиком Джеймсом Джозефом Сильвестром.

Определение

С точки зрения корней дискриминант дан

:

где ведущий коэффициент и корни (подсчитывающий разнообразие) полиномиала в некоторой разделяющейся области. Это — квадрат времен полиномиала Vandermonde.

Поскольку дискриминант — симметричная функция в корнях, он может также быть выражен с точки зрения коэффициентов полиномиала, так как коэффициенты — элементарные симметричные полиномиалы в корнях; такая формула дана ниже.

Выражение дискриминанта с точки зрения корней ясно дает понять свою ключевую собственность, а именно, что исчезает, если и только если есть повторный корень, но не позволяет ему быть вычисленным без факторинга полиномиал, после которого информация это обеспечивает, избыточно (если у Вас есть корни, можно сказать, есть ли какие-либо дубликаты). Следовательно формула с точки зрения коэффициентов позволяет природе корней быть определенной без факторинга полиномиал.

Формулы для низких степеней

Квадратный полиномиал

:

имеет дискриминант

:

Кубический полиномиал

:

имеет дискриминант

:

Биквадратный полиномиал

:

имеет дискриминант

:

:

Это гомогенные полиномиалы в коэффициентах, соответственно степени 2, 4 и 6. Они также гомогенные в термине корней, соответствующих степеней 2, 6 и 12.

У

более простых полиномиалов есть более простые выражения для их дискриминантов. Например, у monic квадратного полиномиала x + основной обмен + c есть дискриминант Δ = b4c.

У

monic кубического полиномиала без квадратного термина x + пкс + q есть дискриминант Δ = −4p27q.

С точки зрения корней эти дискриминанты — гомогенные полиномиалы соответствующей степени 2 и 6.

Однородность

Дискриминант — гомогенный полиномиал в коэффициентах; для monic полиномиалов это — гомогенный полиномиал в корнях.

В коэффициентах дискриминант гомогенный из степени 2n−2; это может быть замечено два пути. С точки зрения корней и приводящий формулу термина, умножение всех коэффициентов λ не изменяет корни, но умножает ведущий термин на λ. С точки зрения формулы как детерминант (2n−1) × (2n−1) матрица, разделенная на a, детерминант матрицы гомогенный из степени 2n−1 в записях и делении на то, чтобы делать степень 2n−2; явно, умножение коэффициентов λ умножает все записи матрицы λ, следовательно умножает детерминант на λ.

Для monic полиномиала дискриминант — полиномиал в одних только корнях (как, термин — один), и имеет степень n (n−1) в корнях, поскольку есть условия в продукте, каждый согласованный.

Давайте

рассмотрим полиномиал

:

Это следует из того, что предшествует, тот его дискриминант гомогенный из степени 2n−2 в и квазигомогенный из веса n (n−1), если каждому дают вес i. Другими словами, каждый одночлен, появляющийся в дискриминанте, удовлетворяет эти два уравнения

:

и

:

Они таким образом соответствуют разделению n (n−1) в в 2n−2 (не отрицательный) части размера в большей части n

Это ограничивает возможные условия в дискриминанте. Для квадратного полиномиала есть только две возможности или для [1,0,1] или для [0,2,0] учитывая эти два одночлена ac и b.

Для кубического полиномиала это разделение 6 в 4 части размера самое большее 3:

:

a^2d^2 = aadd&: 0+0+3+3 &&& abcd&: 0+1+2+3 &&& ac^3 = accc&: 0+2+2+2 \\

b^3d = bbbd&: 1+1+1+3 &&& b^2c^2=bbcc&: 1+1+2+2.

Все эти пять одночленов происходят эффективно в дискриминанте.

В то время как этот подход дает возможные условия, он не определяет коэффициенты. Кроме того, в целом не все возможные условия произойдут в дискриминанте. Первый пример для биквадратного полиномиала, когда удовлетворяет и, даже при том, что соответствующий дискриминант не включает одночлен.

Квадратная формула

У

квадратного полиномиала есть дискриминант

:

который является количеством под знаком квадратного корня в квадратной формуле. Для действительных чисел a, b, c, каждый имеет:

  • Когда у Δ> 0, P (x) есть два отличных реальных корня

:

и его граф пересекает ось X дважды.

  • Когда у Δ = 0, P (x) есть два совпадающих реальных корня

:

и его граф — тангенс к оси X.

Альтернативный способ понять дискриминант квадратного состоит в том, чтобы использовать характеристику в качестве «ноля, если и только если у полиномиала есть повторный корень».

