Что такое определитель в матрице – Определитель — Википедия

Определитель — Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Определитель (значения).

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель квадратной матрицы A{\displaystyle A} размеров n×n{\displaystyle n\times n}, заданной над коммутативным кольцом R{\displaystyle R}, является элементом кольца R{\displaystyle R}, вычисляемым по формуле, приведённой ниже.

Он «определяет» свойства матрицы A{\displaystyle A}. В частности, матрица A{\displaystyle A} обратима тогда и только тогда, когда её определитель является обратимым элементом кольца R{\displaystyle R}.

В случае, когда R{\displaystyle R} — поле, определитель матрицы A{\displaystyle A} равен нулю тогда и только тогда, когда ранг матрицы A

ru.wikipedia.org

Определитель матрицы | Virtual Laboratory Wiki

Определи́тель (или детермина́нт^[1]

) — одна из важнейших характеристик квадратных матриц. Определитель матрицы размера $ n\times n $ равен ориентированному $ n $-мерному объёму параллелепипеда, натянутого на её векторы-строки (или столбцы).

Для матрицы $ n\times n $ определитель выражается в виде многочлена степени $ n $ от элементов матрицы, который представляет собой сумму произведений элементов матрицы со всевозможными комбинациями различающихся номеров строк и столбцов, причём в каждом из произведений элемент из любой строки и любого столбца ровно один. Каждому произведению приписывается знак плюс или минус в зависимости от чётности перестановки номеров.

Если элементами матрицы являются числа, то определитель — это тоже число. В общем случае определитель может быть функциональным, векторным и т. п., то есть, представлять собой иные выражения, составленные из элементов.

Определитель матрицы $ n\times n $ задаётся формулой:

$ \det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{i=1}^{n!} (-1)^{p(i)} \cdot a_{1k_{i1}}a_{2k_{i2}} \ldots a_{nk_{in}} $

где

• $ |A| $ и $ \det(A) $ — так обозначается определитель,
• $ k_{ij} $ − i-я перестановка последовательности $ k_1 = 1,..,n $, то есть, $ k_{1j} = j $
• $ p(i) $ − количество перестановок пар номеров в последовательности $ k_{1j} $, необходимое для того, чтобы она превратилась в последовательность $ k_{1j} $.

или формула для вычисления определителя по заданной строке матрицы:

$ \det(A) = |A| = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+i} a_{ik} M_{ik} $

где

ЗамечанияПравить

Можно выделить следующие особенности построения выражения для определителя матрицы n $ \times $ n:

• выражение есть сумма членов, каждый из которых состоит из n сомножителей
• количество слагаемых в сумме равно количеству перестановок n номеров, то есть, n!
• номера строк и столбцов элементов, входящих в одно слагаемое, не повторяются
• слагаемые входят в сумму либо с плюсом, либо с минусом, в зависимости от чётности перестановки
• слагаемое из элементов главной диагонали матрицы, то есть, $ a_{11}a_{22} \ldots a_{nn} $ входит с плюсом

Определитель матрицы 2 $ \times $ 2 Править

Для вычисления определителя матрицы размером 2 $ \times $ 2, перемножаются её элементы, стоящие на главной диагонали и из них вычитается произведение остальных элементов:

$ |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} — a_{12}a_{21} $

На рисунке элементы, входящие в сумму с плюсом, помечены красным, а с минусом — синим.

Определитель матрицы 3 $ \times $ 3 Править

Для вычисления определителя матрицы размером 3 $ \times $ 3, строится шесть произведений следующим образом:

$ |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} — a_{13}a_{22}a_{31} — a_{12}a_{21}a_{33} — a_{11}a_{23}a_{32} $

На рисунке элементы, входящие в сумму с плюсом, помечены красным, а с минусом — синим, каждой законченной фигуре из трёх точек соответствует один член суммы из трёх сомножителей.

Свойства определителей Править

• Определитель матрицы $ n\times n $ равен ориентированному $ n $-мерному объёму параллелепипеда, натянутого на её векторы-строки (или столбцы).
  • Отсюда видно, что если строки линейно зависимы (соответствующие векторы лежат в подпространстве меньшей размерности), то объём и определитель равны нулю.
• Если матрицу транспонировать (сделать строки столбцами), то определитель не изменится.

  $ \det(A^T) = \det(A) $

• $ \det(AB) = \det(A)\det(B) $.
  • Доказательство: Легко увидеть, что строки $ c_1,…,c_n $ матрицы AB получаются из строк $ a_1,…,a_n $ матрицы A умножением на B: $ c_i=a_i*B $ (i=1,..,n) => что при фиксированной матрице B det( AB) есть кососимметрическая полилинейная функция строк матрицы A. Пусть $ a_1=\dot{a_1}+\ddot{a_1} $, где $ \dot{a_1},\ddot{a_1} $ — какие-то строки => $ \det (a_1*B,a_2*B,…,a_n*B) $=$ \det ((\dot{a_1}+\ddot{a_1})*B,a_2*B,…,a_n*B) $=$ \det (\dot{a_1}*B+\ddot{a_1}*B,a_2*B,…,a_n*B) $=$ \det (\dot{a_1}*B,a_2*B,…,a_n*B)+\det (\ddot{a_1}*B,a_2*B,…,a_n*B) $ Так как det( AB) есть кососимметрическая полилинейная функция, то справедливо: $ \det(AB)=\det(EB)*\det(A)=\det(A)*\det(B) $.
• Определитель треугольной матрицы (в частности, конечно, и диагональной) равен произведению её диагональных элементов.
• Определитель косотреугольной матрицы равен произведению её элементов побочной диагонали со знаком $ (-1)^{n(n-1)/2}=(-1)^{[n/2]} $ ($ [x] $ — целая часть числа $ x $).

Следующие свойства определителей, касающиеся строк, справедливы также и для столбцов.

• Если строку (т.е. все ее элементы) умножить на некоторое число, то определитель умножится на то же самое число.
• Если у матрицы переставить две строки, то её определитель изменит знак на противоположный.
• Если две строки матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
• Если хотя бы одна строка нулевая, то определитель равен нулю.
• При добавлении к любой строке линейной комбинации других строк определитель не изменится.
• Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
• Сумма произведений всех элементов любой строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Специальные виды определителей Править

1. ↑ термин определитель предпочтилен.

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Определитель матрицы. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---

ru.vlab.wikia.com

Определитель матрицы

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

(1)

Умножим обе части первого уравнения на a₂₂ а второе на —a₁₂ и сложим. Получим следующее уравнение

Далее, первое уравнение умножим на —a₂₁ а второе на a₁₁ и сложим:

Пусть Тогда решение системы (1) примет следующий вид:

Выражение называется определителем матрицы

и обозначается:

Нетрудно заметить, что

Таким образом, решение системы линейных уравнений можно представить в виде:

Рассмотрим случай из трех неизвестных и трех уравнений. Пусть дана система линейных уравнений

(2)

Исключим неизвестные x₂ и x₃. Для этого умножим первое уравнение на a₂₂a₃₃—a₃₂a₂₃, второе на —(a₁₂a₃₃—a₁₃a₃₂), третье на a₁₂a₂₃—a₂₂a₁₃, и сложим:

Сделаем следующие обозначения:

Учитывая, что выражения перед элементами x₂ и x₃ равны нулю, имеем:

Выражение называется определителем матрицы

(3)

и обозначается:

(3a)

Элементы M_ij называются минорами элементов a_ij, и являются определителями матрицы (3), полученные вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Заметим, что выражение

является определителем матрицы

Если определитель (3a) неравен нулю, то x₁ вычисляется из следующего выражения:

Аналогично вычисляются x₂ и x₃, умножая уравнения системы (2) на соответствующие выражения и суммируя:

Распространяя вышеизложенное на системы линейных уравнений с n неизвестными и n уравнениями можно сформулировать понятие определителя для квадратной матрицы порядка n.

Пусть задана матрица

(4)

Определителем порядка n, соответствующим матрице (4), называется число равное

(5)

Сделаем следующее обозначение:

Тогда выражение (5) можно переписать в следующем виде:

(6)

A_ij называется алгебраическим дополнением элемента a_ij.

В вышеизложенном выражении определитель вычисляется суммируя произведения всех элементов первого столбца на соответствующие им алгебраические дополнения. Аналогично можно показать, что определитель равна сумме произведений всех элементов какой либо строки (или столбца) на соответствующие алгебраические дополнения:

(7)

Однако, для вычисления определителя матрицы большой размерности, такой подход требует больших усилий. Ниже мы представим более оптимальный метод вычисления определителя. Для этого сначала изложим некоторые важные свойства определителей.

Свойства определителей

1. Перестановка строк меняет знак определителя на обратное.
2. Общий для всех элементов множитель какой либо строки, можно выносить за знак определителя.
3. При сложении двух определителей, различающихся только одной строкой, соответствующие элементы этой строки складываются.
4. Прибавление одной строки к другой строке, умноженной на число, не изменяет значение определителя.
5. При замене местами строк и столбцов (при транспонировании) определитель не изменит своего значения.

Вычисление определителя матрицы с помощью исключения Гаусса

Для вычисления определителя приведем матрицу к верхнему треугольному виду с помощью исключения Гаусса. Тогда выражение (7) примет следующий вид:

(8)

где Z— общее количество перестановок. При каждой перестановке строк, изменяется знак определителя на обратное (свойство 1). Если общее число перестановок нечетное, то нужно поменять знак произведения элементов главной диагонали на обратное.

Онлайн нахождение определителя матрицы

Для нахождения определителя матрицы вы можете использовать матричный онлайн калькулятор. Для подробного решения используйте онлайн калькулятор для вычисления определителя матрицы.

matworld.ru

Определитель матрицы | umath.ru

Рассмотрим набор натуральных чисел от до : . Перестановкой этих чисел называется их запись в некотором порядке без повторений. Например, последовательность является перестановкой множества .

Обозначим перестановки этих чисел как . Из комбинаторики известно, что число всех таких различных перестановок равно .

Определение. Говорят, что числа и перестановки образуют инверсию (или беспорядок), если при верно неравенство . Число всех инверсий в перестановке обозначим .

Например, , так как перед числом стоит число , а перед числом стоят числа , большие единицы.

Пусть дана квадратная матрица

   

Определение. Определителем (или детерминантом) квадратной матрицы размера называется число

   

где сумма берётся по всевозможным перестановкам номеров столбцов матрицы .

Определитель матрицы принято обозначать следующим образом:

   

Свойства определителей

1. Определитель единичной матрицы равен единице:

      

2. При транспонировании матрицы её определитель не изменяется:

      

3. При перестановке двух столбцов или строк матрицы знак её определителя меняется на противоположный.
4. Определитель матрицы, содержащей два одинаковых столбца (строки), равен нулю.
5. При вычислении определителя матрицы из столбца (строки) можно выносить общий множитель.

      

6. При добавлении к некоторому столбцу (строке) матрицы линейной комбинации остальных столбцов определитель матрицы не изменяется.

   Линейной комбинацией столбцов называется сумма этих столбцов, умноженных на некоторые коэффициенты.

7. Определитель обратной матрицы (в случае, если она существует) равен

      

8. Определитель произведения матриц размера равен произведению их определителей:

      

umath.ru

Определители матриц — теория и примеры

Содержание

Определитель квадратной матрицы первого порядка
Определитель квадратной матрицы второго порядка
Схема вычисления определителя второго порядка
Примеры вычисления определителей второго порядка
Определитель квадратной матрицы третьего порядка
Правило треугольников нахождения определителя третьего порядка
Примеры вычисления определителей третьего порядка

Используя специальное правило каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, которое будем называть определителем (детерминантом) и обозначать или или

Определителем квадратной матрицы первого порядка называется число

Заметим, что здесь выражение означает определитель, хоть внешне очень похоже на запись модуля числа Таким образом, определитель матрицы первого порядка равен единственному элементу этой матрицы, например для матриц

и

определители

и

Определителем квадратной матрицы второго порядка

называется число

Таким образом, для того, что вычислить определитель матрицы 2-го порядка нужно умножить элементы главной диагонали матрицы и от полученного произведения вычесть произведение элементов побочной диагонали матрицы. Схема вычисления определителя второго порядка представлена на рис. 1.

Рис. 1

Рассмотрим примеры, где требуется вычислить определитель второго порядка. У матриц

 

определители

Определителем квадратной матрицы третьего порядка

называется число

Как видим, для того чтобы вычислить определитель матрицы третьего порядка необходимо использовать достаточно сложную для запоминания формулу, однако, заучивать ее вовсе не обязательно. Гораздо легче понять и запомнить схему вычисления определителя третьего порядка (рис. 2) (ее еще называют правилом треугольников). Используя эту схему решаются задачи на вычисление определителей матриц 3×3, и с ее помощью всегда можно восстановить формулу нахождения определителя 3-го порядка.

Рис. 2

Как видно из схемы (рис. 2), для того чтобы найти определитель третьего порядка необходимо вычислить 6 чисел, каждое из которых представляет собой произведение трех чисел. Для нахождения первого числа требуется найти произведение элементов главной диагонали, второе и третье числа представляют собой произведения элементов, находящихся в вершинах равнобедренных треугольников (см. рис. 2), чьи основания параллельны главной диагонали матрицы. Аналогично, четвертое число в схеме есть произведение элементов второй (побочной) диагонали матрицы, а пятое и шестое числа находятся как произведения элементов-вершин равнобедренных треугольников с основаниями параллельными второй диагонали матрицы. Затем следует сложить первые три числа и из этой суммы вычесть сумму чисел с номерами 4 — 6.

Рассмотрим пример вычисления определителя матрицы третьего порядка. Определитель

vmatematika.ru

Определитель матрицы — Циклопедия

Определитель матрицы — это число равное алгебраической сумме всевозможных произведений n элементов матрицы размерности nxn, не лежащих в одной строке и в одном столбце, причём произведения берутся со знаком, определяемым по числу инверсий (для чётного числа инверсий знак «+», для нечётного числа инверсий знак «-«).

Введём обозначения:

n – порядок матрицы;

nxn – размерность матрицы;

a_ij – элемент матрицы, лежащий на пересечении i-ой строки и j-ого столбца матрицы;

– матрица A;

– определитель матрицы.

Инверсией называется нарушение порядка (возрастания) в наборе индексов (чисел в перестановке).

Число инверсий – это число всех нарушений порядка (возрастания) в наборе индексов (чисел в перестановке).

– число инверсий перестановки или набора индексов.

[править] Примеры:

• Заметим, что определитель существует только для квадратных матриц.

[править] Определитель 1-ого порядка

• Заметим, что |a₁₁| — это не модуль числа, а определитель матрицы из одного элемента.

[править] Определитель 2-ого порядка

Отсюда следует формула вида:

[править] Определитель 3-его порядка

Отсюда следует формула вида:

[править] Другие операции:

cyclowiki.org

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ | Энциклопедия Кругосвет

Содержание статьи

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ, или детерминант, – в математике запись чисел в виде квадратной таблицы, в соответствие которой ставится другое число («значение» определителя). Очень часто под понятием «определитель» имеют в виду как значение определителя, так и форму его записи. Определители позволяют удобно записывать сложные выражения, возникающие, например, при решении линейных уравнений в аналитической геометрии и в математическом анализе. Открытие определителей приписывают японскому математику С.Кова (1683) и, независимо, Г.Лейбницу (1693). Современная теория восходит к работам Ж.Бине, О.Коши и К.Якоби в начале 19 в.

Простейший определитель состоит из 4 чисел, называемых элементами и расположенных в виде 2-х строк и 2-х столбцов. О таком определителе говорят, что он 2-го порядка. Например, таков определитель

значение которого равно 2ґ5 – 3ґ1 (т.е. 10 – 3 или 7). В общем случае определитель 2-го порядка принято записывать в виде

а его значение равно a₁b₂ – a₂b₁, где a и b – числа или функции.

Определитель 3-го порядка состоит из 9 элементов, расположенных в виде 3-х строк и 3-х столбцов. В общем случае определитель n-го порядка состоит из n² элементов, и обычно его записывают как

Первый индекс каждого элемента указывает номер строки, второй – номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент, поэтому a_ij – элемент i-й строки и j-го столбца. Часто такой определитель записывают в виде |a_ij|.

Один из методов вычисления определителя, почти всегда используемый при вычислении определителей высокого порядка, состоит в разложении по «минорам». Минором, соответствующим любому элементу определителя, называется определитель меньшего на 1 порядка, получаемый из исходного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Например, минором, соответствующим элементу a₂ из определителя

«Алгебраическим дополнением» элемента называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент, четна, и со знаком минус, если она нечетна. В приведенном выше примере элемент a₂ состоит в 1-м столбце и во 2-й строке; сумма (1 + 2) нечетна, и поэтому алгебраическое дополнение элемента a₂ равно его минору, взятому со знаком минус, т.е.

Значение определителя равно сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) на их алгебраические дополнения. Например, определитель

разложенный по первому столбцу, имеет вид

а его разложение по второй строке, имеет вид

Вычислив каждый минор и умножив его на коэффициент, нетрудно убедиться в том, что оба выражения совпадают.

Значение определителя.

Под значением определителя

принято понимать сумму всех произведений из n элементов, т.е.

В этой формуле суммирование ведется по всем перестановкам j₁, ј, j_n чисел 1, 2, ј, n и перед членом ставится знак плюс, если перестановка четна, и минус, если эта перестановка нечетна. Такая сумма насчитывает ровно n! членов, половина которых берется со знаком плюс, половина – со знаком минус. Каждый член суммы содержит по одному члену из каждого столбца и каждой строки определителя. Можно доказать, что эта сумма совпадает с выражением, получаемым при разложении определителя по минорам.

Свойства определителя.

Среди наиболее важных свойств определителя назовем следующие.

(i) Если все элементы любой строки (или любого столбца) равны нулю, то и значение определителя равно нулю:

(ii) Если элементы двух строк (или двух столбцов) равны или пропорциональны, то значение определителя равно нулю:

(iii) Значение определителя не изменится, если все его строки и столбцы поменять местами, т.е. записать первую строку в виде первого столбца, вторую строку – в виде второго столбца и т.д. (такая операция называется транспонированием). Например,

(iv) Значение определителя не изменится, если к элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на произвольный множитель. В следующем примере элементы второй строки умножаются на –2 и прибавляются к элементам первой строки:

(v) Если поменять местами две строки (или два столбца), то определитель изменит знак:

(vi) Если все элементы одной строки (или одного столбца) содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя:

Пример. Вычислим значение следующего определителя 4-го порядка:

Прибавим к 1-й строке 4-ю строку:

Вычтем 1-й столбец из 4-го столбца:

Умножим 3-й столбец на 3 и вычтем из 4-го столбца:

Если угодно, то строки и столбцы можно поменять местами:

Разложим определитель по элементам четвертой строки. Три элемента этой строки равны нулю, ненулевой элемент стоит в третьем столбце, а поскольку сумма (3 + 4) нечетна, его алгебраическое дополнение имеет знак минус. В результате получаем:

Минор можно разложить по элементам третьей строки: два ее элемента равны нулю, а отличный от нуля элемент стоит в третьем столбце; сумма (3 + 3) четна, поэтому предыдущее равенство можно продолжить:

Применения.

Решение системы уравнений

можно получить, если первое уравнение умножить на b₂, второе – на b₁, а затем вычесть одно уравнение из другого. Проделав эти операции, мы получим

или, если

то

Такая запись решения с помощью определителей допускает обобщение на случай решения системы n линейных уравнений с n неизвестными; каждый определитель будет n-го порядка. Определителем системы линейных уравнений

будет

Заметим, что если D = 0, то уравнения либо несовместны, либо не являются независимыми. Поэтому предварительное вычисление определителя D позволяет проверить, разрешима ли система линейных уравнений.

Определители в аналитической геометрии.

Общее уравнение конического сечения представимо в виде

Определитель

называется дискриминантом. Если D = 0, то кривая вырождается в пару параллельных или пересекающихся прямых либо в точку (см. также КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ).

Другой пример: площадь треугольника A с вершинами в точках (обход – против часовой стрелки) (x₁, y₁), (x₂, y₂) и (x₃, y₃) определяется выражением

Связь определителей с матрицами.

Матрицей называется запись массива чисел в виде прямоугольной таблицы. Определители связаны с квадратными матрицами; например, определитель матрицы

Если A, B и С – квадратные матрицы и , то |A|Ч|B| = |C|. См. также АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ.

Якобиан.

Если x = f (u, v), y = g (u, v) – преобразование координат, то определитель

называется якобианом или определителем Якоби этого преобразования. Если J № 0 в некоторой точке, то в ее окрестности уравнения преобразования можно однозначно разрешить относительно u и v, представив их как функции от x и y.

www.krugosvet.ru