Что делать если одинаковые степени а основания разные – Свойства степеней с натуральными показателями. Натуральная степень. Степени чисел. Свойства показателей степеней

Свойства степеней с одинаковыми показателями — Науколандия

Если умножаются (или делятся) две степени, у которых разные основания, но одинаковые показатели, то их основания можно перемножить (или поделить), а показатель степени у результата оставить таким же как у множителей (или делимого и делителя).

В общем виде на математическом языке эти правила записываются так:
am × bm = (ab)m
am ÷ bm = (a/b)m

При делении b не может быть равно 0, то есть второе правило надо дополнить условием b ≠ 0.

Примеры:
23 × 33 = (2 × 3)3 = 63 = 36 × 6 = 180 + 36 = 216
65 ÷ 35 = (6 ÷ 3)5 = 25 = 32

Теперь на этих конкретных примерах докажем, что правила-свойства степеней с одинаковыми показателями верны. Решим данные примеры так, как будто мы не знаем о свойствах степеней:
23 × 33 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

Как мы видим, ответы совпали с теми, которые были получены, когда использовались правила. Знание этих правил позволяет упростить вычисления.

Обратите внимание, что выражение 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 можно представить в таком виде:
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3).

Это выражение в свою очередь есть нечто иное как (2 × 3)3, то есть 63.

Рассмотренные свойства степеней с одинаковыми показателями могут быть использованы в обратную сторону. Например, сколько будет 182?
182 = (3 × 3 × 2)2 = 32 × 32 × 22 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324

Свойства степеней также используются при решении примеров:
= 24 × 36 = 24 × 34 × 3 × 3 = 64 × 32 = 62 × 62 × 32 = (6 × 6 × 3)2 = 1082 = 108 × 108 = 108 (100 + 8) = 10800 + 864 = 11664

scienceland.info

Свойства степеней с одинаковыми основаниями — Науколандия

Существует три свойства степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Это

  • Произведение двух степеней с одинаковыми основаниями равно выражению, где основание то же самое, а показатель есть сумма показателей исходных множителей.
  • Частное двух степеней с одинаковыми основаниями равно выражению, где основание то же самое, а показатель есть разность показателей исходных множителей.
  • Возведение степени числа в степень равно выражению, в котором основание — это то же самое число, а показатель — это произведение двух степеней.

Будьте внимательны! Правил относительно сложения и вычитания степеней с одинаковыми основаниями не существует.

Запишем эти свойства-правила в виде формул:

  • am × an = am+n
  • am ÷ an = am–n
  • (am)n = amn

Теперь рассмотрим их на конкретных примерах и попробуем доказать.

52 × 53 = 55 — здесь мы применили правило; а теперь представим как бы мы решали этот пример, если бы не знали правила:

52 × 53 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 55 — пять в квадрате — это пять умноженное на пять, а в кубе — произведение трех пятерок. В результате получилось произведение пяти пятерок, но это нечто иное как пять в пятой степени: 55.

39 ÷ 35 = 39–5 = 34. Запишем деление в виде дроби:

Ее можно сократить:

В результате получим:

Таким образом мы доказали, что при делении двух степеней с одинаковыми основаниями, их показатели надо вычитать.

Однако при делении нельзя, чтобы делитель был равен нулю (так как на ноль делить нельзя). Кроме того, поскольку мы рассматриваем степени только с натуральными показателями, то не можем в результате вычитания показателей получить число меньше, чем 1. Поэтому на формулу am ÷ an = am–n накладываются ограничения: a ≠ 0 и m > n.

Перейдем к третьему свойству:
(22)4 = 22×4 = 28

Запишем в развернутом виде:
(22)4 = (2 × 2)4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 28

Можно прийти к такому выводу и логически рассуждая. Нужно перемножить два в квадрате четыре раза. Но в каждом квадрате две двойки, значит всего двоек будет восемь.

scienceland.info

Как умножить степени с разными основаниями и показателями — koshkinsad.ru

1) Если умножаются 2 числа с одинаковыми основаниями, но разными показателями, то общее основание возводится в сумму степеней.:

Пример
3*3=3=3

2) Если основания разные, а показатели одинаковые. В этом случае мы возводим в степень произведение оснований.
a*b=(ab)

Пример:
5*2=(5*2)=10=100
3) Если основания разные и показатели разные, то тут 2 варианта:
1. Выделяем одинаковое основание, т.е. раскладываем один из множителей.

Представим число b=a*c

Пример

2. Приводим к общему показателю:

Пример

8.orange3.ru

Как умножить степени с разными основаниями и показателями?

1) Если умножаются 2 числа с одинаковыми основаниями, но разными показателями, то общее основание возводится в сумму степеней.:

Пример
3⁴*3³=3⁴⁺³=3⁷

2) Если основания разные, а показатели одинаковые. В этом случае мы возводим в степень произведение оснований.
aⁿ*bⁿ=(ab)ⁿ

Пример:
5²*2²=(5*2)²=10²=100
3) Если основания разные и показатели разные, то тут 2 варианта:
1. Выделяем одинаковое основание, т.е. раскладываем один из множителей.