В этом случае полиномиал —

Коэффициенты тогда удовлетворяют так

и у monic квадратного есть повторный корень, если и только если дело обстоит так, когда корень Помещает оба условия на одну сторону и включая ведущий коэффициент, приводит

к

Дискриминант полиномиала

Чтобы найти формулу для дискриминанта полиномиала с точки зрения его коэффициентов, является самым легким ввести результант. Так же, как дискриминант единственного полиномиала — продукт квадрата различий между отличными корнями, результант двух полиномиалов — продукт различий между их корнями, и так же, как дискриминант исчезает, если и только если у полиномиала есть повторный корень, результант исчезает, если и только если эти два полиномиала разделяют корень.

Так как у полиномиала есть повторный корень, если и только если он делит корень со своей производной, у дискриминанта и результанта и есть собственность, что они исчезают, если и только если у p есть повторный корень, и у них есть почти та же самая степень (степень результанта — одно большее, чем степень дискриминанта), и таким образом равны до фактора степени один.

Выгода результанта — то, что он может быть вычислен как детерминант, а именно, как детерминант матрицы Сильвестра, (2n − 1) × (2n − 1) матрица, n − 1 которой первые ряды содержат коэффициенты p и n последние коэффициенты его производной.

Результант общего полиномиала

:

до фактора, равного детерминанту (2n − 1) × (2n − 1) матрица Сильвестра:

:

& a_n & a_ {n-1} & a_ {n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & \ldots & 0 \\

& 0 & a_n & a_ {n-1} & a_ {n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & 0 \\

& \vdots\&&&&&&&& \vdots \\

& 0 & \ldots\& 0 & a_n & a_ {n-1} & a_ {n-2} & \ldots & a_1 & a_0 \\

& na_n & (n-1) a_ {n-1} & (n-2) a_ {n-2} & \ldots\& a_1 & 0 & \ldots &\\ldots & 0 \\

& 0 & na_n & (n-1) a_ {n-1} & (n-2) a_ {n-2} & \ldots\& a_1 & 0 & \ldots & 0 \\

& \vdots\&&&&&&&& \vdots \\

& 0 & 0 & \ldots & 0 & na_n & (n-1) a_ {n-1} & (n-2) a_ {n-2} & \ldots\& a_1 \\

Дискриминант теперь дан формулой

:

Например, в случае n = 4, вышеупомянутый детерминант —

:

& a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\

& 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\

& 0 & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\

& 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 & 0 \\

& 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 \\

& 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1& 0 \\

& 0 & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 \\

Дискриминант степени 4 полиномиала тогда получен из этого детерминанта после деления на.

С точки зрения корней дискриминант равен

:

где r…, r являются сложными корнями (подсчитывающий разнообразие) полиномиала:

:

Это второе выражение проясняет, что у p есть многократный корень, если и только если дискриминант — ноль. (Этот многократный корень может быть сложным.)

Дискриминант может быть определен для полиномиалов по произвольным областям точно тем же самым способом как выше. Формула продукта, включающая корни r, остается действительной; корни должны быть пущены в некоторой разделяющейся области полиномиала. Дискриминант может даже быть определен для полиномиалов по любому коммутативному кольцу. Однако, если кольцо не составная область, выше подразделения результанта должен быть заменен, заняв место 1 в первой колонке матрицы.

Природа корней

Дискриминант дает дополнительную информацию о природе корней вне просто, есть ли какие-либо повторные корни: это также дает информацию о том, реальны ли корни или сложны, и рациональны или иррациональны. Более формально это дает информацию о том, являются ли корни в области, по которой полиномиал определен или находится в дополнительной области, и следовательно ли многочленные факторы по области коэффициентов. Это является самым прозрачным и легко установленное для квадратных и кубических полиномиалов; для полиномиалов степени 4 или выше это более трудно заявить.

Квадратный

Поскольку квадратная формула выразила корни квадратного полиномиала как рациональная функция с точки зрения квадратного корня дискриминанта, корни квадратного полиномиала находятся в той же самой области как коэффициенты, если и только если дискриминант — квадрат в области коэффициентов: другими словами, многочленные факторы по области коэффициентов, если и только если дискриминант — квадрат.

Поскольку у действительного числа есть реальные квадратные корни, если и только если это неотрицательно, и эти корни отличны, если и только если это положительно (не ноль), признак дискриминанта позволяет полное описание природы корней квадратного полиномиала с реальными коэффициентами:

  • Δ> 0: 2 отличных реальных корня: факторы по реалам;
  • Δ
  • Δ, есть 2k+1 пары сложных сопряженных корней и n-4k-2 реальных корней, все отличающиеся;
  • Δ = 0: по крайней мере 2 корня совпадают, который может быть или реальным или не реальным (в этом случае, их комплекс спрягается, также совпадают).

