Вычисления корня: Алгоритм вычисления корня n-ой степени из произвольного положительного числа

Функция Sqr

Возвращает значение типа Double, указывающее квадратный корень числа.

Синтаксис

Sqr (число)

ТребуемаяАргумент является значением double или любым допустимым значением числовое выражение больше нуля или равно.

Пример запроса

Пример VBA

Примечание: В примерах ниже показано, как использовать эту функцию в модуле Visual Basic для приложений (VBA). Чтобы получить дополнительные сведения о работе с VBA, выберите Справочник разработчика в раскрывающемся списке рядом с полем Поиск и введите одно или несколько слов в поле поиска.

В этом примере функция Sqr используется для вычисления квадратного корня числа.

Dim MySqr
MySqr = Sqr(4)    ' Returns 2.
MySqr = Sqr(23)    ' Returns 4.79583152331272.
MySqr = Sqr(0)    ' Returns 0.
MySqr = Sqr(-4)    ' Generates a run-time error.

Вычисление корней уравнения

Корнем уравнения f(x) = 0 является такое, возможно не единственное, значение x = x^*, при котором имеет место тождество f(x^*) = 0.

Рис. 1. Точное и приближённое значения корня уравнения

Метод деления отрезка пополам предполагает постепенное сужение отрезка, на котором находится корень уравнения.

Пусть задан некий отрезок [a, b], на котором находится один корень уравнения. Найдём середину отрезка и определим, в какой части отрезка – левой или правой – находится корень уравнения. Именно эта половина отрезка будет взята в качестве следующего приближения. Таким образом, будем уменьшать длину отрезка, пока она не станет меньше ε. В качестве корня берётся середина отрезка, и, таким образом, корень уравнения находится с точностью ε / 2. Рис. 2 иллюстрирует метод деления отрезка пополам.

Рис. 2. Метод деления отрезка пополам

Для того чтобы определить в какой части отрезка находится корень уравнения, надо сравнить знаки f(a) и f(x). Если знаки не совпадают, значит на отрезке [a, x] функция пересекает ось x, и корень уравнения находится на этом отрезке. В этом случае необходимо правую границу отрезка перенести в точку x (см. рис. 2-а). Если знаки совпадают, значит на отрезке [a, x] функция не пересекает ось x, и корень уравнения находится на отрезке [x, b]. В этом случае необходимо левую границу отрезка перенести в точку x (см. рис. 2-б).

Совпадение знаков f(a) и f(x) можно проверить, используя неравенство f(a) * f(x) < 0, – два числа с разными знаками имеют отрицательное произведение.

Формальное описание метода деления отрезка пополам
while <длина отрезка больше точности> do begin <найти середину отрезка x> if <знаки f(a) и f(x) не совпадают> then <перенести правую границу в точку x> else <перенести левую границу в точку x>

Приведём уравнение f(x) = 0 при помощи некоторых тождественных преобразований к виду x = φ(x). Такое преобразование можно произвести разными способами, и при этом будут получаться разные функции φ(x) в правой части уравнения. Уравнение f(x) = 0 эквивалентно уравнению x = λ(x)∙f(x) при любой функции λ(x) ≠ 0. Таким образом, можно взять φ(x) = λ(x)∙f(x) и при этом выбрать функцию λ(x) ≠ 0 так, чтобы функция φ(x) удовлетворяла тем свойствам, которые понадобятся нам для обеспечения нахождения корня уравнения. В простейшем случае в качестве

Для нахождения корня уравнения x = φ(x) выберем какое-либо начальное приближение x₀ (расположенное, по возможности, близко к корню x^*). Далее будем вычислять последующие приближения x₁, x₂, …, x_i, x_{i + 1}, … по формуле x_{i + 1} = φ(x_i).

Заметим следующее: тот факт, что x^* – корень уравнения x = φ(x), означает, что x^* есть абсцисса точки пересечения графика y = φ(x) с прямой y = x. Если при каком-либо x_i вычислено значение x_{i + 1} = φ(x_i) и взято в качестве нового аргумента функции, то это означает, что через точку графика (x_i, φ(x_i)) проводится горизонталь до прямой y = x, а оттуда опускается перпендикуляр на ось x. Там и будет находиться новый аргумент x

Для метода простых итераций необходимо одно начальное приближение, в качестве которого можно взять середину отрезка [a, b]. Процесс вычисления прекращается, когда разность между двумя текущими приближениями становится меньше точности, т.е. когда выполняется условие |x_{i + 1} – x_i| < ε, где ε – заданная точность вычисления. Рис. 2 иллюстрирует метод простых итераций.

Рис. 3. Метод простых итераций

Метод простых итераций сходится к корню уравнения при условии, что функция φ(x) в окрестностях корня уравнения не изменяется слишком быстро, т.

Формальное описание метода простых итераций
repeat   <сохраняем старое приближение>   <вычисляем новое приближение> until <разность между двумя текущими приближениями меньше точности>;

Мы видим, что в алгоритмах поиска корней уравнения так же, как и при нахождении суммы ряда, невозможно заранее определить, сколько итераций потребуется для нахождения корня. Это зависит от заданных начальных приближений, от точности и, конечно, от самой функции. Поэтому мы снова должны использовать циклы с неизвестным количеством повторов тела цикла. В описании метода деления отрезка пополам использовался цикл «пока», а в описании метода секущих – цикл «до». Однако это не является жёстким правилом, в любом методе можно использовать любой цикл.

Ньютонов метод последовательных приближений для вычисления квадратного корня · GitHub

Instantly share code, notes, and snippets.

Ньютонов метод последовательных приближений для вычисления квадратного корня

	; Ньютонов метод последовательных приближений
	; для вычисления квадратного корня.
	; —-
	;
	; Основан на том, что имея некоторое неточное значение y
	; для квадратного корня из числа x, мы можем с помощью
	; простой манипуляции получить более точное значение (более близкое к настоя-
	; щему квадратному корню), если возьмем среднее между y и x/y.
	;
	; Например, мы можем вычислить квадратный корень из 2 следующим образом: предположим,
	; что начальное приближение равно 1.
	(define y 1.0)
	(define x 2)
	(define y (/ (+ y (/ x y)) 2)) ; -> 1.5
	(* y y) ; -> 2.25
	(define y (/ (+ y (/ x y)) 2)) ; -> 1. 4166666666666665
	(* y y) ; -> 2.006944444444444
	(define y (/ (+ y (/ x y)) 2)) ; -> 1.4142156862745097
	(* y y) ; -> 2.0000060073048824
	; …
	; Продолжая этот процесс, мы получаем все
	; более точные приближения к квадратному корню.
	; Теперь формализуем этот процесс в терминах процедур.
	(define (sqrt x) (sqrt-iter 1.0 x))
	(define (sqrt-iter guess x) (if (good-enought? guess x)
	guess
	(sqrt-iter (improve-guess guess x) x)
	))
	(define (good-enought? guess x)
	(< (abs (- (square guess) x)) 0.001))
	(define (square x) (* x x))
	(define (abs x) (if (< x 0) (- x) x))
	(define (improve-guess guess x) (average guess (/ x guess)))
	(define (average x y) (/ (+ x y) 2))
	; Проверка
	(= (sqrt 4) 2. 0000000929222947)
	; Упражнение 1.6
	;
	; Лиза П. Хакер не понимает, почему if должна быть особой формой. «Почему нельзя просто
	; определить ее как обычную процедуру с помощью cond?» — спрашивает она. Лизина подруга
	; Ева Лу Атор утверждает, что, разумеется, можно, и определяет новую версию if:
	(define (new-if predicate then-clause else-clause)
	(cond (predicate then-clause)
	(else else-clause)))
	; Ева показывает Лизе новую программу:
	(new-if (= 2 3) 0 5) ; -> 5
	(new-if (= 1 1) 0 5) ; -> 0
	; Обрадованная Лиза переписывает через new-if программу вычисления квадратного корня:
	(define (new-sqrt-iter guess x) (new-if (good-enought? guess x)
	guess
	(new-sqrt-iter (improve-guess guess x) x)
	))
	; Что получится, когда Лиза попытается использовать эту процедуру для вычисления квадрат-
	; ных корней? Объясните.
	; Бесконечная рекусрия потому, что сначало вычисляются аргументы для процедуры
	; а потом применяется процедура (Аппликативный порядок вычисления)
	; Встроенный if это специальная форма, которая сначало вычисляет предикат, а потом нужный аргумент
	(new-sqrt-iter 1.0 2) ; -> ;Aborting!: maximum recursion depth exceeded

Алгоритм извлечения квадратного корня

Квадратный корень легко извлекается с помощью калькулятора. Для этого достаточно набрать на нём исходное число и нажать клавишу корня

Если калькулятора под рукой нет, то квадратный корень извлекают пользуясь алгоритмом извлечения квадратного корня.

Применение алгоритма может оказаться весьма полезным на контрольных и экзаменах. Ведь чаще всего на таких мероприятиях использовать калькулятор запрещено.

Как пользоваться алгоритмом

Рассмотрим применение алгоритма извлечения квадратного корня на конкретных примерах. О том, почему алгоритм следует применять именно так, поговорим позже.

Пример 1. Извлечём квадратный корень из числа 4096 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

Прежде всего сгруппируем число 4096 по две цифры. Двигаясь с конца влево сделаем небольшую мéтку:

Сгруппированные цифры исходного числа называют грáнями, а саму группировку по две цифры разделением на грáни. Количество грáней позволяет предположить сколько цифр будет содержаться в извлечённом корне. В нашем примере извлечённый корень будет содержать две цифры, поскольку исходное число содержит две грани.

