Что такое предел последовательности – Предел последовательности — теоремы и свойства

Предел последовательности — теоремы и свойства

Последовательности

Числовой последовательностью называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу ставится в соответствие число .
Число называют n-м членом или элементом последовательности.
Далее мы будем считать, что элементами последовательности являются действительные числа.

Более подробно см. страницу   Определение числовой последовательности >>>.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что для всех действительных n.

Верхней гранью последовательности называют наименьшее из чисел, ограничивающее последовательность сверху. То есть это такое число s, для которого для всех n и для любого , найдется такой элемент последовательности , превосходящий s′: .

Нижней гранью последовательности называют наибольшее из чисел, ограничивающее последовательность снизу. То есть это такое число i, для которого для всех n и для любого , найдется такой элемент последовательности , меньший i′: .

Верхнюю грань также называют точной верхней границей, а нижнюю грань – точной нижней границей. Понятия верхней и нижней граней справедливы не только к последовательностям, но и к любым множествам действительных чисел.

Определение предела последовательности

Число a называется пределом последовательности , если для любого положительного числа существует такое натуральное число N, зависящее от , что для всех натуральных выполняется неравенство
.
Предел последовательности обозначается так:
.
Или     при   .

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела можно записать следующим образом:
.

Открытый интервал (a – ε, a + ε) называют ε — окрестностью точки a.

Последовательность, у которой существует предел называется сходящейся последовательностью. Также говорят, что последовательность сходится к a. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Точка a не является пределом последовательности , если существует такое , что для любого натурального n существует такое натуральное m > n, что
.
.
Это означает, что можно выбрать такую ε — окрестностью точки a, за пределами которой будет находиться бесконечное число элементов последовательности.

Более подробно материал изложен на странице
Определение предела последовательности >>>.

Свойства конечных пределов последовательностей

Основные свойства

Точка a является пределом последовательности тогда и только тогда, когда за пределами любой окрестности этой точки находится конечное число элементов последовательности или пустое множество.

Если число a не является пределом последовательности , то существует такая окрестность точки a, за пределами которой находится бесконечное число элементов последовательности.

Теорема единственности предела числовой последовательности. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Если каждый элемент последовательности равен одному и тому же числу C: , то эта последовательность имеет предел, равный числу C.

Если у последовательности добавить, отбросить или изменить первые m элементов, то это не повлияет на ее сходимость.

Доказательства основных свойств приведены на странице
Основные свойства конечных пределов последовательностей >>>.

Арифметические действия с пределами

Пусть существуют конечные пределы   и   последовательностей и . И пусть C – постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
,   если .
В случае частного предполагается, что для всех n.

Если , то .

Доказательства арифметических свойств приведены на странице
Арифметические свойства конечных пределов последовательностей >>>.

Свойства, связанные с неравенствами

Если    и элементы последовательности, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству .

Если    и элементы последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат замкнутому интервалу (сегменту) , то и предел a также принадлежит этому интервалу:   .

Если    и    и элементы последовательностей, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству  , то   .

Если     и   , то   .

Пусть    и  . Если a < b, то найдется такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется неравенство .

Доказательства свойств, связанных с неравенствами приведены на странице
Свойства пределов последовательностей, связанные с неравенствами >>>.

Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности

Бесконечно малая последовательность

Последовательность называется бесконечно малой последовательностью, если ее предел равен нулю:
.

Сумма и разность конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.

Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Для того, чтобы последовательность имела предел a, необходимо и достаточно, чтобы , где – бесконечно малая последовательность.

Доказательства свойств бесконечно малых последовательностей приведены на странице
Бесконечно малые последовательности – определение и свойства >>>.

Бесконечно большая последовательность

Последовательность называется бесконечно большой последовательностью, если для любого положительного числа существует такое натуральное число N, зависящее от , что для всех натуральных выполняется неравенство
.
В этом случае пишут
.
Или     при  .
Говорят, что стремится к бесконечности.

Если , начиная с некоторого номера N, то
.
Если же , то
.

Если последовательность являются бесконечно большой, то, начиная с некоторого номера N, определена последовательность , которая является бесконечно малой. Если являются бесконечно малой последовательностью с отличными от нуля элементами, то последовательность является бесконечно большой.

Если последовательность бесконечно большая, а последовательность ограничена, то
.

Если абсолютные значения элементов последовательности ограничены снизу положительным числом ( ), а – бесконечно малая с неравными нулю элементами, то
.