Дискриминант полиномиала по коммутативному кольцу

Определение дискриминанта полиномиала с точки зрения результанта может легко быть расширено на полиномиалы, коэффициенты которых принадлежат любому коммутативному кольцу. Однако, поскольку подразделение не всегда определяется в таком кольце, вместо того, чтобы делить детерминант на ведущий коэффициент, каждый заменяет ведущим коэффициентом 1 в первой колонке детерминанта. У этого обобщенного дискриминанта есть следующая собственность, которая фундаментальна в алгебраической геометрии.

Позвольте f быть полиномиалом с коэффициентами в коммутативном кольце A и D его дискриминант. Позвольте φ быть кольцевым гомоморфизмом в область К и φ (f) быть полиномиалом по K, полученному, заменив коэффициенты f их изображениями φ. Тогда у φ (D) = 0, если и только если или различие степеней f и φ (f) — по крайней мере 2 или φ (f), есть многократный корень в алгебраическом закрытии K. Первый случай может интерпретироваться, говоря, что у φ (f) есть многократный корень в бесконечности.

Типичная ситуация, где эта собственность применена, состоит в том, когда A (одномерный или многомерный), многочленное кольцо по области k и φ — замена indeterminates в элементами полевого расширения K k.

Например, позвольте f быть двумерным полиномиалом в X и Y с реальными коэффициентами, такими, что f = 0 является неявным уравнением самолета алгебраическая кривая. Рассматривая f как одномерный полиномиал в Y с коэффициентами в зависимости от X, тогда дискриминант — полиномиал в X, чьи корни — X-координаты особых точек вопросов с тангенсом, параллельным Оси Y и некоторых асимптот, параллельных Оси Y. Другими словами, вычисление корней Y-дискриминанта и X-дискриминанта позволяет вычислять все замечательные пункты кривой, кроме точек перегиба.

Обобщения

Понятие дискриминанта было обобщено к другим алгебраическим структурам помимо полиномиалов одной переменной, включая конические секции, квадратные формы и поля алгебраических чисел. Дискриминанты в теории алгебраического числа тесно связаны, и содержат информацию о разветвлении. Фактически, более геометрические типы разветвления также связаны с более абстрактными типами дискриминанта, делая это центральной алгебраической идеей во многих заявлениях.

Дискриминант конической секции

Для конической секции, определенной в геометрии самолета реальным полиномиалом

:

дискриминант равен

:

и определяет форму конической секции. Если дискриминант — меньше чем 0, уравнение имеет эллипс или круг. Если дискриминант равняется 0, уравнение — уравнение параболы. Если дискриминант больше, чем 0, уравнение — уравнение гиперболы. Эта формула не будет работать на выродившиеся случаи (когда многочленные факторы).

Дискриминант квадратной формы

Есть независимое обобщение к квадратным формам Q по любой области К особенности ≠ 2. Для характеристики 2 соответствующий инвариант — инвариант Arf.

Учитывая квадратную форму Q, дискриминант или детерминант детерминант симметричной матрицы S для Q.

Замена переменных матрицей изменения матрица симметричной формы, которой имеет детерминант так под заменой переменных, дискриминантными изменениями квадратом отличным от нуля, и таким образом классом дискриминанта, четко определена в K / (K), т.е., до квадратов отличных от нуля. См. также квадратный остаток.

Менее свойственно теоремой Джакоби квадратные формы на могут быть выражены, после линейной замены переменных, в диагональной форме как

:

Более точно квадратные формы на V могут быть выражены как сумма

:

где L — независимые линейные формы, и n — число переменных (часть из можение быть нолем). Тогда дискриминант — продукт a, который четко определен как класс в K / (K).

Для K=R действительные числа, (R) являются положительными действительными числами (любое положительное число — квадрат числа отличного от нуля), и таким образом у фактора R / (R) есть три элемента: положительный, ноль, и отрицательный. Это — более сырой инвариант, чем подпись (n, n, n), где nномер 0s и n, число ±1s в диагональной форме. Дискриминант — тогда ноль, если форма выродившаяся , и иначе это — паритет числа отрицательных коэффициентов,

Для K=C комплексные числа, (C) являются комплексными числами отличными от нуля (любое комплексное число — квадрат), и таким образом у фактора C / (C) есть два элемента: отличный от нуля и ноль.

Это определение обобщает дискриминант квадратного полиномиала, поскольку полиномиал гомогенизирует к квадратной форме, у которой есть симметричная матрица

:

\begin {bmatrix }\

a & b/2 \\

b/2 & c

\end {bmatrix}.

чей детерминант До фактора −4, это —

Постоянство класса дискриминанта реальной формы (положительный, ноль, или отрицательный) соответствует соответствующей конической секции, являющейся эллипсом, параболой или гиперболой.

