Что такое множество состоящее из одного элемента – [Билет 1] Множества. Способы задания множеств. Характеристическое свойство множеств. Равные множества, подмножества. Универсальное множество. Конечные и бесконечные множества. Пустое множество. Основные числовые и геометрические множества.

Множество. Примеры множеств



Поиск Лекций




Множество – это фундаментальное понятие не только математики, но и всего окружающего мира. Возьмите прямо сейчас в руку любой предмет. Вот вам и множество, состоящее из одного элемента.

В широком смысле, множество – это совокупность объектов (элементов), которые понимаются как единое целое (по тем или иным признакам, критериям или обстоятельствам). Причём, это не только материальные объекты, но и буквы, цифры, теоремы, мысли, эмоции и т.д.

Обычно множества обозначаются большими латинскими буквами (как вариант, с подстрочными индексами: и т.п.), а его элементы записываются в фигурных скобках, например:

– множество букв русского алфавита;
– множество натуральных чисел;

ну что же, пришла пора немного познакомиться:
– множество студентов в 1-м ряду

… я рад видеть ваши серьёзные и сосредоточенные лица =)

Множества и являются конечными (состоящими из конечного числа элементов), а множество – это пример бесконечного множества. Кроме того, в теории и на практике рассматривается так называемое пустое множество:

– множество, в котором нет ни одного элемента.

Пример вам хорошо известен – множество на экзамене частенько бывает пусто =)

Принадлежность элемента множеству записывается значком , например:

– буква «бэ» принадлежит множеству букв русского алфавита;
– буква «бета» не принадлежит множеству букв русского алфавита;
– число 5 принадлежит множеству натуральных чисел;
– а вот число 5,5 – уже нет;
– Вольдемар не сидит в первом ряду (и тем более, не принадлежит множеству или =)).

В абстрактной и не очень алгебре элементы множества обозначают маленькими латинскими буквами и, соответственно, факт принадлежности оформляется в следующем стиле:

– элемент принадлежит множеству .

Вышеприведённые множества записаны прямым перечислением элементов, но это не единственный способ. Многие множества удобно определять с помощью некоторого признака (ов), который присущ всем его элементам. Например:

– множество всех натуральных чисел, меньших ста.

Запомните: длинная вертикальная палка выражает словесный оборот «которые», «таких, что». Довольно часто вместо неё используется двоеточие: – давайте прочитаем запись более формально: «множество элементов , принадлежащих множеству натуральных чисел, таких, что ». Молодцы!

Данное множество можно записать и прямым перечислением:

Ещё примеры:
– и если и студентов в 1-м ряду достаточно много, то такая запись намного удобнее, нежели их прямое перечисление.

– множество чисел, принадлежащих отрезку . Обратите внимание, что здесь подразумевается множество действительных чисел (о них позже), которые перечислить через запятую уже невозможно.



Следует отметить, что элементы множества не обязаны быть «однородными» или логически взаимосвязанными. Возьмите большой пакет и начните наобум складывать в него различные предметы. В этом нет никакой закономерности, но, тем не менее, речь идёт о множестве предметов. Образно говоря, множество – это и есть обособленный «пакет», в котором «волею судьбы» оказалась некоторая совокупность объектов.

Подмножества

Практически всё понятно из самого названия: множество является подмножеством множества , если каждый элемент множества принадлежит множеству . Иными словами, множество содержится во множестве :

Значок называют значком включения.

Вернёмся к примеру, в котором – это множество букв русского алфавита. Обозначим через – множество его гласных букв. Тогда:

Также можно выделить подмножество согласных букв и вообще – произвольное подмножество, состоящее из любого количества случайно (или неслучайно) взятых кириллических букв. В частности, любая буква кириллицы является подмножеством множества .

Отношения между подмножествами удобно изображать с помощью условной геометрической схемы, которая называется кругами Эйлера.

Пусть – множество студентов в 1-м ряду, – множество студентов группы, – множество студентов университета. Тогда отношение включений можно изобразить следующим образом:

Множество студентов другого ВУЗа следует изобразить кругом, который не пересекает внешний круг; множество студентов страны – кругом, который содержит в себе оба этих круга, и т.д.

Типичный пример включений мы наблюдаем при рассмотрении числовых множеств. Повторим школьный материал, который важно держать на заметке и при изучении высшей математики:




Числовые множества

Как известно, исторически первыми появились натуральные числа, предназначенные для подсчёта материальных объектов (людей, кур, овец, монет и т.д.). Это множество уже встретилось в статье, единственное, мы сейчас чуть-чуть модифицируем его обозначение. Дело в том, что числовые множества принято обозначать жирными, стилизованными или утолщёнными буквами. Мне удобнее использовать жирный шрифт:

Иногда к множеству натуральных чисел относят ноль.

Если к множеству присоединить те же числа с противоположным знаком и ноль, то получится множество целых чисел:

, рационализаторы и лентяи записывают его элементы со значками «плюс минус»:))

Совершенно понятно, что множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел:
– поскольку каждый элемент множества принадлежит множеству . Таким образом, любое натуральное число можно смело назвать и целым числом.

Название множества тоже «говорящее»: целые числа – это значит, никаких дробей.