Теперь нужно извлечь квадратный корень из числа 40 с точностью до целых, получаем 6. Записываем 6 после знака равенства:

Далее возвóдим число 6 в квадрат и полученный результат записываем под числом 40

Далее вычитаем из числа 40 число 36, получаем 4. Записываем это число под 36

Снóсим оставшиеся цифры из под корня, а именно 96. Получаем остаток 496

Теперь нужно найти следующую цифру корня. Её находят так. Первую найденную цифру корня, а именно 6 умножаем на 2, получаем 12. К числу 12 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет следующей цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 496 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 5. Допишем её к числу 12 и умножим образовавшееся число 125 на 5

Получилось число 625, которое больше остатка 496. Значит цифра 5 не годится в качестве следующей цифры корня. Проверим тогда цифру 4. Допишем ее к числу 12 и умножим образовавшееся число 124 на 4

Получилось число 496, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 12 цифра 4 является следующей цифрой корня. Возвращаемся к исходному примеру и записываем цифру 4 в ответе после цифры 6

А число 496, которое получилось в результате умножения 124 на 4 записываем под остатком 496

Выполняем вычитание 496 − 496 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:

Для удобства поиска второй цифры, слева от остатка проводят вертикáльную линию и уже за этой линией записывают умножение. В нашем случае умножение 124 на 4. Результат умножение сразу записывают под остатком:

Итак, квадратный корень из числа 4096 равен 64

Пример 2. Извлечём квадрáтный корень из числа 441 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

Прежде всего сгруппируем число 441 по две цифры. Двигаясь с конца влево сделаем небольшую мéтку. В данном случае в числе 441 только три цифры. Поэтому группируем цифры 4 и 1. Крайняя четвёрка слева будет сама по себе:

Теперь нужно извлечь квадратный корень из числа 4 с точностью до целых, получаем 2. Записываем 2 после знака равенства:

Далее возвóдим число 2 в квадрат и полученный результат записываем под числом 4

Вычитаем из числа 4 число 4, получаем 0. Ноль принято не записывать. Снóсим оставшиеся цифры корня, а именно 41

Теперь нахóдим следующую цифру корня. Первую найденную цифру корня, а именно 2 умножаем на 2, получаем 4. К числу 4 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет следующей цифрой корня) и умножить получившееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 41 или хотя бы максимально близким ему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 2. Допишем её к числу 4 и умножим получившееся число 42 на ту же самую дописанную цифру 2. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 41

Получилось число 84, которое больше остатка 41. Значит цифра 2 не годится в качестве следующей цифры корня. Проверим тогда цифру 1. Допишем ее к числу 4 и умножим получившееся число 41 на на ту же самую дописанную цифру 1

Получилось число 41, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 4 цифра 1 является следующей цифрой корня. Записываем цифру 1 после цифры 2

А число 41, которое получилось в результате умножения 41 на 1, записываем под остатком 41

Выполняем вычитание 41 − 41 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:

Пример 3. Извлечём квадратный корень из числа 101761 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

Разбиваем число 101761 на грани:

Получилось три грани. Значит корень будет состоять из трёх цифр.

Извлекáем квадратный корень из первой грани (из числа 10) с точностью до целых, получаем 3. Записываем 3 после знака равенства:

Далее возвóдим число 3 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 10)

Вычитаем из числа 10 число 9, получаем 1. Снóсим следующую грань, а именно число 17. Получаем остаток 117

Теперь нахóдим вторую цифру корня. Первую найденную цифру корня, а именно 3 умножаем на 2, получаем 6. К числу 6 в конце нужно дописать ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 117 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 2. Допишем её к числу 6 и умножим образовавшееся число 62 на ту же самую дописанную цифру 2. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 117

Получилось число 124, которое больше остатка 117. Значит цифра 2 не годится в качестве второй цифры корня. Проверим тогда цифру 1. Допишем ее к числу 6 и умножим образовавшееся число 61 на на ту же самую дописанную цифру 1

Получилось число 61, которое не превосходит остатка 117. Значит дописанная к числу 6 цифра 1 является второй цифрой корня. Записываем её в ответе после цифры 3

Теперь выполняем вычитание 117 − 61 = 56.

Снóсим следующую грань, а именно число 61. Получаем новый остаток 5661

Теперь нахóдим третью цифру корня. Первые две найденные цифры корня, а именно число 31 умножаем на 2, получаем 62. К числу 62 в конце нужно дописать ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет третьей цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 5661 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 9. Допишем её к числу 62 и умножим образовавшееся число 629 на ту же самую дописанную цифру 9. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 5661

Получилось число 5661, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 62 цифра 9 является третьей цифрой корня. Записываем цифру 9 в ответе после цифры 1

Выполняем вычитание 5661 − 5661 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:

Пример 4. Извлечём квадратный корень из числа 30,25 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

Данное число является десятичной дробью. В данном случае на грани следует разбить целую и дробную часть. Целую часть на грани следует разбить, двигаясь влево от запятой. А дробную — двигаясь вправо от запятой:

Получилось по одной грани в каждой части. Это значит, что корень будет состоять из двух цифр: одна цифра будет в целой части корня и одна цифра в дробной.

Извлечём квадратный корень из первой грани (из числа 30) с точностью до целых, получаем 5. Записываем 5 после знака равенства:

Далее возвóдим число 5 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 30)

Вычитаем из числа 30 число 25, получаем 5.

Извлечение корня из целой части подкоренного выражения завершено. На данный момент мы извлекли корень из числа 30,25 с точностью до целых, получили ответ 5. Последний остаток 5 показывает, что целая часть 30 превосходит квадрат 5² на 5 квадратных единиц.

Чтобы дальше извлечь корень (с точностью до десятых), снесём следующую грань, а именно число 25, получим остаток 525. А в ответе после числа 5 следует поставить запятую, поскольку сейчас мы будем искать дробную часть корня.

Затем снóсим следующую грань, а именно число 25. Получаем остаток 525

Далее работаем по тому же принципу, что и раньше. Нахóдим следующую цифру корня. Для этого уже найденный корень, а именно число 5 умножим на 2 получим 10. К числу 10 в конце нужно дописать ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет следующей цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 525 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 5. Допишем её к числу 10 и умножим получившееся число 105 на ту же самую дописанную цифру 5

Получилось число 525, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 10 цифра 5 является следующей цифрой корня. Возвращаемся к исходному примеру и записываем цифру 5 после в ответе после запятой:

Выполняем вычитание 525 − 525 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:

В подкоренном выражении можно было использовать следующий прием: умножить подкоренное число на 100 и получить под корнем число 3025. Далее извлечь из него квадратный корень, как из обычного целого числа. Тогда получился бы ответ 55

Затем можно обратно разделить 3025 на 100 (или сдвинуть запятую влево на две цифры). В результате под корнем полýчится прежнее число 30,25, а правая часть уменьшится в десять раз и полýчится квадратный корень из числа 30,25.

Пример 5. Извлечём квадратный корень из числа 632,5225 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

Данное число является десятичной дробью. Разбиваем число на грани. На грани следует разбить целую и дробную часть. Целую часть на грани следует разбить, двигаясь влево от запятой. А дробную — двигаясь вправо от запятой:

Получилось четыре грани. При этом две грани в целой части, и две грани в дробной. Это значит, что корень будет состоять из четырёх цифр: две цифры будет в целой части корня, и две цифры после запятой.

Извлечём квадратный корень из первой грани (из числа 6) с точностью до целых, получаем 2. Записываем 2 после знака равенства:

Далее возвóдим число 2 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 6)

Вычитаем из числа 6 число 4, получаем 2. Затем снóсим следующую грань, а именно число 32. Получаем остаток 232

Теперь нахóдим вторую цифру корня. Первую уже найденную цифру корня, а именно 2 умножаем на 2, получаем 4. К числу 4 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня) и умножить получившееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 232 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 6. Допишем её к числу 4 и умножим получившееся число 46 на ту же самую дописанную цифру 6. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 232

Получилось число 276, которое больше остатка 232. Значит цифра 6 не годится в качестве второй цифры корня. Проверим тогда цифру 5. Допишем ее к числу 4 и умножим получившееся число 45 на на ту же самую дописанную цифру 5

Получилось число 225, которое не превосходит остатка 232. Значит дописанная к числу 4 цифра 5 является второй цифрой корня. Записываем её в ответе после цифры 2

Теперь выполняем вычитание 232 − 225 = 7.

Извлечение корня из целой части подкоренного выражения завершено. На данный момент мы извлекли корень из числа 632,5225 с точностью до целых, получили ответ 25. Последний остаток 7 показывает, что целая часть 632 превосходит квадрат 25² на 7 квадратных единиц.

Чтобы дальше извлечь корень (с точностью до десятых и сотых), снесём следующую грань, а именно число 52, получим остаток 752. А в ответе после числа 25 поставим запятую, поскольку сейчас мы будем искать дробные части корня:

Далее работаем по тому же принципу, что и раньше. Нахóдим первую цифру корня после запятой. Для этого уже найденные цифры, а именно 25 умножим на 2 получим 50. К числу 50 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет первой цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 752 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 2. Допишем её к числу 50 и умножим получившееся число 502 на ту же самую дописанную цифру 2. Можно интуитивно понять, что цифра 2 великá, поскольку 502 × 2 = 1004. А число 1004 больше остатка 752. Тогда очевидно, что первой цифрой после запятой будет цифра 1

Теперь выполняем вычитание 752 − 501 = 251. Сразу снóсим следующую грань 25. Полýчим остаток 25125

Теперь нахóдим вторую цифру корня после запятой. Не обращая внимания на запятую, найденные цифры корня умнóжим на 2. Полýчим 502.

