Высшая математика для чайников теория вероятности: Учебник по теории вероятностей онлайн с примерами решений

Содержание

▶▷▶▷ гдз для теории вероятности онлайн

▶▷▶▷ гдз для теории вероятности онлайн
ИнтерфейсРусский/Английский
Тип лицензияFree
Кол-во просмотров257
Кол-во загрузок132 раз
Обновление:07-09-2019

гдз для теории вероятности онлайн — гдз по теории вероятностей и статистике 7 класс gdzpomowblogspotcom2014037_25html Cached Усього 3 повідомлення30 серпня 2013 решение задач по ахд внешнего мира методологически Теги: гдз по теории вероятности 7 класс, Гдз теория вероятности тюрин, на телефон гдз , онлайн решебник Гдз Теории Вероятности 8 Класс — topikijuicy topikijuicyweeblycombloggdz-teorii Cached Бесплатнорешебник по истории 5 класс г и годер онлайн гдз по черчению по теории вероятности ю н тюрин 7 класспо химии решебник для 8 11 кл ю н 2007г гдз по теории вероятности и статистике тюрин гдз Гдз Для Теории Вероятности Онлайн — Image Results More Гдз Для Теории Вероятности Онлайн images Теория Вероятности И Статистика 7 Класс Решебник Тюрин Гдз Онлайн premiumourweeblycomblogteoriya-veroyatnosti-i Cached Гдз по теории вероятности тюрин онлайн Перечислить все элементарные равновозможные события, которые могут произойти в результате подбрасывания тетраэдра с гранями, занумерованными решебник по теории вероятностей и математической статистики docplayerru41573452-Reshebnik-po-teorii Cached Форум — Литература по Теории вероятности и мат статистике вероятностей, гдз к учебнику тюрина теория вероятностей и статистика, решебник по ноя Задачи заочных интернет-олимпиад по теории Виленкин НЯ, Потапов ВГ Задачник-практикум по теории edu-libcommatematika-2dlya-studentovvilenkin Cached Моя економіка: Підручник для 8, 9, 10 класів ОНЛАЙН Доброго дня У вас є ГДЗ ДО ПІДРУЧНИКА МОЯ ЕКОНОМІКА 8-10 КЛАС КИРИЛЕНКО ГДЗ помощь: гдз по теории вероятности и статистика тюрин gdzpomowblogspotcom201403blog-post_5037html Cached 30 серпня 2013 домашняя работа математика 6 класс виленкин внешнего Теги: гдз по теории вероятности тюрин, Решебник по теории вероятности тюрин, примеры решение задач по эконометрике Решебник по теории вероятности wwwmath-taskscomreshebnikphp Cached Поэтому наш решебник по теории вероятности и статистике может стать основой для изучения важных тем, таких как точечное и доверительное оценивание параметров распределения, проверка Учебник по теории вероятности онлайн wwwmatburorutv_bookphp Cached Учебник по теории вероятности онлайн В этом разделе вы найдете он-лайн учебник по теории вероятности , в котором приведены основные формулы и теоретические сведения, а также множество решенных примеров по теории Теория вероятностей Краткий курс для начинающих mathprofiruteorija_verojatnosteihtml Cached Вероятности можно выразить и в процентах, например: вероятность выпадение орла равна , выпадения пятёрки , извлечения трефы , но в теории вероятностей ЭТОГО ДЕЛАТЬ НЕ ПРИНЯТО (хотя не Решебник по теории вероятности онлайн wwwmatburorutv_reshphp Cached Решебник по теории вероятности онлайн МатБюро рекомендует сайт-решебник Math-Taskscom — сборник тысяч задач с готовыми решениями по теории вероятностей и математической статистике Promotional Results For You Free Download Mozilla Firefox Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of 1 2 3 4 5 Next 45,700

  • Онлайн программы для решения задач по теории вероятности, примеры по теории вероятности. ГДЗ онлайн.
  • Нахождение числа перестановок из n элементов. 18.02.2013 Избранное , Математика , Математика для студентов, аспирантов и научных работников , Теория вероятностей и мат.статистика , Экономика , Эконо
  • тудентов, аспирантов и научных работников , Теория вероятностей и мат.статистика , Экономика , Экономика для студентов и аспирантов , Экономическая математика. Излагаемые основы теории сопровождаются большим… Вариант , варианты , Вопросы , Графики , Дифференциальные , Задачи , задачника , зачету , интегралы , КОДЕКС , Конспект , Кратные , Кузнецов , Курс , Лекции , лекций , математике , ОГТУ , Основные , основы , Ответы , Пособие , практике , работа , развития , решебник , решения , Решены , теории , Теория… Учебник по теории вероятности для чайников. Формулы и таблицы по теории вероятности. Онлайн учебник. МатБюро работает на рынке решения математических задач уже 10 лет. Описать, как система должна работать для конечного пользователя. решения Симонова Виргиния Романовна.
    Домашняя кузнецов решебник теория вероятности по физике за 10 класс к учебнику quot;физика: механика. Дана функция плотности вероятности и требуется найти значение постоянной С. Для этого требуется воспользоваться одним из свойств функции плотности вероятности и найти простой интеграл. Этот пример наверняка попадется вам при изучении курса теории вероятностей. Как бы не отзывались учителя о сборниках с готовыми домашними заданиями, но это прекрасная помощь родителям при проверке домашних работ их детей и детям для более глубокого изучения школьного материала. Книга содержит в основном весь материал программы по теории вероятностей и математической статистике. Большое внимание уделено статистическим методам обработки эксперимен… Примеры решения задач по теории вероятности. Для разрушения моста достаточно попадания одной бомбы. Для определения вероятности воспользуемся формулой вероятности появления хотя бы одного из n событий: Теория вероятности Теория вероятности.
    Сортировать по: Дате Названию Рейтингу Комментариям Просмотрам . Примеры задач с решением. Вероятность появления хотя бы одного события.

работа

Математика

  • занумерованными решебник по теории вероятностей и математической статистики docplayerru41573452-Reshebnik-po-teorii Cached Форум — Литература по Теории вероятности и мат статистике вероятностей
  • занумерованными решебник по теории вероятностей и математической статистики docplayerru41573452-Reshebnik-po-teorii Cached Форум — Литература по Теории вероятности и мат статистике вероятностей
  • гдз к учебнику тюрина теория вероятностей и статистика

Нажмите здесь , если переадресация не будет выполнена в течение нескольких секунд гдз для теории вероятности онлайн Поиск в Все Картинки Ещё Видео Новости Покупки Карты Книги Все продукты Решебник по теории вероятностей Готовые решения задач matburorutv_reshphp Решебник по теории вероятности онлайн МатБюро рекомендует сайт решебник MathTaskscom сборник Калькуляторы по теории вероятностей Найти вероятность matburorutv_calcphp Используйте наши бесплатные калькуляторы по теории вероятностей Подробные инструкции и Найти вероятность онлайн ? Без проблем! Используй решебник ! Более задач с Теория вероятностей решения, онлайн , для чайников antigturuteoriyaveroyatnostejhtml апр Теория вероятностей Решения задач с по из сборника Чудесенко Скачать весь решебник Решения по теории вероятностей лучший решебник Изучаешь теорию вероятностей ? На помощь придет крупнейший решебник по теории вероятностей и математической статистике Примеры и онлайн калькулятор wwwmatburoru Онлайн программы для решения задач по теории webmathruwebteorverphp Онлайн программы для решения задач по теории вероятности , примеры по теории вероятности Онлайн калькуляторы по математике, теории вероятности и webmathruwebphp Онлайн калькуляторы для решения примеров по математике, теории вероятности и геометрии Все программы гдз теория вероятностей тюрин ёййовти anceta Narodru ancetanarodrusolhtml Скачать теория вероятности тюрин гдз Вы можете найти онлайн гдз и теория вероятности тюрин гдз Кто знает где скачать гдз теория вероятностей и статистика июл Кто знает где скачать гдз теория вероятностей и статистика авторы Тюрин, Макаров, Высоцкий, Ященко, где можно скачать решебник автор Тюрин Книга; Теория вероятности Сообщений апр ну пожалуйста помогите!!! где можно скачать решебники по теории Сообщений сен Теория Вероятности И Математическая Статистика фев Теория вероятностей и статистика ГДЗ , математика шпаргалки, гдз по ноя Решебник по теории вероятности тюрин класс Гдз по английскому класс кауфман онлайн Теория Вероятностей Учебник Для Экономических Тюрин янв Гдз по учебнику теория вероятностей и статистика тюрин Артур Тевосян , на голосовании гдз по теории вероятности и статистике класс тюрин онлайн гдз по Гдз к теории вероятностей и статистики класс piwedleostur mpiwedleosturwebnoderu gdz kteor янв По математике Теория вероятностей и статистика Тюрин Ю Гдз к теории Андреев А С Теория вероятности и статистика читать онлайн бесплатно без регистрации в PDF статистика и теория вероятности класс тюрин гдз онлайн thogcatyrentgetfileswordpresscom Скачать бесплатно гдз теория вероятностей и статистика тюрин, макаров, высоцкий, ященко класс Картинки по запросу гдз для теории вероятности онлайн ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ как решать задачи ЕГЭ и ОГЭ май Группа ВК online Сайт online myoutubecom Решение задач по комбинаторике и теории вероятности online mschoolcomstatisticia Онлайн калькуляторы для решения задач по математике Комбинаторика Теория вероятности Помощь с решением задач теории вероятности Тервер на pinterestcom Помощь с решением задач теории вероятности Тервер на экзамене онлайн Также мы сможем помочь Математика захарова юдина класс гдз онлайн Алгебра, Литература, Первый Класс Теория вероятности размещение Комбинаторика Теория matematicusru апр По какому предмету больше всего Вам нравятся онлайн тесты? Математика Алгебра Скачать гдз по алгебре класссамостоятельные работысл pinterestru Скачать гдз по алгебре класссамостоятельные работыслаалександрова PDF Теория вероятностей НГУ теории вероятностей и математической статистики НГУ P ответы на й, й, й вопросы студент знает Решебник Гмурмана kontromatru Решение kontromatru?page_id Гмурман Гмурман ВЕ Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике Андрухаев X М Сборник задач по теории вероятностей Андрухаев X М Сборник задач по теории вероятностей ОНЛАЙН Задачник соответствует программе по теории вероятностей для Берман Г Н Решебник к сборнику задач по математическому анализу Бермана ГН Онлайн тест Теория вероятностей Октября ggalibaucozru окт Онлайн всего Гостей Пользователей Locations of visitors to this page Geo Visitors Map Теория вероятности ЕГЭ Онлайн Тест математика ege online testrutheoryphp?artB В статье рассмотрим задачи ЕГЭ по теории вероятности B, приведенные к настоящему моменту в открытом PDF Теория вероятностей в примерах и задачах zyurvasnarodruKolemayev_tv_ ших учебных заведений, изучающих курс теории вероятностей и математической статистики В посо А П Курочкиным; решения всех задач, ответы и приложения под готовлены канд PDF ВЕГмурман РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ PDF В А Попов, М Х Бренерман Руководство к решению задач oldkpfurufkppmanualpdf В книге собрано более задач к курсу Теория вероятности и математическая статистика, читаемому на Преподавание элементов теории вероятности и статистики фев Преподавание курса Теория вероятностей и статистика требует от учителя кардинального PDF Теория вероятностей и математическая статистика windoweduruk_Solopaxop Теория вероятностей математическая дисциплина, объектом изучения которой являются случайные события, Теория вероятностей Задачи с решениями Золотаревская allengorgdmathstudmathsthtm Учебное пособие охватывает все разделы теории вероятностей , входящие в учебные программы по курсу Решения задач по теории вероятности онлайн готовые blogruslanaua?doresheniya onlayn авг Задачи по теории вероятности Построить диаграмму рассеяния и линию регрессии Найти Теория вероятности решение задач онлайн wwwelektrimruteoriyaveroyatnosti физика класс парфентьева решебник Как только последний теория вероятности решение задач онлайн Решение задач по теории вероятности онлайн Все сдал Заказать недорого решение задач по теории вероятности от опытных исполнителей Быстрая и качественная Гдз теория вероятности решебник тюрин решебник crmcallbackkillerru gdz teoriya Динамичность теории вероятности решебник тюрин ит, необходимость обеспечения преемственности обучения решебник по теории вероятности и статистике тюрин aeternaqiprublogspost фев решебник по теории вероятности и статистике тюрин класс дек решебник к задачнику по физике в ф дмитриева онлайн решебник самостоятельных работ по Онлайн калькулятор по теории вероятностей Задачи по теории вероятностей Проверка решений в онлайн режиме с оформлением всех результатов в Курсы онлайн по теории вероятности и мат статистики Tosterru Ответы на вопрос barker barker А вот что за прикол именно в видеолекциях по таким Скачать учебники Высшая математика mathelpspbrumagazinhtm Название Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической В конце параграфов имеются задачи для самостоятельного решения, к которым даны ответы Решение задач по теории вероятности в математике В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсменов из Аргентины, спортсменов из Бразилии, PDF руководство к решению задач по теории вероятностей veneculsturulibgophp?id Ответы к разделу В теории вероятностей для каждого эксперимента строится множе Теория вероятностей книг скачать в fb, txt на андроид bookashprorut Теория вероятностей Вы можете уточнить книги по запросу Теория вероятностей в В учебно методическом пособии можно найти ответы на следующие вопросы почему элементы теории вероятностей , Теория вероятностей Краткий курс для начинающих wwwmathprofiruteorija_verojatnostei Гмурман ВЕ Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике Решебник PDF ВЕРОЯТНОСТЬ в примерах и задачах Кафедра высшей kvmgubkinrupubKalininFastovets ей целью вспомнить основные подходы к решению задач теории вероятностей Материалы, связанные с Кружок по теории вероятностей , Высоцкий ИР, дек В конце сборника даны ответы и указания к решению, Зачем нужна теория вероятностей ? Теория вероятностей и математическая статистика Руконт Скачайте в онлайн библиотеке Rucont Учебное пособие затрагивает такие разделы теории вероятностей и большое количество задач для самостоятельного решения и ответы для Формулы по теории вероятностей онлайн случайные dominsoftrutv_spr_subphp Формулы по теории вероятностей из раздела Случайные величины онлайн Задание дискретных и Заказать контрольную работу по теории вероятностей zaochnikcomzakazat Заказать онлайн контрольную работу по теории вероятности Гарантия качества, полное сопровождение Элементы теории вероятностей Пройти онлайн тест https online testpadcom Элементы теории вероятностей Данный тест предназначен для проверки знаний по теме Элементы теории Теория вероятности Решение уроков онлайн ГДЗ по spiececomuateoriyaveroyatnosti дек теория вероятности , рассчет онлайн , посмотрите формулы теории вероятности PDF Задачи и упражнения по теории вероятностей chembabycomЕСВентцельЛА Вентцель Е С В Задачи и упражнения по теории вероятностей Учеб посо бие для студ втузов Е С Онлайн решения теории вероятности рабочая тетрадь по logonikaru?go onlayn resheniyateorii май Решения Онлайн вероятности теории основания Изображение для Онлайн решения теории вероятности Готовые домашние задания по геометрии работу, приготовиться Запросы, похожие на гдз для теории вероятности онлайн теория вероятности онлайн помощь решение задач по теории вероятности онлайн задачи по теории вероятности с ответами гдз по теории вероятности класс тюрин спиши ру теория вероятностей и математическая статистика спирина гдз гдз по теории вероятности класс тюрин спиши ру гдз по теории вероятности тюрин теория вероятности для чайников задачи и решения След Войти Версия Поиска Мобильная Полная Конфиденциальность Условия Настройки Отзыв Справка

Онлайн программы для решения задач по теории вероятности, примеры по теории вероятности. ГДЗ онлайн. Нахождение числа перестановок из n элементов. 18.02.2013 Избранное , Математика , Математика для студентов, аспирантов и научных работников , Теория вероятностей и мат.статистика , Экономика , Экономика для студентов и аспирантов , Экономическая математика. Излагаемые основы теории сопровождаются большим… Вариант , варианты , Вопросы , Графики , Дифференциальные , Задачи , задачника , зачету , интегралы , КОДЕКС , Конспект , Кратные , Кузнецов , Курс , Лекции , лекций , математике , ОГТУ , Основные , основы , Ответы , Пособие , практике , работа , развития , решебник , решения , Решены , теории , Теория… Учебник по теории вероятности для чайников. Формулы и таблицы по теории вероятности. Онлайн учебник. МатБюро работает на рынке решения математических задач уже 10 лет. Описать, как система должна работать для конечного пользователя. решения Симонова Виргиния Романовна. Домашняя кузнецов решебник теория вероятности по физике за 10 класс к учебнику quot;физика: механика. Дана функция плотности вероятности и требуется найти значение постоянной С. Для этого требуется воспользоваться одним из свойств функции плотности вероятности и найти простой интеграл. Этот пример наверняка попадется вам при изучении курса теории вероятностей. Как бы не отзывались учителя о сборниках с готовыми домашними заданиями, но это прекрасная помощь родителям при проверке домашних работ их детей и детям для более глубокого изучения школьного материала. Книга содержит в основном весь материал программы по теории вероятностей и математической статистике. Большое внимание уделено статистическим методам обработки эксперимен… Примеры решения задач по теории вероятности. Для разрушения моста достаточно попадания одной бомбы. Для определения вероятности воспользуемся формулой вероятности появления хотя бы одного из n событий: Теория вероятности Теория вероятности. Сортировать по: Дате Названию Рейтингу Комментариям Просмотрам . Примеры задач с решением. Вероятность появления хотя бы одного события.

Математика для программистов

В статье пойдет речь о роли математики в жизни разработчика ПО. Мы не будем углубляться в частные области вроде машинного обучения, моделирования или же компьютерной графики, а сделаем упор на базовых математических вещах.

Этот материал предназначен в первую очередь для тех, кто уже сделал свои первые шаги в IT-индустрии, но в своем образовании уделял больше времени языкам программирования и конкретным технологиям, нежели фундаментальным вещам.

Как изучать математику

Многим людям математика кажется очень сложной для понимания наукой. Чаще всего, такое мнение складывается из-за неправильного подхода к ее изучению. На самом деле можно сильно упростить себе жизнь, следуя рекомендациям ниже.

В освоении математики есть два уровня понимания. Первый уровень — идейный. Это осознание того, для чего нужны определенные объекты, какая задача решается и где это используется. Второй уровень понимания — детальный; это подробное изучение подробностей решения задачи. Иногда нужно разобраться в задаче на детальном уровня понимания, но в большинстве случаев — достаточно идейного.

Математика не любит баззвордов. Если вы читаете книгу и видите слова, смысл которых вам непонятен, пропускать их опасно, потому как вы можете поймать себя на том, что с какого-то момента не понимаете вообще ничего. Очень важно сразу останавливать себя, когда вам что-то непонятно.

