Целые и натуральные числа разница – в чем разница между целыми и натуральными числами????

Тестирование онлайн

• Округление чисел

Натуральные числа

Ноль не является натуральным.

Натуральные числа принято обозначать символом N.

Целые числа. Положительные и отрицательные числа

Два числа отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными, например, +1 и -1, +5 и -5. Знак «+» обычно не пишут, но предполагают, что перед числом стоит «+». Такие числа называются положительными. Числа, перед которыми стоит знак «-«, называются отрицательными.

Натуральные числа, противоположные им и ноль называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают символом Z.

Рациональные числа

Это конечные дроби и бесконечные периодические дроби . Например,

Множество рациональных чисел обозначается Q. Все целые числа являются рациональными.

Иррациональные числа

Бесконечная непериодическая дробь называется иррациональным числом. Например:

Множество иррациональных чисел обозначается J.

Действительные числа

Множество всех рациональных и всех иррациональных чисел называется множеством действительных (вещественных) чисел.

Действительные числа обозначаются символом R.

Округление чисел

Рассмотрим число 8,759123… . Округлить до целой части означает записать лишь ту часть числа, которая находится до запятой. Округлить до десятых означает записать целую часть и после запятой одну цифру; округлить до сотых — после запятой две цифры; до тысячных — три цифры и т.д.

Округлить 8,759123… с точностью до целой части.

Округлить 8,759123… с точностью до десятой части.

Округлить 8,759123… с точностью до сотой части.

Округлить 8,759123… с точностью до тысячной части.

fizmat.by

В чём сходство и в чём отличие Натуральных, Целых и Рациональных чисел?

Кроме этих чисел есть еще много других.
Это иррациональные, вещественные, комплексные, кватернионы, числа Келли, эллиптические, гиперболические, параболические и т. д.

.
Сходство Натуральных, Целых и Рациональных чисел в том, что все эти три вида чисел являются рациональными. Натуральные и целые числа, это частный случай рациональных чисел.

Натуральные числа, это подмножество целых чисел. А целые числа, это подмножество рациональных чисел.

.
Различие их в том, что на натуральных числах выполняются только любые операции сложения и умножения любых целых чисел. А операции вычитания и деления могут не выполняться. На целых числах кроме сложения и умножения выполняется всегда еще и вычитание. А на рациональных числах кроме сложения, вычитания и умножения выполняется всегда еще и деление.

.

Если к натуральным числам добавить ноль и отрицательные целые числа, то все вместе будут целыми числами.
Если к целым числам добавить еще дробные числа, то все вместе будут рациональные числа.

Если к рациональным числам добавить еще иррациональные числа, то все вместе будут вещественными (действительными) числами. У вещественных чисел, кроме операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень, всегда выполняется еще и операция извлечения корней из неотрицательных чисел.

Если к вещественным числам добавить мнимые числа, то все вместе образуют комплексные числа. Кроме сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня из неотрицательных чисел, для комплексных чисел выполняется еще и операция извлечения корня из отрицательных чисел. Таким образом, для комплексных чисел работают любые операции:
сложения любых чисел
вычитание любых чисел
умножение любых чисел
деление любых чисел (кроме деления на ноль)
возведение любых чисел в любую степень, в том числе и такое, которое дает извлечение корня любой степени из любого числа (кроме тех, что дает деление на ноль)

.
Комплексные числа имеют самые богатые математические свойства. Если дальше расширять понятие числа, то свойства более широких чисел будут уже беднее. Например, кватернионы уже, в общем случае, не коммутативны по умножению, то есть при перестановки сомножителей может меняться произведение. А числа Келли уже не ассоциативны по умножению, то есть если перемножаем несколько чисел Келли, то их произведение зависит от того, как Вы расставили скобки.

.

otvet.mail.ru

Действительные числа, рациональные числа и иррациональные числа

В ходе изучения математики мы сталкивались с различными числами.

Натуральные числа

Числа, используемые при счете называются натуральными числами. Например, $1,2,3$ и т.д. Натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое обозначают $N$ .Данное обозначение исходит от латинского слова naturalis- естественный.

Противоположные числа

Определение 1

Если два числа отличаются только знаками, их называют в математике противоположными числами.

