В математике куб: Урок 62. куб — Математика — 4 класс

Презентация «Квадрат и куб числа»

библиотека
материалов

Содержание слайдов

Номер слайда 1

Цель: 3.1.2.1** — понимать квадрат числа как произведение двух одинаковых множителей и куб числа – трех одинаковых множителей; Урок математики 3 класс Тема: Квадрат и куб числа.

Номер слайда 2

Я знаю, каждый в классе гений,  Но без труда талант не впрок Из ваших знаний и умений Мы вместе сочиним урок. 

Номер слайда 3

Сравните 3+3= 3⦁3= 3+3+3= 3⦁ 3⦁3=

Номер слайда 4

Замените сумму произведением 3+3= 3+3+3=

Номер слайда 5

Самопроверка 3+3= 3⦁2=6 3+3+3= 3⦁3⦁3= 27

Номер слайда 6

Проблема! 3⦁3= 3 ⦁ 3 ⦁ 3=

Номер слайда 7

Цель: понимать квадрат числа как произведение двух одинаковых множителей и куб числа – трех одинаковых множителей; Урок математики 3 класс Тема: Квадрат и куб числа.

Номер слайда 8

Новые понятия урока: квадрат числа куб числа

Номер слайда 9

Номер слайда 10

3⦁3=32  32 =9 2 множителя 3⦁3⦁3= 3 множителя 33=27

Номер слайда 11

8 ∙ 8 = 82 = 64 8 ∙ 8 = 82 «восемь в квадрате» 3 ∙ 3 = 9 5 ∙ 5 = 25 7 ∙ 7 = 49 а2 = а · а а 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 а2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

Номер слайда 12

2 ∙ 2 ∙ 2 = 23 = 8 «два в кубе» а 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 а3 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 а3 = а · а · а 2 ∙ 2 ∙ 2 = 23 = 8

Номер слайда 13

81 = 8 21 = 2 161 = 16 а1 = а, а ≠0

Номер слайда 14

Номер слайда 15

Замени произведением и вычисли:

Номер слайда 16

Найдите пропущенные числа и впишите их

Номер слайда 17

Самая яркая звезда зимнего неба 3 – Вега 2 – Венера 5 – Сириус 6 – Альтаир

Конспект урока по математике 5 класс «Квадрат и куб числа»

Тема: Квадрат и куб числа.

Цель урока: Познакомить учащихся  с основными понятиями и правилами выполнения действий в выражении, содержащем степень, научить применять новые знания при выполнении заданий.

Задачи урока:

•      познакомить учащихся с возведением в степень; дать понятие квадрата и куба числа; продолжить работу над текстовыми задачами; закрепить навыки умножения,  деления натуральных чисел и деления с остатком;

•      развивать вычислительные навыки, визуальное, логическое мышление; развивать устную и письменную математическую речь, память, смекалку;

•      воспитывать самостоятельность, трудолюбие, усердие, аккуратность.

Ход урока.

1.  Организационный момент.

2.  Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

(слайд2) Найдите значение выражения: 

1)      3400:100=

2)      128-58=

3)      23*11=

4)      6*10=

5)      105:5=

6)      8*125=

7)      136+54=

8)      47*9 9) = 

Какие арифметические действия вы знаете? 

Последний пример вызывает затруднение в выполнении. Сегодня мы познакомимся еще с одним арифметическим действием — это возведение в степень.

3.  Мотивация урока.

(слайд3)

Давным-давно в Древней Греции, для того чтобы умножать числа, люди использовали счёт на камушках. Они рисовали многоугольники, выкладывали их стороны из камней и подсчитывали их число. В результате этого появились числа называемые квадратными и кубическими. С помощью такого метода можно вычислить площади и объём любой фигуры, а так же решать практические задачи на нахождение объёма воды в любом бассейне. В наше время не используют метод древних греков, так как он трудоёмкий и занимает много времени, для этого используют понятие и способы действий, которые вам необходимо сегодня внимательно изучить, осмыслить и закрепить на уроке. 

4.  Изучение нового материала.

(слайд4)

Мы знаем, что сумму, в которой все слагаемые равны друг другу, можно записать короче — в виде произведения. Например, вместо 3 + 3 + 3 + 3 + 3 пишут 3 • 5. В этом произведении число 5 показывает, сколько слагаемых было в сумме. 

(слайд5)

Произведение, в котором все множители равны друг другу, тоже записывают короче: вместо 2 • 2

• 2 • 2 • 2 • 2 пишут 2⁶. Запись 2⁶ читают: «два в шестой степени». В этой записи число 2 называют основанием степени, число 6, которое показывает, сколько множителей было в произведении, — показателем степени, а выражение 2⁶ называют степенью. 

(слайд6)

Пример 1. Запишем произведения в виде степени и найдем их значения: 

3 • 3 • 3 • 3 = 3⁴ = 81; 

5 . 5 • 5 = 5³= 125; 

2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 2⁶= 64. 

(слайд7)

Вторую степень числа часто называют иначе. Произведение 3 • 3 называют квадратом числа 3 и обозначают 3² . 

Произведение n и n называют квадратом числа n и обозначают n2 (читают: «эн в квадрате»). Итак, n2 = n • n. 

Например, 17² = 17 • 17 = 289. 

Таблица квадратов первых 10 натуральных чисел имеет следующий вид: 

(слайд8)

Третья степень числа также имеет и иное название. Произведение 4 • 4 • 4 называют кубом числа

4 и обозначают 4³. Произведение n • n • n называют кубом числа n и обозначают n3 (читают:  «эн в кубе»). 

Итак, n3 = n • n • n. 

Например, 8³ = 8 •8 •8 = 512.  

Таблица кубов первых 10 натуральных чисел имеет вид:

(слайд 9)

Первую степень числа считают равной самому числу: 

                                            7¹ = 7, 16¹ = 16, 1¹= 1. 