Дискретная математика

Область математики, которая занимается дискретными структурами (например: графами, автоматами, утверждениями в логике). Основное ее отличие от обычной математики, которую вы изучали в школе, — ее объекты не могут изменяться так же гладко, как и вещественные числа.

В каком-то смысле все задачи, которые решаются в программировании, так или иначе относятся к дискретной математике, поэтому ее знание очень вам пригодится.

Логика

Это наука о формальных системах и доказательствах. Она лежит в основе компьютерных наук, ведь любой язык программирования — формальная система. Но не нужно заглядывать глубоко в теорию, чтобы найти применение этой науке в написании программ, да и вообще в решении задач.

Хорошо, если вы умеете писать решение задачи. Но так же важно понимать, каким образом вы можете доказать, что ваш код работает правильно. Большинство программ решает какую-либо математическую задачу, и вам нужно уметь доказывать, что ваша задача решена правильно. Тогда на помощь приходят методы логики и в частности исчисление высказываний.

Изучение логики целесообразно начинать с простых вещей: например с того, что такое высказывание, какие есть операции между ними, что такое правила вывода. Далее можно перейти к более прикладным областям: старайтесь решать логические задачи, пробуйте оптимизировать разные проверки, которые вам приходится писать в коде. Далее, стоит обратить внимание на логику первого порядка: она может пригодиться в тестировании программ.

При этом решение, которое первым  пришло вам в голову, не всегда самое правильное и красивое. Часто формальными преобразованиями можно сократить объем кода и сделать его более читаемым. А кроме того, некоторые логические трюки позволяют сделать само решение короче, быстрее и эффективнее.

Ресурсы:

  • На Codeforces в разделе «Архив» стоит потренироваться на задачах как минимум класса С — многие из них содержат подводные камни;
  • Проект The KeY to Software Correctness подойдет тем, кому интересно, как можно автоматически доказывать правильность работы кода. Он автоматизирует проверку кода на Java;
  • Автоматический доказатель теорем z3, написанный Microsoft, для тех, кто пользуется другими языками. Краткая инструкция по его использованию находится на ресурсе rise4fun.

Комбинаторика

Комбинаторика изучает разные дискретные множества и отношения их элементов. Наиболее часто встречаемая программистами комбинаторная задача — вывести количество элементов, которые необходимо перебрать, чтобы получить решение в зависимости от некоторых параметров. Таким образом вы можете вывести асимптотическую сложность алгоритма.

Комбинаторные задачи формулируются в виде задачи подсчета количества элементов некоторого (в математике используют термин мощность) множества. Чтобы решать такие задачи, полезно иметь базовые знания в теории множеств из разряда свойств операций над множествами. Тогда задача сводится к выражению искомого множества через множества, мощности которых вычисляются по известным правилам. Для подсчета количества элементов применяются правила умножения или сложения, числа сочетаний или размещений. Хотя есть и более сложные задачи, лучше начинать с простого.

Ресурсы:

  • С основами можно ознакомиться на сайте Mathprofi, который посвящен прозрачному и популярному описанию математики;
  • Если вы владеете английским, можете посмотреть более продвинутую книгу An Introduction to Combinatorics and Graph Theory;
  • Задачи по комбинаторике можно взять из задачника «Дискретная математика», в конце есть ответы.

Теория вероятностей

Иногда на собеседовании интервьюер, дабы проверить насколько крут кандидат, задает такую задачу: «Вот у нас есть отрезок, который начинается с числа А и заканчивается числом Б. Мы кидаем на него две точки случайным образом. Какая будет средняя длина наибольшего отрезка?» или же «Пусть у нас есть треугольник, на вершине которого сидит муха. Пусть она перелетает с вершины на вершину за 3 секунды и отдыхает на каждой вершине по секунде, каждый раз случайно выбирая себе путь. Через какое время она в среднем вернется в начальную точку?».

Это задачи по теории вероятностей. В программировании часто приходится применять вероятностный подход, для того чтобы оценить среднюю скорость работы алгоритма или же подогнать параметры вашего решения задачи под те запросы, которые чаще всего встречаются на практике.

Теория вероятности делится на две части: дискретную и непрерывную. Хотя в теории дискретная — это подкласс непрерывной, методы решения задач несколько различаются. Опять же лучше начинать с простого — дискретная теория вероятности часто сводится к комбинаторным задачам. И теоретическая часть у дискретной формулируется проще.

Непрерывная теория вероятности для полного понимания требует знания элементарных основ мат. анализа, в частности понятия интеграла, хотя многие задачи требуют лишь умения считать площади простых фигур. Именно непрерывная теория вероятности является фундаментом для математической статистики и машинного обучения. Поэтому, если хотите работать в этой области, стоит начать с изучения книги Ричарда Хэнсена Probability Theory and Statistics или Probability Theory with Simulations.

Ресурсы:

  • MathProfi  — сайт, на котором доступно и просто изложена высшая математика. На нём есть множество разделов с теорией, таблицами и задачами, в том числе и по теории вероятностей
  • Книга Чарльза М. Гринстеда и Лори Снелла Introduction to Probability.

Теория графов

Слышали ли вы задачу о мостах Кенигсберга?

«Можно ли пройти по всем семи мостам города Кенигсберга, не проходя по каждому из них дважды?». Нам известно, что ответ на эту задачу — нет. Решить подобные задачи помогает теория графов.

Графы — это очень удобные формализованные представления нелинейных структур, которые довольно часто встречается в прикладных задачах. В отличие от простых линейных структур, таких как массивы или списки, работа с графами более сложна.

Изучите классические результаты и алгоритмы из теории графов, потому как некоторые задачи на графах являются NP-полными, и для них доказано существование более эффективного решения.

Ресурсы:

  • Познакомиться с основными понятиями можно в краткой методичке «Введение в теорию графов»;
  • По части алгоритмов можно заглянуть на сайт e-maxx и наш;
  • Практиковаться можно на задачах с Codeforces, там есть задачи на графах.

Теория чисел и криптография

Задумывались ли вы, почему к простым числам такой большой интерес? Почему работает шифрование RSA? Чем отличается http от https и что такое сертификат безопасности?

Все эти вопросы изучает криптография. Сразу скажем, что эта наука достаточно сложная и не интуитивная — бывает непонтяно, как реализовать тот или иной алгоритм совершенно безошибочно. Тем не менее алгоритмы в криптографии не могут быть «чуть-чуть нерабочими». Малейшая ошибка может привести к компрометации всей криптографической системы.

Дискретная оптимизация

Чтобы найти экстремум (максимум либо минимум) функции, надо взять ее производную и приравнять к нулю. Решение уравнения дает локальный экстремум. Но если вам нужно искать максимум не на каком-то промежутке, а только по целым числам, то вам уже нужно будет задумываться о том, какое из соседних целых чисел нужно выбрать. Когда задача многомерная, вариантов с целыми числами становится все больше, и выбирать приходится из все увеличивающегося количества. Но бывают случаи еще хуже — когда вовсе нет никакой непрерывной функции, от которой можно было бы взять производную. Или же когда количество вариантов очень велико (в том случае, когда сами варианты нужно вычислять).

Бывает, что в таких задачах нельзя найти точное решение за приемлемое время — его можно получить только полным перебором. Такова, например, задача Коммивояжера, или задача линейного программирования. Иногда можно отказаться от точного решения, и использовать некоторые приближения. Обо всем этом можно узнать в курсе Discrete Optimization на Coursera.

Источники

Небезызвестная серия курсов Introduction to Discrete Mathematics for Computer Science на Coursera по дискретной математике. Она довольно обширна и дает общее представление о всех нужных областях дискретной математики — логике, комбинаторике, теории вероятностей, теории графов, теории чисел и криптографии. Последний курс затрагивает проблему дискретной оптимизации.

Кроме того, для тех, кому не очень нравится формат курсов, будет полезной книга Discrete Mathematics. An Open Introduction. Книга довольно большая и подробная, поэтому можно сделать упор на основных понятиях и определениях.

Напоследок для тех, кого заинтересовала дискретная математика, приведем одну из наиболее подробных практико-ориентированных книг по дискретной математике. Довольно известная книга Кнута, Грехема и Паташника «Конкретная математика». Она написана в неформальном стиле, изложение разбавлено комментариями на полях. Книга очень полезна для развития умения решать разные задачи. Однако в ней много частных вещей, которые могут пригодится только в олимпиадном программировании.

Что дальше?

В целом, для того чтобы иметь достаточный математический фундамент для изучения большинства областей, достаточно первых двух курсов, изучаемых на математических специальностях. К дискретной математике добавляются некоторые разделы непрерывной: линейная алгебра, общая алгебра, математический анализ, аналитическая геометрия, обыкновенные дифференциальные уравнения, методы оптимизации. В зависимости от специфики решаемых задач, к ним могут добавиться и дифференциальная геометрия, если вы собираетесь заниматься компьютерной графикой, или же теоретическая механика и мат. физика, если вы собираетесь заниматься физическими движками.

Иван Камышан

Помогите решить / разобраться (М)

 !  Банить Вас (сейчас) вроде не за что, но искажать ники участников все-таки не надо (даже транслитерируя их кириллицей), да и авторов цитат стоит указывать.

Не обижайтесь, но раз Вы такое пишите, значит ответ на мой первый вопрос не верен. Укажите, пожалуйста, направление. Правильно ли я понимаю, что надо читать какие то книги? Или моё мнение, что надо найти несколько книг по тематике и прочитать их с конспектом — это не верно в принципе?

И да, и нет. Конечно, сама по себе идея, что если что-то нужно изучить, следует обложиться книгами и внимательно почитать их, вполне разумна. Проблема в том, что Вы, по-видимому, совершенно не представляете себе объем того, что нужно изучить.

Это действительно популярная и прибыльная область, поэтому желающих поработать в ней достаточно много, и с каждым днем становится больше. При этом людей с нужным для нее базовым ВУЗовским образованием (прикладная математика или просто математика, близкие физико-математические области, а также мат.методы в экономике) в России готовит, наверное, каждый первый классический университет. Как готовит — это уже другой вопрос, но в 2014 году в ВУЗы России на такие направления бакалавриата поступило около 37 тыс. студентов. Грубо говоря, ближайшим летом ВУЗы закончат еще 10-20 тысяч человек, для которых чтение тех же «Основ прикладной статистики» является легким и несложным делом (если, конечно, они сразу не помнят то, что там написано), то же самое относится к учебнику Е.С.Вентцель.

Понятно, что далеко не все они будут заниматься именно этим, но какая-то часть неизбежно займется. Какого-то безумного дефицита кадров в области нет, соответственно, желающих будет, скорее всего, больше, чем возможных мест для работы, поэтому то самое профильное образование (и действительно имеющееся, а не только «по диплому») — это почти наверняка необходимое, но не достаточное требование к претенденту (ну, собственно, это так и есть — я периодически сталкиваюсь с поиском кадров в этой области, так что представляю, что обычно хотят HR).

Отсюда вывод: Вам нужно каким-то образом заменить несколькими книжками несколько лет обучения в хорошем ВУЗе. Лучше быть реалистом и сразу понять, что это невозможно, а характерные временные затраты на вхождение в область — годы. Если работать в такой области действительно очень хочется — нужно получать соответствующее образование (самообучение, как правило, менее эффективно, и на него Вы потратите больше времени). Если это по тем или иным причинам невозможно и предполагалось лишь почитать две-три книжки в течение максимум месяца — просто забудьте об этой идее, таким путем цель недостижима.

11 книг для первого знакомства с экономикой • Arzamas

Книги, которые нужно прочитать, чтобы решить, действительно ли вы хотите заниматься экономикой, и книги, которые нужно изучить, чтобы поступить в магистратуру факультета экономики Европейского университета в Санкт-Петербурге

Текст Михаил Пахнин, Екатерина Гущина, Юлия Раскина, Максим Буев

Предварительные замечания

Наш список разбит на три части. В первой находятся книги, которые помогут понять, чем занимаются экономисты и что в их занятиях интересного. Во второй — важная учебная литература по экономике, которая поможет вам сдать вступительный экзамен в магистратуру Европейского университета. Все нижеупомянутые книги (равно как и, в принципе, любые книги по экономике) стоит читать в оригинале. Наконец, в третью часть списка включены учебники и задачники по высшей математике, знания основ которой мы требуем от абитуриентов: для того чтобы заниматься экономикой на международном уровне — например, в качестве аналитика в консал­тинговом агентстве, эконометриста в банке или ученого в университете, — помимо базового понимания того, как работает мир вокруг нас, нужно еще и уверенно чувствовать себя в высшей математике.

Интересные книги

Дарон Аджемоглу, Джеймс Робинсон. «Почему одни страны богатые, а другие бедные»

Daron Acemoglu and James Robinson. «Why Nations Fail»

На вопрос о причинах богатства некоторых народов (которым задавался в своем opus magnum еще Адам Смит  Адам Смит (1723–1790) — шотландский экономист, считающийся основателем экономики как науки, автор основопола­гающего для классической политэкономии труда «Исследования о природе и причинах богатства народов» (1776). ) окончательного ответа до сих пор не получено. Более того, разнообразные примеры «экономических чудес» (Сингапур, Тайвань, Япония) и «экономических катастроф» (Аргентина, Зимбабве, Греция) XX века ставят под сомнение существование единого ответа, который был бы верен для всех стран.

Два известных американских экономиста в своей книге тщательно анализируют практически все факторы, которые могут влиять на экономическое развитие стран (в частности, географическое расположение, наличие природных ресурсов, культурные особенности), и предлагают свой ответ. По мнению Аджемоглу и Робинсона, процветание или нищета стран определяются экономическими и политическими институтами — «правилами игры» во взаимодействии власти и общества.

Этот серьезный труд, опирающийся на множество исследований и научных статей самих авторов, очень популярно и легко написан и рассчитан на массового читателя.

Сильвия Назар. «Путь к великой цели. История одной экономической идеи»

Sylvia Nasar. «Grand Pursuit: The Story of Economic Genius»

Профессор бизнес-журналистики Колумбийского университета Сильвия Назар прославилась книгой «Прекрасный разум. Жизнь гения математики и нобелевского лауреата Джона Нэша» («A Beautiful Mind. The Life of Mathematical Genius and Nobel Laureate John Nash»), в которой биография математика и экономиста Джона Форбса Нэша была рассказана параллельно с довольно точным изложением его научных исследований — и по которой был снят оскароносный фильм «Игры разума». В своей следующей книге Назар решает еще более трудную задачу — показать развитие экономической науки на протяжении XIX и XX столетий сквозь призму биографий и воззрений выдающихся экономистов (от Альфреда Маршалла  Альфред Маршалл (1842–1924) — английский экономист, один из самых влиятельных экономистов конца XIX — начала XX века, фактически основатель неоклассического направления в экономике. В его честь назван один из самых известных и красивых экономических образов: график пересечения кривых спроса и предложения, «крест Маршалла». и Йозефа Шумпетера  Йозеф Шумпетер (1883–1950) — американский экономист и политолог австрийского происхождения, министр финансов Австрии после Первой мировой войны. Шумпетер внес значительный вклад в изучение экономической истории и механизмов экономического развития, существенно повлияв на всю современную теорию экономического роста. до Милтона Фридмана  Милтон Фридман (1912–2006) — американский экономист, получивший в 1976 году Нобелевскую премию по экономике «за достижения в области анализа потребления, истории денежного обращения и разработки монетарной теории, а также за практический показ сложности политики экономической стабилизации». Создатель теории монетаризма, которая предполагает, что важнейшее влияние на реальные макроэкономические переменные, такие как ВВП или инфляция, оказывают изменения денежной массы. и Пола Самуэльсона  Пол Самуэльсон (1915–2009) — американский экономист, в 1970 году получивший Нобелевскую премию по экономике «за научную работу, развившую статическую и динамическую экономическую теорию и внесшую вклад в повышение общего уровня анализа в области экономической науки». Самуэльсона, автора самого продаваемого экономического учебника всех времен «Экономика: вводный анализ», называют «отцом современной экономики», и это более чем заслуженно.). Из этого крайне увлекательного, хотя и небесспорного рассказа о том, как экономические теории содействуют экономическому развитию, можно узнать, насколько тернист путь к великой цели преобразования к лучшему жизни всех людей на планете.

Terry Pratchett. «Making Money»

Терри Пратчетт. «Делай деньги»

Это не экономический труд, а фэнтезийный роман из цикла «Плоский мир» (Discworld), но в нем между делом поднимается вопрос, что же такое деньги, однозначного ответа на который ученые-экономисты до сих пор не знают.

Роман Пратчетта, во-первых, обыгрывает реально существовавшую гидравлическую модель экономики: его герой является создателем «Булькера», компьютера, представляющего собой модель национальной экономики:

«…Течение денежных потоков, их воздействие на общество моделируются потоками воды внутри стеклянной матрицы, каковая и есть „Булькер“. Геометрическая форма трубок, работа клапанов, гениальные, как я их называю, пипетки и тщательно откалиброванные насосы позволяют „Булькеру“ имитировать самые сложные транзакции. Кроме того, мы можем в широких пределах изменять начальные условия, чтобы исследовать присущие системе свойства. Например, с помощью „Булькера“ можно выяснить, что произойдет, если трудовые ресурсы города сократятся вдвое. Для этого достаточно перенастроить всего несколько клапанов, вместо того чтобы выбегать на улицу и убивать людей».

Механизмы, которые воспроизводили реальные экономики и в которых роль денежного потока играл поток воды, еще в конце XIX века строил Ирвинг Фишер  Ирвинг Фишер (1867–1947) — американский экономист, статистик и изобретатель. Фишер оставил след практически во всех областях экономической науки — он успешно занимался математической экономикой, международной экономикой, теориями денег, и был одним из первых эконометристов в современном понимании этого слова., а наибольшую известность получил гидравлический компьютер MONIAC Олбана Уильяма Филлипса  Олбан Уильям Филлипс (1914–1975) — английский экономист новозеландского происхождения. Помимо постройки гидравлического экономического компьютера MONIAC, прославился как автор «кривой Филлипса», отображающей отрицательную зависимость между безработицей и инфляцией (уменьшение безработицы коррелирует с высокой инфляцией)., моделировавший британскую экономику. Кроме того, роман прекрасно иллюстрирует некоторые положения разных теорий денег, а также диаметрально противоположные представления о том, что же такое деньги. В общем, эту книгу стоит прочесть, даже если вы ничего не слышали про «Плоский мир». Официально на русском языке она еще не издавалась, но в интернете можно найти любительские переводы.

Тим Харфорд. «Экономист под прикрытием»

Tim Harford. «The Undercover Economist»

Как справедливо отмечено в одной из рецензий, эта книга — яркий представитель работ из серии «нескучно о серьезном» и «просто о сложном». Харфорд увлекательно и доступно объясняет множество важных экономических идей, используя в качестве отправной точки своих наблюдений явления, с которыми каждый сталкивается в повседневной жизни. Так, на примере цены чашки кофе обсуждается, как и на что в реальной экономике влияет ограниченность ресурсов (причем очень разных видов ресурсов — цена чашки кофе в последнюю очередь определяется ценой кофейных зерен и работой баристы), а обычный поход в супермаркет показывает, каким образом на практике осуществляется ценовая дискриминация покупателей — и это не всегда плохо, как можно подумать, если исходить только из термина.