Более подробно определение бесконечно большой последовательности с примерами приводится на странице
Определение бесконечно большой последовательности >>>.
Доказательства свойств бесконечно больших последовательностей приведены на странице
Свойства бесконечно больших последовательностей >>>.

Критерии сходимости последовательностей

Монотонные последовательности

Последовательность называется строго возрастающей, если для всех n выполняется неравенство:
.
Соответственно, для строго убывающей последовательности выполняется неравенство:
.
Для неубывающей:
.
Для невозрастающей:
.

Отсюда следует, что строго возрастающая последовательность также является неубывающей. Строго убывающая последовательность также является невозрастающей.

Последовательность называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.

Монотонная последовательность ограничена, по крайней мере, с одной стороны значением . Неубывающая последовательность ограничена снизу:   . Невозрастающая последовательность ограничена сверху:   .

Теорема Вейерштрасса. Для того чтобы неубывающая (невозрастающая) последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной сверху (снизу ). Здесь M – некоторое число.

Поскольку любая неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена снизу (сверху), то теорему Вейерштрасса можно перефразировать следующим образом:

Для того чтобы монотонная последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной: .

Монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный для неубывающей и для невозрастающей последовательности.

Доказательство теоремы Вейерштрасса приведено на странице
Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности >>>.

Критерий Коши сходимости последовательности

Условие Коши. Последовательность удовлетворяет условию Коши, если для любого существует такое натуральное число , что для всех натуральных чисел n и m, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство
.
Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, также называют фундаментальными последовательностями.

Критерий Коши сходимости последовательности. Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Доказательство критерия сходимости Коши приведено на странице
Критерий Коши сходимости последовательности >>>.

Подпоследовательности

Теорема Больцано – Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. А из любой неограниченной последовательности – бесконечно большую подпоследовательность, сходящуюся к или к .

Доказательство теоремы Больцано – Вейерштрасса приведено на странице
Теорема Больцано – Вейерштрасса >>>.

Определения, теоремы и свойства подпоследовательностей и частичных пределов рассмотрены на странице
Подпоследовательности и частичные пределы после­довательностей>>>.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
В.А. Зорич. Математический анализ. Часть 1. Москва, 1997.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Москва, 2005.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 09-07-2017

1cov-edu.ru

Предел числовой последовательности — Википедия

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, число a{\displaystyle a} называется пределом последовательности {xn}{\displaystyle \{x_{n}\}}, если для любого ε>0{\displaystyle \varepsilon >0} существует номер Nε{\displaystyle N_{\varepsilon }}, зависящий от ε{\displaystyle \varepsilon } такой, что для любого n>Nε{\displaystyle n>N_{\varepsilon }} выполняется неравенство  |xn−a|<ε{\displaystyle \ |x_{n}-a|<\varepsilon }.

В случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математическо

ru.wikipedia.org

Предел последовательности — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

n	n sin(1/n)
1	0.841471
2	0.958851
…
10	0.998334
…
100	0.999983

С ростом значения n значение функции n sin(1/n) приближается к 1. Говорят, что «предел последовательности n

 sin(1/n) равен 1».

У этого термина существуют и другие значения, см. Предел.

В математике пределом последовательности элементов метрического пространства или топологического пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать» элементы заданной последовательности. Пределом последовательности элементов топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. В метрическом пространстве окрестности определяются через функцию расстояния, поэтому понятие предела формулируется на языке расстояний. Исторически первым было понятие предела числовой последовательности, возникающее в математическом анализе, где оно служит основанием для системы приближений и широко используется при построении дифференциального и интегрального исчислений.

Обозначение: limn→∞xn=a{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}

(читается: предел последовательности икс энное при эн, стремящемся к бесконечности, равен a^[1][2])

Свойство последовательности иметь предел называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится; в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится. В хаусдорфовом пространстве и, в частности, метрическом пространстве

[3], каждая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, и её предел совпадает с пределом исходной последовательности. Другими словами, у последовательности элементов хаусдорфово пространства не может быть двух различных пределов. Может, однако, оказаться, что у последовательности нет предела, но существует подпоследовательность (д

ru.wikipedia.org

Предел последовательности | Математика | FANDOM powered by Wikia

В математике пределом последовательности

называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера. Предел — одно из основных понятий математического анализа. Понятие предела использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

Пусть дано топологическое пространство $ T $ и последовательность $ x_n $. Тогда, если существует элемент $ x \in T $ такой, что

$ \forall U(x) \exists N: \forall n (n > N \Rightarrow x_n \in U(x)) $,

где $ U(x) $ — открытое множество, содержащее $ x $, то он называется пределом последовательности $ x_n $. Если пространство является метрическим, то предел можно определить с помощью коробка

: если существует элемент $ x \in T $ такой, что

$ \forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall n (n > N \Rightarrow d(x_n, x) < \varepsilon) $,

где $ d(x,y) $ — метрика, то $ x $ называется пределом $ x_n $.