Например, числа $5$ и $-5$ противоположные числа, т.к. отличаются только знаками.

Замечание 1

Для любого числа есть противоположное число, и притом только одно.

Замечание 2

Число нуль противоположно самому себе.

Целые числа

Определение 2

Целыми числами называют натуральные, противоположные им числа и нуль.

Множество целых чисел включает в себя множество натуральных и противоположных им.

Обозначают целые числа $Z.$

Дробные числа

Числа вида $\frac{m}{n}$ называют дробями или дробными числами. Так же дробные числа можно записывать десятичной форме записи, т.е. в виде десятичных дробей.

Например:$\ \frac{3}{5}$ , $0,08$ и Т.Д.

Так же, как и целые, дробные числа могут быть как положительными, так и отрицательными.

Рациональные числа

Определение 3

Рациональными числами называется множество чисел, содержащее в себе множество целых и дробных чисел.

Любое рациональное число, как целое, так и дробное можно представить в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$- целое число, а $b$- натуральное.

Таким образом, одно и то же рациональное число можно записать разными способами.

Например,

Отсюда видно, что любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби.

Множество рациональных чисел обозначается $Q$.

В результате выполнения любого арифметического действия над рациональными числами полученный ответ будет рациональным числом. Это легко доказуемо, в силу того, что при сложении, вычитании, умножении и делении обыкновенных дробей получится обыкновенная дробь

Иррациональные числа

В ходе изучения курса математики часто приходится сталкиваться в решении с числами, которые не являются рациональными.

Например, чтобы убедиться в существовании множества чисел, отличных от рациональных решим уравнение $x^2=6$.Корнями этого уравнения будут числа $\surd 6$ и -$\surd 6$. Данные числа не будут являться рациональными.

Так же при нахождении диагонали квадрата со стороной $3$ мы применив теорему Пифагора получим, что диагональ будет равна $\surd 18$. Это число также не является рациональным.

Такие числа называются иррациональными.

Итак, иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.

Одно из часто встречающихся иррациональных чисел- это число $\pi $

При выполнении арифметических действий с иррациональными числами получаемый результат может оказаться и рациональным, так и иррациональным числом.

Докажем это на примере нахождения произведения иррациональным чисел. Найдем:

1. $\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}$

2. $\ \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$

Решениею

1. $\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6} = 6$

2. $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$

На этом примере видно, что результат может оказаться как рациональным, так и иррациональным числом.

Если в арифметических действиях участвуют рациональное и иррациональные числа одновременно, то в результате получится иррациональное число ( кроме, конечно, умножения на $0$).

Действительные числа

Множеством действительных чисел называется множество содержащее множество рациональных и иррациональных чисел.

Обозначается множество действительных чисел $R$. Символически множество действительных чисел можно обозначить $(-?;+?).$

Мы говорили ранее о том, что иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь, а любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби, поэтому действительным числом будет являться любая конечная и бесконечная десятичная дробь.

При выполнении алгебраических действий будут выполняться следующие правила

1. при умножении и делении положительных чисел полученное число будет положительным
2. при умножении и делении отрицательных чисел полученное число будет положительным
3. при умножении и делении отрицательного и положительного чисел полученное число будет отрицательным

Также действительные числа можно сравнивать друг с другом.

spravochnick.ru

Целые числа — Циклопедия

Целые числа — математический объект, представляющий собой множество, получающееся из натуральных чисел добавлением к ним нуля и противоположных натуральным по сложению отрицательных чисел. Целые числа, упорядоченные по возрастанию образуют бесконечный в обе стороны ряд: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Целые числа появляются в арифметике, а с точки зрения алгебры являются кольцом. В современной русскоязычной математической литературе обозначаются символом [math]\mathbb Z[/math].

Отрицательные числа и целые числа как расширение известных с древности натуральных чисел появились в опубликованной в 1544 году книге «Полная арифметика» математика Михаэля Штифеля (1487—1567) и в работах Николя Шюке (1445—1500).

