Действия с корнями и степенями формулы – Корень натуральной степени свойства корней. Свойства степеней и корней формулы.

Содержание

Действия со степенями и корнями

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним:

Например, .

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:

Например, .

3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:

Например, .

4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:

Например, .

5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

Например, .

Пример 1. Найти значение выражения

Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания. Запишем некоторые степени в другом виде:

(степень произведения равна произведению степеней множителей),

(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним).

Теперь получим:

В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.

Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и производной функции, заданной неявно.

Имеют место следующие тождества:

1) ;

2) ;

3) .

Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти значение выражения

Пример 3. Найти значение выражения

1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей: , где (правило извлечения корня из произведения).

2. Если , то (правило извлечения корня из дроби).

3. Если , то (правило извлечения корня из корня).

4. Если , то (правило возведения корня в степень).

5. Если , то , где , т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же число.

6. Если , то , т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.

7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т. е. справа налево). Например:

(правило умножения корней),

(правило деления корней),

8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При .

9. Обратная задача — внесение множителя под знак корня. Например,

10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим некоторые типичные случаи.

а) , так как .

Например, .

б)

Например,

в)

и т. д.

11. Применение тождеств сокращённого умножения к действиям с арифметическими корнями:

1) ;

2) ;

Другие темы в блоке «Школьная математика»

function-x.ru

Основные свойства степеней, корней, формулы

Основные свойства степеней.

a⁰ = 1 для любого числа a.
a¹ = a для любого числа a.
(– a)ⁿ = aⁿ, если n — четное
(– a)ⁿ = – aⁿ, если n — нечетное
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ
aⁿa^m=a^n+m

Основные свойства корней

для любого .
для любого числа а. Здесь |a| — модуль числа а, который равен а, если , и равен –а, если а < 0.
для и .
для , и .
для , и .
для , и .
для , и .
для , и .
для и .
для и .
для любого числа а и нечетного числа .

Формулы сокращенного умножения.

Для любых a, b и с верны следующие равенства:

;
;
;
;
;
;
;
;
где x
1 и x₂ — корни квадратного трехчлена .

studfiles.net

Формулы корней и их свойства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Корнем -ой степени из числа называется такое число что имеет место равенство

Обозначается как то есть

На этой странице описаны основные формулы и свойства корней. Если показатель корня является четным, то:

для корень -ой степени не определен;
для неотрицательное значение корня уравнения называется арифметическим корнем -ой степени из и обозначается

Если показатель нечетный, то уравнение имеет единственный корень при любом .

Основные свойства и формулы корней

Операции над корнями выполняются по следующим правилам:

ПРИМЕР 1

Задание	Упростить выражение
Решение	Подкоренное выражение представляет собой квадрат разности, свернем его по формуле:
Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Сократить дробь

Решение

Подкоренное выражения, стоящее в знаменателе представим в виде следующего произведения:

Тогда имеем:

Корень из произведения равен произведению корней из каждого сомножителя, то есть

Ответ

ru.solverbook.com

Корень натуральной степени свойства корней. Свойства степеней и корней формулы.

Как извлечь корень из числа. А для этого рассмотрим само понятие корня и свойства корней.

Если алгебраическое выражение содержит корень, то оно называется иррациональным. Корнем любой степени из \(a\) является число \(n\), при возведении в эту степень мы получаем \(a\).

\(^n \sqrt{a}=a^{\frac{1}{n}}\)

“\(n\)”-показатель или степень корня, натуральное число, которое больше или равно \(0\). “\(a\)”- подкоренное выражение.

Действие, с помощью которого вычисляется корень заданного числа, называется извлечением корня из \(a\). Результат извлечения корня называется радикалом.

Свойства корней

Два значения будут иметь корень четной степени. Они будут находиться на противоположном знаке в абсолютных равных условиях.

Корень четной степени отрицательного числа не существует, так как при возведении любого вещественного числа в степень с чётным показателем результатом будет неотрицательное число.

Значение будет положительным из корня нечетной степени из положительного числа. Корень нечетной степени из отрицательного числа будет иметь отрицательное значение.

Корень нуля всегда равен нулю.