И, коль скоро, целые, то сразу же вспомним важные признаки их делимости на 2, 3, 4, 5 и 10, которые будут требоваться в практических вычислениях чуть ли не каждый день:

Целое число делится на 2 без остатка, если оно заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8 (т.е. любой чётной цифрой). Например, числа:
400, -1502, -24, 66996, 818 – делятся на 2 без остатка.

И давайте тут же разберём «родственный» признак: целое число делится на 4, если число, составленное из двух его последних цифр (в порядке их следования) делится на 4.

400 – делится на 4 (т.к. 00 (ноль) делится на 4);
-1502 – не делится на 4 (т.к. 02 (двойка) не делится на 4);
-24, понятно, делится на 4;
66996 – делится на 4 (т.к. 96 делится на 4);
818 – не делится на 4 (т.к. 18 не делится на 4).

Самостоятельно проведите несложное обоснование данного факта.

С делимость на 3 чуть сложнее: целое число делится на 3 без остатка, если сумма входящих в него цифр делится на 3.

Проверим, делится ли на 3 число 27901. Для этого просуммируем его цифры:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 – не делится на 3
Вывод: 27901 не делится на 3.

Просуммируем цифры числа -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 – делится на 3
Вывод: число -825432 делится на 3

Целое число делится на 5, если оно заканчивается пятёркой либо нулём:
775, -2390 – делятся на 5

Целое число делится на 10, если оно заканчивается на ноль:
798400 – делится на 10 (и, очевидно, на 100). Ну и, наверное, все помнят – для того, чтобы разделить на 10, нужно просто убрать один ноль: 79840

Также существуют признаки делимости на 6, 8, 9, 11 и т.д., но практического толку от них практически никакого =)

Следует отметить, что перечисленные признаки (казалось бы, такие простые) строго доказываются в теории чисел. Этот раздел алгебры вообще достаточно интересен, однако его теоремы… прямо современная китайская казнь =) А Вольдемару за последней партой и того хватило…, но ничего страшного, скоро мы займёмся живительными физическими упражнениями =)

Следующим числовым множеством идёт множество рациональных чисел:
– то есть, любое рациональное число представимо в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем.

Очевидно, что множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел:

И в самом деле – ведь любое целое число можно представить в виде рациональной дроби , например: и т.д. Таким образом, целое число можно совершенно законно назвать и рациональным числом.

Характерным «опознавательным» признаком рационального числа является то обстоятельство, что при делении числителя на знаменатель получается либо
– целое число,

либо
конечная десятичная дробь,

либо
– бесконечная периодическая десятичная дробь (повтор может начаться не сразу).

Полюбуйтесь делением и постарайтесь выполнять это действие как можно реже! В организационной статье Высшая математика для чайников и на других уроках я неоднократно повторял, повторяю, и буду повторять эту мантру:








poisk-ru.ru

Множество и его элементы.

I.  Множество представляет собой совокупность некоторых предметов или чисел, составленных по каким-либо общим свойствам или законам (множество букв на странице, множество правильных дробей со знаменателем 5, множество звезд на небе и т.д.).

Для записи множества используют фигурные скобки: «{ »- множество открывается; «}» — множество закрывается. А само множество называют заглавными латинскими буквами: А, В, С и так далее.

Примеры.

1. Записать множество А, состоящее из всех гласных букв в слове «математика».

Решение.  А={а, е, и}.  Вы видите: несмотря на то,что в слове «математика» имеется три буквы «а» — в записи множества повторений не допускается,  и буква «а» записывается только один раз. Множество А состоит из трех элементов.

2. Записать множество всех правильных дробей со знаменателем 5.

Решение. Вспоминаем: правильной называют обыкновенную дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Обозначим через В искомое множество. Тогда:

 Множество В состоит из четырех элементов.

II. Множества состоят из элементов и бывают конечными или бесконечными. Множество, которое не содержит ни одного элемента, называют пустым множеством и обозначают Ø. 

III. Множество В называют подмножеством множества А, если все элементы множества В являются элементами множества А. 

3. Какое из двух данных множеств В и С является подмножеством множества К,

если В={-1; 3; 4}, C={0; 3; 4; 5), K={0; 2; 3; 4; 5; 6} ?

Решение. Все элементы множества С являются также элементами множества К, поэтому, множество С является подмножеством множества К. Записывают:

IV. Пересечением множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат и множеству А и множеству В.

4. Показать пересечение двух множеств М и F с помощью кругов Эйлера.

Решение. 

V. Объединением множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат хотя бы одному из данных множеств А и В.

5. Показать с помощью кругов Эйлера объединение  множеств Т и Р.

Решение.

 

 

www.mathematics-repetition.com

Множества,их элементы,поджмножества

Определение 1

В математике совокупности объектов, объединяющие ряд объектов называют множество. Данное понятие является первичным, значит, к более простым понятиям оно не сводится.

Термин множество употребляется тогда, когда речь идет о нечисловых множествах. Например, говорят о множестве диагоналей многоугольника, о множестве точек на координатной прямой, о множестве прямых, проходящих через точку.

