В степени квадрат: Степень числа. Квадрат и куб числа

Актуализация знаний.

1) Организационный момент.

— Здравствуйте! …

(Слайд 1) Я рада вас видеть! (Создает позитивный настрой в начале урока).

3. Фронтальная работа.

(Слайд 3)

На экране — спящая царевна из сказки. Все вокруг пытаются ее разбудить, но не получается. Но мы с вами знаем секрет злой волшебницы, которая ее заколдовала:

Если ответить на все вопросы колдуньи правильно, то прекрасная царевна проснется. Итак, смотрим.

(Слайд 5)

— Как вы думаете, какой вопрос хотела задать злая колдунья, глядя на эти две таблички?

— Заполните!

Заполнить пустую клетку, используя определенное правило.

27. Если 3 умножить на 3, а результат еще умножить на 3, получится 27.

Нет, много вариантов, например разность 6, тогда число 9.

(Слайд 6)

— А что теперь хотела спросить злая волшебница, рассматривая эти три таблички?

Заполнить пустые клеточки, используя закономерность

Ответ: 8; 4; 4.

Потому, что 8 умножить на 8 — результат 64.

4 * 4 =16

1) х * х=81

2) х * х * х=27

3) х * х * х=1

— Угадайте корень уравнения.

(Слайд 8)

— Посмотрим, проснулась ли царевна?

— Наверное, вопросы еще не все заданы.

1) 9

2) 3

3) 1

Видят, что царевна спит.

(Слайд 9)

Решите:

1) 4+29

2) 2 * 36

3) 148-23

4) 105:3

5) = 8

— Решите устно те примеры, где нет ответа.

На экране вы увидели пять математических действий. Какие действия вам знакомы? Под каким номером что-то новое?….Если это новое математическое действие, то что оно означает на ваш взгляд?. ….Предположите.

1) 33

2) 72

3) 125

4) 35

5) Незнакомое действие.

А нам знакомы действия: сложение, умножение, вычитание и деление…

Это 2 * 2 * 2

Если все множители в произведении одинаковы, то это новое математическое действие. Как называется это действие? Может кто-то догадался?

— Открываем тетради и записываем тему урока “Возведение в степень. Квадрат и куб числа”.

(слайд 10)

— А теперь давайте попытаемся сформулировать цели нашего урока…

— А чем, на ваш взгляд, мы будем сегодня заниматься?

Записывают тему урока.

Научиться возводить в степень.

Изучить и понять правило возведения в степень.

Использовать полученные знания в новой жизненной ситуации.

Мы будем использовать новое математическое действие при решении задач…

(Слайд 11)

Произведение 2 * 2 * 2 * 2 = (Говорят “Два в четвертой степени”)

Сколько получится?

Повторяют: “Два в четвертой степени”. Записывают.

Получится 16.

Произведение 4 * 4

называют квадратом числа четыре и обозначают

(читают “четыре в квадрате”)

Сколько получится?

(Слайд 13)

Произведение n * n

(Слайд 14)

Произведение 2 * 2 * 2=

Читают….

(Слайд 15)

Читают “четыре в квадрате”

Получится 16.

Проговаривают:

“Произведение n * n”

— Два умножить на 2 и еще умножить на 2. В результате получится 8. Или два в третьей степени будет 8. Или произведение трех двоек записывается короче…

Так обозначают “степень”- новое математическое действие.

(Слайд 16)

, гдеa — основание степени

(Слайд 17)

,

n – показатель степени

Пишут: “”

,  где a — основание степени

,

n – показатель степени

Расскажите правило. Придумайте свои примеры на эти правила.

На странице 99 есть еще одно правило. Что называется кубом числа?

— Расскажите правило.

Придумайте свои примеры на эти правила.

n умножить на n называется квадратом числа n.

Пишут “n * n = ”

Например, 6 *  6 = =36

“n * n * n называют n в кубе”

Пишут “n * n * n = ”

Например, 5 * 5 * 5 = =125

Если в числовое выражение входят степени чисел, то их значения вычисляют до выполнения остальных действий.

*  — 4 =

Ответ: 221

— Как вы думаете, нам достаточно одного примера, чтобы научиться работать со степенью?

…А что вы предлагаете? ….

Тогда открывайте учебники.

— Работа с учебником: № 653, 654; 657

(Представьте в виде степени произведение. Представьте в виде произведения степень. Найдите значение выражения).

Нет.

Выполнить еще задание со степенью.

Выполняют задание из учебника № 653, 654; 657 на доске с комментариями.

У Саши были три редкие марки. Затем он увеличил свою коллекцию в три раза, а через месяц увеличил свою коллекцию еще в три раза. Сколько у Саши марок через месяц.

— Проверяем… Ставим оценку в лист самооценки.

Записывают выражение в тетрадях и комментируют.

Ответ: 27.

Ставят оценку в лист самооценки.

— Как вы думаете, мы уже на много вопросов ответили?

— А красавица проснулась?

— Сейчас исправимся.

— Работа в группах (по 4 человека).

Нет. Не проснулась. Наверное, еще нужно поработать. Не все активно работали.

Дети рассаживаются.

Один из учащихся является руководителем. Он проверяет правильность и консультирует, если решение неверно.

(Приложение 1. Карточка с заданием)

Руководители групп поднимите руку, если в вашей группе у всех хороший результат.

Ставят оценку в лист самооценки.

(Слайд 22), на котором царевна проснулась.

— Какую тему сегодня мы изучали?

— А что нового узнали?

Возведение в степень. Квадрат и куб числа.

Узнали, как возводить в степень число. Квадрат и куб числа. 2 в ячейку B1.

Дополнительные сведения

Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community или попросить помощи в сообществе Answers community.

Перемещение и копирование ячеек, строк и столбцов

Степень числа и как её найти. Как возвести число в степень #

 Уже во втором классе на уроках математики дети сталкиваются с такими величинами, как площадь и объем. Учителя рассказывают, что площадь измеряется в квадратных сантиметрах или метрах и  так далее, а объем — в кубических. Дети просто запоминают и пишут см² или м² или мм³. Очень немногие в тот момент задумывались, что же означает приписанная в верхнем уголке единицы длины цифра. По-настоящему со степенью мы познакомимся в пятом классе, а если хотите это сделать самостоятельно, можете и раньше :))

Что такое степень числа?

Как вы знаете, с помощью произведения удобно записывать сумму нескольких одинаковых слагаемых. Например 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 * 7

А если это будет не сумма, а произведение одинаковых чисел? Например, множитель 5 взять 7 раз: 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5? Для более краткого обозначения такого произведения математики и придумали степень.

5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 5⁷ 

Выражение  5⁷ называют «степень», читается как пять в седьмой степени или седьмая степень числа 5. При этом 5 — основание степени, а 7 — показатель степени.

Число 7 показывает, сколько одинаковых множителей содержит произведение.

Как возвести число в степень?

Чтобы найти степень, нужно основание перемножить на себя столько раз, сколько написано в показателе.

          25  125  625 3125 15625
5⁷ = 5  *  5  *  5  *  5  *   5    *    5  *  5 = 78125
                       7 раз

Тут иногда возникает путаница оттого, что дети считают не количество цифр основания, а количество знаков умножения.  Считать нужно цифры, а не знаки умножения. 5 * 5 — это уже вторая степень, потому что пятерки две.  5 * 5 * 5 = 5³,    5 * 5 * 5 * 5 = 5⁴ и так далее.

Рассмотрим еще примеры:

3² = 3 * 3 = 9
2³ = 2 * 2 * 2 = 8
а⁴ = а * а * а * а
(5b)² = 5b * 5b

Вторую степень числа называют «квадрат числа». Например, 3² читается как «три в квадрате» или квадрат числа три.

Третью степень числа называют «куб числа». Например 2³ читается как «два в кубе» или куб числа два.

Может ли показатель степени быть равным 1? Да, может. Но если любое число взять 1 раз, то получится то же самое число, то есть а¹ = а. А поскольку не принято рассматривать произведения, состоящие из одного множителя, то единичку в показателе степени обычно не пишут.

Например 8¹ = 8, 456¹ = 456

Возведение числа в степень — это арифметическое действие

Если в выражение входит степень, то сначала выполняют возведение в степень, а потом — остальные действия в приоритетном порядке.

Например: 5 * 2² = 5 * 4 = 20
                   5 + 2² = 5 + 4 = 9

А теперь вы поняли, что такое см²?  Правильно, это   см * см. Именно так мы находим площадь прямоугольника, умножая длину одной стороны в см на длину другой. 
А мм³?   Это мм * мм * мм. Так мы находим объем.

Чтобы закрепить знания о степени числа, посмотрите видео:

Как возвести число в квадрат в Python? · Кодифи

Квадрат числа — это число, умноженное само на себя. Но как это сделать на языке программирования Python? Давайте разберемся.

# Три способа возведения чисел в квадрат в Python

В математике квадрат — это результат умножения числа на себя (Википедия, 2019). Это умножение выполняется только один раз, например: n x n . Это делает возведение в квадрат того же, что и возведение числа в степень 2.

Например, 9 x 9 равно 81, так же как 9 в квадрате (9 ² ) тоже равно 81. Одной из особенностей квадратов является то, что они всегда положительны. Это потому, что отрицательное значение, умноженное на другое отрицательное, всегда дает положительное. Например, -9 в квадрате или (-9) ² также равно 81.

В Python есть несколько способов возведения числа в квадрат:

• Оператор ** (степень) может возводить значение в степень 2. Например, мы кодируем 5 в квадрате как 5 ** 2 .
• Встроенная функция pow() также может умножать значение само на себя. 3 в квадрате записывается так: pow(3, 2) .
• И, конечно, мы также получаем квадрат, когда мы умножаем значение на себя. 4 в квадрате становится 4 * 4 .

Каждый подход дает правильный ответ, и один не лучше другого. Просто выберите тот, который вам нравится больше всего.

Давайте посмотрим, как каждая опция работает в Python.

# Возведение в квадрат числа Python с оператором экспоненты:

Первый способ возведения числа в квадрат — это оператор экспоненты Python ( ** ).Эти две звездочки означают, что Python выполняет возведение в степень (Matthes, 2016). Чтобы возвести значение в квадрат, мы можем возвести его в степень 2.

Итак, мы вводим число в квадрат, затем ** и заканчиваем 2 . Например, чтобы получить квадрат 3, мы делаем:

# Пример: квадратные числа Python с оператором экспоненты

Давайте посмотрим, как возведение в квадрат ** работает на практике:

  # Некоторые случайные значения
значениеА = 3
значениеB = 12
значениеC = 25
значениеD = 120.50
значениеE = -75,39

# Возведение в квадрат каждого значения
квадратA = значениеA ** 2
квадратB = значениеB ** 2
квадрат C = значение C ** 2
квадратD = значениеD** 2
квадратE = значениеE** 2

# Вывести каждое значение в квадрате
печать (значениеA, "квадрат =", квадратA)
печать (значениеB, "в квадрате =", в квадратеB)
печать (значение C, "квадрат =", квадрат C)
печать (значениеD, "в квадрате =", в квадратеD)
печать (значениеE, "квадрат =", квадратE)
  

Эта мини-программа сначала создает пять переменных с именами от valueA до valueE .

Далее мы возводим в квадрат значение каждой переменной.Для этого мы используем имя переменной, оператор экспоненты ** и тип 2 . Мы сохраняем результаты возведения в квадрат в переменных от SquareA до SquareE .

Затем мы вызываем функцию Python print() для отображения как исходного, так и возведенного в квадрат значения. Вот как выглядит этот вывод:

  3 в квадрате = 9
12 в квадрате = 144
25 в квадрате = 625
120,5 в квадрате = 14520,25
-75,39 в квадрате = 5683,6521
  

# Возведение в квадрат числа Python с помощью функции

Другой способ возведения чисел в квадрат — встроенная функция pow() .Эта функция возводит некоторое значение в определенную степень (Lutz, 2013). Его первый аргумент — это число, которое мы хотим поднять; второй аргумент — показатель степени. Когда мы возводим в квадрат pow() , этот второй аргумент всегда равен 2 .

Например, для квадрата 3 набираем:

Мы также можем возвести число в квадрат с помощью функции math.pow() . Эта функция принимает те же аргументы, но каждый раз возвращает значение с плавающей запятой. Итак, math.pow(3, 2) дает 9.0 вместо 9 .

# Пример: квадратные значения с функцией Python

Вот как мы используем функцию pow() на практике:

  # Некоторые случайные значения
значениеА = 3
значениеB = 12
значениеC = 25
значениеD = 120,50
значениеE = -75,39

# Возведение каждого значения в квадрат с помощью pow()
квадратA = pow (значениеA, 2)
SquareB = pow (значениеB, 2)
квадрат C = pow (значение C, 2)
квадратD = pow (значениеD, 2)
квадратE = pow(значениеE, 2)

# Выводим результаты
печать (значениеA, "квадрат =", квадратA)
печать (значениеB, "в квадрате =", в квадратеB)
печать (значение C, "квадрат =", квадрат C)
печать (значениеD, "в квадрате =", в квадратеD)
печать (значениеE, "квадрат =", квадратE)
  

Здесь мы сначала создаем 5 разных переменных (от valueA до valueE ).

Затем мы возводим каждую из этих переменных в квадрат. Для этого мы вызываем pow() с двумя аргументами: переменная и 2 . Это возводит значение переменной в степень 2, что дает нам квадрат. Мы помещаем эти квадраты в переменные от SquareA до SquareE .

Последний бит кода выводит исходное и возведенное в квадрат значение. Для этого мы несколько раз вызываем функцию print() . Вот что отображается:

  3 в квадрате = 9.0
12 в квадрате = 144,0
25 в квадрате = 625,0
120,5 в квадрате = 14520,25
-75,39 в квадрате = 5683,6521
  

# Возведение числа в Python с умножением

Квадрат — это просто число, умноженное само на себя. Итак, еще один вариант — сделать это умножение напрямую с оператором * .

Таким образом, чтобы возвести в квадрат 3 , мы умножаем это значение на себя:

# Пример: квадратные значения Python путем умножения

Итак, чтобы возвести значения в квадрат с помощью оператора * , мы просто умножаем каждое значение само на себя. Вот пример программы, которая делает именно это:

  # Некоторые случайные значения
значениеА = 3
значениеB = 12
значениеC = 25
значениеD = 120,50
значениеE = -75,39

# Возводим в квадрат каждое значение, умножая само на себя
квадратA = значениеA * значениеA
квадратB = значениеB * значениеB
квадратC = значениеC * значениеC
квадратD = значениеD * значениеD
квадратE = значениеE * значениеE

# Показать результаты
печать (значениеA, "квадрат =", квадратA)
печать (значениеB, "в квадрате =", в квадратеB)
печать (значение C, "квадрат =", квадрат C)
печать (значениеD, "в квадрате =", в квадратеD)
печать (значениеE, "квадрат =", квадратE)
  

Сначала мы создаем пять переменных, valueA по valueE .У каждого есть значение, которое мы хотим возвести в квадрат.

Возведение в квадрат — вот что мы делаем дальше. Мы умножаем каждую переменную саму на себя (например, значениеA * значениеA ) и сохраняем результат в новой переменной ( SquareA ).

Затем мы выводим как исходное значение, так и его квадратное значение с помощью нескольких операторов print() . Вот как выглядит этот вывод:

  3 в квадрате = 9
12 в квадрате = 144
25 в квадрате = 625
120,5 в квадрате = 14520,25
-75,39 в квадрате = 5683.6521
  

# Возведение в квадрат всех значений в списке или массиве Python

Все предыдущие примеры возводили в квадрат одно значение за раз. Но иногда у нас есть список или массив, значения которого нужно возвести в квадрат. Давайте рассмотрим два возможных подхода к этому.

# Возведение нескольких значений в квадрат со списком

Одной из опций, возводящих в квадрат последовательность значений, является понимание списка. Они работают эффективно и требуют совсем немного кода.

Вот как списочное понимание может возвести в квадрат каждое значение в списке:

  # Некоторые случайные значения
числа = [
    23, 3, 7, 81, 12,
    490, 312, 1234, 99
]

# Генерация списка с возведением каждого значения в квадрат
в квадрате = [число ** 2 для числа в цифрах]

# Выходные данные
print("Исходные значения:\n", числа)
print("Значения в квадрате:\n", в квадрате)  

В этом примере сначала создается список с именем чисел . Его содержимое представляет собой различные целочисленные значения.

Затем мы создаем новый список со списком. Код в квадратных скобках ( [ и ] ) возводит в квадрат каждое значение числа с оператором экспоненты ( ** ).

Эти значения числа генерируются встроенным выражением цикла for : for number in numbers . Это проходит через наш исходный список чисел и делает каждый элемент доступным как переменная числа , по одному за раз.

После этого понимания списка в списке в квадрате каждое значение возведено в квадрат. Затем мы выводим исходные значения и значения в квадрате с помощью функции Python print() . Вот что отображается:

  Исходные значения:
 [23, 3, 7, 81, 12, 490, 312, 1234, 99]
Значения в квадрате:
 [529, 9, 49, 6561, 144, 240100, 97344, 1522756, 9801]
  

Конечно, возвести значения в квадрат можно и по-другому. Например, простым умножением:

  # Создать список с каждым значением в квадрате
в квадрате = [число * число для числа в цифрах]
  

Не нужно сохранять исходные значения? Затем понимание списка также может перезаписать существующий список значениями в квадрате.Для этого назначьте список результат понимания списка. Например:

  # Возведение в квадрат каждого значения в списке чисел,
# и перезаписать исходный список
числа = [значение ** 2 для значения в числах]
  

# Квадратные значения с циклом Python

Другой вариант, который возводит значения в квадрат, — это цикл Python for . Это требует немного больше кода, чем понимание списка, но обеспечивает большую гибкость. Например, внутри цикла мы можем легко выполнять больше задач, чем просто возводить значения в квадрат.Кроме того, цикл для легче читать, когда код становится сложным.

Вот как цикл на может возводить значения в квадрат:

  # Некоторые случайные значения
числа = [
    23, 3, 7, 81, 12,
    490, 312, 1234, 99
]

# Генерация списка с возведением каждого значения в квадрат
квадрат = []

для числа в цифрах:
    Squared.append (число ** 2)

# Выходные данные
print("Исходные значения:\n", числа)
print("Значения в квадрате:\n", в квадрате)  

Здесь мы сначала делаем список номеров .Этот список имеет несколько целочисленных значений. Затем мы делаем второй список, в квадрате . Он начинается пустым ( [] ), но мы заполним его внутри цикла.

Далее цикл по проходит по всем значениям в списке номеров . Во время каждого цикла цикла переменная число ссылается на один элемент из этого списка.

Внутри цикла мы вызываем метод append() для нашего списка в квадрате . Это добавляет новый элемент в этот список.Добавляемое нами значение — это переменная число , возведенная в степень 2 ( число ** 2 ). Поскольку цикл повторяет этот процесс для каждого значения списка, когда цикл заканчивается, мы получаем все значения в квадрате.

Наконец, мы выводим исходный и квадратный список с помощью функции print() . Вот что отображается:

  Исходные значения:
 [23, 3, 7, 81, 12, 490, 312, 1234, 99]
Значения в квадрате:
 [529, 9, 49, 6561, 144, 240100, 97344, 1522756, 9801]
  

Выше мы сохранили квадраты значений в новом списке.Если вам не нужно сохранять исходный список, вы также можете перезаписать его квадратными значениями. Когда мы делаем это с циклом for , функция Python enumerate() очень помогает получить как значение, так и его индекс. Например:

  # Просмотрите исходный список номеров и
# возвести в квадрат каждое число (заменив исходный список)
для индекса, число в перечислении (числа):
    числа[индекс] = число ** 2
  

# Резюме

Квадрат — это число, умноженное само на себя. В Python есть три способа возведения чисел в квадрат.

Первый — это оператор степени или степени ( ** ), который может возводить значение в степень 2. Таким же образом мы можем вычислить квадрат с помощью встроенной функции pow() . Третий способ — это, конечно же, умножить ( * ) значение на само себя.

Чтобы возвести в квадрат последовательность чисел, мы можем использовать понимание списка или обычный цикл for . Первый компактен и требует небольшого кода; второй легче читать и хорошо справляется со сложными ситуациями.

Каталожные номера

Лутц, М. (2013). Изучение Python (5-е издание). Севастополь, Калифорния: O’Reilly Media.

Маттес, Э. (2016). Ускоренный курс Python: практическое введение в программирование на основе проектов . Сан-Франциско, Калифорния: No Starch Press.

Википедия (2019, 6 сентября). Квадрат (алгебра) . Получено 18 сентября 2019 г. с https://en.wikipedia.org/wiki/Square_(алгебра)

Объяснение урока: Сила матрицы

В этом объяснении мы узнаем, как использовать умножение матриц для определить квадрат и куб квадратной матрицы.

Существует множество матричных операций, очень похожих на известные операции из обычной алгебры, такие как сложение, вычитание и масштабирование. Кроме того, хотя умножение матриц принципиально более сложный, чем его обычный аналог, он все же в некоторой степени отражает некоторые алгебраические свойства оригинала.

Одна операция, занимающая центральное место как в традиционной алгебре, так и в алгебре с использованием матрицы — это возведение в степень, которое обычно называют взятием степень числа или матрицы. В обычная алгебра, можно взять почти любое число 𝑥 и возводим в степень 𝑦, что дает 𝑥. За исключением возведения нуля в отрицательную степень, это не имеет значения. является ли 𝑥 или 𝑦 нулем, отличным от нуля, целым числом, нецелое, рациональное, иррациональное или сложное, так как вывод всегда может быть вычислено.То же самое неверно при работе с матрицами, где матрица 𝐴 не всегда можно возводить в степень. Для того, чтобы лучше всего обрисовать эти потенциальные осложнения, давайте сначала определим простейшую форму возведение матрицы в степень: возведение матрицы в квадрат.

Определение: квадрат матрицы

Если 𝐴 — квадратная матрица, 𝐴 определяется формулой 𝐴=𝐴×𝐴.

Другими словами, так же, как и для возведения чисел в степень (т. е. 𝑎=𝑎×𝑎), квадрат получается умножением Матрица сама по себе.

Как можно заметить, основное требование для возведения матрицы в степень: определено, что 𝐴 должен быть квадратным. Это потому, что на двоих общие матрицы 𝐴 и 𝐵, матрица умножение 𝐴𝐵 корректно определено только при одинаковом количестве столбцов в 𝐴, так как в 𝐵 есть строки. Если 𝐴 имеет порядок 𝑚×𝑛 и 𝐵 имеет порядок 𝑛×𝑝, то 𝐴𝐵 корректно определен и имеет порядок 𝑚×𝑛. Если бы мы только рассмотрели матрицу 𝐴 и попытались завершить умножение матриц 𝐴=𝐴×𝐴, то мы были бы пытаясь умножить матрицу порядка 𝑚×𝑛 на другая матрица порядка 𝑚×𝑛.Это может быть только хорошо определяется, если 𝑚=𝑛, а это означает, что 𝐴 должно быть матрица порядка 𝑛×𝑛 (другими словами, квадратная). То поэтому порядок 𝐴 идентичен исходной матрице 𝐴.

Существуют и другие ограничения на взятие степеней матриц, которые не существуют для действительных чисел. Например, в отличие от обычных чисел, у нас нет способ определения того, что такое 𝐴, и отрицательная сила матрицу вычислить намного сложнее. Кроме того, обычные законы возведение в степень не обязательно распространяется на матрицы так же, как они делают это для чисел, которые мы рассмотрим позже в этом объяснении.

А пока давайте продемонстрируем, как возведение матрицы в квадрат работает на простом, нетривиальном кейс. Определим матрицу 𝐴=1−325.

Чтобы вычислить матрицу 𝐴, мы умножаем матрицу 𝐴 само собой. Другими словами, мы имеем 𝐴=𝐴×𝐴=1−3251−325.

Как и ожидалось, это умножение корректно определено, так как у нас есть Матрица 2×2, умноженная на матрицу 2×2 матрица. Теперь осталось завершить умножение матриц, что мы и можем сделать для каждой записи (𝑖,𝑗) путем умножения элементов в строке 𝑖 левой матрицы элементами столбца 𝑗 правой матрицы и суммируя их.Мы демонстрируем это процесс ниже:

Теперь, когда все записи вычислены, мы можем написать, что 𝐴=−5−181219.

Теперь рассмотрим пример, в котором мы можем применить этот метод возведения в квадрат Матрица для решения проблемы.

Пример 1. Нахождение квадрата матрицы

Для 𝐴=4−54−5, напишите 𝐴 как кратное 𝐴.

Ответ

Перед попыткой записать 𝐴 как кратное 𝐴, нам нужно вычислить саму 𝐴. Заполнение необходимой матрицы умножение дает 𝐴=𝐴×𝐴=4−54−54−54−5=−45−45.

Выходная матрица 𝐴 совпадает с исходной матрицей 𝐴, за исключением того, что каждая запись была умножена на -1. Мы следовательно, найдите, что 𝐴 может быть записано в терминах самого себя с помощью выражение 𝐴=−𝐴.

Увидев простой пример взятия степени матрицы, отметим, что мы часто приходится иметь дело с выражениями, которые потенциально включают несколько матрицы, а также другие матричные операции.К счастью, у нас не должно быть проблемы, связанные с такими вопросами, пока мы применяем те же принципы мы только что узнали.

Пример 2. Вычисление матричных выражений с участием степеней

Рассмотрим матрицы 𝑋=−3−35−6,𝑌=136−6. Что такое 𝑋−𝑌?

Ответ

Мы должны начать с вычисления как 𝑋, так и 𝑌 обычным способом. Мы вычисляем, что 136−6=19−15−3054. 

Теперь, когда у нас есть и 𝑋, и 𝑌, просто вычислить это 𝑋−𝑌=−627−4521−19−15−3054=−2542−15−33.

Вероятно, неудивительно, что мы можем легко взять, например, третью мощность матрицы, используя наше понимание того, как мы находим вторую степень матрицы, как мы это сделали выше.

Давайте посмотрим, как работает третья степень матрицы. По определению, третья степень квадратной матрицы 𝐴 определяется выражением 𝐴=𝐴×𝐴×𝐴.

Обратите внимание, что, используя ассоциативное свойство матричного умножения, наряду с определение 𝐴, мы можем написать правую часть это как 𝐴×𝐴×𝐴=(𝐴×𝐴)×𝐴=𝐴×𝐴.

В качестве альтернативы, мы можем использовать ассоциативность двух последних терминов, чтобы записать это как 𝐴×𝐴×𝐴=𝐴×(𝐴×𝐴)=𝐴×𝐴.

Итак, мы показали, что 𝐴=𝐴𝐴=𝐴𝐴. В других словами, как только мы вычислили 𝐴, мы можем найти 𝐴 путем умножения 𝐴 справа (или слева) от 𝐴.

Увидев, как работает возведение в степень для возведения в квадрат и куба, мы можем себе представить мы можем применить те же принципы к любой степени 𝐴.С Следуя определению, это возможно.

Определение: степень матрицы

Если 𝐴 — квадратная матрица, а 𝑘 — натуральное число, 𝑘-я степень 𝐴 дана от 𝐴=𝐴×𝐴×⋯×𝐴, где имеется 𝑘 копий матрицы 𝐴.

В дополнение к этому определению отметим, что, используя ту же логику, что и выше, можно вычислить 𝐴 (для любого положительного целого числа 𝑘) сначала вычислив 𝐴 и умножив на дополнительный 𝐴 справа или слева.Так, например, 𝐴=𝐴×𝐴=𝐴×𝐴, и так далее.

Теперь рассмотрим пример, в котором нам нужно вычислить третью степень числа матрица.

Пример 3: вычисление высших степеней матриц

Учитывая матрицу 𝐴=40−37, вычислить 𝐴−3𝐴.

Ответ

Мы должны начать с вычисления 𝐴, а затем использовать этот результат для рассчитать 𝐴. Мы находим, что 𝐴=40−37,𝐴=160−3349, что означает, что мы можем вычислить 𝐴 как умножение матриц между 𝐴 и 𝐴: 𝐴=𝐴×𝐴=40−37160−3349=640−279343.

Теперь у нас есть все необходимое для вычисления искомого выражения: 𝐴−3𝐴=640−279343−3160−3349=640−279343−480−99147=160−180196.

До сих пор мы видели только расчеты с участием матрицы 2 × 2, но расширение до более высоких порядков квадратные матрицы очень естественны. Давайте теперь посмотрим на пример того, как мы могли бы найти мощность матрицы 3×3.

Пример 4. Возведение в квадрат матрицы 3 × 3

Рассмотрим 𝐴=112101210.

Найти 𝐴.

Ответ

Матрица 𝐴 имеет порядок 3×3, значит, 𝐴 также будет иметь этот заказ. Таким образом, мы ожидаем найти матрицу вида где элементы * должны быть вычислены. Мы заполним матрицу умножение полностью, полностью иллюстрируя каждый шаг.

Сначала вычисляем запись в первой строке и первом столбце самой правой матрицы: 112101210112101210=6∗∗∗∗∗∗∗∗.

Расчет 1×1+1×1+2×2=6. Теперь вычисляем запись в первая строка и второй столбец самой правой матрицы: 112101210112101210=63∗∗∗∗∗∗∗.

Расчет 1×1+1×0+2×1=3. Далее мы сосредоточимся на записи в первая строка и третий столбец самой правой матрицы: 112101210112101210=633∗∗∗∗∗∗.

Расчет 1×2+1×1+2×0=3. Теперь переходим ко второму ряду самая правая матрица, сбрасываемая в первый столбец: 112101210112101210=6333∗∗∗∗∗.

Расчет 1×1+0×1+1×2=3. Затем мы берем запись во втором строка и второй столбец: 112101210112101210=63332∗∗∗∗,

Расчет 1×1+0×0+1×1=2. Последняя запись во второй строке затем вычислено: 112101210112101210=633322∗∗∗.

Расчет 1×2+0×1+1×0=2. Запись в третьем ряду и первом столбец вычисляется: 112101210112101210=6333223∗∗.

Расчет 2×1+1×1+0×2=3. Тогда предпоследняя запись завершенный: 112101210112101210=63332232∗.

Расчет 2×1+1×0+0×1=2. Затем обрабатывается окончательная запись: 112101210112101210=633322325.

Расчет 2×2+1×1+0×0=5. Теперь, когда все записи самого правого матрица найдена, ответ можно записать в виде 𝐴=633322325.

Учитывая, что получение степени матрицы включает повторяющуюся матрицу умножение, мы могли бы разумно ожидать, что алгебраические правила матрицы умножение в некоторой степени повлияло бы на правила возведения матрицы в степень Аналогичным образом.Несмотря на то, что это до некоторой степени очевидно, опасно обращаться к правилам обычной алгебры при ответе на вопросы, связанные с матрицы в предположении, что они сохранятся. В следующих Например, мы будем рассматривать каждое утверждение отдельно и представим соответствующие свойства матричного умножения в тандеме, объясняющие, почему данные утверждения выполняются или не выполняются в результате.

Пример 5. Проверка свойств степеней матриц

Какое из следующих утверждений верно для всех 𝑛×𝑛 матрицы 𝐴 и 𝐵?

1. 𝐴𝐵 = 𝐴 (𝐴𝐵) 𝐵
2. (𝐴-𝐵) = 𝐴-2𝐴𝐵 + 𝐵
3. (𝐴𝐵) = 𝐴𝐵
4. (𝐴 + 𝐵) = 𝐴 + 2𝐴𝐵 + 𝐵
5. (𝐴+𝐵)(𝐴−𝐵)=𝐴−𝐵

Ответ

1. Умножение матриц ассоциативно, т. е. 𝐴(𝐵𝐶)=(𝐴𝐵)𝐶.Мы могли бы продолжить эту роль, чтобы получить результаты например, (𝐴𝐵)(𝐶𝐷)=𝐴(𝐵𝐶)𝐷=𝐴𝐵𝐶𝐷 и так далее. В данном уравнения, левая часть равна 𝐴𝐵, что по определению можно записать как 𝐴𝐵=𝐴𝐴𝐵𝐵. Учитывая ассоциативность свойство матричного умножения, мы можем написать, что 𝐴𝐵=𝐴(𝐴𝐵)𝐵 и, следовательно, подтвердить, что данное утверждение верно.
2. Обычная алгебра коммутативна относительно умножения. Для двух действительных чисел 𝑎 и 𝑏, это означает, что 𝑎𝑏=𝑏𝑎.Этот результат позволяет нам принять такое выражение, как (𝑎−𝑏)=𝑎−𝑎𝑏−𝑏𝑎+𝑏 и использовать коммутативное свойство собрать два средних члена правой части: (𝑎−𝑏)=𝑎−2𝑎𝑏+𝑏. Однако, умножение матриц, как правило, не является коммутативным, а это означает, что 𝐴𝐵≠𝐵𝐴 за исключением особых обстоятельств (таких как диагональные матрицы или одновременно диагональные матрицы). Следовательно, расширение (𝐴−𝐵)=𝐴−𝐴𝐵−𝐵𝐴+𝐵 не может упростить в предположении, что 𝐴𝐵=𝐵𝐴.Следовательно, данное утверждение ложно.
3. Чтобы завершить умножение матриц (𝐴𝐵), мы можем начать с записи (𝐴𝐵)=(𝐴𝐵)(𝐴𝐵)=𝐴(𝐵𝐴)𝐵, где мы использовали свойство ассоциативности для организации окончательное выражение. Поскольку умножение матриц не является коммутативным, член в квадратных скобках (𝐵𝐴) нельзя переставить как (𝐴𝐵), что означает что мы не можем переписать окончательное выражение как 𝐴𝐴𝐵𝐵, что было бы допустили упрощение 𝐴𝐵. Учитывая, что это не случае утверждение ложно.
4. Имеем, что (𝐴+𝐵)=𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝐴+𝐵. Поскольку в общем случае 𝐴𝐵≠𝐵𝐴, мы не можем получить упрощение, указанное в вопросе.
5. Начнем с завершения расширения (𝐴+𝐵)(𝐴−𝐵)=𝐴+𝐵𝐴−𝐴𝐵−𝐵. Мы знаем, что, вообще говоря, 𝐵𝐴≠𝐴𝐵, а это значит, что мы не можем записать правую часть в виде 𝐴−𝐵 и, следовательно, утверждение в вопросе неверно.

Следовательно, правильный ответ — вариант А.

Несмотря на то, что некоторые общепринятые правила алгебры не выполняются для матриц, все еще существуют некоторые правила, определяющие степени матриц, которые мы можем положиться. В частности, законы показателей степени для чисел могут быть распространяется на матрицы следующим образом.

Свойство: сложение и умножение степеней матрицы

Если 𝐴 — квадратная матрица и 𝑟 и 𝑠 — целые положительные числа, то 𝐴𝐴=𝐴,(𝐴)=𝐴.

В последнем примере мы рассмотрим возведение матрицы в гораздо большую степень и посмотрите, как вышеупомянутые свойства могут быть использованы в сочетании с идентификацией образец того, как матрица ведет себя при возведении в степень.

Пример 6. Нахождение степени матрицы высшего порядка путем исследования шаблона его Полномочий

Заполните пропуск: Если 𝐴=403−4, тогда 𝐴=.

Ответить

Как 𝐴=𝐴×𝐴×⋯×𝐴 (пятьдесят раз), очевидно, нам следует избегать попыток вычислить его напрямую. Вместо этого давайте исследуем эффект от того, что 𝐴 имеет малые степени 𝐴 и см. можем ли мы определить закономерность.

Если мы умножим 𝐴 само на себя, другими словами, если мы найдем 𝐴=𝐴×𝐴, имеем 𝐴=403−4403−4=4004.

Заметим, что, поскольку это диагональная матрица, она может оказаться полезной для матрица, в которой будет находиться. Продолжая далее, если мы вычислим 𝐴=𝐴×𝐴, имеем 𝐴=4004403−4=404⋅3−4.

Интересно, что матрица больше не является диагональной. Чтобы продолжить расследование узор, посчитаем 𝐴=𝐴×𝐴. Это 𝐴=404⋅3−4403−4=4004.

В этот момент можно распознать закономерность. Для четных сил 𝐴 мы предполагаем, что матрица является диагональной и ненулевые записи равны 4, где 𝑛 — мощность матрицы.Для нечетных степеней это не так, так как в левом нижнем углу и в правом нижнем углу есть ненулевой элемент запись становится отрицательной. Однако, поскольку нам нужно найти только 𝐴 где 50 — четная степень, нам нужно только рассмотреть первый случай.

Теперь покажем, как можно найти 𝐴, используя четное число. мощность матрицы, 𝐴. Напомним, что 𝐴=4004.

Заметим, что скаляр 4 можно вынести за пределы матрицы, переписав его в виде: 𝐴=41001.

Это единичная матрица 2×2 𝐼 раз постоянная. Теперь мы знаем, что единичная матрица имеет имущество 𝐼𝑋=𝑋𝐼=𝑋, где 𝑋 — любая матрица 2 × 2. В частности, если 𝑋=𝐼, имеем 𝐼=𝐼×𝐼=𝐼.

Мы можем распространить это на любую степень 𝐼, то есть 𝐼=𝐼. 

Мы можем использовать это свойство для вычисления 𝐴. Давайте также вспомнить свойство (𝐴)=𝐴, что позволяет нам переписать 𝐴 следующим образом: 𝐴=𝐴.

Поскольку 𝐴=4𝐼, это означает 𝐴=4𝐼=4𝐼=4𝐼=21001.

Так как, 4=2.

2 4=2=2.

Есть много связанных тем, которые подкрепляют обоснованность изучения возведения матриц в степень. При работе с квадратной матрицей ясно, что многократное умножение такой матрицы само по себе приведет к обычно приводят к результатам, которые последовательно сложнее вычислить, учитывая большие числа участие, как мы видели в нескольких из приведенных выше примеров.Поэтому выгодно иметь возможность максимально уменьшить сложность этих вычислений. При определенных обстоятельств можно диагонализовать матрицу, что значительно уменьшает сложность вычисления его целых степеней.

Давайте закончим рассмотрением основных вещей, которые мы узнали в этом объяснитель.

Ключевые моменты

• Для квадратной матрицы 𝐴 и положительного целого числа 𝑘 мы определяем мощность матрицы повторяющейся матрицей умножение; Например, 𝐴=𝐴×𝐴×⋯×𝐴, где есть 𝑘 копий матрицы 𝐴 с правой стороны.
• Важно признать, что мощность матрицы зависит только от определяется, если матрица является квадратной матрицей. Кроме того, если 𝐴 имеет порядок 𝑛×𝑛, то это будет случай для 𝐴, 𝐴 и так далее.
• Высшие степени матрицы могут быть рассчитаны относительно меньшие степени матрицы. Другими словами, 𝐴=𝐴×𝐴, 𝐴=𝐴×𝐴, и так далее.
• Если 𝐴 — квадратная матрица и 𝑟 и 𝑠 — целые положительные числа, то 𝐴𝐴=𝐴,(𝐴)=𝐴.

Как возвести число в квадрат в Excel (2 простых метода)

Благодаря программному обеспечению для работы с электронными таблицами, такому как Excel, стало проще, чем когда-либо, одновременно находить квадраты из тысяч чисел, даже если некоторые из них довольно велики.

В Excel есть два способа возведения числа в квадрат:

1. Использование формулы
2. Использование функции

Оба способа быстры и легки, в чем вы скоро убедитесь.

В этом уроке мы покажем вам, как использовать два вышеуказанных способа для нахождения квадрата числа в Excel.

Два быстрых способа возведения числа в квадрат в Excel

Чтобы понять, как быстро возводить числа в квадрат в Excel, мы будем использовать следующий набор данных:

В этом наборе данных мы хотим найти квадрат каждого значения столбца A и отобразить результат в столбце B.

Давайте посмотрим, как это сделать в Excel.

Использование формулы для возведения числа в квадрат

Возведение числа в квадрат означает просто умножение числа само на себя или возведение его в степень 2.

Итак, чтобы возвести в квадрат число в ссылке на ячейку A2, вы можете написать формулу двумя разными способами:

• Использование оператора умножения для умножения на самого себя
• Использование оператора каретки для возведения числа в степень 2

Использование оператора умножения

В Excel вы можете умножать числа с помощью оператора умножения, также известного как символ звездочки («*»). »).2.

Использование функции возведения числа в квадрат

Excel предоставляет полезную функцию для возведения числа в определенную степень.

Функция СТЕПЕНЬ работает как показатель степени в стандартном математическом уравнении и возводит одно число в степень другого.

Синтаксис функции POWER следующий:

 =МОЩНОСТЬ ( номер ,  мощность ) 

Здесь,

• число — это число, которое вы хотите возвести в степень.
• степень — это показатель степени, в которую вы хотите возвести число в степень.

Итак, если вы хотите использовать функцию СТЕПЕНЬ, чтобы найти квадрат числа, скажем, значение в ячейке A2, вам нужно возвести его в степень 2 следующим образом:

 =ПИТАНИЕ(A2,2) 

Таким образом, вот шаги, которые вы можете выполнить, чтобы найти квадрат каждого числа в нашем заданном наборе данных :

1. Выберите ячейку, в которой должен появиться первый результат (ячейка B2).
2. Введите формулу: =МОЩНОСТЬ(A2,2).
3. Нажмите клавишу возврата.
4. Квадрат значения в A2 теперь должен отображаться как результат в ячейке B2.
5. Перетащите маркер заполнения (маленький квадрат в правом нижнем углу ячейки B2), пока не дойдете до последней строки набора данных.
6. Каждая ячейка в столбце B теперь должна содержать квадрат соответствующего значения в столбце A.

Примечание: Функция POWER расположена вместе с функциями Math & Trig на вкладке Formulas (в Function Library). Если вы находитесь в диалоговом окне Вставить функцию , вы можете найти его в раскрывающемся списке Выберите категорию .

В этом уроке мы показали вам три очень простых и быстрых способа возведения числа в квадрат в Excel.

Первые два метода используют формулу, а третий метод использует функцию POWER. Мы надеемся, что вы нашли этот урок простым и понятным.

Другие учебники по Excel, которые вам также могут понравиться:

Как вычислить квадрат в SQL

Проблема:

Вы хотите найти квадрат числа в SQL Server.

Пример:

Вы хотите вычислить квадрат каждого числа в столбце числа из таблицы данных .

Решение 1:

ВЫБРАТЬ
  номер,
  КВАДРАТ(число) КАК квадрат
ИЗ данных;
 

Решение 2:

ВЫБРАТЬ
  номер,
  номер * номер КАК квадрат
ИЗ данных;
 

Решение 3:

ВЫБРАТЬ
  номер,
  МОЩНОСТЬ(число, 2) КАК квадрат
ИЗ данных;
 

Результат:

номер	квадрат
3	9
1	1
0. 5	0,25
0	0
-2	4

Обсуждение:

Одним из способов вычисления квадрата числа в SQL Server является использование функции SQUARE() . Он принимает число в качестве аргумента и возвращает число в квадрате.

Квадрат числа также можно вычислить как число * число , поэтому другой способ — просто использовать это выражение; никаких дополнительных функций не требуется.

Третий способ вычисления квадрата числа заключается в использовании функции POWER() . Эта функция принимает число и степень в качестве аргументов и возвращает усиленное число. Здесь вам нужно вычислить квадрат, поэтому степень равна 2. Итак, у вас есть POWER(number, 2) .

Точно так же вы можете вычислить любую степень числа, например. третья власть.

ВЫБРАТЬ
  POWER(число, 3) КАК третья_степень
ИЗ данных;
 

Результат будет:

номер	третья_степень
3	27
1	1
0. 5	0,125
0	0
-2	-8

Когда мощность не падает так резко с натяжением, а когда меньшее натяжение увеличивает мощность?

Один из первых постов, которые я написал в этом блоге, был о том, как выполнять расчет мощности с неполным натяжением. Там я описал правило обратных квадратов для расчета мощности: если 90 353 х 90 354 – это разница в показателях охвата между экспериментальной и контрольной группами, то размер выборки, необходимый для достижения данной мощности, обратно пропорционален квадрату 90 353. п.2) = в 4 раза больше образца, чем при 100% поглощении; а при 10% поглощении вам потребуется в 100 раз больше образца.

Пересматривая мою статью с Габриэлем Ларой и Клаудией Руис об эксперименте в области финансового образования с охватом всего 0,8% (да, вы, к сожалению, не ошиблись, ранее мы писали в блоге о том, почему и что мы сделали вместо этого), редактор задает очень полезный вопрос. того, как это правило меняется, если существует неоднородность лечебного эффекта. В пересмотренном документе, который сейчас готовится к выпуску в журнале World Bank Economic Review, этот вопрос рассматривается довольно подробно, и я решил обобщить здесь некоторые ключевые идеи.

Неоднородность обработки, прием и статистическая мощность

Пусть s будет фиктивной переменной, обозначающей, получает ли субъект i (принимается ли) данное лечение, и gamma(i) эффект лечения от фактического получения этого лечения. При неоднородности лечения этот эффект будет различаться у разных людей, и мы можем предположить лежащее в основе распределение эффектов лечения с некоторым средним значением мю (гамма) и дисперсией сигма (гамма) в квадрате. Предположим, что никто из контрольной группы не получает лечения.Затем мы показываем в статье, что ожидаемое значение стандартной оценки ITT принимает форму:

Здесь есть два термина, которые описывают, как изменяется средний лечебный эффект при изменении скорости приема. Первый член представляет собой произведение скорости приема в группе лечения и среднего эффекта лечения, зависящего от прохождения лечения. Этот срок уменьшается по мере снижения уровня приема, что затрудняет обнаружение эффекта вашего вмешательства. Если нет гетерогенности лечения, это единственный термин, и тогда применяется правило обратных квадратов.

Второй термин является новой частью и зависит от уровня обращения, степени неоднородности лечения и ключевого термина корреляции между эффектом лечения индивидуума и его вероятностью прохождения лечения . Если те индивидуумы, которые рассчитывают получить больше от лечения, с большей вероятностью примут его (что Хекман и др. называют существенной гетерогенностью), то эта корреляция будет положительной, и чем больше гетерогенность, тем сильнее эффект этого второго. срок.Напротив, во многих случаях люди могут не иметь ни малейшего представления об эффекте лечения (даже после участия в программе), а принятие может вместо этого отражать ряд факторов, таких как расстояние транспортировки, до которых могут добраться сотрудники программы и т. д., которые не сильно коррелируют с эффектами лечения. Тогда эта корреляция может быть нулевой, а мощность будет такой же, как и в случае отсутствия неоднородности.

Какое это имеет значение для мощности? На рис. 1 представлен пример, откалиброванный по среднему результату и размеру выборки в нашем эксперименте по финансовому образованию.При отсутствии неоднородности лечения или охвата, не коррелированного с неоднородностью лечения, ПОЗДН остается одним и тем же независимо от коэффициента охвата, но мощность резко падает по мере увеличения охвата — так что мощность падает с 99,7% при 100-процентном охвате до 64,7 процента при 50-процентном поглощении и только 4,3 процента при 5-процентном поглощении. Если вместо этого люди частично или полностью сортируются на получение лечения в зависимости от их лечебного эффекта, то ПОСЛЕДНИЕ увеличиваются по мере того, как скорость обращения падает (поскольку выборка уступчивых становится теми, у кого все больший и больший лечебный эффект), а сила значительно падает. менее драматично с приемом.Если бы мы были в крайнем случае, когда люди идеально настраивают себя на проведение вмешательства в зависимости от того, каким будет эффект их лечения (корреляция 1), сила упала бы только до 90,4 процента при 50-процентном принятии, огромный выигрыш. Однако обратите внимание на приведенное выше уравнение, что этот эффект неоднородности лечения максимизируется при 50% охвате, и поэтому, когда охват достигает уровня 5%, мощность по-прежнему остается очень низкой, независимо от корреляции.

Рис. 1. При неоднородности лечебного эффекта мощность падает менее резко с увеличением, чем положительно коррелирует увеличение с индивидуальными лечебными эффектами

В каких случаях снижение натяжения может увеличить мощность?

Предположим, что неоднородность лечения очень велика, и программа действительно имеет негативные последствия для одних людей и положительные эффекты для других.Это может иметь место, например, в случае программы профессионального обучения, когда некоторые люди страдают от того, что во время обучения проводят больше времени вне рынка труда, в то время как другие приобретают множество ценных навыков; или, возможно, в кредитной программе, где некоторые берут на себя долги, с которыми они не могут справиться, а другие используют этот кредит для роста. Затем, если поглощение сильно коррелирует с лечением, возможно, что мощность сначала действительно увеличится, когда поглощение упадет со 100%, поскольку те, у кого большие негативные эффекты, больше не принимают лечение и, следовательно, не тянут. ниже среднего.Рисунок 2 иллюстрирует этот случай, показывая распределение эффектов лечения для тех, кто принимает и не принимает лечение, с разной частотой обращения (при условии, что корреляция 0,75 с началом лечения). Вы можете видеть, что при коэффициенте приема 90% 10%, которые не принимают лечение, в значительной степени зависят от тех, у кого есть отрицательные эффекты лечения, и, таким образом, при отсутствии лечения их сила выше, чем при 100% лечении. -вверх. Но по мере того, как скорость приема падает, вы все равно в конечном итоге исключаете многих людей с положительным эффектом лечения, что приводит к падению силы.

Рис. 2. В экстремальном случае переход от 100%-го натяжения к более низкой скорости натяжения может повысить мощность, если натяжение не слишком низкое

Что это означает для моих расчетов силы и моих усилий по поощрению приема?

Мои выводы из этого анализа таковы:

1.        Если у вас нет чрезвычайно разнородной программы, которая полезна только для небольшого подмножества людей и вредит почти всем остальным, вам следует попытаться стимулировать принятие по крайней мере до уровней 75 или 80%.

2.       Если вы находитесь в ситуации, когда люди имеют хорошее представление о том, что представляет собой лечение, и люди могут выбрать прием в зависимости от ожидаемого эффекта лечения, возможно, вы не захотите слишком сильно давить на ускорение приема с 90 % до 100%, так как прирост мощности может быть меньше, чем вы думаете, или даже отрицательным.

3.       Есть некоторые программы, в которых, как мы думаем, люди, которым они могут помочь лучше всего, вряд ли возьмутся за них (например, фирмы с плохим управлением могут не знать, что они плохо управляются), что приведет к отрицательной корреляции и, таким образом, подталкивает для более высокого поглощения в этих случаях будет особенно полезно.

4.       При подготовке расчетов мощности консервативным подходом будет обычное применение правила обратных квадратов, но вы можете не потерять столько мощности, сколько ожидаете, если возможна сортировка по неоднородности лечения.

Вычислить любую степень i (квадратный корень из -1)

Быстрый! Мне нужна помощь с: Выберите элемент справки по математике … Исчисление, Исчисление производных, Исчисление интеграции, Правило частного, Подсчет комбинаций, Поиск всех комплексных чисел, Сложение комплексных чисел, Расчет с комплексными числами, Умножение комплексных чисел, Степени комплексных чисел, Преобразование вычитания, Преобразование площади, Преобразование длины, Преобразование массы, Преобразование мощности, Преобразование скорости, Преобразование температуры , Анализ объемных данных, Поиск среднего анализа данных, Поиск стандартного отклонения Анализ данных, Гистограммы Десятичные числа, Преобразование в дробь Электричество, Стоимость факторинга, Целые коэффициенты, Наибольшие общие коэффициенты, Наименьшие общие дроби, Добавление дробей, Сравнение дробей, Преобразование дробей, Преобразование в десятичные дроби, Разделение дробей, Умножение дробей, Сокращение дробей, ВычитаниеДроби, Что это такоеГеометрия, КоробкиГеометрия, КругиГеометрия, ЦилиндрыГеометрия, ПрямоугольникиГеометрия, Прямоугольные треугольникиГеометрия, СферыГеометрия, КвадратыГрафика, ЛинииГрафика, Любая функцияГрафика, КругиГрафика hing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x,y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, Уравнение из точки и наклонных линий, Уравнение из наклона и y-intLines, Уравнение из двух точек, Кредит, График платежей, Лотерея , Нахождение коэффициентовМатематика, Практика полиномовМатематика, Практика Основыметрической системы, Преобразование чисел, Сложение чисел, Расчет с числами, Расчет с переменными числами, Деление чисел, Умножение чисел, Сравнение чисел в ряду, Числовые числа в ряду, Размещение значений чисел, Произношение чисел, Округление чисел, Вычитание парабол, Вычисление полиномов, Сложение полиномов, Сложение КвадратМногочлены, ДелениеМногочленов, Разложение на множители КвадратовМногочлены, Разложение на множители ТрехчленовМногочлены, Факторизация с помощью GCFМногочлены, УмножениеМногочленов, Возведение в степеньПрактика, Математические задачиПропорции, Что это такоеКвадратные уравнения, Квадратное F ormulaКвадратные уравнения, Решить с помощью разложения на множителиРадикалы, Другие корниРадикалы, Соотношения квадратных корней, Каковы ониВыход на пенсию, Сбережение для продажной цены, ВычислениеНаучная запись, ПреобразованиеНаучная запись, ДелениеНаучная запись, Умножение фигур, ПрямоугольникиУпрощение, Упрощение чего-либо, ЭкспонентыУпрощение, Как терминыУпрощение, ПродуктыВремя, Выражение тригонометрии , Прямоугольные треугольникиWindchill, Фигура

Полное руководство по извлечению квадратного корня из трех в расчетах мощности • Услуги Valence по обучению электрикам

Зак Стоун, П. Э. связался со мной после того, как я (Крис Верстюк пишет прямо сейчас) опубликовал мой недавний пост «Понимание великих дебатов о лидирующей и отстающей силе», потому что я неправильно определил кажущуюся силу. Благодаря его зоркому глазу и знанию предмета, никто из тех, кто купил Справочник по тестированию реле: Тестирование защиты реле генератора, никогда не видел моей ошибки, и я все еще могу выглядеть экспертом 😃

После того, как он позвонил мне, я проверил его сайт и спросил себя: «Где был этот парень, когда я взял P.Е. экзамен? Он любезно предложил написать гостевой пост о квадратном корне из трех, который, вероятно, является наиболее распространенным числом, используемым в тестировании реле, которое мало кто действительно понимает.

Надеюсь, вам понравится этот гостевой пост от Зака.

Крис Верстюк

Вы когда-нибудь задумывались, почему квадратный корень из трех фигурирует во многих расчетах трехфазной мощности?

Откуда этот номер и почему он такой особенный?

Хотя длинный ответ на эти вопросы исходит из тригонометрии, хорошая новость заключается в том, что мы можем использовать векторные диаграммы, чтобы сделать объяснение очень простым для понимания.

Понимание векторных диаграмм является важным навыком для тестирования реле, и работа с примерами в этой статье даст вам более глубокое понимание и понимание векторных величин в векторных диаграммах. Независимо от того, в какой отрасли вы работаете, это очень поможет вашей карьере в области электроэнергетики и тестирования реле.

Поскольку некоторые математические расчеты, приведенные ниже, могут быть вам незнакомы, мы рассмотрим их шаг за шагом с четкими схемами и пояснениями, чтобы вам было легко их понять.

Меня зовут Зак Стоун, физкультурник. Я ведущий инструктор популярной онлайн-программы обучения экзамену NCEES® по электроэнергетике на сайте www.electricalpereview.com, и в этой статье я собираюсь помочь вам понять, почему квадратный корень из трех так часто появляется в трехфазном питании.

Начнем со знакомого соединения звездой силового трансформатора.

1. Соединение звездой

Предположим, что у нас есть три отдельных вольтметра, подключенных поперек каждой линии к нейтрали на каждой фазе вторичных клемм трансформатора, соединенных звездой: 

Если мы используем опорный угол в ноль градусов для напряжения линии A-фазы к нейтрали (VAN), результирующая векторная диаграмма напряжения для системы прямой последовательности (ABC) будет выглядеть следующим образом: 

Рис. 2: Векторная диаграмма напряжения фазы по схеме «звезда»

Взглянув на диаграмму трансформатора, мы можем использовать измерения напряжения между фазой и нейтралью для расчета линейного напряжения на фазе А трансформатора (VAB) путем суммирования векторных величин напряжения последовательно от клеммы фазы А до терминал B-фазы:

Давайте сравним положительное опорное напряжение (+) на клемме фазы A и отрицательное опорное напряжение (-) на клемме фазы B для линейного напряжения фазы A (VAB) с фазой A и фазой B. напряжения линии к нейтрали (ВАН и ВБН):

• Полярность линии A-фазы к напряжению нейтрали (VAN) соответствует той же ориентации , что и полярность линейного напряжения A-фазы (VAB)
• Полярность линии B-фазы к напряжению нейтрали ( VBN) находится в  противоположной   ориентации полярности линейного напряжения фазы A (VAB)

Вот почему напряжение линии B-фазы к нейтрали (VBN) является отрицательным, когда мы суммируем напряжение от Клемма фазы A к клемме фазы B, когда мы вычисляем линейное напряжение фазы A (VAB) по формуле:

ВАБ = ВАН – ВБН.

Помните, что это не обычные числа, это векторные величины с амплитудой и фазовым углом. Чтобы использовать сложение фазоров ниже, будет проще думать об этой формуле как о сложении двух фазоров. За исключением того, что один из них был умножен на минус вот так:

ВАБ = ВАН + (-ВБН).

2. Соединение звездой — умножение вектора на отрицательную единицу

Умножение векторной (или векторной) величины на отрицательное равносильно повороту векторной диаграммы на плюс-минус 180 градусов без изменения величины.

Мы можем использовать эту связь, чтобы найти -VBN из VBN:

Так как линия B-фазы к напряжению нейтрали (VBN) имеет фазовый угол отрицательных 120 градусов, фазовый угол для -VBN будет положительным 60 градусов и равным по величине.

Поскольку мы будем добавлять VAN и -VBN для расчета линейного напряжения фазы A (VAB), давайте покажем только эти два вектора на векторной диаграмме: 

Теперь мы готовы использовать сложение векторов, чтобы найти линейное напряжение фазы A (VAB).

3. Соединение звездой – Дополнение Phasor

Чтобы сложить два вектора (или вектора) вместе, сложите их друг над другом от начала до конца, затем нарисуйте новый вектор, начиная с начала координат и заканчивая головой последнего вектора.

Поскольку у нас есть два разных вектора, мы можем сделать это двумя разными способами и все равно получить одно и то же количество векторов для линейного напряжения фазы A (VAB): 

Мы собираемся произвольно использовать первую диаграмму сложения векторов вверху слева для расчета линейного напряжения фазы A (VAB), но любой из них даст одно и то же окончательное значение.

Мы также собираемся предположить, что система сбалансирована, что означает, что величины напряжения каждой линии относительно нейтрали в каждой фазе равны. Чтобы упростить предстоящую математику, мы также будем произвольно использовать значение в один вольт для этих значений (VAN = VBN = VCN = 1V).

Чтобы рассчитать линейное напряжение фазы A (VAB) с помощью сложения векторов, мы собираемся использовать немного тригонометрии, но я обещаю, что это будет просто, поэтому не пугайтесь, если вам не слишком удобно работать с синусоидой. функции косинуса и тангенса.

Во-первых, мы вычислим действительную (a) и мнимую составляющие (b) -VBN, что является еще одним способом сказать, что мы собираемся вычислить длину двух других сторон прямоугольного треугольника, который составляет -VBN. по горизонтальной оси:

Действительный компонент (a) -VBN равен 0,5, который находится с помощью функции косинуса:

Помните, что когда мы поворачивали VBN, чтобы найти -VBN, величина не менялась.Это означает, что величина -VBN по-прежнему равна одному вольту, поскольку ранее мы произвольно установили величины напряжения линии на нейтраль для каждой фазы равными 1 вольту для упрощения математики (VAN = VBN = VCN = 1 В).

Мнимая составляющая (b) -VBN приблизительно равна 0,866, что определяется с помощью функции синуса:

Мы можем использовать действительную (a) и мнимую составляющую (b) -VBN вместе с величиной VAN = 1 вольт при нуле градусов, чтобы заполнить недостающие значения векторной диаграммы линейного напряжения фазы A (VAB ): 

Обратите внимание, что на рисунке выше мнимая составляющая линейного напряжения фазы А (VAB) равна мнимой составляющей -VBN (0.866).

Чтобы найти действительную составляющую линейного напряжения фазы А (VAB), мы просто добавим величину VAN (1 вольт) к действительной составляющей -VBN (0,5), поскольку они оба находятся под углом ноль градусов. .

Действительная составляющая линейного напряжения фазы A (VAB) равна 1 + 0,5 = 1,5: 

Теперь мы готовы, наконец, рассчитать как амплитуду, так и фазовый угол линейного напряжения фазы А (VAB), из которого берется квадратный корень из трех.

4. Соединение звездой – расчет величины линейного напряжения и фазового угла

Сначала мы рассчитаем величину линейного напряжения фазы A (VAB), используя теорему Пифагора, где C – величина VAB, A – действительная составляющая VAB (1.5), а B – мнимая составляющая VAB. (0,866):

Величина линейного напряжения фазы A (VAB) составляет 1,732 В.

Далее мы рассчитаем фазовый угол линейного напряжения фазы A (VAB) с помощью тангенса:

Фазовый угол (ɸ) линейного напряжения фазы А (VAB) составляет 30 градусов.

Полная векторная диаграмма линейного напряжения фазы A (VAB) выглядит следующим образом: 

Если вы знакомы с расчетами трехфазной мощности, то число 1,732 также должно быть вам знакомо.

Поскольку мы использовали значение 1 вольт для величины линейных напряжений фаз A, B и C к нейтрали (VAN = VBN = VCN = 1 В), линейное напряжение фазы A (VAB) точно в 1,732 раза больше. чем линия А-фазы к напряжению нейтрали (VAN).

1,732 на самом деле является квадратным корнем из трех:

5. Соединение звездой – линейные и фазовые отношения

Линейное напряжение сбалансированной трехфазной системы всегда будет больше, чем линейное напряжение к нейтрали, ровно на квадратный корень из трех из-за сложения фазора.

В нашем случае мы добавили линию фазы A к напряжению нейтрали (VAN) с отрицательной линией фазы B к напряжению нейтрали (-VBN), чтобы найти линейное напряжение фазы A (VAB):

Поскольку мы использовали опорный угол, равный нулю градусов, для напряжения линии фазы A к напряжению нейтрали (VAN), напряжение линии фазы A (VAB) опережает линию фазы A к напряжению нейтрали (VAN) ровно на 30 градусов.

Это же отношение сложения фазора также является причиной того, что линейное напряжение всегда будет опережать линейное напряжение относительно нейтрали на 30 градусов для сбалансированной системы с прямой последовательностью (ABC).

Если бы мы завершили весь этот процесс для двух других оставшихся фаз B и C и начертили результирующую векторную диаграмму, то увидели бы, что это применимо к каждой фазе: 

Вы заметите, что приведенная выше векторная диаграмма представляет собой векторную диаграмму напряжения для сбалансированного и положительной последовательности (ABC) соединения звездой, с которым вы, скорее всего, уже знакомы.

6. Соединение звездой – использование калькулятора

Если у вас есть калькулятор, который может обрабатывать векторы как в полярной (величина и угол), так и в прямоугольной (действительная составляющая и мнимая составляющая), вы можете сделать все вышеперечисленное за один шаг в своем калькуляторе, хотя это действительно помогает знать что калькулятор делает в процессе, чтобы вы понимали, откуда берутся эти значения.

Здесь показано то же соединение трансформатора вторичной обмотки звездой, что и раньше, с линейным напряжением фазы A (VAB), показанным как разница между напряжением линии A-фазы и нейтрали (VAN) и напряжением фазы B-фазы между линией и нейтралью (VBN) :

Рассчитаем линейное напряжение фазы А (VAB) с помощью калькулятора.

Я использую Texas Instruments 36X Pro (TI 36X Pro), который является моим личным фаворитом для электрических расчетов, поскольку он может легко обрабатывать векторы как в полярной, так и в прямоугольной форме.

Мы будем использовать значение 1 В для величины напряжения между фазой A и нейтралью (VAN) и 1 В для величины напряжения между фазой B и нейтралью (VAB), как мы это делали вручную.

Мы также будем использовать 0 градусов для фазового угла между фазой A и напряжением нейтрали (VAN) и отрицательные 120 градусов для напряжения между фазой B и напряжением нейтрали (VAB):

Обратите внимание, что мы получаем то же значение 1.732 для величины линейного напряжения фазы А (VAB) и 30 градусов для фазового угла линейного напряжения фазы А (VAB).

Обратите внимание, что это идентично величине квадратного корня из трех под углом 30 градусов: 

7. Соединение Дельта

Теперь, когда мы понимаем, откуда берется квадратный корень из трех для соединения звездой, как насчет соединения треугольником?

Давайте посмотрим на клеммы вторичной обмотки трансформатора, соединенного треугольником, и покажем фазные токи внутри соединения треугольником: 

При использовании амперметра в каждой фазе и опорного угла, равного нулю градусов, для фазного тока в фазе А соединения треугольником (IBA), результирующая векторная диаграмма фазных токов треугольника будет выглядеть следующим образом: 

Рис. 15: Диаграмма вектора тока фазы «треугольник»

Взглянув на схему трансформатора, мы можем рассчитать линейный ток фазы А, выходящий из вторичной обмотки трансформатора, соединенной треугольником, используя закон Кирхгофа для тока: 

Текущий закон Кирхгофа гласит, что сумма токов, входящих в узел, должна равняться сумме токов, выходящих из того же узла.

Глядя на терминал фазы A выше, обратите внимание, что единственный входящий ток — это ток фазы треугольника A (IBA), в то время как ток, выходящий из узла, представляет собой ток фазы треугольника C (IAC) и ток фазы A. линейный ток (IA).

Мы будем использовать закон тока Кирхгофа, чтобы установить их равными друг другу, а затем перестроить, чтобы найти линейный ток фазы A (IA):

Ток линии A (IA), выходящий из вторичной обмотки трансформатора, соединенного треугольником, равен разнице тока фазы треугольника A (IBA) и тока фазы треугольника C (IAC).

Или, если вместо этого мы хотим думать с точки зрения сложения, ток линии A (IA), выходящий из вторичной обмотки трансформатора, соединенного треугольником, равен сумме тока фазы треугольника A (IBA) и отрицательной единицы, умноженной на C -фазный дельта-фазный ток (IAC).

Выглядит знакомо? Это очень похоже на соотношение, с которым мы работали в предыдущем примере напряжения линии А для соединения звездой.

8. Дельта-соединение — умножение вектора на отрицательную единицу

Как и раньше, сначала найдем -ICA, повернув ICA на плюс-минус 180 градусов: 

Поскольку дельта-фазный ток фазы C (IAC) имеет фазовый угол 120 градусов, фазовый угол для отрицательного IAC будет отрицательным 60 градусов.Помните, что это не влияет на величину.

Поскольку IA = IBA – ICA, давайте покажем только IBA и -ICA на векторной диаграмме: 

Как и раньше, мы готовы использовать сложение векторов, складывая каждый вектор поверх другого и рисуя полученный вектор из начала координат.

9. Соединение треугольником – дополнение Phasor

Так как мы добавляем два вектора, мы выполняем добавление векторов двумя разными способами и по-прежнему получаем одно и то же количество векторов для линейного тока фазы A (IA): 

Мы произвольно выберем диаграмму сложения первого вектора выше слева для расчета линейного тока фазы A (IA).

Как и прежде, мы также будем предполагать, что система сбалансирована, что означает, что величина дельта-фазного тока в каждой фазе одинакова. Чтобы упростить дальнейшую математику, мы также будем произвольно использовать значение в один ампер для этих значений (IBA = ICB = IAC = 1A).

Для расчета IA мы будем использовать те же тригонометрические отношения, что и раньше.

Во-первых, мы вычислим действительную (a) и мнимую составляющие (b) -IAC, что является еще одним способом сказать, что мы собираемся вычислить длину двух других сторон треугольника, который -IAC ​​образует с горизонтальная ось:

Действительный компонент (a) -IAC ​​равен 0. 5, которое находится с помощью косинуса:

Помните, что когда мы поворачивали IAC, чтобы найти -IAC, величина не менялась. Это означает, что величина -IAC ​​по-прежнему равна одному амперу, поскольку мы произвольно установили величины дельта-фазного тока в каждой фазе равными 1 амперу для упрощения математики (IBA = ICB = IAC = 1A).

Мнимая составляющая (b) -IAC ​​приблизительно равна -0,866, что определяется с помощью синуса:

Мы можем использовать действительную (a) и мнимую составляющие (b) -IAC ​​вместе с величиной IBA = 1 ампер при нуле градусов, чтобы заполнить значения для векторной диаграммы линейного тока фазы A (IA) :

Обратите внимание, что мнимая составляющая линейного тока фазы А (IA) равна мнимой составляющей -IAC ​​(0.866).

Чтобы найти действительную составляющую линейного тока фазы А (IA), мы просто добавим величину IBA (1 ампер) к действительной составляющей -IAC ​​(0,5), поскольку они оба находятся под одним и тем же углом нуля. градусов.

Действительная составляющая линейного тока фазы А (IA) равна 1 + 0,5 = 1,5:

Теперь мы готовы, наконец, рассчитать как величину, так и фазовый угол линейного тока фазы А (IA), откуда берется квадратный корень из трех.

10. Соединение треугольником – расчет величины линейного напряжения и фазового угла

Сначала мы рассчитаем величину линейного тока фазы A (IA), используя Теорему Пифагора , где C – величина IA, A – действительная составляющая IA (1.5), а B – мнимая составляющая IA. (-0,866):

Величина линейного тока фазы A (IA) составляет 1,732 А.

Далее мы рассчитаем фазовый угол линейного тока фазы A (IA) с помощью тангенса:

Фазовый угол (ɸ) линейного тока фазы А (IA) составляет минус 30 градусов.

Завершенная векторная диаграмма линейного тока фазы A (IA) выглядит следующим образом: 

Опять же, если вы знакомы с расчетами трехфазной мощности, то число 1,732 также должно быть вам знакомо.

Поскольку мы использовали значение 1 ампер для величины дельта-фазных токов фаз A, B и C (IBA = ICB = IAC = 1A), линейный ток фазы A (IA) точно в 1,732 раза больше, чем дельта-фазный ток фазы А (IBA).

1,732 на самом деле является квадратным корнем из трех:

11. Соединение треугольником – Линейные и фазовые отношения

Линейный ток сбалансированной трехфазной системы всегда будет больше, чем дельта-фазный ток, точно на квадратный корень из трех из-за сложения векторов.

В нашем случае мы добавили дельта-фазный ток фазы A (IBA) с отрицательным дельта-фазным током фазы C (-IAC), чтобы найти линейный ток фазы A (IA): 

Поскольку для дельта-фазного тока фазы A (IBA) мы использовали опорный угол, равный нулю, линейный ток фазы A (IA) отстает от дельта-фазного тока A-фазы (IBA) ровно на 30 градусов.

Это же отношение сложения векторов также является причиной того, что линейный ток системы всегда будет отставать от дельта-фазного тока на 30 градусов для сбалансированной системы с прямой последовательностью (ABC).

Если бы мы завершили весь этот процесс для двух других оставшихся фаз B и C и начертили результирующую векторную диаграмму, то увидели бы, что это применимо к каждой фазе: 

Вы заметите, что приведенная выше векторная диаграмма представляет собой текущую векторную диаграмму для треугольного соединения со сбалансированной прямой последовательностью (ABC), с которым вы, скорее всего, уже знакомы.

12. Соединение треугольником – Использование калькулятора

Как и раньше, давайте воспользуемся TI 36X Pro для расчета линейного тока фазы А (IA), выходящего из соединения треугольником, и сравним его со значением, полученным вручную.

Вот то же соединение вторичного трансформатора по схеме треугольника, где линейный ток фазы A (IA) показан как разница между током фазы треугольника A (IBA) и током фазы треугольником C (IAC):

Мы будем использовать значение 1 А для величины дельта-фазного тока фазы А (IBA) и 1 А для величины дельта-фазного тока фазы С (IAC), как мы это делали вручную.

Мы также будем использовать 0 градусов для фазового угла дельта-фазы (IBA) фазы A и положительные 120 градусов для дельта-фазы тока C (IAC):

Обратите внимание, что мы получаем то же значение 1,732 для величины линейного тока фазы A (IA) и отрицательные 30 градусов для фазового угла линейного тока фазы A (IA).

Обратите внимание, что это идентично величине квадратного корня из трех под углом минус 30 градусов: 

13. Трехфазная полная мощность и квадратный корень из трех

Мы выяснили, откуда берется квадратный корень из трех для соединений по схеме «звезда» и «треугольник», но как насчет квадратного корня из трех в трехфазной формуле кажущейся мощности?

Формула трехфазной полной мощности представляет собой произведение квадратного корня из трех, величины линейного напряжения (VL) и величины линейного тока (IL):

Эти значения представляют собой величин только , поэтому избегайте распространенной ошибки использования векторных величин в этой формуле для расчета как кажущейся мощности, так и угла мощности.

Эта формула чаще всего используется для расчета силы тока при полной нагрузке силового трансформатора путем подстановки трехфазной полной номинальной мощности трансформатора [вольт-ампер] и линейного напряжения первичного соединения для расчета полной первичной нагрузки. ток нагрузки, потребляемый трансформатором, или линейное напряжение вторичного соединения для расчета тока полной вторичной нагрузки, выдаваемого трансформатором:

Чтобы увидеть, откуда в этой формуле берется квадратный корень из трех, давайте начнем с демонстрации того, как он выводится из однофазной полной мощности (S1ø).

Для сбалансированной трехфазной системы величина полной мощности в каждой фазе всегда одинакова. Это означает, что трехфазная полная мощность (S3ø) на самом деле всего лишь в три раза больше полной мощности в любой заданной фазе (S1ø) сбалансированной трехфазной системы:

Однофазная полная мощность (S1ø) в любой заданной фазе сбалансированной трехфазной системы является произведением величины фазного напряжения (VP) и величины фазного тока (IP):

Подставим это обратно в формулу трехфазной полной мощности (S3ø):

Давайте воспользуемся этой версией формулы трехфазной кажущейся мощности (S3ø) и посмотрим, как она применима к соединению звездой или треугольником, чтобы выяснить, откуда берется квадратный корень из трех в исходной формуле.

Сначала начнем с соединения звездой.

14. Соединение звездой, трехфазная полная мощность и квадратный корень из трех

Для соединения звездой величина линейного напряжения фазы нейтрали (VP) меньше величины линейного напряжения системы (VL) на коэффициент квадратный корень из трех, как мы обнаружили в первой половине этой статьи. .

Однако величина фазного тока (IP) соединения звездой равна величине линейного тока (IL) системы.

Когда мы подставляем соотношения напряжения и тока фазы по схеме «звезда» в формулу трехфазной полной мощности (S3ø), она выглядит следующим образом:

Мы можем начать упрощение, отделив коэффициенты (3 и 1/√3) от переменных (VL и IL):

Теперь самое сложное. Мы собираемся умножить на квадратный корень из трех на квадратный корень из трех (√3/√3). Поскольку это то же самое, что и умножение на 1, значение формулы не меняется (любое число, умноженное на 1, остается тем же числом, что и раньше):

Теперь два квадратных корня из трех в нижней части каждой дроби при умножении вместе будут равны трем (√3 X √3 = 3):

Наконец, три в верхней части дроби и три в нижней части дроби будут отменены (3/3 = 1):

Результатом является знакомая нам формула трехфазной кажущейся мощности (S3ø), которая включает квадратный корень из трех.

Квадратный корень из трех в этой формуле получен путем подстановки соотношений напряжения и тока фазы по схеме «звезда» в формулу трехфазной полной мощности (S3ø).

Справедливо ли то же самое для соединения треугольником?

15. Соединение треугольником, трехфазная полная мощность и квадратный корень из трех

Для соединения треугольником величина фазного тока (IP) меньше величины линейного тока системы (IL) на коэффициент квадратный корень из трех, как мы обнаружили в первой половине этой статьи.

Однако величина фазного напряжения (VP) соединения треугольником равна величине линейного напряжения (VL) системы.

Когда мы подставляем отношения дельта-фазы тока и фазного напряжения в формулу трехфазной полной мощности (S3ø), она выглядит следующим образом:

Опять же, мы можем начать упрощение, отделив коэффициенты (3 и 1/√3) от переменных (VL и IL):

Давайте снова умножим на квадратный корень из трех из квадратного корня из трех (√3/√3), так как это то же самое, что умножить на 1, а затем продолжим упрощать выражение, используя те же методы, что и раньше:

В результате снова получается та же знакомая нам трехфазная формула полной мощности, которая включает квадратный корень из трех. Квадратный корень из трех в этой формуле получается из-за подстановки соотношения дельта-фазного напряжения и фазного тока в формулу трехфазной полной мощности (S3ø).

Обратите внимание, что квадратный корень из трех в формуле трехфазной полной мощности (S3ø) существует независимо от того, присутствует ли соединение треугольником или звездой, пока мы используем линейные значения системы. Аккуратный!

16. Кто я и где меня найти

Надеюсь, вам понравилось исследовать, откуда берется квадратный корень из трех в большинстве расчетов трехфазной электроэнергии.

Меня зовут Зак Стоун, ЧП. и я являюсь ведущим инструктором популярной онлайн-программы обучения для экзамена NCEES® по электроэнергетике на сайте www.electricalpereview.com. Я создаю все их учебные материалы и провожу их живые занятия каждый семестр.

Зак Стоун, ЧП
Обзор электрического оборудования PE, INC

Вот моя 10-секундная биография:

• Я инженер с профессиональной лицензией в штате Флорида.
• В 2010 году я получил диплом инженера-электрика, аккредитованный ABET.
• Я сдал экзамены FE и PE с первого раза.
• У меня богатый опыт работы в области промышленной автоматизации, управления двигателями, производства электроэнергии и подстанций среднего напряжения.
• Мне нравится заниматься математикой в ​​области электротехники и учить других.

Если вы инженер-электрик и планируете когда-нибудь в будущем сдавать экзамен PE, или если вы хотите прочитать больше статей о нюансах математики, лежащих в основе электротехники, вы можете найти меня на www.www.electricpereview.com.

Если вы действительно хотите чему-то научиться, полезно посмотреть, как разные люди описывают тему. Я кратко освещаю эту тему в The Relay Testing Handbook: Principles and Practice/Глава 1, раздел D) Трехфазные соединения [страницы 14 и 15]. Вы можете просмотреть, если хотите сравнить два разных объяснения, чтобы копнуть глубже и по-настоящему понять, откуда берется квадратный корень из трех.

РубрикаРазное

Добавить комментарий Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Комментарий *

Имя *

Email *

Сайт