Показатель степени 1 обычно не пишут. 

Если в числовое выражение входят степени чисел, то их значения вычисляют до выполнения остальных действий.

Выполнить номера в учебнике: № 548 устно.

5.  Физкультминутка

(слайд 10,11)

Сели удобно, почувствовали спинку стула, взглядом пишем сегодняшнюю дату, не отрывая взгляда от бумаги и не проводя по одной линии дважды, обведите следующие фигурки. 

6.  Закрепление нового материала.

1.      Ответить на вопросы учителя (вместе с классом):

2.      Что называют квадратом числа?

3.      Что называют кубом числа?

4.      Каков порядок действий в выражениях, содержащих куб или квадрат числа:

5.      Вычислить (вместе с классом):

6.      2², 3², 4², 5², 6², 1², 0²

7.      2³, 3³, 4³, 1³, 0³

(Сделать вывод о степенях 1 и 0)

Выполнить номера в учебнике: № 550, 552. 8. Итоги урока. Д/з.

Выучить п 20. решить № 551,553(1,3,5).

9.Рефлексия.

(слайд 12)

Работа в программе Kahoot.

Учащиеся в своих мобильных телефонах открывают программу Kahoot, вводят данным им учителем код и выполняют задания викторины. Вопросы викторины: 

1. Что означает вычислить квадрат числа? 

1.            Найти суму 

2.            Найти разность 

2. В каком порядке выполняются действия, если в них содержится квадрат числа? 

                1.      По порядку слева на право 

                3.      Сложение потом квадрат 

3. Что означает вычислить куб числа? 

2.         Найти сумму  3.             Найти частное 

4. Вычисли 7². 

                1.      14 

                3.      9 

5. Вычисли 5³.  

1.            15 

2.            8 

Методическое обоснование использования цифровых технологий на уроке:

Мультимедийная презентация служит удобным и эффективным способом донесения информации. Использование мультимедийных презентаций в процессе обучения меняет характер традиционного учебного занятия, делает его более живым и интересным. Применение мультимедиа на занятиях способствует расширению общего кругозора обучаемых, обогащает их знания.

Игра Kahoot  служит и средством закрепления полученных умений и средством контроля. Kahoot подобен викторине. Каждый вопрос может иметь связанную с ним иллюстрацию или видео и выбор ответов, лимит времени на ответы. Обратный отсчет времени отражается на экране, что создает игровую соревновательную ситуацию и мотивацию правильно отвечать на вопросы и набирать наибольшее количество очков.

Квадрат и куб числа

МБОУ «Гимназия №1 им. Р. Фахретдина» г. Альметьевск РТ

Учитель математики Закирова Миннур Анваровна

Тема: Степень числа. Квадрат и куб числа.(5 класс)

Тип урока: урок первичного предъявления новых знаний.

Цель урока: научить находить степень числа, вычислять квадрат и куб числа.

Задачи:

Образовательные:

ознакомить учащихся с понятием возведения в степень; дать понятие квадрата и куба числа;

продолжить формировать умение работать с текстовыми заданиями; закрепить навыки умножения, деления натуральных чисел и возведения в степень;

Развивающие:

развивать вычислительные навыки, визуальное, логическое мышление; развивать устную и письменную математическую речь, память, смекалку;

развитие творческих способностей;

Воспитательная:

воспитывать самостоятельность, трудолюбие, усердие, аккуратность.

Формирование метапредметных универсальных учебных действий.

Личностные.

Уважение к личности и ее достоинству,

устойчивый познавательный интерес,

умение вести диалог на основе равноправных отношений и взаимного уважения,

потребность в самовыражении и самореализации.

Предметные .

Изучить понятие степени;

Научиться:

-читать и записывать степень;

-называть компоненты степени;

-заменять произведение степенью;

-представлять степень в виде произведения;

-объяснять, что называется квадратом и кубом числа;

-читать таблицу квадратов и кубов чисел: вычислять значения квадрата (куба) числа.

Метапредметные. Формирование универсальных учебных действий.

Регулятивные УД.

Принимать и сохранять учебную задачу;

учитывать выделенные учителем ориентиры действия в новом учебном материале .

Познавательные УД.

Владеть общими приемами решения задач, выполнения заданий и вычислений; выполнять задания на основе использования свойств арифметических действий

Коммуникативные УД. Адекватно использовать речь для планирования и регу­ляции своей деятельности, осуществлять контроль, коррекцию, оценку своих действий и действий своего партнера.

Ход урока.

Организационный момент. 1 мин (Приветствие, отметка отсутствующих)

Мотивация урока. 1 мин

Главное- видеть цель,

а дорога к ней всегда найдется.

Ребята, сегодня перед нами стоит серьезная цель, получить новые знания и научиться применять их на практике. Но для начала давайте немножко разомнемся.

Актуализация опорных знаний. Проверка д/з. 4 мин

На дом были заданы номера, обменяйтесь тетрадями, проверьте работу партнера по лицу.

а). Ответ первого выражения является началом в записи следующего . Вычислите, соедините выражения стрелочками. (10 секунд)

Функция вопроса – процедурная (вопросы для управления работой класса).

-Ребята, вы закончили вычисления?

-Проверим ответ, начнет стол 3, номер 4. Стрелочки у доски рисует стол 2 , номер 1 Спасибо.

Продолжит стол 1 , номер 2. Молодец, спасибо

-В каких выражениях можно одно действие заменить другим? Ответ даст стол 4, номер 1

-Запишите полученные выражения.

-Что обозначает каждое число в записи действия?

— Сегодня мы научимся выполнять еще одну замену.

4. Изучение нового материала. 14 мин

Мы знаем, что сумму, в которой все слагаемые равны друг другу, можно записать короче — в виде произведения. Например, вместо 3 + 3 + 3 + 3 + 3 пишут 3 • 5. В этом произведении число 5 показывает, сколько слагаемых было в сумме.