Из этой книги вы узнаете, какую информацию содержит в себе цена товара и как ею правильно распорядиться, что может произойти, если продавец и покупатель обладают неодинаковой информацией, как работает теория аукционов и почему правительство США на аукционе по продаже лицензий мобильной связи выручило в 100 раз меньше, чем планировалось, а британскому правительству удалось выручить в 10 раз больше, чем оно ожидало, а также многое другое. Кстати, в 2014 году у этой книги появилось не менее захватывающее продолжение: «Экономист под прикрытием наносит ответный удар. Как развить — или развалить — экономику» («The Undercover Economist Strikes Back: How to Run — or Ruin — an Economy»).

Ха-Джун Чанг. «Как устроена экономика»

Ha-Joon Chang. «Economics: The User’s Guide»

В своей предыдущей книге «23 факта о капитализме, которые от вас скрывают» («23 Things They Don’t Tell You About Capitalism») Ха-Джун Чанг, профессор экономики из Кембриджа, объясняет, что 95% процентов экономики — это здравый смысл. С тех же позиций написана и эта книга: в ней коротко и очень ясно излагаются этапы развития капитализма (начиная с 1500 года и до наших дней), обсуждаются основные понятия и термины, которыми оперируют экономисты (валовой внутренний продукт и валовой национальный продукт, устойчивый экономический рост, безработица, неравенство и бедность), описываются особенности различных школ экономической мысли (от австрийской и марксистской до неокласси­ческой и кейнсианской  Разница между экономическими школами ярко выражается (но, разумеется, далеко не исчерпывается) в их рекомендациях при проведении экономической политики. Апологеты австрийской школы утверждают, что никакого государственного вмешательства в экономику быть не должно и что лучшее решение — свободный рынок. Марксистская школа выступает за полностью централизованное планирование и плановое хозяйство. Представители неоклассической школы признают, что существуют как провалы рынка, так и провалы государства, поэтому допускают вмешательство в работу свободного рынка только при условии, что польза от государственного регулирования перевесит возможный вред. Кейнсианская школа настаивает на активном государственном вмешательстве в экономику, проведении активной фискальной политики (особенно в периоды кризисов) и перераспределении доходов в пользу бедных.), а также анализируются роли государства и рынка в экономике. Эта книга может быть прекрасной отправной точкой для изучения экономики, дополнением к любому учебнику по макроэкономике или справочником по истории экономической мысли.

Нассим Николас Талеб. «Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости»

Nassim Nicholas Taleb. «The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable»

Совет прочитать «Черного лебедя» — мировой бестселлер, проданный в количестве более 3 миллионов экземпляров, — сложно назвать оригинальным. Талеб, эрудит-универсал и бывший трейдер, оказался очень удачливым автором, потому что правильно поймал момент: он обрушился с критикой на экономистов и финансистов-ортодоксов, думающих о мире в упрощенных терминах, в 2007 году, когда финансовый рынок был на пороге самого значительного кризиса после Великой депрессии 1930-х годов. Основной тезис Талеба заключается в том, что раз за разом люди попадают в ловушку излишней самоуверенности, думая, что знают об окружающем мире больше, чем знают на самом деле. Согласно Талебу, мы постоянно уделяем внимание неважным событиям, которые не помогают объяснить, что происходит вокруг нас, недооценивая при этом вероятность наступления больших, по-настоящему значительных событий — так назы­ваемых «черных лебедей». В результате они становятся для нас откровениями, которые кардинально меняют наше представление об окружающей действи­тельности. Не желая отойти от упрощенного взгляда на мир, мы раз за разом не замечаем действительно важных вещей и пожинаем горькие плоды.

Elie Ayache. «The Blank Swan: The End of Probability»

Эли Аяш. «Пустой лебедь. Конец вероятности»

В «Черном лебеде» Талеб предположил, что в один прекрасный день кто-нибудь подвергнет его взгляд на мир уничтожающей критике и опишет свои аргументы в книге под заголовком «Белый лебедь». Действительно, уже через три года вышла книга, содержавшая критический ответ Талебу, но называлась она не «Белый лебедь», а «Пустой лебедь». Ее автор Эли Аяш не ищет изъяна в логике Талеба, но критикует основы, которые формируют современный взгляд на процессы, происходящие на финансовых рынках. Речь идет о принципах вероятностного мышления, к которому люди прибегают, говоря о возможных вариантах развития событий — в том числе в которых участвуют сами.

Например, когда Талеб пишет о «белых» и «черных» лебедях, то есть о потенциально предсказуемых и непредсказуемых событиях, он воспринимает вероятность этих событий как нечто отдельное от прогнозиста. В мировоззре­нии Талеба, трейдеры — сами по себе, а случай — сам по себе. Первые все время пытаются определить вероятность второго, и на ее основе действовать, устанавливая цены. Для Аяша это не имеет смысла: люди сами влияют на то, что происходит на финансовых рынках, — ведь трейдеры все время находятся в центре событий. Если бы они смотрели на мир глазами Талеба, то были бы похожи на игроков футбольной команды, пытающихся угадать вероятность победы в матче, в котором сами же и участвуют.

Любое событие для Аяша — это ненаписанный сценарий, который пишут сами инвесторы. Таким образом, «лебедь» не может быть черным или белым — он может быть лишь «пустым», то есть еще не совершившимся, но возможным событием, конечный результат которого зависит от конкретных действий каждого, кто попытался бы его предсказать. Понятие вероятности как математической концепции здесь вообще неприменимо. Отталкиваясь от этой идеи, Аяш кардинально переопределяет принципы ценообразования на финансовом рынке.

Как и Талеб, Аяш — успешный трейдер с инженерным образованием. Но, кроме того, он профессиональный философ, и это позволяет ему выводить свои аргументы из работ многих известных философов XIX–XXI веков.

Кто из авторов ближе к правде? Популярность — на стороне Талеба, но, возможно, истина — на стороне Аяша. Сам Талеб дал «Пустому лебедю» чрезвычайно высокую оценку: «Эли Аяш — единственный человек, представивший такие аргументы относительно “Черного лебедя” и редких событий, о которых я не подумал».

Удивительно, но эта очень интересная, хотя и сложная для прочтения книга до сих пор не переведена на русский язык.

Нужные книги

Hиколас Грегори Мэнкью. «Принципы экономикс»

N. Gregory Mankiw. «Principles of Economics»

Ставший уже классическим труд Мэнкью считается по праву одним из самых удачных учебников по экономике, обучающим прежде всего способу думать и задавать вопросы как экономист. В нем представлено не так много специализированных моделей, практически не используются математические методы, зато разбирается огромное количество кейсов из самых разных областей жизни, что делает учебник достаточно простым и интересным для чтения. Но основное его преимущество — максимально широкий охват тем. «Принципы экономикс» включают в себя не только основы фундаментальной экономической теории (микроэкономики, то есть принципов работы отдельных рынков, и макроэкономики — поведения ВВП и цен в краткосрочном и долгосрочном периодах), но и доступно изложенные элементы теории международной торговли, теории организации промышленности (поведения фирм), экономики общественного сектора и финансового анализа — дисциплин, по которым написаны отдельные толстые учебники.

Л. С. Тарасевич, В. М. Гальперин, С. М. Игнатьев. «50 лекций по микроэкономике»

Это не столько учебник, сколько вольный конспект лекций, с рисунками на полях и дискуссиями после каждого занятия. При этом все важные экономические идеи описаны подробным и доступным образом, а легкость изложения сочетается с необходимой научной строгостью. Что особенно ценно, в книге приводятся многочисленные исторические примеры (например, из истории ростовщичества или российских монополий) и уникальные случаи из экономики России 1990-х годов (авторы, в частности, анализируют налоги и социальные трансферты, изучают цены, рынки и процессы поиска ренты).

Роберт Пиндайк, Даниэль Рабинфельд. «Микроэкономика»

Robert Pindyck, Daniel Rubinfeld. «Microeconomics»

Разницу между двумя частями экономической теории (макро- и микроэкономикой) иногда иронично объясняют следующим образом: микроэкономика является стройной, тщательно разработанной наукой, основанной на серьезном математическом аппарате, но способной объяснить только те вещи, которые не имеют никакого отношения к реальному миру, а макроэкономика занимается описанием того, что обычно и имеется в виду под «реальной экономикой», только при этом в макроэкономике имеется большое количество различных школ, представители которых дают противоположные прогнозы и ответы на один и тот же вопрос. Тем примечательнее, что учебник Пиндайка и Рабинфельда объясняет базовые микроэкономические понятия, не требуя от читателя развитой математической техники, которая обычно нужна для чтения микроэкономических учебников. Практически без математических формул авторы рассказывают и наглядно показывают (в списке приведенных в пример торговых марок и фирм более 50 названий, от Airbus до Wal-Mart), как работает экономика на уровне отдельных рынков, почему и как люди и фирмы договариваются и взаимодействуют друг с другом, в том числе в условиях неопределенности и асимметричной информации.

Оливье Бланшар. «Макроэкономика»

Olivier Blanchard. «Macroeconomics»

Тот факт, что существует множество макроэкономических школ, накладывает отпечаток как на преподавание макроэномики, так и на ее восприятие в целом: хороших учебников по макроэкономике великое множество, но ни один из них не дает единой картины и полного представления о том, что же все-таки такое макроэкономика. Книга Бланшара на этом фоне выделяется своей четкой структурированностью и продуманной логикой изложения. Выделяя в экономике три периода (краткосрочный, среднесрочный и долгосрочный), Бланшар последовательно рассматривает их и показывает, почему на разных временных промежутках справедливы разные выводы. Большое место в учебнике уделено роли ожиданий экономических агентов, а также анализу применения макроэкономической (фискальной и денежно-кредитной) политики в разнообразных реальных обстоятельствах.

Учебники и задачники по математике

Следующая часть списка призвана создать у читателя общее представление о том, какого уровня минимальные знания требуются для успешного прохождения вступительных испытаний на магистерские программы факультета экономики Европейского университета в Санкт-Петербурге. В эту часть вошли классические книги советского периода — потому что базовые знания по математике, в отличие от экономики, можно (и, наверное, даже нужно) получить, изучая старые книги. В процессе подготовки к нашим экзаменам, однако, могут быть использованы и другие учебники, более современные и не обязательно на русском языке. Например, многие ведущие западные университеты предлагают абитуриентам, которые поступают на программы магистерского уровня по экономике, книгу Карла Саймона и Лоуренса Блюма «Математика для экономистов» (Simon C. P., Blume L. E. Mathematics for Economists. W. W. Norton & Company, 1994).

Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. М., 1989.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., 1988.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., 1988.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Задачник. М., 1987.

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. М., 1999.

Колемаев В. А., Староверов О. В., Турундаевский В. Б. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1991.

Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. М., 1987. 

Формула Бернулли. Решение задач

Схема Бернулли возникает при повторных независимых испытаниях. Независимыми испытаниями называются такие, которые зависят друг от друга, и от результатов предыдущих испытаний. Они могут проводиться как в однотипных условиях, так и в разных. В первом случае вероятность появления какого-либо события во всех испытаниях одна и та же, во втором случае она меняется от опыта к опыту.

Пусть для каждого опыта вероятность появления события равна , вероятность противоположного события определяется зависимостью

Нужно найти вероятность появления события ровно раз в серии из испытаний. При этом следует отметить, что событие в серии опытов может чередоваться любым способом, главное чтобы исполнилась ровно раз.

Результаты испытаний для удобства обозначаем буквой в случае появления события и для противоположного.

Испытания в которых происходит раз и не происходит () раз по определению будут благоприятными. Их количество равно количеству способов выбора элементов с и определяется по формуле сочетания

Определим вероятность благоприятной комбинации (в серии из испытаний появления события ровно раз). Для простоты записи, рассмотрим случай, когда событие произошло в первых опытах и не состоялось в остальных . Схематично его можно обозначить следующим образом, а вероятность найти по теореме умножения вероятностей

для других благоприятных испытаний и вероятности будут такие же, только порядок их в серии из экспериментов будет постоянно меняться

Все благоприятные испытания являются попарно несовместимы, поэтому для нахождения общей вероятности их нужно просуммировать

или

Вывел ее впервые швейцарский математик Якоб Бернулли (1654 г.-1705 г.).

Если просуммировать вероятности всех испытаний в которых событие может произойти от нуля до раз в серии испытаний, то получим полную вероятность

Слагаемые этой суммы совпадают по виду с расписанием бинома Ньютона

Легко убедится, что

В литературе можно встретить термин «биномиальное распределение вероятностей», это как раз множество всех вероятностей, которые просуммированы выше.


Как последствия, из формулы Бернулли выводятся следующие формулы для популярных для практики задач:

1) вероятность появления события «хотя бы один раз» в серии из испытаний

2) вероятность появления события «хотя бы определенное количество раз» в серии из испытаний вычисляют по формуле

или согласно свойству биномиального разложения вероятностей

На основе данной зависимости вводят в рассмотрение сквозную функцию, которая дает возможность определить возможное количество появления события в серии из испытаний

По свойству сквозной функции множители при степени переменной () равны вероятности появления события в серии из опытов ровно раз. Это легко проследить по формуле суммирования вероятностей всех возможных испытаний по схеме Бернулли.

Если вероятности появления события в каждом опыте разные , а противоположного равны то по свойствам сквозной функции вероятность события произойти раз в серии из опытов равна множителю при в расписании функции по степеням

Она достаточно часто встречается при решении задач, в которых вероятности появления события в каждом последующем опыте меняются и позволяет при небольшом количестве появления события быстро найти вероятность (решение задачи).

Вероятное количество появлений события в схеме Бернулли лежит в интервале

Для применения схемы Бернулли нужно, чтобы выполнялись три условия:

1) опыты должны быть независимы между собой;

2) каждый опыт должен иметь два результата , и никаких других вариантов;

3) вероятность появления события должна быть одинаковой для каждого следующего опыта.


Рассмотрим решения типичных для данной схемы задач.

——————————

Пример 1. В тире стрелок проводит 7 выстрелов по мишени с вероятностью попадания каждого 0,8. Какова вероятность того, что будет: а) ровно 4 попадания б) не менее 5 попаданий в) не более двух попаданий.

Решение. а) проводится независимых друг от друга испытаний с вероятностью попадания в мишень в каждом из них . Вероятность того, что будет точно попаданий вычисляем по формуле Бернулли:

б) событие , которое заключается в том, что при выстрелах будет не менее 5 попаданий, можно рассматривать как сумму трех несовместных событий: – 5 попаданий из 7, событие – 6 попаданий с 7 и – все 7 выстрелов метки.

По формуле Бернулли находим вероятности событий

Тогда вероятность события равна сумме найденных вероятностей

в) Подобным образом, вероятность события – не более двух попаданий при семи выстрелах можно вычислить, как сумму вероятностей трех событий:

– 2 попадания из 7,

– 1 из 7 ,

– ни одного попадания из 7 выстрелов (7 промахов).

На практике студенты часто забывают рассматривать событие — подобное отсутствию попадений , поэтому не делайте подобных ошибок и хорошо запомните возможность возникновения такого варианта. Вероятности находим по знакомой уже формуле

Суммируя вероятности получим

Однако, события (не более двух попаданий при семи выстрелах) и (не менее 5 попаданий при семи выстрелах) противоположны друг другу, поэтому

——————————

Пример 2. Монета подбрасывают пять раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более трех раз.

Решение. Вероятность выпадения герба или решки считаем независимым событием с вероятностью . По аналогии с предыдущей задачей, искомая вероятность равна сумме трех следующих

Чтобы не искать столько слагаемых, из приведенных выше формул получим простую

——————————

Пример 3. Вероятность появления события в одном опыте равна 0,4. Сколько нужно провести опытов, чтобы вероятное количество появления события была равна 20.

Решение. Согласно условия выписываем данные

и проводим расчеты согласно неравенству

С него получим

три числа 49,50,51.

——————————

Пример 4. Три биатлониста независимо друг от друга делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого равна 0,9, для второго — 0,85, для третьего — 0,8. Найти вероятность того, что будут закрыты две мишени из трех.

Решение. Вероятности попадания для стрелков разные, поэтому применяем образующую функцию. Для нее входные данные примут значения

После подстановки и разложения в ряд получим

Искомая вероятность входит в расписание множителем при

Из этого примера также легко убедиться, что сумма всех множителей при степенях равна полной вероятности (единицы).

——————————

Схема Бернулли на практике не сложная, важно уловить как в вычислениях реализовать задачи вида «не более раз», «не менее раз», «ровно раз» с . Как только Вы это поймете, все остальное сведется к суммирования, умножению и возведения в степень.

 

Схема Бернулли. Примеры решения задач

Не будем долго размышлять о высоком — начнем сразу с определения.

Схема Бернулли — это когда производится n однотипных независимых опытов, в каждом из которых может появиться интересующее нас событие A, причем известна вероятность этого события P(A) = p. Требуется определить вероятность того, что при проведении n испытаний событие A появится ровно k раз.

Задачи, которые решаются по схеме Бернулли, чрезвычайно разнообразны: от простеньких (типа «найдите вероятность, что стрелок попадет 1 раз из 10») до весьма суровых (например, задачи на проценты или игральные карты). В реальности эта схема часто применяется для решения задач, связанных с контролем качества продукции и надежности различных механизмов, все характеристики которых должны быть известны до начала работы.

Вернемся к определению. Поскольку речь идет о независимых испытаниях, и в каждом опыте вероятность события A одинакова, возможны лишь два исхода:

  1. A — появление события A с вероятностью p;
  2. «не А» — событие А не появилось, что происходит с вероятностью q = 1 − p.

Важнейшее условие, без которого схема Бернулли теряет смысл — это постоянство. Сколько бы опытов мы ни проводили, нас интересует одно и то же событие A, которое возникает с одной и той же вероятностью p.

Между прочим, далеко не все задачи в теории вероятностей сводятся к постоянным условиям. Об этом вам расскажет любой грамотный репетитор по высшей математике. Даже такое нехитрое дело, как вынимание разноцветных шаров из ящика, не является опытом с постоянными условиями. Вынули очередной шар — соотношение цветов в ящике изменилось. Следовательно, изменились и вероятности.

Если же условия постоянны, можно точно определить вероятность того, что событие A произойдет ровно k раз из n возможных. Сформулируем этот факт в виде теоремы:

Теорема Бернулли. Пусть вероятность появления события A в каждом опыте постоянна и равна р. Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно k раз, рассчитывается по формуле:

где Cnk — число сочетаний, q = 1 − p.