Не у всякой последовательности существует предел. Например, если взять в качестве пространства множество вещественных чисел со стандартной топологией, а в качестве $ x_n $ последовательность $ x_n = (-1)^n $, то у неё не будет предела. Если у последовательности существует предел, то она называется сходящейся, если нет — расходящейся. В общем случае пределов может быть несколько. Например, если пространство снабжено антидискретной топологией, то пределом любой последовательности будет любой элемент пространства. Однако при наложении некоторых условий на пространство можно достичь единственности предела в случае его существования. 

• Если пространство хаусдорфово (в частности, если оно метрическое), то у каждой последовательности существует не более одного предела. Предположим, что имеется как минимум два разных предела, $ x $ и $ y $. Возьмём их непересекающиеся окрестности: по определению предела, все элементы последовательности с достаточно большими номерами будут содержаться только в одной из них — значит, предположение о двух пределах неверно.
• Верно обратное: если пространство нехаусдорфово, то существуют последовательности с более чем одним пределом.

Случай вещественных чисел Править

Пределом последовательности вещественных чисел называется число $ A $, если выполнено следующее условие:

$ \forall\varepsilon>0\exists N:\forall n(n>N\Rightarrow|x_n-A|<\varepsilon) $,

то есть для любой окрестности точки $ A $ можно указать номер, начиная с которого все элементы последовательности будут лежать в этой окрестности. Также можно дать эквивалентное определение: число $ A $ называется пределом последовательности, если в любой его окрестности содержится бесконечное число элементов последовательности, а вне этой окрестности — лишь конечное число. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.

Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся к числу $ A $, если нет, то расходящейся. Тот факт, что число $ A $ является пределом последовательности $ \{x_n\} $, записывается следующим образом:

$ \lim_{n\to\infty}{x_{n}}=A $.

Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела.

Всё вышесказанное относилось к конечным пределам, но определение предела можно расширить и на бесконечные значения: $ +\infty $ и $ -\infty $. Для примера запишем определение предела, равного плюс бесконечности:

$ \forall M>0\exists N:\forall n(n>N\Rightarrow x_{n}>M) $.

Термин «сходящаяся последовательность» не распространяется на последовательности с бесконечными пределами.

Свойства Править

Имеют место следующие арифметические свойства пределов вещественных последовательностей:

1. $ \lim_{n\to\infty}{kx_{n}}=k\lim_{n\to\infty}{x_{n}} $, где $ k $ — константа;
2. $ \lim_{n\to\infty}{(x_{n}+y_{n})}=\lim_{n\to\infty}{x_{n}}+\lim_{n\to\infty}{y_{n}} $, если указанные пределы существуют;
3. $ \lim_{n\to\infty}{(x_{n}\cdot y_{n})}=\lim_{n\to\infty}{x_{n}}\cdot \lim_{n\to\infty}{y_{n}} $ при том же условии;
4. $ \lim_{n\to\infty}{\frac{x_{n}}{y_{n}}}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}{x_{n}}}{\lim\limits_{n\to\infty}{y_{n}}} $, если пределы существуют и $ \lim_{n\to\infty}{y_{n}}\neq0 $.

Свойства 1—3 очевидным образом выводятся из определения предела; докажем последнее свойство. Для начала нужно доказать, что $ 1/y_n $ сходится к $ 1/b $, где $ b $ — предел $ y_n $. Рассмотрим разность $ \left|\frac{1}{y_{n}}-\frac{1}{b}\right| $. При достаточно больших $ n $ она имеет смысл, так как $ y_n $ не равен нулю.

