Уравнения со степенями примеры решения: Примеры решения показательных уравнений

Содержание

Примеры решения показательных уравнений

Пример №1

1000^x=100

Представим левую и правую часть уравнения в виде степени, имеющую одинаковые основания:

10^3x=10²

Теперь, когда основания одинаковые, нужно приравнять показатели степеней.

3x=2
x=2/3

Ответ: x=2/3 .

Главное в показательных уравнениях — свести левую и правую часть уравнения к общему основанию:

Пример №2

(2/5)^x=(5/2)⁴

Представим (2/5)^x как (5/2)^-x:

(5/2)^-x=(5/2)⁴

Основания одинаковые, следовательно, приравниваем показатели:

-x=4
x=-4

Ответ: x=-4

Пример №3

√3^х=9

√3^х распишем как 3^x/2, а 9 — как 3²:

3^х/2=3²

Приравниваем показатели:

х/2=2
х=4

Ответ: x=4

Пример №4

3^х²-х-2=81

Заметим, что 81=3⁴

3^х²-х-2=3⁴

Приравниваем показатели:

х²-х-2=4

х²-х-6=0

Получили квадратное уравнение:

D=1+24=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

х₁=(1+5)/2=3

х₂=(1-5)/2=-2

Ответ:
х=3 и х=-2

Пример №5

4^х+1+4^х=320

В таких случаях выносится основание с наименьшим показателем. В данном уравнении наименьшим показателем является х. Вынесем 4^х за скобки:

4^х(4+1)=320

4^х*5=320

Представим 320 в виде 5*4³, тогда:

4^х*5=5*4³

Поделим левую и правую часть уравнения на 5:

4^х=4³

Приравняем показатели:

х=3

Ответ: х=3

Пример №6

7^х+2+4*7^х-1=347

Степенью с наименьшим показателем в этом уравнении является х-1, следовательно, за скобки выносим 7^x-1. Получаем:

7^х-1*(7³+4)=347

7^х-1*347=347

Поделим левую и правую часть уравнения на 347:

7^х-1=1

Заметим, что любое число в нулевой степени равно 1. Следовательно, распишем 1 как 7⁰:

7^х-1=7⁰

Приравняв показатели, получим:

х-1=0

х=1

Ответ: х=1

Пример №7

х-5*2^х+4=0

Представим 4^х как 2^2х, получим:

2^2х-5*2^х+4=0

Введем подстановку: 2^х обозначим переменной t. Cледовательно: 2^2х=t². Получим:

t²-5t+4=0

Найдем корни уравнения по теореме Виета:

t₁=1

t₂=4

Заменим t на 2^х:

2^х=1

Заметим, что 2⁰=1

2^х=2⁰

Приравняем показатели:

х=0

2^х=4

Заметим, что 4=2²

2^х

=2²

Приравняем показатели:

х=2

Уравнение имеет два действительных корня 0 и 2.

Ответ: х=0 и х=2

Пример №8

(√2+√3)^х + (√2-√3)^х=4

Введем подстановку: (√2+√3)^х обозначим переменной t. А (√2-√3)^х домножим на сопряженные и получим:

((√2+√3)^х*(√2-√3)^х) / (√2+√3)^х = (√4-3)^х/(√2+√3)^х = 1 ^x/(2+√3)^x = 1/(2+√3)^x

Следовательно, 1/(√2+√3)^х=1/t.

Получаем:

t+1/t=4

Отметим, что t=0, т.к. деление на 0 не определено. Домножим левую и правую часть на t:

t²+1=4t

t²-4t+1=0

Решим квадратное уравнение:

D=16-4=12, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

t₁=(4-2√3)/2=2-√3

t₂=(4+2√3)/2=2+√3

Заменим t на (√2+√3)^х:

(√2-√3)^х=2+√3

Домножим 2+√3 на сопряженные и получим:

1/(2-√3)=2+√3

Cледовательно:

(√2-√3)^х=1/2-√3

Заметим, что 1/2-√3=(√2-√3)^-2

(√2+√3)^х=(√2-√3)^-2

Приравняв показатели, получим:

х=-2

Заменим t на 2+√3

(√2+√3)^х=2+√3

Заметим, что 2+√3=(√2+√3)²

Приравняв показатели, получим:

х=2

Ответ: х=-2 и х=2

Пример №9

x+y=6

x^y²+7y+12=1

Выразим x:

x=6-y

x^y²+7y+12=1

Заметим, что x⁰=1:

x=6-y

x^y²+7y+12=x0

Приравним показатели:

x=6-y

y²+7y+12=0

Решим отдельно квадратное уравнение:

y²+7y+12=0

D=49-48=1, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

y₁=(-7+1)=-3

y₂=(-7-1)=-4

y=-3

x=6-(-3)=9

y=-4

x=6-(-4)=10

Ответ: x=9; y=-3 и x=10; y=-4

<< Назад ] [ Начало ] [ Вперед >>

Показательные уравнения.

{2}}-17t+6=0\)

имеет три корня:

\( {{t}_{1}}=3,~{{t}_{2}}=\frac{1}{3},~{{t}_{3}}=-2\).

Последний корень мы, конечно, отбросим, поскольку он меньше нуля. А первые два после обратной замены дадут нам два корня:

\( {{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=-1\).

Ответ: \( {{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=-1\).

Этим примером я отнюдь не хотел напугать тебя!

Скорее наоборот, я ставил своей целью показать, что хоть у нас была довольно простая замена, тем не менее она привела к довольно сложному уравнению, решение которого потребовало от нас некоторых особых навыков.

Ну что же, от этого никто не застрахован. Зато замена в данном случае была довольно очевидной.

Решение показательных уравнений через преобразования

Направления проведения преобразований. Примеры.

Выше мы рассмотрели самые основные и характерные преобразования показательных уравнений по отдельности, а также разобрали примеры их проведения. Но на практике при решении показательных уравнений обычно приходится проводить не одно какое-то преобразование, а серию последовательных преобразований. Естественно, при этом необходимо четко понимать, для чего проводится то или иное преобразование. Сейчас мы обозначим основные направления проведения преобразований, которых следует придерживаться при решении показательных уравнений.

Можно выделить три основных направления проведения преобразований показательных уравненийM:

К одинаковым степеням.
К одинаковым основаниям степеней.
К одинаковым показателям степеней.

Придерживаясь указанных направлений, следует от исходного показательного уравнения продвигаться к уравнениям, для которых известен метод решения, то есть, к уравнениям a

f(x)=b, a^f(x)=a^c, a^f(x)=a^g(x), f(g(x))=0, f₁(g(x))=f₂(g(x)), f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 и др.

Давайте разбираться с этим на конкретных примерах.

К одинаковым степеням

Стремление к одинаковым степеням, то есть, к степеням с одинаковыми основаниями и одинаковыми показателями, при решении показательных уравнений легко объяснимо – после получения одинаковых степеней появляется возможность привести уравнение к удобному для дальнейшего решения виду, ввести новую переменную или каким-либо другим способом продвинуться в решении. Приведем примеры.

Возьмем показательное уравнение 3^x+2+3^x+1+3^x=39. Очевидна возможность получить одинаковые степени 3^x. Реализовать ее позволяет свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями. Это свойство позволяет преобразовать исходное показательное уравнение в уравнение 3^x·3²+3^x·3¹+3^x=39 с одинаковыми степенями 3^x. Дальше степень 3^x выносится за скобки как общий множитель, и уравнение приводится к простейшему показательному уравнению 3

x=3 с очевидным решением x=1.

Рассмотрим еще один пример. В показательном уравнении 49·7^2·x−50·7^x+1=0 тоже несложно получить одинаковые степени 7^x. Достичь этого позволяет опора на свойство степени в степени. По свойству степени в степени мы можем заменить 7^2·x выражением (7^x)², то есть, перейти к уравнению 49·(7^x)²−50·7^x+1=0. Это открывает путь к решению показательного уравнения через введение новой переменной 7^x=t.

К одинаковым основаниям

Когда нет возможности получить одинаковые степени или такая возможность не очевидна, то можно довольствоваться получением одинаковых оснований. Это тоже бывает полезно при решении показательных уравнений.

Проиллюстрируем сказанное примерами.

Несложно заметить, что выражения, отвечающие частям показательного уравнения , можно преобразовать в степени с основаниями 3. Это позволяют сделать свойства степеней и связь между корнями и степенями с дробными показателями. Действительно, так как и , то исходное показательное уравнение можно преобразовать в уравнение , которое легко решается, например, методом уравнивания показателей.