Извлечения корня четной степени множество действительных чисел не замкнуто. Результат этого действия неоднозначен.

Что касается извлечения корня нечетной степени, множество вещественных чисел замкнуто. Результат этого действия однозначен.

Свойства корней

\( ^n\sqrt{a b} = ^n\sqrt{a} ·^n\sqrt{b}\) \(a,b \geq 0\)
\( ^n\sqrt{\frac{a}{ b}} = \frac{^n\sqrt{a}} {^n\sqrt{b}}\)
\( ^n\sqrt{a^k}= ^n\sqrt{a}^k\)
\( ^n\sqrt{ ^m\sqrt{n}}= ^{nm}\sqrt{n}\)
\( ^n\sqrt{a^n}=|a|\) \(\begin{equation*} \begin{cases} a,a \geq0\\ -a,a<0 \end{cases} \end{equation*}\)
\( ^n\sqrt{0}=0\)
\( ^n\sqrt{1}=1\)
\( ^n(\sqrt{a^n})=a \) \(a \geq 0\)
\( ^k\sqrt{a^{kn}}= \sqrt{a^{n}}\)

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Корни и степени, возведение в степень, извлечение корня

Формулы преобразования степени числа. Свойства степени

(ab)ⁿ=aⁿbⁿ
Степень произведения двух чисел равна произведению каждого из сомножителей в этой степени

( a / b )ⁿ = aⁿ / bⁿ
Степень частного равна частному этих чисел, каждое из которых возведено в данную степень

aⁿ a^m = a^n+m
Произведение двух одинаковых чисел в разную степень равно этому числу в степени, равной сумме этих степеней

aⁿ / a^m = a^n-m если n > m
Частное двух одинаковых чисел в разной степени равно этому числу в степени разности числителя и знаменателя, при условии, что степень числа в числителе больше степени в знаменателе.

(aⁿ )^m=a^nm
Число в степени, возводимое в степень равно числу в степени, равной их произведению

Формулы преобразования корня числа. Свойства корня

ⁿ√0 = 0
Корень произвольной степени из нуля равен нулю

ⁿ√1 = 1
Корень произвольной степени из единицы равен единице

Корень числа произвольной степени, возведенный в эту же степень, равен этому числу.

Корень произвольной степени от произведения равен произведению корней этой же степени каждого из множителей

Корень произвольной степени частного двух чисел равен частному корней этой степени этих же чисел

Содержание главы:
Задача про бросание гранаты | Описание курса | Дробь в степени числа. Нахождение дробной степени числа

profmeter.com.ua

Степени и корни | Учеба-Легко.РФ

Операции со степенями.

1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

a ^m · a ⁿ = a ^{m + n} .

2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются.

3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

( abc… ) ⁿ= aⁿ · bⁿ · c ⁿ …

4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

( a / b ) ⁿ = a ⁿ / b ⁿ .

5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

( a^m ) ⁿ = a ^m ⁿ .

Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

П р и м е р . ( 2 · 3 · 5 / 15 ) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n раз и одновременно возвести в n-ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

5. Если уменьшить степень корня в n раз и одновременно извлечь корень n-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:

Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённаяна степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

Теперь формула a ^m : a ⁿ = a ^m — nможет быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

П р и м е р . a⁴ : a⁷ = a ⁴^— 7 = a ^-3 .

Если мы хотим, чтобы формула a ^m : a ⁿ = a ^m^—ⁿ была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы . 2 ⁰ = 1, ( – 5 )⁰ = 1, ( – 3 / 5 ) ⁰= 1.

Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n–ой степени изm-ой степени этого числа а :

О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

Случай 1.

где a ≠ 0 , не существует.

В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x, т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

Случай 2.

— любое число.

В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x, то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x, что и требовалось доказать.

Случай 3.

Если считать, что правила действий со степенями распространяются и на степени с нулевым основанием, то

0 ⁰ — любое число.

Действительно,

Р е ш е н и е . Рассмотрим три основных случая:

1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению

( Почему? ).

2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

что x – любое число; но принимая во внимание, что в

нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

3) при x < 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

в этом случае нет решения.

Таким образом, x > 0.

uclg.ru