Действенные вопросы- генеративный (вопрос для вовлечения в процесс познания)

— Что было бы, если бы мы не знали умножения? (Подумайте 10 секунд)

А теперь давайте вспомним то, что знаем.

— Найдите значение выражения: 2*2*2*2*2*2

— Сравните выражения слева и справа от знака равенства и объясните, что означает каждый знак в записи числа?

а) 4*4*4=43

б) 5*5*5*5*5*5=55

в) 12*12=122

Действенные вопросы- конструктивный (вопрос для построения новых знаний)

— Как кратко записать произведение 2*2*2*2*2*2? (10 секунд)

— Что означает каждый знак в такой записи?

Итак, произведение, в котором все множители равны друг другу, можно записать короче.

Например, 2*2*2*2*2*2*2*2=28

Запись 28 называют степенью и читают «два в восьмой степени». В этой записи число 2, которое перемножали, называют основанием степени, число 8, которое показывает, сколько множителей было в произведении, называют показателем степени

Пример 1. Запишем произведения в виде степени и найдем их значения:

3 • 3 • 3 • 3 = 3= 81;

5 . 5 • 5 = 5= 125;

2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 2= 64.

Вторая и третья степени числа имеют особые названия.

Вторую степень называют квадратом.

Запись: 22 = 4 – два в квадрате равно четырем.

n2 = n ∙ n – квадрат числа n. (Произведение n*n называют квадратом числа n )

Таблица квадратов первых 10 натуральных чисел имеет следующий вид:

Третью степень называют кубом.

Запись 23=8 – два в кубе равно восьми.

n3= n∙ n ∙ n – куб числа n.( Произведение n*n*n называют кубом числа n)

Таблица кубов первых 10 натуральных чисел имеет вид:

Действенные вопросы- фасилитирующий (вопросы для развития собственного мышления и осознания учениками)

Можете ли вы мне сказать, как возвести число в первую степень?

Первую степень числа считают равной самому числу:

7 = 7, 16 = 16, 1= 1.

Показатель степени 1 обычно не пишут.

Если в числовое выражение входят степени чисел, то их значения вычисляют до выполнения остальных действий.

— Квадрат числа в пределах 10 вычислить легко, это примеры из таблицы умножения. А вот квадраты чисел в пределах 20 помещены на форзаце учебника. Откройте эту таблицу.

Чему равен квадрат числа 11, 13, 19?

Рассмотрите вторую таблицу. Назовите куб числа 3, 5, 8

Пример 2 Прочитайте выражения, назовите в каждом основание и показатель степени

67, 123, 410, 152, 81

Физкультминутка 3 мин

— Ребята встаньте пожалуйста, задвиньте стулья , спасибо. И так, я включаю музыку, вы передвигаетесь, музыка останавливается, я задаю вопрос. Вы должны сформировать группу с таким же количеством человек, которое является ответом на вопрос.

1) Вычислите 22. Поблагодарите друг друга.

2) Вычислите 23 . Поблагодарите друг друга.

3) Вычислите 161. Поблагодарите друг друга.

4) Вычислите 42. Поблагодарите друг друга.

Молодцы, спасибо. Садимся на места.
 

Закрепление нового материала. 13 мин

№1. Прочитайте степени и вычислите устно (вместе с классом):

22, 32, 42, 52, 62, 12, 02

23, 33, 13, 03

(Сделать вывод о степенях чисел 1 и 0)

№ 653, стр. 100 (г, д, е, к, л, м)

№ 656

№ 654 (в, е, и, м)

№ 2 . Сравните значения выражений 2*3 и 23

54 и 5*4

№ 3. Запишите числа 10, 100, 1000, 10000 в виде степени с основанием 10.

№ 4. Запишите число в виде степени несколькими способами: 4; 8; 81

№ 657 (и, м)

Ребята, давайте вспомним, с какими определениями мы познакомились в течении 1 части урока. Итак, я задаю вопрос, вы думаете 15 секунд, затем каждый за 10 секунд должен ответить по одному разу, а начнет отвечать ученик, у которого самые длинные волосы.

Каким действием можно заменить степень? Нам ответит стол 4 , партнер по лицу номера 2.

Что показывает основание степени, показатель степени? Нам ответит стол 2, девочка со светлыми глазами.

Что называют квадратом числа, кубом числа? Стол 1, номер 1.Поблагодарите друг друга

Итоги урока. Д/з. 4 мин

Ребята, давайте вспомним, что нового вы узнали сегодня на уроке?

Сегодня мы с вами познакомились с такими понятиями , как степень числа, квадрат и куб числа. Научились записывать произведение в виде степени, находить основание и показатель степени. Находить значение выражения, содержащего степень. За урок следующие отметки:

«5»-

«4»-

Рефлексия

На ваших столах у каждого есть 3 листочка

Зеленый- «Я все понял и смогу объяснить другу»

Желтый – «Я все понял, но не смогу объяснить другу»

Красный- «Мне нужно еще раз прочитать данную тему»

Давайте посмотрим, кто считает, что понял все и может объяснить товарищу? Подняли зеленый. Спасибо. У вас будет следующее задание.

Кто считает, что он понял материал, но не сможет объяснить товарищу? Поднимите желтый цвет. Это ваше домашнее задание.

Ну и кто хотел бы еще немного поработать над темой самостоятельно. Ваши задания с красным листочком. Ребята, спасибо за урок, вы хорошо сегодня поработали. Поблагодарите вашего соседа по лицу за работу. Спасибо всем за урок. До свидания.

Красный

№1 стр. 98-99 учебника.

№653 (а, б, ж, з), №666, №668 (а, б)

Желтый

Зеленый

Урок математики в 5-м классе по теме: «Куб»

Материалы к уроку.