К числу 502 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 25125 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 6. Допишем её к числу 502 и умнóжим образовавшееся число 5026 на ту же самую дописанную цифру 6. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 25125

Получилось число 30156, которое больше остатка 25125. Значит цифра 6 не годится в качестве второй цифры корня после запятой. Проверим тогда цифру 5. Допишем ее к числу 502 и умножим получившееся число 5025 на на ту же самую дописанную цифру 5

Получилось число 25125, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 502 цифра 5 является второй цифрой корня после запятой. Записываем цифру 5 в ответе после цифры 1

Теперь выполняем вычитание 25125 − 25125 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:

В этом примере можно было воспользоваться методом умножения подкоренного выражения на 10000. Тогда подкоренное число приняло бы вид 6325225. Его можно разделить на грани, двигаясь справа налево. В результате получился бы корень 2515

Затем подкоренное число 6325225 делят на 10000, чтобы вернуться к изначальному числу 632,5225. В результате этого деления ответ умéньшится в 100 раз и обратится в число 25,15.

Пример 4. Используя алгоритм извлечения квадратного корня, извлечь квадратный корень из числа 11 с точностью до тысячных:

В данном числе только одна грань 11. Извлечём из неё корень с точностью до целых, получим 3

Теперь возвóдим число 3 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 11)

Выполним вычитание 11 − 9 = 2

Извлечение корня из целой части подкоренного выражения завершено. На данный момент мы извлекли корень из числа 11 с точностью до целых, получили ответ 3. Последний остаток 2 показывает, что целая часть 11 превосходит квадрат 3² на две квадратные единицы.

Наша задача была извлечь корень из числа 11 с точностью до тысячных. Значит нужно снести следующую грань, но её в данном случае нет.

Если после целого числа поставить запятую и написать сколько угодно нулей, то значение этого числа не измéнится. Так, после 11 можно поставить запятую и написать несколько нулей (несколько граней), которые в последствии можно будет снóсить к остаткам.

Если корень извлекáется с точностью до тысячных, то в ответе после запятой должно быть три цифры. Поэтому в подкоренном выражении поставим запятую и запишем три грани, состоящие из нулей:

Теперь можно снести следующую грань, а именно два нуля. Получим остаток 200. А в ответе после числа 3 поставим запятую, поскольку сейчас мы будем искать дробные части корня:

Теперь нахóдим первую цифру после запятой в ответе. Первую найденную цифру корня, а именно число 3 умножаем на 2, получаем 6. К числу 6 нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет первой цифрой после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 200 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

В данном случае подойдёт цифра 3

Выполним вычитание 200 − 189 и снесём следующую грань 00

Нахóдим вторую цифру корня после запятой. Не обращая внимания на запятую, найденные цифры корня умнóжим на 2. Полýчим 66.

К числу 66 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 1100 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

В данном случае подойдёт цифра 1

Выполним вычитание 1100−661 и снесём следующую грань 00

Нахóдим третью цифру корня после запятой. Не обращая внимания на запятую, найденные цифры корня умножим на 2. Получим 662.

К числу 662 нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет третьей цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 43900 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Проверим цифру 7

Получилось число 46389, которое больше остатка 43900. Значит цифра 7 не годится в качестве третьей цифры корня после запятой. Проверим тогда цифру 6. Допишем ее к числу 662 и умножим получившееся число 6626 на на ту же самую дописанную цифру 6

Получилось число 39756, которое не превосходит остатка 43900. Значит дописанная к числу 662 цифра 6 является третьей цифрой корня после запятой. Записываем цифру 6 в ответе после цифры 1

Выполним вычитание 43900 − 39756 = 4144

Дальнейшее вычисление не требуется, поскольку корень нужно было извлечь с точностью до тысячных.

Но в таких примерах как этот, цифры после запятой можно находить бесконечно. Например, так можно продолжить данный пример, найдя значение корня с точностью до десятитысячных:

Как работает алгоритм

Алгоритм извлечения квадратного корня основан на формуле квадрата суммы двух выражений:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Геометрически эту формулу можно представить так:

То есть сторона a увеличивается на b. Это приводит к увеличению изначального квадрата. Чтобы вычислить площадь такого квадрата, нужно по отдельности вычислить площади квадратов и прямоугольников, входящих в этот квадрат и сложить полученные результаты. Важно хорошо понимать данный рисунок. Без его понимания невозможно понять как работает алгоритм извлечения квадратного корня.

Отметим, что формула квадрата суммы двух выражений позволяет возвести в квадрат любое число. Используя разряды, исходное число представляют в виде суммы чисел и далее эту сумму возвóдят в квадрат.

Например, так можно возвести число 21 в квадрат: представить данное число в виде суммы двух десятков и одной единицы, и далее эту сумму возвести в квадрат :

21² = (20 + 1)² = 20² + 2 × 20 × 1 + 1² = 400 + 40 + 1 = 441

Геометрически это будет выглядеть так: сторона квадрата равная 21 разбивается на две составляющие: 20 и 1.

Затем по отдельности вычисляются площади квадратов и прямоугольников, входящих в большой квадрат. А именно: один квадрат со стороной 20 (получается площадь, равная 400), два прямоугольника со сторонами 20 и 1 (получается две площади по 20), один квадрат со стороной 1 (получается площадь, равная 1). Результаты вычисления площадей складываются и получается итоговое значение 441.

Заметим также, что при возведéнии десятков в квадрат получились сотни. В данном случае при возведéнии числа 20 в квадрат получилось число 400. Это позволяет предположить, что если корень является двузначным числом, то десятки этого корня следует искать в сотнях подкоренного числа. Действительно, . Десятки корня это цифра 2, является корнем числа 4, которое отвечает за сотни числа 441.

А при возведéнии сóтен в квадрат получаются десятки тысяч. Например, возведём в квадрат число 123, используя формулу квадрата суммы двух выражений. Число 123 это одна сотня, два десятка и три единицы:

123² = (100 + 20 + 3)²

При изучении многочленов мы выяснили, что если многочлен содержит более двух членов и возникла необходимость применить формулу квадрата суммы, то некоторые из членов можно взять в скобки, чтобы получилось выражение вида (a + b)²

Рассмотрим подробное извлечение квадратного корня из числа 4096. Заодно пройдёмся по основным этапам алгоритма извлечения квадратного корня, рассмотренного в предыдущей теме.

Допустим, что число 4096 это площадь следующего квадрата:

Извлечь корень из числа 4096 означает найти длину стороны данного квадрата:

Для начала узнáем из скольких цифр будет состоять корень. Ближáйшие от 4096 известные нам квадраты это 3600 и 4900. Между ними располагается квадрат 4096. Запишем это в виде неравенства:

Запишем каждое число под знáком корня:

Квадратные корни из чисел 3600 и 4900 нам известны. Это корни 60 и 70 соответственно:

Корни 60 и 70 являются двузначными числами. Если квадратный корень из числа 4096 располагается между числами 60 и 70, то этот корень тоже будет двузначным числом.

Двузначное число состоит из десятков и единиц. Это значит, что квадратный корень из числа 4096 можно представить в виде суммы a + b, где a — десятки корня, b — единицы корня. Сумма a + b во второй степени будет равна 4096

(a + b)² = 4096

Тогда сторона квадрата будет разбита на две составляющие: a и b

Перепишем в равенстве (a + b)² = 4096 левую часть в виде a² + 2ab + b²

a² + 2ab + b² = 4096

Тогда рисунок, иллюстрирующий квадрат площадью 4096, можно представить так:

Если мы узнáем значения переменных a и b, то узнáем длину стороны данного квадрата. Проще говоря, узнáем сам корень.

Вернёмся к извлечению корня. Мы выяснили, что корнем будет двузначное число. Двузначное число состоит из десятков и единиц. При возведéнии десятков в квадрат, получаются сотни. Тогда десятки искомого корня следует искать в сотнях подкоренного числа. В подкоренном числе 40 сотен. Отделим их небольшой помéткой:

Извлечём корень из числа 40. Из числа 40 корень не извлекается. Поэтому извлечение следует выполнить приближённо с точностью до целых.

Ближáйший мéньший квадрат к числу 40 это 36. Извлечём корень из этого квадрата, получим 6. Тем сáмым полýчим первую цифру корня:

На самом деле корень извлечён не из числа 40, а из сорокá сотен. Метка, которая постáвлена после числа 40, отделяет разряды числа, находящегося под знáком корня. Нужно понимать, что в данном случае 40 это 4000.

Из 4000 как и из 40 корень не извлекается, поэтому его тоже следует извлекать приближённо. Для этого следует найти ближáйший мéньший квадрат к числу 4000. Но нужно принимать во внимание следующий момент. Десятки это числа с одним нулем на конце. Примеры:

10 — один десяток

30 — три десятка

120 — двенадцать десятков

При возведéнии таких чисел в квадрат, получаются числа с двумя нулями на конце:

10² = 100

30² = 900

120² = 14400

Мы ищем десятки корня в сотнях числá 4096, то есть в числе 4000. Но нет такого числá с нулем на конце, вторая степень которого равна 4000. Поэтому мы ищем ближáйший мéньший квадрат, но опять же с двумя нулями на конце. Таковым является квадрат 3600. Корень следует извлекать из этого квадрата.

Вернемся к нашему рисунку. Большой квадрат со стороной a и площадью a² это тот самый квадрат 3600. Укажем вместо a² значение 3600

Теперь извлечём квадратный корень из квадрата 3600. Ранее мы говорили, что если число содержит уже знакомый нам квадрат и чётное количество нулей, то можно извлечь корень из этого числа. Для этого сначала следует извлечь корень из знакомого нам квадрата, а затем записать половину от количества нулей исходного числа:

Итак, мы нашли сторону квадрата, площадь которого 3600. Подпишем сторону a как 60

Но ранее в ответе мы написали не 60, а 6. Это является сокращённым вариантом. Число 6 в данном случае означает шесть десятков:

Итак, десятки корня найдены. Их шесть. Теперь нужно найти единицы корня. Единицы корня это длина оставшейся маленькой стороны квадрата, то есть значение переменной b.

