2 синус х 1 – Sin x 1 2 — Помогите пожалуйста) ) sin x= (-1/2) Синус икс = (минус одна вторая). — 22 ответа

sin x = 1 / 2 чему равен х

Задание.
Найти значение х при .

Решение.
Найти значение аргумента функции синус, при котором он равен какому-либо значению, означает определить, при каких аргументах значение синуса будет именно таким, как указано в условии.
В данном случае нам нужно выяснить, при каких значениях значение синуса будет равным 1/2. Это можно сделать несколькими способами.
Например, использовать график функции синус, по которому определить при каких значениях х функция синус будет равна 1/2.
Другим способом является использование тригонометрического круга. Напомню, что значения синусов лежат на оси Оу.
Самым распространенным способом является обращение к таблице значений синуса, особенно если речь идет о таких стандартных для этой функции значениях, как 1/2.
Во всех случаях не стоит забывать об одном из важнейших свойств синуса — о его периоде.
Найдем в таблице значение 1/2 для синуса и посмотрим какие аргументы ему соответствуют. Интересующие нас аргументы равны Пи / 6 и 5Пи / 6.
Запишем все корни, которые удовлетворяют заданное уравнение. Для этого записываем интересующий нас неизвестный аргумент х и одно из значений аргумента, полученное из таблицы, то есть Пи / 6. Запишем для него, учитывая период синуса, все значения аргумента:

   

Возьмем второе значение, и проделаем те же шаги, что и в предыдущем случае:

   

Полным решением исходного уравнения будет:
и
q может принимать значение любого целого числа.

Ответ. и , q — целое.

ru.solverbook.com

Решение простейших тригонометрических уравнений

Решение простейших тригонометрических уравнений.

Решение тригонометрических уравнений любого уровня сложности в конечном итоге сводится к решению простейших тригонометрических уравнений. И в этом наилучшим помощником снова оказывается тригонометрический круг.

Вспомним определения косинуса и синуса.

Косинусом  угла  называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствующей повороту на данный угол .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси  ) точки на единичной окружности, соответствующей повороту на данный угол .

Положительным направлением движения по тригонометрическому кругу считается движение против часовой стрелки. Повороту на 0 градусов ( или 0 радиан) соответствует точка с координатами (1;0)

Используем  эти определения для решения простейших тригонометрических уравнений.

1. Решим уравнение

Этому уравнению удовлетворяют все такие значения угла поворота , которые соответствуют точкам окружности, ордината которых равна .

Отметим на оси ординат точку с ординатой :

 Проведем горизонтальную линию параллельно оси абсцисс до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности и имеющие  ординату. Эти точки соответствуют углам поворота на и радиан:

 Если мы, выйдя из точки, соответствующей углу поворота на радиан, обойдем полный круг, то мы придем в точку, соответствующую углу поворота на радиан и имеющую ту же ординату. То есть этот угол поворота также удовлетворяет нашему уравнению. Мы можем делать сколько угодно «холостых» оборотов, возвращаясь в ту же точку, и все эти значения углов будут удовлетворять нашему уравнению. Число «холостых» оборотов обозначим буквой (или ). Так как мы можем совершать эти обороты как в положительном, так и в отрицательном направлении, (или ) могут принимать любые целые значения.

То есть первая серия решений исходного уравнения имеет вид:

,  , — множество целых чисел (1)

Аналогично, вторая серия решений имеет вид:

, где ,  . (2)

Как вы догадались, в основе этой серии решений лежит точка окружности, соответствующая углу поворота на .

Эти две серии решений можно  объединить в одну запись:

   

Если мы в этой записи возьмем ( то есть четное ), то мы получим первую серию решений.

Если мы в этой записи возьмем ( то есть нечетное ), то мы получим вторую  серию решений.

2. Теперь давайте решим уравнение

Так как — это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом на угол , отметим на оси точку с абсциссой :

  Проведем вертикальную линию параллельно оси до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности  и имеющие  абсциссу . Эти точки соответствуют углам поворота на и радиан. Вспомним, что при движении по часовой стрелки мы получаем отрицательный угол поворота:

 

Запишем две серии решений:

,  

,  

(Мы попадаем в нужную точку, пройдя из основной полный круг, то есть .

Объедим эти две серии в одну запись:

   

 

3. Решим уравнение

Линия тангенсов проходит через точку с координатами (1,0) единичной окружности параллельно оси OY

Отметим на ней точку, с ординатой равной 1 (мы ищем, тангенс каких углов равен 1):

Соединим эту точку с началом координат прямой линией и отметим точки пересечения прямой с единичной окружностью. Точки пересечения прямой и окружности соответствуют углам поворота на и :

 

Так как точки, соответствующие углам поворота, которые удовлетворяют нашему уравнению, лежат на расстоянии  радиан друг от друга, то мы можем записать решение таким образом:

,

4. Решим уравнение

Линия котангенсов проходит через точку с координатами единичной окружности параллельно оси .

Отметим на линии котангенсов точку с абсциссой -1:

 Соединим эту точку с началом координат прямой  и продолжим ее до пересечения с окружностью. Эта прямая пересечет окружность в точках, соответствующих углам поворота на и радиан:

Поскольку эти точки отстоят друг от  друга на расстояние, равное , то общее решение этого уравнения мы можем записать так:

   

 В приведенных примерах, иллюстрирующих решение простейших тригонометрических уравнений были использованы табличные значения тригонометрических функций.

Однако, если в правой части уравнения стоит не табличное значение, то мы в общее решение уравнения подставляем значение обратной тригонометрической функции:

 

 

ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ:

1

Отметим на окружности точки, ордината которых равна 0:

 

2.

Отметим на окружности единственную точку, ордината которой равна 1:

 

 

3.

Отметим на окружности единственную точку, ордината которой равна -1:

Так как принято указывать значения, наиболее близкие у нулю, решение запишем так:

4.

Отметим на окружности точки, абсцисса которых равна 0:

 

5.
Отметим на окружности единственную точку, абсцисса которой равна 1:

 

 

6.

Отметим на окружности единственную точку, абсцисса которой равна -1:

 

И чуть более сложные примеры:

1. 

Синус равен единице, если аргумент равен  

Аргумент у нашего синуса равен , поэтому получим:

. Разделим обе части равенства на 3:

Ответ:

2. 

Косинус равен нулю, если аргумент косинуса равен

Аргумент у нашего косинуса равен , поэтому получим:

Выразим , для этого сначала перенесем  вправо с противоположным знаком:

Упростим правую часть:

Разделим обе части на -2:

Заметим, что перед слагаемым  знак не меняется, поскольку   k может принимать любые целые значения.

Ответ:

И в заключение посмотрите видеоурок «Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью тригонометрической окружности»

На этом разговор о решении простейших тригонометрических уравнений мы закончим. Следующий раз мы с вами поговорим о том, как решать простейшие тригонометрические неравенства.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Купить видеокурс «ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и Задание 13»

ege-ok.ru

100 формул / Все формулы по тригонометрии

Основные тригонометрические тождества

Формулы, связывающие тригонометрические функции одного и того же аргумента:

 

\(sin^2x+cos^2x=1\)


\(tgx= \frac{sinx}{cosx}\)


\(ctgx= \frac{cosx}{sinx}\)


\(tgxctgx=1\)


\(tg^2x+1= \frac{1}{cos^2x}\)


\(ctg^2x+1= \frac{1}{sin^2x}\)

 

Формулы двойного аргумента (угла)

 

\(sin2x=2cosxsinx\)

\(sin2x= \frac{2tgx}{1+tg^2x}= \frac{2ctgx}{1+ctg^2x} = \frac{2}{tgx+ctgx}\)

\(cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x\)

\(cos2x= \frac{1-tg^2x}{1+tg^2x}= \frac{ctg^2x-1}{ctg^2x+1}= \frac{ctgx-tgx}{ctgx+tgx} \)

\(tg2x= \frac{2tgx}{1-tg^2x}= \frac{2ctgx}{ctg^2x-1}= \frac{2}{ctgx-tgx}\)

\(ctg2x= \frac{ctg^2x-1}{2ctgx}= \frac{ctgx-tgx}{2}\)<br><br>

 

Формулы тройного аргумента (угла)

 

\(sin3x=3sinx-4sin^3x\)

 

\(cos3x=4cos^3x-3cosx\)

 

\(tg3x= \frac{3tgx-tg^3x}{1-3tg^2x}\)

 

\(ctg3x= \frac{ctg^3x-3ctgx}{3ctg^2x-1}\)

 

 

Формулы половинного аргумента (угла)

 

\(sin^2 \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{2}\)

 

\(cos^2 \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{2}\)

 

\(tg^2 \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{1+cosx}\)

 

\(ctg^2 \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{1-cosx}\)

 

\(tg \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{sinx}= \frac{sinx}{1+cosx}\)

 

\(ctg \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{sinx}= \frac{sinx}{1-cosx}\)

 

 

Формулы квадратов тригонометрических функций

 

\(sin^2x= \frac{1-cos2x}{2}\)

 

\(cos^2x= \frac{1+cos2x}{2}\)

 

\(tg^2x= \frac{1-cos2x}{1+cos2x}\)

 

\(ctg^2x= \frac{1+cos2x}{1-cos2x}\)

 

\(sin^2 \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{2}\)

 

\(cos^2 \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{2}\)

 

\(tg^2 \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{1+cosx}\)

 

\(ctg^2 \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{1-cosx}\)

 

 

Формулы кубов тригонометрических функций

 

\(sin^3x= \frac{3sinx-sin3x}{4}\)

 

\(cos^3x= \frac{3cosx+cos3x}{4}\)

 

\(tg^3x= \frac{3sinx-sin3x}{3cosx+cos3x}\)

 

\(ctg^3x= \frac{3cosx+cos3x}{3sinx-sin3x}\)

 

 

Формулы тригонометрических функций в четвертой степени

 

\(sin^4x= \frac{3-4cos2x+cos4x}{8}\)

 

\(cos^4x= \frac{3+4cos2x+cos4x}{8}\)

 

 

Формулы сложения аргументов

 

\(sin(\alpha + \beta) = sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta\)

 

\(cos(\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta — sin \alpha sin \beta \)

 

\(tg(\alpha + \beta)= \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 — tg \alpha tg \beta}\)

 

\(ctg(\alpha + \beta)= \frac{-1 + ctg \alpha ctg \beta }{ctg \alpha + ctg \beta}\)

 

\(sin(\alpha — \beta) = sin \alpha cos \beta — cos \alpha sin \beta\)

 

\(cos(\alpha — \beta) = cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta\)

 

\(tg(\alpha — \beta)= \frac{tg \alpha — tg \beta}{1 + tg \alpha tg \beta}\)

 

\(ctg(\alpha — \beta)= \frac{-1 — ctg \alpha ctg \beta }{ctg \alpha — ctg \beta}\)

 

 

Формулы суммы тригонометрических функций

 

\(sin\alpha + sin\beta = 2sin \frac{\alpha + \beta }{2} \cdot cos \frac{\alpha — \beta }{2}\)

 

\(cos\alpha + cos\beta = 2cos \frac{\alpha + \beta }{2} \cdot cos \frac{\alpha — \beta }{2}\)

 

\(tg\alpha + tg\beta = \frac{sin(\alpha + \beta) }{cos \alpha cos \beta} \)

 

\(ctg\alpha + ctg\beta = \frac{sin(\alpha + \beta) }{sin \alpha sin \beta}\)

 

\((sin\alpha + cos\alpha)^2= 1+sin2\alpha \)

 

 

Формулы разности тригонометрических функций

 

\(sin\alpha — sin\beta = 2sin \frac{\alpha — \beta }{2} \cdot cos \frac{\alpha + \beta }{2}\)

 

\(cos\alpha — cos\beta = -2sin \frac{\alpha + \beta }{2} \cdot sin \frac{\alpha — \beta }{2}\)

 

\(tg\alpha — tg\beta = \frac{sin(\alpha — \beta) }{cos \alpha cos \beta} \)

 

\(ctg\alpha — ctg\beta = — \frac{sin(\alpha — \beta) }{sin \alpha sin \beta}\)

 

\((sin\alpha — cos\alpha)^2= 1-sin2\alpha \)

 

 

Формулы произведения тригонометрических функций

 

\(sin\alpha \cdot sin\beta = \frac{cos(\alpha — \beta)-cos(\alpha + \beta)}{2}\)

 

\(sin\alpha \cdot cos\beta = \frac{sin(\alpha — \beta)+sin(\alpha + \beta)}{2}\)

 

\(cos\alpha \cdot cos\beta = \frac{cos(\alpha — \beta)+cos(\alpha + \beta)}{2}\)

 

\(tg\alpha \cdot tg\beta = \frac{cos(\alpha — \beta)-cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha — \beta)+cos(\alpha + \beta)} = \frac{tg\alpha + tg\beta}{ctg\alpha + ctg\beta}\)

 

\(ctg\alpha \cdot ctg\beta = \frac{cos(\alpha — \beta)+cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha — \beta)-cos(\alpha + \beta)} = \frac{ctg\alpha + ctg\beta}{tg\alpha + tg\beta}\)

 

\(tg\alpha \cdot ctg\beta = \frac{sin(\alpha — \beta)+sin(\alpha + \beta)}{sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha — \beta)}\)

100formul.ru

sin 2x = 1/2 решение

Доброй ночи!
Уравнения вида, которое вы предоставили, не такое трудное, как Вам могло показаться. Давайте попробуем решить Ваше уравнение sin 2х = 1/2. Но первым делом нам следует подумать, в каком виде можно представить данное уравнение, чтоб понять как его решать.
Вот так будет выглядеть Ваше условие на математическом языке: 

   

Да, я понимаю, что это Вам особо не помогло, так как вид особо не изменился. Но чтоб решать такие уравнения, то надо использовать известное правило, которое выглядит так: 

   

 

   

Как только мы разобрались с общим решением, то теперь можем преступить к решению именно Вашего уравнения: 

   

Но у нас будет не просто х, а двойной:  

   

Значение  мы найдём при помощи таблицы. И исходя из этого получаем, что 
Так как с основным разобрались, то теперь можем и решить до конца Ваше уравнение: 

   

 

   

Чтоб найти х надо каждый член поделить на два и из этого получим следующее:

   

Ответ:

ru.solverbook.com

sin 2x = 1 решение

Добрый вечер!
Уравнения вида, которое вы предоставили, не такое трудное, как Вам могло показаться. Давайте попробуем решить Ваше уравнение sin 2х = 1. Но первым делом нам следует подумать, в каком виде можно представить данное уравнение, чтоб понять как его решать.
Вот так будет выглядеть Ваше условие на математическом языке: 

   

Да, я понимаю, что это Вам особо не помогло, так как вид особо не изменился. Но чтоб решать такие уравнения, то надо использовать известное правило, которое выглядит так: 

   

 

   

Как только мы разобрались с общим решением, то теперь можем преступить к решению именно Вашего уравнения: 

   

Но у нас будет не просто х, а двойной:  

   

Значение  мы найдём при помощи таблицы. И исходя из этого получаем, что 
Так как с основным разобрались, то теперь можем и решить до конца Ваше уравнение: 

   

 

   

Чтоб найти х надо каждый член поделить на два и из этого получим следующее:

   

Ответ:

ru.solverbook.com

Уравнение sin x = a

Значения синуса заключены в промежутке [-1; 1], т.е. -1 ≤ sin α ≤ 1. Поэтому если |а| > 1, то уравнение sin x = a не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 корней не имеет.

Обратимся к некоторым задачам.

Задача 1.

Решить уравнение sin x = 1/2.

Решение.

Отметим, что sin x – это ордината точки единичной окружности, которая получена в результате поворота точки Р (1; 0) на угол х вокруг начала координат.

Ордината, равная ½, присутствует у двух точек окружности М1 и М2.

Так как 1/2 = sin π/6, то точка М1 получается из точки Р (1; 0) посредством поворота на угол х1 = π/6, а также на углы х = π/6 + 2πk, где k = +/-1, +/-2, …

Точка М2 получается из точки Р (1; 0) в результате поворота на угол х2 = 5π/6, а также на углы х = 5π/6 + 2πk, где k = +/-1, +/-2, …, т.е. на углы х = π – π/6 + 2πk, где k = +/-1, +/-2, ….

Итак, все корни уравнения sin х = 1/2 можно найти по формулам х = π/6 + 2πk, х = π – π/6 + 2πk, где k € Z.

Эти формулы могут объединиться в одну: х = (-1)n π/6 + πn, где n € Z     (1).

Действительно, если n – четное число, т.е. n = 2k, то из формулы (1) получаем х = π/6 + 2πk, а если n – нечетное число, т.е. n = 2k + 1, то из формулы (1) получаем х = π – π/6 + 2πk.

Ответ. х = (-1)n π/6 + πn, где n € Z.

Задача 2.

Решить уравнение sin x = -1/2.

Решение.

Ординату -1/2 имеют две точки единичной окружности М1 и М2, где х1 = -π/6, х2 = -5π/6. Следовательно, все корни уравнения sin x = -1/2 можно найти по формулам х = -π/6 + 2πk, х = -5π/6 + 2πk, k € Z.

Эти формулы мы можем объединить в одну: х = (-1)n (-π/6) + πn, n € Z    (2).

Действительно, если n = 2k, то по формуле (2) получаем х = -π/6 + 2πk, а если n = 2k – 1, то по формуле (2) находим х = -5π/6 + 2πk.

Ответ. х = (-1)n (-π/6) + πn, n € Z.

Таким образом, каждое из уравнений sin x = 1/2 и sin x = -1/2 имеет бесконечное множество корней.

На отрезке -π/2 ≤ х ≤ π/2 каждое из этих уравнений имеет только один корень:
х1 = π/6 – корень уравнения sin x = 1/2 и х1 = -π/6 – корень уравнения sin x = -1/2.

Число π/6 называют арксинусом числа 1/2 и записывают: arcsin 1/2 = π/6; число -π/6 называют арксинусом числа -1/2 и пишут: arcsin (-1/2) = -π/6.

Вообще уравнение sin x = а, где -1 ≤ а ≤ 1, на отрезке -π/2 ≤ х ≤ π/2 имеет лишь один корень. Если а ≥ 0, то корень заключен в промежутке [0; π/2]; если а < 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.

Таким образом, арксинусом числа а € [–1; 1] называется такое число а € [–π/2; π/2], синус которого равен а.

аrcsin а = α, если sin α = а и -π/2 ≤ х ≤ π/2        (3).

Например, аrcsin √2/2 = π/4, так как sin π/4 = √2/2 и – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
аrcsin (-√3/2) = -π/3, так как sin (-π/3) = -√3/2 и – π/2 ≤ – π/3 ≤ π/2.

Аналогично тому, как это сделано при решении задач 1 и 2, можно показать, что корни уравнения sin х = а, где |а| ≤ 1, выражаются формулой

х = (-1)n аrcsin а + πn, n € Z          (4).

Также мы можем доказать, что для любого а € [-1; 1] справедлива формула аrcsin (-а) = -аrcsin а.

Из формулы (4) следует, что корни уравнения
sin х = а при а = 0, а = 1, а = -1 можно находить по более простым формулам:

sin х = 0           х = πn, n € Z                        (5)

sin х = 1           х = π/2 + 2πn, n € Z          (6)

sin х = -1        х = -π/2 + 2πn, n € Z          (7)

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

sin 2

Единичная окружность помогает понять, чему равны sin 1, sin 2, sin 3, sin 4, sin 5, sin 6.

Итак, речь идет об углах в радианах. 1 радиан — это угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Соответственно, определяем приблизительное местонахождение на единичной окружности углов в 2, 3, 4, 5 и 6 радиан, отмечая каждую следующую точку через дугу, длина которой равна радиусу.  Впрочем, если вспомнить, что п приближенно равно 3,14, задача существенно упростится.

Рисунок позволяет наглядно определять приблизительные значения sin 1, sin 2, sin 3, sin 4, sin 5, sin 6, а также сравнивать их.

Поскольку синус — это ордината соответствующей точки на единичной окружности (как это легко запомнить — здесь), то для нахождения sin 1, sin 2, sin 3, sin 4, sin 5, sin 6 достаточно определить значение y в точках 1, 2, 3, 4, 5 и 6 радиан.

Поскольку синус — это y, то вверху, над осью x, синус принимает положительные значения. Поэтому sin 1>0, sin 2>0, sin 3>0.

Соответственно внизу синус отрицателен: sin 4<0, sin 5<0, sin 6<o. Поэтому легко сравнить sin2 и sin4, например: sin2>sin4, ведь любое положительное число больше любого отрицательного.

Если требуется сравнить значения синуса одного знака, например, sin2 и sin3, то исходя из геометрических соображений, sin2>sin3.

Если нужно уточнить, чему равен 1 радиан, 2, 3, 4, 5 и 6 радиан в градусах, то приближенные значения таковы:

   

   

   

   

   

   

Приближенно чему равен синус 1, синус 2 и синус 3, можно узнать по таблицам Брадиса:

   

   

   

Используя геометрические соображения, можно найти и приблизительные значения углов, больших 6 радиан.

www.uznateshe.ru