Проведём преобразования:

$ \left|\frac{1}{y_n}-\frac{1}{b}\right|=\left|\frac{1}{b}\right|\left|b-y_{n}\right|\left|\frac{1}{y_n}\right| $.    (1)

Последовательность $ 1/y_n $ ограничена, то есть меньше некоторого числа $ M $. Поскольку $ y_n $ сходится к $ b $, то существует $ N:\forall n\left(n>N\Rightarrow|y_n-b|<\frac{\varepsilon|b|}{M}\right) $. Подставим эти значения в выражение (1) и получим, что при таких $ n $ разность $ \left|\frac{1}{y_n}-\frac{1}{b}\right|<\varepsilon $, ч. т. д.

Верны также следующие теоремы:

• Если при достаточно больших $ n $ (или, как говорят, финально) выполняется неравенство $ x_n<y_n $, то, если обе последовательности имеют пределы $ a $ и $ b $, можно утверждать, что $ a\leqslant b $. Для доказательства сначала доказывается обратный факт (если $ a<b $, то последовательности финально разграничены, а если $ a=b $, то о неравенстве членов последовательностей ничего сказать нельзя). Действительно, у $ a $ и $ b $ можно взять непересекающиеся окрестности (такие, что каждая точка первой лежит левее каждой точки второй на числовой прямой), в которых финально должны будут лежать та и другая последовательности.
• Если финально $ x_n<y_n<z_n $ и пределы $ x_n $ и $ z_n $ равны $ A $, то предел $ y_n $ также существует и равен $ A $ (так называемая теорема о двух милиционерах). Докажем её: для любого $ \varepsilon $ при достаточно больших $ n $ верно следующее:

$ A-\varepsilon<x_n<y_n<z_n<A+\varepsilon $,

то есть $ y_n $ лежит в $ \varepsilon $-окрестности точки $ A $, а значит, $ A $ по определению является её пределом.

• Если две последовательности отличаются друг от друга лишь конечным числом членов и у одной из них есть предел, то предел есть и у другой и их пределы равны.
• У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.
• Имеет место теорема Штольца.

Примеры Править

• Предел последовательности, все члены которой равны числу $ x $, равен $ x $.
• Если у последовательности чисел $ x_n $ существует предел $ x $, и если задана функция $ f(x) $, определенная для каждого $ x_n $ и непрерывная в точке $ x $ то
      $ \lim_{n\to\infty}{f(x_{n})}=f(x) $
• Пределы последовательностей $ x_n = \frac{1}{n} $ и $ x_n = \frac{(-1)^n}{n} $ равны 0.
• Если у последовательности $ x_n $ существует предел, то последовательность средних арифметических $ \frac{x_1 + \dots + x_n}{n} $ имеет тот же предел (следствие из теоремы Штольца).
• Если у последовательности положительных чисел $ x_n $ существует предел $ x $, то

$ \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n} = \lim\limits_{n \to \infty} e^{\ln \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} e^{\frac{\ln x_1 + \dots + \ln x_n}{n}} = e^{\ln x} = x $.

• Если последовательность $ x_n $ положительна, а у последовательности $ \frac{x_{n+1}}{x_n} $ существует предел, то к тому же пределу сходится последовательность $ \sqrt[n]{x_n} $. Для доказательства нужно применить предыдущий пример к последовательности $ x_1, \frac{x_2}{x_1}, \frac{x_3}{x_2}, \dots $. В частности, $ \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 $.
• Предел последовательности $ x_n = n $ равен $ +\infty $.
• У последовательности $ 1, 2, 1, 2, \dots $ (единицы и двойки чередуются) нет предела.


ar:نهاية متتاليةhe:גבול של סדרהlt:Sekos riba pl:Granica ciągu

ru.math.wikia.com

Как вычислить пределы последовательностей? :: SYL.ru

Математика — наука, строящая мир. Как учёный, так и простой человек — никто не сможет обойтись без неё. Сначала маленьких детей учат считать, потом складывать, вычитать, умножать и делить, к средней школе в ход вступают буквенные обозначения, а в старшей без них уже не обойтись.



Но сегодня речь пойдёт о том, на чём строится вся известная математика. О сообществе чисел под названием «пределы последовательностей».

Что такое последовательности и где их предел?

Значение слова «последовательность» трактовать нетрудно. Это такое построение вещей, где кто-то или что-то расположены в определённом порядке или очереди. Например, очередь за билетами в зоопарк — это последовательность. Причём она может быть только одна! Если, к примеру, посмотреть на очередь в магазин — это одна последовательность. А если один человек из этой очереди вдруг уйдёт, то это уже другая очередь, другой порядок.