Дискриминант поля алгебраических чисел

Переменные полиномиалы

Дискриминант — симметричный полиномиал в корнях; если Вы примыкаете к квадратному корню его (половины каждое из полномочий: полиномиал Vandermonde) к кольцу симметричных полиномиалов в n переменных, каждый получает кольцо переменных полиномиалов, которое является таким образом квадратным расширением.

Внешние ссылки


ru.knowledgr.com

Дискриминант — WiKi

Дискримина́нт многочлена
p(x)=a0+a1x+⋯+anxn{\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}}, an≠0{\displaystyle a_{n}\neq 0}, есть произведение

D(p)=an2n−2∏i<j(αi−αj)2{\displaystyle D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}},
где α1,α2,…,αn{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}} — все корни многочлена (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчлена[⇨], знак которого определяет количество действительных корней.

Во всех следующих примерах рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами и отличным от нуля старшим коэффициентом.

Многочлен второй степени

Дискриминант квадратного трёхчлена ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c}  равен D=b2−4ac.{\displaystyle D=b^{2}-4ac.} 

  • При D>0{\displaystyle D>0}  вещественных корней — два, и они вычисляются по формуле
x1,2=−b±b2−4ac2a{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} .
  • При D=0{\displaystyle D=0}  корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:
x=−b2a{\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}} .
  • При D<0{\displaystyle D<0}  вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой
x1,2=−b±i4ac−b22a{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}} .

Многочлен третьей степени

Дискриминант кубического многочлена ax3+bx2+cx+d{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}  равен

D=b2c2−4ac3−4b3d−27a2d2+18abcd.{\displaystyle D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd.} 

В частности, дискриминант кубического многочлена x3+px+q{\displaystyle x^{3}+px+q}  (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен −27q2−4p3{\displaystyle -27q^{2}-4p^{3}} .

  • При D>0{\displaystyle D>0}  кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.
  • При D=0{\displaystyle D=0}  он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один-единственный вещественный корень кратности 3).
  • При D<0{\displaystyle D<0}  кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряженными).

Многочлен четвертой степени

Дискриминант многочлена четвертой степени ax4+bx3+cx2+dx+e{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}  равен

D=256a3e3−192a2bde2−128a2c2e2+144a2cd2e−27a2d4+144ab2ce2−6ab2d2e−80abc2de+18abcd3+16ac4e−4ac3d2−27b4e2+18b3cde−4b3d3−4b2c3e+b2c2d2.{\displaystyle {\begin{aligned}&D=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}.\end{aligned}}} 

Для многочлена x4+qx2+rx+s{\displaystyle x^{4}+qx^{2}+rx+s}  дискриминант имеет вид

D=256s3−128q2s2+144qr2s−27r4+16q4s−4q3r2{\displaystyle D=256s^{3}-128q^{2}s^{2}+144qr^{2}s-27r^{4}+16q^{4}s-4q^{3}r^{2}} 

и равенство D=0{\displaystyle D=0}  определяет в пространстве (q,r,s){\displaystyle (q,r,s)}  поверхность, называемую ласточкиным хвостом.

  • При D<0{\displaystyle D<0}  многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня.
  • При D>0{\displaystyle D>0}  многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные.
А именно, для многочлена x4+qx2+rx+s{\displaystyle x^{4}+qx^{2}+rx+s} :[1]
  • При D=0{\displaystyle D=0}  многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень (вещественный или комплексный). Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряженных кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел.
Точнее:[1]

  • если q<0{\displaystyle q<0}  и s>q24{\displaystyle s>{\frac {q^{2}}{4}}} , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если q<0{\displaystyle q<0}  и −q212<s<q24{\displaystyle -{\frac {q^{2}}{12}}<s<{\frac {q^{2}}{4}}} , то три различных вещественных корня, один из которых кратности 2,
  • если q<0{\displaystyle q<0}  и s=q24{\displaystyle s={\frac {q^{2}}{4}}} , то два вещественных корня, каждый из которых кратности 2,
  • если q<0{\displaystyle q<0}  и s=−q212{\displaystyle s=-{\frac {q^{2}}{12}}} , то два вещественных корня, один из которых кратности 3,
  • если q>0{\displaystyle q>0} , s>0{\displaystyle s>0}  и r≠0{\displaystyle r\neq 0} , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если q>0{\displaystyle q>0} , s=q24{\displaystyle s={\frac {q^{2}}{4}}}  и r=0{\displaystyle r=0} , то одна пара комплексно сопряженных корней кратности 2,
  • если q>0{\displaystyle q>0}  и s=0{\displaystyle s=0} , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если q=0{\displaystyle q=0}  и s>0{\displaystyle s>0} , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если q=0{\displaystyle q=0}  и s=0{\displaystyle s=0} , то один вещественный корень кратности 4.

ru-wiki.org