Свойства целых чисел во многом подобны натуральным числам. В отличии от натуральных чисел, по сложению целые числа образуют (бесконечную) коммутативную группу, которая является циклической (порождена единичным элементом). Иначе говоря, сложение целых чисел коммутативно: [math]a + b = b + a[/math], ассоциативно: [math]a + (b + с)= a + (b + c)[/math], 0 — целое число, и для любого целого [math]a[/math]есть противоположное [math]-a[/math] тоже целое: [math]a + (-a)= 0[/math], и, наконец, любое ненулевое целое число [math]n[/math] можно представить как [math]1 + 1 + … + 1[/math] ([math]n[/math] раз) либо [math]-(1 + 1 + … + 1)[/math] ([math]n[/math] раз).

Каждое целое число либо ноль, либо положительное, либо отрицательное. Положительные целые числа — это натуральные числа. Отрицательное число [math]-n[/math] — это такое число, что [math]n[/math] — натуральное число и [math]n + (-n) = 0[/math].

Умножение целых чисел коммутативно и ассоциативно:

[math]a \times b = b \times a[/math]

[math]a \times (b \times с) = a \times (b \times c)[/math]

В кольце целых чисел возможно деление с остатком, то есть в нем присутствует единственность разложения на простые сомножители, которые являются простыми числами (см. Основная теорема арифметики).

Кольцо целых чисел не имеет делителей нуля, то есть произведение любых двух ненулевых целых чисел не равно нулю. Поле частных кольца целых чисел является полем рациональных чисел.

• Бухштаб А. А. Теория чисел — М.: «Просвещение», 1966.
• К. Айерленд, М. Роузен, Классическое введение в современную теорию чисел — М., 1987.

cyclowiki.org

Натуральные числа — Циклопедия

Натуральные числа — это ряд чисел 1, 2, 3, …, представляющих собой число предметов или более строго — мощности (количества элементов) непустых конечных множеств. Эти числа выражают меры конечного количества отдельных объектов, а также выражают порядок равномерного однонаправленного счёта (каждое натуральное число имеет «свое» место — уникальный номер).

Натуральных чисел бесконечно много.

Понятие и соответствующая теоретическая концепция прослеживается с глубокой древности человечества. Познание натуральных чисел на элементарном уровне называется арифметикой, а на более глубоком уровне — является частью теории чисел («высшей арифметики»).

В современной математике натуральные числа определяются аксиоматически и могут также включать число 0 — мощность пустого множества. В российской математической литературе ноль обычно в множество натуральных чисел не включают. Распространенное обозначение множества натуральных чисел — [math]\mathbb{N}[/math].

[править] Формальное определение

Индуктивное (рекурсивное) определение: Натуральные числа, не считая ноля, — это единица или её сумма с любым другим натуральным числом.

Натуральные числа могут быть описаны аксиоматически. Одна из возможных систем — аксиомы арифметики Пеано:

1. Единица есть натуральное число: [math]1\in \mathbb{N}[/math];
2. Число, следующее за натуральным, также является натуральным числом: [math]n \in \mathbb{N} \implies n+1 \in \mathbb{N}[/math];
3. Единица не следует ни за каким натуральным числом: [math]\nexists n : n+1=1[/math]
4. Если натуральное число a следует за натуральным числом b и a следует за натуральным числом с, то b = c: [math](a=b+1) \land (a=c+1) \implies b=c[/math];
5. Аксиома математической индукции: Если утверждение (зависящее от параметра) доказано для числа 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, следует, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предположение), то это утверждение верно для всех натуральных чисел.

Последняя аксиома позволяет доказывать утверждения сразу обо всей бесконечной последовательности натуральных чисел с помощью метода математической индукции.

[править] Система обозначения

Существуют различные методы обозначения натуральных чисел, обычно называемые системами счисления.

С дополнением метки-заполнителя — структурного ноля — натуральные числа можно записать в произвольной позиционной системе счисления, например, — в двоичной (обычно применяемой в компьютерах): 1, 10, 11, 100, 101… — или в распространенной в настоящее время в литературе и в быту десятичной: десятью арабскими цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 можно записать любое число: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … 99, 100, 101, 102 … В языке выражаются через числительные.

Всякая из этих систем — способ производства уникального номера для любого из бесконечного множества чисел. Из формы этого названия можно обычно без справочных материалов получить идентичность натурального числа, его место в ряду натуральных и другие свойства (например, делимость.)