У каждого учащегося на парте лежит подготовленный заранее раздаточный материал (<Рисунок 1>, <Рисунок 2>, <Рисунок 3>, <Рисунок 4>) и склеенная модель куба.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Развертки куба  №№ 2 и 3 (рис. 2 и 3) должны быть вырезаны, а развертка № 4 (рис. 4), являющаяся элементом домашнего задания, должна быть распечатана на цветной бумаге для принтеров, предпочтительно разных цветов.

Техническое оснащение урока: компьютер, проектор для демонстрации презентации, экран.

Цели урока:

• познакомить учащихся с понятием многогранника;
• расширить представление о пространственных телах;
• дать учащимся понятие модели геометрического тела, получить представление о практическом применении геометрических знаний в реальной жизни;
• познакомить учащихся с изображением пространственных тел на плоскости;
• развивать пространственное воображение.

ХОД УРОКА

I. Организация начала урока

– Здравствуйте! Сегодня на уроке каждый из вас получит подарок, который поможет не только понять тему урока, но и поближе познакомит вас с хорошо известным вам предметом (модель куба в руках). Этот подарок лежит у вас на парте.
– Что это такое? (Куб)
– Молодцы! Сегодня на уроке нам понадобятся простой карандаш, линейка, фломастеры, ластик, раздаточный материал, который лежит на ваших партах. Итак, НАЧИНАЕМ! Откройте, пожалуйста, тетради, запишите число, классная работа и тему сегодняшнего урока “КУБ”.

II. Сообщение темы, цели и задач урока

Слайд 1

– Сегодня на уроке мы поговорим о кубе. Узнаем, как называются элементы куба, научимся чертить куб, познакомимся с новыми понятиями, связанными с кубом, узнаем, как находить площадь поверхности куба, а также, где в жизни можно применить полученные знания.

Запись на доске:

• элементы куба;
• построение куба;
• модель куба, развертка куба;
• площадь поверхности куба;
• применение полученных знаний.

– Где вы встречались с кубом в жизни?

Слайд 2

III. Актуализация знаний учащихся

Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока.

– Что же такое куб? Невозможно найти человека, незнакомого с этим словом! “Кубики” – одна из первых детских игр. Кажется, что мы знаем о кубе все! Но так ли это? И сегодня мы это выясним.

IV. Усвоение новых знаний

– Возьмите в руки ваш куб. Посмотрите на него внимательно. Из чего состоит поверхность куба? (Из квадратов)
– Что вы знаете о квадрате? (У квадрата все стороны равны!)
– А что можно сказать про квадраты, из которых состоит поверхность куба? (Все квадраты равны)
– Правильно! Каждый такой квадрат называется ГРАНЬЮ. Новое понятие – ГРАНЬ. Именно поэтому куб называется многогранником, т.е. он имеет много граней. Поднимите куб и покажите мне его грань.

Слайд 3

– А сколько же граней у куба? Посчитайте и ответьте! (Шесть)
– Правильно! Сторона грани называется РЕБРОМ куба. РЕБРО – это тоже новое понятие. Покажите мне ребро куба.
– Сколько ребер у куба? Не торопитесь ответить на этот вопрос, сначала посчитайте! (Двенадцать)
– Правильно! Концы ребер называются ВЕРШИНАМИ куба. ВЕРШИНА – еще одно новое понятие. Покажите, пожалуйста, вершины куба.
– Сколько вершин у куба? (Восемь)
– Правильно! Итак, мы сейчас познакомились с тремя новыми понятиями, связанными с кубом. Они называются элементами куба. Какие элемента куба вы знаете?
– Грань, ребро, вершина.

V. Первичное закрепление знаний

– А теперь, ответьте на вопросы:

• Сколько ребер сходится в одной вершине? (3)
• Сколько соседних граней имеет каждая грань? (4)
• Сколько ребер имеет одна грань? (4)

– Сейчас мы будем учиться чертить куб. А это нелегко! Ведь куб объемный, как же его можно изобразить на плоском тетрадном листе? Надо спланировать свою работу. ПЕРВЫЙ ШАГ: Строим квадрат со стороной 2 см

Слайд 4

– Похоже это на куб? (Нет)

– Чтобы изобразить куб на плоском листе, потребуется волшебство! Для этого мы с вами сейчас заглянем в будущее – в такой предмет как черчение. Черчение нам поможет на плоском листе начертить куб!
А теперь, внимание! Волшебником станет лишь тот, кто будет внимательным и точно выполнит мои указания! ВТОРОЙ ШАГ: Отметим три вершины квадрата. ТРЕТИЙ ШАГ: от каждой отмеченной вершины отступим 2 клетки вправо и 2 вверх и отметим точки. ЧЕТВЕРТЫЙ ШАГ: Соединим выделенные точки. А, теперь, похоже на куб? (Да!)
– Но есть одна неточность! Какая? Сколько граней куба вы видите? (Три)
– А у куба сколько граней? (Шесть)
– Какие грани мы не видим, но знаем, что они есть? (Заднюю, нижнюю, боковую левую)
– Но, поскольку мы с вами волшебники, то сейчас построим невидимые ребра невидимых граней! ПЯТЫЙ ШАГ: невидимые ребра обозначаются штрихом. Для того чтобы построить невидимые ребра, отметим невидимую вершину. От левой нижней вершины отступим также 2 клетки вправо и 2 вверх и поставим точку. Посмотрите, как надо соединить эти точки. Отметьте и запишите в тетради элементы куба.
Мы с вами научились на плоском листе бумаги изображать объемное тело!

Слайд 5

Физминутка

– Мы немного устали, поэтому проведем физминутку. Встаньте, пожалуйста. (Выполняются упражнения с моделью куба в руках – разминка для глаз, для плечевого сустава, для позвоночника и т.п.).

VI. Закрепление знаний

– А теперь познакомимся с новыми понятиями, связанными с кубом! В этом нам помогут ребусы. Кто знает, что такое ребусы? Посмотрите, пожалуйста, на экран!