Слово «предел» также легко трактуется — это конец чего-либо. Однако в математике пределы последовательностей — это такие значения на числовой прямой, к которым стремится последовательность чисел. Почему стремится, а не заканчивается? Всё просто, у числовой прямой нет конца, а большинство последовательностей, как лучи, имеют только начало и выглядят следующим образом:

х₁, х₂, х₃, …х_n…

Отсюда определение последовательности — функция натурального аргумента. Более простыми словами — это ряд членов некоторого множества.

Как строится числовая последовательность?

Простейший пример числовой последовательности может выглядеть так: 1, 2, 3, 4, …n…

В большинстве случаев для практических целей последовательности строятся из цифр, причём каждый следующий член ряда, обозначим его Х, имеет своё имя. Например:

х₁ — первый член последовательности;

х₂ — второй член последовательности;

х₃ — третий член;

…

х_n — энный член.

В практических методах последовательность задаётся общей формулой, в которой есть некоторая переменная. Например:

Х_n=3n, тогда сам ряд чисел будет выглядеть так:

х₁ = 3;

х₂ = 6;

х₃ = 9;

и т. д.

Стоит не забывать, что при общей записи последовательностей можно использовать любые латинские буквы, а не только Х. Например: y, z, k и т. д.

Прежде чем искать пределы последовательностей, целесообразно поглубже окунуться в само понятие подобного числового ряда, с которым все сталкивались, будучи в средних классах. Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором разница между соседними членами постоянна.

Задача: «Пусть а₁=15, а шаг прогрессии числового ряда d=4. Постройте первые 4 члена этого ряда»

Решение: а₁= 15 (по условию) — первый член прогрессии (числового ряда).

а₂= 15+4=19 — второй член прогрессии.

а₃=19+4=23 — третий член.

а₄=23+4=27 — четвёртый член.

Однако подобным методом трудно добраться до крупных значений, например до а_125.. Специально для таких случаев была выведена удобная для практики формула: а_n=a₁+d(n–1). В данном случае а₁₂₅=15+4(125-1)=511.

Виды последовательностей

Большинство последовательностей бесконечны, это стоит запомнить на всю жизнь. Существует два интересных вида числового ряда. Первый задаётся формулой а_n=(-1)ⁿ . Математики часто называют эту последовательностей мигалкой. Почему? Проверим её числовой ряд.

-1, 1, -1 , 1, -1, 1 и т. д. На подобном примере становится ясно, что числа в последовательностях могут легко повторяться.

Факториальная последовательность. Легко догадаться — в формуле, задающей последовательность, присутствует факториал. Например: а_n = (n+1)!

Тогда последовательность будет выглядеть следующим образом:

а₁ = 1х2=2;

а₂ = 1х2х3 = 6;

а₃ = 1х2х3х4 =24 и т. д.

Последовательность, заданная арифметической прогрессией, называется бесконечно убывающей, если для всех её членов соблюдается неравенство -1<k<1. Например: а_n= (–1/2)ⁿ.

а₁ = – ½;

а₂ = ¼;

а₃ = – 1/8 и т. д.

Существует даже последовательность, состоящая из одного и того же числа. Так, а_n=6 состоит из бесконечного множества шестёрок.

Определение предела последовательности

Пределы последовательностей давно существуют в математике. Конечно, они заслужили свое собственное грамотное оформление. Итак, время узнать определение пределов последовательностей. Для начала рассмотрим подробно предел для линейной функции:



1. Все пределы обозначаются сокращённо lim.
2. Запись предела состоит из сокращения lim, какой-либо переменной, стремящейся к определённому числу, нулю или бесконечности, а также из самой функции.

Легко понять, что определение предела последовательности может быть сформулировано следующим образом: это некоторое число, к которому бесконечно приближаются все члены последовательности. Простой пример: а_x = 4x+1. Тогда сама последовательность будет выглядеть следующим образом.

5, 9, 13, 17, 21…x …

Таким образом, данная последовательность будет бесконечно увеличиваться, а, значит, её предел равен бесконечности при x→∞, и записывать это следует так:



Если же взять похожую последовательность, но х будет стремиться к 1, то получим:

a_x = 4x + 1.

А ряд чисел будет таким: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 и т. д. Каждый раз нужно подставлять число всё больше приближеннее к единице (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Из этого ряда видно, что предел функции — это пять.