Переход к одинаковым основаниям позволяет уменьшать количество степеней с разными основаниями, что часто неплохо продвигает в решении показательных уравнений. Например, в показательном уравнении (10^x)²+9·20^x−10·(2^x)²=0 три степени и у всех этих степеней различные основания. Представление степени 20^x в виде 10^x·2^x позволяет преобразовать исходное уравнение к виду (10^x)²+9·10^x·2^x−10·(2^x)²=0. При этом уменьшается количество степеней с различными основаниями с трех до двух, и получается показательное уравнение, однородное относительно степеней 10^x и 2^x, а для таких уравнений есть стандартный метод решения.

Аналогично, в показательном уравнении представление степени 504^x−2 в виде 504^x−2=2^3·x−6·3^2·x−4·7^x−2 уменьшает количество степеней с разными основаниями, и открывает дорогу к дальнейшему решению через деление обеих частей уравнения на 2^3·x−6·3^2·x−4·7^x−2.

К одинаковым показателям

Если нет возможности вести преобразования в сторону получения одинаковых степеней или хотя бы одинаковых оснований степеней, то стоит рассмотреть возможность продвижения к одинаковым показателям степеней. Это тоже может быть полезно в плане решения показательных уравнений. Приведем примеры.

Легко заметить, что показатели степеней в записи показательного уравнения 5^−3−x·13^3+x=1 различаются только знаками. В подобных случаях можно переходить к одинаковым показателям. В нашем случае степень 5^−3−x можно рассматривать как , ведь в силу свойства степени в степени . Это позволяет от исходного уравнения перейти к показательному уравнению , в записи которого степени имеют одинаковые показатели, что в свою очередь позволяет с опорой на свойство степени произведения перейти к простейшему показательному уравнению , и получить искомое решение.

Давайте разберем еще один пример. Возьмем показательное уравнение 2·3^2·x=9·2^x. Здесь можно осуществить переход к степеням с одинаковыми показателями, заменив 3^2·x на 9^x. Это преобразование дает уравнение 2·9^x=9·2^x, которое через деление обеих частей на 2^x приводится к простейшему показательному уравнению . Его решением является x=1.

Решение показательных уравнений. Основы | О математике понятно

Что такое показательное уравнение? Примеры.

Итак, показательное уравнение… Новый уникальный экспонат на нашей общей выставке самых разнообразных уравнений!) Как это почти всегда бывает, ключевым словом любого нового математического термина является соответствующее прилагательное, которое его характеризует. Так и тут. Ключевым словом в термине «показательное уравнение» является слово «показательное». Что оно означает? Это слово означает, что неизвестное (икс) находится в показателях каких-либо степеней. И только там! Это крайне важно.

Например, такие простые уравнения:

3^x⁺¹= 81

5^x + 5^x⁺² = 130

4·2²^x-17·2^x+4 = 0

Или даже такие монстры:

2^sin^x = 0,5

И так далее, и тому подобное…

Прошу сразу обратить внимание на одну важную вещь: в основаниях степеней (снизу) — только числа. А вот в показателях степеней (сверху) — самые разнообразные выражения с иксом. Совершенно любые.) Всё от конкретного уравнения зависит. Если, вдруг, в уравнении вылезет икс где-нибудь ещё, помимо показателя (скажем, 3^x = 18+x²), то такое уравнение будет уже уравнением смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Поэтому в данном уроке мы их рассматривать не будем. На радость ученикам.) Здесь мы будем рассматривать только показательные уравнения в «чистом» виде.

Вообще говоря, даже чистые показательные уравнения чётко решаются далеко не все и не всегда. Но среди всего богатого многообразия показательных уравнений есть определённые типы, которые решать можно и нужно. Вот именно эти типы уравнений мы с вами и рассмотрим. И примеры обязательно порешаем.) Так что устраиваемся поудобнее и — в путь! Как и в компьютерных «стрелялках», наше путешествие будет проходить по уровням.) От элементарного к простому, от простого — к среднему и от среднего — к сложному. По пути вас также будет ждать секретный уровень — приёмы и методы решения нестандартных примеров. Те, о которых вы не прочитаете в большинстве школьных учебников… Ну, а в конце вас, разумеется, ждёт финальный босс в виде домашки.)

Уровень 0. Что такое простейшее показательное уравнение? Решение простейших показательных уравнений.

Для начала рассмотрим какую-нибудь откровенную элементарщину. С чего-то же надо начинать, верно? Например, такое уравнение:

2^х = 2²

Даже безо всяких теорий, по простой логике и здравому смыслу ясно, что х = 2. Иначе же никак, верно? Никакое другое значение икса не годится… А теперь обратим наш взор на запись решения этого крутого показательного уравнения:

2^х = 2²

х = 2

Что же у нас произошло? А произошло следующее. Мы, фактически, взяли и… просто выкинули одинаковые основания (двойки)! Совсем выкинули. И, что радует, попали в яблочко!

Да, действительно, если в показательном уравнении слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях, то эти числа можно отбросить и просто приравнять показатели степеней. Математика разрешает.) И дальше можно работать уже отдельно с показателями и решать куда более простое уравнение. Здорово, правда?

Вот и ключевая идея решения любого (да-да, именно любого!) показательного уравнения: с помощью тождественных преобразований необходимо добиться того, чтобы слева и справа в уравнении стояли одинаковые числа-основания в различных степенях. А дальше можно смело убрать одинаковые основания и приравнять показатели степеней. И работать с более простым уравнением.

А теперь запоминаем железное правило: убирать одинаковые основания можно тогда и только тогда, когда в уравнении слева и справа числа-основания стоят в гордом одиночестве.

Что значит, в гордом одиночестве? Это значит, безо всяких соседей и коэффициентов. Поясняю.

Например, в уравнении

3·3^x-5 = 3²^x⁺¹

тройки убирать нельзя! Почему? Потому что слева у нас стоит не просто одинокая тройка в степени, а произведение 3·3^x-5. Лишняя тройка мешает: коэффициент, понимаешь.)

То же самое можно сказать и про уравнение

5³^x = 5²^x+5^x

Здесь тоже все основания одинаковые — пятёрка. Но справа у нас не одинокая степень пятёрки: там — сумма степеней!

Короче говоря, убирать одинаковые основания мы имеем право лишь тогда, когда наше показательное уравнение выглядит так и только так:

a^f⁽^x⁾ = a^g⁽^x⁾

Такой вид показательного уравнения называют простейшим. Или, по-научному, каноническим. И какое бы накрученное уравнение перед нами ни было, мы его, так или иначе, будем сводить именно к такому простейшему (каноническому) виду. Или, в некоторых случаях, к совокупности уравнений такого вида. Тогда наше простейшее уравнение можно в общем виде переписать вот так:

f(x) = g(x)

И всё. Это будет эквивалентным преобразованием. При этом в качестве f(x) и g(x) могут стоять совершенно любые выражения с иксом. Какие угодно.

Возможно, особо любознательный ученик поинтересуется: а с какой такой стати мы вот так легко и просто отбрасываем одинаковые основания слева и справа и приравниваем показатели степеней? Интуиция интуицией, но вдруг, в каком-то уравнении и для какого-то основания данный подход окажется неверным? Всегда ли законно выкидывать одинаковые основания? К сожалению, для строгого математического ответа на этот интересный вопрос нужно довольно глубоко и серьёзно погружаться в общую теорию устройства и поведения функций. А чуть конкретнее — в явление строгой монотонности. В частности, строгой монотонности показательной функции y=a^x. Поскольку именно показательная функция и её свойства лежат в основе решения показательных уравнений, да.) Развёрнутый ответ на этот вопрос будет дан в отдельном спецуроке, посвящённом решению сложных нестандартных уравнений с использованием монотонности разных функций.)

Объяснять подробно этот момент сейчас — это лишь выносить мозг среднестатистическому школьнику и отпугивать его раньше времени сухой и грузной теорией. Я этого делать не буду.) Ибо наша основная на данный момент задача — научиться решать показательные уравнения! Самые-самые простые! Посему — пока не паримся и смело выкидываем одинаковые основания. Это можно, поверьте мне на слово!) А дальше уже решаем эквивалентное уравнение f(x) = g(x). Как правило, более простое, чем исходное показательное.

Предполагается, конечно же, что решать хотя бы линейные, квадратные и дробные уравнения, уже без иксов в показателях, народ на данный момент уже умеет.) Кто до сих пор не умеет — смело закрывайте эту страницу, гуляйте по соответствующим ссылочкам и восполняйте старые пробелы. Иначе несладко вам придётся, да…

Я уж молчу про иррациональные, тригонометрические и прочие зверские уравнения, которые также могут всплыть в процессе ликвидации оснований. Но не пугайтесь, откровенную жесть в показателях степеней мы с вами пока рассматривать не будем: рано ещё. Будем тренироваться лишь на самых простых уравнениях.)