Слайд 6

– Попробуйте прочитать зашифрованное слово. (МОДЕЛЬ)
– Правильно. Перевернутое изображение означает, что слово читается не слева направо, как мы привыкли, а наоборот, справа налево. Итак, что же изображено? (Дом)
– Правильно. “Перевернем” слово. Что получилось? (Мод)
– А какое слово зашифровано во второй части ребуса? (Ель)
– Итак, зашифровано слово МОДЕЛЬ. А какое слово зашифровано во втором ребусе? (РАЗВЕРТКА)
– Правильно. Вторая часть ребуса – отвертка, но перед рисунком стоят две запятые, показывающие, что мы должны отбросить первые две буквы слова. По правилам разгадывания ребусов единицу можно прочесть как РАЗ. Итак, второе слово – РАЗВЕРТКА. А что означает слово модель? Кто-нибудь знает? Где вы встречались с этим словом? Незнакомое слово! Воспользуемся словарем. Откроем Энциклопедический словарь.

Слайд 7

– “Модель” – любой образ (мысленный или условный: изображение, описание, схема, чертеж, график, план, карта и т. п.) какого-либо объекта, процесса или явления, используемый в качестве его “заместителя”, “представителя” аналог, изображение чего-либо.

Слайд 8

Кубы бывают разного размера, они могут быть изготовлены из разных материалов, но они имеют одинаковую форму – это и есть модель куба! Кстати, запомните, пожалуйста, как пишется и произносится слово “модель”. Какое еще одно новое слово еще вы узнали из ребуса? (Развертка)
– От какого слова происходит слово “развертка”? (Развернуть, раскрыть)
– Правильно! Посмотрите, пожалуйста, на экран. Мы увидим, как куб “разворачивается”.

Слайды 9–16

– А сейчас возьмите развертку куба, изображенную на экране и “сложите” из нее куб. Сложили? Молодцы!!! Внимательно посмотрите на развертку и скажите, из каких фигур состоит развертка куба? Сколько таких фигур? (Из 6 квадратов)
– У каждого из вас на парте лежит лист (рис. 1). Возьмите его, пожалуйста.

Слайд 17

– Можете ли вы, посмотрев на изображенные фигуры, сказать, какие из них не являются разверткой куба? Почему? (Фигуры № 1 и № 4 не являются развертками куба)
– Почему? (Они состоят не из 6 квадратов)
– Возьмите фигуру № 5 и попробуйте изготовить куб. Не получилось! Не всякая фигура, состоящая из 6 квадратов, является разверткой куба! Отложите лист. А сейчас, мы определим, сколько бумаги потребовалось, чтобы изготовить модель куба, с разверткой которого мы уже работали. Т.е. узнать площадь развертки. Что надо знать, чтобы найти площадь развертки? (Площадь каждого квадрата)
– А чтобы узнать площадь квадрата, что нужно знать? (Его сторону)

Измеряем и записываем прямо на развертке – 6 см.

– Чему равна площадь одного квадрата (грани)? Решение можно записать на развертке. (36 см²)
– Из скольких таких квадратов состоит развертка куба? (Из 6)
– Как найти площадь всей развертки? (Площадь одного квадрата (грани) умножить на 6)
– Сколько же квадратных сантиметров потребовалось на развертку данного куба? Запишите ответ на одной из граней и покажите мне. Не забывайте писать наименования. (216 см²)

Слайд 18

VII. Обобщение и систематизация

– А сейчас – устная задача. Представим себе, что мы – дизайнеры! От детского сада поступил заказ на создание аквариума в форме куба с площадью грани – 1 м². Посмотрите на экран.

Слайд 19

– Какое количество стекла нам надо заказать в мастерской? Работаем устно! (5 м²)
– Правильно! Ведь рыбкам дышать нужно! У какой грани нет противоположной? (У нижней)

VIII. Контроль и самопроверка знаний

– Молодцы! А сейчас, мы поиграем в игру “Найди грань!” Для этого снова возьмите листы раздаточного материала, лежащие на вашем столе – на них изображены развертки куба.

Слайд 20

– Три задания – развертка  № 2 – самое простое задание,  № 3 – более сложное,  № 6 – самое сложное. Хорошо подумайте, прежде чем выбрать задание! А теперь, внимание! ЗАДАНИЕ! Посмотрите на экран и отметьте на каждой развертке нижнюю грань, так, как отмечено на экране. Ваша задача – мысленно сложить куб и обозначить верхнюю грань буквой “в”. Вам дается одна минута на выполнение задания. Не торопитесь, подумайте! Готовы? Давайте проверим. (Проверка на экране)

IX. Подведение итогов урока

• С каким многогранником мы сегодня работали? (С кубом)
• С какими элементами куба мы познакомились? (Грань, ребро, вершина)
• Я загадала элемент куба. Таких элементов у куба 8. Что это? (Вершина)
• Назовите элемент куба, который является четырехугольником. (Грань)
• Назовите элемент куба, который является отрезком. (Ребро)
• Почему куб называется многогранником? (Много граней)
• Какие новые слова вы узнали из ребусов? (Модель, развертка)
• Какое из этих понятий помогает изготовить куб? (Развертка)
• Как найти площадь развертки куба? (Площадь одного квадрата (грани) умножить на 6)
• А чему вы еще научились на уроке? (Чертить куб модель куба, его развертку)

– Где нам могут пригодиться эти знания? Я вам подскажу! Посмотрите на экран.

Слайд 21

– Скоро наступит праздник! Близится Новый год! Я поздравляю вас с наступающим Новым годом! А вы можете свой подарок упаковать в сундучок, сделав, его в виде куба. Также, вы можете сделать новогоднюю игрушку на елку в виде куба (к одной из вершин прикрепить нитку и украсить грани куба).