Из этой части стоит запомнить, что такое предел числовой последовательности, определение и метод решения простых заданий.

Общее обозначение предела последовательностей

Разобрав предел числовой последовательности, определение его и примеры, можно приступить к более сложной теме. Абсолютно все пределы последовательностей можно сформулировать одной формулой, которую обычно разбирают в первом семестре.

Итак, что же обозначает этот набор букв, модулей и знаков неравенств?

∀ — квантор всеобщности, заменяющий фразы «для всех», «для всего» и т. п.

∃ — квантор существования, в данном случае обозначает, что существует некоторое значение N, принадлежащее множеству натуральных чисел.

Длинная вертикальная палочка, следующая за N, значит, что данное множество N «такое, что». На практике она может означать «такая, что», «такие, что» и т. п.

Далее идёт модуль. Очевидно, модуль — это расстояние, которое по определению не может быть отрицательным. Значит модуль разности строго меньше «эпсилона».

Для закрепления материала прочитайте формулу вслух.

Неопределённость и определённость предела

Метод нахождения предела последовательностей, который рассматривался выше, пусть и прост в применении, но не так рационален на практике. Попробуйте найти предел для вот такой функции:



Если подставлять различные значения «икс» (с каждым разом увеличивающиеся: 10, 100, 1000 и т. д.), то в числителе получим ∞, но в знаменателе тоже ∞. Получается довольно странная дробь:Но так ли это на самом деле? Вычислить предел числовой последовательности в данном случае кажется достаточно легко. Можно было бы оставить всё, как есть, ведь ответ готов, и получен он на разумных условиях, однако есть ещё один способ специально для таких случаев.

Для начала найдём старшую степень в числителе дроби — это 1, т. к. х можно представить как х¹ .

Теперь найдём старшую степень в знаменателе. Тоже 1.

Разделим и числитель, и знаменатель на переменную в высшей степени. В данном случае дробь делим на х¹.



Далее найдём, к какому значению стремится каждое слагаемое, содержащее переменную. В данном случае рассматриваются дроби. При х→∞ значение каждой из дробей стремится к нулю. При оформлении работы в писменном виде стоит сделать такие сноски:



Получается следующее выражение:



Конечно же, дроби, содержащие х, не стали нулями! Но их значение настолько мало, что вполне разрешено не учитывать его при расчётах. На самом же деле х никогда не будет равен 0 в данном случае, ведь на ноль делить нельзя.

Что такое окрестность?

Предположим, в распоряжении профессора сложная последовательность, заданная, очевидно, не менее сложной формулой. Профессор нашёл ответ, но подходит ли он? Ведь все люди ошибаются.

Огюст Коши в своё время придумал отличный способ для доказательства пределов последовательностей. Его способ назвали оперированием окрестностями.

Предположим, что существует некоторая точка а, её окрестность в обе стороны на числовой прямой равна ε («эпсилон»). Поскольку последняя переменная — расстояние, то её значение всегда положительно.

Теперь зададим некоторую последовательность х_n и положим, что десятый член последовательности (x₁₀)входит в окрестность а. Как записать этот факт на математическом языке?



Допустим, х₁₀ находится правее от точки а, тогда расстояние х₁₀–а<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х₁₀–а|<ε.

Теперь пора разъяснить на практике ту формулу, о которой говорилось выше. Некоторое число а справедливо называть конечной точкой последовательности, если для любого её предела выполняется неравенство ε>0, причём вся окрестность имеет свой натуральный номер N, такой, что всё члены последовательности с более значительными номерами окажутся внутри последовательности |x_n – a|< ε.

С такими знаниями легко осуществить решение пределов последовательности, доказать или опровергнуть готовый ответ.

Теоремы

Теоремы о пределах последовательностей — важная составляющая теории, без которой невозможна практика. Есть всего лишь четыре главных теоремы, запомнив которые, можно в разы облегчить ход решения или доказательства:

1. Единственность предела последовательности. Предел у любой последовательности может быть только один или не быть вовсе. Тот же пример с очередью, у которой может быть только один конец.
2. Если ряд чисел имеет предел, то последовательность этих чисел ограничена.
3. Предел суммы (разности, произведения) последовательностей равен сумме (разности, произведению) их пределов.
4. Предел частного от деления двух последовательностей равен частному пределов тогда и только тогда, когда знаменатель не обращается в ноль.

Доказательство последовательностей

Иногда требуется решить обратную задачу, доказать заданный предел числовой последовательности. Рассмотрим на примере.