Эта формула так и называется: формула Бернулли. Интересно заметить, что задачи, приведенные ниже, вполне решаются без использования этой формулы. Например, можно применить формулы сложения вероятностей. Однако объем вычислений будет просто нереальным.

Задача. Вероятность выпуска бракованного изделия на станке равна 0,2. Определить вероятность того, что в партии из десяти выпущенных на данном станке деталей ровно k будут без брака. Решить задачу для k = 0, 1, 10.

По условию, нас интересует событие A выпуска изделий без брака, которое случается каждый раз с вероятностью p = 1 − 0,2 = 0,8. Нужно определить вероятность того, что это событие произойдет k раз. Событию A противопоставляется событие «не A», т.е. выпуск бракованного изделия.

Таким образом, имеем: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Итак, находим вероятность того, что в партии все детали бракованные (k = 0), что только одна деталь без брака (k = 1), и что бракованных деталей нет вообще (k = 10):

Задача. Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность того, что:

  1. герб выпадет три раза;
  2. герб выпадет один раз;
  3. герб выпадет не менее двух раз.

Итак, нас интересует событие A, когда выпадает герб. Вероятность этого события равна p = 0,5. Событию A противопоставляется событие «не A», когда выпадает решка, что случается с вероятностью q = 1 − 0,5 = 0,5. Нужно определить вероятность того, что герб выпадет k раз.

Таким образом, имеем: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Определим вероятность того, что герб выпал три раза, т.е. k = 3:

Теперь определим вероятность того, что герб выпал только один раз, т.е. k = 1:

Осталось определить, с какой вероятностью герб выпадет не менее двух раз. Основная загвоздка — во фразе «не менее». Получается, что нас устроит любое k, кроме 0 и 1, т.е. надо найти значение суммы X = P6(2) + P6(3) + … + P6(6).

Заметим, что эта сумма также равна (1 − P6(0) − P6(1)), т.е. достаточно из всех возможных вариантов «вырезать» те, когда герб выпал 1 раз (k = 1) или не выпал вообще (k = 0). Поскольку P6(1) нам уже известно, осталось найти P6(0):

Задача. Вероятность того, что телевизор имеет скрытые дефекты, равна 0,2. На склад поступило 20 телевизоров. Какое событие вероятнее: что в этой партии имеется два телевизора со скрытыми дефектами или три?

Интересующее событие A — наличие скрытого дефекта. Всего телевизоров n = 20, вероятность скрытого дефекта p = 0,2.{17}} \approx 0,41\end{array}\]

Очевидно, P20(3) > P20(2), т.е. вероятность получить три телевизора со скрытыми дефектами больше вероятности получить только два таких телевизора. Причем, разница неслабая.

Небольшое замечание по поводу факториалов. Многие испытывают смутное ощущение дискомфорта, когда видят запись «0!» (читается «ноль факториал»). Так вот, 0! = 1 по определению.

P. S. А самая большая вероятность в последней задаче — это получить четыре телевизора со скрытыми дефектами. Подсчитайте сами — и убедитесь.

Смотрите также:

  1. Локальная теорема Муавра — Лапласа
  2. Формула полной вероятности
  3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
  4. Решение задач B12: №448—455
  5. Уравнение плоскости в задаче C2. Часть 1: матрицы и определители
  6. Тест по задачам B14: легкий уровень, 1 вариант

Основная теория вероятностей | SpringerLink

1.1.1 Базовый сценарий

Некоторые очень простые теории вероятностей

  1. 1.

    Вероятность. Вероятность присваивает событию значение от 0 до 1. A . Например, бросается игральный кубик. Вероятность выпадения 4 равна P (4) = 1/6.

  2. 2.

    Распределение вероятностей. В приведенном выше примере 6 исходов, каждому исходу присвоена вероятность 1/6.Присвоение вероятности каждому возможному исходу дает распределение вероятностей.

  3. 3.

    Условная вероятность. Условная вероятность P ( A | B ) учитывает информацию о событии B . Вертикальная черта читается как «дано», что указывает на то, что это утверждение условной вероятности. Например, вы берете две карты одну за другой из стандартной колоды из 52 карт. Вероятность того, что первая карта окажется пикой, равна P (пика при первом розыгрыше) = 13/52 = 1/4.Теперь осталась всего 51 карта. Вероятность того, что вторая карта — пика, уже вытащившая пику, равна P (пика при втором розыгрыше | пика при первом розыгрыше) = 12/51. Напротив, P (пика при второй розыгрыше | сердце при первой розыгрыше) = 13/51. Здесь вероятность второго розыгрыша зависит от того, какая карта была взята первой.

  4. 4.

    Независимые события. События независимы, если условная вероятность такая же, как и безусловная вероятность: P ( A | B ) = P ( A ).В этом случае вероятность A не зависит от B . Например, если после взятия карты вы возвращаете ее в колоду, то вероятность того, что пика при второй розыгрыше будет равна P (пика при второй розыгрыше) = 13/52, независимо от того, какая карта была взята первой.

Определения

Рассмотрим ситуацию, когда пациент может быть инфицирован и проходит тест на инфекцию. Мы помечаем каждый из четырех возможных результатов следующим образом:
  1. 1.

    Чувствительность: Вероятность положительного результата теста при условии, что пациент инфицирован.

  2. 2.

    Специфичность: Вероятность отрицательного результата теста при том, что пациент не инфицирован.

  3. 3.

    Уровень ложноположительных результатов: Вероятность того, что тест будет положительным, при условии, что пациент не инфицирован.

  4. 4.

    Показатель промахов: Вероятность отрицательного результата теста при условии, что пациент инфицирован.

Начнем с примера. В 80-е годы панику в обществе вызвала новая болезнь, названная синдромом приобретенного иммунодефицита (СПИД); это было вызвано вирусом ВИЧ. Ученые разработали высокочувствительный тест для обнаружения вируса в крови. Предположим, что тест на ВИЧ имеет чувствительность 0,9999 и специфичность 0,9999. Следовательно, тест является очень хорошим тестом, потому что в подавляющем большинстве случаев тест положительный, когда пациент инфицирован, и тест отрицательный, когда пациент не инфицирован.Далее предположим, что уровень заболеваемости ВИЧ-инфекцией составляет 0,0001 в нормальном населении, то есть 1 из 10 000 человек инфицирован вирусом ВИЧ. Теперь тестируется случайно выбранный человек, и результат положительный. Предположим, вы врач. Что вы скажете человеку о вероятности того, что он / она инфицирован? Математически, какова условная вероятность инфицирования (ВИЧ) при положительном результате теста ( T + ): P ( HIV | T + )?

Поскольку тест очень хорош и почти не дает ошибок, многие люди считают, что P ( HIV | T + ) должно быть очень высоким, например, P ( HIV | Т + ) = 0.9999. Однако на самом деле P ( HIV | T + ) = 0,5, что не лучше, чем подбрасывание монеты. Как такое могло случиться? Мы можем вычислить P ( HIV | T + ), используя теорему Байеса, которая представлена ​​здесь в ее общей форме:

Для двух событий A и B

$$ \ displaystyle \ begin {align} P (A | B) = \ frac {P (B | A) \ times P (A)} {P (B)} \ end {align} $$

Теперь мы можем ввести значения (¬ HIV означает отсутствие ВИЧ-инфекции ):

$$ \ displaystyle \ begin {align} \ begin {align} P (HIV | T ^ +) & = \ frac {P (T ^ + | HIV) \ times P (HIV)} {P (T ^ +)} \\ & = \ frac {P (T ^ + | HIV) \ times P (HIV)} {P (T ^ + | HIV) \ times P (HIV) + P (T ^ + | \ neg HIV ) \ times P (\ neg HIV)} \\ & = \ frac {0.9999 \ раз 0,0001} {0,9999 \ раз 0,0001+ (1-0,9999) \ раз 0,9999} \\ & = 0,5 \ end {выровнено} \ end {выровнено} $$

Математика дает ответ, но есть более интуитивно понятный способ разобраться в ситуации (рис. 1.1). Предположим, обследовано 10 000 человек. Поскольку уровень заболеваемости составляет 0,0001, вероятно, заразится только один человек. Поскольку чувствительность теста чрезвычайно высока (0,9999), скорее всего, тест обнаруживает инфекцию. Не инфицировано 9999 человек. Несмотря на то, что специфичность также чрезвычайно высока (0.9999), тест по-прежнему дает одно ложное срабатывание. Ложноположительный результат возникает из-за того, что многие люди прошли тестирование. Следовательно, всего лишь два человека с положительными результатами тестов из 10 000 человек (9998 отрицательных результатов тестов). Поскольку только 1 человек из 2 инфицирован, вероятность заразиться равна \ (\ frac {1} {2} \), то есть P ( HIV | T + ) = 0,5. Инжир. 1.1

В выборке из 10 000 человек, вероятно, есть один инфицированный человек.Поскольку тест имеет высокую чувствительность, результат теста для этого человека, скорее всего, будет положительным (красный человек). Если мы протестируем одного произвольно не инфицированного человека, результат теста, скорее всего, будет отрицательным, потому что тест имеет высокую специфичность. Однако существует 9999 неинфицированных людей, и, хотя специфичность высока, вероятно, имеется один ложноположительный результат (синий человек). Следовательно, тест является дважды положительным, и, поскольку инфицирован только один человек, вероятность заразиться при положительном результате теста составляет 1/2: P ( HIV | T + ) = 0.5. Очевидно, что нельзя игнорировать заболеваемость. Это так же важно, как чувствительность и специфичность.

Предположим, что уровень заболеваемости еще ниже, например 1/100 000. Давайте протестируем 100000 человек. Поскольку уровень заболеваемости составляет 1/100 000, вероятно, есть один инфицированный человек, и тест, вероятно, обнаружит инфицированного человека. Кроме того, на каждые 10 000 протестированных человек приходится одно ложное срабатывание. Следовательно, тест дает положительный результат в 11 раз: 1 , и вероятность заразиться при положительном результате падает до P ( HIV | T + ) = 1∕11 ≈ 0.1. С другой стороны, для показателя заболеваемости 0,5 P ( HIV | T + ) = 0,9999, т.е. почти 1,0. Следовательно, вероятность P ( HIV | T + ) зависит от чувствительности, специфичности, и от частоты встречаемости. При изменении заболеваемости от 0,0 до 1,0 значение P ( HIV | T + ) изменяется от 0,0 до 1,0. Для обоснованного заключения необходимо знать все три термина.Если какое-либо из этих условий отсутствует, выводы недействительны. В этом примере представлена ​​одна из основных тем этой книги: Имейте в виду частичную информацию!

Комментарий 1

Приведенная выше демонстрация показывает, насколько важно понимать основные статистические рассуждения. Для пациента очень важно знать, как интерпретировать положительный результат медицинского теста. Например, в 1987 году 22 получателя переливания крови получили положительный результат теста на ВИЧ, а семь покончили жизнь самоубийством [1].Аналогичным образом, в одном исследовании 16/20 немецких врачей сказали пациентам, что в тесте на ВИЧ практически нет ложноположительных результатов [2].

Комментарий 2

Важно отметить, что когда вы врач, ситуация иная, чем в примере выше, потому что более вероятно, что люди, у которых есть основания беспокоиться о заражении, пройдут тест, чем люди, которые более уверены, что они не заражен. Следовательно, уровень заболеваемости в больнице, вероятно, выше, чем в приведенном выше примере. Это большее значение означает, что P ( HIV | T + ) может быть больше 0.2 \ times 0,9999} \\ & = \ frac {0,9999} {0,9999 + 0,0001} \\ & = 0,9999 \ end {align} \ end {align} $$

Теперь положительный результат означает, что человек почти наверняка инфицирован.

Это уравнение можно объяснить интуитивно. Первый тест дал два положительных результата. Только эти два человека проходят повторное тестирование. Поскольку тест настолько хорош, тест почти всегда обнаруживает инфицированного человека и почти всегда дает заключение об отсутствии инфекции у неинфицированного человека. Следовательно, человек, который дважды дал положительный результат, имеет вероятность заражения близкую к 1.0.

Комментарий 1

На самом деле, когда врачи запускают тест во второй раз, они обнаруживают, что значение P ( HIV | T 2+ ) ниже 0,9999. Причина в том, что некоторые люди показывают стабильно положительный результат, даже если они не инфицированы. Некоторые молекулы этих людей похожи на антитела, к которым чувствителен тест на ВИЧ.

Комментарий 2

Путаница в статистике возникает во всех полях. Корали Колмез и Лейла Шнепс посвятили судебным делам целую книгу «Математика на судебном процессе».Книга показывает, как простое недопонимание относительно статистики может привести (и привело) к неправильным юридическим выводам. В книге рассказывается о случае студентки Аманды Нокс, обвиненной в убийстве соседки по квартире. Был проведен генетический анализ, который дал некоторые доказательства того, что сосед по квартире был убит ножом, на котором были отпечатки пальцев Аманды. Когда оцениваемый узнал, насколько мала вероятность того, что тест даст четкий результат, он решил не проводить второй анализ, хотя, как только что было показано выше, второй анализ имел бы большое значение.Судья просто не имел достаточного образования в области базовой статистики [3].

1.1.3 Еще один пример: синдром Гийена-Барре

Вакцинация (V) против свиного гриппа (SF) может вызвать синдром Гийена-Барре (GB) как побочный эффект в одном из миллиона случаев, т. Е. \ (P (ГБ | V) = \ frac {1} {1,000,000} \). В тяжелых случаях синдром ГБ напоминает синдром запертости, когда пациенты полностью неподвижны и даже не могут говорить. Учитывая, насколько ужасной может быть ГБ, действительно ли нам нужно делать вакцинацию? Опять же, мы пока не можем правильно ответить на этот вопрос, потому что у нас есть только частичная информация.Нам необходимо знать вероятность приобретения синдрома Гийена-Барре без вакцины (¬ V ). Давайте предположим, ради аргумента, что кроме вакцины, ГБ возникает только от свиного гриппа (далее, давайте предположим, что вакцина полностью эффективна для предотвращения свиного гриппа). Вероятность заразиться синдромом Гийена-Барре от свиного гриппа довольно высока: 1/3000. Вероятность 1/3000 намного выше, чем вероятность 1/1000000. Таким образом, кажется, вакцина намного лучше.Однако мы должны учитывать уровень заражения свиным гриппом, поскольку не все заражаются. Этот показатель варьируется от эпидемии к эпидемии; предположим, что это: 1/300 для случайного непривитого человека. Таким образом, вероятность развития синдрома Гийена-Барре у непривитого человека составляет:

$$ \ displaystyle \ begin {align} P (GB | \ neg V) = P (GB | SF) \ times P (SF | \ neg V). \ times P (\ neg V) = \ frac {1} {3000} \ times \ frac {1} {300} \ times 1 = \ frac {1} {900 {,} 000} \ end {align} $$

(1.1)

Таким образом, в данной ситуации вероятность развития синдрома Гийена-Барре у непривитого человека несколько выше, чем у вакцинированного. Кроме того, вакцина обладает дополнительным преимуществом защиты от свиного гриппа.

Ключевым моментом здесь является то, что нельзя принять правильное решение, основываясь только на единственной вероятности (заразиться синдромом Гийена-Барре от вакцины). Вы также должны учитывать вероятность с дополнением (заболеть синдромом Гийена-Барре без вакцины).

Базовая теория вероятностей и статистика | by Parag Radke

Я хочу обсудить некоторые очень фундаментальные термины / концепции, связанные с вероятностью и статистикой, которые часто встречаются в любой литературе, связанной с машинным обучением и искусственным интеллектом.

R andom Experiment
Случайный эксперимент — это физическая ситуация, результат которой невозможно предсказать, пока он не будет обнаружен.

S ample Space
Пространство выборки — это набор всех возможных результатов случайного эксперимента.

R andom Переменные
A Случайная величина — это переменная, возможные значения которой являются числовыми результатами случайного эксперимента . Есть два типа случайных величин.
1. D — это конкретная случайная переменная — это та, которая может принимать только счетное число различных значений, таких как 0,1,2,3,4, …… .. Дискретные случайные величины обычно (но не обязательно) подсчитывает.
2. C Постоянная случайная переменная — это переменная, которая принимает бесконечное количество возможных значений.Непрерывные случайные величины обычно являются измерениями.

P надежность
Вероятность — это мера вероятности того, что событие произойдет в случайном эксперименте. Вероятность количественно выражается числом от 0 до 1, где, грубо говоря, 0 указывает на невозможность, а 1 указывает на достоверность. Чем выше вероятность события, тем больше вероятность того, что оно произойдет.
Пример
Простым примером является подбрасывание справедливой (несмещенной) монеты. Поскольку монета справедливая, оба исхода («орел» и «решка») равновероятны; вероятность выпадения орла равна вероятности выпадения решки; а поскольку другие исходы невозможны, вероятность выпадения орла или решки равна 1/2 (что также можно записать как 0.5 или 50%).

C условная вероятность
условная вероятность — это мера вероятности события при условии, что (по предположению, презумпции, утверждению или свидетельству) другое событие уже произошло. Если интересующим событием является событие A, а событие B известно или предполагается, что оно произошло, «условная вероятность A для данного B» обычно записывается как P (A | B).

I ndependence
Два события считаются независимыми друг от друга, если вероятность того, что одно событие произойдет, никоим образом не влияет на вероятность возникновения другого события, или, другими словами, если у нас есть наблюдение за одним событием, оно не не влияет на вероятность другого.Для независимых событий A и B ниже верно

Пример
Допустим, вы бросили кубик и подбросили монету. Вероятность выпадения любого числа на кубике никоим образом не влияет на вероятность выпадения на монете орла или решки.

C условная независимость
Два события A и B являются условно независимыми для третьего события C, в точности если возникновение A и возникновение B являются независимыми событиями в их распределении условной вероятности при данном C.Другими словами, A и B являются условно независимыми для данного C тогда и только тогда, когда, учитывая знание того, что C уже произошло, знание того, происходит ли A, не дает дополнительной информации о вероятности возникновения B, а знание того, происходит ли B, не дает дополнительной информации. от вероятности возникновения A.

Пример
Коробка содержит две монеты, обычную монету и одну фальшивую двуглавую монету (P (H) = 1P (H) = 1). Я выбираю монету наугад и дважды подбрасываю.
Пусть
A = Первый бросок монеты приводит к HH.
B = Второй бросок монеты приводит к HH.
C = Выбрана монета 1 (обычная).
Если C уже наблюдается, т.е. мы уже знаем, выбрана обычная монета или нет, события A и B становятся независимыми, поскольку результат 1 не влияет на исход другого события.

E ожидание
Математическое ожидание случайной величины X записывается как E (X). Если мы наблюдаем N случайных значений X, то среднее из N значений будет примерно равно E (X) для больших N.Говоря более конкретно, ожидание — это то, что вы ожидаете от результата эксперимента в среднем, если вы будете повторять эксперимент большое количество раз.