Теперь рассмотрим уравнения, которые требуют некоторых дополнительных усилий для сведения их к простейшим. Для отличия назовём их простыми показательными уравнениями. Итак, двигаемся на следующий уровень!

Уровень 1. Простые показательные уравнения. Распознаём степени! Натуральные показатели.

Ключевыми правилами в решении любых показательных уравнений являются правила действий со степенями. Без этих знаний и умений ничего не получится. Увы. Так что, если со степенями проблемы, то для начала милости прошу сюда. Кроме того, ещё нам понадобятся базовые тождественные преобразования уравнений. Эти преобразования (целых два!) — основа решения всех уравнений математики вообще. И не только показательных. Так что, кто забыл, тоже прогуляйтесь по ссылочке: я их не просто так ставлю.

Но одних только действий со степенями и тождественных преобразований мало. Необходима ещё личная наблюдательность и смекалка. Нам ведь требуются одинаковые основания, не так ли? Вот и осматриваем пример и ищем их в явном или замаскированном виде!

Например, такое уравнение:

3²^x — 27^x⁺² = 0

Первый взгляд на основания. Они… разные! Тройка и двадцать семь. Но паниковать и впадать в отчаяние рано. Самое время вспомнить, что

27 = 3³

Числа 3 и 27 — родственнички по степени! Причём близкие.) Стало быть, имеем полное право записать:

27^x⁺² = (3³)^x+2

А вот теперь подключаем наши знания о действиях со степенями (а я предупреждал!). Есть там такая очень полезная формулка:

(a^m)ⁿ = a^mn

Если теперь запустить её в ход, то вообще отлично получается:

27^x⁺² = (3³)^x+2 = 3³⁽^x⁺²⁾

Исходный пример теперь выглядит вот так:

3²^x — 3³⁽^x⁺²⁾ = 0

Отлично, основания степеней выровнялись. Чего мы и добивались. Полдела сделано.) А вот теперь запускаем в ход базовое тождественное преобразование — переносим 3³⁽^x⁺²⁾ вправо. Элементарных действий математики никто не отменял, да.) Получаем:

3²^x = 3³⁽^x⁺²⁾

Что нам даёт такой вид уравнения? А то, что теперь наше уравнение сведено к каноническому виду: слева и справа стоят одинаковые числа (тройки) в степенях. Причём обе тройки — в гордом одиночестве. Смело убираем тройки и получаем:

2х = 3(х+2)

Решаем это линейное уравнение и получаем:

x = -6

Вот и все дела. Это правильный ответ.)

А теперь осмысливаем ход решения. Что нас спасло в этом примере? Нас спасло знание степеней тройки. Как именно? Мы опознали в числе 27 зашифрованную тройку! Этот приёмчик (шифровка одного и того же основания под разными числами) — один из самых популярных в показательных уравнениях! Если только не самый популярный. Да и в логарифмах тоже, кстати. Именно поэтому в показательных уравнениях так важна наблюдательность и умение распознавать в числах степени других чисел!

Практический совет:

Степени популярных чисел надо знать. В лицо!

Конечно, возвести двойку в седьмую степень или тройку в пятую может каждый. Не в уме, так хотя бы на черновике. Но в показательных уравнениях гораздо чаще надо не возводить в степень, а наоборот — узнавать, какое число и в какой степени скрывается за числом, скажем, 128 или 243. А это уже посложнее, чем простое возведение, согласитесь. Почувствуйте разницу, что называется!

Поскольку умение распознавать степени в лицо пригодится не только на этом уровне, но и на следующих, вот вам небольшое задание:

Определить, какими степенями и каких чисел являются числа:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Ответы (вразброс, естественно):

27²; 2¹⁰; 3⁶; 7²; 2⁶; 9²; 3⁴; 4³; 10²; 2⁵; 3⁵; 7³; 16²; 2⁷; 5³; 2⁸; 6²; 3³; 2⁹; 2⁴; 2²; 4⁵; 25²; 4⁴; 6³; 8²; 9³.

Да-да! Не удивляйтесь, что ответов побольше, чем заданий. Например, 2⁸, 4⁴ и 16² — это всё 256.

А теперь движемся дальше.)

Уровень 2. Простые показательные уравнения. Распознаём степени! Отрицательные и дробные показатели.

На этом уровне мы уже используем наши знания о степенях на полную катушку. А именно — вовлекаем в сей увлекательный процесс отрицательные и дробные показатели! Да-да! Нам же надо наращивать мощь, верно?

Например, такое страшное уравнение:

Опять первый взгляд — на основания. Основания — разные! Причём на этот раз даже отдалённо не похожие друг на друга! 5 и 0,04… А для ликвидации оснований нужны одинаковые… Что же делать?

Ничего страшного! На самом деле всё то же самое, просто связь между пятёркой и 0,04 визуально просматривается плохо. Как выкрутимся? А перейдём-ка в числе 0,04 к обычной дроби! А там, глядишь, всё и образуется.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Ух ты! Оказывается, 0,04 — это 1/25! Ну кто бы мог подумать!)

Ну как? Теперь связь между числами 5 и 1/25 легче углядеть? Вот то-то и оно…

А теперь уже по правилам действий со степенями с отрицательным показателем можно твёрдой рукой записать:

Вот и отлично. Вот мы и добрались до одинакового основания — пятёрки. Заменяем теперь в уравнении неудобное нам число 0,04 на 5^-2 и получаем:

Опять же, по правилам действий со степенями, теперь можно записать:

(5^-2)^x^-1 = 5^-2(^x^-1)

На всякий случай, напоминаю (вдруг, кто не в курсе), что базовые правила действий со степенями справедливы для любых показателей! В том числе и для отрицательных.) Так что смело берём и перемножаем показатели (-2) и (х-1) по соответствующему правилу. Наше уравнение становится всё лучше и лучше:

Всё! Кроме одиноких пятёрок в степенях слева и справа больше ничего нет. Уравнение сведено к каноническому виду. А дальше — по накатанной колее. Убираем пятёрки и приравниваем показатели:

x²–6x+5=-2(x-1)

Пример практически решён. Осталась элементарная математика средних классов — раскрываем (правильно!) скобки и собираем всё слева:

x²–6x+5 = -2x+2

x²–4x+3 = 0

Решаем это квадратное уравнение и получаем два корня:

x₁ = 1; x₂ = 3

Вот и всё. )

А теперь снова поразмышляем. В данном примере нам вновь пришлось распознать одно и то же число в разной степени! А именно — увидеть в числе 0,04 зашифрованную пятёрку. Причём на этот раз — в отрицательной степени! Как же нам это удалось? С ходу — никак. А вот после перехода от десятичной дроби 0,04 к обыкновенной дроби 1/25 всё и высветилось! И дальше всё решение пошло как по маслу.)

Поэтому очередной зелёный практический совет.

Если в показательном уравнении присутствуют десятичные дроби, то переходим от десятичных дробей к обыкновенным. В обыкновенных дробях гораздо проще распознать степени многих популярных чисел! После распознавания переходим от дробей к степеням с отрицательными показателями.

Имейте в виду, что такой финт в показательных уравнениях встречается очень и очень часто! А человек не в теме. Смотрит он, например, на числа 32 и 0,125 и огорчается. Неведомо ему, что это одна и та же двойка, только в разных степенях… Но вы-то ведь уже в теме!)

Дальше — больше! Развлекаться, так развлекаться.)

Решить уравнение:

Во! На вид — тихий ужас… Однако внешность обманчива. Это простейшее показательное уравнение, несмотря на его устрашающий внешний вид. И сейчас я вам это покажу.)

Конечно, возиться да считать побольше придётся, но ведь и наш с вами уровень тоже растёт, не правда ли? Итак, ничего не боимся и приступаем.)

Во-первых, разбираемся со всеми чиселками, сидящими в основаниях и в коэффициентах. Они, ясное дело, разные, да. Но мы всё же рискнём и попробуем сделать их одинаковыми! Попробуем добраться до одного и того же числа в разных степенях. Причём, желательно, числа самого возможно малого. Итак, начинаем расшифровку!

Ну, с четвёркой сразу всё ясно — это 2². Так, уже кое-что.)

С дробью 0,25 — пока непонятно. Проверять надо. Используем практический совет — переходим от десятичной дроби к обыкновенной:

0,25 = 25/100 = 1/4

Уже гораздо лучше. Ибо теперь уже отчётливо видно, что 1/4 — это 2^-2. Отлично, и число 0,25 тоже сроднили с двойкой.)

Пока всё идёт хорошо. Но осталось самое нехорошее число из всех – корень квадратный из двух! А с этим перцем что делать? Можно ли его тоже представить как степень двойки? А кто ж его знает…

Что ж, снова лезем в нашу сокровищницу знаний о степенях! На этот раз дополнительно подключаем наши знания о корнях. Из курса 9-го класса мы с вами должны были вынести, что любой корень, при желании, всегда можно превратить в степень с дробным показателем.

Вот так:

В нашем случае:

Во как! Оказывается, корень квадратный из двух – это 2^1/2. Вот оно что!

Вот и прекрасно! Все наши неудобные числа на самом деле оказались зашифрованной двойкой.) Не спорю, где-то весьма изощрённо зашифрованной. Но и мы ведь тоже повышаем свой профессионализм в разгадке подобных шифров! А дальше уже всё очевидно. Заменяем в нашем уравнении числа 4, 0,25 и корень из двух на степени двойки:

Всё! Основания всех степеней в примере стали одинаковыми — двойка. А теперь в ход идут стандартные действия со степенями:

a^m·aⁿ = a^m⁺ⁿ

a^m:aⁿ = a^m-n

(a^m)ⁿ = a^mn

Для левой части получится:

2^-2·(2²)⁵^x^-16 = 2^-2+2(5^x^-16)

Для правой части будет:

И теперь наше злое уравнение стало выглядеть вот так:

Кто не врубился, как именно получилось это уравнение, то тут вопрос не к показательным уравнениям. Вопрос — к действиям со степенями. Я же просил срочно повторить тем, у кого проблемы!

Вот и финишная прямая! Получен канонический вид показательного уравнения! Ну как? Убедил я вас, что не всё так страшно? 😉 Убираем двойки и приравниваем показатели:

Осталось всего лишь решить это линейное уравнение. Как? С помощью тождественных преобразований, вестимо.) Дорешайте, чего уж там! Умножайте обе части на двойку (чтобы убрать дробь 3/2), переносите слагаемые с иксами влево, без иксов вправо, приводите подобные, считайте — и будет вам счастье!

Должно всё получиться красиво:

x = 4

А теперь снова осмысливаем ход решения. В данном примере нас выручил переход от квадратного корня к степени с показателем 1/2. Причём только такое хитрое преобразование нам помогло везде выйти на одинаковое основание (двойку), которое и спасло положение! И, если бы не оно, то мы бы имели все шансы навсегда зависнуть и так и не справиться с этим примером, да…

Поэтому не пренебрегаем очередным практическим советом:

Если в показательном уравнении присутствуют корни, то переходим от корней к степеням с дробными показателями. Очень часто только такое преобразование и проясняет дальнейшую ситуацию.

Конечно же, отрицательные да дробные степени уже гораздо сложнее натуральных степеней. Хотя бы с точки зрения визуального восприятия и, особенно, распознавания справа налево!

Понятно, что напрямую возвести, например, двойку в степень -3 или же четвёрку в степень -3/2 не такая уж и большая проблема. Для знающих.)

А вот поди, например, с ходу сообрази, что

0,125 = 2^-3

или

Тут только практика и богатый опыт рулят, да. И, конечно же, чёткое представление, что такое отрицательная и дробная степень. А также — практические советы! Да-да, те самые зелёные. ) Надеюсь, что они всё-таки помогут вам лучше ориентироваться во всём разношёрстном многообразии степеней и значительно увеличат ваши шансы на успех! Так что не пренебрегаем ими. Я не зря зелёным цветом пишу иногда.)

Зато, если вы станете на «ты» даже с такими экзотическими степенями, как отрицательные и дробные, то ваши возможности в решении показательных уравнений колоссально расширятся, и вам уже будет по плечу практически любой тип показательных уравнений. Ну, если не любой, то процентов 80 всех показательных уравнений — уж точно! Да-да, я не шучу!

Итак, наша первая часть знакомства с показательными уравнениями подошла к своему логическому завершению. И, в качестве промежуточной тренировки, я традиционно предлагаю немного порешать самостоятельно.)

Задание 1.

Чтобы мои слова о расшифровке отрицательных и дробных степеней не пропали даром, предлагаю сыграть в небольшую игру!

Представьте в виде степени двойки числа:

Ответы (в беспорядке):

Получилось? Отлично! Тогда делаем боевое задание — решаем простейшие и простые показательные уравнения!

Задание 2.

Решить уравнения (все ответы — в беспорядке!):

5^2x-8 = 25

2^5x-4 — 16^x+3 = 0

Ответы:

x = 16

x₁ = -1; x₂ = 2

x = 5

Получилось? Действительно, уж куда проще-то!

Тогда решаем следующую партию:

(2^x⁺⁴)^x^-3 = 0,5^x·4^x^-4

35^1-x = 0,2^—^x·7^x

Ответы:

x₁ = -2; x₂ = 2

x = 0,5

x₁ = 3; x₂ = 5

И эти примеры одной левой? Отлично! Вы растёте! Тогда вот вам на закуску ещё примерчики:

Ответы:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x₁ = 1; x₂ = 8/3

И это решено? Что ж, респект! Снимаю шляпу. ) Значит, урок прошёл не напрасно, и начальный уровень решения показательных уравнений можно считать успешно освоенным. Впереди — следующие уровни и более сложные уравнения! И новые приёмы и подходы. И нестандартные примеры. И новые сюрпризы.) Всё это — в следующем уроке!

Что-то не получилось? Значит, скорее всего, проблемы в действиях со степенями. Или в тождественных преобразованиях. Или в том и другом сразу. Тут уж я бессилен. Могу в очередной раз предложить лишь одно — не лениться и прогуляться по ссылочкам.)

Продолжение следует.)

Решение уравнений высших степеней

Условие: найдите решение уравнения x4+x3+2×2-x-3=0.

Решение

Начнем с нахождений целых корней.

У нас есть свободный член, равный минус трем. У него есть делители, равные 1, -1, 3 и -3. Подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них дадут в итоге тождества.

При x, равном единице, мы получим 14+13+2·12-1-3=0, значит, единица будет корнем данного уравнения.

Теперь выполним деления многочлена x4+x3+2×2-x-3 на (х-1) в столбик:

Значит, x4+x3+2×2-x-3=x-1×3+2×2+4x+3.

Перебираем возможные делители дальше, но подставляем их в равенство x3+2×2+4x+3=0:

13+2·12+4·1+3=10≠0(-1)3+2·(-1)2+4·-1+3=0

У нас получилось тождество, значит, мы нашли еще один корень уравнения, равный -1.

Делим многочлен x3+2×2+4x+3 на (х+1) в столбик:

Получаем, что

x4+x3+2×2-x-3=(x-1)(x3+2×2+4x+3)==(x-1)(x+1)(x2+x+3)

Подставляем очередной делитель в равенство x2+x+3=0, начиная с -1:

-12+(-1)+3=3≠032+3+3=15≠0(-3)2+(-3)+3=9≠0

Равенства, полученные в итоге, будут неверными, значит, у уравнения больше нет целых корней.

Оставшиеся корни будут корнями выражения x2+x+3.

D=12-4·1·3=-11<0

Из этого следует, что у данного квадратного трехчлена нет действительных корней, но есть комплексно сопряженные: x=-12±i112.

Уточним, что вместо деления в столбик можно применять схему Горнера. Это делается так: после того, как мы определили первый корень уравнения, заполняем таблицу.

xi	коэффициенты многочлена
	1	1	2	-1	-3
1	1	1+1·1=2	2+2·1=4	-1+4·1=3	-3+3·1=0

В таблице коэффициентов мы сразу можем увидеть коэффициенты частного от деления многочленов, значит, x4+x3+2×2-x-3=x-1×3+2×2+4x+3.

После нахождения следующего корня, равного -1, мы получаем следующее:

xi	коэффициенты многочлена
	1	2	4	3
1	1	2+1·(-1)=1	4+1·(-1)=3	3+3·(-1)=0

Далее мы приходим к разложению x-1x+1×2+x+3=0. Потом, проверив оставшиеся делители равенства x2+x+3=0, вычисляем оставшиеся корни.

Ответ: х=-1, х=1, x=-12±i112.

11.3.2. Решение простейших показательных уравнений.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 2 мин. Просмотров 98 Опубликовано 28 июня 2012

Уравнения, содержащие переменную в показателе степени, называются показательными уравнениями.

Простейшие показательные уравнения — это уравнения вида: a^x=a^y. Отсюда следует равенство: х=у. В самом деле, степени с одинаковыми основаниями могут быть равными только в том случае, если равны показатели этих степеней.

Примеры.

Решить уравнение:

1) 5^x=125. Представим число 125 в виде степени числа 5:

5^x=5³; Степени равны, их основания равны, значит, и показатели степеней будут равны:

x=3.

2) 4^x=32. Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 2:

(2²)^x=2⁵; используем формулу возведения степени в степень: (a^x)^y=a^xy

2^2x=2⁵;

2x=5 |:2

x=2,5.

3) 3^2x-1=81. Число 81 представим в виде степени числа 3:

3^2x-1=3⁴; приравняем показатели степеней с одинаковыми основаниями:

2x-1=4; решаем простейшее линейное уравнение:

2x=4+1;

2x=5 |:2;

x=2,5.

К правой части применяем формулу: (a/b)^-x=(b/a)^x. Получим равенство степеней с одинаковыми основаниями.

Приравниваем показатели степеней и находим х из полученного линейного уравнения.

Приравняем показатели степеней с одинаковыми основаниями.

Переносим степень из правой части уравнения в левую.

Вынесли общий множитель (2х-6) за скобки. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другие при этом значении не теряют смысла. Содержимое каждой из скобок приравниваем к нулю и решаем простейшие уравнения.

6) 7∙5^x-5^x+1=2∙5³.

Показатели степеней складываются, если степени перемножаются ( a^x∙a^y=a^x+y ), поэтому:

7∙5^x-5^x∙5¹=2∙5³;

5^x(7-5)=2∙5³; вынесли общий множитель за скобки.

5^x∙2=2∙5³ |:2

5^x=5³; отсюда следует:

x=3.

7) 3^x+2+4∙3^x+1=21. Применим формулу: a^x⁺^y=a^x∙a^y (При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают):

3^x∙3²+4∙3^x∙3¹=21; вынесем общий множитель за скобки:

3^x(9+12)=21;

3^x∙21=21 |:21

3^x=1; число 1 можно представлять в виде нулевой степени с любым основанием.

3^x=3⁰;

x=0.

5^1+2x+5^2x+3=650. Решаем аналогично.

5¹∙5^2x+5^2x∙5³=650;

5^2x(5+125)=650;

5^2x∙130=650 |:130

5^2x=5; приравняем показатели равных степеней с основаниями 5.

2x=1 |:2

x=0,5.

11.3.6. Решение систем показательных уравнений.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 2 мин. Просмотров 301 Опубликовано 5 июля 2012

Что является обязательным при решении системы показательных уравнений? Конечно, преобразование данной системы в систему простейших уравнений.

Примеры.

Решить системы уравнений:

Выразим у через х из (2) -го уравнения системы и подставим это значение в (1) -ое уравнение системы.

Решаем (2) -ое уравнение полученной системы:

2^х+2^x⁺²=10, применяем формулу: a^x⁺^y=a^x∙a^y.

2^x+2^x∙2²=10, вынесем общий множитель 2^х за скобки:

2^х(1+2²)=10 или 2^х∙5=10, отсюда 2^х=2.

2^х=2¹, отсюда х=1. Возвращаемся к системе уравнений.

Ответ: (1; 2).

Решение.

Представляем левую и правую части (1) -го уравнения в виде степеней с основанием 2, а правую часть (2) -го уравнения как нулевую степень числа 5.

Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то равны и показатели этих степеней — приравниваем показатели степеней с основаниями 2 и показатели степеней с основаниями 5.

Получившуюся систему линейных уравнений с двумя переменными решаем методом сложения.

Находим х=2 и это значение подставляем вместо х во второе уравнение системы.

Находим у.

Ответ: (2; 1,5).

Решение.

Если в предыдущих двух примерах мы переходили к более простой системе приравнивая показатели двух степеней с одинаковыми основаниями, то в 3-ем примере эта операция невыполнима. Такие системы удобно решать вводом новых переменных. Мы введем переменные u и v, а затем выразим переменную u через v и получим уравнение относительно переменной v.

Решаем (2) -ое уравнение системы.

v (v+63)=64;

v²+63v-64=0. Подберем корни по теореме Виета, зная, что: v₁+v₂=-63; v₁∙v₂=-64.

Получаем: v₁=-64, v₂=1. Возвращаемся к системе, находим u.

Так как значения показательной функции всегда положительны, то уравнения 4^x=-1 и 4^y=-64 решений не имеют.

Представляем 64 и 1 в виде степеней с основанием 4.

Приравниваем показатели степеней и находим х и у.

Ответ: (3; 0).

Ответ: (2; 1).

x} = 9 \) Показать решение
Хорошо, поэтому мы сказали выше, что если бы у нас был логарифм перед левой частью, мы могли бы получить \ (x \) из экспоненты. Сделать это достаточно просто. Мы просто поставим логарифм перед левой частью. Однако, если мы поместим туда логарифм, мы также должны поставить логарифм перед правой частью. Это обычно обозначается как , где логарифм обеих сторон равен .
Мы можем использовать любой логарифм, который захотим, поэтому попробуем использовать натуральный логарифм. x} & = \ ln 9 \\ x \ ln 7 & = \ ln 9 \ end {align *} \]
Теперь нам нужно найти \ (x \). Это проще, чем кажется. Если бы у нас было \ (7x = 9 \), то мы все могли бы решить для \ (x \), просто разделив обе части на 7. Здесь это работает точно так же. И ln7, и ln9 — просто числа. По общему признанию, потребуется калькулятор, чтобы определить, что это за числа, но это числа, и поэтому мы можем сделать то же самое здесь.
\ [\ begin {align *} \ frac {{x \ ln 7}} {{\ ln 7}} & = \ frac {{\ ln 9}} {{\ ln 7}} \\ x & = \ frac {{\ ln 9}} {{\ ln 7}} \ end {align *} \]
Это технически точный ответ.Однако в этом случае обычно лучше получить десятичный ответ, так что давайте сделаем еще один шаг.
\ [x = \ frac {{\ ln 9}} {{\ ln 7}} = \ frac {{2.19722458}} {{1.945
}} = 1.12
7 \]
Обратите внимание, что ответы на эти вопросы чаще всего являются десятичными.
Также будьте осторожны, чтобы не допустить следующей ошибки.
\ [1.127 = \ frac {{\ ln 9}} {{\ ln 7}} \ ne \ ln \ left ({\ frac {9} {7}} \ right) = 0.y} = 0 \) Показать решение
В этом случае мы не можем просто поставить логарифм перед обеими сторонами. На это есть две причины. Сначала в правой части у нас есть ноль, и мы знаем из предыдущего раздела, что не можем логарифмировать ноль. Затем, чтобы сдвинуть показатель вниз, он должен быть на всем члене внутри логарифма, и этого не будет с этим уравнением в его нынешнем виде.
Итак, первым делом переместим члены на другую сторону от знака равенства, затем мы возьмем логарифм обеих сторон, используя натуральный логарифм.y} \\ \ left ({4y + 1} \ right) \ ln 2 & = y \ ln 3 \ end {align *} \]
Ладно, это выглядит неаккуратно, но опять же, это действительно не так уж и плохо. Давайте сначала посмотрим на следующее уравнение.
\ [\ begin {align *} 2 \ left ({4y + 1} \ right) & = 3y \\ 8y + 2 & = 3y \\ 5y & = — 2 \\ y & = — \ frac {2} { 5} \ end {align *} \]
Мы все можем решить это уравнение, а это значит, что мы можем решить то, что у нас есть. Опять же, ln2 и ln3 — это просто числа, поэтому процесс точно такой же.Ответ будет сложнее, чем это уравнение, но процесс идентичен. Вот работа для этого.
\ [\ begin {align *} \ left ({4y + 1} \ right) \ ln 2 & = y \ ln 3 \\ 4y \ ln 2 + \ ln 2 & = y \ ln 3 \\ 4y \ ln 2 — y \ ln 3 & = — \ ln 2 \\ y \ left ({4 \ ln 2 — \ ln 3} \ right) & = — \ ln 2 \\ y & = — \ frac {{\ ln 2} } {{4 \ ln 2 — \ ln 3}} \ end {align *} \]
Итак, мы получили все члены с \ (y \) в них с одной стороны и всеми остальными членами с другой стороны.{е \ влево (х \ вправо)}} = е \ влево (х \ вправо) \]
Мы видели это в предыдущем разделе (в более общем виде), и, используя это здесь, мы значительно упростим нашу жизнь. Использование этого свойства дает
\ [\ begin {align *} t + 6 & = \ ln 2 \\ t & = \ ln \ left (2 \ right) — 6 = 0,69314718 — 6 = — 5,30685202 \ end {align *} \]
Обратите внимание на скобки вокруг 2 в логарифме на этот раз. Они нужны для того, чтобы мы не допустили следующей ошибки.{2z + 4}} & = \ ln \ left ({\ frac {8} {5}} \ right) \\ 2z + 4 & = \ ln \ left ({\ frac {8} {5}} \ right ) \\ 2z & = \ ln \ left ({\ frac {8} {5}} \ right) — 4 \\ z & = \ frac {1} {2} \ left ({\ ln \ left ({\ frac {8} {5}} \ right) — 4} \ right) = \ frac {1} {2} \ left ({0,470003629 — 4} \ right) = — 1,76499819 \ end {align *} \]
Решение экспоненциальных уравнений из определения
Purplemath
Чтобы решить экспоненциальные уравнения без логарифмов, вам необходимо иметь уравнения со сравнимыми экспоненциальными выражениями по обе стороны от знака «равно», чтобы вы могли сравнивать степени и решать. Другими словами, у вас должно быть «(некоторая основа) к (некоторой степени) равняется (та же основа) (некоторой другой степени)», где вы устанавливаете две степени равными друг другу и решаете полученное уравнение. Например:
Так как основания («5» в каждом случае) одинаковы, то единственный способ, при котором два выражения могут быть равны, — это одинаковые степени. То есть:
MathHelp.com
Это решение демонстрирует логическую основу того, как решается весь этот класс уравнений: если основания одинаковы, то мощности также должны быть равны; это единственный способ, чтобы две части уравнения были равны друг другу.Поскольку степени должны быть одинаковыми, мы можем установить две степени равными друг другу и решить полученное уравнение.
Поскольку основания одинаковы, то я могу приравнять силы и решить:
1 — x = 4
1–4 = x
–3 = x
Тогда мое решение:
Не все экспоненциальные уравнения даны с одинаковым основанием по обе стороны от знака «равно».Иногда нам сначала нужно преобразовать одну или другую сторону (или обе) в какую-то другую базу, прежде чем мы сможем установить степени равными друг другу. Например:
Поскольку 9 = 3 ², это действительно просит меня решить:
Преобразовав 9 в 3 ², я преобразовал правую часть уравнения в то же самое основание, что и левая часть. Поскольку базы теперь такие же, я могу установить две степени равными друг другу:
В данном случае у меня экспонента с одной стороны от знака «равно» и число с другой.Я могу решить уравнение, если могу выразить «27» как степень 3. Поскольку 27 = 3 ³, я могу преобразовать и продолжить решение:
3 ^{2 x –1} = 27
3 ^{2 x –1} = 3 ³
2 x — 1 = 3
2 x = 4
x = 2
Если я не уверен в своем ответе или если я хочу проверить его перед тем, как сдать его (скажем, на тест), я могу проверить его, снова подключив его к исходному упражнению.Степень в левой части исходного уравнения упростится как:
И 3 ³ = 27, что является правой частью исходного уравнения. Тогда мое (подтвержденное) решение:
Как вы, вероятно, догадались, вам нужно будет хорошо освоить свои числовые степени, такие как степени от 2 до 2 ⁶ = 64, степени от 3 p до 3 ⁵ = 243, степени От 4 до 4 ⁴ = 256, от 5 до 5 ⁴ = 625, от 6 до 6 ³ = 216, и все квадраты.
Не планируйте полагаться на свой калькулятор во всем, потому что необходимость находить каждое значение в вашем калькуляторе может потратить много времени. К тому времени, как вы дойдете до теста, вы захотите иметь определенную степень удобства (то есть определенную степень осведомленности и скорости), поэтому ознакомьтесь с меньшими способностями сейчас.
Примечание по форматированию: HTML обычно не «любит» вложенные надстрочные индексы, поэтому выше для обозначения степени используется нотация «каратов». 2–3 x = 3 ⁴
x ² — 3 x = 4
x ² — 3 x — 4 = 0
( x — 4) ( x + 1) = 0
x = –1, 4
Итак, мой ответ:
Это уравнение похоже на предыдущие два, но не совсем то же самое, потому что 8 не является степенью 4.2 + 4 x = 2 ³
4 x ² + 4 x = 3
4 x ² + 4 x — 3 = 0
(2 x — 1) (2 x + 3) = 0
x = ¹/₂, ^–3/₂
Отрицательные показатели степени могут использоваться, чтобы указать, что основание принадлежит другой стороне дробной линии.Поскольку 64 = 4 ³, то я могу использовать отрицательные показатели для преобразования дроби в экспоненциальное выражение:
Используя это, я могу решить уравнение:
4 ^{x +1} = ¹/₆₄
4 ^{x +1} = 4 ^–3
x + 1 = –3
x = –4
Чтобы решить эту задачу, мне сначала нужно напомнить, что квадратные корни — это то же самое, что и половинные степени, и преобразовать радикал в экспоненциальную форму.Тогда я могу решить уравнение:
8 ^{x –2} = sqrt [8]
8 ^{x –2} = 8 ^1/2
x — 2 = 1/2
x = 2 + ¹/₂ = ⁵/₂
Тогда мой ответ:
Ниже приводится пример распространенного типа вопроса с подвохом:
Подумайте об этом: с какой степенью положительное число «2» может , возможно, дать отрицательное число ? Число никогда не может перейти от положительного к отрицательному, принимая полномочия; Я никогда не смогу превратить положительные два в отрицательные , любые , четыре или другие, умножая два на себя, независимо от того, сколько раз я делаю это умножение. Возведение в степень просто не работает. Итак, ответ здесь:
URL: https://www.purplemath.com/modules/solvexpo.htm
Решение уравнений с показателями — Подготовка к оценке TSI
Решение уравнений с показателями.
Рассмотрим эти два уравнения:
Уравнение 1: x ² = 4 и Уравнение 2: x ³ = 27
Уравнение 1 имеет два решения : 2 и -2, поскольку 2 ² = 4 и (-2) ² = 4.
Уравнение 2 имеет только , одно решение : x = 3.
Каждый раз, когда уравнение содержит все четные показатели, вы должны рассматривать как положительные, так и отрицательные решения. Если показатель степени является нечетной степенью, есть только одно решение.
Решение уравнений с показателями: x ^m = k
Если m четное: x = ± ^m √ k
Если m нечетное: x = ^m √ k
Для уравнений, которые включают корни, отличные от квадратного корня, вы хотите удалить корни путем (1) выделения корневого члена на одной стороне уравнения и (2) возведения обеих сторон уравнения в соответствующую степень.
Пример 1. Решить ( x ² + 6 x ) ^1/4 = 2
Решение
Напомним, что дробная экспонента на самом деле является корнем: a ^{m / n} = (ⁿ √ a) ^m
Удалите корень 4-й степени, возведя каждую часть уравнения в 4-ю степень.
[( x ² + 6 x ) ^1/4] ⁴ = 2 ⁴
Упростите каждую часть уравнения.
x ² + 6 x = 16
Установите уравнение равным нулю.
x ² + 6 x — 16 = 0
Разложите на множители левую часть уравнения.
( x + 8) ( x — 2) = 0
Установите коэффициенты равными нулю и решите.
0 = x + 8 или 0 = x — 2
x = — 8 или x = 2
Наши возможные решения: x = — 8 и x = 2.Оба этих решения необходимо проверить, используя исходное уравнение.
Чек x = — 8:
[(- 8) ² + 6 (- 8)] ^1/4 = 2
[64–48] ^1/4 = 2
[16] ^1/4 = 2
4√16 = 2
2 = 2 — истинное утверждение. Следовательно, x = — 8 — это решение.
Чек x = 2:
[(2) ² + 6 (2)] ^1/4 = 2
[4 + 12] ^1/4 = 2
[16] ^1/4 = 2
4√16 = 2
2 = 2 — истинное утверждение.Следовательно, x = 2 — это решение.
Решения уравнения ( x ² + 6 x ) ^1/4 = 2: x = — 8 и x = 2.
Пример 2 : Решить для w: 5 w ^2/3 + 3 = 23
Решение.
Выделите член w в левой части уравнения. Вычтите 3 из каждой части уравнения.
5 w ^2/3 = 23 — 3
5 w ^2/3 = 20
Разделите каждую часть уравнения на 5.
w ^2/3 = 20 ÷ 5
w ^2/3 = 4
Изолируйте w , возведя обе части уравнения в степень 3/2. Поскольку числитель экспоненты четный, будет два ответа.
w = ± 4 ^3/2 = ± (√ 4) ³
w = ± 2 ³ = ± 8
Два ответа на уравнение: 5 w ^2/3 + 3 = 23, это 8 и -8.
РЕШЕНИЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
РЕШЕНИЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Чтобы решить экспоненциальное уравнение, возьмите логарифм обеих сторон и решить для переменной.
Пример 1: Решите относительно x в уравнении.
Решение:

Шаг 1: Возьмите натуральное бревно с обеих сторон:

Шаг 2: Упростите левую часть приведенного выше уравнения, используя логарифмическое правило 3:

Шаг 3: Упростите левую часть приведенного выше уравнения: Поскольку Ln ( e ) = 1, уравнение имеет вид
Ln (80) — точный ответ и x = 4.38202663467 — приблизительный ответ, потому что мы округлили значение Ln (80).
Чек: Проверьте свой ответ в исходном уравнении.
Пример 2: Решите относительно x в уравнении
Решение:

Шаг 1: Выделите экспоненциальный член, прежде чем брать общий логарифм обеих сторон. Следовательно, прибавьте 8 к обеим сторонам:

Шаг 2: Возьмите общий журнал обеих сторон:

Шаг 3: Упростите левую часть приведенного выше уравнения, используя логарифмическое правило 3:

Шаг 4: Упростите левую часть приведенного выше уравнения: Поскольку Log (10) = 1, приведенное выше уравнение можно записать

Шаг 5: Вычтем 5 из обеих частей приведенного выше уравнения:
это точный ответ.x = -3,1674
29 — приблизительный ответ ..
Чек: Проверьте свой ответ в исходном уравнении. Делает
Да, это так.
Пример 3: Решите относительно x в уравнении
Решение:

Шаг 1: Когда вы построите график левой части уравнения, вы заметите, что график пересекает ось x в двух местах. Это означает, что уравнение имеет два реальных решения.

Шаг 2: Перепишите уравнение в квадратичной форме:

Шаг 3: Разложите на множители левую часть уравнения:
теперь можно написать

Шаг 4: Решите относительно x. Примечание: произведение двух членов может быть равно нулю только в том случае, если одно или оба из двух членов равны нулю.

Шаг 5: Установите первый множитель равным нулю и решите относительно x: Если , то и и x = Ln (2) — это точный или приблизительный ответ.

Шаг 6: Установите второй коэффициент равным нулю и решите относительно x: Если , тогда и и x = Ln (3) — это точный или приблизительный ответ. Точные ответы: Ln (3) и Ln (2) и приблизительные ответы: 0,69314718056 и 1,09861228867.
Проверить: Эти два числа должны быть одинаковыми числами в местах пересечения графика с осью абсцисс.
Примечание: Почему мы выбрали Ln в примере 3? Потому что мы знаем, что Ln ( e ) = 1.
Если вы хотите просмотреть другой пример, нажмите Пример.
Решите следующие задачи. Если вы хотите просмотреть ответ и решение, нажмите на ответ.
Задача 1: Решите относительно x в уравнении.
Ответ
Задача 2: Решите относительно x в уравнении.
Ответ
Задача 3: Решите относительно x в уравнении.
Ответ
Задача 4: Решите относительно x в уравнении.
Ответ
Задача 5: Решите относительно x в уравнении.
Ответ
Задача 6: Решите относительно x в уравнении.
Ответ
[Назад в меню к экспоненциальным функциям] [Перейти к решению логарифмических уравнений] [Алгебра] [Тригонометрия] [Сложный Переменные] S. Домашняя страница O.S MATHematics
Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.

Автор: Нэнси Маркус

Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.
Свяжитесь с нами
Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США
пользователя онлайн за последний час
Решение экспоненциальных уравнений с использованием логарифмов
В нашем предыдущем уроке вы узнали, как решать экспоненциальные уравнения без логарифмов.На этот раз мы хотим решить экспоненциальное уравнение , требующее использования логарифмов . Почему? Причина в том, что мы не можем манипулировать экспоненциальным уравнением, чтобы иметь одинаковую или общую основу для обеих сторон уравнения. Если вы столкнулись с проблемой такого типа, выполните следующие действия:
Шаги к решению экспоненциальных уравнений с использованием логарифмов
1) Держите экспоненциальное выражение отдельно от одной стороны уравнения.
2) Найдите логарифмы обеих частей уравнения.{2x}} = 21.
Преимущество этого уравнения в том, что экспоненциальное выражение уже выделено в левой части. Теперь мы можем логарифмировать обе части уравнения. Не имеет значения, какое основание логарифма использовать. Окончательный ответ должен быть таким же. Наилучший выбор для базы логарифмической операции — 5, поскольку она является базой самого экспоненциального выражения. Однако мы также будем использовать в вычислениях общую основу 10 и естественную основу \ color {red} e (обозначенную \ color {blue} ln), чтобы показать, что в конечном итоге все они имеют одинаковые ответы. .{x — 5}}} \ right) = 12.
Как видите, экспоненциальное выражение слева не само по себе. Мы должны исключить число 2, которое умножает экспоненциальное выражение. Для этого разделите обе части на 2. В результате мы получим только экспоненциальное выражение слева и 6 справа после упрощения.
Пора взять бревно с обеих сторон. Поскольку экспоненциальное выражение имеет основание 3, это удобное основание для работы с журналом. Кроме того, мы также решим эту проблему, используя естественное основание e, чтобы сравнить, согласуются ли наши окончательные результаты.{x — 2}}}}}}} \ right) — 7 = 13.
Сначала это похоже на беспорядок. Однако, если вы знаете, с чего начать, решение этой проблемы становится простым. В первую очередь нам следует упростить выражение внутри скобок. Используйте правило деления экспоненты, скопировав общее основание числа е и вычтя верхнюю на нижнюю степень.
Теперь выделите экспоненциальное выражение, сложив обе части на 7, а затем разделив все уравнение на 2.
Возьмите логарифм обеих сторон.х} + 3 = 53.
Обратите внимание, что экспоненциальное выражение возводится в x. Упростите это, применив Силу к Правилу Силы. Сделайте это, скопировав основание 10 и умножив его показатель на внешний показатель. После этого он должен выглядеть так.
Теперь мы можем выделить экспоненциальное выражение, вычтя обе части на 3, а затем умножив обе части на 2.
Возьмите логарифм обеих сторон с основанием 10. Если вы просто видите журнал \ color {red} без какой-либо конкретной основы, считается, что его основание равно 10.{n − 2}. \ nonumber \]
В некоторых случаях представления этих степенных рядов могут использоваться для поиска решений дифференциальных уравнений.
В этом разделе были выбраны примеры и упражнения, для которых существуют энергетические решения. Однако энергетические решения существуют не всегда. Тем из вас, кто интересуется более строгим подходом к этой теме, следует ознакомиться с разделом дифференциальных уравнений в LibreTexts.
Пример \ (\ PageIndex {1} \): серийные решения дифференциальных уравнений
Найдите решение в виде степенного ряда для следующих дифференциальных уравнений.n = 0 \ tag {шаг 4}. \ end {align} \]
Поскольку разложения функций в степенной ряд уникальны, это уравнение может быть истинным, только если коэффициенты при каждой степени \ (x \) равны нулю. Итак, у нас
\ [(n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} −a_n = 0 \ text {for} n = 0,1,2,…. \ nonumber \]
Это рекуррентное соотношение позволяет нам выразить каждый коэффициент \ (a_n \) через коэффициент двумя членами ранее. Это дает одно выражение для четных значений \ (n \) и другое выражение для нечетных значений \ (n \).Посмотрев сначала на уравнения, содержащие четные значения \ (n \), мы увидим, что
\ [\ begin {align *} a_2 = \ dfrac {a_0} {2} \\ a_4 = \ dfrac {a_2} {4⋅3} = \ dfrac {a_0} {4!} \\ a_6 = \ dfrac { a_4} {6⋅5} = \ dfrac {a_0} {6!} \\ \; ⋮. \ end {align *} \]
Таким образом, в общем случае, когда n четное,
\ [a_n = \ dfrac {a_0} {n!}. \ tag {step 5} \]
Для уравнений с нечетными значениями n , мы видим, что
\ [\ begin {align *} a_3 = \ dfrac {a_1} {3⋅2} = \ dfrac {a_1} {3!} \\ a_5 = \ dfrac {a_3} {5⋅4} = \ dfrac {a_1 } {5!} \\ a_7 = \ dfrac {a_5} {7⋅6} = \ dfrac {a_1} {7!} \\ \; ⋮.n & = — 4 \ end {align *} \]
Глядя на коэффициенты при каждой степени \ (x \), мы видим, что постоянный член должен быть равен \ (- 4 \), а коэффициенты всех остальных степеней x должны быть равны нулю. Затем, сначала посмотрев на постоянный член,
\ [\ begin {align} 4a_0−2a_2 & = — 4 \\ a_2 & = 2a_0 + 2 \ end {align} \ tag {step 3} \]
Для \ (n≥1 \) имеем
\ [\ begin {align *} (n + 4) (n + 1) a_n− (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} & = 0 \\ [4pt] (n + 1) [(n + 4) a_n− (n + 2) a_ {n + 2}] & = 0.\ end {align *} \]
Так как \ (n≥1, n + 1 ≠ 0, \), мы видим, что
\ [(n + 4) a_n− (n + 2) a_ {n + 2} = 0 \ nonumber \]
и, следовательно,
\ [a_ {n + 2} = \ dfrac {n + 4} {n + 2} a_n. \ nonumber \]
Для четных значений \ (n \) имеем
\ [\ begin {align *} a_4 = \ dfrac {6} {4} (2a_0 + 2) = 3a_0 + 3 \\ a_6 = \ dfrac {8} {6} (3a_0 + 3) = 4a_0 + 4 \ \ \; ⋮. \ end {align *} \]
В целом
\ [a_ {2k} = (k + 1) (a_0 + 1). \ tag {step 5} \]
Для нечетных значений n имеем
\ [\ begin {align *} a_3 = \ dfrac {5} {3} a_1 \\ a_5 = \ dfrac {7} {5} a_3 = \ dfrac {7} {3} a_1 \\ a_7 = \ dfrac { 9} {7} a_5 = \ dfrac {9} {3} a_1 = 3a_1 \\ \; ⋮.{2к + 1}. \ tag {step 6} \]
Решения дифференциальных уравнений
Уравнения первого порядка . Обоснованность почленного дифференцирования степенного ряда в пределах его интервала сходимости означает, что дифференциальные уравнения первого порядка могут быть решены, если принять решение в форме
.
подставляя это в уравнение, а затем определяя коэффициенты c _n .
Пример 1 : Найдите решение степенного ряда вида
для дифференциального уравнения
Замена
в дифференциальное уравнение дает
Теперь выпишите несколько первых членов каждой серии,
и объедините похожие термины:
Поскольку образец ясен, последнее уравнение можно записать как
Чтобы это уравнение выполнялось для всех x, каждый коэффициент в левой части должен быть равен нулю .Это означает, что c ₁ = 0, и для всех n ≥ 2,
Это последнее уравнение определяет рекуррентное соотношение , которое выполняется для коэффициентов решения степенного ряда:
Поскольку нет ограничений для c ₀, c ₀ — произвольная константа, и уже известно, что c ₁ = 0. В приведенном выше рекуррентном соотношении указано c ₂ = ½ c ₀ и c ₃ = ⅓ c ₁, что равно 0 (поскольку c ₁ соответствует). Фактически, легко увидеть, что любой коэффициент c _n с нечетным n будет равен нулю. Что касается c ₄, рекуррентное отношение говорит о
и так далее. Поскольку все c _n с нечетным n равны 0, решение серии desire power —
Обратите внимание, что общее решение содержит один параметр ( c ₀), как и ожидалось для дифференциального уравнения первого порядка.Этот степенной ряд необычен тем, что его можно выразить через элементарную функцию. Наблюдать:
Легко проверить, что y = c ₀ e ^{x 2}/² действительно является решением данного дифференциального уравнения, y ′ = xy . Помните: большинство степенных рядов не могут быть выражены в терминах знакомых элементарных функций, поэтому окончательный ответ будет оставлен в форме степенного ряда.
Пример 2 : Найдите расширение степенного ряда для решения IVP
Замена
в дифференциальное уравнение дает
или, собрав все термины в одну сторону,
Выписка первых нескольких членов ряда дает
или, при объединении одинаковых терминов,
Теперь, когда образец ясен, последнее уравнение можно записать
Чтобы это уравнение выполнялось для всех x, каждый коэффициент в левой части должен быть равен нулю .Это означает
Последнее уравнение определяет рекуррентное соотношение, которое определяет коэффициенты решения степенного ряда:
Первое уравнение в (*) говорит c ₁ = c ₀, а второе уравнение говорит c ₂ = ½ (1 + c ₁) = ½ (1 + c ₀). Затем рекуррентное отношение говорит:
и так далее.Таким образом, собрав все эти результаты, требуемое решение для серии степеней составляет
.
Теперь начальное условие применяется для оценки параметра c ₀:
Следовательно, разложение в степенной ряд для решения данной IVP равно
При желании это можно выразить в терминах элементарных функций. С
уравнение (**) можно записать
, который действительно удовлетворяет данному IVP, как вы можете легко проверить.
Уравнения второго порядка . Процесс нахождения решений в виде степенных рядов однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка более тонкий, чем для уравнений первого порядка. Любое однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде
Если обе функции коэффициентов p и q являются аналитическими при x ₀, то x ₀ называется обыкновенной точкой дифференциального уравнения.С другой стороны, если даже одна из этих функций не может быть аналитической при x ₀, то x ₀ называется особой точкой . Поскольку метод поиска решения, представляющего собой степенной ряд в x ₀, значительно сложнее, если x ₀ является особой точкой, внимание здесь будет ограничено решениями степенного ряда в обычных точках.
Пример 3 : Найдите решение серии Power с разрешением x для IVP
Замена
в дифференциальное уравнение дает
Теперь решение можно продолжить, как в приведенных выше примерах, выписывая несколько первых членов ряда, собирая аналогичные члены, а затем определяя ограничения на коэффициенты из возникающего шаблона. Вот еще один способ.
Первый шаг — переиндексировать серию, чтобы каждая из них включала x ⁿ . В данном случае только первая серия должна быть подвергнута этой процедуре. Замена n на n + 2 в этой серии дает
Следовательно, уравнение (*) становится
Следующий шаг — переписать левую часть в терминах простого суммирования . Индекс n изменяется от 0 до ∞ в первой и третьей серии, но только от 1 до ∞ во второй.Так как общий диапазон для всех рядов составляет от 1 до ∞, единичное суммирование, которое поможет заменить левую часть, будет варьироваться от 1 до ∞. Следовательно, необходимо сначала написать (**) как
, а затем объедините ряды в одно суммирование:
Чтобы это уравнение выполнялось для всех x, каждый коэффициент в левой части должен быть равен нулю . Это означает, что 2 c ₂ + c ₀ = 0, и для n ≥ 1 выполняется следующее рекуррентное соотношение:
Поскольку нет ограничений для c ₀ или c ₁, они будут произвольными, и уравнение 2 c ₂ + c ₀ = 0 подразумевает c ₂ = −½ c ₀.Для коэффициентов от c ₃ и далее требуется рекуррентное соотношение:
Паттерн здесь нетрудно различить: c _n = 0 для всех нечетных n ≥ 3 и для всех четных n ≥ 4,
Это рекуррентное соотношение можно переформулировать следующим образом: для всех n ≥ 2,
Таким образом, желаемое решение для серии мощности —
.
Как и ожидалось для дифференциального уравнения второго порядка, общее решение содержит два параметра ( c ₀ и c ₁), которые будут определяться начальными условиями. Поскольку y (0) = 2, ясно, что c ₀ = 2, и тогда, поскольку y ′ (0) = 3, значение c ₁ должно быть 3. Следовательно, решение данной IVP равно
.
Пример 4 : Найдите решение степенного ряда в x для дифференциального уравнения
Замена
в данное уравнение дает
или
Теперь все серии, кроме первой, должны быть переиндексированы, чтобы каждая включала x ⁿ :
Следовательно, уравнение (*) становится
Следующий шаг — переписать левую часть в терминах простого суммирования .Индекс n колеблется от 0 до ∞ во второй и третьей сериях, но только от 2 до ∞ в первой и четвертой. Поскольку общий диапазон всех рядов составляет от 2 до ∞, единичное суммирование, которое поможет заменить левую часть, будет варьироваться от 2 до ∞. Поэтому необходимо сначала написать (**) как
.
, а затем объедините ряды в одно суммирование:
Опять же, чтобы это уравнение выполнялось для всех x , каждый коэффициент в левой части должен быть равен нулю.Это означает, что c ₁ + 2 c ₂ = 0, 2 c ₂ + 6 c ₃ = 0, и для n ≥ 2 выполняется следующее рекуррентное соотношение :
Поскольку нет ограничений на c ₀ или c ₁, они будут произвольными; из уравнения c ₁ + 2 c ₂ = 0 следует c ₂ = −½ c ₁, а из уравнения 2 c ₂ + 6 c ₃ = 0 означает c ₃ = −⅓ c ₂ = −⅓ (-½ c ₁) = ⅙ c ₁.Для коэффициентов от c ₄ и далее требуется рекуррентное соотношение:
Таким образом, желаемое решение для серии мощности —
.