Доказать, что предел последовательности, заданной формулой, равен нолю.

По рассмотренному выше правилу, для любой последовательности должно выполняться неравенство |x_n– a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:



Выразим n через «эпсилон», чтобы показать существование некоего номера и доказать наличие предела последовательности.



На этом этапе важно напомнить, что «эпсилон» и «эн» — числа положительные и не равны нулю. Теперь можно продолжать дальнейшие преобразования, используя знания о неравенствах, полученные в средней школе.

Откуда получается, что n > –3 + 1/ε. Поскольку стоит помнить, что речь идёт о натуральных числах, то результат можно округлить, занеся его в квадратные скобки. Таким образом, было доказано, что для любого значения окрестности «эпсилон» точки а=0 нашлось значение такое, что выполняется начальное неравенство. Отсюда можно смело утверждать, что число а есть предел заданной последовательности. Что и требовалось доказать.

Вот таким удобным методом можно доказать предел числовой последовательности, какой бы сложной она на первый взгляд ни была. Главное — не впадать в панику при виде задания.

А может, его нет?

Существование предела последовательности необязательно на практике. Легко можно встретить такие ряды чисел, которые действительно не имеют конца. К примеру, та же «мигалка» x_n= (–1)ⁿ . очевидно, что последовательность, состоящая всего лишь из двух цифр, циклически повторяющихся, не может иметь предела.

Та же история повторяется с последовательностями, состоящими из одного числа, дробными, имеющими в ходе вычислений неопределённость любого порядка ( 0/0, ∞/∞, ∞/0 и т. д.). Однако следует помнить, что неверное вычисление тоже имеет место быть. Иногда предел последоватей найти поможет перепроверка собственного решения.

Монотонная последовательность

Выше рассматривались несколько примеров последовательностей, методы их решения, а теперь попробуем взять более определённый случай и назовём его «монотонной последовательностью».

Определение: любую последовательность справедливо называть монотонно возрастающей, если для нее выполняется строгое неравенство x_n < x_n+1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x_n > x_n+1.



Наряду с этими двумя условиями существуют также подобные нестрогие неравенства. Соответственно, x_n ≤ x_n+1 (неубывающая последовательность) и x_n ≥ x_n+1 (невозрастающая последовательность).

Но легче понимать подобное на примерах.

Последовательность, заданная формулой х_n= 2+n, образует следующий ряд чисел: 4, 5, 6 и т. д. Это монотонно возрастающая последовательность.

А если взять x_n=1/n, то получим ряд: 1/3, ¼, 1/5 и т. д. Это монотонно убывающая последовательность.

Предел сходящейся и ограниченной последовательности

Ограниченная последовательность — последовательность, имеющая предел. Сходящаяся последовательность — ряд чисел, имеющий бесконечно малый предел.

Таким образом, предел ограниченной последовательности — это любое действительное или комплексное число. Помните, что предел может быть только один.

Предел сходящейся последовательности — это величина бесконечно малая (действительная или комплексная). Если начертить диаграмму последовательности, то в определённой точке она будет как бы сходиться, стремиться обратиться в определённую величину. Отсюда и название — сходящаяся последовательность.

Предел монотонной последовательности

Предел у такой последовательности может быть, а может и не быть. Сначала полезно понять, когда он есть, отсюда можно оттолкнуться при доказательстве отсутствия предела.

Среди монотонных последовательностей выделяют сходящуюся и расходящуюся. Сходящаяся — это такая последовательность, которая образована множеством х и имеет в данном множестве действительный или комплексный предел. Расходящаяся — последовательность, не имеющая предела в своём множестве (ни действительного, ни комплексного).

Причём последовательность сходится, если при геометрическом изображении её верхний и нижний пределы сходятся.

Предел сходящейся последовательности во многих случаях может быть равен нулю, так как любая бесконечно малая последовательность имеет известный предел (ноль).

Какую сходящуюся последовательность ни возьми, они все ограничены, однако далеко не все ограниченные последовательности сходятся.

Сумма, разность, произведение двух сходящихся последовательностей — также сходящаяся последовательность. Однако частное может быть также сходящейся, если оно определено!

Различные действия с пределами

Пределы последовательностей — это такая же существенная (в большинстве случаев) величина, как и цифры и числа: 1, 2, 15, 24, 362 и т. д. Получается, что с пределами можно проводить некоторые операции.