Предметы или объекты, образующие данное множество, называются его элементами. Например, число $6$ будет являться элементом множества натуральных чисел, а число $0,9$ не будет являться элементом множества натуральных чисел.

Виды множеств

Множества могут быть конечными и бесконечными, пустыми.

Определение 2

Конечным называют множество, состоящее из конечного числа элементов, но при этом конечное множество может иметь любое количество элементов.

Среди конечных множеств выделяют множество, не имеющее ни одного элемента. Такое множество называется пустым множеством.

Определение 3

Множество, не являющееся конечным, называют бесконечным множеством.

Подмножества

Если некоторое множество не является пустым, то из него можно выделить другие множества, которые будут являться его частями.

Например, из множества натуральных чисел можно выделить множество четных.

В математике часть множества называют — подмножество. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества.

Обозначение множеств, подмножеств и их элементов

Чаще всего множества обозначаются латинскими буквами- $A, B, C , D, X, Y, Z, W$ и Т.Д.

Элементы множеств обозначаются строчными буквами $a,b,c,d,x,y,z$ и Т.Д.

Записать принадлежность некоторого элемента к некоторому множеству, например то, что некоторой элемент $a$ будет входить в множество $A$ математически можно так: $a\in A$.Прочитать данную запись можно так: a принадлежит множеству $A$.

Если же некоторый элемент, например, $b$ не принадлежит множеству $B$, то это записывается так: $b\notin B$.Читают эту запись так: $b$ не принадлежит множеству $B$

Например, если обозначить множество целых чисел за $A$, что тогда можно записать: $3\in A$, $7,5\notin B$

Пустое множество в математике обозначают так: $ᴓ$

Для обозначения того, что множество $B$ является подмножеством множества $A$, используют обозначение: Знак $\subset $ обозначает включение одного множества в другое множество.

Пример 1

Определить какие элементы из перечисленных $12,38,54,79,934$ будут входить в множество $A$- чисел кратных $3$.

Решение: По условию множество $A$ содержит в себе элементы, каждый из которых должен быть кратным, т.е. делится без остатка на $3.$ Значит для того чтобы определить будут ли заданные числа являться элементами множества $A$ нам надо проверить какие из них будут делится на $3$ без остатка, какие нет.

Вспомним признак делимости на $3$: Если сумма цифр, входящих в состав числа делится на $3$, то число делится на $3$ без остатка.

$12$ делится на $3$, т.к. сумма цифр числа $12$ равна $3$

число $38$ на $3$ без остатка делится не будет, т.к. сумма цифр $3+8=11$ не делится на $3$ без остатка

аналогично т.к. суммы цифр числа $54$ равна $9$ доказываем, что на $3$ оно делится, в число $74$ на $3$ делится не будет, т.к. сумма цифр равна $11.$

Найдем сумму цифр числа $934: 9+3+4=16$, число $16$ не кратно $3$ ,значит и число $934$ на $3$ без остатка делится не будет

Теперь сделаем вывод, какие числа будут являться элементами множества $A$:

\[38\notin А, 74\notin А,934\notin А ; 12\in A,\ {\rm :\ }54\in A.\]

Способы задания множеств

Существует два глобально различных способа задания множеств.

Первый заключается в том, что множество задается указанием всех его элементов. В таком случае говорят, что множество задано перечислением всех своих элементов или списком своих элементов. Перечислением элементов можно задать только конечные множества и при небольшом количестве элементов, входящих в него

Конечные множества с небольшим количеством элементов обычно записывают в фигурных скобках $\left\{a,b,c\right\}$

При таком способе задания множеств говорят, что множество задано перечислением его элементов.

Второй способ задания множеств применим как для конечных. так и для бесконечных множеств. Он заключается в том, что указывается свойство, которым обладает каждый элемент данного множества — множество задают описанием, т.е. указав его характеристическое свойство, т. е свойство, которым обладают все элементы этого множества и не обладают никакие другие объекты.

Пример 2

Например, с помощью описания можно задать такие множество натуральных чисел от $1$ до $9$ включительно. Характеристическим свойством, т. е. свойством, которым обладают все элементы этого множества для данных элементов будет являться то, что все они являются натуральными числами и каждое из них не меньше $1$ и не больше $9$. Перечислением указанное множество можно задать следующим образом:

$A=\left\{1\ ,2\ ,3,4,5,6,7,8,9\right\}$

Равенство множеств

Множества равны в том случае, если равны их элементы. При этом если множества состоят из одних и тех же элементов, но записанных в разном порядке то эти множества различны, хотя и равны.

Пример 3

Например, рассмотрим множества

$A=\left\{1\ ,2\ ,3,4,5,6,7,8,9\right\}$

$B=\left\{9,8,7,6,5,4,3,2,1\right\}$

Эти множества будут, состоят из равных элементов, значит, они будут равны, но при этом элементы расположены в разном порядке, т.е. множества различны

Пересечение множеств

Если даны два множества, то можно образовать новое множество, составленное из общих элементов этих множеств.

Пример 4

Например, рассмотрим два множества:

$A=\left\{1\ ,2,3,4,5\right\}$

$B=\left\{9,7,5,3,\right\}$

Общей частью этих множеств будет множество $C=\left\{3,5,\right\}$

Математически это можно обозначить так: $А\cap B=\left\{3,5\right\}$

Пересечением множеств $A$ и $B$ называется новое множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно и в множество $A$ и в множество $B$.

Объединение множеств

Из двух множеств $A$ и $B$ можно образовать новое множество, объединяя все элементы множества $A$ и все элементы множества $B$

Математически это можно обозначить так:$\ А\ \cup B$

Объединением множеств $A$ и $B$ называется новое множество$\ А\ \cup B$, состоящее из тех и только из тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств $A$ или $B$.

Разность множеств

Разностью двух множеств $A$ и $B$ называют такое множество, в которое входят все элементы из множества $A$, не принадлежащие множеству $B$.

spravochnick.ru

множества

§ 1. Понятие
множества. Элемент множества. Пустое
множество

Множество
– основное понятие математики и поэтому
не определяется через другие.

Обычно
под множеством понимают совокупность
предметов, объединенных по общему
признаку. Так, можно говорить о множестве
студентов в группе, множестве букв
русского алфавита и т.д. В повседневной
жизни вместо слова «множество»
употребляют слова «набор», «коллекция»,
«группа» и т.д. Множества принято
обозначать прописными буквами латинского
алфавита: А,
В,
С,
…, Z.

Для
числовых множеств в математике приняты
специальные обозначения:

N
– множество
натуральных чисел;

N0
множество
целых неотрицательных чисел;

Z
– множество
целых чисел;

Q
– множество рациональных чисел;

R
– множество действительных чисел.

Объекты,
из которых образовано множество, называют
его элементами.
Например, сентябрь является элементом
множества месяцев в году, число 5 –
элемент множества натуральных чисел.
Элементы множества принято обозначать
строчными буквами латинского алфавита.
Элементами множества могут быть
множества. Так можно говорить о множестве
групп института. Элементы этого множества
– группы, являющиеся в свою очередь
множествами студентов.

Связь
между множеством и его элементом выражают
при помощи слова «принадлежит».
Высказывание «Элемент а
принадлежит множеству А»
записывают так: а

А,
причем эта запись может быть прочитана
иначе: «а
– элемент множества А»,
«множество А
содержит элемент а».
Высказывание «Элемент а
не принадлежит множеству А»
записывают так: а

А
(иначе: «а
не является элементом множества А»,
«множество А
не содержит элемент а»).

Если
в обыденной речи слово «множество»
связывают с большим числом предметов,
то в математике этого не требуется.
Множество может содержать один элемент,
не содержать ни одного элемента.

Множество,
не содержащее ни одного элемента,
называют пустым
и обозначают символом .
Существует лишь одно пустое множество.
Примерами пустого множества могут
служить множество людей на Солнце,
множество натуральных корней уравнения
х +
8 = 0.

Множества
могут быть конечными и бесконечными.

Множество
называется конечным, если существует
натуральное число п,
такое, что все элементы множества можно
перенумеровать числами от 1 до п.
в противном случае множество называют
бесконечным. Примером конечного множества
является множество цифр, бесконечного
– множество натуральных чисел.

§ 2. Способы
задания множеств

Множество
считают заданным,
если о любом объекте можно сказать,
принадлежит он этому множеству или не
принадлежит.

Множество
можно задать, перечислив
все его элементы.
Запись С
= {а, б, в, г} обозначает, что множество С
содержит элементы а, б, в, г.

Каждый
элемент входит в множество только один
раз. Например, множество различных букв
в слове «математика» запишется так: {м,
а, т, е, и, к}.

Данный
способ применим для конечных множеств,
которые содержат небольшое число
элементов.

Иногда,
используя данный способ, можно задать
и бесконечное множество. Например,
множество натуральных чисел может быть
представлено в виде: N
= {1, 2, 3, 4,
…}. Такой способ записи возможен лишь
тогда, когда из записанной части множества
видно, что скрывается под многоточием.

Другой
способ задания множеств состоит в
следующем: указывают
характеристическое свойство
его элементов. Характеристическое
свойство – это такое свойство, которым
обладает каждый элемент, принадлежащий
множеству, и не обладает ни один элемент,
который ему не принадлежит.

Случается,
что одно и то же множество можно задать,
указав различные характеристические
свойства его элементов. Например,
множество двузначных чисел, делящихся
на 11 и множество натуральных чисел
первой сотни, записанных двумя одинаковыми
цифрами, содержат одни и те же элементы.

При
данном способе задания множество может
быть записано так: в фигурных скобках
пишут сначала обозначение элемента,
затем проводят вертикальную черту,
после которой записывают свойство,
которым обладают элементы данного
множества. Например, множество А
натуральных
чисел, меньших 5, запишется так: А
= {ххN,
х
< 5}.

§ 3. Отношения
между множествами. Графическая иллюстрация
множеств

Определение.
Если множества А
и В
имеют общие элементы, т.е. элементы,
принадлежащие одновременно множествам
А
и В,
то говорят, что эти множества пересекаются.

Например,
множества А
= {1, 2, 3, 4} и В
= {0, 3, 5} пересекаются, т.к. имеют общий
элемент
3.

На
диаграмме пересекающиеся множества
изображают следующим образом:

А
В

Определение.
Множества А
и В не
пересекаются,
если не имеют общих элементов.

Множества
А
= {1, 2, 3, 4} и В
= {0, 8, 5} не пересекаются.

Если
множества не пересекаются, то их
изображают следующим образом:

А
В

Определение.
Множества А
и В
называются равными,
если они состоят из одних и тех же
элементов. Обозначают: А
= В.

Например,
множества А
= {1, 2, 3} и В
= {2, 3, 1} равны, т.к. состоят из одинаковых
элементов. Таким образом, множество не
изменится, если переставить его элементы.
С понятием равных множеств связано
следующее положение: одно и то же
множество может быть задано с помощью
различных характеристических свойств.

Определение.
Множество В
называется подмножеством
множества А,
если каждый элемент множества В
принадлежит
множеству А
(обозначают В

А).

Согласно
данному определению, каждое множество
является подмножеством самого себя.
Кроме этого считают, что пустое множество
есть подмножество любого множества.
Само множество и пустое множество
называют несобственными
подмножествами; все остальные подмножества
множества А,
если они существуют, – собственные
подмножества.

Например,
множество А
= {1, 2, 3} имеет шесть собственных подмножеств
А1
= {1}, А2
= {2}, А3
= {3}, А4
= {1, 2}, А5
= {1, 3}, А6
= {2, 3} и два несобственных подмножества
А7
= {1, 2, 3} и А8
= .

Доказано,
что если множество состоит из п
элементов, то у него 2п
различных подмножеств.

Если
В
А и
А
В
, то А
=
В
. Отсюда
вытекает один из способов доказательства
равенства множеств: если доказано, что
любой элемент из множества А
является элементом множества В
и, в свою
очередь, любой элемент из множества В
является
элементом множества
А,
то делают вывод, что А
=
В
.

Часто
случается, что все множества, рассматриваемые
в задаче, являются подмножествами одного
и того же множества. Такое множество
называют универсальным (обозначают I).

Условимся
изображать универсальное множество
прямоугольником, а его подмножества –
кругами в этом прямоугольнике.

Описанный
способ изображения множеств носит
названия кругов Эйлера или диаграмм
Венна. Мы будем подобные изображения
называть диаграммами Эйлера-Венна.

§ 4. Операции
над множествами

Из
элементов двух и более множеств можно
образовывать новые множества.

1.
Пересечение множеств.

Определение.
Пересечением
множеств А
и В
называется множество, содержащее те и
только те элементы, которые принадлежат
множествам А
и В
одновременно (обозначают А

В).

Данное
определение можно записать в таком
виде:

А

В
= {хх

А

х
В}.

На
диаграмме пересечение множеств А
и В изображено
заштрихованной областью.

А
В

Если
множества А
и В не
имеют общих элементов, то говорят, что
множества не пересекаются, и пишут А

В
= .

Если
элементы множеств А
и В перечислены,
то чтобы найти их пересечение, достаточно
перечислить элементы, которые одновременно
принадлежат множеству А
и множеству В,
т.е. их общие элементы.

Пусть
А =
{1, 2, 3, 4, 5}, В
= {4, 5, 6, 7}, тогда А

В
= {4, 5}.

Если
множества А
и В заданы
указанием их характеристических свойств,
то в их пересечение войдут только те
элементы, которые обладают одним и
другим свойством одновременно.

Например,
если множество А
– множество однозначных чисел, В
– множество натуральных чисел, делящихся
на 5, то множеству А

В принадлежат
натуральные числа, делящиеся на 5.

2.
Объединение множеств.

Определение.
Объединением
множеств А
и В
называется множество, содержащее те и
только те элементы, которые принадлежат
хотя бы одному из данных множеств
(обозначают А

В).

Данное
определение можно записать в таком
виде:

А

В
= {хх

А

х
В}.

На
диаграмме пересечение множеств А
и В изображено
заштрихованной областью.

А
В

Пусть
А =
{1, 2, 3, 4, 5}, В
= {4, 5, 6, 7}, тогда А

В
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Рассмотрим
случай, когда множества заданы указанием
характеристического свойства. Пусть А
– множество чисел, кратных 2; В
– множество чисел, кратных 3. Тогда
объединению этих множеств будут
принадлежать числа, кратные 2 или 3.

Понятие
пересечения и объединения множеств
можно обобщить на любое конечное число
множеств.

3.
Разность множеств.

Определение.
Разностью
множеств А
и В
называется множество, содержащее те и
только те элементы, которые принадлежат
множеству А
и не принадлежат множеству В
(обозначают
А
\ В).

Данное
определение можно записать так:

А
\ В
= {хх

А

х
В}.

На
диаграмме пересечение множеств А
и В изображено
заштрихованной областью.

А
В

Если
А =
{1, 2, 3, 4, 5}, В
= {4, 5, 6, 7}, тогда А
\ В
= {1, 2, 3}.

Часто
приходится выполнять вычитание множеств
в случае, когда одно из множеств является
подмножеством другого. Если В

А,
то разность А
\ В называют
дополнением множества В
до множества
А
(обозначают
).

Множество
на
рисунке показано штриховкой.

А

В

Определение.
Дополнением
множества А
до универсального называется множество,
состоящее из тех и только тех элементов,
которые принадлежат универсальному,
но не принадлежат множеству А
(обозначают
).

Например,
если I
– множество цифр, а множество А
= {1, 2, 3, 4, 5},
то
=
{6, 7, 8, 9, 0}.

Если
множества заданы указанием
характеристического свойства и В

А,
то множество

с помощью характеристического свойства,
общий вид которого «х

А

х
В».
Так, если А
множество натуральных чисел, кратных
3, а В
– множество натуральных чисел, кратных
9, то

– это множество, содержащее натуральные
числа, кратные 3, но не кратные 9.

Мы
рассмотрели различные операции над
множествами. Часто для доказательства
равенства множеств бывает необходимо
знать, в каком случае элемент принадлежит
тому или иному множеству. Для удобства
составим таблицу.

х
Î
А
Ç
В

х
Î
А
Ù
х
Î
В

х

А
Ç
В

х

А

х

В

х
Î
А

В

х
Î
А

х
Î
В

х

А

В

х

А
Ù
х

В

х
Î
А
\ В

х
Î
А
Ù
х

В

х

А
\ В

х

А

х
Î
В

х
Î

х

А

х


х
ÎА

Выясним,
каков порядок
выполнения действий
над множествами.

Пересечение
множеств – более «сильная» операция,
чем объединение, поэтому в выражении
А

В
С
вначале нужно найти пересечение множеств
В и
С
, а затем
найти объединение множества А
с полученным множеством.

Условились
считать, что пересечение – более
«сильная» операция, чем вычитание,
поэтому в выражении А
\ В
С сначала
находят пересечение множеств В
и С,
а затем полученное множество вычитают
из множества А.

Объединение
и вычитание множеств считают равноправными,
поэтому их выполняют в том порядке, в
каком они записаны в выражении.

studfiles.net

Элементы теории множеств. Множества и операции над ними

Понятие множества является одним из основных математических понятий. Это неопределяемое понятие, его можно только описать или пояснить на примерах. Так, можно говорить о множестве букв в латинском алфавите, множество всех книг в данной библиотеке, множестве студентов в данной группе, множестве всех точек данной линии. Чтобы задать множество, достаточно перечислить элементы или указать характеристические свойства элементов, т.е. такое свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они.

Определение 1.1.Предметы (объекты), составляющие некоторое множество, называются его элементами.

Множество принято обозначать прописными латинскими буквами, а элементы множества – строчными буквами. То, что x является элементом множества A, записывается так: x A (x принадлежит A). Запись вида x A (x A) означает, что x не принадлежит A, т.е. не является элементом множества A.

Элементы множества принято записывать в фигурных скобках. Например, если A – множество, состоящее из первых трех букв латинского алфавита, то его записывают так: A={a,b,c}.

Множество может содержать бесконечно много элементов (множество точек прямой, множество натуральных чисел), конечное число элементов (множество школьников в классе), либо вообще не содержать ни одного элемента (множество студентов пустой аудитории).

Определение 1.2.Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством, обозначается Ø.

Определение 1.3.Множество A называется подмноже-ством множества B, если каждый элемент множества A принадлежит и множеству B. Это обозначается A B (A – подмножество B).

Пустое множество считают подмножеством любого множества. Если множество A не является подмножеством множества B, то пишут A B.

Определение 1.4.Два множества A и B называют равными, если являются подмножествами друг друга. Обозначают A = B. Это означает, что если x A, то x B и наоборот, т.е. если и , то .

Определение 1.5.Пересечение множеств A и B называют множество M, элементы которого являются одновременно элементами обоих множеств A и B. Обозначают M= A B. Т.е. x A B, то x A и x B.

Записывают A B={ x | x A и x B }. (Вместо союза и – ставятся знаки , &).

Определение 1.6.Если A B= Ø, то говорят, что множества A и B не пересекаются.

Аналогично можно определить пересечение 3-х, 4-х и любого конечного числа множеств.

Определение 1.7.Объединением множеств A и B называют множество M, элементы которого принадлежат хотя бы одному из данных множеств.Обозначают M=A B. Т.о. A B={ x | x A или x B }. (Вместо союза или – ставится знак ).

Аналогично определяется и множество A1 A2An. Оно состоит из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A1, A2,…, An(а может быть, и нескольким сразу).

Пример 1.8. 1) если A={1;2;3;4;5} и B={1;3;5;7;9}, то A B={1;3;5} и A B={1;2;3;4;5;7;9}.

2) если A={2;4} и B={3;7}, то A B= Ø и A B={2;3;4;7}.

3) если A={летние месяцы} и B={месяцы, в которых 30 дней}, то A B={июнь} и A B={апрель; июнь; июль; август; сентябрь; ноябрь}.

Определение 1.9.Натуральными называются числа 1,2,3,4,…, используемые для счета предметов.

Множество натуральных чисел обозначается N, N={1;2;3;4;…;n;…}. Оно является бесконечным, имеет наименьший элемент 1 и не имеет наибольшего элемента.

Пример 1.10. A – множество натуральных делителей числа 40. Перечислить элементы этого множества. Верно ли, что 5 A, 10 A, -8 A, 4 A, 0 A, 0 A.

A = {1,2,4,5,8,10,20,40}. (В,В,Н,Н,Н,В)

Пример 1.11.Перечислите элементы множеств, заданных характеристическими свойствами:

а) А={x | (x-1)(2x-1)(3+x)=0}, получаем A = {1; ;-3}

б) B={x | -1,1< x < 5 x N}, имеем B = {1;2;3;4}.

Пример 1.12.Дано множество чисел K = {21;54;153;171;234}. Составить подмножество чисел из K, которые а) делятся на 7; б) делятся на 9; в) не делятся на 5; г) делятся на 4.

а) A = {21}, б) B = {54;153;171;234}, в) C = K, г) D= Ø

Пример 1.13.Множество C состоит из 11 элементов, множество D – из 8. Сколько элементов содержит C D , если C D содержит 15 элементов?

Поскольку A+B –A B=A B, тогда 11+8–15=4

 

Определение 1.14.Разность множеств A и B называется множество M, элементы которого принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B.

Обозначают M=A \ B.

Таким образом, A \ B={x | x A и x B}.

Пример 1.15. Если A = {1;2;3;4;5} и B = {1;5}, то A\B={2;3;4}.

 

 

Похожие статьи:

poznayka.org

Понятие множества и элемента множества




Множество – одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех ее разделах.

Во многих вопросах приходится рассматривать некоторую совокупность элементов как единое целое. Так, биолог, изучая животный мир и растительный мир данной области, классифицирует все особи по видам, виды по родам. Каждый вид является некоторой совокупность живых существ, рассматриваемой как единое целое.

Для математического описания таких совокупностей и было введено понятие множества. По словам одного из создателей теории множеств – немецкого математика Георга Кантора (1845–1918), «множество есть многое, мыслимое нами как целое». Разумеется, эти слова не могут рассматриваться как математически строгое определение множества, такового определения не существует, поскольку понятие множества является исходным, на основе которого строятся остальные понятия математики. Но из этих слов ясно, что можно говорить о множестве чисел от 1 до 10, натуральных числах, множестве треугольников и квадратов на плоскости.

Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Его можно пояснить на примерах. Так, можно говорить о множестве учащихся некоторого класса, о множестве гласных букв русского алфавита, о множестве натуральных чисел.

Математический смысл слова «множество» отличается от того, как оно используется в обычной речи, где его связывают с большим количеством предметов. В математике этого не требуется. Здесь рассматривают множество, состоящее из одного объекта, и множество, не содержащее ни одного объекта.

В основном множества обозначают буквами латинского алфавита: A, B, C, …, Z, L.

Определение. Множество, не содержащее ни одного объекта, называют пустым и обозначают знакомÆ.

Определение. Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами.

Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z.

В математике и других науках нередко приходится выяснять, принадлежит какой-либо объект рассматриваемому множеству или не принадлежит. Например, мы говорим, что число 5 натуральное. Другими словами, число 5 принадлежит множеству натуральных чисел. Или, например, число 0,45 не является натуральным числом. Это означает, что число 0,45 не принадлежит множеству натуральных чисел.



Предложение вида “ Объект а принадлежит множеству А” можно записать, используя символы: аÎА. Прочитать его можно по-разному:

Объект а принадлежит множеству А.

Объект а – элемент множества А.

Множество А содержит элемент а.

Предложение “ Объект а не принадлежит множеству А” можно записать так: а Ï А. Его читают:

Объект а не принадлежит множеству А.

Объект а не является элементом множества А.

Множество А не содержит элемента а.

Пример

Пусть А – множество однозначных чисел. Тогда предложение “7ÎА” можно прочитать: “Число 7 однозначное”, а запись “ 14Ï А” означает: “Число 14 не является однозначным”.

Множества бывают конечными и бесконечными. Так, множество дней недели конечно, а множество точек прямой бесконечно. Бесконечными множествами являются и такие множества, как множество натуральных чисел (N), множество целых чисел (Z), множество рациональных чисел (Q), множество действительных чисел (R).

2.Способы задания множества

Множество можно задать,перечислив все его элементы.

Например, множество А состоит из чисел 3, 4, 5 и 6. Поскольку все его элементы окажутся перечисленными, то это множество задано. При этом возможна запись А = {3, 4, 5, 6}, в которой перечисленные элементы заключаются в фигурные скобки.

Однако если множество бесконечно, то его элементы перечислить нельзя. Трудно, таким образом, и задать конечное множество с большим числом элементов. В таких случаях применяют другой способ задания множеств: указывают характеристическое свойство его элементов.

Определение. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

Пример

Множество А – двузначных чисел. Свойство, которым обладает любой элемент данного множества, — “быть двузначным числом”. Это характеристическое свойство дает возможность решить вопрос о том, принадлежит ли какой-либо объект множеству А или не принадлежит. Так, число 21 содержится в множестве А, поскольку оно двузначное, а число 145 множеству А не принадлежит – оно не является двузначным.




Иногда одно и тоже множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество квадратов можно задать как множество прямоугольников с равными сторонами и как множество ромбов с прямыми углами.

Вывод: чтобы задать некоторое множество, достаточно либо перечислить все его элементы, либо указать характеристическое свойство его элементов. Второй способ более общий: он позволяет задавать и конечные и бесконечные множества в отличие от первого способа, который, как правило, можно использовать для задания конечных множеств с небольшим количеством элементов. Хотя первый способ используется иногда и для задания бесконечных множеств. Например, множество натуральных чисел может быть задано в виде N = {1, 2, 3, …}. Однако такой способ записи возможен лишь тогда, когда по записанной части множества ясно, что означает многоточие.

Одно и тоже множество может быть задано и первым и вторым способом.

Пример

Множество В натуральных чисел, меньших 7, заданное посредством указания характеристического свойства его элементов, можно задать и так: В={1,2,3,4, 5, 6}, т.е. перечислив все его элементы.











infopedia.su

Тема 1. Множества

1.1.Основные понятия

Определение
1.1.
Множеством
называется совокупность каких-либо
объектов, обладающим общим для всех
характеристическим свойством. Это
определение нельзя считать строгим,
так как понятие множества является
исходным понятием математики и не может
быть определено через другие математические
объекты. Один из основателей теории
множеств Г. Кантор определял множество
так: «Множество есть многое, мыслимое
как целое».

Пример 1.1.

Следующие
совокупности объектов являются
множествами: множество деревьев в лесу,
множество целых чисел, множество корней
уравнения exsinx
= 0.5.

Всякое множество
состоит из элементов.
Множества обозначают большими буквами,
например А.
В, С
, а элементы
– маленькими буквами, например, а,
b, c.

Множество и его
элементы обозначаются следующим образом:

А
= {a1,
a2,
a3}
– множество, состоящее из трех элементов;

А
= {a1,
a2,
…} – множество, состоящее из бесконечного
числа элементов.

Множество может
состоять из элементов, которые сами
являются множествами. Нужно различать
элемент a
и множество, состоящее из единственного
элемента a.

Пример 1.2.

Множество А
= {1, 2} состоит из двух элементов 1, 2; но
множество {А}
состоит из одного элемента А.

Если элемент a
принадлежит
множеству А,
это записывается следующим образом:

a
А.
Если элемент a
не принадлежит
множеству А,
то записывают так: a

А.

Пример 1.3.

Пусть А1
– множество простых чисел, А2
– множество целых чисел, a
= 4. Тогда

a
А2,
a
А1.

Если все элементы
множества А
являются
элементами множества В
и наоборот, т. е. множества А
и В
совпадают, то говорят, что А
= В.

Если каждый элемент
множества А
является
элементом множества В,
говорят, что
множество А
является
подмножеством
множества В,
и записывают
А
В или
В
А.
Отметим,
что по определению само множество А
является
своим подмножеством, т.е. А

А.

Если А

В
и В
А,
то по ранее введенному определению А
= В.

Если А

В
и А
В,
то А есть
собственное
подмножество

В, А
В.
Если А не
является собственным подмножеством В,
то записывают
А

В.

Пример 1.4.

Пусть А
– множество четных чисел, В
– множество
целых чисел, С

множество
нечетных чисел. Тогда

А
В,
С
В,
А
С,
В
А.

Не надо смешивать
отношение
принадлежности

()
и отношение
включения

().

Пример 1.5.

Пусть А
= {2} – множество, состоящее из одного
элемента, В
= {{2}, {4}} – множество, состоящее из двух
элементов, каждое из которых является
одноэлементным множеством. Тогда имеют
место следующие соотношения:

2 
{2};

{2} 
{{2}, {4}};

2 
{{2}, {4}}.

Множество, не
содержащее ни одного элемента, называется
пустым
множеством

и обозначается .Принято
считать, что пустое множество является
подмножеством любого множества,

А,
где А
– любое множество. Таким образом, всякое
множество содержит в качестве своих
подмножеств пустое множество и само
себя.

Пример 1.6.

Множество корней
уравнения sinx
= 2 является
пустым.

Множество всех
подмножеств данного множества А
называется множеством-степенью и
обозначается P(A).
Множество P(A)
состоит из 2n
элементов (доказать самостоятельно).

Пример 1.7.

Пусть множество
А
= {1, 2} состоит из двух элементов 1, 2. Тогда
множество P(A)
включает в себя пустое множество ,
два одноэлементных множества {1} и {2} и
само множество А
= {1, 2}, т. е.

P(A)
= {,
{1}, {2}, {1, 2}}.

Мы видим, что
множество P(A)
состоит из четырех элементов (4 = 22).

Существуют следующие
способы задания множеств.

1. Перечислением
элементов множества. Например:

A
= {1, 3, 5, 7, 9} – конечное множество;

B
= {1, 2, …, n,
…} – бесконечное множество.

2. Указанием свойств
элементов множества. Для этого способа
пользуются следующим форматом записи:
A
= {aуказание
свойства элементов}. Здесь a
является элементом множества A,
a
А.
Например:

A
= {a a
– простое число} – множество простых
чисел;

B
= {b b2
– 1 = 0, b
– действительное число} – множество,
состоящее из двух элементов, B
= {– 1, 1};

Z = {x

= 1}– множество, состоящее из одного
числа, x
= 0.

studfiles.net