Ряд древних цивилизаций: Древнее Междуречье, Древний Египет, Древний Китай, Майя знали натуральные числа и имели различные системы для их обозначения. Концепция, что существует число ноль, по видимому, появилась позже, чем понятие натуральных чисел — только в позднем Вавилоне и у Майя.

Как отдельная наука, изучающая чистые, формальные свойства натуральных чисел, теория чисел, или высшая арифметика, основополагается в работах математика-любителя Пьера де Ферма.

Натуральные числа целиком охвачены арифметикой, так как можно:

• их складывать и перемножать любым образом,
• вычитать меньшее число из большего,
• делить число на любой из образующих его множителей.

По сложению натуральные числа образуют коммутативную полугруппу: любые два натуральных числа можно сложить, и сложение коммутативно и ассоциативно:

[math]a+b=b+a[/math] (коммутативность или перестановочное свойство: от перемены мест слагаемых сумма не меняется)

[math](a + b) + c=a + (b + c)[/math] (ассоциативность)

Умножение натуральных чисел также коммутативно и ассоциативно:

[math]a \cdot b = b \cdot a[/math]

[math](a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)[/math]

Умножение дистрибутивно по сложению:

[math]a\cdot(b+c) = a \cdot b + a \cdot c[/math]

Натуральные числа вполне упорядочены: в любом их подмножестве будет минимальный элемент. Это является как бы «отражением» правила индукции, принцип метода бесконечного спуска.

Если из большего числа «отсчитать обратно по единице», «вычесть», меньшее, то получится другое меньшее, а [math]a-b=b, a \gt b \iff a=2b[/math]. Уже у целых чисел такое определение нарушается ровно в «другой половине случаев», когда вычитается отрицательное, давая число, большее первого.

Каждое натуральное число, большее единицы, обладает единственным с точностью до порядка сомножителей разложением на простые множители: основная теорема арифметики.

[править] Расширение до целых чисел и дальше

Если к натуральным числам добавить ноль и отрицательные числа (обратные к натуральным по сложению), то в совокупности получится расширение понятия числа до кольца целых чисел [math]\mathbb{Z}[/math], которое лежит в основе теории чисел. Отрицательные числа можно мыслить как получаемые путем обратного счёта — последовательного убавления по единице, которое вводит ряд отрицательных чисел, каждое из которых сложением обнуляет противоположное ему натуральное: [math]n+(-n)=0[/math].

Если рассматривать отношения целых чисел — дроби — то получится поле рациональных чисел [math]\mathbb{Q}[/math]. Пополнение этого поля по стандартной метрике (расстояние между числами равно модулю их разности) будет представлять собой поле действительных чисел [math]\mathbb{R}[/math], представимое как допустимо бесконечные и апериодичные цепные дроби. Алгебраическое замыкание поля действительных чисел образует поле комплексных чисел [math]\mathbb{C}[/math] (его можно представлять как поле действительных чисел, к которому добавлена мнимая единица [math]i[/math]: [math]i^2=-1[/math].

• Бухштаб А. А. Теория чисел — М.: «Просвещение», 1966.
• К. Айерленд, М. Роузен, Классическое введение в современную теорию чисел — М., 1987.

cyclowiki.org

Целое число | Математика | FANDOM powered by Wikia

Множество целых чисел $ \mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\} $ определяется как замыкание множества натуральных чисел $ \mathbb{N} $ относительно арифметических операций сложения (+) и вычитания (-). Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел есть снова целые числа. Оно состоит из положительных натуральных чисел (1, 2, 3), чисел вида -n (n$ \in\mathbb{N} $) и числа нуль.

Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью (в общем случае) вычесть из одного натурального числа другое. Целые числа являются кольцом относительно операций сложения и умножения. Отрицательные числа ввели в математический обиход Михаэль Штифель (M. Stiffel, 1487—1567), в книге «Полная арифметика» 1544 года, и Никола Шюке (N. Chuquet, 1445—1500) — его работа была обнаружена в 1848 году.

Арифметические операции и порядок Править

Пользуясь имеющимися операциями сложения и умножения на множестве натуральных чисел, введём соответствующие операции на построенном множестве целых чисел:

$ \bigl[(m_1,n_1)\bigr] + \bigl[(m_2,n_2)\bigr] = \bigl[(m_1+n_1,m_2 + n_2)\bigr]; $

$ \bigl[(m_1,n_1)\bigr] \cdot \bigl[(m_2,n_2)\bigr] = \bigl[(m_1 \cdot m_2 +n_1 \cdot n_2,m_1 \cdot n_2 + m_2 \cdot n_1)\bigr]. $

Определённые выше операции корректны, то есть не зависят от выбора представителей соответствующий классов эквивалентности. Сходным образом возможно использовать стандартный порядок на натуральных числах для определения частичного порядка на целых числах:

$ \bigl[(m_1,n_1)\bigr] \le \bigl[(m_2,n_2)\bigr] \Leftrightarrow m_1 + n_2 \le m_2 + n_1. $

Такой порядок является корректным и полным. Из архимедовости натуральных чисел следует, что множество целых чисел не обладает ни наибольшим, ни наименьшим элементом.

Стандартные обозначения и терминология Править

Пусть $ \bigl[(m,n)\bigr] \in \mathbb{Z} $. Введём обозначение

$ \bigl[(m,n)\bigr] \equiv \left\{ \begin{matrix} m-n, & m \ge n, \\ -(n-m), & m < n. \\ \end{matrix} \right. $

В частности натуральные числа могут быть идентифицированы с парами вида

$ m \equiv \bigl[(m,0)\bigr],\quad m \in \mathbb{N}. $

Легко убедиться, что введённые выше бинарные операции и порядок на целых числах согласнованы с уже имеющимися операция и порядком на множестве натуральных чисел. Таким образом с точностью до изоморфизма можно считать, что $ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}. $ Множество $ \mathbb{N} \setminus \{0\} \equiv \{1,2,3,\ldots \} $ называется множество положительных целых чисел. Подмножество целых чисел вида

$ -n \equiv \bigl[ (0,n) \bigr],\quad n \in \mathbb{N}\setminus \{0\} $

называется множеством отрицательных целых чисел. Из определения порядка, данного выше, следует, что

$ \cdots < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < \cdots. $

Алгебраические свойства Править

Основные алгебраические свойства введённых арифметических операций на целых числах суммированы в следующей таблице:

Таким образом

• $ (\mathbb{Z},+) $ является абелевой группой, а также циклической группой, порождённой элементами $ 1 $ и $ -1 $.
• Любая бесконечная циклическая группа изоморфна $ (\mathbb{Z},+) $.
• $ (\mathbb{Z},\cdot) $ является коммутативным моноидом, но не является группой.
• Суммируя, $ (\mathbb{Z},+,\cdot) $ представляет собой коммутативное кольцо с нейтральным элементами относительно обеих операций.

Обычное деление не определено на множестве целых чисел, но определено так называемое деление с остатком: для любых целых a и b, $ b \not= 0 $, существует единственный набор целых чисел q и r, что a = bq + r и $ 0 \le r < |b| $, где |b| — абсолютная величина (модуль) числа b. Здесь a — делимое, b — делитель, q — частное, r— остаток. На этой операции основан алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.

Теоретико-множественные свойства Править

$ \mathbb{Z} $ — линейно упорядоченное множество без верхней и нижней границ. Порядок в нём задается соотношениями:

… < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < …

Целое число называется положительным, если оно больше нуля, отрицательным, если меньше нуля. Нуль не является положительным или отрицательным.

Для целых чисел справедливы следующие соотношения:

1. если a < b и c < d, тогда a + c < b + d.
2. если a < b и 0 < c, тогда ac < bc. (Отсюда легко показать, что если c < 0, то ac > bc.)

Целые числа в вычислительной технике Править

Тип целое цисло — зачастую один из основных типов данных в языках программирования. Тем не менее эти «целые числа» — лишь имитация класса $ \mathbb{Z} $ в математике, так как это множество бесконечно и всегда найдётся целое число, которое данный компьютер не сможет хранить в своей памяти. Целые типы данных обычно реализуются как фиксированный набор битов, но любые представления в конце концов приведут к тому, что свободное место на носителе (жёстком диске) закончится. С другой стороны, теоретические модели цифровых компьютеров имеют потенциально бесконечное (но счётное) пространство.

Шаблон:Категория только в статьях

ru.math.wikia.com