Представим число b=a*c

Пример

2. Приводим к общему показателю:

Пример

Оцени ответ

nebotan.com

Как умножать и делить степени? Что делают при умножении и делении степеней?

Если говорить простыми словами, то возведение числа в степень — это операция, при которой число многократно умножается само на себя.

Здесь число a — это основание степени, а число n — это показатель степени.


Умножение степеней.

При умножении степеней их основания могут совпадать, а могут различаться.

_

Сначала рассмотрим, как умножать степени с одинаковыми основаниями.

Для этого нужно сложить показатели степеней, а основания оставить без изменений.

Здесь a — основание степеней, а n и m — показатели.

Например:

6² * 6³ = 6^5 = 7776.

Проверить эту формулу очень легко — достаточно возвести в степень каждый множитель, а затем перемножить полученные числа.

6² * 6³ = (6*6) * (6*6*6) = 36 * 216 = 7776.

_

Теперь об умножении степеней с разными основаниями.

Здесь возможны 3 варианта:

1) Основания степеней различаются, но показатели совпадают.

В этом случае нужно перемножить основания и возвести их в указанную степень.

Например:

5³ * 6³ = (5 * 6)³ = 30³ = 27000.

2) Основания и показатели различаются, но имеется возможность привести степени к одному основанию.

Например:

9² * 81².

Здесь 81 можно представить в виде 9².

Поэтому 81² = (9²)² = 9^4 (при возведении степени в степень показатели перемножаются).

В итогу получим, что 9² * 81² = 9^2 * 9^4 = 9^6 = 531441.

3) Основания и показатели различаются, но можно привести данные степени к одному показателю.

Например:

5² * 8^4.

8^4 можно представить как 8² * 8².

Поэтому:

5² * 8^4 = 5² * 8² * 8² = (5*8*8)² = 320² = 102400.

4) Основания и показатели различаются, возможность приведения степеней к одному основанию и показателю отсутствует.

Например:

3² * 7³.

Основания и показатели в этом случае являются простыми числами. Поэтому здесь единственный вариант — возводить в степень каждый множитель отдельно, а затем перемножать результаты.

3² * 7³ = 9 * 343 = 3087.


Деление степеней.

Здесь всё по аналогии с умножением — основания степеней бывают одинаковыми, а бывают разными.

_

Если вы выполняете деление степеней с одинаковыми основаниями, то нужно делать следующее:

Основания оставить без изменений, а показатели степеней отнять друг от друга.

Например:

7³ : 7² = 7^1 = 7.

Проверка выполняется описанным выше способом:

7³ : 7² = 343 : 49 = 7.

_

Что касается деления степеней с разными основаниями, то здесь все принципы будут аналогичны умножению.

Если основания и показатели степеней — простые числа, то нужно отдельно возводить в степень делимое и делитель.

В ином случае степени можно привести либо к одному основанию, либо к одному показателю.

Вот несколько примеров:

4² : 2^4 = 4² : (2²)² = 4² : 4² = 1.

10³ : 5³ = (10 : 5)³ = 2³ = 8.

9³ : 2^6 = 9³ : (2³ * 2³) = 4,5³ : 2³ = 2,25³ = 11,390625.

www.bolshoyvopros.ru

Свойства степени

Наверное, ни для кого не является секретом, что большинство математических утверждений, прежде, чем установится, проходят несколько этапов. Давайте подробно рассмотрим, как же.

Первый этап – это, конечно же, когда человек замечает некоторую одну и ту же закономерность в ряде случаев.

Второй этап – формулировка закономерности. Говоря проще, человек пытается предположить, что данная закономерность действует не только в одном конкретном случае, а и во всех подобных.

Третий этап – человек пытается доказать то, что закономерность, которую он подметил, а потом сформулировал, верна, то есть он пытается ее доказать. Но что же значит доказать, что утверждение верно? Конечно же, это значит объяснить верность предположений, но при этом опираться необходимо обязательно только лишь на уже проверенные факты, теоремы и утверждения.

Теперь давайте рассмотрим подробнее, непосредственно, свойства степеней.

Итак, первое свойство: aH * aK = aH+K

Проверим данное свойство на примере: 22 * 23 = 22+3. Как видим, утверждение правильное. Мы можем взять еще несколько подобных примеров, и все время будет получать только лишь верный результат.

Второе свойство (подобное к первому, за исключением нескольких различий в знаках). В данном случае мы будем иметь дело с делением: aH : aK = aH-K

Проверяем данное свойство также на примере: : 22 : 23 = 22-3. Опять-таки получили верный результат.

Третье свойство: (aH)K = aH*K

Опять же проверяем на примере: (22)3 = 26. Получили очередное правильное свойство.

Исходя из вышеуказанных формул и примеров, легко выводятся три основных правила, связанные со свойством степеней:

  1. Если у степени одинаковое основание, показатели разные, а сами основания умножаются, то мы можем преобразоваться это в степень с одним основанием, а показатели степени просто суммируются.
  2. Если у степени одинаковое основание, показатели разные, а сами основания делятся, то мы можем преобразоваться это в степень с одним основанием, а показатели степени просто вычитаются.
  3. Если мы хотим возвести степень в степень, то необходимо просто перемножить показатели степени.