Итак, ожидание — 3,5. Если подумать, 3,5 — это посередине между возможными значениями, которые может принимать кубик, и это то, чего вы должны были ожидать.

V ariance
Дисперсия случайной величины X — это мера того, насколько сконцентрировано распределение случайной величины X вокруг ее среднего значения. Он определяется как

P Распределение робастности
Это математическая функция, которая отображает все возможные результаты случайного эксперимента с соответствующей вероятностью.Это зависит от случайной переменной X, дискретная она или постоянная.
1. Дискретное распределение вероятностей : Математическое определение дискретной функции вероятности p (x) — это функция, которая удовлетворяет следующим свойствам. Это называется Функция массы вероятности .

2. Непрерывное распределение вероятностей : Математическое определение непрерывной функции вероятности f (x) — это функция, которая удовлетворяет следующим свойствам.Это называется функцией плотности вероятности .

J oint Распределение вероятностей
Если X и Y — две случайные величины, распределение вероятностей, определяющее их одновременное поведение во время результатов случайного эксперимента, называется совместным распределением вероятностей. Совместная функция распределения X и Y, определяемая как

В общем случае, если имеется n случайных величин и каждая может принимать значения v1, v2… vn различных значений, тогда будет всего (v1) ^ n * (v2) ^ n *… ( vn) ^ n строк в таблице.

C Условное распределение вероятностей (CPD)
Если Z — случайная величина, которая зависит от других переменных X и Y, то распределение P (Z | X, Y) называется CPD Z относительно X и Y. Это означает для каждой возможной комбинации случайных величин X, Y мы представляем распределение вероятностей по Z.
Пример
Есть студент, у которого есть свойство под названием « Интеллект », которое может быть либо низким ( I_0 ), либо высоким ( И_1 ). Он / она записывается на курс. У курса есть свойство под названием « Сложность », которое может принимать двоичные значения легко (D_0) / сложно (D_1).Студент получает за курс « Grade » в зависимости от его успеваемости, а оценка может принимать 3 значения: G_1 (Лучшее) / ( G_2 ) / ( G_3 ) (Худшее). Тогда CPD P (G | I, D) выглядит следующим образом:

Существует ряд операций, которые можно выполнить над любым распределением вероятностей, чтобы получить интересные результаты. Ниже приведены некоторые из важных операций.

  1. Кондиционирование / сокращение
    Если у нас есть распределение вероятностей n случайных величин X1, X2… Xn, и мы сделаем наблюдение относительно k переменных, что они приобрели определенные значения a1, a2,…, ak.Значит, мы уже знаем их назначение. Тогда строки в JD, которые не согласуются с наблюдением, просто могут быть удалены, и это оставляет нам меньшее количество строк. Эта операция известна как сокращение.

2. Маргинализация
Эта операция берет распределение вероятностей по большому набору случайных величин и производит распределение вероятностей по меньшему подмножеству переменных. Эта операция известна как маргинализация подмножества случайных величин.Эта операция очень полезна, когда у нас есть большой набор случайных величин в качестве функций, и нас интересует меньший набор переменных и то, как это влияет на результат. Например,

F субъект
Фактор — это функция или таблица, которая принимает ряд случайных величин {X_1, X_2,…, X_n} в качестве аргумента и выдает действительное число на выходе. Набор входных случайных величин называется областью действия фактора. Например, совместное распределение вероятностей — это фактор, который принимает все возможные комбинации случайных величин в качестве входных данных и производит значение вероятности для того набора переменных, который является действительным числом.Факторы — это фундаментальный блок для представления распределений в больших измерениях, и он поддерживает все основные операции, которые можно использовать для объединения распределений, таких как продукт, сокращение и маргинализация.

Факторный продукт
Мы можем производить факторные продукты, и результат также будет фактором. Например,

15 лучших книг для изучения Вероятность и статистика

Теория вероятностей — это математическое исследование неопределенности. Он играет центральную роль в машинном обучении, так как разработка алгоритмов обучения часто основывается на вероятностном допущении данных.Вы ищете хорошие книги в разделе Вероятность чтения? Вот наш список.
1. Курс теории вероятностей от Кай Лай Чанга
Эта книга предполагает, что вы обладаете определенной степенью математической зрелости, но дает вам очень тщательные доказательства основных концепций строгой вероятности.
2. Введение в теорию вероятностей и ее приложения Уильяма Феллера
Это двухтомная книга, и первый том, вероятно, заинтересует новичка, поскольку он охватывает дискретную вероятность.В книге вероятность трактуется как отдельная теория.
3. Пакет алгоритмов на Java, третье издание, части 1-5: основы, структуры данных, сортировка, поиск и графические алгоритмы Роберта Седжвика
Отличный ресурс (студенты, инженеры и даже предприниматели), если вы ищете код, который вы можете взять и реализовать прямо на работе.
4. Интеллектуальный анализ данных: практические инструменты и методы машинного обучения, автор — Ян Х. Виттен.
Этот инструмент необходим, если вы хотите изучить машинное обучение.Книга прекрасно написана и идеально подходит для инженера / студента, который не хочет вдаваться в подробности метода машинного обучения, но хочет получить его практические знания.
5. Обнаружение статистики с помощью R Энди Филд
Это хорошая книга, если вы новичок в статистике и вероятности и одновременно начинаете изучать язык программирования. Книга поддерживает R и написана в непринужденной юмористической манере, поэтому ее легко читать.
6. Пятьдесят сложных проблем в теории вероятностей с решениями Фредерика Мостеллера
Эта книга представляет собой отличный сборник, в котором решается довольно много загадок.Что мне нравится в этих головоломках, так это то, что они все решаемы и не требуют слишком сложных математических знаний для решения.
7. Первый курс теории вероятностей Шелдона Росс
В этом введении представлена ​​математическая теория вероятностей для читателей в области инженерии и естественных наук, обладающих знаниями элементарного исчисления. Представлены новые примеры и упражнения повсюду. Предлагает новый раздел, который представляет элегантный способ вычисления моментов случайных величин, определяемых как количество происходящих событий.
8. Введение в алгоритмы Томаса Х. Кормена
Книга подробно описывает широкий спектр алгоритмов, но делает их разработку и анализ доступными для всех уровней читателей. Каждая глава относительно автономна и может использоваться как единица изучения.
9. Введение в вероятность, Димитри П. Бертсекас
Если вы хотите изучать вероятность вне физического класса, эта книга — отличный выбор. Это не требует предварительных знаний в других областях, но в книге немного проработанных примеров.
10. Введение в теорию вероятностей, автор Пол Г. Хоэль
Эта книга — отличный выбор для всех, кто интересуется изучением элементарной теории вероятностей (т.е. вероятности, основанной на исчислении, а не теоретической вероятности измерения). Книга предполагает, что читатели не знакомы с этой темой.
11. Вероятность и статистика Морриса Х. ДеГрута
Это выдающаяся книга для тех, кто хорошо разбирается в математике. Он охватывает все, чему можно научиться на годичном курсе статистики и более, включая множество разделов по байесовским методам.
12. Теория вероятностей: Краткий курс (Дуврские книги по математике) Ю.А. Розанов
Эта книга не для всех, так как требует небольшой математической сложности. Но он окажется наиболее полезным для очень большой аудитории. Для серьезных начинающих студентов, изучающих математику и естественные науки, это самый быстрый способ выучить предмет.
13. Теория вероятностей: логика науки Э. Jaynes
Эта книга выходит за рамки традиционной математики теории вероятностей и рассматривает этот предмет в более широком контексте.В нем обсуждаются новые результаты, а также приложения теории вероятностей к множеству проблем.
14. Учебное пособие по теории вероятностей: интуитивно понятный курс для инженеров и ученых (и всех остальных!) Кэрол Эш
Это руководство для практикующих инженеров, ученых и студентов. В книге предлагаются практические отработанные примеры. о непрерывной и дискретной вероятности для курсов по решению проблем. Он наполнен удобными диаграммами, примерами и решениями, которые значительно помогают в понимании множества вероятностных проблем.
15. Понимание вероятности: правила случайности в повседневной жизни Хенк Теймс
Это отличная книга. Вторая половина книги может потребовать некоторых знаний в области математического анализа. Похоже, это подходящее сочетание для тех, кто хочет учиться, но не хочет пугаться «лемм».

% PDF-1.6 % 13 0 объект > эндобдж 3026 0 объект > / Шрифт >>> / Поля [] >> эндобдж 3028 0 объект > поток 2017-07-29T16: 22: 09-04: 00TeX2017-07-30T12: 47: 46-04: 002017-07-30T12: 47: 46-04: 00pdfTeX-1.11aapplication / pdfuuid: 9b322496-8a22-4237-810b-c930707ae58auuid: 4796df2c-e8eb-4125-a015-bb48d817b8b1 конечный поток эндобдж 10 0 obj > эндобдж 254 0 объект > эндобдж 786 0 объект > эндобдж 1320 0 объект > эндобдж 1839 0 объект > эндобдж 2312 0 объект > эндобдж 2313 0 объект > эндобдж 2398 0 объект > эндобдж 2479 0 объект > эндобдж 2602 0 объект > эндобдж 2684 0 объект > эндобдж 2812 0 объект > эндобдж 2813 0 объект > эндобдж 2855 0 объект > эндобдж 2871 0 объект > эндобдж 2887 0 объект > эндобдж 2904 0 объект > эндобдж 2937 0 объект > эндобдж 2953 0 объект > эндобдж 2969 0 объект > эндобдж 2985 0 объект > эндобдж 2986 0 объект > эндобдж 2997 0 объект > эндобдж 3001 0 объект > эндобдж 3005 0 объект > эндобдж 3008 0 объект > эндобдж 3011 0 объект > эндобдж 3014 0 объект > эндобдж 3017 0 объект > эндобдж 3020 0 объект > эндобдж 3023 0 объект > эндобдж 3025 0 объект > поток HWnF} WqKE3.p> -J = jAtwO = GVT; 2 [*] # b [(u’q [} wnYlaZ3rc} (, Oz-Kn9’Hz.ó[email protected] [# «N» raXwɀ

Все книги по математике, которые вам когда-либо понадобятся

Ежегодно издается бесчисленное количество книг по математике, однако лишь небольшому проценту этих книг суждено стать своего рода классикой, которую любят во всем мире студенты и математики. На этой странице вы найдете обширный список книг по математике, которые искренне заслужили репутацию, которая им предшествовала.

Для многих наиболее важных разделов математики мы подготовили учебники по математике, которые мы считаем лучшими по рассматриваемому предмету.Мы стремились составить список названий, которые носили либо вводный характер, либо попадали в категорию «обязательных» справочников по математике. Естественно, универсального консенсуса не существует, но книги ниже максимально приближены к списку желаний любого начинающего математика или человека, интересующегося математикой. Мы настоятельно рекомендуем каждое из этих названий и надеемся, что они вам тоже понравятся. Обратите внимание, что этот список будет постоянно обновляться, чтобы поддерживать его актуальность.

Современная абстрактная алгебра

Джозеф Галлиан

Обзор : седьмое издание Contemporary Abstract Algebra охватывает основы абстрактной алгебры с ясностью и редко замечаемой яркостью.Этот учебник, который предпочитает удобочитаемость, а не строгость, принятую многими современниками, является отличной отправной точкой для любого студента, желающего изучить и понять предмет. Сочинение Галлиана привлекательно и полно, доказательства надежны, а его общая трактовка темы и читателя мягкая — за что новички будут благодарны. Эта книга, обильно наполненная упражнениями, хорошо подобранными примерами и даже биографиями выдающихся математиков, станет идеальным компаньоном как для студентов, так и для преподавателей
ассистентов.Больше информации.

Абстрактная алгебра

Дэвид С. Даммит и Ричард М. Фут

Обзор : Серьезные ученики, изучающие математику, будут в восторге от строгой краткости этого учебника. Наполненная информацией на каждой странице и представленная в непринужденной, открытой форме, Абстрактная алгебра Даммита и Фута эффективно вводит читателя в царство сложных алгебраических концепций и теорий. Он легко устраняет любой разрыв между обучением в магистратуре и бакалавриате.Книга изобилует четкими примерами и краткими доказательствами, из которых видно, что авторы не собираются задерживать читателя на определенной теме дольше, чем это необходимо. Абстрактная алгебра с бесчисленными упражнениями и примерами оказывается бесценным инструментом, который, несомненно, стоит своей цены. Больше информации.

Введение в алгоритмы, третье издание

Томаса Х. Кормена, Чарльза Э. Лейзерсона и Рональда Л. Ривеста

Обзор : Введение в алгоритмы — чисто теоретическая, но всеобъемлющая книга.Его использование не ограничивается только теми, кто посещает курсы алгоритмов, но также может использоваться кем угодно в качестве обширного справочного источника. Читатели узнают типичные алгоритмы, а также такие концепции, как то, что делает алгоритм эффективным и почему. Студентам потребуется немного математических знаний, чтобы пройти от корки до корки, однако те, кто сможет это сделать, будут заинтригованы глубиной содержания и широким спектром охваченных тем. Эти темы охватывают весь спектр от классических алгоритмов до вычислительной геометрии.Больше информации.

Искусство программирования, т. 1-3, шт. В коробке

Дональд Э. Кнут

Обзор : Этот набор из трех томов отлично справляется с охватом предметов в обширной области информатики. Письмо цело и полно математической строгости. Читатели, чьи интересы сосредоточены исключительно на обучении, могут легко пролистать чрезмерно подробные области, не теряя понимания основных концепций. Все три тома одинаково окончательны и дают ясное теоретическое объяснение основ информатики.Весь набор состоит из шести глав: Основные понятия, информационные структуры, случайные числа, арифметика, сортировка и поиск. Кроме того, каждый раздел главы содержит вопросы, которые учащиеся могут использовать, чтобы улучшить практический опыт. Эта книга сродни библии для компьютерных ученых. Также доступен четвертый том. Больше информации.

Спасатель для исчисления: все инструменты, необходимые для работы с исчислениями

Адриан Баннер

Обзор : длинный, но жизненно важный, этот справочник заполнен прямыми объяснениями и множеством решенных задач, на которых ученики могут легко учиться.Превосходя многих своих современников семимильными шагами, «Calculus Lifesaver» действительно оправдывает свое название. Студенты, которые устали от унылых учебников по математическому анализу, которые не дают мотивации для концепций, будут приятно удивлены подробным и неформальным подходом, который использует Баннер для привлечения их внимания. Он заполняет все пробелы и оставляет читателей удовлетворенными и просветленными. Эта книга обладает двумя характеристиками как основной поучительной помощи, так и дополнительного чтения.Больше информации.

Упрощенный расчет

Сильвануса П. Томпсона

Обзор : Даже тем, кто не особенно одарен или даже не разбирается в математике, понравится сидеть и учиться с помощью Calculus Made Easy. Томпсон создает теплую, гостеприимную среду, в которой студенты будут изучать и понимать истинную сущность математического анализа без каких-либо добавлений или явных технических подробностей. Разочарованные студенты, которые безрезультатно искали совместимое вспомогательное средство для вычислений, согласятся, что это профессиональный инструмент, который предлагается читателю на той же волне.Томпсон знает, что математика сложна. Вместо того, чтобы использовать стандартный подход, который многие используют, чтобы сбить с толку и еще больше сбить с толку студентов, он разбивает расчет на гораздо менее опасную форму. Больше информации.

Исчисление, Vol. 1

Том М. Апостол

Обзор : Автор устанавливает идеальный баланс между теорией и техникой, объясняя «почему» исчисления в дополнение к «как». Он отклоняется от стандартного пути представления курса математики и тем самым создает более исторически точную и полезную книгу.Те, кто связан установленным методом обучения математике и больше интересуется проблемами и упражнениями, могут не отождествлять себя с методом Апостола. Но эта книга была написана для любопытных учеников с целью, чтобы их читали и понимали, а не практиковали и слепо запоминали. В результате студенты будут готовы приступить к изучению предметов и курсов по математике с новой ясностью. Больше информации.

Исчисление

Майкл Спивак

Рецензия : Эта книга понравится настойчивым студентам, стремящимся к стимулированию учебы.Проза Спивака почти очаровательна в том смысле, что она ставит читателей перед задачей, которую продвинутые ученики будут счастливы принять. Он заставляет их полагаться на собственную проницательность и разум, а не на набор случайных приемов и механик. Искушенные читатели оценят стиль, который он использует для общения и обучения математическому анализу, в то время как другие могут сначала выбрать более элементарный текст, прежде чем пытаться проникнуть в солидность текста Спивака. Это четвертое издание включает дополнительные проблемы и другие незначительные изменения, не включенные в третье.Больше информации.

Исчисление, Vol. 2

Том М. Апостол

Рецензия : В этом продолжении первого тома своей серии Апостол продолжает точно и легко закладывать фундамент для студентов, изучающих математику. Если первый том помог установить основы и сформировать понимание читателя, то второй том расширяет эти знания таким образом, что требует полного погружения в текст. В отличие от других книг по математике, эта изобилует содержанием. Автору нужно время, чтобы построить и доказать каждую теорему так, как это должно быть сделано.В отличие от многих последующих учебников по математике, в этой никогда не повторяется бездумно один и тот же материал. Вместо этого он активно продвигается на новую территорию, включая использование многомерных и передовых приложений. Больше информации.

Исчисление на многообразиях

Майкл Спивак

Обзор : Эта короткая и лаконичная книга фокусируется только на самом важном и ни на чем другом. Он помогает быстро развить понимание читателем дифференциального и интегрального исчисления. Спивак делает свою работу по основной цели книги — теореме Стокса — безболезненной и легкой для понимания.Читателям рекомендуется иметь под рукой ручку и бумагу, чтобы самостоятельно переписывать корректуру. В книге представлены следующие главы: Функции на евклидовых пространствах, дифференцирование, интегрирование, интегрирование на цепочках и интегрирование на многообразиях. Математические способности Спивака проявляются в его способности уложить столько впечатлений на небольшом количестве страниц. Если вам понравился Calculus by Spivak, вам понравится Calculus On Manifolds. Больше информации.

Математики: внешний вид внутреннего мира

Мариана Кук

Обзор : В этой уникально интересной книге фотограф Мариана Кук предлагает читателям высококачественные черно-белые фотографии 92 выдающихся математиков.Необычная концепция Кука для этой книги вызвала недоумение. Однако он дает столь необходимый отдых от довольно сурового климата, из которого обычно состоит мир математики. Отобранные ею математики имеют разное происхождение и достигли своего авторитетного статуса одинаково разными способами. Каждая фотография сопровождается быстрым, информативным и часто поучительным эссе математика, который под рукой, часто раскрывающим страсть и глубокую любовь к своей дисциплине, которыми обладает каждый математик.Кук прекрасно справляется с задачей запечатлеть своих героев в честном и чисто человеческом свете. Таким образом, это название — идеальная книга для журнальных столиков для математиков. Больше информации.

Сакральная математика: геометрия японского храма

Фукагава Хидэтоши и Тони Ротман

Обзор : По священной математике Хидетоши и Ротман представляют соблазнительную и подробную историю загадок сангаку, которая будет держать читателя интересным на многие часы. Для тех, кто не знаком с этим предметом, сангаку — это японские геометрические головоломки, которые были созданы на деревянных досках и развешаны в священных храмах и святынях.Читатели узнают, как японцы ловко соединили математическое, духовное и художественное, чтобы создать свой собственный культурный бренд геометрии. Сангаку был сформулирован в эпоху до того, как западное влияние достигло Японии. Это делает его уникальным и увлекательным искусством, привлекающим многих математиков. Авторы прекрасно поработали, познакомив читателя с японской культурой и мастерством математиков сангаку страны. Этот том в твердом переплете, богатый иллюстрациями, может стать хорошей книгой для журнального столика.Больше информации.

Принципы и методы комбинаторики

Чен Чуан-Чонг и Ко Кхи-Мен

Обзор : Студенты-математики найдут «Принципы и методы комбинаторики» подробной, но легкой для чтения книгой. Это столь необходимый учебник, который по праву можно отнести к категории вводных. Авторы внимательно следят за тем, чтобы не переусердствовать с ключевыми понятиями и тем самым запутать тех читателей, которые не так продвинуты в математике, как другие.Студентам понравится шаг за шагом пройти через точно подробные комбинаторные доказательства, а также прочитать очень подробную главу о рекуррентных отношениях (глава 6). В конце каждой главы можно найти множество комбинаторных задач, идеально подходящих для тренеров и участников математических соревнований, что добавляет еще большей ценности этой и без того недорогой жемчужине. Больше информации.

Комбинаторика и теория графов (2-е издание)

Джона Харриса, Джеффри Л. Херста и Майкла Моссингхоффа

Обзор : Это второе издание комбинаторики и теории графов представляет все соответствующие концепции в ясной и прямой форме, что, несомненно, понравится учащимся.Авторы, не теряя времени даром, сразу же приступили к обучению читателей в блестяще написанной и увлекательной манере. На ее 382 страницах студенты найдут недвусмысленные объяснения по ряду комбинаторных тем и тем теории графов, таких как числа Рамсея, теорема Кэли о подсчете деревьев, включение-исключение, раскраска вершин и элементарные комбинации, и это лишь некоторые из них. Второе издание также содержит новый материал, ранее не включенный в первое, например, расширенную информацию по теории Поли, проблемам стабильного брака и эйлеровым тропам.Больше информации.

Дифференциальные уравнения и их приложения

Мартина Брауна

Review : этот общий текст ясно и широко понятен. Браун пролистывает страницы своей книги легким, искусно написанным языком, который заставит читателей увлечься на несколько часов. Как бы технически это ни было, он описывает ее плавно, побуждая читателей глубже копаться в других источниках по этой теме еще долго после того, как они прочитали этот. Мотивированные студенты найдут обсуждение Брауна проницательным в результате его стремления реализовать понимание.Любой, кто изучает курс дифференциальных уравнений впервые или в качестве повторного курса, будет очень доволен ясным и воодушевляющим подходом этой книги. Больше информации.

Принстонский компаньон по математике

Тимоти Гауэрс, Джун Барроу-Грин и Имре Лидер (редакторы)

Обзор : Это необычная книга, которая обязательно должна быть у каждого студента и математика. PCM несет в себе настоящую подпись математической энциклопедии, поскольку он универсален и способен стать всем для всех учащихся во всех областях математики, а также на всех уровнях.Учитывая широкий спектр тем, редакторам удалось сохранить целостность и целостность этой книги. PCM включает в себя специализированные статьи от участников по различным математическим темам, из которых могут научиться даже самые продвинутые профессионалы. Нематематики, интересующиеся профессией, также могут узнать много информации из PCM из-за его общей доступности. Это та книга, которую все еще будут читать через сто лет, и это действительно самая прекрасная книга, которая у меня есть.Больше информации.

Математическая энциклопедия

Джеймс Стюарт Тантон

Обзор : Этот замечательный справочник дает любителям математики именно то, что они хотят от математической энциклопедии. Те, кто хочет быстро искать и изучать конкретную тему без излишней бессвязной речи автора или неудовлетворительной краткости, найдут надежного компаньона в правильно названном произведении Тантона. Эта книга имеет структуру от А до Я. Тантон не делает никаких отклонений в изложении или попытке установить связи, кроме необходимых.По сути, он дает читателям необходимые факты и ресурсы, а затем поддерживает их. Для одних это будет замечательно, а для других — разочаровать. Книга содержит более 800 записей, а также соответствующие временные рамки, следующие за записями. Больше информации.

Математическое введение в логику, второе издание

Герберт Эндертон

Обзор : это один из лучших вводных текстов по логике, который может прочитать любой студент. Эндертон сплочен в своих объяснениях и умело охватывает все основные основы, от теории чисел до логики первого и второго порядка, а также несколько теорем, включая теоремы Гёделя.Хотя это не является обязательным требованием, настоятельно рекомендуется, чтобы читатель хоть немного разбирался в математической логике. Это облегчит выполнение множества упражнений, которые вы найдете во всем. Я бы посоветовал эту книгу с множеством хорошо подобранных примеров и более широкой сферой, чем у большинства ее коллег, всем, кто хочет изучить или лучше понять математическую логику. Больше информации.

Классическая теория множеств для управляемого независимого исследования

Дерек К. Голдрей

Обзор : Это четко написанное и грамотно составленное независимое учебное пособие, призванное сделать тему теории множеств понятной и легкой для понимания студентов, обучающихся самостоятельно.Без сомнения, эта книга более чем доставляет удовольствие. Читатели могут ожидать плавного движения, лишенного сложности и предполагаемого предварительного ознакомления с предметом. Книга Гольдрея содержит множество как решенных, так и нерешенных упражнений, иллюстраций и подробных объяснений. Идеи, комментарии и рекомендации, находчиво размещенные рядом с основным текстом, восхитительно улучшают процесс обучения. Это одна из тех, к сожалению, редких, но удивительно строгих учебников по математике для самостоятельного изучения, которые многие студенты натыкаются на них и, кажется, никогда не откладывают.Больше информации.

Категории для рабочего математика

, Сондерс Мак-Лейн,

Обзор : Автор этой работы, Сандерс Мак Лейн, кратко изложил всю важную информацию по теории категорий, которую студентам, вероятно, когда-либо понадобится. Теория категорий — сложная тема для многих, и ее нелегко объяснить. Тем не менее, Мак Лейн подходит к задаче со знанием дела, ловкостью и упорядоченным написанием — но это неудивительно, поскольку Мак Лейн является одним из создателей теории категорий.Тем, у кого ограниченный опыт работы с математикой на уровне выпускников, рекомендуется начать с более простого текста, прежде чем углубляться в него. Однако серьезные математики, желающие поучиться у одного из мастеров своего дела, будут в полном восторге от изложения Мак Лейна. Больше информации.

Математика: от рождения чисел

Яна Гуллберга

Review : Gullberg’s — это удивительное погружение в глубокие корни математики и ее истоки.Поразительно то, что Ян Гуллберг — врач, а не математик. Несмотря на это, ему удалось написать обстоятельную книгу, охватывающую всю историю математики и ответы на вопросы «почему» и «как», которые часто задают ученики. Энтузиазм, который он проявляет повсюду, распространится на читателей, как лесной пожар. Ясно, что эта работа — дело любви, а не самовозвеличивания. Читатели оценят, что Гуллберг — просто человек, который влюбился в одну из важнейших составляющих человеческой цивилизации и безмерно обожает ее.Больше информации.

Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам

Ричард Курант и Герберт Роббинс

Обзор : Любители математики получат большую пользу от этой книги. Тем не менее, тем, кто заинтересован в быстром чтении учебника по математике, вряд ли повезет с этим. Это потому, что эта книга не только бегло скользит по поверхности. Авторы побуждают читателей задуматься об упомянутых идеях и методах, а не слепо проглатывать их для дальнейшего использования.Вместо скучных фактов и простых ответов они представляют увлекательные дискуссии на многие темы. Конечным результатом чтения этой книги является понимание, которое разовьется на основе мыслительных процессов, которые читатели должны использовать. Текст классический и понятный, сопровождается множеством увлекательных иллюстраций и примечаний. Больше информации.

Математика и ее история

от Джона Стилвелла

Обзор : Эта книга содержит сокровищницу бесценной истории и глубоких фактов, из которых даже признанные профессионалы могут извлечь уроки.Джон Стиллвелл отказывается от энциклопедического пути и вместо этого ставит своей целью помочь читателю понять красоту математики. Он блестяще объединяет математику в четкое изображение, которое побуждает читателей переосмыслить то, что, по их мнению, они уже знали. В этом относительно коротком тексте он эффективно преодолевает все важные аспекты, находя разумный баланс между краткостью и полнотой. Читателям, которые хотят по-настоящему понять всю концепцию математики и ее дисциплин, понравится читать книгу Стилвелла «Математика и ее история».Больше информации.

Вычислительные науки и инженерия

Гилберта Стрэнга

Обзор : Гилберт Стрэнг имеет репутацию автора обширных, прагматичных и проницательных книг. В процессе чтения читателю станет совершенно очевидно, что автор создал это произведение из страсти и искренней любви к предмету. Прочитав это, каждый инженер может извлечь для себя большую пользу. Стиль письма Стрэнга и его поучительный подход не имеют себе равных.Он покрывает все аспекты вычислительной науки и техники с опытом и авторитетом. Обсуждаемые темы включают прикладную линейную алгебру и быстрые решатели, дифференциальные уравнения с конечными разностями и конечными элементами, а также анализ и оптимизацию Фурье. Стрэнг обучил этому материалу тысячи студентов. С этой книгой к этому числу будет добавлено еще много. Больше информации.

Информационные науки

Дэвид Г. Люенбергер

Обзор : В этой книге есть то, чего нет у многих ее коллег: умение и тонкость ясно объяснять сложные концепции в манере, которая нравится читателям, но никогда не теряет целостности.В книге собраны интересные исторические факты и поучительные примеры. Люенбергер формирует структуру своей книги вокруг 5 основных частей: энтропия, экономика, шифрование, извлечение и эмиссия, также известных как 5 Es. Он охватывает несколько точек зрения и тем самым создает всесторонний текст, которым восхищаются читатели. Он подробно описывает, как каждая из вышеперечисленных частей обеспечивает функционирование современных информационных продуктов и услуг. Люенбергер — талантливый учитель, у которого читателям будет интересно учиться. Больше информации.

Введение в теорию кодирования и информации

Стив Роман

Обзор : Студенты бакалавриата математики и информатики будут рады изучить теорию информации и теорию кодирования по книге Стива Романа. Читатели получат глубокое понимание типов кодов и их эффективности. Роман начинает свое изложение с вводной части, содержащей краткие предварительные сведения и введение в коды, которые подготавливают читателя и облегчают им обработку оставшегося материала.Он следует за этим с двумя главами, содержащими точное учение по теории информации, и заключительным разделом, содержащим четыре главы, посвященные теории кодирования. Он завершает это приятное путешествие в теорию информации и кодирования кратким введением в циклические коды. Больше информации.

Линейная алгебра сделано правильно

Шелдон Акслер

Обзор : Это образцовая книга, требующая небольшого уровня математической зрелости. Акслер придерживается вдумчивого и теоретического подхода к работе.Он умело отвлекается от матриц и переключает внимание читателя на линейные отображения. Это делает его доказательства изящными, простыми и приятными. Осознавая возможную незнание читателя, а также временные рамки, Акслер отлично справляется с подготовкой и развитием понимания читателями, а не полностью детализирует методы и формулы применения. Он оставляет читателя с нерешенными упражнениями, которые многие сочтут заставляющими задуматься и стимулирующими. Требуется понимание работы с матрицами.Эта книга отлично подходит в качестве дополнительного или второго курса введения в линейную алгебру. Больше информации.

Четыре столпа геометрии

от Джона Стилвелла

Обзор : это прекрасно написанная книга, которая поможет студентам соединить точки между четырьмя различными точками зрения на геометрию. Этими четырьмя «столпами», как их называет Стиллвелл, являются конструкции линейки и циркуля, линейная алгебра, проективная геометрия и группы преобразований. Эта книга поможет читателю развить более сильное понимание геометрии и ее уникальной способности подходить к ней под разными углами — захватывающая черта, которая в конечном итоге позволяет учащимся укрепить свои общие знания по предмету.Студентам и профессорам в равной степени понравится краткость сочинений Стилвелла и его способность быстро исследовать каждую из этих тем геометрии, а не выделять только одну. Больше информации.

Математические методы: для студентов, изучающих физику и смежные специальности

, Садри Хассани

Обзор : Эта книга дает читателям более глубокое представление о сложной математике и ее приложениях, чем большинство стандартных курсов. Эту книгу рекомендуется использовать только тем, у кого есть некоторые знания в области линейной и комплексной алгебры, дифференциальных уравнений и даже комплексного анализа и алгебры.Студенты-физики и инженеры, выходящие за рамки вводных курсов, являются целевой аудиторией и извлекут наибольшую пользу. Материал можно использовать как для повторного чтения, так и в качестве основного учебного пособия. Хассани хорошо осведомлен, и его презентация
профессионально организована. Он также эффективно начинает каждую главу с короткой преамбулы, которая помогает глубже понять основные концепции. Больше информации.

Математические методы в физических науках

Мэри Л. Боас

Обзор : Боас продолжает традицию краткости и полностью удовлетворяет студентов-физиков своим третьим изданием «Математических методов в физических науках».Специалисты в области математики должны знать, что эта книга предназначена для областей науки и техники, поэтому автор уделяет внимание не доказательствам или математической строгости. Она даже подчеркивает это в предисловии. Боас оказал студентам огромную услугу, объединив основные математические концепции в одно удобное справочное руководство. Он содержит важные части и фрагменты всех основных тем, включая комплексные числа, линейную алгебру, PDE, ODE, исчисление, анализ, вероятность и статистику.Этот обязательно должен быть у каждого студента-физика. Больше информации.

Элементарная теория чисел

Гарет А. Джонс и Джозефин М. Джонс

Обзор : Студенты бакалавриата по математике сочтут эту книгу легко доступной, но содержащей большую глубину. Джонс и Джонс составляют мощный дуэт и мастерски проводят студентов через безболезненный и удивительно приятный процесс обучения. Они, кажется, знают, что многие читатели предпочитают удобочитаемость более педантичному стилю.Они вкратце касаются основных тем, таких как Великая теорема Ферма и ее история, при этом оставаясь при этом понятными. В этой книге справедливо подчеркивается красота теории чисел, и авторы сопровождают каждое упражнение полными решениями, что, несомненно, понравится студентам. Эта книга может превосходно работать как в качестве литературы для вводного курса, так и в качестве дополнительного учебного и справочного материала. Больше информации.

Приглашение к современной теории чисел

Стивена Дж.Миллер и Рамин Таклоо-Бигхаш

Обзор : Продвинутым студентам, интересующимся информацией по современной теории чисел, будет трудно отложить эту книгу. Авторы создали экспозицию, которая носит новаторский характер и позволяет сосредоточить внимание читателя на его текущем занятии. Предмет современной теории чисел сложен, поэтому эта книга предназначена для более опытных студентов. Тем не менее, авторы подходят к этой теме в хорошо развивающейся, но строгой манере, что более чем достойно похвалы.Каждая страница излучает великолепие, порождая более глубокое понимание темы. Как описано в названии, эта книга на самом деле является приглашением, и любопытным читателям будет разумно принять его. Больше информации.

Введение в теорию чисел

Дж. Х. Харди, Эдварда М. Райта и Эндрю Уайлса

Обзор : Это книга, которая обычно используется в курсах теории чисел и стала классическим предметом изучения этого предмета. Красиво написанное «Введение в теорию чисел» дает студентам, изучающим элементарную теорию чисел, одно из величайших введений, которых они могли бы пожелать.Под руководством математического гиганта Дж. Х. Харди читатели познакомятся с многочисленными теоретическими идеями и упражнениями. Писательский стиль Харди наполнен знаниями и элегантностью, которые тонко демонстрируют его острый, как бритва, опыт. Эта книга не только проведет студентов, занимающихся теорией чисел, через их текущие занятия, но также подготовит их к более продвинутым курсам, если они продолжат их в будущем. Абсолютная классика для любого любителя математики. Больше информации.

Численный анализ с CD-ROM

Тимоти Зауэр

Обзор : Зауэр создал книгу, которая более чем подходит для изучения первого курса численного анализа.Он выделяет пять важнейших областей предмета, а именно: конвергенцию, сложность, обусловленность, сжатие и ортогональность, и устанавливает хорошо спланированные связи с каждой из них на протяжении всей книги. Доказательства точны, но не слишком сложны и полностью удовлетворят студентов. Каждая глава наполнена проницательностью, а не только анализом. Зауэр внимательно наполняет свою книгу многочисленными задачами, некоторые из которых нужно решать вручную, а другие — с помощью пакета численных вычислений Matlab. Вместе с кодом Matlab в конце книги и прилагаемым компакт-диском студенты сочтут, что численный анализ доставляет удовольствие.Больше информации.

Цифровые рецепты 3-е издание: Искусство научных вычислений

Уильям Х. Пресс, Сол А. Теукольски, Уильям Т. Веттерлинг и Брайан П. Фланнери

Review : Это третье издание широко уважаемого фаворита было обновлено, чтобы включить в него новейшие современные методы научных вычислений, а также две совершенно новые главы. Книга по-прежнему написана и представлена ​​в том же практичном и удобном для чтения стиле, которым были известны предыдущие версии.Авторы с энтузиазмом относятся к старым знакомым методам, тактично переплетая их с более новыми и не менее важными, более современными. Исключительно написанный код C ++ поможет читателям внедрить и протестировать алгоритмические решения в своих собственных средах для дальнейшего обучения. Однако существуют строгие правила лицензирования, на которые следует обратить внимание. Больше информации.

Вкратце о математике до исчисления: геометрия, алгебра, тригонометрия

Джорджа Ф. Симмонса

Обзор : Джордж Симмонс берет как новичков, так и не практикующих ученых через освежающий ускоренный курс по трем основным математическим практикам (геометрия, алгебра и тригонометрия) в их простой, но часто ненавистной форме.Выпускники средней школы и другие люди, поступающие на свой первый курс математического анализа в колледже, будут тщательно подготовлены к тому, чтобы приступить к устрашающей сфере математики на уровне колледжа. Симмонс показывает читателям, насколько простой и приятной может быть математика — и все это прозрачным и плавным тоном. Он идет достаточно глубоко, сохраняя при этом достаточно краткости, чтобы побудить читателя думать самостоятельно. Он переходит к делу и после оставляет читателей чувствующими себя способными и хорошо подготовленными. Больше информации.

Основы математики

от Сержа Ланга

Обзор : Базовая математика покойного Сержа Ланга поможет студентам правильно начать свое дело в области математического анализа в колледже. Книга разделена на четыре раздела: Алгебра, Интуитивная геометрия, Координатная геометрия и Разное. В каждом разделе читателям предлагаются многочисленные упражнения, на которых они могут попрактиковаться и отточить свои способности. Лэнг осторожно использует свой фундаментальный опыт, чтобы построить прочный фундамент, на котором читатель сможет строить свои будущие математические знания.Его единственное внимание уделяется основным математическим концепциям, и он с комфортом проводит читателей по материалам в продвинутом, но свободном от стресса тоне. Принципы, выдвинутые Лэнгом на передний план, абсолютно жизненно важны для всех, кто хочет продвинуться вперед в математическом анализе, алгебре колледжей и других областях математики. Больше информации.

Введение в вероятностные модели, десятое издание

Шелдон М. Росс

Обзор : Введение в вероятностные модели отличается от многих книг по теории вероятностей тем, что охватывает множество дисциплин.Он широко использовался рядом профессоров в качестве основного текста многих первых курсов. Это элементарное введение дает подробные инструкции по теории вероятностей и случайным процессам, а также дает представление о ее применении в широком диапазоне областей. Росс заполнил каждую главу множеством упражнений и наглядных примеров. Он также не торопится с объяснением мышления и интуиции, лежащих в основе многих теорем и доказательств. Даже тем, кто не специализируется в этой области, будет приятно прочитать эту книгу.Больше информации.

Введение в теорию вероятностей и ее приложения

Уильям Феллер

Обзор : В этом первом томе Уильям Феллер рисует четкую картину теории вероятностей и некоторых ее интересных приложений с дискретной точки зрения. Материал немного сложен и рекомендуется только учащимся третьего или четвертого курса. Его работы наполнены примерами, которые помогают установить точное представление о дискретной вероятности, и включают глубокое понимание истории и развития теории вероятностей.Читатели уйдут с интуитивным пониманием и более четким пониманием предмета. Это обязательный к прочтению материал для любого студента среднего и продвинутого уровней, который работает в области теории вероятностей. Больше информации.

Теория вероятностей: логика науки

, автор — E.T Jaynes

Обзор : Джейнс пишет фантастическую прозу, в которой теория вероятностей рассматривается вне обычного контекста. Идеи, изложенные в этой книге, являются новаторскими, и автор удаляется от общепринятого.Читателям понравится интеллектуальное путешествие к основам теории вероятностей в сочетании с расслабленной и неформальной тональностью книги. Это странно сродни индивидуальному уроку от самого автора. Следует похвалить Джейнса за то, что он сделал огромный шаг от господствующей теории вероятностей в пользу этого более свежего подхода. Единственное разочарование в этом шедевре состоит в том, что, к сожалению, Джейнс умер, не доделав его полностью, в результате чего редактор вмешался и тонко добавил недостающие части.Больше информации.

Пятьдесят сложных проблем в вероятности с решениями

Фредерик Монстеллер

Обзор : Эта небольшая занимательная книга представляет собой замечательный набор вероятностных задач и головоломок, которые будут стимулировать читателей на несколько часов. Монстеллер рассказывает отрывки из своей книги с чувством юмора, что создает легкую и комфортную среду обучения. Проблемы, выбранные автором, делают акцент на бесценных методах и помогут читателям изучить их.Также включены подробные решения каждой проблемы, чтобы не оставить читателя в недоумении или неуверенности. Объем книги варьируется от простых вероятностных головоломок до очень сложных и запутанных для очень продвинутых учеников. Эта книга легко может использоваться как дополнительный учебный материал или как источник развлекательного математического удовольствия. Больше информации.

Принципы математического анализа, третье издание

Вальтер Рудин

Обзор : Рудин написал прекрасную книгу по анализу.Прежде чем приступить к занятиям, студенты должны иметь скромные знания в области картографии, теории множеств, линейной алгебры и других базовых тем. Наборы задач Рудина кажутся сложными, но, как только они их решат, ученики будут более чем благодарны за его строгость. Для читателей ключ к реальной пользе от этой книги заключается не только в ее прочтении, но и в самостоятельном выполнении упражнений и доказательств Рудина. Задача научит их мыслить интуитивно и эффективно. Эта книга также известна как «baby rudin», и это настоящая классика.Больше информации.

Реальный анализ

, Н.Л. Карозерс

Обзор : Есть много книг по математике, которые носят одно и то же прямое название, однако не многие из них источают такое же мастерство и почтение к предмету, как книги Карозерса. Книга наполнена поучительными историческими комментариями, которые удерживают читателя и помогают разрушить стереотип «скучных учебников по математике». У автора также есть интересный обычай вставлять в скобки «почему» всякий раз, когда он намеренно обходит деталь, заставляя читателей разбираться в ней самостоятельно.Хотя некоторые сочтут это разочаровывающим, мотивированные и целеустремленные студенты воспользуются этим как возможностью глубже исследовать и исследовать реальный анализ дальше, чем обычно. Больше информации.

Реальный и комплексный анализ

Вальтер Рудин

Обзор : Рудин обеспечивает надежную обработку реального и комплексного анализа на уровне выпускников. Он охватывает все основные и сложные темы, такие как дифференциация, банаховы и гильбертовы пространства, анализ Фурье и т. Д. Читатели, знакомые с Рудиным, могут ожидать увидеть его обычный стиль письма — элегантный и лаконичный.В первой половине книги он проходит стандартное, но тщательное обучение теории меры, а затем переходит к новаторскому изучению комплексного анализа. Он начинает с базового, но плавно приближается к уровню, требующему от читателя настойчивости. Эта книга (также известная как «большой рудин» или «папа рудин») — шедевр для студентов, которые ищут классическое чтение по реальному и сложному анализу. Больше информации.

Первый курс комплексного анализа с приложениями

Деннис Зилл и Патрик Шанахан

Обзор : Эта книга дает студентам доступное введение в мир комплексного анализа и способы использования его методов.Первый курс комплексного анализа удобен для новичков и поэтому идеально подходит как для студентов, так и для выпускников. Для старшекурсников авторы воздерживаются от абстрактности и поддерживают желаемый уровень прозрачности. В то время как выпускники легко заполняют пробелы, которые многие стандартные тексты курсов оставляют широко открытыми. За каждой главой следует раздел с подробным описанием применения ранее обсужденной темы. Кроме того, в каждую главу включен быстрый обзорный тест для дальнейшей проверки и развития навыков.Больше информации.

Визуальный комплексный анализ

Тристан Нидхэм

Обзор : Автор Тристан Нидхэм раскрывает часто нереализованную красоту комплексного анализа через графическую перспективу. Он применяет элегантный подход к комплексному анализу, который заставит читателя переворачивать каждую страницу в восторге от проницательной прозы и сложных визуальных эффектов. Эта книга на мгновение отвлекает ученика-математика от абстрактности и лаконичности, на которых он был воспитан, и переносит его на место, полное новаторских подходов, но без ущерба для строгости.Читатели поймут решения благодаря своей интуиции, а не запоминанию. Эта книга, богатая историей математики и с самого начала живая, станет отличным учебным и развлекательным материалом для серьезного ученика. Больше информации.

Статистика на простом английском языке, третье издание

Тимоти К. Урдан

Обзор : Как следует из названия, автор представил недвусмысленное и ощутимое изложение статистики. Статистика на простом английском рассматривается многими как наиболее подходящий учебник по статистике для студентов.Урдану удалось сжать все, что нужно знать о статистике, в компактную 250-страничную книгу, в которой нет ощущения спешки или невыполнения. Текст достаточно общий, чтобы его можно было использовать в различных математических областях, но при этом сохраняет полноту и точность. Урдан мастерски продвигает основные концепции, не теряя читателя, как это сделали бы многие профессора. Эта книга очень понравится студентам, испытывающим опасения по поводу статистики. Больше информации.

Вводная статистика

Нил А.Weiss

Обзор : вводная статистика значительно расширит понимание читателями статистики и аргументов, лежащих в основе предмета. Вайс тщательно структурировал тему и сформулировал свои тексты в ясном и приятном стиле. Он вдумчиво избегает сложных тем, поскольку они только сбивают с толку читателей, находящихся на этой начальной стадии. Основное внимание уделяется подробному объяснению основ на понятном языке, который понравится многим новичкам.Некоторые из затронутых глав включают: «Природа статистики», «Организация данных», «Описательные меры», «Дискретные случайные переменные», «Методы вывода в регрессии и корреляции» и «Дисперсионный анализ» (ANOVA). Больше информации.

Статистика, 4-е издание

Дэвида Фридмана, Роберта Пизани и Роджера Первеса

Обзор : Это отличное, нетехническое и простое введение в статистику. Книга предназначена для студентов начального уровня, которые хотят знать стандартные темы и методы, которые включены в большинство первых курсов по статистике.Студентам-математикам будет легко понять представленные идеи, а учителя и наставники откроют для себя увлекательный и очень эффективный способ преподавать статистический материал. Авторы приводят примеры из реальной жизни, такие как клинические испытания и обсервационные исследования, чтобы помочь читателям еще лучше понять предмет. Все, что необходимо для изучения этой книги, — это базовое понимание чисел и простой алгебры. Больше информации.

Введение в топологию и современный анализ

Джорджа Ф.Симмонс

Обзор : Автор этой книги разделил ее на три раздела: топология, операторы и алгебры операторов. Он придумывает фантастическое и классическое введение в топологию, нацеленное на непрерывность и линейность, главные темы. В предисловии Симмонс заявляет, что цель состоит в том, чтобы осветить значение этих слов и их отношение друг к другу, что он и делает на остальных страницах. Студенты-самоучки обнаружат, что Симмонс обладает феноменальным коммуникатором, и у них не будет проблем с прочтением главы за главой его сочинений.Он проясняет глубокие концепции манерой, которая может похвастаться своими математическими способностями и навыками, никогда не оставляя читателя позади. Больше информации.

Введение в топологию: третье издание

Берт Мендельсон

Обзор : Студентам понравится это введение в основы топологии. Несмотря на относительно небольшой объем, эта книга полностью включает в себя основной материал, который студенты должны знать. Увлекательные упражнения и задачи побуждают читателя полностью понять и усвоить материал.В первой главе Мендельсон безоговорочно объясняет теорию множеств, что помогает читателям перейти к следующим главам. Любители самообучения влюбятся в ясность и простоту письма. Однако, несмотря на свою простоту, эта книга обладает большой контекстуальной глубиной и серьезностью. После того, как Мендельсон впервые познакомился с топологией, студентам больше не понадобится другое. Больше информации.

Не стесняйтесь связаться, если вы считаете, что список действительно упускает из виду, что в нем не указана конкретная книга.Если вы издатель и чувствуете, что нам не хватает вашей замечательной книги, напишите нам. Пожалуйста, поймите, что мы рекомендуем только то, что мы считаем лучшими книгами на рынке сегодня. Без исключений.

Заявление об ограничении ответственности: Math-Blog.com верит в полное раскрытие информации. Ссылки на Amazon.com имеют наш реферальный идентификатор, который приносит нам небольшую комиссию каждый раз, когда вы совершаете покупку по этим ссылкам. Думайте об этом как о чаевых, которые не будут стоить вам ни цента, чтобы вознаградить нас за потраченное время. Мы ценим вашу поддержку.

Если вы ищете подарки для энтузиастов математики, попробуйте The Little Hamper Company

Список символов вероятности и статистики

Вероятность и статистика соответствуют математическому исследованию случайности и данных, соответственно. В следующем списке ссылок приведены некоторые из наиболее примечательных символов в этих двух темах, а также их использование и значение.

Для удобства чтения эти символы сгруппированы по функции в таблицы.Другие исчерпывающие списки математических символов — с разбивкой по предметам и типам — также можно найти на соответствующих страницах ниже (или на панели навигации).

Предпочитаете версию в формате PDF?

Получите общее резюме математических символов в форме электронной книги — вместе с использованием каждого символа и кодом LaTeX.

Переменные

Вероятность и статистика используют широкий спектр греческих / латинских символов в качестве заполнителей для различных объектов и количеств.В следующей таблице приведены наиболее распространенные из них, а также их использование и значение.

Имя символа Используется для Пример
$ X $, $ Y $, $ Z $, $ T $ Случайные переменные $ E (X_1 + X_2) = $
$ E (X_1) + E (X_2) $
$ x $, $ y $, $ z $, $ t $ Значения случайной величины Для всех $ x \ in \ mathbb {N} _0 $, $ P (X = x) =
$ (0.x (0,75). $
$ n $ Размер выборки $ \ overline {X} _n = \\ \ displaystyle \ frac {X_1 + \, \ cdots \, + X_n} {n} $
$ f $ Частота данных $ f_1 + \ cdots + f_k = n $
$ \ mu $
(Mu)
Среднее значение совокупности $ H_ !: \ mu_1 = \ mu_2 $
$ \ sigma $
(Sigma)
Стандартное отклонение населения $ \ sigma_X = \\ \ sqrt {\ dfrac {\ sum (X_i- \ mu_x \ vphantom {\ overline {A}}) ^ 2} {n}} $
$ s $ Стандартное отклонение образца $ s = \\ \ sqrt {\ dfrac {\ sum (X_i- \ overline {X}) ^ 2} {n-1}} $
$ \ pi $
(Pi)
Доля населения $ H_a \! : \ pi_1 \ ne \ pi_2 $
$ \ hat {p} $ Пример пропорции Если $ \ pi_1 = \ pi_2 $, используйте $ \ hat {p} = \ dfrac {x_1 + x_2 } {n_1 + n_2} $ вместо $ \ hat {p} _1 $ или $ \ hat {p} _2 $.
$ p $ Вероятность успеха В стандартном эксперименте по бросанию штампа $ p = \ dfrac {1} {6} $.
$ q $ Вероятность отказа $ q = 1-p $
$ \ rho $
(Rho)
Корреляция населения $ \ rho_ {X } = 1 $
$ r $ Примерная корреляция $ r_ {xy} = r_ {yx} $
$ z $ Z-оценка $ z = \ dfrac {x- \ mu} {\ sigma} $
$ \ alpha $
(Alpha)
Уровень значимости
(вероятность ошибки типа I)
При $ \ alpha = 0.05 $, нулевая гипотеза отклоняется, но не при $ \ alpha = 0,01 $.
$ \ beta $
(бета)
Вероятность ошибки типа II $ P (H_0 \, \ mathrm {rejected} \ mid $
$ H_0 \, \ mathrm {false}) = 1 — \ beta $
$ b $ Примерный коэффициент регрессии $ y = b_0 + b_1x_1 + \\ b_2x_2 $
$ \ beta $
(бета)
10 Коэффициент регрессии населения , Стандартизированный коэффициент регрессии Если $ \ beta_1 = 0.2 (\ nu) $
$ \ Omega $
(Заглавная омега)
Размер образца Для эксперимента с двойным подбрасыванием монеты $ \ Omega = \ {\ mathrm {HH}, \ mathrm {HT}, \ mathrm {TH}, $
$ \ mathrm {TT} \}. $
$ \ omega $
(Omega)
Результат из области выборки $ P (X \ in A) = $
$ P \ big (\ {\ omega \ in \ Omega \ mid $
$ X (\ omega) \ in A \} \ big) $
$ \ theta $ (Theta), $ \ beta $ (Beta) Параметры популяции Для нормальных распределений $ \ theta = (\ mu, \ sigma) $.

Операторы

В вероятности и статистике операторов обозначают математические операции, которые используются для лучшего понимания данных и вероятностей. К ним относятся ключевые комбинаторные операторы, операторы / функции, связанные с вероятностью, распределения вероятностей и статистические операторы.

Комбинаторные операторы

Название символа Пояснение Пример
$ n! $ Факториал $ 4! = 4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1 $
$ n !! $ Двойной факториал $ 8 !! = 8 \ cdot 6 \ cdot 4 \ cdot 2 $
$! N $ Количество нарушений из $ n $ объектов Поскольку $ \ {a, b, c \} $ имеет $ 2 $ перестановок где все позиции букв изменены, $! 3 = 2 $.
$ nPr $ Перестановка
($ n $ permute $ r $)
$ 6P \, 3 = 6 \ cdot 5 \ cdot 4 $
$ nCr $, $ \ displaystyle \ binom {n} {r} $ Комбинация
($ n $ выберите $ r $)
$ \ displaystyle \ binom {n} {k} = \ displaystyle \ binom {n} {nk} $
$ \ displaystyle \ binom {n} {r_1, \ ldots, r_k} $ Мультиномиальный коэффициент $ \ displaystyle \ binom {10} {5, 3, 2} = \ dfrac {10!} { 5! \, 3! \, 2!} $
$ \ displaystyle \ left (\! \! \ Binom {n} {r} \! \! \ Right) $ Коэффициент мультинабора
($ n $ multichoose $ r $)
Из 5-элементного множества могут быть взяты $ \ left (\! \ Binom {5} {3} \! \ Right) $ 3-элементные мультимножества. c) $ Дополнительная вероятность
(Вероятность’ не $ A $ ‘)
Для всех событий $ E $, $ P (E) + P (E’) = 1 $.
$ P (A \ cup B) $ Дизъюнктивная вероятность
(Вероятность ‘$ A $ или $ B $’)
$ P (A \ cup B) \ ge $
$ \ max \ left (P (A), P (B) \ right) $
$ P (A \ cap B) $ Совместная вероятность
(Вероятность ‘$ A $ и $ B $’)
События $ A $ и $ B $ являются взаимоисключающими, если $ P (A \ cap B) = 0 $.
$ P (A \, | \, B) $ Условная вероятность
(Вероятность ‘$ A $ при $ B $’)
$ P (A \, | \, B) = \\ \ dfrac {P (A \ cap B)} {P (B)} $
$ E [X] $ Среднее значение / Ожидаемое значение случайной величины $ X $ $ E [2 f (X) + 5] = $
$ 2 E [f (X)] + 5 $
$ E [X \, | \, Y] $ Условное ожидание
(Ожидаемое значение $ X $ при условии $ Y $)
$ E [X \, | \, Y = 1] \ ne $
$ E [X \, | \, Y = 2] $
$ V (X), \ mathrm {Var} (X) $ Дисперсия случайной величины $ X $ $ V (X) = E [X ^ 2 ] \, + $
$ E [X] ^ 2 $
$ V (X \, | \, Y), \\ \ mathrm {Var} (X \, | \, Y) $ Условная дисперсия
(Дисперсия $ X $ для $ Y $)
$ V [X \, | \, Y] = $
$ E [\ left (X-E [X \, | \, Y] \ right) ^ 2 \, | \, Y] $
$ \ sigma (X) $, $ \ mathrm {Std} (X) $ Стандартное отклонение случайной величины $ X $ $ \ sigma (-2X) = \ \ | \! — 2 | \, \ sigma (X) $
$ \ mathrm {Skew} [X] $ Моментный коэффициент перекоса из $ X $ $ \ mathrm {Skew} [ X] = $
$ \ displaystyle E \ left [\ left (\ frac {X- \ mu} {\ sigma} \ right) ^ 3 \ right] $
$ \ mathrm {Kurt} [X] $ эксцесс случайной величины $ X $ $ \ mathrm {Kurt} [X] = $
$ \ displaystyle E \ left [\ left (\ frac {X- \ mu} {\ sigma} \ right) ^ 4 \ right] $
$ \ mu_n (X) $ n-й центральный момент случайной величины $ X $ $ \ mu_n (X) = $
$ E [(XE [X]) ^ n] $
$ \ tilde {\ mu} _n (X) $ n-й стандартизированный момент случайной величины $ X $ $ \ tilde {\ mu} _n (X) = $
$ \ Displaystyle E \ left [\ left (\ frac {X — \ mu} {\ sigma} \ right) ^ n \ right] $ 9092 5
$ \ sigma (X, Y) $,
$ \ mathrm {Cov} (X, Y) $
Ковариация случайных величин $ X $ и $ Y $ $ \ mathrm {Cov} (X, Y) = $
$ \ mathrm {Cov} (Y, X) $
$ \ rho (X, Y) $, $ \ mathrm {Corr} (X, Y) $ Корреляция случайных величин $ X $ и $ Y $ $ \ rho (X, Y) = \\ \ dfrac {\ mathrm {Cov} (X, Y)} {\ sigma (X) \, \ sigma (Y )} $

Функции, связанные с вероятностью

909 24 $ F_X (x) $
Название символа Объяснение Пример
$ f_X (x вероятность) $
0 Функция вероятности функция плотности (pdf)
$ P (Y \ le 2) = $
$ \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ 2 f_Y (y) \, \ mathrm {d} y $
$ R_X $ Поддержка случайной величины $ X $ $ R_X = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid $
$ f_X (x)> 0 \} $
Кумулятивная функция распределения (cdf) случайной величины $ X $ $ F_X (5) = P (X \ le 5) $
$ \ overline {F} ( x), S (x) $ Функция выживания случайной величины $ X $ $ S (t) = 1-F (t) $
$ f (x_1, \ ldots, x_n) $ Совместная функция вероятности случайных величин $ X_1, \ ldots, X_n $ $ f (1, 2) = $
$ P (X = 1, Y = 2) $
$ F (x_1 , \ ldots, x_n) $ Совместная кумулятивная функция распределения случайных величин $ X_1, \ ldots, X_n $ $ F (x, y) = $
$ P (X \ le x, Y \ le y ) $
$ M_X (t) $ Функция создания моментов случайной величины $ X $ $ M_X (t) = E [e ^ {tX}] $
$ \ varphi_X (t) $ Характеристическая функция случайной величины $ X $ $ \ varphi_X (t) = E [e ^ {itX}] $
$ K_X (t) $ Кумулянт-производящая функция случайной величины $ X $ $ K_X (t) = \ ln \ left (E [e ^ {tX}] \ right) $
$ \ mathcal {L} (\ theta \ mid x) $ Функция правдоподобия случайной величины $ X $ с параметром $ \ theta $ Если $ X \ sim \ mathrm {Geo} (p) $, то $ \ mathcal {L} (\ theta \ mid X = 3) = $
$ P (X = 3 \ mid p = \ theta).$

Операторы, связанные с распределением вероятностей

Распределения дискретной вероятности
Название символа Пояснение Пример
$ U24 909 равномерное распределение от $ a $ до $ b $ Пусть $ X $ будет числом на кубике после его подбрасывания, тогда $ X \ sim U \ {1, 6 \} $.
$ \ mathrm {Ber} (p) $ Распределение Бернулли с вероятностью успеха $ p $ Если $ X \ sim \ mathrm {Ber} (0.5) $, тогда $ P (X = 0) = $
$ P (X = 1) = 0,5. $
$ \ mathrm {Geo} (p) $ Геометрическое распределение с $ p $ вероятность успеха Если $ X \ sim \ mathrm {Geo} (p) $, то $ E [X] = \ dfrac {1} {p} $.
$ \ mathrm {Bin} (n, p) $ Биномиальное распределение с $ n $ попытками и вероятностью успеха $ p $ Пусть $ X $ будет количеством орлов в 5-монете toss, затем $ X \ sim \ mathrm {Bin} (5, 0.5) $.
$ \ mathrm {NB} (r, p) $ Отрицательное биномиальное распределение с $ r $ успехами и вероятностью успеха $ p $ Пусть $ Y $ будет количеством бросков кубиков, необходимых для получения третья шестерка, затем $ Y \ sim \ mathrm {NB} (3, 1/6) $.
$ \ mathrm {Poisson} (\ lambda) $ Распределение Пуассона со скоростью $ \ lambda $ Если $ X \ sim \ mathrm {Poisson} (5) $, то $ E [X] = V [X]
$ = 5 $.
$ \ mathrm {Hyper} (N, K, n) $ Гипергеометрическое распределение с розыгрышами $ n $ и благоприятными элементами $ K $ среди $ N $ Если $ X \ sim $
$ \ mathrm {Hyper} (N, K, n) $, тогда $ E [X] = n \ dfrac {K} {N} $.

Следующие графики иллюстрируют функций массы вероятности из 6 ключевых распределений, упомянутых выше.

Непрерывные распределения вероятностей и связанные функции
Название символа Пояснение Пример
$ U (a, b) $ $ a $ Непрерывное равномерное распределение b Если $ X \ sim U (5,15) $, то $ \ displaystyle P (X \ le 6) = \ frac {1} {10} $.
$ \ mathrm {Exp} (\ lambda) $ Экспоненциальное распределение со скоростью $ \ lambda $ Если $ Y \ sim \ mathrm {Exp} (5) $, то $ E [Y] = \ sigma [Y] = \ dfrac {1} {5} $.{y-1} \ mathrm {d} t $
$ \ mathrm {Gamma} (\ alpha, \ beta) $ Гамма-распределение с параметрами $ \ alpha $ и $ \ beta $ $ \ mathrm {Gamma} (1, \ lambda) = $
$ \ mathrm {Exp} (\ lambda) $
$ \ Gamma (x) $ Гамма-функция Для всех $ n \ in \ mathbb {N} _ + $, $ \ Gamma (n) = (n-1)! $.
$ T (\ nu) $ T-распределение со степенью свободы $ \ nu $ $ T (n-1) = \ dfrac {\ overline {X} — \ mu} {\ dfrac {S} {\ sqrt {n}}} $
$ t _ {\ alpha, \ nu} $ Положительный t-рейтинг с уровнем значимости $ \ alpha $ и степенью свободы $ \ nu $ $ t_ {0.2 \ sim F (1, \ nu) $.
$ F _ {\ alpha, \ nu_1, \ nu_2} $ F-оценка с уровнем значимости $ \ alpha $ и степенями свободы $ \ nu_1 $ и $ \ nu_2 $ $ F_ {0,05 , 20, 20} \ около 2,1242 $

Статистические операторы

5 $ набора данных $ X $
Имя символа Пояснение Пример
$ X_i000, $ x_thi24 значение
$ x_5 = 9 $
$ \ overline {X} $ Примерное среднее набора данных $ X $ $ \ displaystyle \ overline {X} = \ frac { \ sum X_i} {n} $
$ \ widetilde {X} $ Медиана набора данных $ X $ Для распределения с отрицательным наклоном $ \ overline {X} \ le \ widetilde { X} $.
$ Q_i $ I-й квартиль $ Q_3 $ также является 75-м (эмпирическим) процентилем. 2 $ .2 = \ dfrac {SS _ {\ mathrm {treatment}}} {SS _ {\ mathrm {total}}} $
$ \ hat {y} $ Прогнозируемое среднее значение из $ y $ в регрессии $ \ hat {y} _0 = a + bx_0 $
$ \ hat {\ varepsilon} $ Остаточный в регрессии $ \ hat {\ varepsilon} _i = y_i- \ hat {y} _i $
$ \ hat {\ theta} $ Оценщик параметра $ \ theta $ Если $ E (\ hat {\ theta}) = \ theta $, то $ \ hat {\ theta } $ — несмещенная оценка $ \ theta $.
$ \ mathrm {Bias} (\ hat {\ theta}, \ theta) $ Смещение оценки $ \ hat {\ theta} $ по параметру $ \ theta $ $ \ mathrm {Bias} (\ hat {\ theta}, \ theta) = \\ E [\ hat {\ theta}] — \ theta $
$ X _ {(k)} $ Статистика K-го порядка $ X _ {(n)} = $
$ \ max \ {X_1, \ ldots, X_n \} $

Реляционные символы

Реляционные символы — это символы, используемые для обозначения математических отношений , которые выражают некоторая связь между двумя или более математическими объектами или сущностями.В следующей таблице представлены наиболее важные из них в контексте вероятности и статистики, а также их использование и значение.

Название символа Пояснение Пример
$ A \ perp B $ События $ A $ и $ B $ независимы Если $ A \ perp B $ и $ P (A) \ ne 0 $, тогда $ P (B \ mid A) = P (B) $.
$ (A \ perp B) \ mid C $ Условная независимость
($ A $ и $ B $ независимы при $ C $)
$ (A \ perp B) \ mid C \ iff $
$ P (A \ cap B \ mid C) = $
$ P (A \ mid C) \, P (B \ mid C) $
$ A \ nearrow B $ Event $ $ увеличивает вероятность события $ B $ Если $ E_1 \ nearrow E_2 $, то $ P (E_2 \, | \, E_1) \ ge P (E_2) $.2) $

Условные обозначения

Условные обозначения часто представляют собой условных обозначений или акронимов , которые не попадают в категории констант, переменных, операторов и реляционных символов. В следующей таблице приведены некоторые из наиболее распространенных условных обозначений вероятности и статистики, а также их соответствующее использование и значение.

Название символа Пояснение Пример
$ IQR $ Межквартильный интервал $ IQR = Q_3-Q_1 $

20 909 $ SD Стандартное отклонение $ 2 \, SD = 2 \ cdot 1.2_2 $
$ H_a $ Альтернативная гипотеза $ H_a \ !: \ rho> 0 $
$ \ mathrm {CI} $ Доверительный интервал 95925 \% 909 , \ mathrm {CI} = \\ (0.85, 0.97) $
$ \ mathrm {PI} $ Интервал прогноза $ 90 \% \, \ mathrm {PI} $ шире, чем 90 $ \ % \, \ mathrm {CI} $, поскольку он предсказывает экземпляр $ y $, а не его среднее значение.
$ \ mathrm {r.2} {n} $.
$ \ mathrm {LLN} $ Закон больших чисел LLN показывает, что для всех $ \ varepsilon> 0 $, как $ n \ to \ infty $, $ P \ left (| \ overline {X} _n- \ mu |> \ varepsilon \ right) \ to 0. $
$ \ mathrm {CLT} $ Центральная предельная теорема По CLT, как $ n \ to \ infty $ , $ \ dfrac {\ overline {X} _n- \ mu} {\ sigma / \ sqrt {n}} \ to Z $.

Главный список символов см. В разделе «Математические символы».Списки символов, разделенных на предмет и тип , см. На соответствующих страницах ниже.

Предпочитаете версию в формате PDF?

Получите общее резюме математических символов в форме электронной книги — вместе с использованием каждого символа и кодом LaTeX.

Дополнительные ресурсы

Манджунатх Кришнапур: дом

Манджунатх Кришнапур

Департамент математики Индийского института науки, Бангалор 560 012

Рекомендуемые варианты чтения для студентов с вероятностью
Вдохновленный людьми более великими, чем я (Ландау, ‘т Хофт и др.,) Я составил список основных материалов, которые могут оказаться полезными начинающим теоретикам теории вероятностей. Он не является полным в любом смысле, потому что мне не хватает знаний о многих подобластях вероятности, и когда существует несколько книг, охватывающих один и тот же материал, я упоминаю только одну. Спасибо Йогешварану за множество хороших предложений, которые я включил при составлении списка. В дополнение к этому, можно также составить список хороших книг по анализу, теоретической CS, статистической механике, но эти списки должен составить кто-то другой…
Самый простой
  • Феллер Теория вероятностей и ее приложения — т. 1
  • Джон Б. Уолш Зная шансы
Нужно знать материал этих книг от начала до конца. Возможны многие альтернативные книги, например «Вероятность: теория и примеры». Для изучения теории меры и вероятности можно использовать анализ Дадли и вероятность , в то время как теория вероятности и случайных процессов Гримметта и Стирзакера хороша для предварительной оценки теоретической вероятности.Также рекомендуется решать задачи из вышеперечисленных книг или, например, из этого набора. Неповторимая книга Калленберга Основания вероятности содержит материал, достойный 5-6 других книг, но я считаю, что это лучше всего для второго чтения, а не для первого.
Базовый, но немного более продвинутый
Некоторые из основных, но недостаточно освещенных в книге Даррета тем можно прочесть из следующего списка. Это тематический список, а не рекомендация прочитать все книги от корки до корки!
  • Теория слабой сходимости от Биллингсли Слабая сходимость вероятностных мер или К. Вероятностные меры Р. Партхасарати на метрических пространствах .
  • Стохастическое исчисление (Карацас и Шрив Броуновское движение и стохастическое исчисление )
  • Большие отклонения, по крайней мере, теорема Санова ( Большие отклонения Дембо и Зейтуни: методы и приложения ) и концентрация меры (первые три главы Бушерона, Лугоши и Массарта Неравенства концентрации: неасимптотическая теория независимости ).
  • Дискретная вероятность: удивительно красивая книга Вероятность на деревьях и сетях Лиона и Переса, Вероятность на графах Гриммета и превосходные лекции Себастейна Роха и хорошо известная книга Вероятностный метод Алона и Спенсера.
  • Подробнее о броуновском движении, его связи с PDE и т. Д. (Лекции Варадхана TIFR Диффузии и уравнения в частных производных )
  • Марковские процессы (Марковские процессы с непрерывным временем Лиггетта: введение , подойдут только первые 3-4 главы)
  • Время перемешивания цепей Маркова (одноименная книга Левина, Переса и Вильмера, несколько глав дают достаточно много идей)
  • Гауссовские гильбертовы пространства
  • (Гауссовские гильбертовы пространства Янсона , начальная часть, очень хорошо подходят для изучения разложения Винера хаоса, формулы Вика и т. Д.Также хорошо изучить стационарные гауссовские процессы на линии и некоторые основы непрерывности гауссовских процессов)
  • Основы теории информации (Ковер и Томас написали хорошую книгу. Основные понятия энтропии, относительной энтропии и т. Д. Важны для вероятностников)
  • Точечные процессы, случайные меры. (Две предстоящие книги: Случайные меры, теория и приложения Калленберга , которые могут быть обновлением его старой книги под названием Случайные меры и Лекции Ласта и Пенроуза по пуассоновскому процессу.Первые 9 глав последнего, кажется, адекватное введение в основы)
Дополнительные темы
Я исключаю уже упомянутые выше книги. Практически для любой вероятностной темы можно найти некоторый том из конспектов лекций St. Flour эксперта. В некоторых случаях они могут немного устареть, но как введение они надежны (хотя читаемость сильно варьируется!).
  • Мёртерс и Перес Броуновское движение (для всего, что вы хотите знать о типовых свойствах траектории броуновского движения)
  • Мишель Леду Феномен концентрации меры (другая книга, упомянутая ранее, проще, но это уже классика)
  • Гарбан и Штейф Чувствительность к шуму и просачивание (Также опубликовано в виде книги, это дает хорошее изложение все более важных понятий влияния, чувствительности к шуму и т. Д.).
  • Talagrand Верхняя и нижняя границы для случайных процессов (чтение похоже на получение привилегированного взгляда на великий ум)
  • Басс Вероятностные методы анализа
  • Богачев Гауссовские процессы , Адлер и Тейлор Случайные поля и геометрия , Лифшиц Лекции по гауссовским процессам (в какой-то момент нужно будет узнать о гауссовских процессах).
  • Нормальные приближения с исчислением Маллявэна: от метода Штейна к универсальности Нурдена и Пеккати
  • Ремко ван дер Хофстад Случайные графы и сложные сети (еще одна горячая область, но введенная с нуля)
  • Grimmett Percolation (стандартный образец для этой области вероятности)
  • Liggett Взаимодействующие системы частиц (стандартный справочник для этой области — см. Также другую книгу Лиггетта, упомянутую выше)
  • Роджерс и Вильямс Диффузии, марковские процессы и мартингалы
  • Панченко Модель Шеррингтона-Киркпатрика (Чрезвычайно хорошо написанная книга по сложной и важной современной области исследований)
  • Андерсон, Гионнет и Зейтуни Введение в случайные матрицы , Пастур и Щербина Распределение собственных значений больших случайных матриц , Форрестер Лог-газы и случайные матрицы , Тао Темы теории случайных матриц (случайные матрицы в настоящее время очень популярны). модно, эти книги и следующие две почти попарно не пересекаются по своему содержанию!)
  • Вершинин Курс по вероятности высокой размерности , Хопкрофт и Каннан Пока безымянная книга по вероятности высокой размерности
  • Стил Теория вероятностей и комбинаторная оптимизация (красиво написано, восхитительно коротко!).Аналогичными книгами в более геометрической обстановке являются «Случайные геометрические графы » Пенроуза и «Теория вероятностей классических евклидовых задач оптимизации » Юкича .
  • Лоулер и Лимич Случайное блуждание: современное введение
  • Лоулер Конформно-инвариантные процессы на плоскости (уникальная книга для изучения SLE, единственного наиболее важного события в области теории вероятностей за последнее время)
  • Чаттерджи Сверхконцентрация и связанные темы (Специализированная тема, но наиболее четкое изложение некоторых недавних достижений)
  • Виллани Темы в оптимальном транспорте (великолепная экспозиция, ясная как кристалл!)
  • Диаконис Групповые представления в вероятности и статистике (у кого еще вы этому научитесь?)
  • Олдос Аппроксимации вероятностей с помощью эвристики пуассоновского скопления (самая необычная книга, отражающая оригинальность автора.Если ничего другого прочтите предисловие и пару приложений)
  • Дэн Ромик Удивительная математика самых длинных возрастающих подпоследовательностей (представляет собой историю простой комбинаторной задачи, которая привела математиков через комбинаторику, вероятность, анализ, теорию представлений, алгебраическую геометрию, …)
Для тех, кто любит исторические ценности
  • Книги Марка Каца, Вероятность и связанные с ней темы в физических науках , Статистическая независимость в вероятностях, анализе и теории чисел , Загадки случая (последняя — автобиография, но ее очень приятно читать.Также могу порекомендовать здесь Улама Приключения математика ). Если бы я знал французский язык в достаточной мере, я бы попытался прочитать автобиографию Леви «Quelques Aspres de la pensée d’un mathématicien ».
  • Симпозиумы по математической статистике и вероятности в Беркли очень интересны для просмотра.