Во-первых, как и цифры и числа, пределы любых последовательностей можно складывать и вычитать. Исходя из третьей теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел суммы последовательностей равен сумме их пределов.

Во-вторых, исходя из четвёртой теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел произведения n-ого количества последовательностей равен произведению их пределов. То же справедливо и для деления: предел частного двух последовательностей равен частному их пределов, при условии что предел не равен нулю. Ведь если предел последовательностей будет равен нулю, то получится деление на ноль, что невозможно.

Свойства величин последовательностей

Казалось бы, предел числовой последовательности уже разобран довольно подробно, однако не раз упоминаются такие фразы, как «бесконечно маленькие» и «бесконечно большие» числа. Очевидно, если есть последовательность 1/х, где x→∞, то такая дробь бесконечно малая, а если та же последовательность, но предел стремится к нулю (х→0), то дробь становится бесконечно большой величиной. А у таких величин есть свои особенности. Свойства предела последовательности, имеющей какие угодно малые или большие величины, состоят в следующем:

1. Сумма любого количества сколько угодно малых величин будет также малой величиной.
2. Сумма любого количества больших величин будет бесконечно большой величиной.
3. Произведение сколь угодно малых величин бесконечно мало.
4. Произведение сколько угодно больших чисел — величина бесконечно большая.
5. Если исходная последовательность стремится к бесконечно большому числу, то величина, ей обратная, будет бесконечно малой и стремиться к нулю.

На самом деле вычислить предел последовательности — не такая сложная задача, если знать простой алгоритм. Но пределы последовательностей — тема, требующая максимума внимания и усидчивости. Конечно, достаточно просто уловить суть решения подобных выражений. Начиная с малого, со временем можно достигнуть больших вершин.

www.syl.ru

Предел последовательности, формулы и примеры

Доказательство

Предположим противное, что заданная последовательность имеет предел, который равен . Это означает, что для любого существует такой номер , что для всех номеров выполняется неравенство :     Поскольку имеют место следующие неравенства:     тогда взяв , будем иметь, что     Или, подставляя значения:     Рассмотрим модуль следующей разности: . С одной стороны имеем, что     а с другой стороны модуль разности меньше либо равен суммы модулей, то есть         Итак, имеем, что     То есть получили противоречие , которое означает, что предположение, что заданная последовательность имеет предел, который равен , неверно. Следовательно, последовательность не имеет предела. Что и требовалось доказать.

ru.solverbook.com

Определение предела последовательности и ее геометрический смысл. — ПриМат

Последовательность — это функция натурального аргумента.

Последовательности вида:

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

 или  

иногда используются фигурные скобки:

.

Пример: числовые последовательности:

1) ;

2) ;

3)

Определение. Число   называется пределом последовательности , если для каждого >0 существует такой номер  , что для всех   выполняется неравенство: 

Если   — предел последовательности, то пишут : .

С помощью логических символов это определение можно записать  в виде:

.

Последовательность, у которой существует предел, называют сходящейся. Последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом.

Из определения следует, что последовательность имеет предел, равный  , тогда и только тогда, когда последовательность  имеет предел, равный нулю, т. е.:

Пример: Пользуясь определением, найти предел последовательности , если:

.

Решение:

Докажем, что  . Так как  , то . Возьмем произвольное число  . Неравенство  будет выполняться, если . Выберем в качестве  какое-нибудь натуральное число, удовлетворяющее условию  , например, число  . Тогда для всех  будет выполняться неравенство  . По определению предела это означает, что  .

Согласно определению число  является пределом последовательности  , если при всех   выполняется неравенство   которое можно записать в виде:

Другими словами, для каждого   найдется номер  , начиная с которого все члены последовательности   принадлежат интервалу .

Этот интервал называют  -окрестностью точки и обозначают  .

.

Итак, число   — предел последовательности , если для каждой -окрестности точки  найдется номер, начиная с которого все члены последовательности принадлежат этой окрестности, так что вне этой окрестности либо нет ни одного члена последовательности, либо содержится лишь конечное число членов.

Литература:

1. Лысенко З.М. Конспект лекция по математическому анализу (тема: «Предел последовательности » )
2. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (с. 35-39)

Последовательность

Лимит времени: 0

Информация

Этот тест по теме: Предел последовательности.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

Таблица лучших: Последовательность

максимум из 10 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Поделиться ссылкой:

Похожее

ib.mazurok.com