Например: 2^2+3^2

Свойства степени
am
 
* an
 
= am + n
 
am
 
: an
 
= am — n
 
(a * b)m
 
= am
 
* bm
 
(a
b
)-m
 
 
=(b
a
)m
 
 
a1
n
 
 
=n
 
am
n
 
 
=n
 

mateshka.ru

Что делать со степенями при сложении и вычитании числе?

Что делать со степенями при сложении и вычитании числе?

  • Если умножать степени с одинаковым основанием, то показатели степени складываются:

    Например: 2^2 х 2^4 = 2^6 = 64

    Если делить степени с одинаковым основанием, то показатели степени вычитаются:

    Например: 2^4 / 2^2 = 2^2 = 4.

    Если же умножать или делить степени с разным основанием, то нужно сначала возвести основание в степень, а потом совершать умножение или деление.

    В вашем случае 2^3 x 4^5 = 8 х 1024 = 8192.

  • При умножении степеней, которые имеют одинаковые основания — числа степеней складываются.

    При делении степеней, которые имеют одинаковые основания — числа степеней вычитаются.

    А вот если умножать, либо делить степени, которые имеют разные основания, нужно выполнить следующие действия:

    • возвести основание в степень
    • выполнить заданное умножение или деление.
  • На вашем примере нужно привести к одной основе, то есть 4 — это 2^2. Поэтому запишем выражение следующим образом 2^3 x 4^5 = 2^3 x (2^2)^5. Теперь нам нужно избавиться от этих скобочек. Мы знаем, что по правилу степени просто перемножаются, поэтому, у нас получится следующее выражение: 2^3 x 2^10. А теперь у нас есть единая основа, значит мы можем просто сложить степени. Получится такое выражение: 2^13. Ответ будет 8192.

    Итак, на представленном вами примере мы использовали всего лишь 2 правила, а именно сложение степеней, когда есть одна основа, и умножение их, когда мы возводим одну степень в другую.

  • У вас не сложение , или вычитание , а умножение. И это очень меняет дело*

    В данном примере нужно привести 4 к степени двойки : 4 =2^(2) , тогда

    2^(3) * 4^(5) = 2^(3) * 2^(2)^5 = 2^(3 * 2^(10) = 2 ^ (3+10) = 2 ^ (13) или 2 в 13 степени.

    Если бы был пример на сложение ,то есть :

    2 ^ (3) + 4 ^ (5) = 2 ^( 3) + (2 )^ 2 ^ 5 = 2 ^ (3) + 2 ^( 10)= 2 ^(3) *1+2 ^( 7).

    И это совсем другой результат.А правила действий со степенями такие :

    a ^ (m) * a ^ (n) = a ^ (m+n)

    a ^(m) a ^ (n) = a ^ (m-n)

    a^ (m )+ a ^( n) = a ^(m) *a ^(m-n)+1}

    Вот это правило очень важное,потому что когда степени стоят как слагаемые,то их нельзя иначе преобразовать,как только вынести общий множитель за скобки.

    ({a ^ (m)}^n= a ^ (m*n)

  • Ничего кроме выполнения отдельных операций согласно их приоритету, вы тут не сделаете. Если вам нужно сложить два разных числа в разных степенях, то сначала каждое число вы возводите в свою степень и после этого выполняете сложение.

    Если у двух слагаемых в основании одно число в разных степенях, можно вынести общее кратное:

    Например, а^x+y + а^x = а^x * (а^y + 1)

    Если основания разные, но степень одна, то в некоторых простых частных случаях можно воспользоваться алгебраическими формулами вроде: а^2-b^2= (а-b) * (a+b). Но это очень редкие совпадения, расчитывать на которые не стоит.

  • В общем случае с этим ничего не сделать, в вашем конкретном примере можно 4 представить как 2 во 2-й степени. Получится (2^2)^5. Далее, т.к. при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, получаем 2^3 x 2^10 = 2^13 = 8192.

    Т.е. числа нужно приводить ко одинаковому основанию или показателю степени. Тут 2 правила:

    X^a * X^b = X^(a+b)

    X^a * Y^a = (XY)^a.

  • В общем случае ничего с таким умножением сделать нельзя. То есть если требуется умножить 2 в квадрате на 3 в кубе, то это не значит, что мы должны 2 умножить на 3 и возвести результат в 5 степень — ответ получится неверный. Приходится возводить 2 в квадрат, а 3 в куб и только потом перемножать числа. Но если требуется 2 в произвольной степени умножить на 4 в произвольной степени, то мы представляем 4 как 2 в квадрате и просто складываем степени. Если же мы складываем или вычитаем два числа возведенных в степени, то тут нет никакого правила — надо возводить и складывать (вычитать) результат: а^3 + b^4 не упростить да и не надо.

  • info-4all.ru