X. Информация о домашнем задании и инструктаж по его выполнению

– У каждого из вас на парте лежит развертка куба. Ваша задача дома изготовить куб из данной развертки (можно использовать другую развертку), не забудьте при вырезании оставить клапаны для склеивания, и на следующем уроке украсьте елку, которую вы можете сделать из цветного картона. А остальные кубы, вы можете перевязать ленточкой как подарок и положить под елку. И вы украсите свой класс к Новому году!

– Урок окончен! Всем спасибо! До свидания!

Приложение

Удивительная математика внутри кубика Рубика / Хабр

В прошлом году исполнилось 40 лет с того времени, как человечество узнало о кубике Рубика. Эта головоломка сразу смутила умы почти полумиллиарда энтузиастов, которые полагали, что могут раскрыть сумасшедшие секреты этого удивительного кубика, если разберут его на составные части.

В преддверии юбилея кубика Рубика (да, юбилея!) и стартов новых потоков курсов Математика для Data Science и его расширенной версии Математика и Machine Learning для Data Science, пришло время раз и навсегда разгадать эту головоломку, на этот раз с помощью довольно сложной математики. Физические внутренности кубика могут быть изготовлены из пластика, но его виртуальными внутренностями, конечно же, являются числа. Давайте же окунёмся в этот мир чисел.

Разбор кубика Рубика на блоки

Начнем с базовых знаний. Кубик Рубика размером 3x3x3 имеет шесть граней, каждая своего цвета. Центральный кубик каждой грани прикреплён к внутренней крестовине, скрепляющей все элементы куба. Центральные кубики могут только вращаться вокруг своей оси. Одни и те же цвета всегда располагаются напротив друг друга; на стандартном кубе белый цвет находится напротив жёлтого, красный – напротив оранжевого, синий – напротив зелёного.

Если разобрать кубик Рубика, можно увидеть, что он состоит из трёх типов составных блоков. Первый тип: центральная крестовина, на которой удерживаются центральные кубики каждой грани. Второй тип – маленькие кубики размером 1x1x1. Угловые кубики имеют три цветные стороны, бортовые кубики – две. Кубик Рубика имеет одну крестовину, восемь угловых кубиков и двенадцать бортовых кубиков.

С помощью математики мы можем узнать общее количество способов, которыми можно перемешать кубик Рубика: 43 252 003 274 489 856 000. В виде математической формулы это число можно представить следующим образом: (3⁸8!)(2¹²12!)/12. Вот как получается эта формула.

Первый элемент, 3⁸, определяет количество возможных вариантов вращения восьми угловых кубиков. Угловой кубик можно вставить в паз, который может поворачиваться тремя разными способами. То есть для каждого из восьми угловых кубиков множитель равняется 3, поэтому происходит умножение до 3⁸.

Далее учитываем перемещения каждого углового кубика. Всего угловых пазов восемь, поэтому у первого углового кубика есть восемь вариантов. У второго углового кубика остается семь вариантов, у следующего слева кубика – шесть вариантов и так далее, вплоть до последнего углового кубика, который должен войти в последний угловой паз. Это даёт факториал 8!.

Таким образом, первая часть формулы (3⁸8!) осуществляет подсчёт всех способов, которыми угловые кубики могут размещаться в кубе. Значение 3⁸ – это их ориентация, а 8! – их положение.

В следующей части формулы (2¹²12!) применяется тот же принцип, но теперь для ребер. Рёбра имеют только две ориентации, поэтому 12 рёбер могут иметь в общей сложности 2¹² ориентаций. Всего имеется 12 положений, поэтому 12! представляет собой количество способов, которыми кубики могут быть размещены в таких положениях.

Что ещё осталось в формуле (3⁸8!)(2¹²12!)/12? Осталось деление на 12. Деление на 12 связано с одной особенностью кубика Рубика, о которой многим известно, но которую не до конца её понимают. Проведём мысленный эксперимент (который, возможно, вы уже проводили вживую!):

Предположим, вы разобрали кубик Рубика, вытащили из него все кубики, а затем вставили все кубики обратно в случайные пазы (при этом угловые кубики можно установить только в углы, а бортовые кубики – только на рёбра). Вы получите конструкцию, которая выглядит как обычный перемешанный кубик, и на данный момент мы подсчитали все возможные комбинации созданного таким образом куба: (3⁸8!)(2¹²12!). Теперь зададим вопрос, всегда ли можно собрать такой перемешанный кубик, не разбирая его на части?

Ответ – «нет».

Здесь кроется ловушка, в которую попадало множество начинающих любителей разгадывать эту головоломку. Если вы тренируетесь и хотите перемешать уже собранный куб, необходимо сохранить куб в целости и собрать его вручную. Если разобрать куб на части и собрать кубики случайным образом, вероятность того, что головоломку можно будет решить, составит всего 1 к 12.

Ответ кроется в алгоритмах

Хотите понять, почему вероятность составит всего 1 к 12? Есть хороший визуальный способ понять, почему вероятность именно такая. Шанс собрать разобранный на составные кубики и снова случайным образом перемешанный большой куб будет равен шансам собрать куб со следующими образцами граней:

 Мы разместили их таким образом, чтобы было понятно, как получается коэффициент 12. Ряд 1 имеет нормальные углы. У рядов 2 и 3 один угол повёрнут. Столбец 1 имеет нормальные рёбра. У столбцов 2 и 3 одно ребро повёрнуто. У столбца 3 два ребра поменяны местами. И, наконец, в столбце 4 одно ребро повёрнуто и два ребра поменяны местами.

Таким образом, 12 кубов, представленных выше на фотографиях, не могут быть преобразованы друг в друга. 13-го варианта, который нельзя преобразовать ни в один из таких 12 кубов, не существует. Откуда нам это может быть известно?

Между тем, что может и что не может быть сделано посредством перемещения граней куба, есть связь. Последовательность перемещений граней куба энтузиасты сборки часто называют «алгоритмом». Популярными алгоритмами являются те, которые перемещают лишь несколько кубиков, оставляя остальные нетронутыми. Число 12 возникло по той причине, что на такие алгоритмы накладываются ограничения.

Число 12 составляется из трёх множителей: 12 = 3 * 2 * 2. Откуда берутся множитель 3 и два множителя 2?

Множитель 3: существует алгоритм, который поворачивает каждый из двух разных углов, но нет алгоритма, который поворачивает один угол (оставляя все остальные нетронутыми). Другими словами, если взять обычный кубик Рубика, вынуть один из его углов и заменить его на повёрнутый, такой куб собрать будет невозможно, то есть вы переместитесь из верхнего левого угла нашей диаграммы в одну из клеток прямо под ним.

Однако, если повторить эту операцию и повёрнуть еще один угол, второй множитель 3 не добавится. Теперь, когда в кубе повёрнуто два угла, мы можем последовательно применять алгоритм, поворачивающий два угла, до тех пор, пока не зафиксируется по крайней мере один из углов. Если другой угол случайно встанет на своё место, можем считать, что нам повезло и такой куб можно собрать. Ориентация углов может быть троякой.

Рассуждения относительно первого множителя 2 аналогичны. Существует алгоритм, поворачивающий на свое место каждое из двух разных рёбер, но алгоритма, способного повернуть на своё место только одно ребро, не существует. Таким образом, любое количество повёрнутых ребер может быть сведено к одному ребру, которое в итоге либо окажется, либо не окажется повёрнутым – варианта всего два.

Последний множитель 2 фактически относится к граням и углам, хотя на диаграмме мы показали его с гранями. Существует алгоритм, меняющий местами два угла, одновременно меняя местами два ребра. Но нет ни одного алгоритма, который был бы способен менять местами ни только пару углов, ни только пару рёбер.

Возьмите куб, вытащите два ребра и поменяйте их местами – на диаграмме вы попадёте на столбец, расположенный либо между столбцами 1 и 3, либо между столбцами 2 и 4. Аналогичные рассуждения можно применить, если поменять местами пару углов. Однако перемена местами пары ребер и пары углов уравновешивает баланс, так как алгоритм выхода из таких состояний существует.

Итак, после того как мы объяснили, откуда взялись все множители в коэффициенте 12, можно понять, откуда взялась формула (3⁸8!)(2¹²12!)/12. Число всех возможных положений кубиков в кубе составляет (3⁸8!)(2¹²12!), но только двенадцатая часть таких положений годится для сборки куба. Таким образом, число (3⁸8!)(2¹²12!)/12 обозначает количество способов, которыми можно перемешать кубик Рубика, не разбирая его на части.

Доказательство Популярной механики

Если вы достаточно любопытны, то, наверное, захотите проверить, верны ли сделанные выше утверждения. Существуют ли более сложные математические приемы, которые могут доказать, что «алгоритма, способного повернуть на своё место только один бортовой кубик, не поворачивая любой другой кубик, не существует»? Да, такие математические приёмы существуют. Вот как примерно строится такое математическое доказательство:

При переворачивании грани куба происходит перемещение четырёх бортовых кубиков. Рассмотрим, к примеру, алгоритм из 10 перемещений. Для каждого кубика выполните алгоритм и посчитайте, сколько раз перемещался кубик, и назовите это количество «числом перемещений кубика». Сложите эти числа для каждого бортового кубика, всего должно получиться 40 перемещений кубиков, так как каждое из 10 перемещений добавляет к сумме четверку.

В общем случае для любого алгоритма общее число перемещений бортовых кубиков должно быть кратно 4. Теперь пара важных фактов: если бортовой кубик перемещать чётное количество раз и вернуть его обратно в тот же самый паз, он будет иметь такую же ориентацию. И наоборот, если бортовой кубик перемещать нечётное количество раз и вернуть его обратно в тот же самый паз, он будет иметь перевёрнутую ориентацию.

Естественно, сказанное выше можно доказать с использованием более сложных математических методов, но мы не собираемся сильно углубляться в математику, иначе объём данной статьи превзойдёт все мыслимые и немыслимые пределы. Эти два факта также можно проверить экспериментально, чтобы понять, что всё происходит именно так. (В этом доказательстве поворот на 180 градусов считается двумя перемещениями каждого соответствующего кубика. )

Теперь давайте рассмотрим гипотетический алгоритм, достигающий цели, поворачивающий один бортовой кубик, оставляя при этом в неприкосновенности другой кубик. Одно повёрнутое ребро было перемещено алгоритмом нечётное количество раз, а каждое из 11 остальных рёбер было перемещено чётное количество раз. Сумма 11 чётных чисел и одного нечётного числа всегда нечётна, но мы показали ранее, что такая сумма должна быть кратна 4. Может ли нечётное число быть кратно 4? Нет, не может. Следовательно, такого алгоритма не существует.

Теперь вы понимаете, что число (3⁸8!)(2¹²12!)/12 представляет собой количество возможных состояний куба. Но для изучающего куб математика это лишь предварительная информация. Перед тем как начинать применять более сложные математические методы, задайте себе главный вопрос: «Существуют ли в этой теме математические вопросы, оставшиеся без ответов?»

Число Бога и многое другое

 Главной задачей, поставленной изобретателем головоломки, естественно, была сборка куба. Эрно Рубик (Ernő Rubik) создал первый прототип головоломки в 1974 году, и через шесть лет она поступила в массовую продажу. Естественно, он был первым, которому удалось собрать куб.

В 1980 году кубик Рубика стал хитом продаж в магазинах игрушек. Но некоторые математики уже несколько лет экспериментировали с его ранними версиями. Одним из них был доктор Дэвид Сингмастер (David Singmaster) – составитель знаменитого путеводителя «Записки о Волшебном кубике Рубика» и разработавший нотацию для записи операций поворота граней куба. Эта нотация стала стандартом и теперь известна как нотация Сингмастера.

Если бы это была статья писалась в 1980-х годах, то, возможно, стоило бы подробнее объяснить читателям, что такое нотация Сингмастера, и использовать её при описании алгоритмов сборки куба. Множество авторов статей так и делали. Но сегодня на Youtube выложено множество видеоинструкций, поэтому в этой статье мы не будем отвлекаться на описание нотации.

За последние несколько десятилетий рекорд сборки кубика Рубика на время постоянно обновлялся. На сегодня мировой рекорд сборки кубика Рубика человеком составляет 3,47 секунды. В 1997 году доктор Джессика Фридрих разработала самый известный, самый скоростной и самый гибкий метод быстрой сборки кубика Рубика Самые быстрые сборщики кубика Рубика сегодня пользуются разными вариантами сборки от доктора Фридрих.

По мере того как одни пользователи оттачивали мастерство сборки, другие пытались решать важные математические вопросы, связанные с этой головоломкой. За сколько ходов можно собрать куб независимо от того, в каком состоянии он первоначально находился? Если кто-то перемешал куб за 500 ходов, то, естественно, собрать его можно менее чем за 500 ходов. На насколько именно меньше ходов?

Соответственно, была поставлена главная математическая задача: существует ли магическое число, позволяющее сказать: «любой перемешанный куб может быть собран именно за такое количество ходов [или меньше]»? Благодаря остроумному замечанию, что для обретения чувства уверенности нужно божественное вмешательство, это число получило название «Число Бога».

Первая гипотеза о существовании Числа Бога была выдвинута доктором Морвеном Тистлетвэйтом (Morwen Thistlethwaite) в 1981 году, который доказал, что это число существует и не превышает 52. Другими словами, любой перемешанный куб может быть собран за 52 хода или меньше.

В 1990–2000-х годах математики пошли ещё дальше. В июне 2010 года группа из четырёх учёных доказала, что Число Бога равняется 20. На этом веб-сайте, который ведут эти учёные, представлены самые последние знания о кубике Рубика.

Другими словами, какое бы хаотичное первоначальное состояние ни имел Кубик Рубика, его всегда можно собрать за 20 или менее ходов. 

Для математиков в теме кубика Рубика остались лишь небольшие лакомые кусочки. Число Бога определено и равняется 20. Но точно неизвестно, сколько именно из 43 252 003 274 489 856 000 комбинаций потребуют для сборки полных 20 ходов.

Количество комбинаций, для сборки которых требуется ровно один ход, составляет 18. Это значение легко рассчитать. Есть шесть граней и три способа поворота каждой из них. Сколько кубов можно собрать ровно за два или три хода? Для математиков эта задача сложности не представляет, но можно предположить, что с увеличением количества ходов также будет увеличиваться сложность вычислений. Сегодня математики уже добрались до числа ходов 15; мы точно знаем количество комбинаций, для сборки которых требуется ровно 15 ходов, но пока не вполне точно представляем количество комбинаций для числа ходов от 16 до 20.

И это – последняя нерешённая задача в математической теме кубика Рубика. Будем ждать, когда кто-либо её решит. Может быть, это будете вы?

Получите нужные знания и навыки на курсе Математика для Data Science и его расширенной версии Математика и Machine Learning для Data Science. А промокод HABR даст скидку 50%. 

Узнайте, как прокачаться в других специальностях или освоить их с нуля:

ПРОФЕССИИ

КУРСЫ

куб | геометрия | Британика

куб , в евклидовой геометрии правильное тело с шестью квадратными гранями; то есть правильный шестигранник.

Поскольку объем куба выражается через ребро e , как e ³ , в арифметике и алгебре третья степень величины называется кубом этой величины. То есть 3 ³ или 27 — это куб числа 3, а x ³ — это куб x .Число, кубом которого является данное число, называется кубическим корнем последнего числа; то есть, поскольку 27 — это куб из 3, 3 — это кубический корень из 27 — символически 3 = ³ Квадратный корень из √27. Также говорят, что число, не являющееся кубом, имеет кубический корень, причем значение выражается приблизительно; то есть 4 не является кубом, но кубический корень из 4 выражается как ³ Квадратный корень из √4, приблизительное значение равно 1,587.

Британская викторина

Дайте определение: математические термины

Вот ваша миссия, если вы решите ее принять: определите следующие математические термины до того, как истечет время.

В греческой геометрии удвоение куба было одной из самых известных нерешенных задач. Требовалось построить куб, который должен был иметь вдвое больший объем, чем данный куб. Это оказалось невозможным с помощью одних только линейки и циркуля, но греки смогли осуществить строительство, используя более высокие кривые, в частности, циссоиду Диокла. Гиппократ показал, что задача сводится к нахождению двух средних пропорций между отрезком и его двойником, то есть алгебраически к нахождению х и у в отношении а : х = х : y = y : 2a , из которых x ³ = 2a ³ и, следовательно, куб с x в виде края имеет в два раза больше объема с A в качестве края.

кубов и кубических корней

Чтобы понять кубические корни, сначала мы должны понять кубики. ..

Как построить число в кубе

Чтобы куб число, просто используйте его в умножении 3 раза …

Пример: что такое 3 в кубе?

Примечание: пишем «3 Куб» как 3 ³
(маленький ³ означает число появляется три раза при умножении)

Кубики От 0

Кубический корень

Кубический корень идет в другом направлении:

3 в кубе равно 27, поэтому кубический корень из 27 это 3

Кубический корень числа равен . ..
… специальное значение, которое при преобразовании в куб дает исходное число.

Кубический корень из 27 равен …
… 3 , потому что , когда 3 возводится в куб , получается 27 .

Вот еще несколько кубов и кубических корней: