Задачи с решением на формулу бернулли: Математическое Бюро. Страница 404

Содержание

Независимые повторные испытания и формула Бернулли

На этом уроке будем находить вероятность наступления события в независимых испытаниях при повторении испытаний. Испытания называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого испытания не зависит от того, какие исходы имели другие испытания. Независимые испытания могут проводиться как в одинаковых условиях, так и в различных. В первом случае вероятность появления некоторого события во всех испытаниях одна и та же, во втором случае она меняется от испытания к испытанию.

Примеры независимых повторных испытаний:

  • выйдет из строя один из узлов прибора или два, три узла, причём выход из строя каждого узла не зависит от другого узла, а вероятность выхода из строя одного узла постоянна во всех испытаниях;
  • произведённая в некоторых постоянных технологических условиях деталь, или три, четыре, пять деталей, окажутся нестандартными, причём одна деталь может оказаться нестандартной независимо от любой другой детали и вероятность того, что деталь окажется нестандатной, постоянна во всех испытаниях;
  • из нескольких выстрелов по мишени один, три или четыре выстрела попадают в цель независимо от исходов других выстрелов и вероятность попадания в цель постоянна во всех испытаниях;
  • при опускании монеты автомат сработает правильно один, два или другое число раз независимо от того, какой результат имели другие опускания монеты, и вероятность того, что автомат сработает правильно, постоянна во всех испытаниях.

Эти события можно описать одной схемой. Каждое событие наступает в каждом испытании с одной и той же вероятностью, которая не изменяется, если становятся известными результаты предыдущих испытаний. Такие испытания называются независимыми, а схема называется схемой Бернулли. Предполагается, что такие испытания могут быть повторены как угодно большое количество раз.

Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие

A наступит m раз, находится по формуле Бернулли:

(где q = 1 – p — вероятность того, что событие не наступит)

или

Поставим задачу – найти вероятность того, что событие такого типа в n независимых испытаниях наступит m раз.

Пример 1. Найти вероятность того, что среди взятых случайно пяти деталей две стандартные, если вероятность того, что каждая деталь окажется стандартной, равна 0,9.

Решение. Вероятность события А, состоящего в том, что взятая случайно деталь стандартна, есть p=0,9, а вероятность того, что она нестандартна, есть q=1–p=0,1. Обозначенное в условии задачи событие (обозначим его через В) наступит, если, например, первые две детали окажутся стандартными, а следующие три – нестандартными. Но событие В также наступит, если первая и третья детали окажутся стандартными, а остальные – нестандартными, или если вторая и пятая детали будут стандартными, а остальные – нестандартными. Имеются и другие возможности наступления события В. Любая из них характеризуется тем, что из пяти взятых деталей две, занимающие любые места из пяти, окажутся стандартными. Следовательно, общее число различных возможностей наступления события

В равно числу возможностей размещения на пяти местах двух стандартных деталей, т. е. равно числу сочетаний из пяти элементов по два, а .

Вероятность каждой возможности по теореме умножения вероятностей равна произведению пяти множителей, из которых два, соответствующие появлению стандартных деталей, равны 0,9, а остальные три, соответствующие появлению нестандартных деталей, равны 0,1, т.е. эта вероятность составляет . Так как указанные десять возможностей являются несовместимыми событиями, по теореме сложения вероятность события

В, которую обозначим

Пример 2. Вероятность того, что станок в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6. Предполагая, что неполадки на станках независимы, найти вероятность того, что в течение часа внимания рабочего потребует какой-либо один станок из четырёх обслуживаемых им.

Решение. Используя формулу Бернулли при n=4, m=1, p=0,6 и q=1–p=0,4, получим

                 

Пример 3.

Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не менее восьми автомашин, а их имеется десять. Вероятность невыхода каждой автомашины на линию равна 0,1. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день.

Решение. Автобаза будет работать нормально (событие F), если на линию выйдут или восемь (событие А), или девять (событие В), или все десять автомашин событие (событие C). По теореме сложения вероятностей,

.

Каждое слагаемое находим по формуле Бернулли. Здесь n=10, m

=8;&nbsp9; 10, а p=1-0,1=0,9, так как p должно означать вероятность выхода автомашины на линию; тогда q=0,1. В результате получим

Пример 4. Пусть вероятность того, что покупателю необходима мужская обувь 41-го размера, равна 0,25. Найти вероятность того, что из шести покупателей по крайней мере двум необходима обувь 41-го размера.

Решение. Обозначенное в условии задачи событие (обозначим его через С) состоит в том, что из шести покупателей двум, трём, четырём, пяти или шести необходима обувь 41-го размера. Применив теорему сложения вероятностей, а затем формулу Бернулли, получим ответ. Однако задача решается проще, если сначала искать вероятность не требуемого в условии задачи, а противоположного ему события . Оно состоит в том, что менее чем двум покупателям необходима обувь 41-го размера, то есть или ни одному покупателю (событие

А), или только одному (событие В). Таким образом,

.

По формуле Бернулли при n=6, p=0,25, q=0,75 и m=0; 1 получим

(при подсчёте следует иметь в виду, что ). Тогда вероятность события С найдётся как вероятность события, противоположного найденному:

.

Решение задачи на уравнение Бернулли для реальной жидкости

В этой статье представлен подробный разбор задачи на Уравнение Бернулли (на движение потока реальной жидкости). Также показано, как построить пьезометрическую линию и напорную линию (т.е. построить диаграмму Уравнения Бернулли)

Исходные данные

h2 = 7 м, h3 = 3 м

Px = 15000 Па (манометрическое давление)

Длины участков: l1 = 10 м, l2 = 8 м

Диаметры участков: d1 = 150 мм, d2 = 75 мм

Температура воды t=15 градусов Цельсия

Трубы: стальные сварные, после эксплуатации

Определить: расход воды  Q, и построить пьезометрическую и напорную линии

Решение

1) Проведем два сечения и плоскость сравнения.

Мы можем выбрать любые два сечения в потоке жидкости, уравнение Бернулли для них будет справедливо.

Если в задаче есть резервуары – то удобно выбрать сечения на поверхности жидкости в них. Обозначим их 0-0 и 3-3, чтобы не было конфликта в названии с участками трубопровода (1) и (2).

Плоскость сравнения – горизонтальная, может быть проведена где угодно, мы записываем уравнение Бернулли относительно нее. Удобнее всего провести ее по линии симметрии трубопровода.

2) Запишем для сечений 0-0 и 3-3 уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

В общем (исходном) виде Уравнение Бернулли для этих сечений будет выглядеть так:

3) Теперь упростим его, подставив нужные данные из задачи

Z – это положение сечения в пространстве относительно плоскости сравнения

p/ρg – избыточное давление в сечении, слева резервуар – под атмосферным давлением, т.к. он открытый, поэтому избыточное давление равно 0. Справа по условию дано манометрическое давление Px.

Скорость в резервуаре принимается равной 0. Поэтому скоростные напоры обращаются в 0 и для сечения 0-0, и для сечения 3-3.

В итоге вот такое уравнение получилось:

Подставим в него известные из условия задачи значения:

4) Теперь распишем потери напора по пути движения жидкости:

Путь движения жидкости: сначала вход в  трубу, затем участок диаметром d1, затем внезапное сужение, затем участок с диаметром d2 и выход по уровень.

Используя формулу Дарси для потерь по длине, и Вейсбаха для местных потерь, в итоге получим:

Сейчас важно сделать так, чтобы в уравнении фигурировала бы только одна скорость v1 или v2. Этого можно добиться, исходя из уравнения неразрывности в гидравлической форме:

Отметим для себя, что сейчас вывели, что при уменьшении диаметра вдвое, скорость возрастает в 4 раза. (Так всегда!)

5) Перепишем уравнение, используя 4v1 вместо v2, и затем вынесем v21/2g за скобку:

6) Теперь разберемся с коэффициентами местных сопротивлений в уравнении:

Для этого можно обратится к справочному материалу.

Стандартное значение для подобного входа в трубу из резервуара: ζвх = 0,5

Значение коэффициента местного сопротивления при выходе под уровень: ζвых = 1,0

Для внезапного сужения коэффициент необходимо вычислить по формуле:

7) Теперь необходимо определить коэффициенты гидравлического трения λ для обоих участков 

Коэффициент гидравлического трения зависит от числа Рейнольдса Re. А чтобы определить число Рейнольдса, нужно знать скорость, которая нам не известна. Получается замкнутый круг.

Тогда поступают следующим образом. Мы задаемся расчетной формулой для  λ для последней, квадратичной зоны сопротивления. В этой зоне λ зависит только от диаметра и шероховатости трубопровода. В последствии нужно будет проверить, действительно ли движение воды по данным участкам соответствует квадратичной зоне сопротивления.

Итак, вычисляем λ1 и λ2. Для нахождения нам необходимо также знать эквивалентную шероховатость стенки трубопровода. Нам известно, что труба стальная, после эксплуатации. По справочным таблицам берем значение из диапазона 0,1-1,5 мм. Зададимся значением 1,0 мм.

Обратите внимание, что тут можно подставлять шероховатость и диаметр в мм, так как важно именно соотношение

8) Подставляем все значения коэффициентов в уравнение Бернулли

Важно слагаемые в скобке посчитать сначала отдельно, не складывать сразу, это пригодится

Тогда v2 = 0,74∙4 = 2,96 м/с

9) Теперь необходимо проверить режим движения.

Проверим сначала первый участок. Для этого необходимо вычислить число Re, и посмотреть, в границы какой зоны это значение попадает. Для вычисления числа Re необходимо значение кинематической вязкости жидкости; ν = 1,15*10-6 для t=15 град. – по справочным данным

Обозначения скорости и кинематической вязкости очень похожи. Кинематическая вязкость обозначается буквой «ню», в данной формуле она в знаменателе

Вычисляем границы зон турбулентности:

Следовательно, предположение о зоне сделано верно, движение потока соответствует квадратичной зоне турбулентного режима

Проверяем второй участок:

Границы зон турбулентности:

На втором участке также квадратичная зона турбулентного режима. На самом деле его можно было и не проверять, т.к. участок с меньшей скоростью (первый) уже оказался в этой зоне.

10) Вычисляем расход воды в системе (можно взять скорость и площадь сечение любого из участков):

(в данном случае скорость и диаметр сечения взяли для первого участка)

11) На последнем этапе необходимо построить напорную (N) и пьезометрическую (П) линии.

Для этого вычислим отдельно скоростные напоры и все потери напора.

12) Вычислив потери, переходим к построению линий.

Сначала строим напорную линию N-N (фиолетовая на данном рисунке)

Напорная линия показывает полную (потенциальную + кинетическую) энергию жидкости в каждом сечении потока.

Начинаем с левого резервуара. Здесь отсутствует кинетическая энергия (скоростной напор), т.к. скорость равна 0. Поэтому линия совпадает с поверхностью воды в резервуаре. Далее от края резервуара вертикально вниз откладываем потерю на вход в трубу. Затем откладываем величину потери hl1 – она происходит по всей длине первого участка, поэтому откладываем это значение (0,06м) именно в конце первого участка и соединяем. Далее откладываем потерю на внезапном сужении, затем потерю на втором участке и потерю на выход.

Линия придет не в уровень воды во втором резервуаре, а выше, на величину избыточного давления Px/ρg. Если «открыть» второй резервуар, то уровень воды оказался бы как раз на этой отметке.

Далее строится пьезометрическая линия П-П (зеленая на данном рисунке). Пьезометрическая линия показывает потенциальную энергию движения жидкости в каждом сечении потока.

Для её построения нужно отложить значение скоростного напора на первом и втором участках от напорной линии, — и получится две линии, параллельные напорной на соответствующих участках. Далее нужно просто соединить эти участки вертикальной линией.

Положение линии над баками совпадает с напорной.

На этом эта задача считается завершенной. Ура!

Надеюсь, теперь у вас не должно возникнуть вопроса, что такое пьезометрическая линия, и как ее построить.

1.9. Независимые испытания и формула Бернулли



Что такое независимые испытания? Практически всё понятно уже из самого названия. Пусть производится несколько испытаний. Если вероятность появления некоего события  в каждом из них не зависит от исходов остальных испытаний, то… заканчиваем фразу самостоятельно! При этом под словосочетанием «независимые испытания» часто подразумевают повторные независимые испытания – когда они осуществляются друг за другом. Простейшие примеры:

– монета подбрасывается 10 раз;
– игральная кость подбрасывается 20 раз.

Совершенно ясно, что вероятность выпадения орла либо решки в любом испытании не зависит от результатов других бросков. Аналогичное утверждение, естественно, справедливо и для кубика.  А вот последовательное извлечение карт из колоды не является серией независимых испытаний – очевидно, это цепочка зависимых событий. Однако если карту каждый раз возвращать обратно, то это тоже будут повторные независимые испытания.

И у нас в гостях очередной Терминатор, который абсолютно равнодушен к своим удачам / неудачам, и поэтому его стрельба представляет собой образец стабильности 🙂

Задача 65
Стрелок совершает 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и равна . Найти вероятность того, что:
а) стрелок попадёт только один раз, б) стрелок попадёт 2 раза.

Решение: условие сформулировано в общем виде и вероятность попадания в мишень при каждом выстреле считается известной. Она равна  (если совсем тяжко, присвойте параметру какое-нибудь конкретное значение, например, ).

Коль скоро мы знаем , то легко найти вероятность промаха в каждом выстреле:
, то есть, «ку» – это тоже известная нам величина.

а) Рассмотрим событие «Стрелок попадёт только один раз» и обозначим его вероятность через  (индексы понимаются как «1 попадание из 4»).   Данное событие состоит в 4 несовместных исходах: стрелок попадёт в 1-й или во 2-й, или в 3-й, или в 4-й попытке. По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:

Упростим результат с помощью комбинаторной формулы количества сочетаний:
 способами можно выбрать попытку, в которой стрелок попал, и, поскольку в каждом исходе имеет место 1 попадание и 3 промаха, то:
 – вероятность того, что стрелок попадёт только 1 раз из 4.

…как-то так «с лёгкой руки» я начал называть повторные независимые испытания «попытками», что не в каждой задаче может быть корректным в содержательном плане… …ну да ладно.
б) Рассмотрим событие «Стрелок попадёт два  раза» и обозначим его вероятность через  («2 попадания из 4»). Здесь исходов будет уже больше, попадания возможны:

в 1-й и 2-й попытках
или
в 1-й и 3-й попытках,
или
в 1-й и 4-й попытках,
или
во 2-й и 3-й попытках,
или
во 2-й и 4-й попытках,
или
в 3-й и 4-й попытках.

Таким образом, по тем же теоремам сложения и умножения вероятностей:

Можно ли так решать задачу? Безусловно, можно. Но что делать, если серия состоит из 5, 6 или бОльшего количества выстрелов? Тут уже будут получаться десятки слагаемых, запись которых отнимет много времени и места. В этой связи гораздо рациональнее придерживаться более компактной схемы:
 способами (перечислены выше) можно выбрать 2 попытки, в которых произойдут попадания.

И, поскольку в любом исходе ровно 2 попадания и 2 промаха, то:
 – вероятность того, что стрелок попадёт 2 раза из 4.

Ответ:

Итак – вероятность того, что будет 1 попадание из 4, равна , вероятность того, что будет 2 попадания из 4, равна , …не замечаете ли вы закономерности?

Только что на конкретном примере мы повторили путь Якоба Бернулли, который несколько веков назад вывел формулу, названную позже в его честь:

За примером далеко ходить не будем:

Задача 66
Найти вероятность того, что при 10 бросках монеты орёл выпадет 3 раза.

Решение: сначала немного порассуждаем: всего проводится 10 повторных независимых испытаний. Сколькими способами можно выбрать 3 испытания из 10, в которых выпадет орёл? Считаем:
 способами.

Это что же получается, нужно записывать 120 слагаемых, в каждом из которых 10 множителей?! Конечно, нет! – ведь есть формула Бернулли:

, в данном случае:

 – всего испытаний;
 – количество испытаний, в которых должен появиться орёл;
 – вероятность появления орла в каждом испытании;
 – вероятность появления решки в каждом испытании.

Таким образом:
 – вероятность того, что при 10 бросках монеты орёл выпадет ровно 3 раза.

Ответ:

Следует отметить, что повторный характер независимых испытаний не является «жизненно важным» условием для применения формулы Бернулли. Рассмотрим похожую задачу:
Найти вероятность того, что при броске 10 монет орёл выпадет на 3 монетах.

Здесь испытания не повторяются, а скорее, производятся одновременно, но, тем не менее, работает та же самая формула: .

Решение будет отличаться смыслом и некоторыми комментариями, в частности:
 способами можно выбрать 3 монеты, на которых выпадет орёл.
 – вероятность выпадения орла на каждой из 10 монет
и т.д.

Однако на практике подобные задачи встречаются не столь часто, и, видимо, по этой причине  формула Бернулли чуть ли не стереотипно ассоциируется только с повторными испытаниями. Хотя, как только что было показано, повторяемость вовсе не обязательна.
Следующая задача для самостоятельного решения:

Задача 67
Игральную кость бросают 6 раз. Найти вероятность того, что 5 очков:

а) не выпадут (выпадут 0 раз);
б) выпадут 2 раза;
в) выпадут 5 раз.

Результаты округлить до 4 знаков после запятой.

Очевидно, что в рассматриваемых примерах некоторые события более вероятны, а некоторые – менее вероятны. Так, например, при 6 бросках кубика даже безо всяких расчётов интуитивно понятно, что вероятности событий пунктов «а» и «бэ» значительно больше вероятности того, что «пятёрка» выпадет 5 раз. И на уровне интуиции легко сделать вывод, что наивероятнейшее количество появлений «пятёрки» равно единице – ведь всего граней шесть, и при 6 бросках кубика каждая из них должна выпасть в среднем по одному разу. Желающие могут вычислить вероятность  и посмотреть, будет ли она больше «конкурирующих» значений  и .

Теперь сформулируем строгий критерий на этот счёт:

Найдём наивероятнейшее число  появлений «пятёрки» при 6 бросках кубика. Сначала вычислим:
 – целое число, таким образом, это частный случай 1-го пункта и .
Как вариант, можно воспользоваться общей формулой:

 – полученному неравенству удовлетворяет единственное целое значение .
В целях закрепления материала решим пару задач:

Задача 68
Вероятность того, что при броске мяча баскетболист попадёт в корзину, равна 0,3. Найти наивероятнейшее число попаданий при 8 бросках и соответствующую вероятность.

Решение: для оценки наивероятнейшего числа попаданий используем двойное неравенство . В данном случае:

 – всего бросков;
 – вероятность попадания в корзину при каждом броске;
 – вероятность промаха при каждом броске.

Таким образом, наивероятнейшее количество попаданий при 8 бросках находится в следующих пределах:

Поскольку левая граница (1,7) – дробное число (пункт № 1 критерия – см. выше), то существует единственное наивероятнейшее значение, и, очевидно, что это .

Используя формулу Бернулли ,  вычислим вероятность того, что при 8 бросках будет ровно 2 попадания:
 

Ответ:  – наивероятнейшее количество попаданий при 8 бросках,  – соответствующая вероятность.

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Задача 69
Монета подбрасывает 9 раз. Найти вероятность наивероятнейшего числа появлений орла

Решение и ответ в конце книги.

А сейчас немного отвлёчёмся и рассмотрим весьма любопытную ситуацию: предположим, что во всех 9 испытаниях выпал орёл. Что, кстати, не являются каким-то уж сильно невероятным событием:  😉

Вопрос: какая сторона монеты вероятнее всего выпадет в 10-м испытании?

Как вы думаете?

…ответьте на этот вопрос и перейдите на следующую страницу.

Правильный ответ: вероятности останутся равными! Почему? Причина была сформулирована в начале параграфа: поскольку испытания независимы, то вероятность выпадения орла либо решки в любом испытании не зависит от результатов других испытаний!

Однако игры разума таковы, что у многих людей напрашивается следующий вывод: раз орёл выпал много раз подряд, то теперь выпадение решки гораздо (!) вероятнее. Этот психологический феномен получил название Ошибка игрока. Если подбрасывать монету тысячи, десятки тысяч раз, то соотношение орлов / решек будет примерно равным (о чём мы ещё поговорим). Но в этом процессе неоднократно встретятся эпизоды, когда монету «заклинит» на какой-то одной грани, и КАК ИМЕННО распределятся эти «необычные» серии на длинной дистанции – никто не знает.

К слову, о «необычности». Любая случайная последовательность девяти орлов/решек так же вероятна, как и выпадение 9 орлов! Проверить данный факт легче лёгкого: запишем произвольную последовательность исходов, например:
Орёл/Решка/Решка/Орёл /Решка/ Орёл /Решка/ Орёл /Орёл

По теореме умножения вероятностей независимых событий, вероятность появления этой цепочки:
, что в точности равно вероятности выпадения девяти орлов !

И здесь мы сталкиваемся со второй иллюзией – человек склонен считать «красивые» комбинации чем-то из ряда вон выходящим и чуть ли не фантастическим. Но на самом деле ничего необычного, например, в комбинации О/О/О/Р/Р/Р/О/О/О  – нет, и она может запросто появиться в серии испытаний.

Вероятность получить, скажем, пиковый «Ройял-флеш» в покересоставляет 1:2598960, однако мало кто задумывается, что с той же вероятностью приходит ЛЮБАЯ, в том числе, совершено «мусорная» комбинация из пяти карт! И с этой точки зрения «сверхъестественная» комбинация  10, В, Д, К, Т пик ничем не примечательна – встречалась «в истории» наряду с другими очень много раз. И поэтому «Ройял-флеш» может запросто оказаться у вас или у вашего соперника.

Кстати, к теме нашего разговора относятся и типичные ситуации в играх, в частности, в картах – когда «карта идёт», и наоборот – когда постоянно сдают «один мусор» или «фатально не везёт». Такие «полосы» встречаются у каждого игрока, и никакой мистики в этом нет. Да что там игры, в жизни то же самое – пресловутые «чёрные и белые полосы».

На просторах Интернета часто встречается популярный «секрет выигрыша» в рулетку, известный также под названием «Мартингейл». Краткая суть системы состоит в следующем: «Ставьте на красное. Если выпало чёрное, удваивайте ставку и снова ставьте на красное. Если снова выпало чёрное, то ещё раз удваивайте ставку и снова ставьте на красное и т.д.». Казалось бы – вот оно, золотое дно, ведь красных секторов целых 18 из 37! (+ 18 черных и 1 зеро в европейской рулетке). И уж «красное» должно (!) выпасть если не на 5-й, то на 10-й раз точно, что позволит отыграть всё ранее поставленное с прибылью!

Ничего подобного!

Вероятность выпадения красного сектора в любом испытании постоянна  и никак не зависит от результатов предыдущих испытаний. Постоянна – и проигрышна (т.к. поставленные на «красное» деньги с вероятностью  проигрываются, а в случае успеха удваиваются). Длинная серия «чёрного» обязательно появятся (рано или поздно) и разорит даже Билла Гейтса. Поэтому данный «секрет», как и все остальные системы игры в рулетку – не работает.

«Ошибка игрока» совершается и многими участниками лотерей. Она состоит в том, что люди пытаются предугадать числа на основе статистики предыдущих тиражей. Чистой воды химера и пустая трата времени – если, например, № 8 не выпадал 50 раз подряд, то он с таким же успехом может не выпасть ещё 150 раз (это не ирония). Однако если провести десятки тысяч тиражей, то количество появлений всех номеров будет примерно равным, но В КАКОМ ПОРЯДКЕ И КАКИМИ СЕРИЯМИ будет выпадать та же «восьмёрка» на длинной дистанции – никто предсказать не может.

А теперь ответим на один важный вопрос:

Как правильно играть в азартные игры и лотереи? – в чём главный секрет?

Наверное, многие ожидают услышать от меня что-нибудь вроде: «Лучше вообще не играть», «Открыть собственное казино», «Организовать лотерею» и т.п. Ну почему же не играть? Игра – это одно из развлечений, а за развлечения, как известно, нужно… совершенно верно! Поэтому средства, на которые вы играете, следует считать платой за развлечение, но ни в коем случае трагической потерей. Что касается лотерей, то билет лучше покупать опять же ради развлечения и наобум. Или «по наитию». Правда, лично я никогда не слышал, чтобы кто-то из «счастливчиков» рассказывал о своём предчувствии.

Естественно, перечисленные советы не относятся к хроническим лудоманам и им как раз таки «Лучше вообще не играть». И после столь увлекательного отступления рассмотрим ещё несколько задач по теме:

Задача 70
Среди изделий, произведенных на станке-автомате, в среднем бывает 60% изделий первого сорта. Какова вероятность того, что среди 6 наудачу отобранных изделий будет:

а) от 2 до 4 изделий первого сорта;
б) не менее 5 изделий первого сорта;
в) хотя бы одно изделие более низкого сорта.

Вероятность производства первосортного изделия не зависит от качества других выпущенных изделий, поэтому в задаче речь идёт о независимых испытаниях. Пожалуйста, не подходите формально и не пренебрегайте подобным анализом условия, а то может статься, события-то зависимые или задача вообще о другом.

Решение: вероятность зашифрована под проценты, которые, напоминаю, нужно разделить на сто:  – вероятность того, что выбранное изделие будет 1-го сорта. Тогда:  – вероятность того, что оно не будет первосортным.

а) Событие «Среди 6 наудачу отобранных изделий будет от 2 до 4 изделий первого сорта» состоит в трёх несовместных исходах: среди  изделий будет 2 первосортных или 3 первосортных, или 4 первосортных.

С исходами удобнее разделаться по отдельности. Трижды используем формулу Бернулли :

 

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
 – вероятность того, что среди 6 наудачу отобранных изделий будет от 2 до 4 изделий первого сорта.

Решение можно было записать и «одной строкой», что мы и сделаем в следующем пункте:

б) Событие «Среди 6 наудачу отобранных изделий будет не менее 5 изделий первого сорта» состоит в двух несовместных исходах: первосортных изделий будет пять или шесть. По формуле Бернулли и теореме сложения вероятностей несовместных событий:

 – искомая вероятность.

в) Вероятность того, что «Среди 6 наудачу отобранных изделий будет хотя бы одно изделие более низкого сорта» удобно найти через вероятность противоположного события («Все изделия будут первосортными»), которая уже известна:

 – вероятность того, что среди шести отобранных изделий окажется хотя бы одно низкосортное.

Ответ: , и подобных задач пруд пруди.

Давайте заодно вспомним такое полезное понятие, как полная группа событий. Что осталось не найденным? Остались не найденными вероятности двух событий. Не хотел я лишний раз заострять внимание на Калькуляторе по теории вероятностей, который приложен к книге, но быстроты ради воспользуюсь:

 – но на чистовике так, конечно, делать не нужно – обязательно расписывайте вычисления подробно!

Проверка:
,
что и требовалось проверить

Небольшое задание для самостоятельного решения:

Задача 71
Производится 8 выстрелов по цели, в каждом из которых вероятность попадания равна 0,1. Для разрушения цели требуется хотя бы два попадания. Найти вероятность того, что цель будет разрушена

Формула Бернулли очень удобна, но с другой стороны, обладает и рядом недостатков. В частности, при достаточно больших значениях  и  её применение затруднено ввиду огромных значений факториалов. В этом случае используют теоремы Лапласа. В другой распространённой на практике ситуации вероятность  достаточно мала, а количество испытаний  весьма велико. Здесь вопрос разрешается с помощью формулы Пуассона, с неё и начнём:

1.10. Формула Пуассона

1.8. Формулы Байеса

| Оглавление |



Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин


Формула Бернулли — Онлайн учебник по теории вероятности с примерами решения задач

Событие \(A\) называется независимым в данной системе испытаний, если вероятность этого события в каждом из них не зависит от исходов других испытаний.

Серия повторных независимых испытаний, в каждом из которых данное событие \(A\) имеет однут и ту же вероятность \(P(A)=p\), не зависящую от номера испытания, называется схемой Бернулли.

Таким образом, в схеме Бернулли для каждого испытания имеются только два исхода: 1) событие \(A\) («успех») и событие \(\overline A\) («неудача»), с постоянными вероятностями \(P(A)=p\) и \(P(\overline A)=q\), причем, очевидно, \(p+q=1\).

Рассмотрим задачу: в условиях схемы Бернулли определить вероятность \(P_n(m)\) \((0 \le m \le n)\) того, что при \(n\) испытаниях событие \(A\), имеющее одну и ту же вероятность \(P(A)=p\) для каждого отдельного испытания, появится ровно \(m\) раз.

Благоприятные серии испытаний здесь имеют вид

\[A_{{\alpha}_1} A_{{\alpha}_2} …  A_{{\alpha}_n},\]

где \(A_{{\alpha}_i}=A\) или \(\overline A\) \((i=1,2,…,n)\), причем событие \(A\) встречается ровно \(m\) раз, а событие \(\overline A\) — ровно \((n-m)\) раз. Так как испытания независимы, то вероятность реализации одной такой благоприятной серии равна

\[p^mq^{n-m},\]

где \(p=P(A)\), \(q=P(\overline A)=1-p\).{10}=\frac{252}{1024} \approx 0.25.\]

Формула Бернулли и пример решения задачи Теория вероятностей…

Привет, сегодня поговорим про формула бернулли, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое формула бернулли, решения задачи , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Предположим, что несколько одинаковых машин в одних и тех же условиях перевозят груз. Любая машина может выйти из строя при этих перевозках. Пусть вероятность выхода из строя одной машины не зависит от выхода из строя других машин. Это значит, что рассматриваются независимые события (испытания). Вероятности выхода из строя каждой из этих машин примем одинаковыми ().

Пусть, в общем случае, производится независимых испытаний. Ставится задача определения вероятности того, что ровно в испытаниях наступит событие , если вероятность наступления этого события в каждом испытании равна  . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . В случае с машинами это могут быть вероятности выхода из строя ровно одной машины, ровно двух машин и т.д.

Определим вначале вероятность того, что в первых испытаниях событие наступит, а в остальных испытаниях — не наступит. Вероятность такого события может быть получена на основании формулы вероятности произведения независимых событий

,

где .

Так как рассматривалась только одна из возможных комбинаций, когда событие произошло только в первых испытаниях, то для определения искомой вероятности нужно перебрать все возможные комбинации. Их число будет равно числу сочетаний из элементов по , т.е. .

Таким образом, вероятность того, что событие наступит ровно в испытаниях определяется по формуле

, (3.3)

где .

 

Формула (3.3) носит название формулы Бернулли.

Пример. В четырех попытках разыгрываются некоторые предметы. Вероятность выигрыша в каждой попытке известна и равна 0,5. Какова вероятность выигрыша ровно трех предметов?

Решение. По формуле Бернулли находим

Понравилась статья про формула бернулли? Откомментируйте её Надеюсь, что теперь ты понял что такое формула бернулли, решения задачи и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

Формула и схема Бернулли

Формула и схема Бернулли

 

   Пусть многократно реализуются повторные испытания при неизменных условиях их проведения. В ходе испытания фиксируется появление некоторого случайного события А, вероятность появления которого – Р(А) не зависит от результатов предыдущих испытаний и остается неизменной ( Р(А)=const ) при

повторении опыта. Такие испытания называются независимыми, а схема проведения испытаний носит название схемы Бернулли.

   Вероятность  того, что событие А наступит ровно m раз в n независимых испытаниях, удовлетворяющих условиям схемы Бернулли равна:

,

где :p=P(A)–вероятность наступления события А; и q=1-p.

 

   Пример 1.  Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,05.  Какова вероятность того, что среди купленных 10 билетов окажутся 2 выигрышных.

Решение.   Данная задача описывается схемой Бернулли: проводится 10 испытаний, в ходе которых проверяется наличие выигрыша. Применяя формулу Бернулли, находим вероятность появления выигрыша в двух из десяти испытаний:

.

 

   Пример 2.  При проведении маркетинговых исследований выявлено, что 20% опрошенных предпочитают использовать продукцию данной фирмы. Найти вероятности возможного числа пользователей продукцией фирмы в произвольно выбранной группе из пяти человек.

Решение. Согласно условию задачи вероятность того, что человек использует продукцию данной фирмы равна 0,2 (т.е:  и ). Искомые вероятности находим по формуле Бернулли   (где: n=5; и m=1,…,5) и помещаем их в таблицу.

 

№ п.п.

Число пользователей продукцией

фирмы в группе из пяти человек

Вероятность рассматриваемого события  ()

1

Пользователей нет

2

Один пользователь

3

Два пользователя

3

Три пользователя

4

Четыре пользователя

5

Все используют продукцию

данной фирмы

  

Асимптотические приближения формулы Бернулли

 

   Формула Бернулли дает точное значение вероятности того, что событие А наступит ровно m раз в n независимых испытаниях, определяемых схемой Бернулли. Однако, практическое применение этой формулы часто оказывается затруднительным, если числа m и n достаточно велики, а вероятность р – мала. Существуют некоторые асимптотические приближения формулы Бернулли.

Формула Пуассона

 

    Теорема. Если вероятность p наступления некоторого события А в каждом испытании, определяемом схемой Бернулли, стремится к нулю () при неограниченном увеличении числа испытаний n (), а произведение np стремится к некоторой константе  (), то вероятность  того, что событие А наступит

ровно m раз в n  испытаниях удовлетворяет предельному равенству: .

   С практической точки зрения, условия и выводы данной теоремы означают, что при выполнении следующих трех условий:

а)вероятность p наступления некоторого события А в каждом испытании, определяемом схемой Бернулли, достаточно мала;

б)число испытаний n – велико;

в)произведение np не превышает десяти (),

то с достаточно высокой степенью точности формула Бернулли может быть аппроксимирована  следующей формулой (Пуассона): , где: .

 

Локальная формула Муавра-Лапласа

 

   Теорема. (локальная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность p наступления события А в каждом испытании, определяемом схемой Бернулли, постоянна и отлична от 0 и 1 ( и ), а число испытаний n достаточно велико, то вероятность  того, что событие А наступит ровно m раз в n испытаниях приближенно равна:

, где:  φ(x) — функция Гаусса, определяемая выражением , аргумент х которой вычисляется по формуле .

Точность данного приближения увеличивается с ростом n(n>>1), и на практике оно может быть

 

использовано при значении n, удовлетворяющих условию: .

Значения функции Гаусса табулированы, что упрощает проведение расчётов.

Полезно иметь в виду следующие свойства функции Гаусса:

1.Для положительных значений х, функция Гаусса φ(x) является монотонно убывающей, стремящейся к нулю функцией: .

2.Для области отрицательных значений аргумента, свойства функции Гаусса φ(x) определяются ее четностью: φ(-x)= φ(x).

 

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

 

   Часто на практике требуется найти вероятность того, что число наступлений события А находится в некотором диапазоне. Например, требуется найти вероятность того, что событие А произойдет от десяти пятнадцати раз. Ответ на этот вопрос помогает найти следующая теорема.

   Теорема. (интегральная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность p наступления некоторого события А в каждом испытании, определяемом схемой Бернулли, постоянна и отлична от 0 и 1 ( и ), то вероятность того, что число m наступлений события А в n испытаниях заключено в интервале [a, b] — , при достаточно большом n, приближенно равна:  ,

где: — функция, именуемая интеграл вероятности Лапласа,  определяется выражением:

,а значения  и  вычисляются по формулам: ,   .

Приведенная выше формула вычисления вероятности  носит название интегральной формулы Муавра-Лапласа. Ее точность возрастает с ростом n(n>>1), а ее применение на практике обычно выражается условием, аналогичным для локальной формулы: .

Значения функции  (интеграл вероятности Лапласа) табулированы. При проведении соответствующих расчетов полезно иметь в виду свойства функции , о которых подробно рассказано в разделе “Нормальный закон распределения”.

 

Примеры решения задач на тему «Повторение опытов»

 

Задача 1. Предприятие имеет проблемы с поставками сырья. Вероятность того, что в каждом отдельном месяце предприятие будет полностью обеспечено сырьем, равна 0,9. Какова вероятность того, что за полугодовой период предприятие будет полностью обеспечено сырьем:

а) ровно в трех месяцах?

б) не менее чем в двух месяцах?

Решение.

а)Поскольку вероятность обеспечения предприятия сырьем в каждом отдельном месяце постоянна и не зависит от обеспеченности сырьем в других месяцах, то мы имеем схему Бернулли. Следовательно, вероятности обеспечения сырьем могут быть рассчитаны по закону Бернулли: 

            ,       где: 

    — вероятность обеспечения предприятия сырьем в m месяцах за n месяцев;

p — вероятность обеспечения предприятия сырьем в каждом месяце,  р = 0,9;

    q — вероятность не обеспечения предприятия сырьем в каждом месяце, q = 1 – p = 0,1.

n – количество месяцев в полугодии, n = 6;

m – число месяцев обеспечения сырьем;

Cnm – число сочетаний из n = 6 по m, ;

а) n = 6; m = 3, получим:

б) Т.к. события «не менее чем в двух месяцах» и «менее чем в двух месяцах» противоположные, то: 

;

;

получим: .

Ответ: а) Р(А) = 0,015;     б) Р(А) = 0,999945.

 

Задача 2. Два ревизора проверяют счета фирмы. Каждый случайным образом выбрал по 10 счетов. Известно, что вероятность наличия ошибочного счета среди счетов фирмы равна 0,05. Какова вероятность того, что:

а) каждый ревизор обнаружит хотя бы один ошибочный счет;

б) будет обнаружен хотя бы один ошибочный счет?

Решение.

    Исходим из посылок:

— если среди выбранных счетов есть ошибочный, то ревизор его обнаруживает;

— ревизоры действуют независимо друг от друга (обнаружение ошибочного счета одним ревизором не влияет на возможность обнаружения ошибочного счета другим ревизором).

Обозначим:

А – событие, состоящее в том, что каждый ревизор обнаружит хотя бы один ошибочный счет;

    В – событие, состоящее в том, что первый ревизор обнаружит хотя бы один ошибочный счет;

     – событие, состоящее в том, что первый ревизор не обнаружит ни одного ошибочного счета;

С – событие, состоящее в том, что второй ревизор обнаружит хотя бы один ошибочный счет;

 – событие, состоящее в том, что второй ревизор не обнаружит ни одного ошибочного счета.

    p — вероятность наличия ошибочного счета среди счетов фирмы;

    q — вероятность отсутствия ошибочного счета среди счетов фирмы.

D – событие, состоящее в том, что будет обнаружен хотя бы один ошибочный счет;

а) Очевидно А = В∙С,

отсюда Р(А) = Р(В∙С) = Р(В)∙Р(С) – т.к. ревизоры действуют независимо.

Но Р(В) = 1 – Р()   и   Р(С) = 1 — Р(), тогда  Р(А) = (1 – Р())∙(1 — Р()). 

По условию вероятность наличия ошибочного счета среди счетов фирмы постоянна, равна 0,05 и не зависит ни от количества выбранных счетов ни от номера ревизора, следовательно, мы имеем дело со схемой Бернулли и поэтому:

Р()=Р()=  

Получаем: Р(А)=(1–0,5987)∙(1-0,5987) = 0,1610.

б) Очевидно, что D = B + C , отсюда:

Р(D) = Р(B + C) = P(B) +P(C) – P(B)∙P(C) – т.к. события B и C – совместные.

Но: Р(В) = 1 – Р(), Р(С) = 1 — Р(),    P(B)∙P(C) = (1 – Р())∙(1 — Р()),

Получаем: Р(D) = (1 – 0,5987) + (1 – 0,5987) — — (1 – 0,5987)∙(1 — 0,5987) = 0,642.

Ответ: а) Р(А) = 0,1610;      б) Р(D) = 0,6420.

 

Задача 3. Происходит демонстрация работы нового разрабатываемого фирмой изделия потенциальному заказчику. Демонстрируется работа трех изделий. Для каждого изделия вероятность того, что демонстрация пройдет без каких-либо сбоев, равна 0,9. Если все три изделия отработают без сбоев, вероятность того, что клиент сделает заказ, равна 0,8. Если одно из изделий допустит сбой, вероятность заказа равна 0,6; если два изделия допустят сбой, вероятность заказа уменьшается до 0,3. Если неполадки будут в работе всех трех изделий, заказа точно не будет. Какова вероятность того, что клиент сделает заказ?

Решение.

Обозначим:

А – событие, состоящее в том, что клиент сделает заказ;

    В – событие, состоящее в том, что все три изделия отработают без сбоев;

    С – событие, состоящее в том, что одно из изделий допустит сбой;

    D – событие, состоящее в том, что два изделия допустят сбой;

Опишем событие А: А = ВА + СА + DА, соответственно

Р(А) = Р(ВА + СА + DА) = Р(ВА) + Р(СА) + Р(DА)= = Р(В)∙Р(А/В) + Р(С)∙Р(А/С) + Р(D)∙Р(A/D), т.к. события ВА, СА и  DA  – несовместные. 

Поскольку вероятность отсутствия сбоев в работе каждого изделия постоянна и не зависит от сбоев в работе других изделий, то мы имеем схему Бернулли. Следовательно, вероятности событий В, С, D могут быть рассчитаны по закону Бернулли: 

     ,       где: 

    — вероятность появления сбоев в работе m изделий в партии из n изделий;

p — вероятность работы каждого изделия без сбоев,  р = 0,9;

    q — вероятность сбоев в работе каждого изделия, q = 1 – p = 0,1.

n – количество изделий в партии, n = 3;

m – число изделий, отработавших без сбоя в работе;

Cnm – число сочетаний из n = 3 по m, ;

По условию:Р(А/В)=0,8; Р(А/С)=0,6; Р(А/D)= 0,3;

Получим:  Р(А) = 0,729∙0,8 + 0,243∙0,6 + +0,027∙0,3 = 0,7371.

Ответ:  Р(А) = 0,7371.

 

Задача 4. Владелец универсама считает, что в среднем каждый пятый посетитель его магазина совершает покупку. Допуская, что предположение владельца верно, определить вероятность того, что

а) двое из восьми посетителей универсама совершают покупки;

б) хотя бы один из пяти посетителей универсама совершит покупку.

Решение.

Поскольку вероятность покупки для каждого посетителя постоянна и не зависит от совершения покупок другими посетителями, то мы имеем схему Бернулли. Следовательно, вероятности совершения покупок посетителями могут быть рассчитаны по закону Бернулли: 

     ,       где: 

    — вероятность совершения покупок m посетителями из совокупности в n посетителей;

p — вероятность совершения покупки каждым посетителем,  р = 0,2;

    q — вероятность не совершения покупки каждым посетителем, q = 1 – p = 0,8.

n – количество посетителей в совокупности;

m – количество посетителей совершивших покупки;

Cnm – число сочетаний из n по m, ;

а) n = 8; m = 2, получим:

;

б) т.к. события «хотя бы один из пяти» и «ни одного из пяти» противоположные, то:

;

получим: .

Ответ: а) Р(А) = 0,293;       б) Р(А) = 0,6723.

 

Задача 5. Отдел контроля качества фирмы, производящей стереофонические системы, взял на проверку 4 системы. Вероятность обнаружения дефекта в каждой из них составляет 0,02. Какова вероятность, что

а) во всех системах будут обнаружены дефекты;

б) хотя бы в одной системе будут обнаружены дефекты?

Решение.

Поскольку вероятность обнаружения дефекта в каждой системе постоянна и не зависит от обнаружения дефекта в других системах, то мы имеем схему Бернулли. Следовательно, вероятности обнаружения дефекта в системах могут быть рассчитаны по закону Бернулли: 

     ,       где: 

    — вероятность обнаружения дефекта в  m системах из совокупности в n систем;

p — вероятность обнаружения дефекта в каждой системе,  р = 0,02;

    q — вероятность не обнаружения дефекта в каждой системе, q = 1 – p = 0,98.

n – количество систем в совокупности;

m – количество дефектных систем;

Cnm – число сочетаний из n по m, ;

а) n = 4; m = 4, получим:

;

б) т.к. события «хотя бы в одной из четырех» и «ни в одной из четырех» противоположные, то: ;

;

получим: .

Ответ: а) Р(А) = 0,00000016;  б) Р(А) = 0,0776.

     Задача 6. В работе телефонной станции происходят в среднем 3 сбоя в час. Определить вероятность:

а) пяти сбоев за 2 часа;

б) хотя бы одного сбоя за 1 час.

Решение.

    Поскольку число соединений в работе телефонной станции в течении часа гораздо больше числа сбоев в ее работе (числа неверных соединений), то вероятность появления m сбоев вычисляется по  закону Пуассона с параметром λ = 3 (сбоя в час):   Рm = .

а) Обозначим: 

А – событие, состоящее в появлении пяти сбоев за 2 часа работы станции.

В соответствии со свойством закона Пуассона вероятность пяти сбоев за 2 часа определится по этому же закону, но при λ =2∙3=6 (сбоев в час):

Р(А)=Р5 =  — этот же результат можно получить из таблицы распределения Пуассона при: λ =  6   и   m = 5. 

б) Обозначим: 

А – событие, состоящее в появлении хотя бы одного сбоя за 1 час работы станции;

 – событие, состоящее в отсутствии сбоев за 1 час работы станции.

Тогда: Р(А)=1–Р()=1–Р0 =1-.

Ответ: а) Р(А) = 0,1606;      б) Р(А) = 0,9502.

 

Задача 7. В агентство по продаже недвижимости в среднем обращаются 8 клиентов в день. Какова вероятность того, что за данный день в агентство обратятся 3 клиента?

Решение.

    В задаче задана интенсивность потока событий λ = 8 клиентов в день. Поскольку время обращения клиента в агентство гораздо менее времени работы агентства и самих обращений – немного, то можно считать, что вероятность обращения m клиентов в агентство вычисляется по  закону Пуассона с параметром λ = 8 (обращений в день):   Рm = . Тогда вероятность обращения трех клиентов в день определится:

Р(А) = Р3  =   — этот же результат можно получить из таблицы распределения Пуассона при: λ =  8   и   m = 3. 

Ответ:      Р(А) = 0,0286.

 

Задача 8. В честь национального праздника состоялся массовый забег на дистанцию 10 км. В забеге приняли участие 250 человек. Обычно в забегах такого типа из каждых десяти участников 8 доходят до финиша. Какова вероятность того, что до финиша дойдут

а) 200 человек;

б) от 180 до 220 человек?

Решение.

Поскольку считается, что вероятность дойти до финиша для каждого участника одинаковая, то мы имеем схему Бернулли при большом числе испытаний. Следовательно, вероятности, в данном случае, могут быть рассчитаны по:

а) локальной теореме Муавра-Лапласа, представляющей собой первую предельную форму закона Бернулли:  ,       где: 

    — вероятность того, что из n участников до финиша добегут  m участников;

p — вероятность добежать до финиша для каждого участника,  р = 0,8;

    q — вероятность не добежать до финиша для каждого участника, q = 1 – p = 0,2.

n – количество участников, m = 250;

    — значение функции Гаусса в точке х, определяемое по таблицам;

х – значение аргумента функции Гаусса, определяемое по формуле: ;

б) интегральной теореме Муавра-Лапласа, представляющей вторую предельную форму закона Бернулли:  ,       где: 

— вероятность того, что из n участников до финиша добегут от m1 до m2 участников;

— значение функции Лапласа в точке х, определяемое по таблицам;

х – значение аргумента функции Лапласа, определяемое по формулам:

;

p — вероятность добежать до финиша для каждого участника,  р = 0,8;

    q — вероятность не добежать до финиша для каждого участника, q = 1 – p = 0,2.

n – количество участников, m = 250;

Для а) имеем: n = 250; m = 200, р = 0,8;

q=0,2; получим: ;    ;отсюда:;

Для б) имеем: n = 250; m1 = 180; m2 = 220; р = 0,8; q = 0,2; получим:

;

т.к. функция Лапласа нечетная: Ф(-х)=-Ф(х), то:

.

Ответ:а) ;  б) .

 

Задача 9. Что вероятнее выиграть у равносильного шахматиста (ничейный исход партии исключается): больше одной партии из четырех или больше двух партий из пяти.

Решение.

Поскольку партнеры равносильны, то вероятность выигрыша равна вероятности проигрыша, причем эти вероятности постоянны и не зависят от результатов предыдущих партий. Значит, вероятности выигрыша могут быть рассчитаны по закону Бернулли: 

     ,       где: 

    — вероятность  m выигрышей в n партиях;

p — вероятность выигрыша в каждой партии,  р = 0,5;

    q — вероятность проигрыша в каждой партии, q = p = 0,5;

n – количество сыгранных партий;

m – количество выигранных партий;

Cnm – число сочетаний из n по m, ;

Событие «больше одной партии из четырех» противоположно событию «не более одной партии из четырех», которое в свою очередь равно сумме несовместных событий «ни одной из четырех» и «одна из четырех», тогда:  ;

получим: ;   отсюда:

;

 

Событие «больше двух партий из пяти» противоположно событию «не более двух партий из пяти», которое в свою очередь равно сумме несовместных событий «ни одной из пяти», «одна из пяти» и  «две из пяти» тогда:   ;

получим:

    ;  

;  отсюда:

;

Следовательно:  

Ответ: У равносильного шахматиста более вероятно выиграть более одной партии из четырех чем более двух партий из пяти.

 

Задача 10. (Проблема Смита) В 1693 г. Джоном Смитом был поставлен следующий вопрос: одинаковы ли шансы на успех у трех человек, если первому надо получить хотя бы одну шестерку при бросании игральной кости 6 раз, второму не менее двух шестерок при 12 бросаниях, а третьему — не менее трех шестерок при 18 бросаниях.

Решение.

Вероятности получения различного числа шестерок при различном числе подбрасываний игрального кубика могут быть рассчитаны по закону Бернулли: 

     ,       где: 

    — вероятность выпадения m шестерок при n подбрасываниях;

p — вероятность выпадения шестерки при каждом подбрасывании,  р = ;

    q — вероятность не выпадения шестерки при каждом подбрасывании, q =1 — p =;

Cnm – число сочетаний из n по m, ;

Событие «хотя бы одна шестерка при бросании игральной кости 6 раз» противоположно событию «ни одной шестерки при бросании игральной кости 6 раз», тогда:

получим:

;  

Отсюда: ;

Событие «не менее двух шестерок при 12 бросаниях» противоположно событию «менее двух шестерок при 12 бросаниях», которое в свою очередь равно сумме несовместных событий «ни одной  шестерки при 12 бросаниях» и «одна шестерка при 12 бросаниях», тогда:

 

получим:

;

;

Отсюда: ;

Событие «не менее трех шестерок при 18 бросаниях» противоположно событию «менее трех шестерок при 18 бросаниях», которое в свою очередь равно сумме несовместных событий «ни одной  шестерки при 18 бросаниях»,  «одна шестерка при 18 бросаниях» и «две шестерки при 18 бросаниях», тогда:

;

получим:

;

 ;

;

Отсюда:;

Следовательно:  

Ответ: Шансы на успех у трех человек различны и снижаются с увеличением необходимого числа получения шестерок и подбрасываний кубика.

 

 

Закон Бернулли и формула Эйлера. Готовимся к олимпиадам, 9 класс

В задачах сегодняшней статьи снова “не школьные” темы: закон Бернулли и формула Эйлера (закон неразрывности струи).

Задача 1. По каналу с радиусом закругления м и шириной м течёт вода. Два манометра, находящиеся в одной горизонтальной плоскости у наружной и внутренней стенок канала, дают показания, отличающиеся на Па. Чему равна скорость воды в канале? Плотность воды кг/м Ответ дать в м/с, округлить до целых.

Решение.

Для трубки тока, расположенной горизонтально (), уравнение Бернулли имеет вид: . По условию задачи Скорость воды в канале на повороте должна подчиняться условию

   

где — скорость течения воды в канале на середине реки, и — скорости у берегов, соответственно.

Таким образом, и

Подставляя скорости в уравнение для , получим

   

откуда

   

Ответ: 2 м/с.

 

Задача 2. На некоторых реках недалеко от устья во время прилива наблюдается бор – волна, представляющая собой резкое повышение уровня воды. Определите скорость движения бора, считая, что его форма не меняется со временем. Высота бора м, глубина реки м, скорость течения м/с. Ответ дать в м/с, округлить до десятых.

К задаче 2

Решение.

Пусть скорость бора равна . Перейдём в сопутствующую систему отсчета, движущуюся со скоростью бора. Тогда вода набегает со скоростью , а после бора движется с некоторой скоростью Из закона Бернулли и из уравнения неразрывности получаем , окончательно

Ответ: 6,3 м/с.

Задача 3. Что произойдёт, если продувать струю воздуха между двумя шариками от пинг-понга, подвешенными на нитях?

К задаче 3

  1. Останутся неподвижными
  2. Будут двигаться вместе вправо или влево
  3. Отклонятся друг от друга
  4. Приблизятся друг к другу

Решение.

В системе отсчёта шариков воздух между ними имеет скорость, а воздух снаружи неподвижен. В соответствии с законом Бернулли давление в движущейся среде меньше, чем в неподвижной. Поэтому шарики начнут сближаться.

Ответ: 4.

 

Задача 4. На поршень горизонтально расположенного шприца площадью поперечного сечения см действует постоянная горизонтальная сила Н. С какой скоростью вытекает струя из отверстия площадью см, если плотность жидкости кг/м и поршень движется равномерно? Ответ дать в м/с. Округлить до целых.

К задаче 4

Решение.

Пусть скорость движения поршня , а скорость струи на выходе из шприца . Тогда по уравнению Бернулли Но, из уравнения неразрывности . Обобщая всё написанное выше, получаем, что м/с. Малой площадью выходного отверстия в последней формуле можно пренебречь.

Ответ: 7 м/с.

Задача 5. Вода течёт по горизонтальной трубе переменного сечения. Скорость течения в широкой части трубы 20 см/с. Определите скорость течения воды в узкой части трубы, диаметр которой в 2 раза меньше диаметра широкой части. Ответ дать в см/с, округлив до целых.

Решение.

Применим уравнение неразрывности струи , где см/с, — диаметр узкой трубы. Откуда см/с.

Ответ: 80 см/с.

 

Уравнение Бернулли — AP Physics 2

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Упражнения с решениями на основе уравнения Бернулли

В статье приведены упражнения с решениями на основе уравнения Бернулли.

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли основано на сохранении энергии текущих жидкостей.2 + \ rho g h_2} \\ [5px]
\ end {align}

Далее будут показаны различные упражнения по применению уравнения Бернулли.

Горизонтальный поток через трубу суженного сечения

Вода плотностью 1 г / см³ течет по горизонтальной трубе. Поперечное сечение трубы сужается от 80 см² до 40 см² у переходника. Статическое давление перед редуктором — 4 бара, скорость потока — 2 м / с. Течение несжимаемое и без трения (невязкое).Какое статическое давление измеряется после редуктора?

Рис.: Горизонтальный поток через трубу с ограниченным поперечным сечением

Чтобы ответить на этот вопрос, мы смотрим на линию тока и на точку перед редуктором и после редуктора. Известны следующие переменные состояния:

состояние 1 (большое поперечное сечение) состояние 2 (малое поперечное сечение)
высота h 1 = h 2 h 2 = h 1
скорость v 1 = 4 м / с v 2 =?
статическое давление p 1 = 4 бар p 2 = неизвестно

Обратите внимание, что из-за горизонтальной ориентации трубы обе рассматриваемые точки находятся на одном уровне ( h 1 = h 2 ).2} \\ [5px]
\ end {align}

Для расчета статического давления нам еще нужна скорость потока после сужения. Мы получаем это из условия сохранения массы. За время Δt жидкость течет перед редуктором со скоростью v 1 и таким образом преодолевает расстояние Δs 1 = v 1 ⋅Δt. Таким образом, следующий объем жидкости проталкивается через поперечное сечение A 1 :

\ begin {align}
\ label {1} ​​
& \ Delta V = A_1 \ cdot \ Delta s_1 = A_1 \ cdot v_1 \ cdot \ Delta t \\ [5px]
\ end {align}

Рисунок: Соотношение скоростей потока

Из-за сохранения массы и несжимаемости воды тот же объем ΔV также должен быть протолкнут через поперечное сечение A 2 за то же время Δt.Поскольку поперечное сечение меньше, расстояние Δs 2 объема жидкости должно быть больше, что объясняет более высокую скорость потока v 2 :

\ begin {align}
\ label {2}
& \ Delta V = A_2 \ cdot \ Delta s_2 = A_2 \ cdot v_2 \ cdot \ Delta t \\ [5px]
\ end {align}

Приравнивая формулу (\ ref {1}) и (\ ref {2}) и решая полученное уравнение для v 2 , наконец, получаем скорость потока после редуктора:

\ begin {align}
\ require {cancel}
& A_2 \ cdot v_2 \ cdot \ cancel {\ Delta t} = A_1 \ cdot v_1 \ cdot \ cancel {\ Delta t} \\ [5px]
& \ boxed {v_2 = \ frac {A_1} {A_2} \ cdot v_1} = \ frac {80 ~ \ text {m²}} {40 ~ \ text {m²}} \ cdot 4 \ frac {\ text {m}} {\ text {s}} = \ underline {\ underline {8 \ frac {\ text {m}} {\ text {s}}}} \\ [5px]
\ end {align}

Из-за сужения поперечного сечения только до половины размера скорость потока увеличивается вдвое.5 \ tfrac {\ text {N}} {\ text {m²}} \\ [5px]
& \ underline {\ underline {p_2 = 3,76 ~ \ text {bar}}} \\ [5px]
\ end { align}

Таким образом, увеличение скорости потока приводит к падению статического давления с 4,00 бар до 3,76 бар. Это можно объяснить тем, что часть энергии, связанной со статическим давлением, должна была использоваться для ускорения воды. Увеличение кинетической энергии воды происходит за счет статического давления. Более подробную информацию об этом явлении можно найти в статье Эффект Вентури.

Течение в водяном шланге с форсункой

Шланг с внутренним сечением 1,24 см² подключается к водопроводному крану. Шланг ведет на высоту 6 метров над землей, где вода вытекает из сопла и собирается в бассейн. Бассейн наполняется со скоростью 30 литров в минуту. На высоте одного метра над землей к шлангу прикреплен манометр для измерения статического давления. Манометр показывает давление 2 бара. Давление окружающего воздуха составляет 1 бар. Течение несжимаемое и невязкое.С какой скоростью выходит вода из сопла?

Рисунок: Заполнение расположенного выше бассейна

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим линию тока, ведущую от манометра к выходному отверстию форсунки. В этом случае необходимо учитывать члены для гравитационных потенциальных энергий (гидростатических давлений) в уравнении Бернулли. Даны следующие переменные:

состояние 1 (манометр) состояние 2 (отверстие сопла)
высота h 1 = 1 м h 2 = 6 м
скорость v 1 =? v 2 = неизвестно
статическое давление p 1 = 2 бар p 2 =?
Рисунок: Применение уравнения Бернулли для двух состояний на разных высотах

Скорость потока v 1 в точке измерения может быть определена через объемный расход, с которым наполняется бассейн.Из-за несжимаемости жидкости скорость потока на манометре должна быть такой же, как скорость потока, выходящего из сопла и заполняющего бассейн. При скорости потока v 1 следующий объем ΔV проходит через поперечное сечение шланга A 1 за период времени Δt:

\ begin {align}
& \ Delta V = A_1 \ cdot v_1 \ cdot \ Delta t \\ [5px]
\ end {align}

Для объемного расхода V * (= объем в единицу времени) применяется отношение объема ΔV и продолжительности времени Δt:

\ begin {align}
& \ dot V = \ frac {\ Delta V} {\ Delta t} = A_1 \ cdot v_1 \\ [5px]
\ end {align}

Решение этого уравнения для скорости потока дает значение около 4.{-4} ~ \ text {m²}} = \ underline {\ underline {4.03 \ frac {\ text {m}} {\ text {s}}}} \\ [5px]
\ end {align}

А как насчет статического давления p 2 на выходе из сопла? Поскольку вода беспрепятственно поступает в атмосферу, только окружающий воздух оказывает давление на струю воды. 2} = \ underline {\ underline {10.87 \ frac {\ text {m}} {\ text {s}}}} \\ [5px]
\ end {align}

Так вода выходит из форсунки со скоростью 10,87 м / с.

Закон Торричелли

Водопроводный кран прикреплен к боковой стороне открытого резервуара для воды. К крану одним концом подсоединяется шланг. На другом конце установлено сопло переменного сечения. Бак настолько большой, что уровень воды (почти) не меняется, пока вода выходит из форсунки. Течение несжимаемое и невязкое.С какой скоростью выходит вода из сопла, когда поверхность воды находится на высоте h над отверстием сопла?

Рисунок: Слив воды из шланга

Чтобы решить эту проблему, рассмотрим линию тока, ведущую от поверхности воды к выходному отверстию сопла. Контрольный уровень высоты, используемый для расчета гидростатического давления, устанавливается на высоте сопла. Таким образом, известны следующие переменные:

состояние 1 (уровень воды) состояние 2 (отверстие форсунки)
высота h 1 = h h 2 = 0
скорость v 1 ≈ 0 v 2 = неизвестно
статическое давление p 1 = p amb p 2 = p u
Рис. 2 \\ [5px ]
& \ boxed {v_ \ text {f} = \ sqrt {2gh}} ~~~ \ text {закон Торричелли} \\ [5px]
\ end {align}

С энергетической точки зрения становится ясно, что скорость истечения не может быть выше, чем заданная формулой (\ ref {aus}).Это связано с тем, что при этой скорости вытекающая часть жидкости может снова достичь своей начальной высоты, то есть высоты до поверхности воды. Если бы скорость была выше, это противоречило бы закону сохранения энергии. Потому что тогда жидкий пакет может достичь большей высоты. Тогда можно будет заполнить бассейн, расположенный выше, без подвода энергии.

Давление на определенной глубине озера

Фактически, уравнение Бернулли справедливо не только для текущей жидкости.Уравнение Бернулли можно также применить к покоящейся жидкости. Рассмотрим тихое глубокое озеро. Какое давление существует на глубине h ниже поверхности воды?

Для решения этой задачи рассмотрим линию тока от поверхности воды до глубины h. Обратите внимание, что линия тока определяется как касательная к векторам скорости. Поскольку для покоящейся жидкости все векторы равны нулю, линию тока можно провести по любому пути. На рассматриваемую глубину помещаем реперный уровень для гравитационных потенциальных энергий.Таким образом, этой глубине присвоена нулевая высота, а для поверхности воды — высота h. Статическое давление на поверхности воды равно атмосферному давлению p amb . Таким образом, известны следующие параметры:

состояние 1 (водная поверхность) состояние 2 (глубина)
высота h 1 = h h 2 = 0
скорость v 1 = 0 v 2 = 0
статическое давление p 1 = p amb p 2 = неизвестно
Рисунок : Давление на определенной глубине озера

Эти параметры, используемые в уравнении Бернулли, дают следующий результат для давления воды p 2 :

\ begin {align}
\ require {cancel}
& \ underbrace {p_1} _ {p_ \ text {amb}} + \ frac {1} {2} \ rho \ underbrace {v_1 ^ 2} _ {= 0 } + \ rho g \ underbrace {h_1} _ {= h} = p_2 + \ frac {1} {2} \ rho \ underbrace {v_2 ^ 2} _ {= 0} + \ rho g \ underbrace {h_2} _ {= 0} \\ [5px]
& \ boxed {p_2 = p_ \ text {amb} + \ rho gh} \\ [5px]
\ end {align}

Как и следовало ожидать, давление p 2 на глубине h соответствует давлению окружающей среды p amb плюс (гидростатическое) давление, создаваемое водяным столбом выше!

14.6 Уравнение Бернулли — University Physics Volume 1

Учебные цели

К концу этого раздела вы сможете:

  • Объясните члены уравнения Бернулли
  • Объясните, как уравнение Бернулли связано с сохранением энергии
  • Опишите, как вывести принцип Бернулли из уравнения Бернулли.
  • Выполнение расчетов с использованием принципа Бернулли
  • Опишите некоторые применения принципа Бернулли

Как показано на рисунке 14.27, когда жидкость течет в более узкий канал, ее скорость увеличивается. Это означает, что его кинетическая энергия также увеличивается. Повышенная кинетическая энергия возникает из-за чистой работы, выполняемой жидкостью, чтобы протолкнуть ее в канал. Кроме того, если жидкость меняет вертикальное положение, с ней действует сила тяжести.

При сужении канала возникает перепад давления. Эта разница давлений приводит к действию результирующей силы на жидкость, потому что давление, умноженное на площадь, равно силе, и эта чистая сила действительно работает.Напомним теорему об энергии работы

. Wnet = 12mv2−12mv02.Wnet = 12mv2−12mv02.

Произведенная чистая работа увеличивает кинетическую энергию жидкости. В результате в быстро движущейся текучей среде давление падает независимо от того, заключена она в трубку или нет.

Есть много распространенных примеров падения давления в быстро движущихся жидкостях. Например, занавески для душа имеют неприятную привычку выпирать в душевую кабину, когда душ включен. Причина в том, что высокоскоростной поток воды и воздуха создает внутри ливня область с более низким давлением, тогда как давление на другой стороне остается на уровне стандартного атмосферного давления.Эта разница давлений приводит к возникновению результирующей силы, толкающей завесу внутрь. Точно так же, когда автомобиль проезжает мимо грузовика на шоссе, кажется, что эти два автомобиля тянутся навстречу друг другу. Причина та же: высокая скорость воздуха между автомобилем и грузовиком создает область более низкого давления между транспортными средствами, и они сталкиваются друг с другом за счет большего давления снаружи (рис. 14.29). Этот эффект наблюдался еще в середине 1800-х годов, когда было обнаружено, что поезда, идущие в противоположных направлениях, опасно наклоняются навстречу друг другу.

Рисунок 14.29. Вид сверху автомобиля, проезжающего грузовик по шоссе. Воздух, проходящий между транспортными средствами, проходит по более узкому каналу и должен увеличивать свою скорость (v2v2 больше, чем v1v1), в результате чего давление между ними падает (pipi меньше po) .po). Более сильное давление снаружи сближает автомобиль и грузовик.

Сохранение энергии и уравнение Бернулли

Применение принципа сохранения энергии к ламинарному потоку без трения приводит к очень полезному соотношению между давлением и скоростью потока в жидкости.Это соотношение называется уравнением Бернулли в честь Даниэля Бернулли (1700–1782), который опубликовал свои исследования движения жидкости в своей книге Hydrodynamica (1738).

Рассмотрим несжимаемую жидкость, протекающую по трубе различного диаметра и высоты, как показано на рис. 14.30. Нижние индексы 1 и 2 на рисунке обозначают два местоположения вдоль трубы и иллюстрируют взаимосвязь между площадями поперечных сечений A , скоростью потока v , высотой от земли y и давлением p . в каждой точке.Здесь мы предполагаем, что плотность в двух точках одинакова, поэтому плотность обозначается через ρρ без индексов, а поскольку жидкость несжимаемая, заштрихованные объемы должны быть одинаковыми.

Рис. 14.30 Геометрия, использованная для вывода уравнения Бернулли.

Мы также предполагаем, что в жидкости нет вязких сил, поэтому энергия любой части жидкости будет сохранена. Чтобы вывести уравнение Бернулли, мы сначала вычисляем работу, которая была проделана с жидкостью:

dW = F1dx1 − F2dx2dW = F1dx1 − F2dx2 dW = p1A1dx1 − p2A2dx2 = p1dV − p2dV = (p1 − p2) dV.dW = p1A1dx1 − p2A2dx2 = p1dV − p2dV = (p1 − p2) dV.

Работа была проделана из-за консервативной силы тяжести и изменения кинетической энергии жидкости. Изменение кинетической энергии жидкости равно

dK = 12m2v22−12m1v12 = 12ρdV (v22 − v12). dK = 12m2v22−12m1v12 = 12ρdV (v22 − v12).

Изменение потенциальной энергии

dU = mgy2 − mgy1 = ρdVg (y2 − y1). dU = mgy2 − mgy1 = ρdVg (y2 − y1).

Тогда уравнение энергии принимает вид

dW = dK + dU (p1 − p2) dV = 12ρdV (v22 − v12) + ρdVg (y2 − y1) (p1 − p2) = 12ρ (v22 − v12) + ρg (y2 − y1).dW = dK + dU (p1 − p2) dV = 12ρdV (v22 − v12) + ρdVg (y2 − y1) (p1 − p2) = 12ρ (v22 − v12) + ρg (y2 − y1).

Преобразование уравнения дает уравнение Бернулли:

p1 + 12ρv12 + ρgy1 = p2 + 12ρv22 + ρgy2.p1 + 12ρv12 + ρgy1 = p2 + 12ρv22 + ρgy2.

Это соотношение утверждает, что механическая энергия любой части жидкости изменяется в результате работы, совершаемой жидкостью, находящейся вне этой части, из-за изменения давления на пути. Поскольку две точки были выбраны произвольно, мы можем записать уравнение Бернулли в более общем виде как принцип сохранения вдоль потока.

Уравнение Бернулли

Для несжимаемой жидкости без трения комбинация давления и сумма кинетической и потенциальной плотностей энергии постоянна не только во времени, но и вдоль линии тока:

p + 12ρv2 + ρgy = constant p + 12ρv2 + ρgy = постоянный

14,16

Здесь следует особо отметить тот факт, что в динамической ситуации давления на одной и той же высоте в разных частях жидкости могут быть разными, если они имеют разные скорости потока.

Анализ уравнения Бернулли

Согласно уравнению Бернулли, если мы проследим небольшой объем жидкости по его пути, различные суммы в сумме могут измениться, но общая сумма останется постоянной. Фактически, уравнение Бернулли — это просто удобное утверждение сохранения энергии для несжимаемой жидкости в отсутствие трения.

Общая форма уравнения Бернулли состоит из трех членов, и оно широко применимо. Чтобы лучше понять это, давайте рассмотрим некоторые конкретные ситуации, которые упрощают и иллюстрируют его использование и значение.

Уравнение Бернулли для статических жидкостей

Сначала рассмотрим очень простую ситуацию, когда жидкость статична, то есть v1 = v2 = 0. v1 = v2 = 0. Уравнение Бернулли в этом случае —

p1 + ρgh2 = p2 + ρgh3.p1 + ρgh2 = p2 + ρgh3.

Мы можем еще больше упростить уравнение, положив h3 = 0. h3 = 0. (Любая высота может быть выбрана для базовой высоты, равной нулю, как это часто делается для других ситуаций, связанных с гравитационной силой, делая все остальные высоты относительными.) В этом случае мы получаем

Это уравнение говорит нам, что в статических жидкостях давление увеличивается с глубиной.При переходе от точки 1 к точке 2 в жидкости глубина увеличивается на h2h2, и, следовательно, p2p2 больше, чем p1p1, на величину ρgh2ρgh2. В простейшем случае p1p1 равен нулю в верхней части жидкости, и мы получаем знакомое соотношение p = ρghp = ρgh. (Напомним, что p = ρgh (напомним, что p = ρgh и ΔUg = −mgh.) ΔUg = −mgh.) Таким образом, уравнение Бернулли подтверждает тот факт, что изменение давления из-за веса жидкости равно ρghρgh. Хотя мы вводим уравнение Бернулли для движения жидкости, оно включает в себя многое из того, что мы изучили для статических жидкостей ранее.

Принцип Бернулли

Предположим, что жидкость движется, но ее глубина постоянна, то есть h2 = h3h2 = h3. При этом условии уравнение Бернулли принимает вид

p1 + 12ρv12 = p2 + 12ρv22.p1 + 12ρv12 = p2 + 12ρv22.

Ситуации, в которых жидкость течет на постоянной глубине, настолько распространены, что это уравнение часто называют принципом Бернулли, который представляет собой просто уравнение Бернулли для жидкостей на постоянной глубине. (Обратите внимание еще раз, что это относится к небольшому объему жидкости, когда мы следуем за ней по ее пути.) Принцип Бернулли подтверждает тот факт, что давление падает с увеличением скорости в движущейся жидкости: если v2v2 больше, чем v1v1 в уравнении, то p2p2 должно быть меньше p1p1 для выполнения равенства.

Пример 14,6

Расчет давления
В примере 14.5 мы обнаружили, что скорость воды в шланге увеличилась с 1,96 м / с до 25,5 м / с на пути от шланга к соплу. Рассчитайте давление в шланге, учитывая, что абсолютное давление в форсунке составляет 1,01 × 105 Н / м21.01 × 105 Н / м2 (атмосферное, как и должно быть) и в предположении ровного потока без трения.
Стратегия
Уровень потока означает постоянную глубину, поэтому применим принцип Бернулли. Мы используем индекс 1 для значений в шланге и 2 для значений в сопле. Таким образом, нас просят найти p1p1.
Решение
Решение принципа Бернулли для p1p1 дает p1 = p2 + 12ρv22−12ρv12 = p2 + 12ρ (v22 − v12). p1 = p2 + 12ρv22−12ρv12 = p2 + 12ρ (v22 − v12).

Подстановка известных значений,

p1 = 1,01 × 105 Н / м2 + 12 (103 кг / м3) [(25,5 м / с) 2− (1.96 м / с) 2] = 4,24 × 105 Н / м2.p1 = 1,01 × 105 Н / м2 + 12 (103 кг / м3) [(25,5 м / с) 2– (1,96 м / с) 2] = 4,24 × 105 Н / м2.
Значение
Это абсолютное давление в шланге, как и ожидалось, больше, чем в сопле, поскольку v больше в сопле. Давление p2p2 в сопле должно быть атмосферным, потому что вода выходит в атмосферу без других изменений условий.

Применение принципа Бернулли

Имеется множество устройств и ситуаций, в которых жидкость течет с постоянной высотой, и поэтому их можно проанализировать с помощью принципа Бернулли.

Захват

Люди давно используют принцип Бернулли, используя пониженное давление в высокоскоростных жидкостях для перемещения предметов. При более высоком давлении снаружи высокоскоростная жидкость выталкивает другие жидкости в поток. Этот процесс называется увлечение . Улавливатели использовались с древних времен в качестве насосов для подъема воды на небольшую высоту, что необходимо для осушения болот, полей или других низинных мест. Некоторые другие устройства, использующие принцип уноса, показаны на рисунке 14.31.

Рис. 14.31 Улавливатели используют увеличенную скорость жидкости для создания низкого давления, которое затем увлекает одну жидкость в другую. (а) В горелке Бунзена используется регулируемое газовое сопло, увлекающее воздух для правильного сгорания. (б) В распылителе используется сжимаемая груша для создания струи воздуха, в которую попадают капли духов. Краскораспылители и карбюраторы используют очень похожие методы для перемещения соответствующих жидкостей. (c) Обычный аспиратор использует высокоскоростной поток воды для создания области более низкого давления.Аспираторы могут использоваться в качестве отсасывающих насосов в стоматологических и хирургических ситуациях или для осушения затопленного подвала или создания пониженного давления в сосуде. (г) Дымоход водонагревателя предназначен для захвата воздуха в трубу, ведущую через потолок.

Измерение скорости

На рис. 14.32 показаны два устройства, которые применяют принцип Бернулли для измерения скорости жидкости. Манометр в части (а) подсоединен к двум трубкам, которые достаточно малы, чтобы заметно не мешать потоку.Трубка, обращенная к набегающей жидкости, создает перед ней мертвую точку с нулевой скоростью (v1 = 0v1 = 0), в то время как жидкость, проходящая через другую трубку, имеет скорость v2v2. Это означает, что принцип Бернулли, изложенный в

p1 + 12ρv12 = p2 + 12ρv22p1 + 12ρv12 = p2 + 12ρv22

становится

p1 = p2 + 12ρv22.p1 = p2 + 12ρv22.

Таким образом, давление p2p2 над вторым отверстием уменьшается на 12ρv2212ρv22, поэтому жидкость в манометре поднимается на h на стороне, соединенной со вторым отверстием, где

(Напомним, что символ ∝∝ означает «пропорционально.”) Решая для v2v2, мы видим, что

Часть (b) показывает версию этого устройства, которое обычно используется для измерения различных скоростей жидкости; такие устройства часто используются в качестве указателей воздушной скорости в самолетах.

Рисунок 14.32 Измерение скорости жидкости на основе принципа Бернулли. (а) Манометр подсоединяется к двум трубкам, которые расположены близко друг к другу и достаточно малы, чтобы не мешать потоку. Трубка 1 открыта на конце, обращенном к потоку. Там создается мертвая зона с нулевой скоростью.Трубка 2 имеет отверстие сбоку, поэтому жидкость имеет скорость v через отверстие; таким образом, там падает давление. Перепад давления на манометре составляет 12ρv2212ρv22, поэтому h пропорционально 12ρv22.12ρv22. (б) Этот тип устройства для измерения скорости представляет собой трубку Прандтля, также известную как трубка Пито.
Рукав пожарный

Все предыдущие применения уравнения Бернулли включали упрощающие условия, такие как постоянная высота или постоянное давление. Следующий пример представляет собой более общее приложение уравнения Бернулли, в котором изменяются давление, скорость и высота.

Пример 14,7

Расчет давления: сопло пожарного рукава
Пожарные рукава, используемые при крупных строительных пожарах, имеют внутренний диаметр 6,40 см (рис. 14.33). Предположим, такой шланг пропускает поток 40,0 л / с, начиная с манометрического давления 1,62 × 106 Н / м 21,62 × 106 Н / м2. Шланг поднимается по лестнице на 10,0 м к патрубку с внутренним диаметром 3,00 см. Какое давление в насадке?

Рис. 14.33 Давление в сопле этого пожарного рукава ниже, чем на уровне земли по двум причинам: вода должна подниматься вверх, чтобы добраться до сопла, и скорость в сопле увеличивается.Несмотря на пониженное давление, вода может оказывать большую силу на все, на что она ударяется, благодаря своей кинетической энергии. Давление в потоке воды становится равным атмосферному, когда она выходит в воздух.

Стратегия
Мы должны использовать уравнение Бернулли для определения давления, поскольку глубина не постоянна.
Решение
Уравнение Бернулли p1 + 12ρv12 + ρgh2 = p2 + 12ρv22 + ρgh3p1 + 12ρv12 + ρgh2 = p2 + 12ρv22 + ρgh3

, где индексы 1 и 2 относятся к начальным условиям на уровне земли и конечным условиям внутри сопла, соответственно.Сначала мы должны найти скорости v1v1 и v2v2. Поскольку Q = A1v1Q = A1v1, получаем

v1 = QA1 = 40,0 × 10–3 м3 / сπ (3,20 × 10–2 м) 2 = 12,4 м / с. v1 = QA1 = 40,0 × 10–3 м3 / сπ (3,20 × 10–2 м) 2 = 12,4 м / с.

Аналогично находим

Эта довольно большая скорость помогает добраться до огня. Теперь, полагая h2h2 равным нулю, решаем уравнение Бернулли относительно p2p2:

p2 = p1 + 12ρ (v12 − v22) −ρgh3.p2 = p1 + 12ρ (v12 − v22) −ρgh3.

Подстановка известных значений дает

p2 = 1,62 × 106 Н / м2 + 12 (1000 кг / м3) [(12,4 м / с) 2– (56,6 м / с) 2] — (1000 кг / м3) (9.80 м / с2) (10,0 м) = 0. p2 = 1,62 × 106 Н / м2 + 12 (1000 кг / м3) [(12,4 м / с) 2– (56,6 м / с) 2] — (1000 кг / м3) (9.80 м / с2) (10,0 м) = 0.
Значение
Это значение является манометрическим давлением, поскольку начальное давление было задано как манометрическое. Таким образом, давление в форсунке равно атмосферному давлению, как и должно быть, потому что вода выходит в атмосферу без изменения ее условий.

Уравнение Бернулли: формулы, примеры и задачи — видео и стенограмма урока

Уравнение Бернулли

Мы можем аккуратно упаковать концепцию сохранения жидкости в уравнение Бернулли , которое связывает давление, скорость и высоту в любых двух точках в идеальной жидкости.2), h, — высота жидкости над землей, а v, — скорость жидкости.

Вы видите, как если одна переменная изменяется в точке 1, то должно измениться и что-то еще, чтобы уравнение оставалось равным?

Пример уравнения Бернулли

Возможно, вам все еще трудно понять эту концепцию и связать ее с сохранением энергии, поэтому давайте рассмотрим реальный пример.

Допустим, вода течет по S-образной трубе.2 * (0 м — 2 м)

Проведя вычисления, мы обнаружим, что наше давление во второй точке трубы составляет 92 900 Па.

В этом случае давление снизилось, потому что оно увеличилось. Но также обратите внимание, что скорость в этот момент была больше ( v2 = 10 м / с), что имеет смысл. И, если мы составим наше уравнение так, чтобы оно читалось так, как оно было изначально, обе стороны все равно будут равны. Вы видите, как изменяется одна переменная, а другие изменяются, чтобы приспосабливаться и сохранять отношения внутри жидкости?

При желании вы могли бы изучить эту взаимосвязь дальше, найдя любую недостающую переменную.Пока вы знаете другие, вы можете перемешать уравнение, чтобы увидеть, как переменные поддерживают баланс не только в уравнении Бернулли, но и в нашей идеальной жидкости.

Резюме урока

Закон сохранения энергии — полезное руководство для понимания сохранения в идеальных жидкостях. Этот закон гласит, что энергия не может быть создана или уничтожена, она только меняет форму или передается между объектами.

В текущей жидкости мы можем увидеть ту же концепцию сохранения через уравнение Бернулли , выраженное как P1 + ½ ρv1 ^ 2 + ρgh2 = P2 + ½ ρv2 ^ 2 + ρgh3 .Это уравнение связывает давление, скорость и высоту в любых двух точках идеальной жидкости.

Поскольку это уравнение, обе стороны должны быть равны. Даже если отдельные компоненты давления, скорости и высоты различаются в одной точке трубы, взаимосвязь между ними будет такой же, как взаимосвязь между этими переменными в другой точке. Зная это, мы можем увидеть, как даже когда мы перестраиваем уравнение, чтобы найти пропущенное значение, обе стороны всегда будут одинаковыми, потому что отношения в идеальной жидкости одинаковы для всей жидкости.

Результаты обучения

По завершении этого урока вы должны уметь:

  • Понимать концепцию консервации в идеальных жидкостях
  • Выразите уравнение Бернулли
  • Решите уравнение давления, скорости или высоты жидкости, используя уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли | Физика

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Объясните члены уравнения Бернулли.
  • Объясните, как уравнение Бернулли связано с сохранением энергии.
  • Объясните, как вывести принцип Бернулли из уравнения Бернулли.
  • Рассчитывайте по принципу Бернулли.
  • Перечислите некоторые приложения принципа Бернулли.

Когда жидкость течет в более узкий канал, ее скорость увеличивается. Это означает, что его кинетическая энергия также увеличивается. Откуда это изменение кинетической энергии? Повышенная кинетическая энергия возникает из-за чистой работы, выполняемой жидкостью, чтобы протолкнуть ее в канал, и работы, выполняемой над жидкостью под действием силы тяжести, если жидкость меняет вертикальное положение.{2} \\ [/ латекс].

При сужении канала возникает перепад давления. Эта разница давлений приводит к действию суммарной силы, действующей на жидкость: вспомните, что давление, умноженное на площадь, равно силе. Совершенная чистая работа увеличивает кинетическую энергию жидкости. В результате давление будет падать в быстро движущейся текучей среде независимо от того, ограничена ли текучая среда трубкой.

Существует ряд распространенных примеров падения давления в быстро движущихся жидкостях. Занавески для душа имеют неприятную привычку выпирать в душевую кабину, когда душ включен.Высокоскоростной поток воды и воздуха создает внутри душа область с более низким давлением и стандартным атмосферным давлением с другой стороны. Разница давлений приводит к возникновению чистой силы, толкающей занавес внутрь. Возможно, вы также заметили, что при проезде грузовика по шоссе ваша машина имеет тенденцию отклоняться от него. Причина та же самая — высокая скорость воздуха между автомобилем и грузовиком создает область более низкого давления, и транспортные средства сталкиваются друг с другом за счет большего давления снаружи.(См. Рис. 1.) Этот эффект наблюдался еще в середине 1800-х годов, когда было обнаружено, что поезда, идущие в противоположных направлениях, опасно наклоняются навстречу друг другу.

Рис. 1. Вид сверху автомобиля, проезжающего грузовик по шоссе. Воздух, проходящий между транспортными средствами, проходит по более узкому каналу и должен увеличивать свою скорость ( v 2 больше, чем v1), в результате чего давление между ними падает ( P i меньше P o ).Более сильное давление снаружи сближает автомобиль и грузовик.

Установление связей: расследование с помощью листа бумаги

Возьмитесь за короткий край листа бумаги параллельно рту, прижав ладони к каждой стороне рта. Страница должна наклоняться над вашими руками. Дуйте поверх страницы. Опишите, что происходит, и объясните причину такого поведения.

Взаимосвязь между давлением и скоростью в жидкостях количественно описывается уравнением Бернулли , названным в честь его первооткрывателя, швейцарского ученого Даниэля Бернулли (1700–1782).{2} + \ rho gh = \ text {constant} \\ [/ latex],

, где P — абсолютное давление, ρ — плотность жидкости, v — скорость жидкости, h — высота над некоторой контрольной точкой и g — ускорение свободного падения. Если мы проследим за небольшим объемом жидкости по его пути, различные суммы в сумме могут измениться, но общая сумма останется постоянной. {2} + \ rho {gh} _ {2} \\ [/ latex].{2} \\ [/ latex] — кинетическая энергия на единицу объема. Сделав такую ​​же подстановку в третий член уравнения, находим

[латекс] \ rho {gh} = \ frac {mgh} {V} = \ frac {{\ text {PE}} _ {\ text {g}}} {V} \\ [/ latex],

, так что ρgh — это потенциальная гравитационная энергия на единицу объема. Обратите внимание, что давление P также имеет единицы энергии на единицу объема. Поскольку P = F / A , его единицы равны Н / м 2 . Если мы умножим их на м / м, мы получим Н ⋅ м / м 3 = Дж / м 3 , или энергию на единицу объема.Фактически, уравнение Бернулли — это просто удобное утверждение сохранения энергии для несжимаемой жидкости в отсутствие трения.

Установление соединений: сохранение энергии

Сохранение энергии, применяемой к потоку жидкости, дает уравнение Бернулли. Чистая работа, выполняемая давлением жидкости, приводит к изменениям KE и PE жидкости г на единицу объема. Если в потоке жидкости участвуют другие формы энергии, уравнение Бернулли можно изменить, чтобы учесть эти формы.Такие формы энергии включают тепловую энергию, рассеиваемую из-за вязкости жидкости.

Общая форма уравнения Бернулли состоит из трех членов, и оно широко применимо. Чтобы лучше понять это, мы рассмотрим ряд конкретных ситуаций, которые упрощают и иллюстрируют его использование и значение.

Уравнение Бернулли для статических жидкостей

Давайте сначала рассмотрим очень простую ситуацию, когда жидкость статична, то есть v 1 = v 2 = 0.Уравнение Бернулли в этом случае —

P 1 + ρ gh 1 = P 2 + ρ gh 2 .

Мы можем еще больше упростить уравнение, взяв h 2 = 0 (мы всегда можем выбрать некоторую высоту равной нулю, как мы часто это делали для других ситуаций, связанных с гравитационной силой, и считать все остальные высоты относительными. к этому). В этом случае мы получаем

[латекс] {P} _ {2} = {P} _ {1} + \ rho {gh} _ {1} \\ [/ latex]

Это уравнение говорит нам, что в статических жидкостях давление увеличивается с глубиной.При переходе от точки 1 к точке 2 в жидкости глубина увеличивается на h 1 , и, следовательно, P 2 больше P 1 на величину ρgh 1 . В простейшем случае P 1 равно нулю в верхней части жидкости, и мы получаем знакомое соотношение P = ρgh . (Напомним, что P = ρgh и [латекс] \ Delta {\ text {PE}} _ {\ text {g}} = mgh \\ [/ latex]) Уравнение Бернулли включает тот факт, что давление из-за вес жидкости ρgh .Хотя мы вводим уравнение Бернулли для потока жидкости, оно включает в себя многое из того, что мы изучили для статических жидкостей в предыдущей главе.

Принцип Бернулли — уравнение Бернулли на постоянной глубине

Другой важной ситуацией является ситуация, когда жидкость движется, но ее глубина постоянна, то есть h 1 = h 2 . {2} \\ [/ latex].

Ситуации, в которых жидкость течет на постоянной глубине, настолько важны, что это уравнение часто называют принципом Бернулли . Это уравнение Бернулли для жидкостей на постоянной глубине. (Заметим еще раз, что это относится к небольшому объему жидкости, когда мы следуем за ним по его пути.) Как мы только что обсуждали, давление в движущейся жидкости падает с увеличением скорости. Мы можем видеть это из принципа Бернулли. Например, если v 2 больше v 1 в уравнении, то P 2 должно быть меньше P 1 , чтобы равенство соблюдалось.

Пример 1. Расчет давления: падение давления при увеличении скорости жидкости

В примере 1 из раздела «Расход и его связь со скоростью» мы обнаружили, что скорость воды в шланге увеличилась с 1,96 м / с до 25,5 м / с, идя от шланга к соплу. Вычислите давление в шланге, учитывая, что абсолютное давление в сопле составляет 1,0 × 10 5 Н / м 2 (атмосферное, как и должно быть) и предполагая ровный поток без трения.

Стратегия

Уровень потока означает постоянную глубину, поэтому применяется принцип Бернулли.{2} \ end {array} \\ [/ latex]

Обсуждение

Это абсолютное давление в шланге больше, чем в форсунке, как и ожидалось, поскольку v больше в форсунке. Давление P 2 в сопле должно быть атмосферным, поскольку оно выходит в атмосферу без других изменений условий.

Применение принципа Бернулли

Существует ряд устройств и ситуаций, в которых жидкость течет с постоянной высотой и, таким образом, может быть проанализирована с помощью принципа Бернулли.

Люди давно используют принцип Бернулли, используя пониженное давление в высокоскоростных жидкостях для перемещения предметов. При более высоком давлении снаружи высокоскоростная жидкость выталкивает другие жидкости в поток. Этот процесс называется захватом . Улавливающие устройства использовались с древних времен, особенно в качестве насосов для подъема воды на небольшую высоту, например, для осушения болот, полей или других низинных мест. Некоторые другие устройства, в которых используется принцип уноса, показаны на рисунке 2.

Рис. 2. Примеры захватывающих устройств, которые используют повышенную скорость жидкости для создания низкого давления, которое затем увлекает одну жидкость в другую. (а) В горелке Бунзена используется регулируемое газовое сопло, увлекающее воздух для правильного сгорания. (б) В распылителе используется сжимаемая груша для создания струи воздуха, в которую попадают капли духов. Краскораспылители и карбюраторы используют очень похожие методы для перемещения соответствующих жидкостей. (c) Обычный аспиратор использует высокоскоростной поток воды для создания области более низкого давления.Аспираторы могут использоваться в качестве отсасывающих насосов в стоматологических и хирургических ситуациях или для осушения затопленного подвала или создания пониженного давления в сосуде. (г) Дымоход водонагревателя предназначен для захвата воздуха в трубу, ведущую через потолок.

Крыло самолета — прекрасный пример действия принципа Бернулли. На рис. 2 (а) показана характерная форма крыла. Крыло наклонено вверх под небольшим углом, а его верхняя поверхность длиннее, что заставляет воздух быстрее течь над ним.Таким образом, давление на верхнюю часть крыла уменьшается, создавая чистую восходящую силу или подъемную силу. (Крылья также могут получать подъемную силу, толкая воздух вниз, используя принцип сохранения количества движения. Отклоненные молекулы воздуха вызывают восходящую силу на крыло — третий закон Ньютона.) Паруса также имеют характерную форму крыла. (См. Рисунок 2 (b).) Давление на передней стороне паруса, P спереди , ниже, чем давление на заднюю часть паруса, P сзади .Это приводит к поступательной силе и даже позволяет плыть против ветра.

Установление связей: расследование с помощью двух полосок бумаги

Чтобы наглядно проиллюстрировать принцип Бернулли, сделайте две полоски бумаги, примерно 15 см в длину и 4 см в ширину. Поднесите маленький конец одной полоски к губам и позвольте ему накинуть на палец. {2} \\ [/ latex].{2} \\ [/ латекс]

(Напомним, что символ ∝ означает «пропорционально.») Решая для v 2 , мы видим, что

[латекс] {v} _ {2} \ propto \ sqrt {h} \\ [/ латекс].

На рисунке 4 (b) показана версия этого устройства, которое обычно используется для измерения различных скоростей жидкости; такие устройства часто используются в качестве индикаторов воздушной скорости в самолетах.

Рис. 4. Измерение скорости жидкости на основе принципа Бернулли. (а) Манометр подсоединяется к двум трубкам, которые расположены близко друг к другу и достаточно малы, чтобы не мешать потоку.{2} + \ rho {gh} _ {2} \\ [/ латекс].

Концептуальные вопросы

1. Вы можете распылить воду на значительно большее расстояние, поместив большой палец на конец садового шланга и затем отпустив его, чем оставляя его полностью открытым. Объясните, как это работает.

2. Вода в декоративном фонтане устремляется почти вертикально вверх, и видно, что поток расширяется по мере подъема. И наоборот, струя воды, падающая прямо из крана, сужается. Объясните, почему, и обсудите, увеличивает или уменьшает поверхностное натяжение эффект в каждом случае.

3. См. Рис. 1. Ответьте на следующие два вопроса. Почему P o меньше атмосферного? Почему P o больше, чем P i ?

Рис. 1. Вид сверху автомобиля, проезжающего грузовик по шоссе. Воздух, проходящий между транспортными средствами, проходит в более узком канале и должен увеличивать свою скорость ( v 2 больше, чем v 1 ), в результате чего давление между ними падает ( P i меньше чем P o ).Более сильное давление снаружи сближает автомобиль и грузовик.

4. Приведите пример увлечения, не упомянутого в тексте.

5. Многие устройства для улавливания имеют сужение, называемое трубкой Вентури, как показано на рисунке 5. Как это усиливает унос?

Рис. 5. Трубка с узким сегментом, предназначенным для увеличения уноса, называется трубкой Вентури. Они очень часто используются в карбюраторах и аспираторах.

6. Некоторые дымоходные трубы имеют Т-образную форму с перемычкой наверху, которая помогает отводить газы даже при легком ветерке.Объясните, как это работает, с точки зрения принципа Бернулли.

7. Существует ли предел высоты, на которую захватывающее устройство может поднимать жидкость? Поясните свой ответ.

8. Почему самолетам предпочтительнее взлетать по ветру, чем по ветру?