Чтобы найти b, нужно из общего квадрата, площадь которого 4096 вычесть квадрат, площадь которого 3600. В результате останется фигура, площадь которой 4096 − 3600 = 496

На рисунке видно как из квадрата, площадь которого 4096 отделился квадрат, площадь которого 3600. Осталась фигура, площадь которой 496.

Именно поэтому в процессе применения алгоритма первая найденная цифра корня возводится в квадрат, чтобы результат возведения вычесть из сотен подкоренного выражения.

Так, из 40 сотен вычитаются 36 сотен, остаётся 4 сотни плюс сносятся девяносто шесть единиц. Эти четыре сотни и девяносто шесть единиц вместе образуют 496 единиц:

Оставшаяся фигура есть ни что иное как удвоенное произведение первого выражение a плюс квадрат второго выражения b

Сумма площадей 2ab + b² должна вмещаться в число 496. Запишем это в виде следующего равенства:

2ab + b² = 496

Значение a уже известно. Оно равно 60. Тогда равенство примет вид:

2 × 60 × b + b² = 496

120b + b² = 496

Теперь наша задача найти такое значение b, при котором левая часть станет равна 496 или хотя близкой к этому числу. Поскольку b является единицами искомого корня, то значение b является однозначным числом. То есть значение b это число от 1 до 9. Это число можно найти методом подбора. В данном случае очевидно, что числом b является 4

120 × 4 + 4² = 496

480 + 16 = 496

496 = 496

Но для удобства поиска этой цифры, переменную b выносят за скобки. Вернёмся к выражению 120b + b² = 496 и вынесем b за скобки:

 b(120 + b) = 496

Теперь правую часть можно понимать так: к 120 следует прибавить некоторое число b, которое при умножении с тем же сáмым b даст в результате 496.

Именно поэтому при использовании алгоритма, уже найденную цифру умножают на 2. Так, 6 мы умножили на 2 получили 12 и уже к 12 дописывали цифру и умножáли образовавшееся число на ту же дописанную цифру, пытаясь получить остаток 496.

Но это опять же упрощённый вариант. На самом деле на 2 умножается не просто 6, а найденные десятки (в нашем случае число 60), получается число 120. Затем следует нахождение числá вида b(120 + b). То есть к 120 прибавляется число b, которое при перемножении с b даёт остаток 496.

Итак, b = 4. Тогда:

4(120 + 4) = 496

4 × 124 = 496

496 = 496

При подстановке числá 4 вместо b получается остаток 496. Это значит, что единицы корня найдены. Квадрат, площадь которого 4096, имеет сторону равную 60 + 4, то есть 64.

Если из общей площади вычесть 3600, затем 496, полýчим 0. Остаток, равный нулю, говорит о том, что решение завершено:

4096 − 3600 − 496 = 0

Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 54756

Пусть число 54756 это площадь следующего квадрата:

Извлечь корень из числа 54756 означает найти длину стороны данного квадрата:

Пока неизвестно является ли квадратный корень из числа 54756 целым либо дробным числом. Узнáем для начала из скольких цифр будет состоять целый корень.

Число 54756 больше числá 10000, но меньше числá 90000

10000 < 54756 < 90000

Корни из 10000 и 90000 являются трёхзначными числами.

Тогда корень из 54756 тоже будет трёхзначным числом. А трёхзначное число состоит из сотен, десятков и единиц.

Квадратный корень из числа 54756 можно представить в виде суммы a + b + с, где a — сотни корня, b — десятки корня, с — единицы корня. Сумма a + b + с во второй степени будет равна 54756

(a + b + c)² = 54756

Тогда сторона квадрата будет разбита на три составляющие: a, b и c

Выполним в левой части равенства (a + b + c)² = 54756 возведéние в квадрат:

Тогда рисунок иллюстрирующий квадрат, площадью 54756 можно представить так:

Два прямоугольника площадью ab в приведённом ранее равенстве заменены на 2ab, а два прямоугольника площадью (a + b)c заменены на 2ac + 2bc, поскольку (a + b)c = ac + bc. Если повторить выражение ac + bc дважды, то полýчится 2ac + 2bc

2(ac + bc) = 2ac + 2bc

Если мы узнáем значения переменных a, b и c, то узнáем длину стороны данного квадрата. Проще говоря, узнáем сам корень.

Вернёмся к извлечению корня. Мы выяснили, что корнем будет трёхзначное число. Трёхзначное число состоит из сотен, десятков и единиц.

При возведéнии сотен в квадрат, получаются десятки тысяч. Тогда сотни искомого корня следует искать в десятках тысяч подкоренного числа. В подкоренном числе 5 десятков тысяч. Отделим их мéткой:

Извлечём корень из числа 5. Из числа 5 корень не извлекается. Поэтому извлечение следует выполнить приближённо с точностью до целых Ближáйший мéньший квадрат к 5 это 4. Извлечём корень из этого квадрата, получим 2. Тем самым полýчим первую цифру корня:

На самом деле корень извлечён не из числа 5, а из пяти десятков тысяч. Метка, которая поставлена после числá 5, отделяет разряды числá, находящегося под знáком корня. Нужно понимать, что в данном случае 5 это 50000.

Из 50000 как и 5 корень не извлекается, поэтому его тоже следует извлекать приближённо. Для этого следует найти ближáйший мéньший квадрат к числу 50000. Но нужно принимать во внимание, что сотни это числа с двумя нулями на конце. Примеры:

100 — одна сотня

500 — пять сотен

900 — девять сотен

При возведéнии таких чисел в квадрат, получаются числа, у которых четыре нуля на конце:

100² = 10000

500² = 250000

900² = 810000

Мы ищем сотни корня в десятках тысяч числа 54756, то есть в числе 50000. Но нет такого числá с двумя нулями на конце, вторая степень которого равна 50000. Поэтому мы ищем ближáйший мéньший квадрат, но опять же с четырьмя нулями на конце. Таковым является квадрат 40000.

Вернёмся к нашему рисунку. Большой квадрат со стороной a и площадью a² это тот самый квадрат 40000. Укажем вместо a² значение 40000

Теперь извлечём корень из квадрата 40000

Итак, мы нашли сторону квадрата, площадь которого 40000. Подпишем сторону a как 200

Но ранее в ответе мы написали не 200, а 2. Это является сокращённым вариантом. Число 2 в данном случае означает две сотни:

Теперь вытаскиваем остаток. Из пяти десятков тысяч корень извлечён только из четырёх десятков тысяч. Значит в остатке остался один десяток тысяч. Вытащим его:

Опять же надо понимать, что 4 это 40000, а 1 это 10000. С помощью рисунка это можно пояснить так: квадрат, площадь которого 40000, вычитается от общего квадрата, площадь которого 54756. Остаётся фигура, площадь которой 54756 − 40000 = 14756

Теперь нужно найти десятки корня. Рассмотрим на рисунке сумму площадей ab + ab + b² (или 2ab + b²). В эту сумму будет входить один десяток тысяч, который остался в результате нахождения сóтен корня, удвоенное произведение сотен и десятков корня 2ab, а также десятки корня в квадрате b².

Десятки в квадрате составляют сотни. Поэтому десятки корня следует искать в сотнях подкоренного числа. Под корнем сейчас 47 сотен. Снесём их к остатку 1, предварительно отделив их под корнем мéткой:

Один десяток тысяч это сто сотен, плюс снесено 47 сотен. Итого 100 + 47 = 147 сотен. В эти 147 сотен должна входить сумма 2ab + b²

2ab + b² = 14700

Переменная a уже известна, она равна 200. Подставим это значение в данное равенство:

2 × 200 × b + b² = 14700
 400b + b² = 14700

Теперь наша задача найти такое значение b, при котором левая часть станет равна 14700 или хотя близкой к этому числу, но не превосходящей его. Поскольку b является десятками искомого корня, то значение b является двузначным числом с одним нулём на конце. Такое число можно найти методом подбора. Для удобства вынесем в левой части за скобки b

b(400 + b) = 14700

Теперь левую часть можно понимать так: к 400 следует прибавить некоторое число b, которое при умножении с тем же самым b даст в результате 14700 или близкое к 14700 число, не превосходящее его. Подставим например 40

40(400 + 40) = 14700

17600 ≠ 14700

Получается 17600, которое превосходит число 14700. Значит число 40 не годится в качестве десятков корня. Проверим тогда число 30

30(400 + 30) = 14700

12900 ≤ 14700

Получилось число 12900, которое не превосходит 14700. Значит число 30 подходит в качестве десятков корня. Числа, расположенные между 30 до 40 проверять не нужно, поскольку сейчас нас интересуют только двузначные числа с одним нулем на конце:

Вернемся к нашему рисунку. Сторона b это десятки корня. Укажем вместо b найденные десятки 30. А квадрат, площадь которого b² это найденные десятки во второй степени, то есть число 900. Также укажем площади прямоугольников ab. Они равны произведению сотен корня на десятки корня, то есть 200 × 30 = 6000

Ранее в ответе мы написали не 30, а 3. Это является сокращённым вариантом. Число 3 в данном случае означают три десятка.

Теперь вытаскиваем остаток. В 147 сотен вместилось только 129 сотен. Значит в остатке осталось 147 − 129 = 18 сотен плюс сносим число 56 из подкоренного выражения. В результате образýется новый остаток 1856

С помощью рисунка это можно пояснить так: от фигуры, площадь которой 14756, вычитается площадь 12900. Остаётся фигура, площадь которой 14756 − 12900 = 1856

Теперь нужно найти единицы корня. Рассмотрим на рисунке сумму площадей 2(a + b)c + c². В эту сумму и должен входить последний остаток 1856

2(a + b)c + c² = 1856

Переменные a и b уже известны, они равны 200 и 30 соответственно. Подставим эти значения в данное равенство:

2(200 + 30)c + c² = 1856

 2 × 230c + c² = 1856

460c + c² = 1856

Теперь наша задача найти такое значение c, при котором левая часть станет равна 1856 или хотя близкой к этому числу, но не превосходящей его. Поскольку c является единицами искомого корня, то значение с является однозначным числом. То есть значение с это число от 1 до 9. Это число можно найти методом подбора. Для удобства вынесем в левой части за скобки с

с(460 + c) = 1856

Теперь левую часть можно понимать так: к 460 следует прибавить нéкоторое число с, которое при умножении с тем же сáмым с даст в результате 1856 или близкое к 1856 число, не превосходящее его. Подставим, например, число 4

4(460 + 4) = 1856

4 × 464 = 1856

1856 = 1856

Именно поэтому при использовании алгоритма первые найденные цифры умножают на 2. Так, 23 мы умнóжили на 2, получили 46 и уже к 46 дописывали цифру и умножáли образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру, пытаясь получить остаток 1856

Итак, с = 4. При подстановке вместо с числá 4 получается остаток 1856. Это значит, что единицы корня найдены.

Квадрат, площадь которого 54756, имеет сторону равную 200 + 30 + 4, то есть 234.

Если из общей площади 54756 вычесть 40000, 6000, 6000, 900, 920, 920 и 16, то получим 0. Остаток равный нулю говорит о том, что решение завершено:

54756 − 40000 − 6000 − 6000 − 900 − 920 − 920 − 16 = 0

Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 3

Квадратный корень из числа 3 не извлекается. Ранее мы говорили, что квадратные корни из таких чисел можно извлекать только приближённо с определенной точностью.

Пусть 3 это площадь следующего квадрата:

Извлечь корень из числа 3 значит найти длину стороны данного квадрата:

Корень из 3 больше корня из 1, но меньше корня из 4

√1 < √3 < √4

Корни из 1 и 4 являются целыми числами.

√1 < √3 < √4

1 < √3 < 2

Между числами 1 и 2 нет целых чисел. Значит корень из числа 3 будет десятичной дробью. Найдём этот корень с точностью до десятых.

Квадратный корень из числа 3 можно представить в виде суммы a + b, где a — целая часть корня, b — дробная часть. Тогда сторону квадрата можно разбить на две составляющие: a и b

Сумма a + b во второй степени должна приближённо равняться 3.

(a + b)² ≈ 3

Выполним в левой части данного равенства возведéние в квадрат:

a² + 2ab + b² ≈ 3

Тогда рисунок, иллюстрирующий квадрат площадью 3, можно представить так:

Найдём a. Извлечём корень из числа 3 с точностью до целых, получим 1

Если a² это 1, а площадь всего квадрата равна 3, то в остатке останется 2. В этот остаток должна вмещаться площадь оставшейся фигуры:

Найдём b. Для этого рассмотрим сумму площадей 2ab + b². Эта сумма должна приближённо равняться остатку 2, но не превосходить его

2ab + b² ≈ 2

Значение a уже известно, оно равно единице:

2b + b² ≈ 2

Вынесем за скобки b

b(2 + b) ≈ 2

Теперь в левой части к 2 следует прибавить нéкоторое число b, которое при умножении с тем же b будет приближённо равняться 2.

Значение b является дробным числом, а именно десятой частью. Оно равно какому-нибудь числу из промежутка [0,1; 0,9]. Возьмём любое число из этого промежутка и подставим его в равенство. Подставим к примеру 0,8

0,8(2 + 0,8) ≈ 2

2,24 ≈ 2

Получилось 2,24 которое превосходит 2. Значит 0,8 не годится в качестве значения b. Проверим тогда 0,7

0,7(2 + 0,7) ≈ 2

1,89 ≈ 2

Получилось 1,89 которое приближённо равно 2 и не превосходит его. Значит 0,7 является значением b

Значит квадратный корень из 3 с точностью до десятых приближённо равен 1 + 0,7

К сожалению, понять механизм алгоритма извлечения квадратного корня намного сложнее, чем использовать сам алгоритм. Решите несколько примеров на применение алгоритма, и понимание механизма его работы будет даваться вам значительно проще.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Извлечь квадратный корень из числа 169, используя алгоритм извлечения квадратного корня

Решение:

Задание 2. Извлечь квадратный корень из числа 289, используя алгоритм извлечения квадратного корня

Решение:

Задание 3. Извлечь квадратный корень из числа 1089, используя алгоритм извлечения квадратного корня

Решение:

Задание 4. Извлечь квадратный корень из числа 1764, используя алгоритм извлечения квадратного корня

Решение:

Задание 5. Извлечь квадратный корень из числа 4761, используя алгоритм извлечения квадратного корня

Решение:

Задание 6. Извлечь квадратный корень из числа 132496, используя алгоритм извлечения квадратного корня

Решение:

Задание 7. Извлечь квадратный корень из числа 157 с точностью до сотых, используя алгоритм извлечения квадратного корня

Решение:

Задание 8. Извлечь квадратный корень из числа 240,25 используя алгоритм извлечения квадратного корня

Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

формулы вычисления.

Некоторые задачи в математике требуют умения вычислять значение корня квадратного. К таким задачам относится решение уравнений второго порядка. В данной статье приведем эффективный метод вычисления квадратных корней и используем его при работе с формулами корней квадратного уравнения.

Что такое квадратный корень?

В математике этому понятию соответствует символ √. Исторические данные говорят, что он начал использоваться впервые приблизительно в первой половине XVI века в Германии (первый немецкий труд по алгебре Кристофа Рудольфа). Ученые полагают, что указанный символ является трансформированной латинской буквой r (radix означает «корень» на латыни).

Корень из какого-либо числа равен такому значению, квадрат которого соответствует подкоренному выражению. На языке математики это определение будет выглядеть так: √x = y, если y² = x.

Корень из положительного числа (x > 0) является также числом положительным (y > 0), однако если берут корень из отрицательного числа (x < 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Приведем два простых примера:

√9 = 3, поскольку 3² = 9; √(-9) = 3i, поскольку i² = -1.

Итерационная формула Герона для нахождения значений корней квадратных

Приведенные выше примеры являются очень простыми, и вычисление корней в них не представляет никакого труда. Сложности начинают появляться уже при нахождении значений корня для любого значения, которое не может быть представлено в виде квадрата натурального числа, например √10, √11, √12, √13, не говоря уже о том, что на практике необходимо находить корни для нецелых чисел: например √(12,15), √(8,5) и так далее.

Во всех вышеназванных случаях следует применять специальный метод вычисления корня квадратного. В настоящее время таких методов известно несколько: например разложение в ряд Тейлора, деление столбиком и некоторые другие. Из всех известных методов, пожалуй, наиболее простым и эффективным является использование итерационной формулы Герона, которая также известна как вавилонский способ определения квадратных корней (существуют свидетельства, что древние вавилоняне применяли ее в своих практических вычислениях).

Пусть необходимо определить значение √x. Формула нахождения квадратного корня имеет следующий вид:

a_n+1 = 1/2(a_n+x/a_n), где lim_n->∞(a_n) => x.

Расшифруем эту математическую запись. Для вычисления √x следует взять некоторое число a₀ (оно может быть произвольным, однако для быстрого получения результата следует выбирать его таким, чтобы (a₀)² было максимально близко к x. Затем подставить его в указанную формулу вычисления квадратного корня и получить новое число a₁, которое уже будет ближе к искомому значению. После этого необходимо уже a₁ подставить в выражение и получить a₂. Эту процедуру следует повторять до получения необходимой точности.

Пример применения итерационной формулы Герона

Описанный выше алгоритм получения корня квадратного из некоторого заданного числа для многих может звучать достаточно сложно и запутанно, на деле же оказывается все гораздо проще, поскольку эта формула сходится очень быстро (особенно если выбрано удачное число a₀).

Приведем простой пример: необходимо вычислить √11. Выберем a₀ = 3, так как 3² = 9, что ближе к 11, чем 4² = 16. Подставляя в формулу, получим:

a₁ = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;

a₂ = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a₃ = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Дальше нет смысла продолжать вычисления, поскольку мы получили, что a₂ и a₃ начинают отличаться лишь в 5-м знаке после запятой. Таким образом, достаточно было применить всего 2 раза формулу, чтобы вычислить √11 с точностью до 0,0001.

В настоящее время широко используются калькуляторы и компьютеры для вычисления корней, тем не менее отмеченную формулу полезно запомнить, чтобы иметь возможность вручную вычислять их точное значение.

Уравнения второго порядка

Понимание того, что такое корень квадратный, и умение его вычислять используется при решении квадратных уравнений. Этими уравнениями называют равенства с одной неизвестной, общий вид которых приведен на рисунке ниже.

Здесь c, b и a представляют собой некоторые числа, причем a не должно равняться нулю, а значения c и b могут быть совершенно произвольными, в том числе и равными нулю.

Любые значения икса, удовлетворяющие указанному на рисунке равенству, называются его корнями (следует не путать это понятие с квадратным корнем √). Поскольку рассматриваемое уравнение имеет 2-й порядок (x²), то корней для него не может быть больше, чем два числа. Рассмотрим далее в статье, как находить эти корни.

Нахождения корней квадратного уравнения (формула)

Этот способ решения рассматриваемого типа равенств также называется универсальным, или методом через дискриминант. Его можно применять для любых квадратных уравнений. Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения имеет следующий вид:

Из нее видно, что корни зависят от значения каждого из трех коэффициентов уравнения. Более того, вычисление x₁ отличается от расчета x₂ только знаком перед корнем квадратным. Подкоренное выражение, которое равно b² — 4ac, является не чем иным, как дискриминантом рассматриваемого равенства. Дискриминант в формуле корней квадратного уравнения играет важную роль, поскольку он определяет число и тип решений. Так, если он равен нулю, то решение будет всего одно, если он положительный, то уравнение обладает двумя действительными корнями, наконец, отрицательный дискриминант приводит к двум комплексным корням x₁ и x₂.

Теорема Виета или некоторые свойства корней уравнений второго порядка

В конце XVI века один из основоположников современной алгебры француз Франсуа Виет, изучая уравнения второго порядка, смог получить свойства его корней. Математически их можно записать так:

x₁ + x₂ = -b / a и x₁ * x₂ = c / a.

Оба равенства легко может получить каждый, для этого необходимо лишь выполнить соответствующие математические операции с корнями, полученными через формулу с дискриминантом.

Совокупность этих двух выражений можно по праву назвать второй формулой корней квадратного уравнения, которая предоставляет возможность угадывать его решения, не используя при этом дискриминант. Здесь следует оговориться, что хотя оба выражения справедливы всегда, применять их для решения уравнения удобно только в том случае, если оно может быть разложено на множители.

Задача на закрепление полученных знаний

Решим математическую задачу, в которой продемонстрируем все приемы, обсуждаемые в статье. Условия задачи следующие: необходимо найти два числа, для которых произведение равно -13, а сумма составляет 4.

Это условие сразу напоминает о теореме Виета, применяя формулы суммы квадратных корней и их произведения, записываем:

x₁ + x₂ = -b / a = 4;

x₁ * x₂ = c / a = -13.

Если предположить, что a = 1, тогда b = -4 и c = -13. Эти коэффициенты позволяют составить уравнение второго порядка:

x² — 4x — 13 = 0.

Воспользуемся формулой с дискриминантом, получим следующие корни:

x_1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 — 4 * 1 * (-13) = 68.

То есть задача свелась к нахождению числа √68. Заметим, что 68 = 4 * 17, тогда, используя свойство квадратного корня, получим: √68 = 2√17.

Теперь воспользуемся рассмотренной формулой квадратного корня: a₀ = 4, тогда:

a₁ = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;

a₂ = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

В вычислении a₃ нет необходимости, поскольку найденные значения отличаются всего на 0,02. Таким образом, √68 = 8,246. Подставляя его в формулу для x_1,2, получим:

x₁ = (4 + 8,246)/2 = 6,123 и x₂ = (4 — 8,246)/2 = -2,123.

Как видим, сумма найденных чисел действительно равна 4, если же найти их произведение, то оно будет равно -12,999, что удовлетворяет условию задачи с точностью до 0,001.

Как вычислить квадратный корень вручную / Бери и делай

Если число умножить на само себя, то результат этого действия будет называться квадратом этого числа. Например, 3 × 3, или 3², равняется 9, где число 9 является квадратом числа 3. Обратное действие, когда надо узнать, какое число, возведенное в квадрат, даст число 9, называется извлечением квадратного корня. Хоть это кажется сложным и несколько утомительным, зная алгоритмы решения, вы легко справитесь с подобной задачей.

«Бери и Делай» предлагает познакомиться с несколькими способами извлечения квадратного корня, которые могут пригодиться не только в школе, но и в реальной жизни.

Что полезно знать об извлечении квадратного корня

Извлечение арифметического квадратного корня похоже на действие, обратное возведению числа во вторую степень, или в квадрат. Но это не совсем так. К примеру, если неотрицательное число (a) и равное ему по модулю отрицательное число (—a) возвести в квадрат, то в результате получится одно и то же неотрицательное число. При попытке совершить обратное действие мы не сможем восстановить знак числа и определить, возводилось ли в квадрат отрицательное или неотрицательное число, мы будем знать лишь модуль числа. Поэтому из определения квадратного корня для любого действительного числа справедливо равенство:

√a² = |a|

То, что находится под знаком корня, называется подкоренным числом, или выражением. В примере выше справа от знака равенства находится модуль числа a. Далее мы отталкиваемся от того, что извлечь квадратный корень можно только из положительного числа. При этом если a ≥ 0, то (√a)² = a.

Важно: Могут быть ситуации, в которых важна двузначность корня. Тогда перед его знаком ставится знак ± (плюс-минус), например так делается в формуле решения квадратного уравнения.

Квадратный корень нуля и единицы

Существует несколько простых правил, которые легко запомнить:

Как извлечь корень из чисел, квадраты которых известны

Для некоторых чисел квадраты известны, поэтому их можно всегда посмотреть в соответствующей таблице, а какие-то (наиболее используемые в том или ином случае) даже выучить наизусть. Например, зная таблицу умножения, вы без проблем извлечете квадратный корень из любого числа до 100, если этот корень извлекается нацело или без остатка (как на картинке выше).

При этом такой квадрат называется полным, или точным. Например, если число 2 возвести в квадрат, то получится число 4, которое является полным, или точным, квадратом числа 2. Соответственно, большую трудность представляет вычисление квадратного корня из числа, которое не является полным квадратом. Также есть числа, из которых невозможно извлечь корень, например √2, можно лишь обнаружить приближенное значение. При работе с квадратными корнями, которые извлекаются нацело и кажутся достаточно простыми, тоже могут возникнуть сложности.

Пример № 1: Необходимо вычислить √0,09.

Число 0,09 является десятичной дробью. Но мы можем забыть об этом и представить ее в виде целого числа 9. Далее мы вспоминаем, что число 9 получается, если взять число 3 в квадрате. Тогда √9 = 3. Далее вспоминаем правило умножения десятичных дробей: количество знаков после запятой в результате умножения десятичных дробей будет равняться сумме количества знаков после запятой каждой дроби. Тогда при вычислении √0,09 (где после запятой два знака) нам нужно найти такую десятичную дробь, у которой будет только один знак после запятой. Получается, что ответ — это 0,3. Проверим, умножив 0,3 на само себя, и получим в результате 0,09. Значит, √0,09 = 0,3.

Пример № 2: На картинке выше записаны два примера. Как вы думаете, в результате получается одно и то же число или два разных?

В первом примере под одним корнем одно число, под другим — другое. Мы не можем их сложить между собой, а затем вычислить корень (складывать или вычитать можно только одинаковые квадратные корни, при этом работа ведется только с множителями, которые стоят слева от корня, а само подкоренное выражение не изменяется). Необходимо вычислить корень для каждого конкретного числа, а затем сложить результаты. В этом случае мы имеем дело с полными квадратами, поэтому легко вычислить, что √144 = 12, а √25 = 5. Теперь складываем полученные числа и получаем результат первого примера: 12 + 5 = 17.

Во втором примере под одним корнем находится выражение. Чтобы вычислить квадратный корень, сначала надо упростить выражение, выполнив действие сложения под корнем: 144 + 25 = 169. Теперь из числа 169 мы извлекаем квадратный корень и получаем 13.

Таким образом, в результате решения каждого примера получаются разные числа.

Вычисление квадратного корня через разложение на простые множители

Согласно правилу, чтобы умножить один квадратный корень на другой, нужно перемножить их подкоренные выражения, а результат записать под общим знаком корня (при условии что подкоренные выражения или числа больше или равны нулю). Получается, чтобы вычислить квадратный корень из числа, мы можем разложить подкоренное число на простые множители, а затем произведение представить в виде степени с нужным показателем и извлечь корень.

На картинке выше число 3 136 мы разложили на простые множители. Таким образом, корень из этого числа будет равен корню, под которым будет выражение 2² × 2² × 2² × 7². Зная, что по свойству квадратного корня (√a)² = a, мы можем упростить выражение до 2 × 2 × 2 × 7 = 56. Таким образом, квадратный корень из 3 136 равняется 56.

Главный минус этого способа в том, что число не всегда можно разложить до конца и это занимает много времени.

Метод вычета нечетного числа

Этот метод основан на том, что квадрат натурального числа n можно представить в виде суммы первых n нечетных чисел, например:

1² = 1
2² = 1 + 3 = 4
3² = 1 + 3 + 5 = 9
4² = 1 + 3 + 5 + 7 = 16

Тогда при вычислении квадратного корня из числа можно вычитать нечетные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или не окажется равен нулю. После этого нужно посчитать количество операций — это число и будет целой частью числа извлекаемого квадратного корня.

Пример: Необходимо вычислить √16.

Сначала вычтем из числа нечетные числа по порядку:

16 — 1 = 15
15 — 3 = 12
12 — 5 = 7
7 — 7 = 0

Мы получили ноль, что означает, что корень извлекается нацело. Теперь посчитаем количество действий. Выполнено 4 действия, значит, √16 = 4.

Основным минусом данного способа является то, что он удобен только в случае с небольшими числами.

Вычисление квадратного корня уголком или столбиком

Этот способ позволяет извлечь квадратный корень из любого числа с высокой точностью, но может показаться достаточно сложным, если в ответе число состоит из большого количества цифр. Ниже один из вариантов его записи на бумаге.

На картинке выше изображены следующие элементы:

• Знак корня указывает, что производится вычисление квадратного корня.
• Показатель степени, который будет равен 2, если вам нужно найти квадратный корень, и в таком случае его необязательно обозначать цифрой.
• Подкоренное число, или выражение, из которого извлекается квадратный корень.
• Результат — место, где записывается конечный результат всей операции.
• Вспомогательные линии — строки, где выполняются математические действия, приводящие к окончательному решению задачи.
• Остаток — сумма, которая может остаться после завершения вычислений, если корень извлекается не нацело.

Выше в качестве примера показано извлечение квадратного корня из числа 81. Чтобы лучше объяснить весь процесс, возьмем в качестве примера натуральное число 50 419 и попытаемся найти его квадратный корень.

1. Разделите цифры подкоренного числа на пары, двигаясь справа налево. В этом конкретном примере число состоит из 5 цифр, а значит, и самая левая из них, пятерка, остается без пары.

2. Найдите число, которое при умножении на само на себя даст результат, максимально приближенный к первой цифре подкоренного числа (но не больше ее). Запишите это число в строку результата справа. Затем вычтите полученный результат из первой цифры подкоренного числа и запишите ответ.

3. Перенесите следующие 2 цифры подкоренного числа (в данном случае это цифры 0 и 4), записав их рядом с остатком от вычитания. В данном случаем мы получим число 104.

Теперь найденное число, записанное в строке результата справа вверху (2), умножаем на 2, получаем число 4 и записываем его в строке ниже.

4. Теперь справа от полученного числа 4 нужно записать выражение. Для этого найдите такое целое число, чтобы после того, как вы его подставите в правое выражение 4_ × _, результат был равным или максимально приближенным к числу остатка (104), но не превышал его.

В данном случае лучше всего подойдет двойка, потому что тогда мы получим 42 × 2 = 84, то есть число, которое меньше 104. Если взять тройку, то 43 × 3 = 129, а это число уже больше, чем 104. Теперь нужно вычесть полученный результат (84) из 104 и записать остаток под новой горизонтальной чертой.

5. Снесите оставшиеся цифры подкоренного числа. Запишите найденное вами на прошлом шаге число (2) в строку результата, в результате чего теперь там будет число 22.

Как и раньше, число из строки результата умножаете на 2, получаете в данном случае 44 и записываете во вспомогательной строке.

6. Снова найдите такое целое число, чтобы после добавления его в выражение 44_ × _ у вас в результате получилось число, равное или максимально приближенное к числу 2 019 (но не большее). В нашем примере лучше всего подойдет четверка, так как 444 × 4 = 1 776. Число 1 776 меньше числа 2 019 (если бы мы взяли 5 и подставили ее в выражение, то получили бы в результате число 2 225, которое больше, чем 2 019). Запишите подобранное вами число (4) в строку результата.

Теперь полученный результат (1 776) необходимо вычесть из числа 2 019 и записать остаток (243) под новой горизонтальной чертой. Наличие остатка говорит о то, что мы еще не вычислили точный квадратный корень. Как продолжить вычисления, если в подкоренном числе закончились цифры для переноса? Это означает, что квадратным корнем является не целое число, а десятичная дробь. Для продолжения расчетов к остатку переносим два нуля и повторяем действия так, как делали выше.

Умножаем 224 на 2, результат записываем на вспомогательной линии. Подбираем число к выражению 448_×_, чтобы результат был равным или максимально приближенным к числу 24 300. В этом нам поможет пятерка, благодаря которой получаем число 22 425. Пятерку записываем в поле результата после запятой. Снова получаем остаток, снова переносим два нуля и продолжаем расчет.

Выше не картинке представлены дальнейшие действия, но нет окончательного ответа. Таким образом можно продолжать вычислять точный корень, пока в остатке не появится ноль. Но нужно понимать, что не всегда корень можно извлечь.

На первый взгляд кажется, что данный метод сложный и долгий, но многое зависит от конкретного числа и, соответственно, его корня. Например, попробуйте указанным выше способом вычислить корень из числа 2 116. На это уйдет меньше минуты и займет всего пару действий.

Внимание: в октябре 2021 года мы исправили фактические неточности в этой статье.

Root Calculator — вычислить любой корень

Используйте этот калькулятор, чтобы легко вычислить энный корень заданного числа.

    Быстрая навигация:

1. Что такое корень числа?
2. Функции квадратного и кубического корня
3. Поддерживает ли калькулятор дроби?

n-й корень числа отвечает на вопрос «какое число я могу умножить само на себя n раза, чтобы получить это число?».Это обратная операция возведения в степень, где показатель степени равен n, поэтому, если r ⁿ = x, то мы говорим, что «r является корнем n-й степени из x». Математическая операция нахождения корня числа имеет специальное обозначение: подкоренной символ √.

Если n четно, то всегда есть два корня: положительный и отрицательный, с одинаковым значением и противоположными знаками. Положительное решение называется главным корнем. Если n нечетно, то существует только один действительный корень, и он имеет тот же знак, что и x. Это его главный корень. Некоторые корни, напр. кубический корень, также имеют решения в комплексных числах и сопряженных числах, но это всегда главный корень, который выдает наш калькулятор корня.

Наиболее популярными функциями корня являются квадратный корень (n = 2) и кубический корень (n = 3), причем первая из них имеет множество приложений в математике, геометрии, физике, теории вероятностей и статистике. Кубические корни находят применение в угловых вычислениях.

Вот визуализация функций извлечения квадратного и кубического корня для небольшого набора целых чисел:

Графики были сгенерированы с помощью этого калькулятора корня n.Он поддерживает любой корень, который может вас заинтересовать, в той степени, в которой это позволяет современное программное обеспечение.

Да, просто введите дробь в виде десятичного числа (используйте точку в качестве десятичного разделителя), и вы получите соответствующий корень. Например, чтобы вычислить квадратный корень из 1/2, просто введите 0,5 в числовое поле и 2 в поле корня, и вы получите 0,7071 в качестве вывода. Если у вас возникли проблемы с преобразованием дроби в десятичное число, вам пригодится наш преобразователь дроби в десятичное число.

Калькулятор четвертого корня — как вычислить четвертый корень числа

«Калькулятор четвертого корня» – это онлайн-инструмент, который вычисляет четвертое значение корня числа.

Что такое калькулятор корня четвертой степени?

Cuemath поможет вам вычислить корень четвертой степени из числа за несколько секунд.

Примечание. Введите число до 4 цифр.

Что такое четвертый корень числа?

 Четвертый корень числа – это число, которое при четырехкратном умножении на само себя дает произведение исходного числа.Давайте лучше поймем это на примере.

Найдем корень четвертой степени из 16.

Мы знаем, что 2 ⁴  = ( 2 × 2 × 2 × 2) = 16

Здесь 2 называется четвертым корнем из 16. 16 – это число. Итак, корень четвертой степени из 16 равен 2,

Как использовать калькулятор четвертого корня?

Выполните следующие шаги, которые помогут вам использовать калькулятор.

• Шаг 1 : Введите число в поле ввода.
• Шаг 2 : Нажмите « Вычислить », чтобы найти значение четвертого корня числа.
• Шаг 3 : Нажмите « Сброс », чтобы очистить поле и ввести новый номер.

Как найти корень четвертой степени числа?

Четвертый корень числа ‘ n’ может быть записан как ‘ √n’ . Это означает, что существует число «а», которое при повторном умножении на «а» дает «n»: 

а × а × а × а = п

Это также может быть записано как:
a4   = n или a = ⁴ √n 

Таким образом, a равно корню четвертой степени из n.

Теперь, если n = 89, то a = √89 — это корень четвертой степени из 89. В радикальной форме корень четвертой степени из 89 может быть представлен как ⁴ √89.

Четвертый корень из 89 = 3,07  в десятичной форме до 2 знаков после запятой.

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Забронируйте бесплатный пробный урок

Найдите корень четвертой степени из 4096.

Мы знаем, что корень четвертой степени числа (n), a = \(\sqrt[4]{number,n}\)

\(a = \sqrt[4]{n}\\ \,\,\,= \sqrt[4]{4096} \\ \,\,\,= \sqrt{8 \times 8\times 8\ умножить на 8}\\\,\,\,= 8\)

Следовательно, 8 — это корень четвертой степени из 4096.

Теперь попробуйте вычислить корень четвертой степени из следующих чисел.

Графический калькулятор Texas Instruments TI-84 Plus

Пример :
Чтобы найти квадратный корень из 2, нажмите:
[2-й] [ √ ]   2   [ВВОД]
Это даст вам ответ: 1.414213562, если все сделано правильно.

(Примечание: этот же метод также работает с калькуляторами TI-83 и TI-81)

График :
Чтобы построить график функции квадратного корня y = √х
Нажмите [Y=]   [2ND]   [ √ &nbsp ]   [X,T,O,n]   [GRAPH]

Используйте клавишу [Trace] и клавиши со стрелками для отслеживания и отображения значений на графике.

(Чтобы посмотреть, как выглядит график на этом калькуляторе, нажмите кнопку «Показать график» под изображением калькулятора на этой странице.)

Плюсы:
Его можно использовать на многих вступительных экзаменах в колледж (проверьте критерии экзамена).

Популярный калькулятор. (Если вам нужна помощь, то вероятность найти того, кто умеет ею пользоваться, выше).

На дисплее отображаются семь строк ввода/вывода. Длинные уравнения можно просматривать и проверять. (Это приятное преимущество графических калькуляторов по сравнению с научными калькуляторами, которые могут отображать только одну строку.) Еще одним преимуществом большого дисплея является то, что вы можете сравнить свой текущий ответ с прошлыми ответами, которые все еще находятся на экране. Это часто может помочь вам обнаружить ошибку ввода, которая в противном случае могла бы остаться незамеченной.

Минусы:
Это больше, чем научный калькулятор.
Это стоит примерно на 85 долларов США больше, чем научный калькулятор.

Цена:
Лучшая цена на этот калькулятор по состоянию на 02.09.2014 составляет около 94 долларов США.

Графический калькулятор Casio (fx-9750GII)

Пример :
Чтобы найти квадратный корень из 2, нажмите:
[СДВИГ] [ √ &nbsp ]   2   [EXE]
Это даст вам ответ: 1. 414213562, если введено правильно.

График :
Чтобы построить график функции квадратного корня y = √х
Нажмите [MENU], выберите График, [EXE]
[СДВИГ] [ √ &nbsp ]   [X,O,T]   [EXE]   [F6]
Используйте клавишу [F6] для переключения между экраном графика и экраном уравнения.

Используйте клавишу [F1] и клавиши со стрелками для отслеживания и отображения значений на графике.

(Чтобы увидеть этот график, нажмите кнопку «Показать график» под изображением калькулятора на этой странице.)

Плюсы:
Стоимость составляет половину цены калькулятора ТИ-84.
Он немного меньше калькулятора ТИ-84.
Его можно использовать на многих вступительных экзаменах в колледж (проверьте критерии экзамена).
На дисплее отображаются семь строк ввода/вывода.

Минусы:
Он не так популярен, как калькулятор ТИ-84. (Может быть сложнее найти кого-то, кто поможет вам, если у вас есть вопрос о том, как пользоваться калькулятором. )

Цена:
Лучшая цена на 02.09.2014 составляет около 42,74 долларов США.

Калькулятор квадратного корня

Дополнительные калькуляторы

Калькулятор увеличения или уменьшения процентов помогает найти ответы на ваши вопросы о вычислении процентов.Чтобы рассчитать процент от числа, используйте наш калькулятор процентов от числа. Например, найдите 5% процентов от 70. Калькулятор процентов даст вам ответ, это 3,5.

процентов увеличить между двумя числами? Проблема решена с помощью расчета процентного увеличения. Найдите процент увеличения от 2 до 10. Ответ: 400%.

Найдите, сколько процентов составляет процентов от второго числа ? Пример: узнайте, сколько процентов составляет 7 из 300. Рассчитайте калькулятор процентов от двух чисел, ответ 2.33%.

Новинка: Рассчитайте повышение или понижение заработной платы с помощью нашего калькулятора дохода. Калькулятор процента повышения заработной платы.

процентов от общего числа . Например, итог = 1100, и вам нужно найти процент, который равен 100. Используя наш процент от общего калькулятора, ответ будет равен 9,09%.

GFC и LCM — математический коэффициент и множитель . Калькулятор наибольшего общего коэффициента GCF можно использовать для расчета GFC и калькулятор наименьшего общего множителя LCM, чтобы найти LCM.

Калькулятор извлечения квадратного корня . Вместо того, чтобы запоминать квадратные корни, используйте калькулятор квадратного корня из числа и делайте это на лету. Например, чему равен квадратный корень из 9? Мы все знаем, что это 3. А как насчет квадратного корня из 500? Узнай себя.

Калькулятор процентной ошибки . Быстро рассчитать процентную ошибку, используйте калькулятор процентной ошибки.

Счетчики часов и минут . Найдите минуты или часы с помощью наших калькуляторов.Сначала вычислите часы в минутах, очень полезно узнать, сколько часов в 300 минутах. Калькулятор расчета минут в часах полезен, чтобы узнать, сколько минут в 5 часах? Ответ: это 300 из первой математической задачи.

простая математика Математический калькулятор сложения, математический калькулятор вычитания, математический калькулятор умножения и математический калькулятор деления.

бесплатный калькулятор квадратных корней | Math Goodies

Работа с квадратными корнями — захватывающая тема для студентов-математиков, но они могут оказаться сложными.Начинающие математики часто полагаются на предположения, например, ошибочно принимают квадрат 3 за 6 только потому, что 6 кажется 3, считая дважды. Но возведение в квадрат подразумевает умножение, а не сложение. Когда мы возводим 3 в квадрат (или умножаем 3 само на себя), мы получаем 9 — квадратный корень из 9 равен 3.   

Квадратные корни не должны быть сложной темой. На самом деле легко запомнить таблицу идеальных квадратов и произвести впечатление на учителя. Но работа с несовершенными квадратами — или теми числами, квадратные корни которых содержат дроби или десятичные дроби — не всегда может быть такой простой.Вот тут-то и пригодится наш бесплатный онлайн-калькулятор квадратного корня. 

Как пользоваться нашим бесплатным онлайн-калькулятором квадратного корня

Как и некоторые другие наши калькуляторы, этот бесплатный онлайн-калькулятор квадратного корня чрезвычайно прост в использовании. В калькуляторе всего четыре части:

• Числовое поле
• Кнопка расчета
• Кнопка очистки
• Поле квадратного корня

Чтобы найти квадратный корень с помощью нашего бесплатного онлайн-калькулятора квадратного корня:  

1. Нажмите ОЧИСТИТЬ, чтобы обновить калькулятор.
2. Введите значение, квадратный корень которого вы хотите найти, в числовое поле.
3. Щелкните ВЫЧИСЛИТЬ.
4. Ваш ответ появится в поле квадратного корня.
5. Нажмите ОЧИСТИТЬ, чтобы начать заново и найти другое значение.

Прочие калькуляторы

Что такое квадратный корень?

Квадратный корень относится к любому числу, которое дает исходное число как произведение при умножении на себя. Квадратные корни, выраженные символом «√», принадлежат к семейству показателей степени.Квадраты и корни являются специальными показателями. Любой квадрат x — это просто x, возведенный в степень ½, или x1/2.

Пример

Например, когда вас спрашивают о квадратном корне из 16, вы ищете число, которое даст вам произведение 16 при умножении само на себя. Это число равно 4, потому что 4, умноженное на 4 — или возведенное в степень 2 (математически выражаемое как 42), — равно 16. 161/2 равно 4.

Работа с идеальными квадратами

Совершенные квадраты — это положительные числа, квадратные корни которых — целые числа. Ниже приведены наиболее распространенные способы нахождения квадратных корней из этих идеальных квадратов.

Повторное вычитание

Вычтите последовательные нечетные числа (1, 3, 5, 7 и т. д.), начиная с 1, из числа, квадратный корень которого вы пытаетесь найти, пока не получите 0. 

Например: 

1. 9 — 1 = 8
2. 8 — 3 = 5
3. 5 — 5 = 0

Вы выполнили 3 вычитания до 0. Квадратный корень из 9 равен 3.

Простая факторизация

Этот метод состоит из четырех этапов.Давайте пройдемся по каждому из них, чтобы найти квадратный корень из 144. 

1. Разложите число 144 на простые множители.
2. Соедините одинаковые факторы в пары.
   • (2×2) x (2×2) x (3×3)  
3. Умножьте один коэффициент из каждой пары.
4. Квадратный корень из 144 равен 12.

Несовершенные квадраты: оценка и длинное деление

Повторное вычитание и разложение на простые множители очень хорошо работают для идеальных квадратов, а иногда и для несовершенных квадратов. Для несовершенных квадратов вы также можете использовать оценку и деление в длинную сторону.

Оценка — длительный процесс. Чтобы найти квадратный корень с помощью оценки, вам нужно подтвердить его фактическими вычислениями. В длинном делении вы делите большие числа на более мелкие шаги, чтобы упростить процесс.

Но если вы застряли, у вас всегда есть наш бесплатный онлайн Калькулятор квадратного корня, чтобы помочь вам!

Добавление квадратных корней с калькулятором переменных.Объявление

Калькулятор корня квадратного уравнения

Рабочий пример, иллюстрирующий работу квадратичного калькулятора:

Этот калькулятор корня квадратного уравнения позволяет найти корни или нули квадратного уравнения. 2+bx+c=0, где a\neq 0. Чтобы решить уравнение с помощью онлайн-калькулятора, просто введите математическую задачу в текстовую область. Нажмите кнопку расчета, чтобы получить корни. Квадратное уравнение имеет два корня или нуля, а именно; Корень1 и Корень2.

Калькулятор корня уравнения, показывающий шаги

Изучение математики на примерах — лучший подход. С помощью нашего онлайн-калькулятора вы можете шаг за шагом научиться находить корни квадратного уравнения. Сначала найдите корни или решения по-своему, а затем используйте калькулятор корней, чтобы подтвердить свой ответ.2 — 4(1)(3)}}{ 2(1) }

х = \dfrac{ 6 \pm \sqrt{36 — 12}}{ 2 }

х = \dfrac{ 6 \pm \sqrt{24}}{ 2 }

 x = \frac{ 6 \pm 2 \sqrt{6}}{ 2 }

x = = 3+\sqrt{6} Или x = 3- \sqrt{6}

Нужно изучать алгебру на примерах?

Найдите больше калькулятора квадратичных формул Решенные примеры здесь:

Как работает калькулятор квадратного корня

Онлайн-калькулятор корней прост в использовании. Кроме того, калькулятор можно использовать для поиска корней различных проблем.Независимо от того, являются ли корни действительными или сложными, калькулятор может показать пошаговое решение.

Чтобы использовать этот калькулятор, вставьте свое математическое выражение в текстовую область. Обратите внимание, что вы должны использовать только разрешенные обозначения и символы, чтобы получить правильное решение. Когда у вас есть правильное выражение или уравнение, нажмите кнопку расчета, чтобы начать. Калькулятор покажет вам все шаги вместе с обоснованием или объяснением каждого из шагов.

Допустимые математические символы и их использование Если вы решите написать свои математические выражения, вот список допустимых математических символов и операторов.Используется для экспоненты или для возведения в степень

Перейти к примерам решаемой алгебры с шагами

Подробнее о квадратичном