9. Крыши иногда отталкиваются вертикально во время тропического циклона, а здания иногда взрываются наружу при ударе торнадо. Используйте принцип Бернулли для объяснения этих явлений.

10.Зачем парусной лодке киль?

11. Опасно стоять рядом с железнодорожными путями, когда проезжает быстро движущийся пригородный поезд. Объясните, почему атмосферное давление толкает вас к движущемуся поезду.

12. Давление воды внутри сопла шланга может быть меньше атмосферного из-за эффекта Бернулли. Объясните с точки зрения энергии, как вода может выходить из сопла, преодолевая противодействие атмосферному давлению.

13. Флакон для духов или распылитель распыляет жидкость, находящуюся в флаконе.(Рис. 6.) Как жидкость поднимается в вертикальной трубке в бутылке?

Рис. 6. Атомайзер: флакон для духов с трубкой для переноса духов через флакон. (Источник: Антония Фой, Flickr)

14. Если опустить окно на автомобиле во время движения, пустой полиэтиленовый пакет иногда может вылететь из окна. Почему это происходит?

Задачи и упражнения

1. Убедитесь, что давление имеет единицы энергии на единицу объема.

2. Предположим, у вас есть датчик скорости ветра, подобный трубке Пито, показанной в примере 2 из раздела «Скорость потока и ее связь со скоростью».На какой коэффициент должна увеличиться скорость ветра, чтобы на манометре было значение ч вдвое? Независимо от движущейся жидкости и жидкости в манометре?

3. Если показание давления вашей трубки Пито составляет 15,0 мм рт. Ст. На скорости 200 км / ч, каким оно будет при 700 км / ч на той же высоте?

4. Рассчитайте максимальную высоту, на которую вода может быть разбрызгана из шланга в примере 2, исходя из расхода и ее отношения к скорости, если она: (a) выходит из сопла.(b) Выходит при снятом сопле, предполагая тот же расход.

5. Каждые несколько лет в Боулдере, штат Колорадо, ветры достигают устойчивой скорости 45,0 м / с (около 100 миль / ч), когда струйный поток спускается ранней весной. Примерно какова сила эффекта Бернулли на крыше площадью 220 м 2 ? Типичная плотность воздуха в Боулдере составляет 1,14 кг / м 3 , а соответствующее атмосферное давление составляет 8,89 × 10 4 Н / м 2 . (Принцип Бернулли, изложенный в тексте, предполагает ламинарный поток.Использование этого принципа дает только приблизительный результат, поскольку имеется значительная турбулентность.)

6. (a) Рассчитайте приблизительную силу, действующую на квадратный метр паруса, учитывая, что горизонтальная скорость ветра составляет 6,00 м / с параллельно его передней поверхности и 3,50 м / с вдоль его задней поверхности. Примем плотность воздуха 1,29 кг / м 3 . (Расчет, основанный на принципе Бернулли, является приблизительным из-за эффектов турбулентности.) (B) Обсудите, достаточно ли велика эта сила, чтобы быть эффективной для движения парусной лодки.

7. (a) Каков перепад давления из-за эффекта Бернулли, когда вода поступает в сопло диаметром 3,00 см из пожарного рукава диаметром 9,00 см при скорости потока 40,0 л / с? б) На какую максимальную высоту над соплом может подниматься эта вода? (Фактическая высота будет значительно меньше из-за сопротивления воздуха.)

8. (a) Используя уравнение Бернулли, покажите, что измеренная скорость жидкости v для трубки Пито, такой как на рисунке 4 (b), равна

[латекс] v = {\ left (\ frac {2 \ rho′gh} {\ rho} \ right)} ^ {1/2} \\ [/ latex],

, где h — высота жидкости манометра,

[латекс] \ rho ‘\\ [/ latex] — это плотность жидкости манометра, [latex] \ rho \\ [/ latex] — плотность движущейся жидкости, и г, — это ускорение свободного падения. .(Обратите внимание, что v действительно пропорционально квадратному корню из h , как указано в тексте.) (B) Вычислите v для движущегося воздуха, если h ртутного манометра равно 0,200 м.

Глоссарий

Уравнение Бернулли:
уравнение, полученное в результате применения сохранения энергии к несжимаемой жидкости без трения: P + 1/2 pv 2 + pgh = константа, через жидкость
Принцип Бернулли:
Уравнение Бернулли, примененное на постоянной глубине: P 1 + 1/2 pv 1 2 = P 2 + 1/2 pv 2 2

Избранные решения проблем и упражнения

1.{1 — m}}. \]

Новое дифференциальное уравнение для функции \ (z \ left (x \ right) \) имеет вид:

\ [{z ‘+ \ left ({1 — m} \ right) a \ left (x \ right) z} = {\ left ({1 — m} \ right) b \ left (x \ right)} \]

и может быть решена методами, описанными на странице Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. x}.x}}}, \; \;} \ kern0pt {y = 0.} \]

12.3 Наиболее общие приложения уравнения Бернулли — Физика колледжа: OpenStax

Сводка

  • Вычислить по теореме Торричелли.
  • Рассчитайте мощность в потоке жидкости.

На рис. 1 показана вода, хлынувшая из большой трубы через плотину. Какова его скорость, когда он появляется? Интересно, что если сопротивление незначительно, скорость будет такой, какой она была бы, если бы вода упала на расстояние [латекс] \ boldsymbol {h} [/ латекс] от поверхности резервуара; скорость воды не зависит от размера отверстия.2+ \ rho {gh} _2.} [/ Latex]

Оба [латекс] \ boldsymbol {P_1} [/ latex] и [латекс] \ boldsymbol {P_2} [/ latex] равны атмосферному давлению ([латекс] \ boldsymbol {P_1} [/ latex] — это атмосферное давление, потому что это давление в верхней части резервуара. [латекс] \ boldsymbol {P_2} [/ латекс] должно быть атмосферным давлением, так как выходящая вода окружена атмосферой и не может иметь давление, отличное от атмосферного давления. 2 + \ rho {gh} _2.2 + 2gh} [/ латекс]

где [latex] \ boldsymbol {h} [/ latex] — высота, сброшенная водой. Это просто кинематическое уравнение для любого объекта, падающего на расстояние [латекс] \ boldsymbol {h} [/ латекс] с незначительным сопротивлением. В жидкостях это последнее уравнение называется теоремой Торричелли . Обратите внимание, что результат не зависит от направления скорости, как мы обнаружили, применяя закон сохранения энергии к падающим объектам.

Рис. 1. (a) Вода бьет из подножия плотины Студен Кладенец в Болгарии.(Фото: Кирилл Капустин; http://www.ImagesFromBulgaria.com) (b) При отсутствии значительного сопротивления вода течет из резервуара с той же скоростью, что и при падении на расстояние h без трения . Это пример теоремы Торричелли. Рисунок 2. Давление в сопле этого пожарного рукава ниже, чем на уровне земли по двум причинам: вода должна подниматься вверх, чтобы добраться до сопла, и скорость в сопле увеличивается. Несмотря на пониженное давление, вода может оказывать большую силу на все, на что она ударяется, благодаря своей кинетической энергии.Давление в потоке воды становится равным атмосферному, когда она выходит в воздух.

Все предыдущие применения уравнения Бернулли включали упрощающие условия, такие как постоянная высота или постоянное давление. Следующий пример представляет собой более общее приложение уравнения Бернулли, в котором изменяются давление, скорость и высота. (См. Рисунок 2.)

Пример 1: Расчет давления: сопло пожарного рукава

Пожарные рукава, используемые при крупных пожарах, имеют внутренний диаметр 6.2}. [/ Latex] Шланг поднимается по лестнице на 10,0 м к патрубку с внутренним диаметром 3,00 см. Предполагая незначительное сопротивление, какое давление в сопле?

Стратегия

Здесь мы должны использовать уравнение Бернулли для определения давления, поскольку глубина не постоянна.

Решение

Уравнение Бернулли утверждает

[латекс] \ boldsymbol {P_1 \: +} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {1} {2}} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ rho {v} _1 ^ 2 + \ rho {gh} _1 = P_2 \: +} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {1} {2}} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ rho {v} _2 ^ 2 + \ rho {gh} _2,} [/ латекс]

, где индексы 1 и 2 относятся к начальным условиям на уровне земли и конечным условиям внутри сопла, соответственно.2) (10.0 \ textbf {m}) = 0.} [/ Latex]

Обсуждение

Это значение является манометрическим давлением, поскольку начальное давление было задано как манометрическое. Таким образом, давление в форсунке равно атмосферному давлению, как и должно быть, потому что вода выходит в атмосферу без изменения ее условий.

Мощность — это частота , при которой выполняется работа или энергия в любой форме используется или поставляется. Чтобы увидеть взаимосвязь мощности с потоком жидкости, рассмотрим уравнение Бернулли:

[латекс] \ boldsymbol {P \: +} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {1} {2}} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ rho {v} _2 + \ rho { gh} = \ textbf {константа.}} [/ latex]

Все три термина имеют единицы энергии на единицу объема, как обсуждалось в предыдущем разделе. Теперь, рассматривая единицы измерения, если мы умножим энергию на единицу объема на расход (объем в единицу времени), мы получим единицы мощности. 2 + \ rho {gh}} [/ латекс] [латекс]) [/ латекс] [латекс] \ boldsymbol {Q = \ textbf {сила.2Q} [/ latex] — это мощность, подводимая к жидкости, чтобы передать ей кинетическую энергию. А [латекс] \ boldsymbol {\ rho {gh} Q} [/ latex] — это сила, идущая в гравитационную потенциальную энергию.

ПОДКЛЮЧЕНИЕ: ПИТАНИЕ

Мощность определяется как скорость передачи энергии, или [латекс] \ boldsymbol {E / t}. [/ Latex] Поток жидкости включает несколько типов энергии. Каждый тип энергии идентифицируется с определенным типом энергии, которая расходуется или изменяется по форме.

Пример 2: Расчет мощности в движущейся жидкости

Предположим, что пожарный шланг в предыдущем примере питается от насоса, который получает воду через шланг с 6.2}. [/ Latex] Какую мощность насос подает на воду?

Стратегия

Здесь мы должны рассмотреть формы энергии, а также то, как они связаны с потоком жидкости. Поскольку входной и выходной шланги имеют одинаковый диаметр и одинаковую высоту, насос не изменяет ни скорость воды, ни ее высоту, поэтому кинетическая энергия воды и потенциальная гравитационная энергия не изменяются. 2 + \ rho {gh}) Q = \ textbf {power,}} [/ latex] где первый член — это мощность, связанная с давлением, второй — это мощность, связанная со скоростью, а третий — это мощность, связанная с высотой.

Концептуальные вопросы

1: На основании уравнения Бернулли, какие три формы энергии есть в жидкости? (Обратите внимание, что эти формы консервативны, в отличие от теплопередачи и других форм рассеяния, не включенных в уравнение Бернулли.)

2: Вода, вышедшая из шланга в атмосферу, имеет нулевое манометрическое давление. Почему? Когда вы кладете руку перед выходящим потоком, вы чувствуете силу, но манометрическое давление воды равно нулю.Объясните, откуда берется сила, с точки зрения энергии.

3: Старый резиновый чехол, показанный на рис. 3, имеет две утечки. На какую максимальную высоту вода может брызгать из Утечки 1? Чем скорость воды, выходящей из утечки 2, отличается от скорости утечки 1? Объясните свои ответы с точки зрения энергии.

Рис. 3. Вода вытекает из двух утечек в старом чехле.

4: Давление воды внутри сопла шланга может быть меньше атмосферного из-за эффекта Бернулли.3 \ textbf {/ s}}. [/ Latex] (a) Рассчитайте мощность в этом потоке. (b) Каково отношение этой мощности к средней мощности объекта в 680 МВт?

2: Часто цитируемое эмпирическое правило при проектировании самолетов состоит в том, что крылья должны обеспечивать подъемную силу около 1000 Н на квадратный метр крыла. (Тот факт, что крыло имеет верхнюю и нижнюю поверхность, не увеличивает его площадь вдвое.) (A) При взлете самолет движется со скоростью 60,0 м / с, так что скорость воздуха относительно нижней части крыла составляет 60,0 м / с. с. Учитывая плотность воздуха на уровне моря [латекс] \ boldsymbol {1.3}, [/ latex] с какой скоростью он должен двигаться по верхней поверхности, чтобы создать идеальный подъем? (b) С какой скоростью воздух должен двигаться над верхней поверхностью с крейсерской скоростью 245 м / с и на высоте, где плотность воздуха составляет одну четвертую от уровня моря? (Обратите внимание, что это не вся подъемная сила самолета — часть создается корпусом самолета, часть — тягой двигателя и т. Д. Более того, принцип Бернулли дает приблизительный ответ, поскольку обтекание крыла создает турбулентность.)

3: Левый желудочек сердца взрослого в состоянии покоя качает кровь со скоростью [латекс] \ boldsymbol {83.3 \ textbf {/ s}}, [/ latex] увеличивает его давление на 110 мм рт. Ст., Его скорость с нуля до 30,0 см / с и высоту на 5,00 см. (Все числа усреднены по всему сердцебиению.) Рассчитайте общую выходную мощность левого желудочка. Обратите внимание, что большая часть мощности используется для повышения артериального давления.

4: Отстойник (используется для слива воды из подвала домов, построенных ниже уровня грунтовых вод) осушает затопленный подвал со скоростью 0,750 л / с с выходным давлением [латекс] \ boldsymbol {3 .2}. [/ Latex] (a) Вода поступает в шланг с внутренним диаметром 3,00 см и поднимается на 2,50 м над насосом. Каково его давление на данный момент? (b) Шланг проходит через фундаментную стену, теряет 0,500 м в высоту и расширяется до 4,00 см в диаметре.

РубрикаРазное

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *